梁正应力

8 hb2
12MPa
6
例题3：图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝
2m。T形截面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝
1.02×108mm4。求弯矩最大截面上的最大拉应力和y最大压应力。
F
150
A
B
L
L
2
2
M max
FL 4
16kNm
y max
200
mn
mn
o
d
y
dx
1、几何关系：
yd dຫໍສະໝຸດ Baidu
d
y
2、物理关系：
E
E
y
(a)
3、静力学关系：
FN
dA E
A
ydA
A
0
M
m
y
Mz
中性轴 M y
n
dA y z
zdA E
A
zydA 0
A
o
M z ydA E y2dA EIZ
A
A
mn
dx
1 M Z (b)
例题1:长为L的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F， 已知b＝120mm，h＝180mm、L＝2m，F＝1.6kN，试
求B截面上a、b、c各点的正应力。
A L2
F
h6
B
C
L2
h2
()
1 FL h
FL
a
M B ya IZ
2 bh3
3
1.65MPa
b 0
c
M B yc IZ
12
1 FL h
2 bh3
o
z
y
同理：
I y z2dA
A
b 2
z 2 hdz
h
z3
b 2
3
b 2
b 2
hb3 12
2 圆截面惯性矩、极惯性矩计算
dA 2πd
y
dA
d
I y
Iz
IP 2
1 2
d
2 2dA
0
C
z
1
d 2
2 2π d
πd 4
20
64
d
Ip
Iy
Iz
πd 4 32
正应力公式应用说明： 1）可以从矩形截面推广到其它截面； 2）可以推广到非纯弯曲； 3）仅适应平面弯曲，且应力小于比例极限。
单向受拉、压假设:
设各纵向纤维之间互不挤压， 每一根纵向纤维均处于单向拉伸、 或压缩。
3 中性层、中性轴
F
F
mn
o1
o2
m
n
中性层
中性轴
由连续性假设，存在 着一层既不伸长，也不缩 短的纵向纤维层，称为中 性层。
中性层与横截面的交 线称为中性轴。梁弯曲时， 梁横截面绕各自中性轴旋 转。
纯弯曲时梁的正应力公式推导
EI Z
由(a)(b)式得 M z y
Iz
其中 MZ:横截面上的弯矩 y:到中性轴的距离
IZ:截面对中性轴的惯性矩
计算梁截面上的应力公式：
M
Mzy
Iz
max
Mz Wz
M
中性轴
1 矩形截面惯性矩的计算
b
h
dy y
Iz
y2dA
h
2 y2bdy
A
h 2
y3 b
3
h 2
h 2
bh3 12
一 基本概念与假设
1 纯弯曲与横力弯曲 纯纯弯弯曲曲：: 横截面上弯矩为常量，而切力为零。
A
横横力力弯弯曲曲：: 横截面上既有弯矩，又有切力。
FF
a C Da B F
F Fa
2 平面假设与单向受拉、压假设
F
F
平面假设:
梁弯曲变形后， 其横截面仍保持为一 平面，并仍与变形后 梁的轴线垂直，只是 转了一个角度。
50
96.4 153.6mm
y max
96.4mm
50
96.4
z
200
C
50
max
Mym ax IZ
24.09MPa
max
Mym ax IZ
15.12MPa
作业：刘鸿文，《材料力学》（第五版） 5-1；5-3
2
2.47MPa （-）
12
a
bh
c b
1 M B 2 FL
IZ
bh3 12
例题2：试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的 最大正应力，并加以比较。
q 2 kN m
200
100
4m qL2
200 100
8
竖放
qL2
max
M max WZ
8 bh2
6MPa
横放
6
qL2
max
M max WZ