22初中数学竞赛专题培训(30)：生活中的数学(2)

初中数学竞赛专题培训第三十讲生活中的数学(四)──买鱼的学问
鱼是人们喜欢吃的一种高蛋白食物，所以谁都希望买到物美价廉的鱼．假定现在商店里出售某种鱼以大小论价，大鱼A每斤1.5元，小鱼B每斤1元．如果大鱼的高度为13厘米，小鱼的高度为10厘米(图2-171)，那么买哪种鱼更便宜呢？
有人可能觉得大鱼A和小鱼B高度之比为13∶10，差不了许多，而小鱼的价格却比大鱼便宜许多，因此，买小鱼比较合算．这种想法是合理的吗？我们还是用数学来加以分析吧！
在平面几何中，我们已经知道以下定理．
定理1 相似形周长的比等于相似比．
定理2 相似形面积的比等于相似比的平方．
例1 已知：△ABC∽△A′B′C′，并且AB=2c，BC＝2a，AC=2b，A′B′＝3c， B′C′=3a，A′C′=3b．求证：△ABC和△A′B′C′周长的比是2∶3(图2-172)．
证△ABC的周长是
2a＋2b＋2c=2(a＋b＋c)，
△A′B′C′的周长是
3a＋3b+3c=3(a＋b＋c)，
所以△ABC和△A′B′C′的周长的比是
2(a+b+c)∶3(a＋b＋c)=2∶3．
例2 图2-173是两个相似矩形，如果它们的相似比是3∶4，求证：它们面积的比是32∶42．
证矩形ABCD的面积是3a·3b=32ab，矩形A′B′C′D′的面积是4a·4b=42ab，所以矩形ABCD和矩形A′B′C′D′的面积之比是
32ab∶42ab=32∶42．
从定理1和定理2，我们自然会想到：相似的两个立体的体积之比与它们的相似比有什么关系呢？为此，我们看下面的例子．
例3 图2-174是两个相似的长方体，它们的相似比为3∶5，求它们的体积之比．
解长方体(a)的体积是3a·3b·3c=33abc，
长方体(b)的体积是5a·5b·5c=53abc，
所以长方体(a)与长方体(b)的体积的比是
33abc∶53abc＝33∶53
例4 图2-175是两个相似圆柱，它们的相似比为2∶3，求它们的体积之比．
解小圆柱的体积是
(2a)2π·2b＝23a2bπ，大圆柱的体积是
(3a)2π·3b＝33a2bπ，所以小圆柱与大圆柱的体积之比为23∶33．
定理3 相似形的体积之比，等于它的相似比的立方．
有了上面的知识，我们回到本题，是买小鱼便宜呢？还是买大鱼便宜呢？我们假定同一种鱼的体形是相似形，对于鱼A和鱼B来说，A与B的相似比为13∶10，因此，根据定理3，A与B的体积之比为
由于A鱼的价格是1.5元，B鱼的价格是1元，所以价格比是1.5∶1=1.5，我们可以看到，A的体积是B的体积的2.197倍，可是A的价格却是B的价格的1.5倍，所以买大鱼A比买小鱼B 更合算．
下面我们进一步考虑一下鱼的高度和体积的关系，为此，我们先规定标准：设M鱼高1厘米时，体积是2厘米3，那么N鱼高是x厘米时，体积是y厘米3．由于M和N是相似形，所以由相似
形体积之比与相似
根据上式，当x的值变化时，y的值相应地跟着变化，于是，我们就得到表30.1．
从表中可以看到：当x=1时，x3=1，y=2x3=2．这就是M鱼的身高与体积的关系．
当x的长度由1厘米增长到2厘米，即增长2倍时，其体积y相应地由2厘米3增长到16厘米3，即增长了8(23)倍．
当x的长度由1厘米增长到3厘米，即增长3倍时，其体积y相应地由2厘米3增长到54厘米3，即增长了27(33)倍．
一般地，当x增长n倍时，则体积y相应地增长n3倍．
根据上表中的x和y的对应数值，可以画出y=2x3的图像(图2-176)．
例5 利用y=2x3的图像(图2-176)，解答下列问题：
(1)当x=2.75时，y的值是多少？
(2)当y=10时，x的值是多少？
解 (1)在x轴上，对应于x＝2.75取一个点，通过这一点作y轴平行线交y=2x3的图像上的某一点，过这一点再作x轴的平行线交y轴于一点，这一点对应的数值是40，这样，就在y轴上得到了x=2.75时对应的y值，即y=40．这就说明，当鱼N的高度为2.75厘米时，它的体积约为40厘米3．
(2)在y轴上对应于y=10取一点，过此点作x轴的平行线，交y=2x3的图像于某点，再过这点作y轴的平行线，在x轴上得到了y=10对应的x值1.75．这说明当N的体积为10厘米3时，高度约为1.75厘米．
上面我们研究了鱼的身高和体积的图像，下面我们进一步考虑鱼的身高和价格的关系．为此，引用前面的条件，设鱼B的身高为10厘米，价格是每斤1元，其体积假定为50厘米3．由于鱼是相似的，在买鱼的时候，考虑到价格的便宜，假设鱼的价格和体积成正比例，那么鱼的身高和价格之间有着怎样的关系呢？为此，设鱼C的身高为x厘米，体积是y厘米3，价格是z元，那么我们列出表30.2．
首先，由于“鱼的体积与其身高的三次方成正比例”，所
y＝ax3，①
考虑到鱼B的身高和体积，即x=10时，y=50，代入①式，就有50=a×103，所以a=0.05．于是①式就成为y=0.05x3①′
其次，根据“鱼的价格和体积成正比例”的假定，对于鱼C 则有z=by，②
由于②式对于鱼B也是成立的，即y=50时，z=100，代入②式，有100=b×50，所以b=2，这样②式就成为z=2y．②′
再把①′代入②′，就得到z=2×0.05x3，
所以 z=0.1x3③
这就是鱼的身高和价格的关系表达式．利用③式就可以计算下面的问题．
例6 设鱼的身高为13厘米，它的价格每斤是多少元？
解把x=13代入③式，
z＝0.1×133＝0.1×2197=219.7
=220(分)=2.2(元)．
即每斤约二元二角．
如果把③式中x和z的关系用数值来表示，就有表30.3．
这个表中，以x=10时，z=100作标准，联系到前面表中的结果，可以看出：
(1)鱼的身高增到1.5倍，价格便增到3.375倍(1.53倍)；
(2)鱼的身高增到2倍，价格便增到8倍(23倍)；
(3)鱼的身高增到2.5倍，价格便增到15.625倍(2.53倍)；
(4)鱼的身高增到3倍，价格便增到27倍(33倍)．
……
一般地，鱼的身高增到n倍，其价格便增到n3倍，根据表中x和z的对应数值，画出z=0.1x3的图像，就得到图2-177.
练习三十
1．根据图2-177回答：
(1)鱼的身高为20厘米时，它的每斤的价格是多少元？
(2)鱼的价格是每斤4元时，其身高是多少厘米？
2．两张照片是同一张底片拍出的．如果两张照片对应边长的比是1∶2，并且第一张照片的面积是96厘米2，那么第二张照片的面积是多少平方厘米？
3．设桌子正上方有一盏电灯，距离桌面100厘米，桌子高30厘米，如果桌子的长为60厘米，宽为35厘米，那么桌面被电灯照射后的影子是多少平方厘米？又影子周长是多少厘米？
一个半径为2厘米的银球，乙有五个半径为1厘米的银球，乙要用他的五个银球换甲的那一个银球，如果交换成功，甲乙谁合算呢？。