利用导数分析方程的根和函数的零点教(学)案

利用导数研究方程的根和函数的零点 总结：方程()0=x f 的根()的零点函数x f y =⇔

()轴的交点的恒坐标的图像与函数x x f y =⇔

方程()()x g x f =的根()()的根方程0=-⇔x g x f ()()()的零点x g x f x h -=⇔ ()()。的图象的交点的横坐标与函数x f y x g y ==⇔

1．设a 为实数，函数()a x x x x f +--=23，当a 什么范围内取值时，曲线()x f y =与x

轴仅有一个交点。

2、已知函数f (x )=－x 2

+8x,g (x )=6ln x+m

（Ⅰ）求f (x )在区间[t ,t +1]上的最大值h (t );

（Ⅱ）是否存在实数m ，使得y =f (x )的图象与y =g (x )的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；，若不存在，说明理由。

解：（I ）22()8(4)16.f x x x x =-+=--+ 当14,t +<即3t <时，()f x 在[],1t t +上单调递增，22()(1)(1)8(1)67;h t f t t t t t =+=-+++=-++

当41,t t ≤≤+即34t ≤≤时，()(4)16;h t f ==当4t >时，()f x 在[],1t t +上单调递减，

2()()8.h t f t t t ==-+综上，2267,3,()16,34,8,4t t t h t t t t t ⎧-++<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩

（II ）函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，即函数 ()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

22()86ln ,

62862(1)(3)'()28(0),x x x x m x x x x x x x x x x

φφ=-++-+--∴=-+==>Q 当(0,1)x ∈时，'()0,()x x φφ>是增函数；当(0,3)x ∈时，'()0,()x x φφ<是减函数；

当(3,)x ∈+∞时，'()0,()x x φφ>是增函数；当1,x =或3x =时，'()0.x φ= ()(1)7,()(3)6ln 315.x m x m φφφφ∴==-==+-最大值最小值

Q 当x 充分接近0时，()0,x φ<当x 充分大时，()0.x φ>

∴要使()x φ的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 ()70,()6ln 3150,x m x m φφ=->⎧⎪⎨=+-<⎪⎩

最大值最小值 即7156ln3.m <<-所以存在实数m ，使得函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,156ln 3).-

3、已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12。

（I ）求()f x 的解析式；

（II ）是否存在自然数,m 使得方程37()0f x x

+=在区间(,1)m m +内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。

恒成立问题：

4：已知函数()()0ln 2

>+-=a a x a x x f 在()∞+，0满足()0≥x f 恒成立，求a 的取值范围。

5：已知函数()(),ln 2,22x x x g x

a x x f +-=+=其中0>a ，若对于(),,0,21+∞∈∀x x

都有()()21x g x f ≥恒成立，求a 的取值范围。

课后练习

2、已知函数3

()31,0f x x ax a =--≠ ()I 求()f x 的单调区间；

()II 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m

的取值范围。 .解析：（1）'22()333(),f x x a x a =-=-

当0a <时，对x R ∈，有'

()0,f x > 当0a <时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞

当0a >时，由'()0f x >解得x

由'()0f x <解得x <<

当0a >时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞；()f x 的单调减区间为

(。

（2）因为()f x 在1x =-处取得极大值，

所以'2(1)3(1)30, 1.f a a -=⨯--=∴=

所以3'2()31,()33,f x x x f x x =--=-

由'()0f x =解得121,1x x =-=。

由（1）中()f x 的单调性可知，()f x 在1x =-处取得极大值(1)1f -=， 在1x =处取得极小值(1)3f =-。

因为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，又(3)193f -=-<-，(3)171f =>，

结合()f x 的单调性可知，m 的取值范围是(3,1)-。

3、设函数329()62

f x x x x a =-+-． （1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值；

（2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围．

解：(1) '2

()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--,

因为(,)x ∈-∞+∞,'()f x m ≥, 即 239(6)0x x m -+-≥恒成立, 所以 8112(6)0m ∆=--≤, 得34m ≤-

，即m 的最大值为34- (2) 因为 当1x <时, '()0f x >;当12x <<时, '()0f x <;当2x >时, '()0f x >;

所以 当1x =时,()f x 取极大值 5(1)2

f a =-; 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;

故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或52

a >

. 4、方程076223=+-x x ，在()2,1内根的个数