直角三角形性质应用(弦图)(北师版)
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九年级数学下册 《直角三角形的边角关系及其应用》课件 北师大版
东
x
x
B D xta 5n 0,5 C D xta2n 0 .5
B
A
550 25┌0 C DD
xta 50 n 5 xta 2n 0 52.0
x ta 50 n 2 5 t0 a 20 n 5 1 .4
20 2.6 0 海 7. 里
2 0 .4 86 163
答:货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.
直角三角形的边角关系 及其应用
回顾与思考直1 角三角形的边角关系
直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2.
直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+ ∠B=90º.
直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
sinA a , c
cosA b , c
a
tanA=
b
B
特殊角300,450,600角的三 角函数值.
先算 面积!
由梯形S 面 A积 D BC A 公 得 F,式
S364 2722.
2
2
V 1S 0 1 0 7 02 2 0 10 .3 m 3 1 4 . 8
答:修建这个大坝共需土石方
约10182.34m3.
独立
作业
知识的升华
P24 习题1.6 1,2,3题;
祝你成功！
P24 习题1.6 1,2,3题
答:钢缆ED的长度约为7.97m.
随堂练习P212 1
大坝中的数学计算
2 如图,水库大坝的截面是梯形
ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.
A
D
坡底BC=30m,∠ADC=1350. (1)求坡角∠ABC的大小;
(2)如果坝长100m,那么修建这个
B
1.2直角三角形——直角三角形的边角性质+练习课件+2023-—2024学年北师大版数学八年级下册
【点拨】
∵1 宣＝12矩，1 欘＝112宣，1 矩＝90°，∠A＝1 矩，
∠B＝1
欘
，
∴∠A
＝ 90°，
∠
B
＝
1
1 2
1 ×2
×90°＝
67.5°，
∴∠C＝90°－∠B＝90°－67.5＝22.5°.
3 (母题：教材P34复习题T5)若三角形三个内角的比为 1 ∶2 ∶3，则这个三角形是__直__角____三角形．
(2)若AE是△ABC的角平分线，AE，CD相交于点F，求证： ∠CFE＝∠CEF. 【证明】∵AE是△ABC的角平分线，∴∠DAF＝∠CAE. ∵∠FDA＝90°，∠ACE＝90°， ∴∠DAF＋∠AFD＝90°，∠CAE＋∠CEA＝90°. ∴∠AFD＝∠CEA. ∵∠AFD＝∠CFE， ∴∠CFE＝∠CEA，即∠CFE＝∠CEF.
解：如图②，延长 MN 至点 C′，使 NC′＝NC，连接 AC′， 则 AC′的长即为蚂蚁爬行的最短路程． 在 Rt△AMC′中，AM＝3×2＝6(cm)， MC′＝20＋2＝22(cm)． 由勾股定理，得 AC′2＝AM2＋MC′2＝62＋222＝520， 则 AC′＝2 130 cm. 答：蚂蚁需要爬行的最短路程是 2 130 cm.
∵∠C＝90°，∴∠4＋∠5＝90°. ∴∠3＋∠5＝90°，即∠FBG＝90°. 又∵DF⊥EG，DE＝DG，∴FG＝EF. 在Rt△FBG中，BG2＋BF2＝FG2，∴AE2＋BF2＝EF2.
【点方法】
欲证AE2＋BF2＝EF2，应联想到勾股定理，把AE， BF和EF转. 化. 为同一个直角三角形的三边．
【点拨】
∵直角三角形的三边a，b，c满足c>a>b，∴该直角三 角形的斜边为c，∴c2＝a2＋b2，∴c2－a2－b2＝0，∴S1＝ c2－a2－b2＋b(a＋b－c)＝ab＋b2－bc. ∵S2＝b(a＋b－c)＝ ab＋b2－bc，∴S1＝S2，故选C.
北师大版九年级数学下册《三角函数的应用》直角三角形的边角关系PPT教学课件
∴AD=
1 2
OA=2km．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB－∠AOB
=75°－30°=45°，
∴BD=AD=2km，
∴AB= 2AD= 2 2 km．
即该船航行的距离为2 2 km．
当堂练习
4. 如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员
为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与
今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往
东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25°的C处。之后，货
轮继续向东航行.货轮继续航行会有触礁的危险吗？
北
【分析】这船继续向东航行是
A
否安全，取决于灯塔C到AB航
线的距离是否大于 10 n mile.
B
C
D
东
讲授新课
解：由点A作AD⊥BC于点D, 设AD= x ,
54°45° D 40m C
∴AB=AC－BC=55.1－40=15.1
讲授新课
三 利用坡角解决实际问题 例. 4 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是
12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，
求路基下底的宽（精确到0.1米, 3 1.732, 2 1.414 ）.
D 12米
分析：求AC，无论是在Rt△ACD中，还 是在Rt△ABC中，只有一个角的条件， 因此这两个三角形都不能解，所以要用 方程思想，先把AC看成已知，用含AC 的代数式表示BC和DC，由BD＝1000m 建立关于AC的方程，从而求得AC.
讲授新课
解：在Rt△ABC中，
AC BC
=
tan
B
=
tan 30
2020—2021学年北师大版数学八年级下册 1.2直角三角形第一课时勾股定理及逆定理 教学课件
(3)
C′
由图(1)和图(3)可知,这两个三角形不全等;
因此, 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
2、如果其中一组等边的所对的角是直角, 那么这
两个三角形全等吗？.
做一做：已知一条直角边和斜边，求作一
个直角三角形.
已知：如图，线段a=4cm，c=5cm（a<c），直角α .
求作：Rt △ABC，使∠C= ∠ α ，BC=a，AB=c.
关系
1
4
9
1
4
9
C的面
积(单位
面积)
2
8
18
SA+SB=SC
a2+b2=c2
图
1
图2
图3
你还能数出图中
正方形A、B、C
各占多少个小格
子吗？完成表格，
探究规律。
图1
A的面积
（单位面积）
图1
图2
A、B、C 面积
关系
直角三角形
三边数量关系
16
4
图2
B的面积
（单位面积）
9
9
SA+SB=SC
a2+b2=c2
命题.
2.如图,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为8cm,
一只蚂蚁欲从正四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧
面到点C1处吃食物,那么它需要爬行的最短路径是
多少？
102+82=164
2 41
老师提示:对于空间图形
需要动手操作,将其转化
为平面图形来解决.
D1
A1
B1
D
A
C1
A1
B1
C1
D
C
B
C′
由图(1)和图(3)可知,这两个三角形不全等;
因此, 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
2、如果其中一组等边的所对的角是直角, 那么这
两个三角形全等吗？.
做一做：已知一条直角边和斜边，求作一
个直角三角形.
已知：如图，线段a=4cm，c=5cm（a<c），直角α .
求作：Rt △ABC，使∠C= ∠ α ，BC=a，AB=c.
关系
1
4
9
1
4
9
C的面
积(单位
面积)
2
8
18
SA+SB=SC
a2+b2=c2
图
1
图2
图3
你还能数出图中
正方形A、B、C
各占多少个小格
子吗？完成表格，
探究规律。
图1
A的面积
（单位面积）
图1
图2
A、B、C 面积
关系
直角三角形
三边数量关系
16
4
图2
B的面积
（单位面积）
9
9
SA+SB=SC
a2+b2=c2
命题.
2.如图,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为8cm,
一只蚂蚁欲从正四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧
面到点C1处吃食物,那么它需要爬行的最短路径是
多少？
102+82=164
2 41
老师提示:对于空间图形
需要动手操作,将其转化
为平面图形来解决.
D1
A1
B1
D
A
C1
A1
B1
C1
D
C
B
数学九年级下北师大版第一章三角函数的应用课件(39张)
◆知识导航 ◆典例导学 ◆反馈演练 （ ◎第一阶 ◎第二阶 ◎第三阶 ）
◆知识导航 ◆典例导学 ◆反馈演练 （ ◎第一阶 ◎第二阶 ◎第三阶 ）
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1.1.2北师大版九年级数学下册课件第一章第一节锐角三角函数第二课时正弦余弦
课堂小结 1.结论:梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关: sinA越大,梯子越陡;cosA越小,梯子越陡. 2.在∠A+∠B=90°时，cosA=sinB 另外：cosA=sin(90°-A) sinA=cos(90°-A) 3、tanA>0 0<sinA<1 1>cosA>0
知识技能
习题1.2
α 9 β
1. 如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.
36 5
┐
x
数学理解 2.如何用正弦、余弦、正切来刻画梯子的倾斜程度？ tanA越大,梯子越陡; sinA越大,梯子越陡;cosA越小,梯子越陡.
联系拓广 3.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和 cosB有什么关系? ∠C=90°时，cosA=sinB
C
BC sin A AC BC AC sin A 200 0.6 120.
A 请你求出cosA,tanA,sinC,cosC和 tanC的值.
200 120 ┌ 160
B
做一做 例2:如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10, 求:AB,sinB. 解：在Rt△ABC中,∠C=900,
北师大版九年级数学(下)第一章 直角三角形的边角关系
第一节 锐角三角函数
第二课时 正弦和余弦
A
1
B
2
回顾与思考 1.在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记 B 作tanA,即 tanA= A的对边
A的邻边
2.tanA的大小只与∠A的大小有关, 而与直角三角形的边长无关. 3.tanA﹥0,无单位. 4.tanA的值越大,梯子越陡.
∠A的对边
∠A的邻边
北师大版八年级数学下册1.2《直角三角形》课件(共14张PPT)
观察上面两组定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系?
观察下面三组命题： 如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角。 如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。 一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等。
思考：上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的 关系吗？
角时，那么这两个三角形全等吗？
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°， AB=A′B′，BC=B′C′。 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′。
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等.这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表 示．
如图所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度 AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的 倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
数学(北师版)8年级下册
1.2《直角三角形》
新知学习想一想
思考1：我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定 方法？ 思考2：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
思考3：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角 形是直角三角形吗？为什么？
想一想
思考1：我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定 方法？ 勾股定理：在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜 边的平方.
作业：
1，下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A 2，3，4
B 1.5, 2，3
C 9, 12, 15
D 7， 8， 9
2，在△ABC中，三边长分别是8,15,17，则这个三角形是＿＿
它的面积是＿＿。
3，若三角形的三边长分别为n+1,n+2,n+3,当n=＿＿时，此三 角形是直角三角形。
观察下面三组命题： 如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角。 如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。 一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等。
思考：上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的 关系吗？
角时，那么这两个三角形全等吗？
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°， AB=A′B′，BC=B′C′。 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′。
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等.这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表 示．
如图所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度 AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的 倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
数学(北师版)8年级下册
1.2《直角三角形》
新知学习想一想
思考1：我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定 方法？ 思考2：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
思考3：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角 形是直角三角形吗？为什么？
想一想
思考1：我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定 方法？ 勾股定理：在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜 边的平方.
作业：
1，下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A 2，3，4
B 1.5, 2，3
C 9, 12, 15
D 7， 8， 9
2，在△ABC中，三边长分别是8,15,17，则这个三角形是＿＿
它的面积是＿＿。
3，若三角形的三边长分别为n+1,n+2,n+3,当n=＿＿时，此三 角形是直角三角形。
北师大版数学九年级下册1.正弦、余弦课件(共46张)
AB AC 10 13 65 .
cos A
12 6
C
A
sin B cos A 12 . 13
随堂练习
课堂小结
斜边
B
∠A的对边
┌
A
C
∠A的邻边
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
sin
A
∠A的对边 斜边
.
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cos
第一章 直角三角 形的边角关系
第2课时 正弦、 余弦
北师·九年级数学下册
学习目标
1.理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并能进 行简单计算. 2.知道锐角三角函数的意义，能够进行正弦、 余弦和正切的互相转化.
复习导入ห้องสมุดไป่ตู้
BC
AC
1. 如图，Rt△ABC中，tanA = AC ，tanB= BC .
B
A
C
则 B1C1 和 B2C2 的关系是 _B_A1_BC1_1 _= _BA_2BC_22__.
AB1 AB2
C1
C2
A
思考：从上面的问题可以看出：当直角 三角形的一个锐角的大小已确定时，它 B1
的对边与斜边的比值_随__之__确___定__，根据
B2
是__三__角__形__类__似__的__性__质___.
B
cos C BC 120 0.6 AC 200
规律小结
在直角三角形中，一个锐角的
C
正弦等于另一个锐角的余弦.
在此图中，即：sinA=cosC
sinC=cosA
A
B
做一做
如图，Rt△ABC中，∠C=90°， cos A 12 ， AC=10，
1.1 第2课时正弦与余弦PPT课件(北师大版)
讲授新课
例1.如图，在Rt△ABC中，
C
∠B=90°，AC=200，sin A=0.6.
思考：（1）cos A=？
（2）sin C=？ cos C=？
A
B
解：根据勾股定理得 AB = AC 2 - BC 2 = 160.
在Rt△ABC中， ∵∠B=90°， ∴cos A = AB = 160 = 4 = 0.8，
1 第2课时 正弦和余弦
我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻 边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜 角确定时，其对边与邻边之比随之确定.也就是说这 一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关. 并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之 比定义了正切.
想一想： 【问题1】当直角三角形中的锐角确定之后，其 他边之间的比也确定吗？ 【问题2】梯子的倾斜程度与这些比有关吗？如 果有，是怎样的关系？a c
sinA=cosB
tan A sin A cos A
例1.如图，在Rt△ABC中，
C
∠B=90°，AC=200，sin A=0.6，
求BC的长.
A
B
解：在Rt△ABC中， ∠B=90°，AC=200， sin A=0.6，即 BC = 0.6.
AC ∴BC=AC×0.6=200×0.6=120.
谢 谢 观 看！
AC 200 5 sin C = AB = 160 = 4 = 0.8，
AC 200 5 cos C = BC = 120 = 3 = 0.6.
AC 200 5
讲授新课
C 例1.如图，在Rt△ABC中，
∠B=90°，AC=200，sin A=0.6.
A
B
思考：（3）由上面计算，你能猜想出什么结论？
初中数学《直角三角形》PPT执教课件 北师大版2
附sin25°≈ 0.42，cos25°≈ 0.91 tan25°≈ 0.47
B
尽量选择原 始数据,避免
累积误差
25°
a
c
C b=30 A
初中数学《直角三角形》PPT执教课件 北师大版2
初中数学《直角三角形》PPT执教课件 北师大版2
解直角三角形:
知 由直角三角形中已知的元素，求出所有未
识 知元素的过程
不能
初中数学《直角三角形》PPT执教课件 北师大版2
探究活动：
除直角外再给两个元素有几种可能情况？
（1）两个锐角
（2）两条边长 B
（不能）
（能） B
C
A
C
（3）一边长一锐角 （能）
B
B
B
C
α AC
αAC
每种情况是否能求出其他所有元素？
初中数学《直角三角形》PPT执教课件 北师大版2
A αA
在Rt△ABC中 ，如果已知其中的两条边长，能求出其他所有元素吗？ 初中数学《直角三角形》PPT执教课件北师大版2 探究问题： 1.在直角三角形中，已知的两条边可能是什么边？分几种情况? 2.如何求第三边？根据什么？ 3.如何求其中的一个锐角？根据是什么？
B
2.如何求另一个锐角？根据什么？
3.如何求另外两条边？根据是什么？
α
C
A
（小组讨论探究后，分情况画图把已知的边长用字母表示，简要分析求解思路）RtFra bibliotekABC中的已知元素
未知元素一般求法
一 边 长 一
锐角α和它 B 的对边a a
C
锐角α和它 B
的邻边b
C
sin a
α
A
B90-
B
尽量选择原 始数据,避免
累积误差
25°
a
c
C b=30 A
初中数学《直角三角形》PPT执教课件 北师大版2
初中数学《直角三角形》PPT执教课件 北师大版2
解直角三角形:
知 由直角三角形中已知的元素，求出所有未
识 知元素的过程
不能
初中数学《直角三角形》PPT执教课件 北师大版2
探究活动：
除直角外再给两个元素有几种可能情况？
（1）两个锐角
（2）两条边长 B
（不能）
（能） B
C
A
C
（3）一边长一锐角 （能）
B
B
B
C
α AC
αAC
每种情况是否能求出其他所有元素？
初中数学《直角三角形》PPT执教课件 北师大版2
A αA
在Rt△ABC中 ，如果已知其中的两条边长，能求出其他所有元素吗？ 初中数学《直角三角形》PPT执教课件北师大版2 探究问题： 1.在直角三角形中，已知的两条边可能是什么边？分几种情况? 2.如何求第三边？根据什么？ 3.如何求其中的一个锐角？根据是什么？
B
2.如何求另一个锐角？根据什么？
3.如何求另外两条边？根据是什么？
α
C
A
（小组讨论探究后，分情况画图把已知的边长用字母表示，简要分析求解思路）RtFra bibliotekABC中的已知元素
未知元素一般求法
一 边 长 一
锐角α和它 B 的对边a a
C
锐角α和它 B
的邻边b
C
sin a
α
A
B90-
初中数学《直角三角形》优秀课件北师大版3
❖
7.阅历之所以会对读书所得产生深浅 有别的 影响， 原因在 于阅读 并非是 对作品 的简单 再现， 而是一 个积极 主动的 再创造 过程， 人生的 经历与 生活的 经验都 会参与 进来。
❖
8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理 解力有 所欠缺 ，所以 在读书 时往往 容易只 看其中 一点或 几点， 对书中 蕴含的 丰富意 义难以 全面把 握。
∠A,∠B,∠C的对边.∠B=45°a=6cm ，解这个直
角三角形
A
B 45°
C
随堂检测 收获喜悦
检测二：在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别
∠A,∠B,∠C的对边. sinB=0.5，c=6. 解这
个直角三角形.
Ｂ
C=6 a
Ａ
bＣ
分层作业，巩固所学：
1、课本习题1.5 A组 ：1、2题 B、C组：1、2选一、3题
❖
2.它由一系列展示人物性格,反映人物 与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。
❖
3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整 体感知 小说的 起点。 命题者 在为小 说命题 时,也必 定以情 节为出 发点,从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。
❖
4.根据结构来梳理。按照情节的开端 、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。
❖
5.根据场景来梳理。一般一个场景可 以梳理 为一个 情节。 小说中 的场景 就是不 同时间 人物活 动的场 所。
❖
6.根据线索来梳理。抓住线索是把握 小说故 事发展 的关键 。线索 有单线 和双线 两种。 双线一 般分明 线和暗 线。高 考考查 的小说 往往较 简单,线 索也一 般是单 线式。
北师大版八年级数学下册第一章1.2.1直角三角形的性质与判定课件
（3）一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等. 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？
与同伴交流.
1．在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称 为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆 命题．
2．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么 它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理 的逆定理，这两个定理称为互逆定理．
证明： 如图(2) ，作Rt △A′B′C′ ，使
∠A′＝90° A′B′＝AB, A′C′＝AC,
则A′B′ 2＋A′C′ 2 ＝B′C′ 2（勾股定理）. ∵AB2＋AC2＝BC2 ， ∴BC2 ＝ B′C′ 2. ∴BC ＝ B′C′. ∴△ABC≌ △A′B′C′ (SSS). ∴ ∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）. 因此， △ABC是直角三角形.
例3 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题 的真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果a＞b，那么a2＞b2； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.
导引：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题 的题设和结论部分互换，写出原命题的逆命题，最 后判断逆命题的真假．
AB·CD，
∴AC·BC＝AB·CD.又由方法一知AB＝15，
∴CD＝ 9 12 ＝ 36 ，即点C到AB的距离为 3 6 .
15 5
5
新知小结
应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求 线段的长更是简化了计算步骤，使解题过程变得 简明 易懂．
巩固新知
1 在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3， 求AB的长.
三角函数的应用-九年级数学下册课件(北师大版)
【详解】
解：设 = 米，由题意得： ⊥ ，∠ = 30°，∠ = 45°，
∴∠ = ∠ = 90°，∴ =
∵ + = = 100米，∴
3
3
3
3
=
3
3
米， = = 米，
+ = 100，解得： = 150 − 50 3，
参考数据： ≈1.414， ≈1.732
【详解】
解：在Rt△CDE中，
∵sin∠C= ，cos∠C=，
1
3
2
∴DE=sin30°×DC=2×14=7 m ，CE=cos30°×DC= ×14=7 3≈12.124≈12.12 m ，
∵四边形AFED是矩形，∴EF=AD=6m，AF=DE=7m，
解法2:如图,根据题意知,∠A=30º,∠DBC=60º,AB=50m.
则∠ADC=60º,∠BDC=30º, ∴∠BDA=30º
∴∠A=∠BDA∴BD=AB=50
在Rt△DBC中,∠DBC=60º则sin60º=
∴DC=50×sin60º=25 3 ≈43 m
答:该塔约有43m高
50
30º
50 m
∵直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半∴AC=240 m
∴设BD=x,则AB=2x，由勾股定理得2 = 2 + 2
B
α
A β
D
解得x= 40 3 m，同理求得DC= 120 3 m
则BC=BD+DC=160 3≈277 m 答：楼高277米
俯角
C
水平
线
情景引入
热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，
解：设 = 米，由题意得： ⊥ ，∠ = 30°，∠ = 45°，
∴∠ = ∠ = 90°，∴ =
∵ + = = 100米，∴
3
3
3
3
=
3
3
米， = = 米，
+ = 100，解得： = 150 − 50 3，
参考数据： ≈1.414， ≈1.732
【详解】
解：在Rt△CDE中，
∵sin∠C= ，cos∠C=，
1
3
2
∴DE=sin30°×DC=2×14=7 m ，CE=cos30°×DC= ×14=7 3≈12.124≈12.12 m ，
∵四边形AFED是矩形，∴EF=AD=6m，AF=DE=7m，
解法2:如图,根据题意知,∠A=30º,∠DBC=60º,AB=50m.
则∠ADC=60º,∠BDC=30º, ∴∠BDA=30º
∴∠A=∠BDA∴BD=AB=50
在Rt△DBC中,∠DBC=60º则sin60º=
∴DC=50×sin60º=25 3 ≈43 m
答:该塔约有43m高
50
30º
50 m
∵直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半∴AC=240 m
∴设BD=x,则AB=2x，由勾股定理得2 = 2 + 2
B
α
A β
D
解得x= 40 3 m，同理求得DC= 120 3 m
则BC=BD+DC=160 3≈277 m 答：楼高277米
俯角
C
水平
线
情景引入
热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，
北师大版八年级下册数学《直角三角形的性质与判定》课件(5)
命题: 如果一个三角形两边的平方和等于 第三边的平方,那么这个三角形是直角三角 形。
勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.
已知：如图，在△ABC中， AC2+AB2=BC2 求证：△ABC是直角三角形．
勾股定理的逆定理
已知：如图，在△ABC中， AC2+AB2=BC2 求证：△ABC是直角三角形．
跃跃欲试
4、如果一个三角形的三边分别是5、 12、13，则这个三角形是 三角 形。
跃跃欲试
5.（游戏）判断对错。 1）对顶角相等 2）内错角相等，两直线平行
43））全如等x三角y形，对则应x角2 相y2等
跃跃欲试
1．如图，已知∠α＝130°，则∠β 的度数为( )
A．30 B．40° C．50° D．65°
十任总统, 利用了梯形面积公式证明.
梯形的面积可以表示为
;
也可以表示为
.
验证方法四：青朱出入图
青出
青入 c
b
朱出
青方
朱方
青 出
a
朱入 青入
验证方法五：达·芬奇
A
a
B
F
O
Cb E D
Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ
A′ F′
B′
E′ C′
D′
Ⅰ
勾股定理: 直角三角形两条直角边的平方和 等于斜边的平方。
如果将条件和结论反过来，命题还成立吗？
北师大版教材数学八年级下册第一章
1.2.1直角三角形（1）
直角三角形的两个锐角互余。
A
已知：在Rt △ABC中，
∠C=90°.
求证：∠A+∠B=90° B
C
勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.
已知：如图，在△ABC中， AC2+AB2=BC2 求证：△ABC是直角三角形．
勾股定理的逆定理
已知：如图，在△ABC中， AC2+AB2=BC2 求证：△ABC是直角三角形．
跃跃欲试
4、如果一个三角形的三边分别是5、 12、13，则这个三角形是 三角 形。
跃跃欲试
5.（游戏）判断对错。 1）对顶角相等 2）内错角相等，两直线平行
43））全如等x三角y形，对则应x角2 相y2等
跃跃欲试
1．如图，已知∠α＝130°，则∠β 的度数为( )
A．30 B．40° C．50° D．65°
十任总统, 利用了梯形面积公式证明.
梯形的面积可以表示为
;
也可以表示为
.
验证方法四：青朱出入图
青出
青入 c
b
朱出
青方
朱方
青 出
a
朱入 青入
验证方法五：达·芬奇
A
a
B
F
O
Cb E D
Ⅰ
Ⅱ
Ⅱ
A′ F′
B′
E′ C′
D′
Ⅰ
勾股定理: 直角三角形两条直角边的平方和 等于斜边的平方。
如果将条件和结论反过来，命题还成立吗？
北师大版教材数学八年级下册第一章
1.2.1直角三角形（1）
直角三角形的两个锐角互余。
A
已知：在Rt △ABC中，
∠C=90°.
求证：∠A+∠B=90° B
C
初三下数学课件(北师版)-正弦、余弦
则( B )
A．甲山坡比乙山坡陡
B．乙山坡比甲山坡陡
C．两个山坡一样陡
D．无法确定
5．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AM 是 BC 边上的中线，sin∠CAM
＝53，则 tanB 的值为
2 3
.
6．某人沿倾斜角为 β 的斜坡前进 200 米，则他上升的最大高度是 200sinβ 米．
7．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3 cm，tan∠B＝43，求 sin∠B 的 值．
14．如图 E 是矩形 ABCD 中 CD 边上一点，△BCE 沿 BE 折叠为△BFE， 点 F 落在 AD 上． (1)求证：△ABF∽△DFE； (2)若 sin∠DFE＝13，求 tan∠EBC 的值．
(1)证明：由题意可得∠A＝∠D＝∠C＝∠BFE＝90°，∴∠ABF＝90°－∠ AFB，∠DFE＝180°－∠BFE－∠AFB＝90°－∠AFB，∴∠ABF＝∠DFE， ∴△ABF∽△DFE；
解：过 C 点作 CD⊥BA 于 D，由 tanB＝1，得 BD＝CD.∵BC＝2，∴CD＝ 2，∴AD＝ 23，∴cosA＝AADC＝ 523.
1．(孝感中考)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则 cosB 等于( A )
3 A.5 C．34
B．54 D．43
2．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点 D，则下列结论不 正确的是( C )
A．①② C．①③
B．②③ D．①②③
9．如图，菱形 ABCD 的周长为 20 cm，DE⊥AB，垂足为 E，cosA＝45，则 下列结论中正确的个数为( A )
①DE＝3 cm；②EB＝1 cm；③S 菱形 ABCD＝15 cm2.
北师大版数学八年级下册第1课时直角三角形的性质与判定课件(共21张)
1 直角三角形的性质与判定
问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
△ABC 是直角三角形， ∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A +∠B = 90°. 又∵∠C = 90°，
问题2：如果一个三角形有两个角互余，那 么这个三角形是直角三角形吗? 为什么?
∵∠A +∠B +∠C = 180°， 又∵∠A +∠B = 90°， ∴∠C = 90°. ∴△ABC 是直角三角形 定理1 直角三角形的两个锐角互余.
b ca
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形 = 4× 1 ab + c2
2
cb a
= c2 + 2ab， ∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab， ∴ a2 +b2 = c2.
证法2 赵爽弦图
大正方形的面积可以表示为 c 2 ；
也可以表示为
4×1
2
ab
+
(
b
-
a
)
2
．
a
c
一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等.
视察上面三组命题，你发现了什么?
归纳总结
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命 题称为互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题 就叫做它的逆命题.
想一想
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们
上面两个定理的条件和结 论有什么关系？
3 互逆命题与互逆定理
合作探究
视察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件 和结论之间有怎样的关系?
问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
△ABC 是直角三角形， ∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A +∠B = 90°. 又∵∠C = 90°，
问题2：如果一个三角形有两个角互余，那 么这个三角形是直角三角形吗? 为什么?
∵∠A +∠B +∠C = 180°， 又∵∠A +∠B = 90°， ∴∠C = 90°. ∴△ABC 是直角三角形 定理1 直角三角形的两个锐角互余.
b ca
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形 = 4× 1 ab + c2
2
cb a
= c2 + 2ab， ∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab， ∴ a2 +b2 = c2.
证法2 赵爽弦图
大正方形的面积可以表示为 c 2 ；
也可以表示为
4×1
2
ab
+
(
b
-
a
)
2
．
a
c
一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等.
视察上面三组命题，你发现了什么?
归纳总结
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命 题称为互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题 就叫做它的逆命题.
想一想
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们
上面两个定理的条件和结 论有什么关系？
3 互逆命题与互逆定理
合作探究
视察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件 和结论之间有怎样的关系?
直角三角形性质应用(弦图)(北师版)
第1题 2. CF=3，则 AB 的长为( 3. )
第2题
第3题
如图，过正方形 ABCD 的顶点 B 作直线 l，分别过点 A，C 作直线 l 的垂线，垂足分别为 E，F．若 AE=2， A.5 B. 15 C. 13 D. 10 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90° ，AB=6，BC=8，以斜边 AC 为边作正方形 ACDE， 连接 BE，则 BE 的长是( ) A.10 B. 2 58 C. 15 2 D. 4 13 直线 l 上依次摆放着三个正方形，它们的摆放关系如图所示，所构成的四个小三角形的面积分别为 ) S1 , S2 , S3 , S4 ，则 S1 , S2 , S3 , S4 的大小关系是(
直角三角形性质应用（弦图）（北师版）
一、单选题(共 7 道，每道 12 分) 1. 如图所示是用 4 个全等的直角三角形与 1 个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为 64， 小正方形的面积为 9，若用 x，y 表示直角三角形的两直角边 ( x y) ，下列四个说法： ① x2 y 2 64 ，② x y 3 ，③ 2 xy 9 64 ，④ x y 11 ．其中说法正确的是( A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ )
A.90
B.100C.Βιβλιοθήκη 10D.1216.
如图，四边形 ABCD 为正方形，O 为 AC，BD 的交点，△DCE 为直角三角形， ∠CED=90° ，∠DCE=30° ，若 OE A.5 B.4 C.3 D.2
6 2 ，则正方形 ABCD 的面积为( 2
)
7.
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90° ，AC=BC=10，CD 是射线，∠BCF=60° ， 点 D 在 AB 上，AF，BE 分别垂直于 CD（或延长线）于 F，E，则 EF 的长为( )
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直角三角形性质应用（弦图）（北师版）
一、单选题(共 7 道，每道 12 分) 1. 如图所示是用 4 个全等的直角三角形与 1 个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为 64， 小正方形的面积为 9，若用 x，y 表示直角三角形的两直角边 ( x y) ，下列四个说法： ① x2 y 2 64 ，② x y 3 ，③ 2 xy 9 64 ，④ x y 11 ．其中说法正确的是( A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ )
A.5 B. 10 5 3 C. 5 3 5 D. 5 3 二、填空题(共 1 道，每道 16 分) 8. 如图， △ABC 为等边三角形， D 为 BC 边上一点， DE⊥AB 于 E， DF⊥AC 于 F， 若 DE 11 3 ，DF 19 3 ， 则△ABC 的周长为____．
第1题 2. CF=3，则 AB 的长为( 3. )
第2题
第3题
如图，过正方形 ABCD 的顶点 B 作直线 l，分别过点 A，C 作直线 l 的垂线，垂足分别为 E，F．若 AE=2， A.5 B. 15 C. 13 D. 10 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90° ，AB=6，BC=8，以斜边 AC 为边作正方形 ACDE， 连接 BE，则 BE 的长是( ) A.10 B. 2 58 C. 15 2 D. 4 13 直线 l 上依次摆放着三个正方形，它们的摆放关系如图所示，所构成的四个小三角形的面积分别为 ) S1 , S2 , S3 , S4 ，则 S1 , S2 , S3 , S4 的大小关系是(
A.90
B.100
C.110
D.121
6.
如图，四边形 ABCD 为正方形，O 为 AC，BD 的交点，△DCE 为直角三角形， ∠CEDБайду номын сангаас90° ，∠DCE=30° ，若 OE A.5 B.4 C.3 D.2
6 2 ，则正方形 ABCD 的面积为( 2
)
7.
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90° ，AC=BC=10，CD 是射线，∠BCF=60° ， 点 D 在 AB 上，AF，BE 分别垂直于 CD（或延长线）于 F，E，则 EF 的长为( )
4.
A. S1 S2 S3 S4 B. S1 S2 S3 S4 C. S1 S2 S3 S4 D. S1 S2 S3 S4 5. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如 图 1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图 2 是将图 1 放入 矩形内得到的，∠BAC=90° ，AB=3，AC=4，点 D，E，F，G，H，I 都在矩形 KLMJ 的边上，则矩形 KLMJ 的面积为( )
一、单选题(共 7 道，每道 12 分) 1. 如图所示是用 4 个全等的直角三角形与 1 个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为 64， 小正方形的面积为 9，若用 x，y 表示直角三角形的两直角边 ( x y) ，下列四个说法： ① x2 y 2 64 ，② x y 3 ，③ 2 xy 9 64 ，④ x y 11 ．其中说法正确的是( A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ )
A.5 B. 10 5 3 C. 5 3 5 D. 5 3 二、填空题(共 1 道，每道 16 分) 8. 如图， △ABC 为等边三角形， D 为 BC 边上一点， DE⊥AB 于 E， DF⊥AC 于 F， 若 DE 11 3 ，DF 19 3 ， 则△ABC 的周长为____．
第1题 2. CF=3，则 AB 的长为( 3. )
第2题
第3题
如图，过正方形 ABCD 的顶点 B 作直线 l，分别过点 A，C 作直线 l 的垂线，垂足分别为 E，F．若 AE=2， A.5 B. 15 C. 13 D. 10 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90° ，AB=6，BC=8，以斜边 AC 为边作正方形 ACDE， 连接 BE，则 BE 的长是( ) A.10 B. 2 58 C. 15 2 D. 4 13 直线 l 上依次摆放着三个正方形，它们的摆放关系如图所示，所构成的四个小三角形的面积分别为 ) S1 , S2 , S3 , S4 ，则 S1 , S2 , S3 , S4 的大小关系是(
A.90
B.100
C.110
D.121
6.
如图，四边形 ABCD 为正方形，O 为 AC，BD 的交点，△DCE 为直角三角形， ∠CEDБайду номын сангаас90° ，∠DCE=30° ，若 OE A.5 B.4 C.3 D.2
6 2 ，则正方形 ABCD 的面积为( 2
)
7.
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90° ，AC=BC=10，CD 是射线，∠BCF=60° ， 点 D 在 AB 上，AF，BE 分别垂直于 CD（或延长线）于 F，E，则 EF 的长为( )
4.
A. S1 S2 S3 S4 B. S1 S2 S3 S4 C. S1 S2 S3 S4 D. S1 S2 S3 S4 5. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如 图 1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图 2 是将图 1 放入 矩形内得到的，∠BAC=90° ，AB=3，AC=4，点 D，E，F，G，H，I 都在矩形 KLMJ 的边上，则矩形 KLMJ 的面积为( )