初成都七中九年级上期末考试数学试题及答案
四川省成都市第七中学初中学校2023-2024学年九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2023-2024学年四川省成都七中初中学校九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共32分）1．（4分）下列几何体中，从正面看和从左面看形状相同的几何体有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（4分）下列说法正确的是（ ）A．菱形的对角线相等B．矩形的对角线相等且互相平分C．平行四边形是轴对称图形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形3．（4分）方程5x2﹣1＝4x的二次项系数和一次项系数分别为（ ）A．5和4B．5和﹣4C．5和﹣1D．5和14．（4分）两个矩形按如图所示方式放置，若∠1＝150°，则∠2＝（ ）A．15°B．30°C．45°D．60°5．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC，交BC 于点E，若AC＝4，BD＝6，则CE的长度是（ ）A．B．C．D．6．（4分）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，配得紫色的概率为（ ）A．B．C．D．7．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AE：DE＝1：2，连接AC，BE 交于点F，则S△AEF：S△BCF＝（ ）A．1：3B．1：4C．1：2D．1：98．（4分）函数和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共20分）9．（4分）已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 ．10．（4分）若A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数的图象上，且y1＞y2＞0，则x1 x2（选填“＞”，“＜”或“＝”）．11．（4分）如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．该同学将一个平面镜水平放置在点P处，从点A射入的光线经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，测得AB＝1.5m，BP＝2m，DP＝6m，则古城墙的高度CD是 米．12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（8，2）、（16，4），若点A的坐标为（5，6），则点A′的坐标为 ．13．（4分）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为5cm2，则OC的长为 cm．三、解答题（共48分）14．（12分）解方程：（1）2x2+3＝﹣7x；（2）x2﹣6x+2＝0．15．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c+3＝0有两个不相等的实数根．（1）若该方程的一个实数根为﹣1，求另一个实数根；（2）若该方程的两个不相等的实数根为α和β，且，求c的值．16．（10分）我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．（1）参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ；（2）补全条形统计图；（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．17．（8分）如图，已知△ABC∽△ACD．（1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，求∠ADC的度数；（2）若AD＝3，BD＝5，求AC的长．18．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A （﹣1，6），与x轴交于点C，且∠ACO＝45°．（1）求反比例函数与一次函数关系式；（2）点D是线段AC上一点，且∠AOD＝45°，求出D点坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴上找一点P，使△ODP的面积与△AOD的面积相等，直接写出点P的坐标．一、填空题（每小题4分，共20分）19．（4分）已知a，b是方程x2+x﹣1＝0的两个根，则ab﹣2024a﹣2024b的值是 ．20．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，以C为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点D，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，则＝ ．21．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P、Q分别为AB、BC上的动点，将△PQB沿PQ折叠，使点B们对应点D恰好落在边AC上，当△APD与△ABC 相似时，AP的长为 ．22．（4分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的边OA在y轴上，OB在x轴上，反比例函数y＝（k≠0）与斜边AB交于点C、D，连接OD，若AC：CD＝2：3，S△OBD＝，则k的值为 ．23．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形OABC 是边长为3的正方形，反比例函数的图象与BC，AB边分别交于E，D两点，△DOE的面积为4，点P为y轴上一点，则PD+PE的最小值为 ．二、解答题（共30分）24．（8分）某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．（1）求销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；（2）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？25．（10分）【基础巩固】（1）如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ADB＝∠DCB，求证：BD2＝BA•BC；【尝试应用】（2）如图2，四边形ABCD为平行四边形，F在AD边上，AB＝AF，点E在BA延长线上，连结EF，BF，CF，若∠EFB＝∠DFC，BE＝5，BF＝6，求AD的长；【拓展提高】（3）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，连结AD，点E，F分别在AD，AC上，连结BE，CE，EF，若DE＝DC，∠BEC＝∠AEF，BE＝24，EF＝10，，求的值．26．（12分）如图1，y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（8，1）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当四边形OCAD的面积等于24时，求点C的坐标；（3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D ′，若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上，是否在此反比例函数图象上存在点M，使得∠O′CM＝∠O′CC′，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．2023-2024学年四川省成都七中初中学校九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共32分）1．（4分）下列几何体中，从正面看和从左面看形状相同的几何体有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】分别判断这四个几何体从正面看和从左面看的形状，进而求解．【解答】解：球从正面看和从左面看都是圆，形状相同；三棱柱从正面看是长方形，从左面看是三角形，形状不同；圆锥从正面看和从左面看都是三角形，形状相同；圆柱从正面看和从左面看都是长方形，形状相同；综上，从正面看和从左面看形状相同的几何体有3个；故选：C．【点评】本题考查了从不同方向看几何体，正确判断从正面看和从左面看的形状是关键．2．（4分）下列说法正确的是（ ）A．菱形的对角线相等B．矩形的对角线相等且互相平分C．平行四边形是轴对称图形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【分析】利用平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的性质，正方形的判定依次判断可求解．【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直，故选项A不符合题意；B、矩形的对角线相等且互相平分，故选项B符合题意；C、平行四边形不一定是轴对称图形，故选项C不符合题意；D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故选项D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，菱形的性质，正方形的判定等知识，灵活运用这些判定和性质解决问题是解题的关键．3．（4分）方程5x2﹣1＝4x的二次项系数和一次项系数分别为（ ）A．5和4B．5和﹣4C．5和﹣1D．5和1【分析】根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0），a、b、c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项，选择答案即可．【解答】解：∵将方程5x2﹣1＝4x整理得：5x2﹣4x﹣1＝0，∴二次项系数为5，一次项系数为﹣4，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解题的关键．4．（4分）两个矩形按如图所示方式放置，若∠1＝150°，则∠2＝（ ）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】根据各角度与直角的关系直接求解即可．【解答】解：由图可知∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣150°＝30°，因为四边形是矩形，即∠5＝90°，所以∠4＝90°﹣30°＝60°，所以∠2＝90°﹣60°＝30°，故选：B．【点评】此题考查矩形的性质，解题关键是灵活使用直角和平角．5．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC，交BC 于点E，若AC＝4，BD＝6，则CE的长度是（ ）A．B．C．D．【分析】由菱形的性质推出AC⊥BD，OC＝AC＝2，OB＝BD＝3，由勾股定理求出BC＝＝，由菱形的面积公式得到BC•AE＝AC•BD，即可求出AE＝，由勾股定理即可得到CE＝＝．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC＝AC，OB＝BD，∵AC＝4，BD＝6，∴OC＝2，OB＝3，∴BC＝＝，∵AE⊥BC，∴菱形的面积＝BC•AE＝AC•BD，∴AE＝×4×6，∴AE＝，∴CE＝＝．故选：C．【点评】本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是由菱形的面积公式得到BC•AE＝AC •BD，求出AE的长．6．（4分）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，配得紫色的概率为（ ）A．B．C．D．【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和配得紫色的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：根据两个转盘的形状，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中转到红色和蓝色的结果有5种，∴配得紫色的概率＝，故选：D．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．7．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AE：DE＝1：2，连接AC，BE 交于点F，则S△AEF：S△BCF＝（ ）A．1：3B．1：4C．1：2D．1：9【分析】根据平行四边形得出AD∥BC，可证△AFE∽△CFB，再根据相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△AFE∽△CFB，∵AE：DE＝1：2，∴AE：AD＝1：3＝AE：BC，∴△AFE与△CFB的相似比为1：3，∴S△AEF：S△BCF＝1：9．故选：D．【点评】本题考查了平行四边形性质和相似三角形判定与性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．8．（4分）函数和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A．B．C．D．【分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．【解答】解：在函数（k≠0）和y＝﹣kx+2（k≠0）中，当k＞0时，函数（k≠0）的图象位于第一、三象限，函数y＝﹣kx+2的图象位于第一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确，当k＜0时，函数（k≠0）的图象位于第二、四象限，函数y＝﹣kx+2的图象位于第一、二、三象限，故选项C错误，故选：D．【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．二、填空题（每小题4分，共20分）9．（4分）已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 1 ．【分析】先根据根的判别式△的值为0，进而得出等式求出即可．【解答】解：∵方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×k＝4﹣4k＝0，解得：k＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了根的判别式，根据已知得出b2﹣4ac＝0得出是解题关键．10．（4分）若A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数的图象上，且y1＞y2＞0，则x1 ＜ x2（选填“＞”，“＜”或“＝”）．【分析】先判断出点A、B在第三象限，再根据反比例函数的增减性判断．【解答】解：∵k＝2024＞0，y1＞y2＞0，∴点A、B在第一象限，且在同一象限内，y随x的增大而减小，∴x1＜x2．故答案为：＜．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的增减性只指在同一象限内是解题的关键．11．（4分）如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．该同学将一个平面镜水平放置在点P处，从点A射入的光线经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，测得AB＝1.5m，BP＝2m，DP＝6m，则古城墙的高度CD是 4.5 米．【分析】根据题意可得∠APB＝∠CPD，根据垂直定义可得∠ABD＝∠CDB＝90°，从而可证△ABP∽△CDP，然后利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：∠APB＝∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°，∴△ABP∽△CDP，∴＝，∴＝，∴CD＝4.5，∴该古城墙的高度CD是4.5m，故答案为：4.5．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（8，2）、（16，4），若点A的坐标为（5，6），则点A′的坐标为 （10，12） ．【分析】根据点B、B′的坐标求出△ABC和△A′B′C′的位似比，根据位似变换的性质计算，得到答案．【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B ′的坐标分别为（8，2）、（16，4），∴△ABC和△A′B′C′的位似比为1：2，∵点A的坐标为（5，6），∴点A′的坐标为（5×2，6×2），即（10，12），故答案为：（10，12）．【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k．13．（4分）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为5cm2，则OC的长为 5 cm．【分析】四边形OACB的四条边都相等，则这个四边形是菱形．AB和OC是菱形OACB的两条对角线，则根据菱形的面积＝AB×OC求解即可．【解答】解：根据作图方法，可得AC＝BC＝OA，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝BC＝AC，∴四边形OACB是菱形．∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为5cm2，∴AB×OC＝×2×OC＝5，解得OC＝5（cm）．故答案为：5．【点评】本题侧重考查尺规作图，掌握四边相等的四边形是菱形、对角线相互垂直的四边形的面积是其两条对角线乘积的一半是解决此题的关键．三、解答题（共48分）14．（12分）解方程：（1）2x2+3＝﹣7x；（2）x2﹣6x+2＝0．【分析】（1）方程整理后，利用公式法求出解即可；（2）方程整理后，利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：2x2+7x+3＝0，这里a＝2，b＝7，c＝3，∵Δ＝49﹣24＝25＞0，∴x＝＝，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣；（2）方程整理得：x2﹣6x＝﹣2，配方得：x2﹣6x+9＝﹣2+9，即（x﹣3）2＝7，开方得：x﹣3＝±，解得：x1＝3+，x2＝3﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．15．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c+3＝0有两个不相等的实数根．（1）若该方程的一个实数根为﹣1，求另一个实数根；（2）若该方程的两个不相等的实数根为α和β，且，求c的值．【分析】（1）设另一个实数根为m，根据一元二次方程根与系数的关系可得﹣1+m＝4，求出m的值即可；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得α+β＝4，αβ＝c+3，把变形为，然后代入即可．【解答】解：（1）设关于x的一元二次方程x2﹣4x+c+3＝0另一个实数根为m，根据题意得：﹣1+m＝4，∴m＝5，即另一个实数根为5；（2）∵方程的两个不相等的实数根为α和β，∴α+β＝4，αβ＝c+3，∴，解得c＝﹣4或1，当c＝﹣4时，Δ＝20＞0；当c＝1时，Δ＝0（不符合题意，舍去）．综上可得，c的值为﹣4．【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．16．（10分）我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．（1）参加比赛的学生人数共有 20 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 72 度，图中m的值为 40 ；（2）补全条形统计图；（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，用360°乘以D等级对应比例可得其圆心角度数，根据百分比的概念可得m的值；（2）求出等级B的人数，补全条形统计图即可；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，即可求出所求的概率．【解答】（1）解：根据题意得：总人数为：3÷15%＝20（人），表示“D等级”的扇形的圆心角为；C等级所占的百分比为，所以m＝40，故答案为：20，72，40．（2）解：等级B的人数为20﹣（3+8+4）＝5（人），补全统计图，如图所示：（3）解：根据题意，列出表格，如下：男女1女2男女1、男女2、男女1男、女1女2、女1女2男、女2女1、女2共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种，所以恰是一男一女的概率为．【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图以及列表法与树状图法，弄清题意，从条形图和扇形图得到解题所需数据是解本题的关键．17．（8分）如图，已知△ABC∽△ACD．（1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，求∠ADC的度数；（2）若AD＝3，BD＝5，求AC的长．【分析】（1）直接利用相似三角形的性质得出∠ACD＝∠B，再结合已知条件得出答案；（2）利用相似三角形的性质得出＝，进而得出答案．【解答】解：（1）∵△ABC∽△ACD，∴∠ACD＝∠B，∵CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，∴∠ACD＝∠DCB＝∠B＝35°，∴∠ADC＝35°+35°＝70°；（2）∵△ABC∽△ACD，∴＝，∵AD＝3，BD＝5，∴＝，解得：AC＝2．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形的性质是解题关键．18．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A （﹣1，6），与x轴交于点C，且∠ACO＝45°．（1）求反比例函数与一次函数关系式；（2）点D是线段AC上一点，且∠AOD＝45°，求出D点坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴上找一点P，使△ODP的面积与△AOD的面积相等，直接写出点P的坐标．【分析】（1）将A（﹣1，6）代入可求出k的值，作AE⊥x轴，交x轴于点E．则E（﹣1，0），EA＝6，根据等腰直角三角形的性质得出CE＝AE＝6，即C（5，0），然后据待定系数法即可求得一次函数解析式；（2）设直线AC与y轴交于E，由（1）知直线AC的解析式为y＝﹣x+5，过D作DF⊥x轴于F，求得CF＝DF，设OF＝x，则CF＝5﹣x，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论；（3）过A作AP∥OD交x轴于P，则△ODP的面积与△AOD的面积相等，求得直线OD的解析式为y＝x，设直线AP的解析式为y＝x+b，得到直线AP的解析式为y＝x+，解方程即可得到结论．【解答】解：（1）作AB⊥x轴于点B，由点A（﹣1，6）可知，m＝﹣6，AB＝6，OB＝1．又∠ACO＝45°，AB＝CB，∴OC＝5．即C（5，0），∴，∴，∴反比例函数的解析式为，一次函数关系式为y＝﹣x+5；（2）设直线AC与y轴交于E，由（1）知直线AC的解析式为y＝﹣x+5，∴E（0，5），C（5，0），∴OC＝OE＝5，过D作DF⊥x轴于F，∴CF＝DF，设OF＝x，则CF＝5﹣x，∴OD2＝OF2+DF2＝x2+（5﹣x）2，CD＝CF＝（5﹣x），∵CE＝OC＝5，∴DE﹣CE﹣CD＝5﹣（5﹣x）＝x，∵AC＝AB＝6，∴AD＝6﹣（5﹣x）＝x，∵∠AOD＝∠OED＝45°，∠ADO＝∠ODE，∴△ADO∽△ODE，∴，∴OD2＝AD•DE，∴x2+（5﹣x）2＝（x）×x，解得x＝，∴OF＝，DF＝5﹣＝，∴；（3）过A作AP∥OD交x轴于P，则△ODP的面积与△AOD的面积相等，∵；∴直线OD的解析式为y＝x，∴设直线AP的解析式为y＝x+b，∵点A（﹣1，6），∴6＝﹣+b，∴b＝，∴直线AP的解析式为y＝x+，当y＝0时，x＝﹣，∴P（﹣，0），∴OP＝，当点P在x轴的正半轴上时，P（，0），综上所述，P（，0）或（﹣，0）．【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质等，解题关键是数形结合思想的应用．一、填空题（每小题4分，共20分）19．（4分）已知a，b是方程x2+x﹣1＝0的两个根，则ab﹣2024a﹣2024b的值是 2023 ．【分析】先根据根与系数的关系得到a+b＝﹣1，ab＝﹣1，再把ab﹣2024a﹣2024b变形为ab﹣2024（a+b），然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣1＝0的两个根，∴a+b＝﹣1，ab＝﹣1，∴ab﹣2024a﹣2024b＝ab﹣2024（a+b）＝﹣1﹣2024×（﹣1）＝2023．故答案为：2023．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．20．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，以C为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点D，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，则＝ ．【分析】由作法得CD＝CB＝2，AE＝AD，先利用勾股定理计算出AC＝2，则AD＝2﹣2，所以AE＝2﹣2，再计算出BE＝6﹣2，然后计算的值．【解答】解：由作法得CD＝CB＝2，AE＝AD，∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，∴AC＝＝2，∴AD＝AC﹣CD＝2﹣2，∴AE＝2﹣2，∴BE＝AB﹣AE＝4﹣（2﹣2）＝6﹣2，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．21．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P、Q分别为AB、BC上的动点，将△PQB沿PQ折叠，使点B们对应点D恰好落在边AC上，当△APD与△ABC 相似时，AP的长为 或 ．【分析】根据直角三角形的性质可得AB＝5，当△APD与△ABC相似时，设AP＝x，则PB＝PD＝5﹣x，分两种情况：①△APD∽△ABC，②△APD∽△ACB，分别列方程求解即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴，当△APD与△ABC相似时，∵点D始终在边AC上，根据折叠PB＝PD，设AP＝x，则PB＝PD＝5﹣x，∴分两种情况：①△APD∽△ABC，此时∠ADP＝∠ACB＝90°，∴，即，解得，∴，②△APD∽△ACB，此时∠APD＝∠ACB＝90°，∴，即，解得，∴，综上，AP的长为或，故答案为：或．【点评】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定，折叠的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键，注意△APD与△ABC相似要分情况讨论．22．（4分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的边OA在y轴上，OB在x轴上，反比例函数y＝（k≠0）与斜边AB交于点C、D，连接OD，若AC：CD＝2：3，S△OBD＝，则k的值为 5 ．【分析】过点D作DE⊥OA于点E，过点C做CF⊥OA于点F，设D（m，n），则DE＝m，OE＝n，利用相似三角形的判定与性质求得线段DE的长度，则点C的坐标可得，利用待定系数法求得直线AB的解析式，进而求得点B坐标，利用三角形的面积公式解答即可得出结论．【解答】解：过点D作DE⊥OA于点E，过点C做CF⊥OA于点F，如图，设D（m，n），则DE＝m，OE＝n，∵点D在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝mn．∵DE⊥OA，CF⊥OA，∴DE∥CF，∴△ACF∽△ADE，∴，∵AC：CD＝2：3，∴AC：AD＝2：5，∴，∴CF＝m．∵点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴C（m，n），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x+n．令y＝0，则x+n＝0，∴x＝m，∴B（m，0）．∴OB＝m．∵S△OBD＝，∴OB•OE＝，∴m•n＝，∴mn＝5，∴k＝mn＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，利用点的坐标表示出相应线段的线段是解题的关键．23．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形OABC 是边长为3的正方形，反比例函数的图象与BC，AB边分别交于E，D两点，△DOE的面积为4，点P为y轴上一点，则PD+PE的最小值为 ．【分析】根据正方形的性质得点D的横坐标为3，点E的纵坐标为3，进而得点D，点E，则AD＝，CE＝，BE＝，BD＝，再根据△DOE 的面积为4，得3×3﹣×3×﹣﹣×3×＝4，由此求出k＝3，则点D （3，1），点E（1，3），在BC的延长线上取一点M，使CM＝CE，连接DM交y轴于点N，根据点E，M关于OC对称，得当点P与点N重合时，PE+PD的值的为最小，最小值为线段MD的长．然后在Rt△MBD中，由勾股定理求出MD的长即得PE+PD的最小值．【解答】解：∵四边形OABC为正方形，且边长为3，∴OA＝AB＝BC＝OC＝3，AB⊥OA，BC⊥OC，∠B＝90°，∴点D的横坐标为3，点E的纵坐标为3，∵点D，E在反比例函数（k＞0）的图象上，∴点D的坐标为，点E的坐标为，∴AD＝，CE＝，∴BE＝BC﹣CE＝，BD＝AB﹣AD＝，∵△DOE的面积为4，∴S△DOE＝S正方形OABC﹣S△OAD﹣S△BDE﹣S△OCE＝4，∴3×3﹣×3×﹣﹣×3×＝4，整理得：，解得：k＝3，或k＝﹣3（不合题意，舍去），∴点D（3，1），点E（1，3），∴AD＝＝1，CE＝1，∴BD＝2，BE＝2在BC的延长线上取一点M，使CM＝CE，连接DM交y轴于点N，如图所示：∵BC⊥OC，CM＝CE＝1，∴点E，M关于OC对称，∴当点P与点N重合时，PE+PD的值的为最小，最小值为线段MD的长．在Rt△MBD中，BD＝2，BM＝BC+CM＝3+1＝4，由勾股定理得：MD＝＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了反比例函数的图形，利用轴对称求最短路线，理解理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握利用轴对称求最短路线的方法与技巧是解决问题的关键．二、解答题（共30分）24．（8分）某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．（1）求销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；（2）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？【分析】（1）利用日销售量＝20+2×（110﹣售价），即可找出日销售量y（件）与售价x （元/件）的函数关系式；（2）利用电商每天销售该产品获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解（1）根据题意得：y＝20+2（110﹣x）＝﹣2x+240，∵该产品的进货价为70元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，∴日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为y＝﹣2x+240（70≤x≤99）；（2）根据题意得：（x﹣70）（﹣2x+240）＝1200，解得：x1＝90，x2＝100（不符合题意，舍去）．答：该产品的售价每件应定为90元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是根据题意找准等量关系，正确列出一元二次方程．25．（10分）【基础巩固】（1）如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ADB＝∠DCB，求证：BD2＝BA•BC；【尝试应用】（2）如图2，四边形ABCD为平行四边形，F在AD边上，AB＝AF，点E在BA延长线上，连结EF，BF，CF，若∠EFB＝∠DFC，BE＝5，BF＝6，求AD的长；【拓展提高】（3）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，连结AD，点E，F分别在AD，AC上，连结BE，CE，EF，若DE＝DC，∠BEC＝∠AEF，BE＝24，EF＝10，，求的值．【分析】（1）证明△ABD∽△DBC，根据相似三角形的性质即可得证；（2）根据平行四边形的性质得出∠AFB＝∠FBC，∠DFC＝∠FCB，进而证明△EBF∽△FBC，得出BC＝，即可求解；（3）过点C作CM∥AD交EF的延长线于点M，证明△ECM∽△BCE，得出EM＝16，继而证明△AFE∽△CFM，根据相似三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ADB＝∠DCB，∴△ABD∽△DBC，∴，∴BD2＝BA•BC；（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠AFB＝∠FBC，∠DFC＝∠FCB，∵AB＝AF，∴∠AFB＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∵∠DFC＝∠FCB，∠EFB＝∠DFC，∴∠EFB＝∠FCB，∴△EBF∽△FBC，∴，解得：BC＝，∴AD＝；（3）解：过点C作CM∥AD交EF的延长线于点M，∵∠AEF+∠CEF+∠DEC＝180°，∠BEC+∠CBE+∠BCE＝180°，∴∠CEF＝180°﹣∠AEF﹣∠DEC，∠CBE＝180°﹣∠BEC﹣∠BCE，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∴∠CEF＝∠CBE，∵CM∥AD，∴∠DEC＝∠ECM，∵∠DEC＝∠DCE，∴∠ECM＝∠DCE，∴△ECM∽△BCE，∴，∵BE＝12，∴EM＝16，∵EF＝10，∴FM＝16﹣10＝6，∵CM∥AD，∴△AFE∽△CFM，∴．【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．26．（12分）如图1，y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（8，1）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当四边形OCAD的面积等于24时，求点C的坐标；（3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D ′，若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上，是否在此反比例函数图象上存在点M，使得∠O′CM＝∠O′CC′，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）设C（a，a﹣3）（0＜a＜8），则D（a，），根据四边形的面积构建方程即可解决问题；（3）分两种情况：当点M位于∠OCC′内部时，延长CN交反比例函数于M；当点M 位于∠O′CC′外部时，作O′N'⊥CM'于N′，连接NN′，分别求解即可．【解答】解：（1）把点A（8，1）分别代入y＝kx﹣3和y＝中，得，1＝8k﹣3，1＝，解得：k＝，m＝8，∴一次函数的表达式为y＝x﹣3，反比例函数的表达式为y＝；。
四川省成都市第七中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题(解析版)
成都七中初中学校2022-2023学年九年级上期末检测试题数学一、选择题1. 下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】解：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．因此，A、圆柱的主视图与俯视图都是矩形，错误；B、正方体的主视图与俯视图都是正方形，错误；C、圆锥的主视图是等腰三角形，而俯视图是圆和圆心，正确；D、球体主视图与俯视图都是圆，错误．故选C．2. 下列函数中，是的反比例函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数的定义作出判断即可．【详解】解：A、是正比例函数，故该选项不符合题意；B、，是反比例函数，故该选项符合题意；C、不是反比例函数，故此选项不符合题意；D、是一次函数，故该选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数定义，能熟记反比例函数的定义是解此题的关键，形如（k为常数，）的函数，叫反比例函数．3. 在一个不透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.5，由此可估计袋中红球的个数为（）A. 12个B. 10个C. 8个D. 6个【答案】B【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【详解】解：设盒子中有红球个，由题意可得：，解得：，故选：B．【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，根据红球的频率得到相应的等量关系．4. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知，则△ABC与△DEF 的面积比是（）A. 9：4B. 5：2C. 5：3D. 3：2【答案】A【解析】【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DE，△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质计算，得到答案．【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，∴△OAB∽△ODE，∴∵BO：OE＝3：2，∴∴（）2＝，即△ABC与△DEF的面积比是：9：4．故选：A．【点睛】本题考查的是位似变换的概念，掌握位似三角形是相似三角形以及相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．5. 数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时测得，对角线长为，改变教具的形状成为图2所示的正方形，则正方形的边长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】现根据菱形的性质得出AD=DC，再由∆ADC是等边三角形即可计算得出结果【详解】解：连接AC图1中，四边形ABCD是菱形∴AD=DC∵∠D=60°∴∆ADC是等边三角形∴AD=DC=AC=16cm∵图2为图1改变形状得到∴正方形的边长为16cm故选：C【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形具有不稳定性，灵活理解题意是关键6. 如图，在中，DE∥BC，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定与性质可得，由此即可得出答案．【详解】解：，，，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．7. 大约在两千五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（）A. 6cmB. 8cmC. 10cmD. 12cm 【答案】A【解析】【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为x cm，则，解得：x=6，即蜡烛火焰的高度为6cm，故答案为：A．【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．8. 如图．在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y ＝相交于点C，且BC∶OC＝1∶2，则k的值为（）A. ﹣3B. ﹣C. 3D.【答案】A【解析】【分析】过C作CD⊥x轴于D，可得△DOC∽△AOB，根据相似三角形的性质求出S△DOC，由反比例函数系数k的几何意义即可求得k．【详解】解：过C作CD⊥x轴于D，∵＝，∴＝，∵BA⊥x轴，∴CD∥AB，∴△DOC∽△AOB，∴＝（）2＝（）2＝，∵S△AOB＝，∴S△DOC＝S△AOB＝×＝，∵双曲线y＝在第二象限，∴k＝﹣2×＝﹣3，故选：A．点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的性质和判定，根据相似三角形的性质和判定求出S△DOC是解决问题的关键．二、填空题9. 已知关于x的方程x2＋3x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值为_______．【答案】##2.5【解析】【分析】根据方程有两个相等的实数根得出△=0，求出m的值即可．【详解】解：∵关于x的方程x2+3x+m=0有两个相等的实数根，∴△=0，即9-4m=0，解得m=．故答案为．【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac 的关系是解答此题的关键．10. 若反比例函数的图象经过点A(-2，4)和点B(8，a)，则a的值为________．【答案】【解析】【分析】把点坐标代入解析式，然后求时函数值即可．【详解】把点坐标代入解析式得：，解得：反比例函数，在反比例函数上，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查求反比例函数解析式，和函数值，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式．11. 如图，已知ABC∽AMN，点M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，则AN＝_____．【答案】【解析】【分析】根据相似三角形的性质，得，代入数据得出AN的长即可．【详解】解：∵△ABC∽△AMN，∴，∵M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，∴AM＝MC＝4，∴，解得AN＝，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等．12. 四边形的对角线相交于点，且，，则_______．【答案】1：2【解析】【分析】求出，判定四边形是矩形，求出是等边三角形，求出，即可得出答案．详解】解：∵，∴，∴四边形是矩形，∴，∵，，∴是等边三角形，∴，∴，故答案为：1：2．【点睛】本题考查了矩形的判定，等边三角形的性质和判定的应用，能正确运用知识点进行推理是解此题的关键．13. 如图，分别以线段的两个端点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，．作直线，点为直线上一点，连接，，以为圆心，以长为半径作弧，交的延长线于点，连接．若，则的度数为_____________．【答案】65°##65度【解析】【分析】根据作图可知是的中垂线，，则，根据等边对等角以及三角形的内角和定理、三角形的外角的性质求解即可．【详解】解：根据作图可知是的中垂线，，∴，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了垂直平分线的作图，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，理解题意是解题的关键．三、解答题14. 解方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；（2）先求出的值，再代入公式求出答案即可．【小问1详解】解：，方程整理得，分解因式得：，所以或，解得：，；【小问2详解】，∴，，，∴，∴，解得：，．【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．15. 已知关于x的一元二次方程有，两个实数根（1）若，求及m的值；（2）若，求m的值，并求，的值．【答案】（1），；（2），【解析】【分析】（1）直接把代入原方程中求出m的值，然后解一元二次方程即可；（2）根据，可得该方程有两个相等的实数根，即可利用一元二次方程根的判别式求出m的值，然后解一元二次方程即可．【详解】解：（1）把代入，得∴，∴此时该一元二次方程为，即，解得，，∴，．（2）∵，∴该方程有两个相等的实数根，∴，即，解得，此时该一元二次方程为，即解得．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法．16. 如图，学校平房的窗外有一路灯AB，路灯光能通过窗户CD照到平房内EF处；经过测量得：窗户距地面高，窗户高度，，；求路灯AB 的高．【答案】路灯AB的高度为米【解析】【分析】连接DC，设：路灯AB高为x米，BO的长度为y米，由中心投影可知∽和ABF∽，然后利用相似三角形对应边成比例列出方程组求解即可．【详解】解:连接DC，设：路灯AB高为x米，BO的长度为y米，由中心投影可知∽，，∽，,，解得，答：路灯AB的高度为米故答案为: 路灯AB的高度为米.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的判定方法证明∽．17. “校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就安全知识的了解程度，采用随机抽样的方式进行调查，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如所示两幅不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有_____人；（2）请补全条形统计图；（3）若从对校园安全知识达到了“了解”程度的2个男生和3个女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．【答案】（1）60 （2）见解析（3）【解析】【分析】（1）用组的频数除以它的频率得到调查的总人数；（2）先计算出组的频数，然后补全条形统计图；（3）画树状图展示所有20种等可能的结果，找出选出的2人恰好一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．【小问1详解】解：，所以接受问卷调查的学生共有60人；故答案为60；【小问2详解】“”组的人数为：（人，补全条形图如图所示：【小问3详解】画树状图为：由树状图可知，共有20种等可能的结果，而选出的2人恰好一男一女的结果有12种，（选中一男一女）．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．18. 如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上（点在点右侧），过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线相交于点，交于点，过点作轴交于点，连接．设点的横坐标为1，点的横坐标为．（1）求点的坐标及直线的表达式（直线表达式用含的式子表示）；（2）求证：四边形为矩形；（3）若，求的值．【答案】（1），的表达式为（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据反比例函数解析式以及点的横坐标为1，点的横坐标为，分别求得点的坐标，然后求得点的坐标，即可求得直线的表达式；（2）根据直线的解析式，求得点的坐标，进而证明，结合，即可证明是矩形；（3）根据题意可得，求得点的坐标，即可求得的值．【小问1详解】点，在反比例函数的图象上，点的横坐标为1，点的横坐标为，，，轴，轴，，轴，轴，，，设直线的表达式为，则，解得，直线的表达式为；【小问2详解】在上，点的横坐标为．轴，，轴，，，，，四边形为矩形；【小问3详解】四边形为矩形；解得或或（舍）点在点右侧，则，【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，矩形的性质与判定，等角对等边，勾股定理，数形结合是解题的关键．四、填空题19. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．【答案】31【解析】【分析】根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式变形即可求解．【详解】根据根与系数的关系得，，所以．故答案为：31．【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用．20. 有四张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字﹣2，﹣1，1，2．把这四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字为m；放回搅匀，再随机抽取一张卡片，记下数字为n，则y＝mx+n不经过第三象限的概率为_____．【答案】【解析】【分析】根据题意列表，然后根据表格求得所有等可能的结果与直线y＝mx+n不经过第三象限的的情况数，根据概率公式求解即可.【详解】列表得：m n-2-112 -2(-2，-2)(-2，-1)(-2，1)(-2，2)-1(-1，-2)(-1，-1)(-1，1)(-1，2)1(1，-2)(1，-1)(1，1)(1，2)2(2，-2)(2，-1)(2，1)(2，2)∴一共有16种等可能的结果，其中使得直线y＝mx+n不经过第三象限有(-2，1)、(-2，2)、(-1，1)、(-1，2)共4种情况，所以直线y＝mx+n不经过第三象限的概率为：，故答案为：.【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概念，一次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.21. 如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点处，若，，则的长为______．【答案】15【解析】【分析】证明，求得，设，用表示、，由勾股定理列出方程即可求解．【详解】解：四边形是矩形，，，将矩形沿直线折叠，，，，，，，，，设，则，，，中，，，解得（舍去0根），，故答案为：15．【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理的运用，利用勾股定理列出方程和证明相似三角形是本题的关键．22. 给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为3和1时，其“加倍矩形”的对角线长为______________．【答案】【解析】【分析】设“加倍矩形”的长为，则宽为，根据矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得到“加倍矩形”的长和宽，再利用勾股定理即可求出其对角线长．【详解】解：设“加倍矩形”的长为，则宽为，由题意得：，整理得：，解得，，当时，宽为，符合题意；当时，宽为，不符合题意；所以“加倍矩形”的长为，则宽为．，所以“加倍矩形”的对角线长为．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，找准等量关系，列出一元二次方程和求出“加倍矩形”的长和宽是解题关键．23. 如图，、、、分别是矩形的边、、、上的点，，，，，若，，则四边形的周长为______．【答案】【解析】【分析】先构造的直角三角形，求得的余弦和正切值；作，可求得；作，分别交直线于和，构造“一线三等角”，先求得的长，进而根据相似三角形求得，进而求得，于是得出，进一步求得结果．【详解】解：如图1，中，，，，设，则，，，，，如图2，作于，作，分别交直线于和，四边形是矩形，，在与中，，，，同理证得，则，四边形是平行四边形，设，则，，，，，，可得：，，，，，，，，，，，，，，，四边形的周长为：，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形性质，全等三角形判定和性质，解直角三角形，构造特殊角的图形及其求的函数值，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造“一线三等角”及构造直角三角形求其三角函数值．五、解答题24. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若设降价元，降价后的销售量为件，请写出与的函数关系式．（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【答案】（1）（2）10【解析】【分析】（1）由销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，则销售量为件，进而可列出函数关系式；（2）根据利润等于单件商品利润乘以销售量，列一元二次方程，解方程即可求得答案．【小问1详解】依题意得：∴y与x的函数关系式为：；【小问2详解】设每件商品降价元时，该商店每天销售利润为1200元依题意得：整理得：即解得，∵每件盈利不少于25元∴解得：∴答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数解析式，解题的关键是根据题意列出方程．25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点A，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于，，．（1）求直线的解析式．（2）在直线上是否存在点，使的周长为？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接，将沿直线翻折得到．若点为直线上一动点，在平面内是否存在点，使待以、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2），或，（3），或，或，或【解析】【分析】（1）先求出的解析式，再求的坐标，进而根据和的坐标得出；（2）作于，设，表示出和，列出方程求得；（3）分为，和三种情况，先求出坐标，再分别求出点坐标，进而求的坐标．【小问1详解】解：在中，，，，，，，解得，，当时，，，，，，，，，设的解析式是，，解得：，；【小问2详解】当在轴上方时，如图，作于，设，，，，，在中，由勾股定理得，，，，，，，；当在轴下方时，如图，设，由上知：，，，，，，，，综上所述：，或，；【小问3详解】如图2，连接，作于，，，是等边三角形，，，，，由上知：，，，，是的中点，，，当点与重合时，是等腰三角形，四边形是菱形，，，，，，，，如图3，当时，作于，，，，，，，，，，如图4，当时，作于，作于，，，，，，如图5，当时，，综上所述：，或，或，或．【点睛】本题考查了一次函数图象及其性质，解直角三角形，等腰三角形的分类等综合知识，解决问题的关键是正确分类，根据点的平移求点的坐标．26. 在菱形中，，，是射线上一点，连接，将沿折叠，得到．（1）如图，当点在左侧，且时，求的度数；（2）当时，求线段的长；（3）连接，当时，求线段的长．【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）设交于点．利用三角形的外角的性质求出，再求出，可得结论；（2）如图2中，过点作于点．证明是等腰直角三角形，求出，，可得结论；（3）分两种情形：如图3中，连接，，过点作于，过点作于点，过点作于点，设交于点．解直角三角形求出，，再利用此时构建方程，求出即可．如图4中，当点在的延长线上时，同法可求．【小问1详解】解：如图1中，设交于点．由翻折的性质可知，，，，，；【小问2详解】如图2中，过点作于点．四边形是菱形，，，，由翻折的性质可知，，，，，在中，，，，；【小问3详解】如图3中，连接，，过点作于，过点作于点，过点作于点，设交于点．，，，，，，，，，设，，，，，，在中，则有，解得或（舍去），，，，设，则，，，，，，经检验，是分式方程的解，．如图4中，当点在延长线上时，同法可得，，，，设，则，，，，，，经检验，是分式方程的解，，综上所述，满足条件的值为或．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，解直角三角形等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
四川省成都市七中2025届数学九上期末监测试题含解析
四川省成都市七中2025届数学九上期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．在平面直角坐标系内，将抛物线221y x =-先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到一条新的抛物线，这条新抛物线的顶点坐标是（ ）A ．()2,4-B ．()2,4-C ．()2,3-D ．()2,3- 2．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，那么sin A 的值为（ ）A ．32B ．34C ．45D ．353．在△ABC 中，∠C ＝90°．若AB ＝3，BC ＝1，则cos B 的值为（ ）A ．13B ．22C ．223D ．34．抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数能被3整除的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．155．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，原价为30元的药品经过连续两次降价，价格变为24.3元，则平均每次降价的百分率为（ ）A ．10%B ．15%C ．20%D ．25%6．方程x （x ﹣1）＝0的根是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝1C ．x 1＝0，x 2＝1D ．x 1＝0，x 2＝﹣17．下列说法正确的是（ ）A ．了解飞行员视力的达标率应使用抽样调查B ．一组数据3，6，6，7，8，9的中位数是6C．从2000名学生中选出200名学生进行抽样调查，样本容量为2000D．一组数据1，2，3，4，5的方差是28．某公司为调动职工工作积极性，向工会代言人提供了两个加薪方案，要求他从中选择：方案一：是12个月后，在年薪20000元的基础上每年提高500元（第一年年薪20000元）；方案二：是6个月后，在半年薪10000元的基础上每半年提高125元（第6个月末发薪水10000元）；但不管是选哪一种方案，公司都是每半年发一次工资，如果你是工会代言人，认为哪种方案对员工更有利？（）A．方案一B．方案二C．两种方案一样D．工龄短的选方案一，工龄长的选方案二9．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（）A．（32，0）B．（2，0）C．（52，0）D．（3，0）10．已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是( )A．－2 B．0 C．1 D．2二、填空题(每小题3分,共24分)11．若一个圆锥的底面圆半径为3cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是______12．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，则∠B=_____度．13．若3是关于x的方程x2－x＋c＝0的一个根，则方程的另一个根等于____．14．已知一元二次方程2x2﹣5x+1=0的两根为m，n，则m2+n2=_____．15．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为．16．在ABC ∆中，90ACB ∠=，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，3AC AE =，45CDE ∠=（如图），DCE ∆沿直线DE 翻折，翻折后的点C 落在ABC ∆内部的点F ，直线AF 与边BC 相交于点G ，如果BG AE =，那么tan B =__________．17．已知CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的中线，若∠A ＝35°，则∠BCD ＝_____________．18．如图，已知梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，//BC AO ，AB ⊥AO ，过点C 的双曲线k y x=交OB 于D ，且:1:2OD DB =，若△OBC 的面积等于3，则k 的值为__________．三、解答题(共66分)19．（10分）问题探究：（1）如图①所示是一个半径为32π，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB 是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B 点，求蚂蚁爬行的最短路程．（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB 剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形ABB A ′′，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段AB '的长）（2）如图②所示是一个底面半径为23，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，PA 是它的一条母线，一只蚂蚁从A 点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A 点，求蚂蚁爬行的最短路程．（3）如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从A 点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA 上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程．20．（6分）如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，DE BC ∥，EF AB ∥，:1:3AD AB =.（1）当5DE =时，求FC 的长；（2）设AD a =，CF b =，那么FE =__________，EA =__________（用向量a ，b 表示）21．（6分）如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，且当x ＝﹣1和x ＝3时，y 值相等．直线y ＝152184-x 与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M ． (1)求这条抛物线的表达式．(2)动点P 从原点O 出发，在线段OB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位长度的速度向点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为t 秒． ①求t 的取值范围．②若使△BPQ 为直角三角形，请求出符合条件的t 值；③t 为何值时，四边形ACQP 的面积有最小值，最小值是多少？直接写出答案．22．（8分）在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点ABC （顶点是网格线的交点）的三个顶点坐标分别是(22)(31)A B ﹣，，﹣，(10)C ，﹣，，以O 为位似中心在网格内画出ABC 的位似图△A 1B 1C 1，使ABC 与111A B C △的相似比为12：，并计算出111A B C △的面积．23．（8分）如图，ABC ∆是O 内接三角形，点D 是BC 的中点，请仅用无刻度的直尺．．．．．．．．，分别按下列要求画图．（1）如图1，画出弦AE ，使AE 平分∠BAC ；（2）如图2，∠BAF 是ABC ∆的一个外角，画出∠BAF 的平分线．24．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A （1，4），B （4，n ）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）直接写出当x ＞0时，的解集．（3）点P 是x 轴上的一动点，试确定点P 并求出它的坐标，使PA +PB 最小．25．（10分）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y （万件）与售价x （元/件）之间满足函数关系式y=﹣x+1．（1）求这种产品第一年的利润W 1（万元）与售价x （元/件）满足的函数关系式；（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W 2至少为多少万元．26．（10分）解方程：x 2﹣4x ﹣12=1．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．【详解】抛物线221y x =-的顶点坐标为（0，−1），∵向右平移2个单位，再向下平移3个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，−4）．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 2、D【分析】把∠A 置于直角三角形中，进而求得对边与斜边之比即可． 【详解】解：如图所示，在Rt △ACD 中，AD=4,CD=3,∴22CD AD +2234+=5∴sin A=CDAC=35.故选D.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义；合理构造直角三角形是解题关键．3、A【分析】直接利用锐角三角函数关系的答案．【详解】如图所示：∵AB＝3，BC＝1，∴cos B＝BCAB＝13．故选：A．【点睛】考核知识点:余弦.熟记余弦定义是关键.4、B【解析】抛掷一枚骰子有1、2、3、4、5、6种可能，其中所得的点数能被3整除的有3、6这两种，∴所得的点数能被3整除的概率为21 63 ，故选B．【点睛】本题考查了简单的概率计算，熟记概率的计算公式是解题的关键.5、A【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】设平均每次降价的百分率为x，依题意，得：30（1﹣x）2＝24.3，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【分析】由题意推出x ＝0，或（x ﹣1）＝0，解方程即可求出x 的值．【详解】解：∵x （x ﹣1）＝0，∴x 1＝0，x 2＝1，故选C ．【点睛】此题考查的是一元二次方程的解法,掌握用因式分解法解一元二次方程是解决此题的关键.7、D【分析】根据调查方式对A 进行判断；根据中位数的定义对B 进行判断；根据样本容量的定义对C 进行判断；通过方差公式计算可对D 进行判断．【详解】A. 了解飞行员视力的达标率应使用全面调查，所以A 选项错误；B. 数据3，6，6，7，8，9的中位数为6.5，所以B 选项错误；C. 从2000名学生中选出200名学生进行抽样调查，样本容量为200，所以C 选项错误；D. 一组数据1，2，3，4，5的方差是2，所以D 选项正确故选D.【点睛】 本题考查了方差，方差公式是：()()()2222121...n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦，也考查了统计的有关概念. 8、B【分析】根据题意分别计算出方案一和方案二的第n 年的年收入，进行大小比较，从而得出选项.【详解】解：第n 年：方案一： 12个月后，在年薪20000元的基础上每年提高500元，第一年：20000元第二年：20500元第三年：21000元第n 年：20000+500（n-1）=500n+19500元，方案二：6个月后，在半年薪10000元的基础上每半年提高125元，第一年：20125元第二年：20375元第三年：20625元第n 年：10000+250（n-1）+10000+250（n-1）+125=500n+19625元，由此可以看出方案二年收入永远比方案一，故选方案二更划算；【点睛】本题考查方案选择，解题关键是准确理解题意根据题意列式比较方案间的优劣进行分析.9、C【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点．【详解】解：过点B作BD⊥x轴于点D，∵∠ACO+∠BCD＝90°，∠OAC+∠ACO＝90°，∴∠OAC＝∠BCD，在△ACO与△BCD中，OAC BCDAOC BDC AC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACO≌△BCD（AAS）∴OC＝BD，OA＝CD，∵A（0，2），C（1，0）∴OD＝3，BD＝1，∴B（3，1），∴设反比例函数的解析式为y＝kx，将B（3，1）代入y＝kx，∴k＝3，∴y＝3x，∴把y＝2代入y＝3x，∴x＝32，当顶点A恰好落在该双曲线上时，此时点A移动了32个单位长度，∴C也移动了32个单位长度，此时点C的对应点C′的坐标为（52，0）故选：C．【点睛】本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，平移的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．10、A【解析】设方程的另一个实数根为x，则根据一元二次方程根与系数的关系，得x＋1=－1，解得x=－1．故选A．二、填空题(每小题3分,共24分)11、9cm【分析】利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长即可求解．【详解】解：设母线长为l，则120180l=2π×3，解得：l=9 cm．故答案为：9 cm．【点睛】本题考查圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．12、1【分析】如图，连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=20°，根据等腰三角形的性质解答即可．【详解】如图，连接OA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=20°，∴∠OAB=∠OAC+∠BAC=20°+40°=1°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=1°，故答案为1．【点睛】本题考查了圆的性质的应用，熟练掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键．13、-1【解析】已知3是关于x 的方程x 1-5x +c =0的一个根，代入可得9-3+c =0，解得，c =-6；所以由原方程为x 1-5x -6=0，即（x +1）（x -3）=0，解得，x =-1或x =3，即可得方程的另一个根是x =-1．14、214 【分析】先由根与系数的关系得：两根和与两根积，再将m 2+n 2进行变形，化成和或积的形式，代入即可．【详解】由根与系数的关系得：m+n=52，mn=12， ∴m 2+n 2=（m+n ）2-2mn=(52)2-2×12=214， 故答案为214． 【点睛】本题考查了利用根与系数的关系求代数式的值，先将一元二次方程化为一般形式，写出两根的和与积的值，再将所求式子进行变形；如1211 x x 、x 12+x 22等等，本题是常考题型，利用完全平方公式进行转化． 15、1.【解析】试题分析：根据圆的确定先做出过A ，B ，C 三点的外接圆，从而得出答案．如图，分别作AB 、BC 的中垂线，两直线的交点为O ，以O 为圆心、OA 为半径作圆，则⊙O 即为过A ，B ，C 三点的外接圆，由图可知，⊙O 还经过点D 、E 、F 、G 、H 这1个格点，故答案为1．考点：圆的有关性质.16、37【分析】设k AE BG == ，()3k k 0AG =≠ ，可得2k EC = ，由折叠的性质可得2k EF EC == ，45FED DEC ==︒∠∠ ，根据相似三角形的性质可得13AE EF AC GC == ,即36k GC EF == ，即可求tan B 的值 ． 【详解】根据题意，标记下图∵90ACB ∠=︒ ，45CDE ∠=︒∴45DEC ∠=︒∵3AC AE =∴设k AE BG == ，()3k k 0AG =≠∴2k EC =∵DEF 由CDE △ 折叠得到∴2k EF EC == ，45FED DEC ==︒∠∠∴90FEC ∠=︒ ，且90ACB ∠=︒∴EF BC ∥∴AEF ACG ∽△△∴13AE EF AC GC == ∴36k GC EF ==∴7k BC BG GC =+=∴3tan =7AC B BC = 故答案为37 ．【点睛】本题考查了三角形的折叠问题，理解折叠后的等量关系，利用代数式求出tan B 的值即可．17、55°【分析】这道题可以根据CD 为斜边AB 的中线得出CD=AD ，由∠A=35°得出∠A=∠ACD=35°，则∠BCD=90°- 35°=55°.【详解】如图，∵CD 为斜边AB 的中线∵∠A=35°∴∠A=∠ACD=35°∵∠ACD+∠BCD=90°则∠BCD=90°- 35°=55°故填：55°.【点睛】此题主要考查三角形内角度求解，解题的关键是熟知直角三角形的性质.18、3 4【分析】设C（x，y），BC=a．过D点作DE⊥OA于E点．根据DE∥AB得比例线段表示点D坐标；根据△OBC的面积等于3得关系式，列方程组求解．【详解】设C（x，y），BC=a．则AB=y，OA=x+a．过D点作DE⊥OA于E点．∵OD：DB=1：2，DE∥AB，∴△ODE∽△OBA，相似比为OD：OB=1：3，∴DE=13AB=13y，OE=13OA=13（x+a）．∵D点在反比例函数的图象上，且D（13（x+a），13y），∴13y•13（x+a）=k，即xy+ya=9k，∵C点在反比例函数的图象上，则xy=k，∵△OBC 的面积等于3， ∴12ya=3，即ya=1． ∴8k=1，k=34． 故答案为：34．三、解答题(共66分)19、（1）蚂蚁爬行的最短路程为1; （2）最短路程为4AA PA ==′;（3）蚂蚁爬行的最短距离为【分析】（1）蚂蚁爬行的最短路程为圆柱侧面展开图即矩形的对角线的长度，由勾股定理可求得；（2）蚂蚁爬行的最短路程为圆锥展开图中的AA′的连线，可求得△PAA′是等边三角形，则AA′=PA=4；（3）蚂蚁爬行的最短路程为圆锥展开图中点A 到PA 的距离．【详解】（1）由题意可知：32π32πBB =⨯=′在'Rt ABB 中，5AB =′=即蚂蚁爬行的最短路程为1．（2）连结AA ′，则AA '的长为蚂蚁爬行的最短路程，设1r 为圆锥底面半径，2r 为侧面展开图（扇形）的半径， 则12243r r ==，，由题意得：21π2πr =180n r 即22ππ43180n ⨯⨯=⨯⨯ 60n ∴=PAA ∴△′是等边三角形 ∴最短路程为4AA PA ==′．（3）如图③所示是圆锥的侧面展开图，过A 作AC PA ⊥′于点C ，则线段AC 的长就是蚂蚁爬行的最短路程． 在Rt △ACP 中，∵∠P=60°，∴∠PAC=30°∴PC=12PA=12×4=2∴AC=2242-=23∴蚂蚁爬行的最短距离为23．【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，圆周长公式，弧长公式，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握相关公式和性质定理是本题的解题关键．20、（1）CF 10=；（2）2a -，12b a - 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理求解即可．（2）利用三角形法则求解即可．【详解】（1）∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形DEFB 是平行四边形，∴DE=BF=5，∵AD ：AB=DE ：BC=1：3，∴BC=15，∴CF=BC-BF=15-5=1．（2）∵AD ：AB=1：3，∴22DB AD a == ， ∵EF=BD ，EF ∥BD ，∴2FE DB a =-=- ，∵CF=2DE ， ∴1122ED CF b == ，∴12EA ED DA b a =+=- . 【点睛】此题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21、（1）2327(1)88y x =--；（2）①502≤≤t ，②t 的值为2013或87，③当t ＝2时，四边形ACQP 的面积有最小值，最小值是335． 【分析】（1）求出对称轴，再求出y=152184-x 与抛物线的两个交点坐标，将其代入抛物线的顶点式即可； （2）①先求出A 、B 、C 的坐标，写出OB 、OC 的长度，再求出BC 的长度，由运动速度即可求出t 的取值范围； ②当△BPQ 为直角三角形时，只存在∠BPQ=90°或∠PQB=90°两种情况，分别证△BPQ ∽△BOC 和△BPQ ∽△BCO ，即可求出t 的值；③如图，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，证△BHQ ∽△BOC ，求出HQ 的长，由公式S 四边形ACQP =S △ABC -S △BPQ 可求出含t 的四边形ACQP 的面积，通过二次函数的图象及性质可写出结论．【详解】解：（1）∵在抛物线中，当x ＝﹣1和x ＝3时，y 值相等，∴对称轴为x ＝1，∵y ＝152184-x 与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M ， ∴顶点M （1，278-），另一交点为（6，6）， ∴可设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2278-， 将点（6，6）代入y ＝a （x ﹣1）2278-， 得6＝a （6﹣1）2278-， ∴a ＝38， ∴抛物线的解析式为2327(1)88y x =--（2）①在2327(1)88y x =--中，当y ＝0时，x 1＝﹣2，x 2＝4；当x ＝0时，y ＝﹣3， ∴A （﹣2，0），B （4，0），C （0，﹣3），∴在Rt △OCB 中，OB ＝4，OC ＝3，∴BC 5， ∴522BC =， ∵52＜4， ∴502≤≤k ②当△BPQ 为直角三角形时，只存在∠BPQ ＝90°或∠PQB ＝90°两种情况，当∠BPQ＝90°时，∠BPQ＝∠BOC＝90°，∴PQ∥OC，∴△BPQ∽△BOC，∴BP BQBO BC=，即4245t t-=，∴t＝20 13；当∠PQB＝90°时，∠PQB＝∠BOC＝90°，∠PBQ＝∠CBO，∴△BPQ∽△BCO，∴BP BQBC BO=，即4254t t-=，∴t＝87，综上所述，t的值为2013或87；③如右图，过点Q作QH⊥x轴于点H，则∠BHQ＝∠BOC＝90°，∴HQ∥OC，∴△BHQ∽△BOC，∴BQ QHBC OC=，即253t HQ=，∴HQ＝65t，∴S四边形ACQP＝S△ABC﹣S△BPQ＝12×6×3﹣12（4﹣t）×56t＝35（t﹣2）2+335，∵35＞0，∴当t＝2时，四边形ACQP的面积有最小值，最小值是335．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定及性质，二次函数的图象及性质等，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．22、画图见解析，111A B C △的面积为1．【分析】先找出ABC 各顶点的对应顶点A 1、B 1、C 1，然后用线段顺次连接即可得到111A B C △，用割补法可以求出111A B C △的面积.【详解】如图所示：111A B C △，即为所求，111A B C △的面积为：111442422246222⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯﹣﹣﹣＝．【点睛】本题考查了作图-位似变换：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．23、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接OD ，延长OD 交O 于E ，连接AE ，根据垂径定理可得BE CE =，根据圆周角定理可得∠BAE=∠CAE ，即可得答案；（2）连接OD ，延长OD 交O 于E ，连接AE ，反向延长OD ，交O 于H ，作射线AH ，由（1）可知∠BAE=∠CAE ，由HE 是直径可得∠EAH=∠BAE+∠BAH=90°，根据平角的定义可得∠CAE+∠FAH=90°，即可证明∠BAH=∠FAH ，可得答案.【详解】（1）如图，连接OD ，延长OD 交O 于E ，连接AE ，∵OE 为半径，D 为BC 中点，∴BE CE =，∴∠BAE=∠CAE ，∴AE为∠BAC的角平分线，弦AE即为所求.（2）如图，连接OD，延长OD交O于E，连接AE，反向延长OD，交O于H，作射线AH，∵HE是O直径，点A在O上，∴∠EAH=∠BAE+∠BAH=90°，∴∠CAE+∠FAH=90°，由（1）可知∠BAE=∠CAE，∴∠BAH=∠FAH，∴AH平分∠BAF，射线AH即为所求．【点睛】本题考查垂径定理及圆周角定理，平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；直径所对的圆周角是直角（90°）；熟练掌握相关定理是解题关键.24、（1），y＝﹣x+5；（2）0＜x＜1或x＞4；（3）P的坐标为（，0），见解析.【解析】（1）把A（1，4）代入y＝，求出m＝4，把B（4，n）代入y＝，求出n＝1，然后把把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，即可求出一次函数解析式；（2）根据图像解答即可；（3）作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB＝AB′最小，然后用待定系数法求出直线AB′的解析式即可.【详解】解：（1）把A（1，4）代入y＝，得：m＝4，∴反比例函数的解析式为y＝；把B（4，n）代入y＝，得：n＝1，∴B（4，1），把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；（2）根据图象得当0＜x＜1或x＞4，一次函数y＝﹣x+5的图象在反比例函数y＝的下方；∴当x＞0时，kx+b＜的解集为0＜x＜1或x＞4；（3）如图，作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB＝AB′最小，∵B（4，1），∴B′（4，﹣1），设直线AB′的解析式为y＝px+q，∴，解得，∴直线AB′的解析式为，令y＝0，得，解得x＝，∴点P的坐标为（，0）．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数及一次函数解析式，利用图像解不等式，轴对称最短等知识.熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，正确识图是解（2）的关键，根据轴对称的性质确定出点P 的位置是解答（3）的关键.25、（1）W 1=﹣x 2+32x ﹣2；（2）该产品第一年的售价是16元；（3）该公司第二年的利润W 2至少为18万元．【解析】（1）根据总利润=每件利润×销售量﹣投资成本，列出式子即可；（2）构建方程即可解决问题；（3）根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数，利用而学会设的性质即可解决问题.【详解】（1）W 1=（x ﹣6）（﹣x+1）﹣80=﹣x 2+32x ﹣2．（2）由题意：20=﹣x 2+32x ﹣2．解得：x=16，答：该产品第一年的售价是16元．（3）由题意：7≤x≤16，W 2=（x ﹣5）（﹣x+1）﹣20=﹣x 2+31x ﹣150，∵7≤x≤16，∴x=7时，W 2有最小值，最小值=18（万元），答：该公司第二年的利润W 2至少为18万元．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题. 26、x 1=6，x 2=﹣2．【解析】试题分析：用因式分解法解方程即可.试题解析：()()620x x -+=，60x =﹣或20x +=，所以1262x x ==-，．。
2023-2024学年四川省成都七中育才学校九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2023-2024学年四川省成都七中育才学校九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共32分）1.如图所示的几何体，其主视图是( )A.B.C.D.2.反比例函数的图象经过点A(3,2)，下列各点在此反比例函数图象上的是( )A. (−3,2)B. (3,−2)C. (−6,−1)D. (−1,6)3.若关于x的方程x2+mx−10=0有一个根为2，则m的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 34.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE//BC，若AD=DE=2，DB=3，则BC等于( )A. 4B. 5C. 6D. 75.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，BD=4，则矩形ABCD的周长为( )A. 12B. 16C. 23+2D. 43+46.如图是李老师制作的一个可以自由转动的转盘，如表是某同学收集的一组统计数据：转动转盘的次数1002003004005006007008009001000落在“蓝色”的次数306192118151182207242269302蓝色部分的圆心角最有可能是( )A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°7.12月18日23时59分，甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震.面对突发灾情，某公司积极募捐资金，支持当地开展灾害救援救助及灾后重建工作.第1天募捐到资金2.5万元，第2天、第3天募捐资金连续增长，第3天募捐到的资金为3.2万元.设该公司这两天募捐资金平均每天的增长率为x ，则所列方程正确的是( )A. 2.5(1+x )2=3.2 B. 2.5+2.5(1+x )2=3.2C. 3.2(1+x )2=2.5D. 2.5(1+2x)=3.28.数学课本上有这样一段表述：“在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k ≠0)，所对应的图形与原图形….”请利用这一规律解答下面问题：已知M(a,b)，N(x,y)，且MN =6，若P(23a,23b)，Q(23x,23y)，则PQ 的长为( )A. 4B. 6C. 9D. 12二、非选择题（共118分）9.若2a =3b ，则a +ba−b = ______．10.关于x 的一元二次方程x 2+2x +k =0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．11.七巧板是一种古老的中国传统智力游戏.在如图所示的七巧板中，若正方形ABCD 的边长为4，则正方形EFGH 的边长为______．12.若点A(x 1,2)，B(x 2,−1)都在反比例函数y =−1x 的图象上，则x 1，x 2的大小关系为______．13.如图，已知线段AB=8cm，分别以点A，B为圆心，以5cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ACBD的面积为______．)−1；14.(1)计算：|18−2|+(2024−π)0−8+(12(2)解方程：x(x−3)=2(x−3)．15.科学实验是获取经验事实和检验科学假说、理论真理性的重要途径.某校为进一步培养学生实践创新能力，提高学生科学素养，营造爱科学、学科学、用科学的浓厚氛围，将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，计划演示以下四项科学小实验：A.自动升高的水；B.不会湿的纸；C.漂浮的硬币；D.生气的瓶子.学校科技部随机对该校部分学生进行了“最希望演示的一项实验”问卷调查，得到下列不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题：(1)求此次调查中接受调查的人数；(2)请补全条形统计图；(3)已知最希望演示A项实验的4名学生，有1名来自九年级一班，1名来自九年级二班，2名来自九年级三班，现需从这四人中随机抽取2名作为实验“自动升高的水”的演示员，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同班级的概率．16.如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊AB，文化长廊上伫立着三座名人塑像CD，EF，GH，点A，D，F，H，B在同一直线上，且AD=DF=FH=HB.在明德楼的楼顶有一照明灯P，塑像CD的影子为DM，塑像EF的影子为FN.该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊AB=24米，塑像高CD=EF=GH=3米，塑像CD的影长DM=2米．(1)求明德楼的高PA；(2)求塑像EF 的影长FN ．17.如图1，在▱ABCD 中，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，连接AF ，CE ．(1)求证：AF//CE ；(2)如图2，连接AC ，且AC =BC ，O 为AC 的中点．①BC 的中点为M ，连接EO ，EM ，试判断四边形EMCO 的形状，并说明理由；②如图3，AG 平分∠BAC 交CE 于点G ，连接GO ，若∠AGO =90°，AB =8，求AC 的长．18.已知直线y =kx +b 与x 轴、y 轴交于点A ，B ，与反比例函数y =3x的图象交于C ，D 两点，点C 的横坐标为3，点D 的横坐标为1．(1)求直线y =kx +b 的表达式；(2)M 是线段CD 的中点，点N 为反比例函数图象在第一象限上一点，连接OM ，ON ，MN ，若S △OMN =6，求点N 的坐标；(3)点P 为反比例函数图象在第三象限上一点，连接DP ，过点D 作DQ ⊥DP ，交反比例函数图象于点Q ，连接PQ.若直线PQ 经过点(0,−83)，求DPDQ 的值．19.已知a ，b 是方程x 2−5x−3=0的两根，则a 2−5a +ab = ______．20.如图，在正方形ABCD 中，点E 是AB 边上一点，且AE =2BE ，连接CE 交对角线BD 于点F.若AB =8，则BF 的长为______．21.如图，点A 在反比例函数y =6x 的图象上，点B 在反比例函数y =k x的图象上，连接AB ，且AB//x 轴.点P(23,0)是x 轴上一点，连接PA ，PB ，若PA =PB ，S △PAB =4，则PB 与y 轴交点C 的坐标为______．22.如图1，在△ABC 中，∠BAC =90°，点D 在BC 上，沿直线AD 翻折△ABD 使点B 落在AC 上的B′处；如图2，折叠∠A ，使点A 与点D 重合，折痕为EF.若B′D CD=23，则EFB′C的值为______．23.已知，数轴上从左到右有三点A ，B ，C ，它们在数轴上对应的数分别为a ，b ，c(a,b,c 均不为整数)，且6<c−a <7，k <b <k +1(k 为正整数).在点A 与点B 之间的所有整数依次记为p 1，p 2，p 3…，p m ；在点B 与点C 之间的所有整数分别记为q 1，q 2，q 3，…，q n .若p 21+p 22+p 23+⋯+p 2n =q 21+q 22+q 23+⋯+q 2n ，则k 的值为______．24.三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”.为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意.已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A ，B 两个系列，A 系列产品比B 系列产品的售价低5元，100元购买A 系列产品的数量与150元购买B 系列产品的数量相等.按定价销售一段时间后发现：B 系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B 系列产品每降1元，则每天可以多卖10件．(1)A 系列产品和B 系列产品的单价各是多少？(2)为了使B 系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B 系列产品的实际售价应定为多少元/件？25.如图1，已知一次函数y =x +2的图象与反比例函数y =k x的图象交于A(2,a)，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于C ，D 两点．(1)求反比例函数y =k x的表达式及点B 的坐标；(2)在x 轴上有一点E ，反比例函数y =k x的图象上有一点F ，连接EF ，若EF//AD 且EF =12AD ，求点E 的坐标；(3)如图2，点D 关于x 轴的对称点为M ，连接BM ，P 是y 轴上一动点(不与点M 重合)，N 是平面内一点，连接BN ，DN ，在点P 的运动过程中始终有△BMP ∽△BDN ，且∠PBN =∠MBD.点Q 在反比例函数y =kx图象上，连接QN，请直接写出QN的最小值及当QN为最小值时点P的坐标．26.如图，在△ABD中，AB=AD，∠BAD=α.点C是BD延长线上一动点，连接AC，将AC绕点A顺时针旋转α得到AE，连接DE交AC于点F．(1)求证：∠C=∠E；(2)如图1，若DE//AB，DF=2，FE=7，求BD的大小；(3)如图2，若点F为AC中点，S△ADFS△ABC =1n+2，CD=4，求AB的长(用含n的代数式表示)．答案和解析1.【答案】A【解析】解：这个几何体的主视图是：故选：A．根据解答几何体的三视图的画法画出其主视图即可．本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体的三视图的形状是正确判断的前提．2.【答案】C，【解析】解：设反比例函数解析式为y=kx∵反比例函数的图象经过点(3,2)，∴k=3×2=6，∵−6×(−1)=6，∴点(−6,−1)在此反比例函数图象上，故选：C．根据反比例函数的图象经过点(3,2)，求出反比例函数解析式，只要各点坐标乘积等于比例系数即为函数图象上的点．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．3.【答案】D【解析】解：把x=2代入方程x2+mx−10=0得：22+2m−10=0，解得m=3，故选：D．根据题意把x=2代入原方程，再进行求解，即可得出m的值．本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是把方程的根代入原方程，求出m的值．4.【答案】B【解析】解：∵AD=DE=2，DB=3，∴AB=AD+DB=2+3=5，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE BC =ADAB，∴BC=DE⋅ABAD =2×52=5，故选：B．由AD=DE=2，DB=3，求得AB=AD+DB=5，由DE//BC，证明△ADE∽△ABC，得DEBC =ADAB，则BC=DE⋅ABAD=5，于是得到问题的答案．此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△ADE∽△ABC是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，BD=4，∴AC=BD=4，∠ABC=90°，∵∠ACB=30°，∴AB=2，∴BC=AC2−AB2=42−22=23，∴矩形ABCD的周长为2(AB+BC)=2×(2+23)=4+43．故选：D．根据题意和矩形的性质，可以得到AC的长，然后根据直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理，可以得到AB和BC的长，从而可以求得矩形ABCD的周长．本题考查了矩形的性质、勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握矩形的性质．6.【答案】B【解析】解：30÷100=0.3；61÷200=0.305；92÷300≈0.307；118÷400=0.295；151÷500=0.302；182÷600≈0.303；207÷700≈0.296；242÷800≈0.303；269÷900≈0.299；302÷100=0.302；∴落在“蓝色”的概率约是0.3012，∴蓝色部分的圆心角最有可能是0.3012×360°=108.432°≈108°，故选：B．用360°×指针落在“蓝色”的概率进行计算即可．本题考查的是扇形统计图的综合运用．熟练掌握大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就是事件概率的估计值是解题的关键．7.【答案】A【解析】解：由题意可得，2.5(1+x )2=3.2，故选：A ．根据第1天募捐到资金2.5万元，第2天、第3天募捐资金连续增长，第3天募捐到的资金为3.2万元，可以列出相应的方程．本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．8.【答案】A【解析】解：∵M(a,b)，P(23a,23b)，∴线段MN 与线段PQ 的相似比为3：2，∵MN =6，∴PQ =4，故选：A ．根据题意求出线段MN 与线段PQ 的相似比，计算即可．本题考查的是位似变换，解题的关键是理解将一个图形各顶点的横坐标和纵坐标都乘k(或1k ，k >1)，所得图形的形状不变，各边扩大到原来的k 倍(或缩小为原来1k )，且连接各对应顶点的直线相交于一点．9.【答案】−5【解析】解：∵2a =3b ，∴3a =2b ，∴ab =23，∴设a =2k ，b =3k ，∴a +b a−b =2k +3k 2k−3k =5k−k =−5，故答案为：−5．利用设k 法进行计算，即可解答．本题考查了比例的性质，熟练掌握设k 法是解题的关键．10.【答案】k<1【解析】解：由已知得：△=4−4k>0，解得：k<1．故答案为：k<1．由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式(或不等式组)是关键．11.【答案】2【解析】解：∵点G是CD的中点，CD=4，∴CG=12CD=2，∵△CHG是等腰直角三角形，∴CH=HG=22CG=2，∴正方形EFGH的边长为2，故答案为：2．根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．本题考查了七巧板，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正确地识别图形是解题的关键．12.【答案】x1<x2【解析】解：∵点A(x1,2)，B(x2,−1)都在反比例函数y=−1x的图象上，∴2=−1x1，−1=−1x2解得：x1=−12；x2=1，∴x1<x2．故答案为：x1<x2．利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出结论．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出x1，x2的值是解题的关键．13.【答案】48cm2【解析】解：由作法AC=BC=AD=BD=5cm，∴四边形ACBD为菱形，AB=4cm，OC=OD，∴AB⊥CD，OA=OB=12连接CD交AB于点O，如图，在Rt△AOC中，OC=52−42=3(cm)，∴CD=2OC=6cm，∴四边形ACBD的面积=8×6=48(cm2).故答案为：48cm2．利用基本作图得到AC=BC=AD=BD=5cm，则可判断四边形ACBD为菱形，根据菱形的性质得到AB⊥CD，OA=OB=1AB=4cm，OC=OD，接着利用勾股定理计算出OC的长，然后根据菱形的面积2公式计算．本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了菱形的判定与性质．14.【答案】解：(1)原式=32−2+1−22+2=2+1；(2)x(x−3)=2(x−3)，x(x−3)−2(x−3)=0，(x−3)(x−2)=0，∴x−3=0或x−2=0，∴x1=3，x2=2．【解析】(1)先根据零指数幂，二次根式的化简，绝对值，负整数指数幂进行计算，再算加减即可；(2)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程，实数的运算，能正确根据实数的运算法则进行计算是解(1)的关键，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解(2)的关键．15.【答案】解：(1)此次调查中接受调查的人数为18÷36%=50(人)．(2)最希望演示C项实验的人数为50−4−8−18=20(人)．补全条形统计图如图所示．(3)将来自九年级一班的1名学生记为甲，来自九年级二班的1名学生记为乙，来自九年级三班的2名学生记为丙，丁，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽到的2名学生来自不同班级的结果有：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，甲)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，甲)，(丙，乙)，(丁，甲)，(丁，乙)，共10种，∴抽到的2名学生来自不同班级的概率为1012=56．【解析】(1)用条形统计图中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得此次调查中接受调查的人数．(2)求出最希望演示C项实验的人数，补全条形统计图即可．(3)画树状图得出所有等可能的结果数以及抽到的2名学生来自不同班级的结果数，再利用概率公式可得出答案．本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．16.【答案】解：(1)∵AD=DF=FH=HB，AB=24米，∴AD=DF=FH=HB=14AB=6米，由题意得：∠CDM=∠PAM=90°，∵∠CMD=∠PMA，∴△CDM∽△PAM，∴CD PA =DM AM ，∴3AP =22+6，解得：AP =12，∴明德楼的高PA 为12米；(2)由题意得：∠PAN =∠EFN =90°，∵∠ENF =∠PNA ，∴△EFN ∽△PAN ，∴EF PA =FN AN ，∴312=FN FN +6+6，解得：FN =4，∴塑像EF 的影长FN 为4米．【解析】(1)根据已知易得：AD =DF =FH =HB =14AB =6米，再根据题意可得：∠CDM =∠PAM =90°，然后证明A 字模型相似△CDM ∽△PAM ，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答；(2)根据题意可得：∠PAN =∠EFN =90°，然后证明A 字模型相似△EFN ∽△PAN ，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．17.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB =CD ，AB//CD ，∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴AE =12AB ，CF =12CD ，∴AE =CF ，∴四边形AECF 为平行四边形，∴AF//CE ；(2)解：①四边形EMCO 为菱形．理由：∵O 为AC 的中点，E 为AB 的中点，∴OE 为△ABC 的中位线，∴OE//BC，OE=1BC．2∵E为AB的中点，BC的中点为M，AC，∴EM//AC，EM=12∴四边形EMCO为平行四边形．∵AC=BC，∴EO=EM，∴四边形EMCO为菱形．②过点O作OH⊥EC于点H，过点G作GM⊥AC于点M，如图，∵AC=BC，E为AB的中点，AB=4．∴CE⊥AB，AE=12∵AG平分∠BAC交CE于点G，∴∠GAE=∠GAC，∵GM⊥AC，GE⊥AB，∴GE=GM．在Rt△AEG和Rt△AMG中，{AG=AGGE=GM，∴Rt△AEG≌Rt△AMG(HL)，∴AE=AM=4．∵CE⊥AE，OH⊥EC，∴OH//AE，∵O为AC的中点，∴OH=1AE=2．2∵∠AGO=90°，∴∠AGE+∠OGC=90°，∠AGM+∠OGM=90°，∵Rt△AEG≌Rt△AMG，∴∠AGE=∠AGM，∴∠OGM=∠OGH，∵OM⊥GM，OH⊥GH，∴OM=OH=2，∴OA=AM+OM=6，∵O为AC的中点，∴AC=2OA=12．【解析】(1)利用平行四边形的对边平行且相等的性质，线段中点的定义和平行四边形的判定与性质解答即可；(2)①利用三角形的中位线的性质得到四边形EMCO为平行四边形，证明得到EO=EM，利用菱形的判定定理解答即可；②过点O作OH⊥EC于点H，过点G作GM⊥AC于点M，利用角平分线的性质和全等三角形的判定定理与性质定理得到AM=AE=4，再利用直角三角形的性质，角平分线的性质得到OM=OH，利用三角形的中位线的性质和中点的意义解答即可．本题主要考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，菱形的判定定理，直角三角形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，恰当的添加辅助线构造全等三角形是解题关键．18.【答案】解：(1)由反比例函数y=3经过点C，D两点，且点C的横坐标为3，点D的横坐标为1，x得点C的坐标为(3,1)，点D的坐标为(1,3)，把C(3,1)，D(1,3)代入y=kx+b，得{3k+b=1k+b=3，解得{k=−1b=4，∴直线的表达式为y=−x+4；)，过点M作MH⊥x轴于点H，过点N作NG⊥x轴于点G，(2)设N(b,3b∵M是C(3,1)，D(1,3)的中点，∴M(2,2)，∵S△OMN=6，∴S△NOG+S梯形MNGH−S△OMH=32+12(2+3b)(2−b)−12×2×2=6，解得：b=23−3或b=−23−3(舍去)，∴N(23−3,23+3)；同理可求N(23+3,23−3)(3)如图，过点D作EF//x轴，过点P作PE⊥EF于E，过点Q作QF⊥EF于F，过点Q作QH⊥PE于点H，则∠E=∠F=90°，∴∠FDQ+∠FQD=90°，∵DQ⊥DP，∴∠FDQ+∠PDE=90°，∴∠FQD =∠PDE ，∴△DQF ∽△PDE ，∴DF PE =FQ DE，设P(m,3m )，Q(n,3n )，又D(1,3)，则E(m,3)，F(n,3)，L(0,3n )，H(m,3n )，∴EF =n−m ，PE =3−3m ，DE =1−m ，DF =n−1，FQ =3−3n ，QL =n ，∴n−13−3m =3−3n 1−m ①，∵∠E =∠F =∠EHQ =90°，∴四边形EFQH 是矩形，∴HQ =EF =n−m ，LG =3n +83，PH =3n −3m，∵PE//GL ，∴LG PH =QL HQ ，即3n +833n −3m =n n−m ②，联立①②，得{n−13−3m =3−3n 1−m 3n +833n −3m =n n−m，解得：{m 1=−1n 1=9，{m 2=9n 2=−1(舍去)，∴P(−1,−3)，Q(9,13)，∴PE =3−3m =3−3−1=6，DF =9−1=8，∵△DQF ∽△PDE ，∴DP DQ =PE DF =68=34，故DP DQ 的值为34．【解析】(1)利用待定系数法即可得出答案；(2)设N(b,3b )，过点M 作MH ⊥x 轴于点H ，过点N 作NG ⊥x 轴于点G ，根据三角形面积可得S △NOG +S 梯形MNGH −S △OMH =32+12(2+3b )(2−b)−12×2×2=6，即可求得答案；(3)过点D 作EF//x 轴，过点P 作PE ⊥EF 于E ，过点Q 作QF ⊥EF 于F ，过点Q 作QH ⊥PE 于点H ，由△DQF∽△PDE ，可得DF PE =FQ DE ，设P(m,3m )，Q(n,3n )，根据四边形EFQH 是矩形，可得HQ =EF =n−m ，LG =3n +83，PH =3n −3m ，得出n−13−3m =3−3n 1−m ①，可得由PE//GL ，可得LG PH =QL HQ ，得出3n +833n −3m =n n−m ②，联立方程组求解即可求得答案．本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和反比例函数的图象和性质，三角形面积，相似三角形的判定和性质等，解题关键是添加辅助线构造相似三角形．19.【答案】0【解析】解：∵a ，b 是方程x 2−5x−3=0的两根，∴a 2−5a−3=0，ab =−3，∴a 2−5a =3，∴a 2−5a +ab =3−3=0，故答案为：0．由a ，b 是方程x 2−5x−3=0的两根，推出a 2−5a−3=0，ab =−3，可得结论．本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系．20.【答案】2 2【解析】解：∵AE =2BE ，∴AB =AE +BE =2BE +BE =3BE ，∵四边形ABCD 是正方形，AB =8，∴DC =BC =AB =8，∠BCD =90°，AB//DC ，∴BD = DC 2+BC 2= 82+82=8 2，BE DC =BE AB =13，∵BE//DC ，∴△BEF ∽△DCF ，∴BF DF =BE DC =13，∴BF =11+3BD =14BD =14×8 2=2 2，故答案为：2 2．由AE =2BE ，得AB =3BE ，由正方形的性质得DC =BC =AB =8，∠BCD =90°，AB//DC ，则BD = DC 2+BC 2=8 2，BE DC =BE AB =13，由BE//DC 证明△BEF ∽△DCF ，得BF DF =BE DC =13，则BF =14BD =22，于是得到问题的答案．此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明△BEF ∽△DCF 是解题的关键．21.【答案】(0,32)【解析】解：∵点A 在反比例函数y =6x 的图象上，∴可设点A 的坐标为(t,6t )，∵AB//x 轴，∴点B 的纵坐标为6t ，∵点B 在反比例函数y =k x的图象上，∴6t =k x，解得：x =kt 6，∴点B 的坐标为(kt 6,6t )，∴AB =t−kt 6=(6−k)t 6，∵S △PAB =4，∴12⋅(6−k)t 6⋅6t =4，解得：k =−2，∴点B 的坐标为(−t 3,6t )，∵点P 的坐标为(32,0)，∴PA 2=(t−23)2+(6t )2，PB 2=(−t 3−23)2+(6t )2，∵PA =PB ，∴(t−23)2+(6t )2=(−t 3−23)2+(6t )2，整理得：(t−23)2=(t 3+23)2，∴t−23=±(t 3+23)，由t−23=t 3+23，解得t =2，由t−23=−(t 3+23)，解得：t =0，不合题意舍去；当t =2时，点A 的坐标为(2,3)，点B 的坐标为(−23,0)，设直线PB 的表达式为：y =ax +b ，将B(−23,0)，P(23,0)代入得：{23a +b =0−23a +b =3，解得：{a =−94b =32，∴直线PB 的表达式为：y =−94+32，对于y =−94+32，当x =0时，y =32，∴点C 的坐标为(0,32)．故答案为：(0,32)．设点A(t,6t )，由AB//x 轴得点B(kt 6,6t )，根据S △PAB =4，得12⋅(6−k)t 6⋅6t =4，由此解出k =−2，进而得点B(−t 3,6t )，再根据PA =PB ，得(t−23)2+(6t )2=(−t 3−23)2+(6t )2，由此解出t =2，进而得点B(−23,0)，然后利用待定系数法求出直线PB 的表达式为y =−94+32，据此可得点C 的坐标．此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，待定系数法求一次函数的表达式，解决问题的关键是理解反比例函数图象上点满足反比例函数的表达式，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式．22.【答案】325【解析】解：如图：∵翻折△ABD 使点B 落在AC 上的B′处，∴AD 平分∠BAC ，BD =B′D ，∴∠DAC =45°，∵B′D CD =23，即BD CD =23，∴CD BC =35，∵EF 是折痕，∴EF 垂直平分AD ，∴∠ADE =45°，∠AED =90°，AE =DE ，∴DE//AB ，∴△EDC ∽△ABC ，∴DE AB =CE AC =CD BC =35，设AE =x ，则DE =x ，EF =22x ，∴x AB =CE CE +x =35，解得AB =53x ，CE =32x ，∵AB =AB′=53x ，∴B′E =23x ，∴B′C =32x−23x =56x ，∴EF B′C = 22x 56x =3 25．故答案为：3 25．在图1根据折叠画出折痕，易得△ADE 是等腰直角三角形，EF 垂直平分AD ，得出△EDC ∽△ABC ，设AE =x ，根据相似比分别表示出EF ，B′C 即可求解．本题考查折叠的性质，相似三角形的性质，理清图中线段之间的关系是解题关键．23.【答案】24【解析】解：∵6<c−a <7∴AC 之间共有6个或7个整数，∵6个连续的整数满足p 21+p 22+p 23+⋯+p 2n =q 21+q 22+q 23+⋯+q 2n ，∴m ≥3．当m =3时，AC 间有7个整数，则A，B之间的3个整数设为x−2，x−1，x，B，C之间的4个整数为x+1，x+2，x+3，x+4，∴(x−2)2+(x−1)2+x2=(x+1)2+(x+2)2+(x+3)2+(x+4)2，∴x=−25或r=−1．当AC上有6个整数，(x−2)2+(x−1)2+x2=(x+1)2+(x+2)2+(x+3)2，无整数解．当m=4时，AC间有7个整数，则A，B之间的4个整数设为x−2，x−1，x，x+1，B，C之间的3个整数为x+2，x+3，x+4，∴(x−2)2+(x−1)2+x2+(x+1)2=(x+2)2+(x+3)2+(x+4)2，∴x=23或r=−1，当m=4，AC间有6个整数时，则A，B之间的4个整数设为x−2，x−1，x，x+1，B，C之间的2个整数为x+2，x+3，∴(x−2)2+(x−1)2+x2+(x+1)2=(x+2)2+(x+3)2，无整数解；当m=5时，则A，B之间的5个整数设为x−2，x−1，x，x+1，x+2，B，C之间的2个整数为x+3，x+4，∴(x−2)2+(x−1)2+x2+(x+1)2=(x+2)2+(x+3)2，无整数解或(x−2)2+(x−1)2+x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2，无整数解当m=6时，则A，B之间的5个整数设为x−2，x−1，x，x+1，x+2，x+3，B，C之间的2个整数为x+4，∴(x−2)2+(x−1)2+x2+(x+1)2+(x+2)2+(x+3)2=(x+4)2，无解．综上所述，x=−25或23或−1，则−25<b<−24或24<b<25或0<b<1．∴k=−25，k=24或k=0∵k是正整数．∴k=24故答案为：24．根据题意得出AC之间共有6个或7个整数，进而可得m23，设AC之间的数分别为x−2，x−1，x，x+1，x +2，x +3，x +4，根据题意列出一元二次方程，再计算即可．．本题考查了数字的变化知识，根据数轴上两点距离列出一元二次方程是解题关键．．24.【答案】解：(1)设A 系列产品的单价是x 元/件，则B 系列产品的单价是(x +5)元/件，根据题意得：100x =150x +5，解得：x =10，经检验，x =10是所列方程的解，且符合题意，∴x +5=10+5=15(元)．答：A 系列产品的单价是10元/件，B 系列产品的单价是15元/件；(2)设B 系列产品的实际售价应定为y 元/件，则每天可以卖50+10(15−y)=(200−10y)件，根据题意得：y(200−10y)=960，整理得：y 2−20y +96=0，解得：y 1=8，y 2=12，又∵要尽可能让顾客得到实惠，∴y =8．答：B 系列产品的实际售价应定为8元/件．【解析】(1)设A 系列产品的单价是x 元/件，则B 系列产品的单价是(x +5)元/件，利用数量=总价÷单价，结合100元购买A 系列产品的数量与150元购买B 系列产品的数量相等，可列出关于x 的分式方程，解之经检验后可得出A 系列产品的单价，再将其代入(x +5)中，即可求出B 系列产品的单价；(2)设B 系列产品的实际售价应定为y 元/件，则每天可以卖(200−10y)件，利用销售总额=销售单价×销售数量，可列出关于y 的一元二次方程，解之可得出y 的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论．本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．25.【答案】解：(1)将A(2,a)代入y =x +2，得a =2+2=4，∴A(2,4)，将A(2,4)代入y =k x ，得：4=k 2，解得：k =8，∴反比例函数解析式为y =8x ，联立得：{y =x +2y =8x ，解得：{x 1=2y 1=4，{x 2=−4y 2=−2，∴B(−4,−2)；(2)设F(t,8t )，过点F 作FH ⊥x 轴于点H ，过点A 作AG ⊥y 轴于点G ，∵A(2,4)，D(0,2)，∠AGD =90°，∴AG =2，DG =4−2=2，∴tan ∠ADG =AG DG =22=1，∴∠ADG =45°，AD = 2AG =2 2，∴∠CDO =∠ADG =45°，∵∠COD =90°，∴∠DCO =45°，∵EF//AD ，EF =12AD ，∴∠FEH =∠DCO =45°，∴FH =EF ⋅sin45°=12AD ⋅ 22= 24×2 2=1，∴|8t |=1，解得：t =±8，当t =8时，F 1(8,1)，E 1(7,0)；当t =−8时，F 2(−8,−1)，E 2(−7,0)；综上所述，点E的坐标为(7,0)或(−7,0)；(3)∵点D(0,2)关于x轴的对称点为M，∴M(0,−2)，∵B(−4,−2)，∴BM⊥y轴，∴∠BMP=90°，BM=4，设P(0,m)，则PM=m−(−2)=m+2，如图2，∵∠PBN=∠MBD，∴∠PBN−∠PBD=∠MBD−∠PBD，即∠NBD=∠PBM，∵△BMP∽△BDN，∴∠BDN=∠BMP=90°，∴点N在经过点D，且垂直AB的直线上，∴直线DN的解析式为y=−x+2，设经过点Q平行DN的直线解析式为y=−x+b，相切，当QN最小时，直线y=−x+b与y=8x=−x+b，联立得：8x整理得：x2−bx+8=0，∴Δ=b2−32=0，∴b=±42(负值舍去)，∴y=−x+42，联立得8x =−x +4 2，解得：x 1=x 2=2 2，∴Q(2 2,2 2)，令x =0，得y =4 2，∴L(0,4 2)，∴DL =4 2−2，∵∠LDK =45°，∴△DLK 是等腰直角三角形，∴DK = 22DL = 22×(4 2−2)=4− 2，∵∠DKQ =∠KQN =∠KDN =90°，∴四边形DKQN 是矩形，∴QN =DK =4− 2，DN =KQ ，∴QN 的最小值为4− 2，此时QL = 2×2 2=4，LK =DK =4− 2，∴DN =KQ =QL−LK =4−(4− 2)= 2，∵△BMP ∽△BDN ，∴PM DN =BM BD ，即PM 2=442，∴PM =1，∴P(0,−3)，综上所述，QN 的最小值为4− 2，点P 的坐标为(0,−3)．【解析】(1)运用待定系数法即可解决问题；(2)设F(t,8t )，过点F 作FH ⊥x 轴于点H ，过点A 作AG ⊥y 轴于点G ，利用解直角三角形可得tan ∠ADG =AG DG =22=1，求得∠ADG =45°，AD = 2AG =2 2，进而求得FH =EF ⋅sin45°=12AD ⋅ 22=24×2 2=1，建立方程求解即可得出答案；(3)根据对称性可得M(0,−2)，设P(0,m)，则PM =m−(−2)=m +2，由△BMP ∽△BDN ，可得∠BDN =∠BMP =90°，判断得出点N 在经过点D ，且垂直AB 的直线上，可得直线DN 的解析式为y =−x +2，设经过点Q 平行DN 的直线解析式为y =−x +b ，当QN 最小时，直线y =−x +b 与y =8x 相切，可求得Q(2 2,2 2)，再证得△DLK 是等腰直角三角形，四边形DKQN 是矩形，可求得QN 的最小值为4−2，再利用相似三角形性质即可求得点P的坐标．本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．26.【答案】(1)证明：∵将AC绕点A顺时针旋转α得到AE，∴∠CAE=α，AC=AE，∵∠BAD=α，∴∠BAD=∠CAE，∴∠BAC=DAE．在△BAC和△DAE中，{BA=DA∠BAC=∠DAEAC=AE，∴△BAC≌△DAE(SAS)，∴∠C=∠E；(2)解：∵△BAC≌△DAE，∴∠ABC=∠ADE，BC=DE=DF+FE=9，∵AB=AD，∴∠B=∠ADB，∴∠ADB=∠ADE．∵DE//AB，∴∠ADE=∠BAD，∴∠B=∠ADB=∠DAB，∴AB=AD=BD，设AB=AD=BD=x，则CD=9−x，∵DE//AB，∴△CDF∽△CBA，∴DF AB =CDCB，∴2 x =9−x9，解得：x=3或6．∴BD的长为3或6；(3)解：∵S△ADFS△ABC =1n+2，△BAC≌△DAE，∴S△ADF S△ADE =1n+2，∴S△ADF S△AFE =1n+1，∵点F为AC中点，∴S△ADF=S△DCF，∴S△DCF S△AEF =1n+1，由(1)知：∠C=∠E，∵∠DFC=∠AFE，∴△DFC∽△AFE，∴DC AE =CFFE=DFAF=S△DFCS△AFE=1n+1，∴4 AE =1n+1，∴AE=4n+1．∴AC=AE=4n+1，∴AF=FC=12AC=2n+1，∴2n+1FE =DF2n+1=1n+1，∴FE=2n+2，DF=2．∴DE=DF+FE=2n+4，∵△BAC≌△DAE，∴BC=DE=2n+4，∵BC=BD+CD，∴BD=2n．过点A作AM⊥BD于点M，AN⊥DE于点N，如图，∵AB=AD，∴BM=DM=12BD=n，由(2)知：∠ADB=∠ADE，∴AM=AN，在Rt△ADM和Rt△ADN中，{AD=ADAM=AN，∴Rt△ADM≌Rt△ADN(HL)，∴DM=DN=n，∴EN=DE−DN=n+4，∴AN2=AE2−EN2=(4n+1)2−(n+4)2，∴AM2=AN2=AE2−EN2=(4n+1)2−(n+4)2=8n−n2，在Rt△ADM中，AB=BM2+AM2=n2+8n−n2=8n=22n．【解析】(1)利用旋转的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；(2)利用平行线的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可；(3)利用全等三角形的判定与性质，等高的三角形的面积比等于底的比的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和勾股定理解答即可．本题主要考查了几何的变换，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．。
成都七中初中学校初三数学九年级上册期末试题及答案
一、选择题
1．圆锥的底面半径为2，母线长为6，它的侧面积为（）
A． B． C． D．
2．当函数 是二次函数时，a的取值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，矩形 中， ， ，点 为矩形内一动点，且满足 ，则线段 的最小值为（）
A．5B．1C．2D．3
30．如图，正方形ABCD的边长为5，E、F分别是BC、CD上的两个动点，AE⊥EF．则AF的最小值是_____．
三、解答题
31．已知二次函数y＝x2－2 mx＋m2＋m－1（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图像与x轴总有两个公共点；
（2）将该二次函数的图像向下平移k（k＞0）个单位长度，使得平移后的图像经过点（0，－2），则k的取值范围是．
A．∠B＝∠DB．∠C＝∠EC． D．
14．已知一组数据:2，5，2，8，3，2，6，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．中位数是3，众数是2B．中位数是2，众数是3
C．中位数是4，众数是2D．中位数是3，众数是4
15．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ）
A．②④B．①③C．②③④D．①③④
7．已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（ ）
A．−2B．2C．−4D．4
8．抛物线 的顶点坐标是
A． B． C． D．
9．已知2x＝3y（x≠0，y≠0），则下面结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．如果两个相似三角形的周长比是1：2，那么它们的面积比是（ ）
四川省成都七中学2022-2023学年数学九年级第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列事件中，必然事件是（ ）A ．任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上B ．从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王C ．通常情况下，抛出的篮球会下落D ．三角形内角和为360°2．若275x y z ==，设y A x y z =++，x z B y +=，x y z C x +-=，则A 、B 、C 的大小顺序为（ ） A ．A B C >>B ．A BC << C ．C A B >>D ．A C B << 3．如图，已知AB 为O 的直径，点C ，D 在O 上，若28BCD ∠=︒，则ABD ∠=（ ）A ．72︒B ．56︒C ．62︒D ．52︒4．若点(2,3)M b -关于原点对称点N 的坐标是(3,2)a --，则,a b 的值为（ ）A ．1,1a b =-=B ．1,1a b ==-C ．1,1a b ==D ．1,1a b =-=-5．如图，已知AOB ∠．按照以下步骤作图：①以点O 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交AOB ∠的两边于C ，D 两点，连接CD ．②分别以点C ，D 为圆心，以大于线段OC 的长为半径作弧，两弧在AOB ∠内交于点E ，连接CE ，DE ．③连接OE 交CD 于点M ．下列结论中错误的是（ ）A ．CEO DEO ∠=∠B ．CM MD =C ．OCD ECD ∠=∠ D ．12OCED S CD OE =⋅四边形 6．半径为6cm 的圆上有一段长度为1．5πcm 的弧，则此弧所对的圆心角为（ ）A ．45B ．75C ．90D ．1507．下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（ ）A ．2组B ．3组C ．4组D ．5组8．如图，AB 为⊙O 的弦，半径OC 交AB 于点D ，AD ＝DB ，OC ＝5，OD ＝3，则AB 的长为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．39．如图，在ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(1,0)-．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作ABC 的位似图形A B C ''，使得A B C ''的边长是ABC 的边长的2倍．设点B 的坐标是13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则点B '的坐标是（ ）A ．(3,1)-B ．(4,)1-C ．(5,2)-D ．(6,1)-10．用配方法解方程x 2+2x ﹣5=0时，原方程应变形为（ ）A ．（x ﹣1）2=6B ．（x+1）2=6C ．（x+2）2=9D ．（x ﹣2）2=9二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，边长为1的正方形网格中，ABC ∆的顶点都在格点上，则ABC ∆的面积为_______ ； 若将ABC ∆绕点C 顺时针旋转60︒，则顶点A 所经过的路径长为__________．12．在直径为4cm 的⊙O 中，长度为23cm 的弦BC 所对的圆周角的度数为____________.13．已知函数12(0)3(0)x x y x x⎧->⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩的图象如图所示，点P 是y 轴负半轴上一动点，过点P 作y 轴的垂线交图象于A 、B 两点，连接OA 、OB ．下列结论；①若点M 1（x 1，y 1），M 2（x 2，y 2）在图象上，且x 1＜x 2＜0，则y 1＜y 2；②当点P 坐标为（0，﹣3）时，△AOB 是等腰三角形；③无论点P 在什么位置，始终有S △AOB ＝7.5，AP ＝4BP ；④当点P 移动到使∠AOB ＝90°时，点A 的坐标为（26，﹣6）．其中正确的结论为___．14．如果等腰△ABC 中，3AB AC ==，1cos 3B ∠=，那么cos A ∠=______．15．某人沿着有一定坡度的坡面前进了6米，此时他在垂直方向的距离上升了2米，则这个坡面的坡度为_____．16．某物体对地面的压强P （Pa ）与物体和地面的接触面积S （m 2）成反比例函数关系（如图），当该物体与地面的接触面积为0.25m 2时，该物体对地面的压强是______Pa ．17．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为_____．18．若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为______．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）将△ABC向上平移3个单位后，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标．（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，请画出旋转后的△A2B2C2，并求点B所经过的路径长（结果保留π）20．（6分）如图，△ABC的坐标依次为（﹣1，3）、（﹣4，1）、（﹣2，1），将△ABC绕原点O顺时针旋转180°得到△A1B1C1．（1）画出△A1B1C1；（2）求在此变换过程中，点A 到达A 1的路径长．21．（6分）如图，四边形ABCD 为正方形，点A 的坐标为()0,2，点B 的坐标为()0,3-，反比例函数(0)k y k x=≠的图象经过点C .（1）AD 的线段长为 ；点C 的坐标为 ；（2）求反比例函数的解析式:（3）若点P 是反比例函数图象上的一点，PAD △的面积恰好等于正方形ABCD 的面积，求点P 的坐标.22．（8分）某单位准备组织员工到武夷山风景区旅游，旅行社给出了如下收费标准（如图所示）：设参加旅游的员工人数为x 人．（1）当25＜x ＜40时，人均费用为 元，当x≥40时，人均费用为 元；（2）该单位共支付给旅行社旅游费用27000元，请问这次参加旅游的员工人数共有多少人？23．（8分）先化简，再求值：（2241-442a a a a--+-）÷212a a -，其中a 是一元二次方程对a 2+3a ﹣2＝0的根． 24．（8分）已知关于x 的一元二次方程kx 2﹣6x+1＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）写出满足条件的k 的最大整数值，并求此时方程的根．25．（10分）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D ，E 两点分别在AC ，BC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现：当α＝0°时，AD BE的值为 ；（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出ADBE的值；（3）问题解决：当△EDC旋转至A，B，E三点共线时，若设CE＝5，AC＝4，直接写出线段BE的长．26．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的长．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上是随机事件；从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王是随机事件；通常情况下，抛出的篮球会下落是必然事件；三角形内角和为360°是不可能事件，故选C.本题考查随机事件.2、B 【分析】根据275x y z ==，设x=1a ，y=7a ，z=5a ，进而代入A ，B ，C 分别求出即可． 【详解】解：∵275x y z ==，设x=1a ，y=7a ，z=5a ， ∴y A x y z =++=712752a a a a =++， x z B y +==257a a a+=1， x y z C x +-==2752a a a a+-=1． ∴A ＜B ＜C ．故选：B ．【点睛】本题考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出x ，y ，z 的值进而求出是解题的关键．3、C【分析】连接AD,根据同弧所对的圆周角相等，求∠BAD 的度数，再根据直径所对的圆周角是90°，利用内角和求解.【详解】解：连接AD,则∠BAD=∠BCD=28°,∵AB 是直径，∴∠ADB=90°,∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-28°=62°.故选：C.【点睛】本题考查圆周角定理，运用圆周角定理是解决圆中角问题的重要途径，直径所对的圆周角是90°是圆中构造90°角的4、A【分析】根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数得出关于a ，b 的方程组，解之即可． 【详解】解：点(2,3)M b -，(3,2)N a --关于原点对称，∴3232a b --=-⎧⎨-=-⎩， 解得：11a b =-⎧⎨=⎩． 故选：A ．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．5、C【分析】利用基本作图得出是角平分线的作图，进而解答即可．【详解】由作图步骤可得：OE 是AOB ∠的角平分线，∴∠COE=∠DOE ，∵OC=OD ，OE=OE ，OM=OM ，∴△COE ≌△DOE ，∴∠CEO=∠DEO ，∵∠COE=∠DOE ，OC=OD ，∴CM=DM ，OM ⊥CD ，∴S 四边形OCED =S △COE +S △DOE =111222OE CM OE DM CD OE +=， 但不能得出OCD ECD ∠=∠，∴A 、B 、D 选项正确，不符合题意，C 选项错误，符合题意，故选C ．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)是解题的关键.6、B【分析】根据弧长公式，即可求解．【详解】∵180n r l π=， ∴62.5180n ππ⨯=，解得：n=75， 故选B ．【点睛】 本题主要考查弧长公式，掌握180n r l π=是解题的关键． 7、A 【解析】试题解析：①不相似，因为没有指明相等的角或成比例的边；②不相似，因为只有一对角相等，不符合相似三角形的判定；③相似，因为其四个角均相等，四条边都相等，符合相似的条件；④不相似，虽然其四个角均相等，因为没有指明边的情况，不符合相似的条件；⑤不相似，因为菱形的角不一定对应相等，不符合相似的条件；⑥相似，因为两正五边形的角相等，对应边成比例，符合相似的条件；所以正确的有③⑥．故选A ．8、A【分析】连接OB ，根据⊙O 的半径为5，CD ＝2得出OD 的长，再由垂径定理的推论得出OC ⊥AB ，由勾股定理求出BD 的长，进而可得出结论．【详解】解：连接OB ，如图所示：∵⊙O 的半径为5，OD ＝3，∵AD ＝DB ，∴OC ⊥AB ，∴∠ODB ＝90°，∴BD 2222534OD∴AB ＝2BD ＝1．故选：A ．【点睛】本题主要考查的是圆中的垂径定理“垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧”，掌握垂径定理是解此题的关键.9、A【分析】作BD ⊥x 轴于D ，B′E ⊥x 轴于E ，根据相似三角形的性质求出CE ，B′E 的长，得到点B′的坐标．【详解】作BD ⊥x 轴于D ，B′E ⊥x 轴于E ，∵点C 的坐标是(1,0)-,点B 的坐标是13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴CD=2，BD=12， 由题意得：ABC C ∽△A B C '',相似比为1:2，∴''12BD CD BC B E CE B C ===， ∴CE=4，B′E=1，∴点B′的坐标为（3，-1），故选：A ．【点睛】本题考查了位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似变换的性质是解答的关键．10、B【解析】x 2+2x ﹣5=0，x 2+2x=5，x 2+2x+1=5+1，（x+1）2=6，故选B.二、填空题(每小题3分,共24分)11、3.5；10 3π【分析】（1）利用△ABC所在的正方形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式计算即可得解；（2）根据勾股定理列式求出AC，然后利用弧长公式列式计算即可得解．【详解】（1）△ABC的面积＝3×3−12×2×3−12×1×3−12×1×2，＝9−3−1.5-1＝3.5；（2）由勾股定理得，AC＝221310+=，所以，点A所经过的路径长为601010 1803ππ⋅⋅=故答案为：3.5；103π．【点睛】本题考查了利用旋转的性质，弧长的计算，熟练掌握网格结构，求出AC的长是解题的关键．12、60°或120°【分析】如下图所示，分两种情况考虑：D点在优弧CDB上或E点在劣弧BC上时，根据三角函数可求出∠OCF的大小，进而求出∠BOC的大小，再由圆周角定理可求出∠D、∠E大小，进而得到弦BC所对的圆周角．【详解】解：分两种情况考虑：D在优弧CDB上或E在劣弧BC上时，可得弦BC所对的圆周角为∠D或∠E，如下图所示，作OF⊥BC，由垂径定理可知，F为BC的中点，∴CF=BF=123cm，又直径为4cm，∴OC=2cm，在Rt △AOC 中，cos ∠OCF==CF OC ， ∴∠OCF=30°，∵OC=OB ，∴∠OCF=∠OBF=30°，∴∠COB=120°，∴∠D=12∠COB=60°， 又圆内接四边形的对角互补，∴∠E=120°，则弦BC 所对的圆周角为60°或120°．故答案为：60°或120°．【点睛】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．13、②③④．【分析】①错误．根据x 1＜x 2＜0时，函数y 随x 的增大而减小可得；②正确．求出A 、B 两点坐标即可解决问题；③正确．设P （0，m ），则B （3m ，m ），A （﹣12m ，m ），求出PA 、PB ，推出PA ＝4PB ，由S AOB ＝S △OPB +S △OPA 即可求出S △AOB ＝7.5；④正确．设P （0，m ），则B （3m ，m ），A （﹣12m ，m ），推出PB ＝﹣3m ，PA ＝﹣12m，OP ＝﹣m ，由△OPB ∽△APO ，可得OP 2＝PB •PA ，列出方程即可解决问题．【详解】解：①错误．∵x 1＜x 2＜0，函数y 随x 是增大而减小，∴y 1＞y 2，故①错误．②正确．∵P （0，﹣3），∴B （﹣1，﹣3），A （4，﹣3），∴AB ＝5，OA 5，∴AB ＝AO ，∴△AOB 是等腰三角形，故②正确．③正确．设P （0，m ），则B （3m ，m ），A （﹣12m，m ），∴PB＝﹣3m，PA＝﹣12m，∴PA＝4PB，∵S AOB＝S△OPB+S△OPA＝32+122＝7.5，故③正确．④正确．设P（0，m），则B（3m，m），A（﹣12m，m），∴PB＝﹣3m，PA＝﹣12m，OP＝﹣m，∵∠AOB＝90°，∠OPB＝∠OPA＝90°，∴∠BOP+∠AOP＝90°，∠AOP+∠OAP＝90°，∴∠BOP＝∠OAP，∴△OPB∽△APO，∴OPAP＝PBOP，∴OP2＝PB•PA，∴m2＝﹣3m•（﹣12m），∴m4＝36，∵m＜0，∴m＝﹣6，∴A（26，﹣6），故④正确．∴②③④正确，故答案为②③④．【点睛】本题考查反比例函数综合题、等腰三角形的判定、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题．14、79；【分析】过点A 作AE BC ⊥于点E ，过点C 作CD AB ⊥于点D ，由于1cos 3B ∠=，所以13BD BC =，13BE AC =，根据勾股定理以及锐角三角函数的定义可求出AD 的长度． 【详解】解：过点A 作AE BC ⊥于点E ，过点B 作BD AC ⊥于点D ，1cos 3B ∠=， 13BE AB ∴=，13BD BC =， AB=AC=3，∴BE=EC=1，BC=2， 又∵13BD BC =， ∴BD=23, 27333AD AC CD ∴=-=-=， ∵cos A ∠=AD AC， ∴773==39AD AC ， 故答案为：79. 【点睛】本题考查解直角三角形，涉及锐角三角函数的定义，需要学生灵活运用所学知识．152【分析】先利用勾股定理求出AC 的长，再根据坡度的定义即可得．【详解】由题意得：6AB =米，2BC =米，AC BC ⊥， 在Rt ABC 中，22226242AC AB BC =-=-=（米）， 则这个坡面的坡度为2442BC AC ==，故答案为：24．【点睛】本题考查了勾股定理、坡度的定义，掌握理解坡度的定义是解题关键．16、1【分析】直接利用函数图象得出函数解析式，进而求出答案．【详解】设P＝ks，把（0.5，2000）代入得：k＝1000，故P＝1000s，当S＝0.25时，P＝10000.25＝1（Pa）．故答案为：1．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析会死是解题关键．17、1【分析】根据切线长定理得到AE=AH，BE=BF，CF=CG，DH=DG，得到AD+BC=AB+CD=25，根据四边形的周长公式计算，得到答案．【详解】∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，∴AD+BC＝AB+CD＝25，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝25+25＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键．183.【分析】连接OA、OB，根据正六边形的性质求出∠AOB，得出等边三角形OAB，求出OA、AM的长，根据勾股定理求出即可．【详解】连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵正六边形ABCDEF，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF，∴∠AOB=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2，∵AB⊥OM，∴AM=BM=1，在△OAM中，由勾股定理得：OM=3．三、解答题(共66分)19、（1）图见解析，（-3，6）；（2）图见解析，17 2【分析】（1）根据△ABC向上平移3个单位，得出对应点位置，即可得出A1的坐标；（2）得出旋转后的△A2B2C2，再利用弧长公式求出点B所经过的路径长．【详解】解：（1）如图所示：A1的坐标为：（-3，6）；（2）如图所示：∵BO=221417+=，∴点B 所经过的路径长=9017171802ππ⨯=． 20、（1）画图见解析；（2）点A 到达A 1的路径长为π10．【分析】（1）根据旋转的定义分别作出点A ，B ，C 绕原点旋转所得对应点，再首尾顺次连接即可得；（2）点A 到达A 1的路径是以O 为圆心，OA 为半径的半圆，据此求解可得．【详解】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求．（2）∵OA 221+310，∴点A 到达A 1的路径长为1210＝10． 【点睛】本题考查利用旋转变换作图，勾股定理，弧长公式，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．21、（1）5，()5,3-；（2）15y x =-；（3）点P 的坐标为5,124⎛⎫- ⎪⎝⎭或15,88⎛-⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据正方形及点A 、B 的坐标得到边长，即可求得AD ，得到点C 的坐标；（2）将点C 的坐标代入解析式即可；（3）设点P 到AD 的距离为h ，根据PAD △的面积恰好等于正方形ABCD 的面积求出h 的值，再分两种情况求得点P 的坐标.【详解】（1）∵点A 的坐标为()0,2，点B 的坐标为()0,3-，∴AB=2-(-3)=5，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD=AB=5，∵BC=AD=5，BC ⊥y 轴，∴C ()5,3-.故答案为：5，()5,3-；()2把(5,3)C -代入反比例函数k y x =得 35k -=解得15k =- ∴反比例函数的解析式为15y x=-； （3）设点P 到AD 的距离为h ．正方形ABCD 的面积 5525⨯=，PAD ∴的面积15252h ⨯⨯= ， 解得10h =.①当点P 在第二象限时212P y h =+=，此时，155124p x =-=- ∴点P 的坐标为5,124⎛⎫- ⎪⎝⎭②当点P 在第四象限时，28P y h =--=-（） 此时，151588p x =-=- ∴点P 的坐标为15,88⎛-⎫ ⎪⎝⎭综上所述，点P 的坐标为5,124⎛⎫-⎪⎝⎭或15,88⎛-⎫ ⎪⎝⎭【点睛】此题考查正方形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，利用反比例函数求点坐标，（3）中确定点P 时不要忽略反比例函数的另一个分支.22、（1）1000﹣20（x ﹣25）；1．（2）30名【分析】（1）求出当人均旅游费为1元时的员工人数，再根据给定的收费标准即可求出结论；（2）由25×1000＜210＜2×1可得出25＜x ＜2，由总价=单价×数量结合（1）的结论，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】解：（1）∵25+（1000﹣1）÷20=2（人），∴当25＜x ＜2时，人均费用为[1000﹣20（x ﹣25）]元，当x≥2时，人均费用为1元．（2）∵25×1000＜210＜2×1，∴25＜x ＜2．由题意得：x[1000﹣20（x ﹣25）]=210，整理得：x 2﹣75x+1350=0，解得：x 1=30，x 2=45（不合题意，舍去）．答：该单位这次共有30名员工去旅游．【点睛】本题考查了列代数式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列出代数式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．23、a 1+3a ，1【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据a 1+3a ﹣1＝0可以得到a 1+3a 的值，从而可以求得所求式子的值．【详解】解：（2241442a a a a---+-）÷212a a - ＝[2(2)(2)1(2)2a a a a +-+--]•a （a ﹣1） ＝（2122a a a ++--）•a （a ﹣1） ＝32a a +-•a （a ﹣1） ＝a （a +3）＝a 1+3a ，∵a 1+3a ﹣1＝0，∴a 1+3a ＝1，∴原式＝1．【点睛】本题考查分式的化简求值，代数式求值．解决此题应注意运算顺序，能熟练掌握通分、因式分解、约分等知识点是解题关键．24、（1）k k ≠＜9且0（2） 11=2x ，21=4x 【解析】（1）根据一元二次方程的定义可知k≠0，再根据方程有两个不相等的实数根，可知△>0，从而可得关于k 的不等式组，解不等式组即可得；（2）由（1）可写出满足条件的k 的最大整数值，代入方程后求解即可得.【详解】（1） 依题意，得()20640k k ≠⎧⎪⎨∆=--⎪⎩＞， 解得k 9＜且k 0≠；(2) ∵k 是小于9的最大整数，∴k=8，此时的方程为28x 6x 10-+=， 解得11x =2，21x =4. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义、解一元二次方程等，熟练一元二次方程根的判别式与一元二次方程的根的情况是解题的关键.25、（1）2；（2）2；（3）7或1． 【分析】（1）先证△DEC为等腰直角三角形，求出CD CE =AD BE 的值； （2）证△BCE ∽△ACD ，由相似三角形的性质可求出AD BE的值； （3）分两种情况讨论，一种是点E 在线段BA 的延长线上，一种是点E 在线段BA 上，可分别通过勾股定理求出AE 的长，即可写出线段BE 的长．【详解】（1）∵∠BAC =90°，AB =AC ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∠B =45°．∵DE ∥AB ，∴∠DEC =∠B =45°，∠CDE =∠A =90°，∴△DEC 为等腰直角三角形，∴cos ∠C CD CE == ∵DE ∥AB ，∴2AD CD BE CE ==．故答案为：2； （2）由（1）知，△BAC 和△CDE 均为等腰直角三角形，∴AC DC BC EC ==． 又∵∠BCE =∠ACD =α，∴△BCE ∽△ACD ，∴2AD AC BE BC ==，即2AD BE =； （3）①如图3﹣1，当点E 在线段BA 的延长线上时．∵∠BAC =90°，∴∠CAE =90°，∴AE ===3，∴BE =BA +AE =4+3=7；②如图3﹣2，当点E 在线段BA 上时，AE ===3，∴BE =BA ﹣AE =4﹣3=1．综上所述：BE 的长为7或1．故答案为：7或1．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质等，解答本题的关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用．26、（1）见解析；（2）DF＝23．【分析】（1）连接OD，求出AC∥OD，求出OD⊥DE，根据切线的判定得出即可；（2）求出∠1=∠2=∠F=30°，求出AD=DF，解直角三角形求出AD，即可求出答案．【详解】（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，∵OA＝OD，∴∠2＝∠ADO，∴∠1＝∠ADO，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∴OD⊥ED，∵OD过O，∴DE与⊙O相切；（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠1＝∠2，CD＝BD，∵CD＝BF，∴BF＝BD，∴∠3＝∠F，∴∠4＝∠3+∠F＝2∠3，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠4＝2∠3，∵∠ODF＝90°，∴∠3＝∠F＝30°，∠4＝∠ODB＝60°，∵∠ADB＝90°，∴∠2＝∠1＝30°，∴∠2＝∠F，∴DF＝AD，∵∠1＝30°，∠AED＝90°，∴AD＝2ED，∵AE2+DE2＝AD2，AE＝3，∴AD＝∴DF＝【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，圆周角定理，切线的判定定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．。
2022-2023学年四川省成都七中初中学校九年级上学期期末数学试卷及参考答案
2022-2023学年成都七中初中学校初三数学第一学期期末试卷一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列几何体中，有一个几何体的主视图与俯视图的形状不一样，这个几何体是( )A ．B ．C ．D ．2．下列函数中，y 是x 的反比例函数的是( )A ．3x y =−B ．15y x =C ．61y x =−D ．6y x =−3．在一个不透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.5，由此可估计袋中红球的个数约为( )A ．6个B ．8个C ．10个D ．12个4．如图，ABC ∆与DEF ∆位似，点O 为位似中心，已知:3:2BO OE =，则ABC ∆与DEF ∆的面积比是( )A ．9:4B ．5:2C ．5:3D ．3:25．数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时测得60D ∠=︒，对角线AC 长为16cm ，改变教具的形状成为图2所示的正方形，则正方形的边长为( )A ．8cmB ．42cmC ．16cmD ．162cm6．如图，在ABC ∆中，//DE BC ，若23AE BE =，则ADE BCDE S S ∆四边形的值为( )A ．23B ．49C ．425D ．4217．大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm ，像距为15cm ，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm ，则蜡烛火焰的高度是( )A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm8．如图．在平面直角坐标系中，AOB ∆的面积为278，BA 垂直x 轴于点A ，OB 与双曲线k y x =相交于点C ，且:1:2BC OC =．则k 的值为( )A ．3−B ．94−C ．3D ．92二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
2022-2023学年四川省成都市七中学育才学校数学九年级第一学期期末调研试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，点M 是矩形ABCD 的边BC ，CD 上的点，过点B 作BN AM ⊥于点P ，交矩形ABCD 的边于点N ，连接DP ．若6AB =，4=AD ，则DP 的长的最小值为( )A ．2B ．121313C ．4D ．52．如图，在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则图中的相似三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 3．如图，OA 交⊙O 于点B ，AD 切⊙O 于点D ，点C 在⊙O 上．若∠A ＝40°，则∠C 为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°4．如图所示，AD 是ABC ∆的中线，E 是AD 上一点，1:3AE ED =:，BE 的延长线交AC 于F ，:AF AC =（ ）A ．1:4B ．1:5C ．1:6D ．1:75．如图，在正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是BC 上的一点，且BF ＝3CF ，连接AE 、AF 、EF ，下列结论：①∠DAE ＝30°，②△ADE ∽△ECF ，③AE ⊥EF ，④AE 2＝AD•AF ，其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，这是一个由四个半径都为1米的圆设计而成的花坛，圆心在同一直线上，每个圆都会经过相邻圆的圆心，则这个花坛的周长（实线部分）为（ ）A ．4π米B ．113π米C ．3π米D ．2π米7．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）A ．点PB ．点DC ．点MD ．点N8．用配方法解方程2680x x --=时，配方结果正确的是（ ）A ．2(3)17x -=B ．2(3)14x -=C ．2(6)44x -=D ．2(3)1x -=9．函数23x y x x =+--的自变量x 的取值范围是（ ） A ．3x ≠ B ．2x ≠ C ．2x ≤ D ．2x ≤且3x ≠10．一个菱形的边长是方程28150x x -+=的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（ ） A ．48 B ．24C ．24或40D ．48或80 11．已知函数()22y x =--的图像上两点()1,A a y ，()21,B y ，其中1a <，则1y 与2y 的大小关系为（ ）A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．无法判断 12．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线246y x x =-+上运动，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连结BD ，则对角线BD 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．3二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，是用卡钳测量容器内径的示意图．量得卡钳上A ，D 两端点的距离为4cm ，25AO DO OC OB ==，则容器的内径BC 的长为_____cm ．14．把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是_____．15．已知函数22(0)(0)x x x y x x ⎧-+>=⎨≤⎩的图象如图所示，若直线y x m =+与该图象恰有两个不同的交点，则m 的取值范围为_____．16．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上， CD 与⊙O 相切于点D ，若∠CDA =122°，则∠C =_______．17．如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若4AB =，3AD =，则CF 的长为________．18．一个直角三角形的两直角边长分别为12cm 和8cm ，则这个直角三角形的面积是_____cm 1．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，我国海监船在A 处发现正北方向B 处有一艘可疑船只，正沿南偏东45︒方向航行，我海监船迅速沿北偏东30︒方向去拦裁，经历4小时刚好在C 处将可疑船只拦截，已知我海监船航行的速度是每小时35海里，求可疑船只航行的距离BC ．20．（8分）如图，在ABC 中，I 是内心，AB AC =，O 是AB 边上一点，以点O 为圆心，OB 为半径的O 经过点I ，交AB 于点F .（1）求证：AI 是O 的切线；（2）连接IF ，若2IF =，30IBC ∠=︒，求圆心O 到BI 的距离及IF 的长.21．（8分）如图，⊙O 的直径为AB ，点C 在⊙O 上，点D ，E 分别在AB ，AC 的延长线上，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A ＝∠CDE ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝4，BD ＝3，求CD 的长．22．（10分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，BE DF 、分别是ABC ADC ∠∠、的平分线，且与对角线AC 分别相交于点E F 、.(1)求证:AE CF =；(2)连结ED FB 、，判断四边形BEDF 是否是平行四边形，说明理由.23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，ABO ∆的边AB 垂直于x 轴、垂足为点B ，反比例函数11(0)k y x x=<的图象经过AO 的中点C 、且与AB 相交于点D ．经过C 、D 两点的一次函数解析式为22y k x b =+，若点D 的坐标为(4-，1)．且3AD =．（1）求反比例函数的解析式；（2）在直线CD 上有一点P ，POB ∆的面积等于8．求满足条件的点P 的坐标；（3）请观察图象直接写出不等式12k k x b x>+的解集．24．（10分）已知锐角△ABC 内接于⊙O ，OD ⊥BC 于点D ．（1）若∠BAC =60°，⊙O 的半径为4，求BC 的长；（2）请用无刻度直尺．．．．．画出△ABC 的角平分线AM ． （不写作法，保留作图痕迹）25．（12分）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是BC 边上的高，E 是BC 边上的一个动点（不与B ，C 重合），EF ⊥AB ，EG ⊥AC ，垂足分别为F ，G ．（1）求证：EG CG =AD CD； （2）FD 与DG 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；（3）当AB AC的值为多少时，△FDG 为等腰直角三角形？26．《海岛算经》第一个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰A 的高度AH ，立两根高3丈的标杆BC 和DE ，两竿之间的距1000BD =步，D B H 、、成一线，从B 处退行123步到F ，人的眼睛贴着地面观察A 点，A C F 、、三点成一线；从D 处退行127步到G ，从G 观察A 点，A E G 、、三点也成一-线．试计算山峰的高度AH 及HB 的长． (这里1步6=尺，1丈10=尺，结果用丈表示) ．怎样利用相似三角形求得线段AH 及HB 的长呢？请你试一试!参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】由BN AM ⊥可得∠APB =90°，根据AB 是定长，由定长对定角可知P 点的运动轨迹是以AB 为直径，在AB 上方的半圆，取AB 得中点为O ，连结DO ，DO 与半圆的交点是DP 的长为最小值时的位置，用DO 减去圆的半径即可得出最小值．【详解】解：∵BN AM ⊥，∴∠APB =90°，∵AB=6是定长，则P 点的运动轨迹是以AB 为直径，在AB 上方的半圆，取AB 得中点为O ，连结DO ，DO 与半圆的交点P'是DP 的长为最小值时的位置，如图所示：∵6AB =，4=AD ，∴'3==P O AO ，由勾股定理得：DO =5，∴''2=-=DP DO P O ，即DP 的长的最小值为2，故选A ．【点睛】本题属于综合难题，主要考查了直径所对的角是圆周角的应用：由定弦对定角可得动点的轨迹是圆，发现定弦和定角是解题的关键．2、C【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形．【详解】∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB∴△ABC ∽△ACD ，△ACD ∽△CBD ，△ABC ∽△CBD所以有三对相似三角形，故选：C ．【点睛】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似．3、B【分析】根据切线的性质得到∠ODA ＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DOA ，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵AD 切O 于点D ∴OD AD ⊥∴90ODA =∠°∵40A ∠=︒∴904050DOA ∠=︒-︒=︒ ∴1252BCD DOA ∠=∠=︒ 故选：B【点睛】本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线、圆周角定理以及直角三角形两锐角互余的性质，结合图形认真推导即可得解．4、D【分析】作DH ∥BF 交AC 于H ，根据三角形中位线定理得到FH=HC ，根据平行线分线段成比例定理得到13AF AE HF ED ==，据此计算得到答案． 【详解】解：作DH ∥BF 交AC 于H ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=DC ，∴FH=HC ，∴FC=2FH ，∵DH ∥BF ，:1:3AE ED =， 13AF AE HF ED ∴==， ∴AF ：FC=1：6，∴AF ：AC=1：7，故选：D ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，作出平行辅助线，灵活运用定理、找准比例关系是解题的关键．5、C【分析】根据题意可得tan ∠DAE 的值，进而可判断①；设正方形的边长为4a ，根据题意用a 表示出FC ，BF ，CE ，DE ，然后根据相似三角形的判定方法即可对②进行判断；在②的基础上利用相似三角形的性质即得∠DAE ＝∠FEC ，进一步利用正方形的性质即可得到∠DEA +∠FEC ＝90°，进而可判断③；利用相似三角形的性质即可判断④.【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，E 为CD 中点，∴CE ＝ED ＝12DC ＝12AD ， ∴tan ∠DAE ＝12DE AD =，∴∠DAE ≠30°，故①错误； 设正方形的边长为4a ，则FC ＝a ，BF ＝3a ，CE ＝DE ＝2a ，∴2,2DE AD FC EC ==，∴DE AD FC EC=，又∠D ＝∠C =90°， ∴△ADE ∽△ECF ，故②正确；∵△ADE ∽△ECF ，∴∠DAE ＝∠FEC ，∵∠DAE +∠DEA ＝90°∴∠DEA +∠FEC ＝90°，∴AE ⊥EF ．故③正确；∵△ADE ∽△ECF ，∴AD AE AE AF=，∴AE 2＝AD •AF ，故④正确. 综上，正确的个数有3个，故选：C.【点睛】本题考查了正方形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握正方形的性质和相似三角形的判定和性质是解题的关键.6、A【分析】根据弧长公式解答即可．【详解】解：如图所示：∵这是一个由四个半径都为1米的圆设计而成的花坛，圆心在同一直线上，每个圆都会经过相邻圆的圆心， ∴OA ＝OC ＝O 'A ＝OO '＝O 'C ＝1，∴∠AOC ＝120°，∠AOB ＝60°， ∴这个花坛的周长＝2401601244180180πππ⨯⨯⨯+⨯=， 故选：A ．【点睛】本题考查了圆的弧长公式，找到弧所对圆心角度数是解题的关键7、A【解析】试题分析：根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．解：∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M 、N 为对应点，所以位似中心在M 、N 所在的直线上，因为点P 在直线MN 上，所以点P 为位似中心．故选A ．考点：位似变换．8、A【分析】利用配方法把方程2680x x --=变形即可.【详解】用配方法解方程x 2﹣6x ﹣8＝0时，配方结果为（x ﹣3）2＝17，故选A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键．9、C【解析】根据二次根式被开方数大于等于0，分式分母不等于0列式计算即可得解．【详解】由题意得，20x -≥且30x -≠，解得：2x ≤．故选：C ．【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．10、B【解析】利用因式分解法解方程得到x1=5，x2=3，利用菱形的对角线互相垂直平分和三角形三边的关系得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线为6，然后计算菱形的面积．【详解】解：()()530x x --=，所以15x =，23x =，∵菱形一条对角线长为8，∴菱形的边长为5，∴菱形的另一条对角线为6=， ∴菱形的面积168242=⨯⨯=． 故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．也考查了三角形三边的关系和菱形的性质．11、B【分析】由二次函数()22y x =--可知，此函数的对称轴为x ＝2，二次项系数a ＝−1＜0，故此函数的图象开口向下，有最大值；函数图象上的点与坐标轴越接近，则函数值越大，故可求解．【详解】函数的对称轴为x ＝2，二次函数()22y x =--开口向下，有最大值，∵1a <，A 到对称轴x ＝2的距离比B 点到对称轴的距离远，∴12y y <故选：B ．【点睛】本题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象性质．12、B【分析】根据矩形的性质可知BD AC =，要求BD 的最小值就是求AC 的最小值，而AC 的长度对应的是A 点的纵坐标，然后利用二次函数的性质找到A 点纵坐标的最小值即可．【详解】∵四边形ABCD 是矩形∴BD AC =2246(2)2y x x x =-+=-+∴顶点坐标为(2,2)∵点A 在抛物线246y x x =-+上运动∴点A 纵坐标的最小值为2∴AC 的最小值是2∴BD 的最小值也是2故选：B ．【点睛】本题主要考查矩形的性质及二次函数的最值，掌握矩形的性质和二次函数的图象和性质是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、1【分析】依题意得：△AOD ∽△BOC ，则其对应边成比例，由此求得BC 的长度．【详解】解：如图，连接AD ，BC ， ∵25AO DO OC OB ==，∠AOD ＝∠BOC ， ∴△AOD ∽△BOC ， ∴25AD AO BC CO ==， 又AD ＝4cm ， ∴BC ＝52AD ＝1cm ． 故答案是：1．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．14、16【分析】由正方形的性质易证△ABC ∽△FEC ，可设BC=x ，只需求出BC 即可求出图中阴影部分的面积．【详解】如图所示：设BC ＝x ，则CE ＝1﹣x ，∵AB ∥EF ，∴△ABC ∽△FEC ∴AB EF ＝BC CE， ∴12＝x 1x- 解得x ＝13， ∴阴影部分面积为：S △ABC ＝12×13×1＝16， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及三角形的相似，本题要充分利用正方形的特殊性质．利用比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解即可解答.15、104m << 【解析】直线与y x =有一个交点，与22y x x =-+有两个交点，则有0m >，22x m x x +=-+时，140m ∆=->，即可求解．【详解】解：直线y x m =+与该图象恰有三个不同的交点，则直线与y x =有一个交点，∴0m >，∵与22y x x =-+有两个交点，∴22x m x x +=-+， 140m ∆=->， ∴14m <， ∴104m <<； 故答案为104m <<． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；能够根据条件，数形结合的进行分析，可以确定m 的范围．16、26°【分析】连接OD ，如图，根据切线的性质得∠ODC=90°，即可求得∠ODA=32°，再利用等腰三角形的性质得∠A=32°，然后根据三角形内角和定理计算即可．【详解】连接OD ，如图，∵CD 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥CD ，∴∠ODC=90°，∴∠ODA=∠CDA-90°=122°-90°=32°，∵OA=OD ，∴∠A=∠ODA=32°，∴∠C=180°-∠ADC+∠A=180°-122°-32°=26°．故答案为：26︒．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．17、103【解析】分析：根据勾股定理求出225AC AD CD =+=，根据AB ∥CD ，得到12AF AE CF CD ==，即可求出CF 的长. 详解：∵四边形ABCD 是矩形，∴4AB CD ==，AB ∥CD ，90ADC ∠=︒，在Rt ADC △中，90ADC ∠=︒，∴225AC AD CD =+=， ∵E 是AB 中点，∴1122AE AB CD ==， ∵AB ∥CD ，∴12AF AE CF CD ==，∴21033CF AC ==． 故答案为103.点睛：考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键. 18、26 【分析】本题可利用三角形面积1=2×底×高，直接列式求解． 【详解】∵直角三角形两直角边可作为三角形面积公式中的底和高， ∴该直角三角形面积11=12823222622⨯⨯=⨯⨯=． 故填：26．【点睛】本题考查三角形面积公式以及二次根式的运算，难度较低，注意计算仔细即可．三、解答题（共78分）19、702海里．【分析】过C 作CD AB ⊥于点D ，分别利用三角函数解Rt ACD ∆和Rt CDB ∆，即可进行求解.【详解】过C 作CD AB ⊥于点D ，根据题意得：354140AC =⨯= (海里) ，在Rt ACD ∆中，1 30140702CD AC sin ︒==⨯= (海里) ， 在Rt CDB ∆中，702sin 4522CD BC ︒===(海里) ， 答：可疑船只航行的距离BC 为2海里．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是方向角含义、三角函数的定义，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．20、（1）见解析；（2）点O到BI的距离是1，IF的长度2 3π【分析】（1）连接OI，延长AI交BC于点D，根据内心的概念及圆的性质可证明OI∥BD，再根据等腰三角形的性质及平行线的性质可证明∠AIO=90°，从而得到结论；（2）过点O作OE⊥BI，利用垂径定理可得到OE平分BI，再根据圆的性质及中位线的性质即可求出O到BI的距离；根据角平分线及圆周角定理可求出∠FOI=60°，从而证明△FOI为等边三角形，最后利用弧长公式进行计算即可.【详解】解：（1）证明：延长AI交BC于D，连接OI，∵I是△ABC的内心，∴BI平分∠ABC，AI平分∠BAC，∴∠1=∠3，又∵OB=OI，∴∠3=∠2，∴∠1=∠2，∴OI∥BD，又∵AB=AC，∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，∴∠AIO=∠ADB=90°，∴AI为O的切线；（2）作OE⊥BI，由垂径定理可知，OE平分BI，又∵OB=OF，∴OE是△FBI的中位线，∵IF=2，∴OE=12IF=122⨯=1，∴点O到BI的距离是1，∵∠IBC=30°，由（1）知∠ABI=∠IBC，∴∠ABI =30°，∴∠FOI=60°，又∵OF=OI，∴△FOI是等边三角形，∴OF=OI=FI=2，∴IF 的长度6022=1803ππ⨯=.【点睛】本题考查圆与三角形的综合，重点在于熟记圆的相关性质及定理，以及等腰三角形、等边三角形的性质与判定定理，注意圆中连接形成半径是常作的辅助线，等腰三角形中常利用“三线合一”构造辅助线.21、（1）见解析；（221【分析】（1）连接OC ，根据三角形的内角和得到90EDC ECD ∠+∠︒＝，根据等腰三角形的性质得到A ACO ∠∠＝，得到90OCD ∠︒＝，于是得到结论；（2）根据已知条件得到1=22OC OB AB ＝＝，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接OC ，∵DE AE ⊥，∴90E ∠︒＝，∴90EDC ECD ∠+∠︒＝，∵A CDE ∠∠＝，∴90A DCE ∠+∠︒＝，∵OC OA ＝，∴A ACO ∠∠＝，∴90ACO DCE ∠+∠︒＝，∴90OCD ∠︒＝，∴OC CD ⊥ ∵点C 在O 上， ∴CD 是O 的切线（2）解：∵43AB BD ＝，＝ ，∴1=22OC OB AB ＝＝， ∴235OD +＝＝， ∴ 2221CD OD OC =-=【点睛】本题主要考查切线的判定以及圆和勾股定理，根据题意准确作出辅助线是求解本题的关键.22、 (1)见解析；(2) 是平行四边形；理由见解析.【分析】（1）根据角平分线的性质先得出∠BEC ＝∠DFA ，然后再证∠ACB ＝∠CAD ，再证出△ABE ≌△CDF ，从而得出AE ＝CF ；（2）连接BD 交AC 于O ，则可知OB ＝OD ，OA ＝OC ，又AE ＝CF ，所以OE ＝OF ，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．【详解】（1）证明:四边形ABCD 是平行四边形，,,//,AB CD ABC CDA AB CD BAC DCA ∴=∠=∠∴∠=∠，BE DF 、分别是ABC ADC ∠∠、的平分线， 11,22ABE ABC CDF ADC ∴∠=∠∠=∠ ABE CDF ∴∠=∠，∴()ABE CDF ASA ∆∆≌ ，∴AE CF =（2）是平行四边形；连接BD 交AC 于O ，四边形ABCD 是平行四边形，,AO CO BO DO ∴==AE CF =，AO AE CO CF ∴-=-.即.EO FO =∴四边形BEDF 为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键寻找两条线段所在的三角形，然后证明两三角形全等．23、（1）y 1=4x-；（2）P(2，4)或(﹣14，﹣4)；（3）x ＜﹣4或﹣2＜x ＜1． 【分析】（1）把D （-4，1）代入11k y x =(x ＜1)，利用待定系数法即可求得； （2）根据题意求得C 点的坐标，进而根据待定系数法求得直线CD 的解析式，根据三角形的面积求得P 点的纵坐标，代入直线解析式即可求得横坐标；（3）根据两函数图象的上下位置关系即可得出不等式的解集．【详解】(1)把(﹣4，1)代入11k y x =(x ＜1)， 解得：k 1=﹣4，∴反比例函数的解析式为：y 1=4x-； (2)由点D 的坐标为(﹣4，1)，且AD=3，∴点A 的坐标为(﹣4，4)，∵点C 为OA 的中点，∴点C 的坐标为(﹣2，2)，将点D(﹣4，1)和点C(﹣2，2)代入y 2=k 2x+b ，得k 2=12，b=3，即y 2=132x +， 设点P 的坐标为(m ，n)∵△POB 的面积等于8，OB=4， ∴142n ⨯⨯=8， ∴4n =即4n =±，代入y 2=132x +， 得到点P 的坐标为(2，4)或(﹣14，﹣4)；(3) 观察函数图象可知：当x ＜﹣4或﹣2＜x ＜1时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，∴不等式12k k x b x>+的解集为：x ＜﹣4或﹣2＜x ＜1． 【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是求得C 点的坐标．24、（1）43；（2）见解析【分析】（1）连接OB 、OC ，得到2BOC BAC ∠=∠，然后根据垂径定理即可求解BC 的长；（2）延长OD 交圆于E 点，连接AE ，根据垂径定理得到BOE COE ∠=∠，即BAE CAE ∠=∠，AE 即为所求．【详解】（1）连接OB 、OC ，∴2=120BOC BAC ∠=∠︒∵OD ⊥BC∴BD=CD ，且=60BOD ∠︒∵OB=4∴0D=2，BD=23∴BC=43故答案为43；（2）如图所示，延长OD 交⊙O 于点E ，连接AE 交BC 于点M ，AM 即为所求根据垂径定理得到BE CE =，即BAE CAE ∠=∠，所以AE 为BAC ∠的角平分线．【点睛】本题考查了垂径定理，同弧所对圆周角是圆心角的一半，熟练掌握圆部分的定理和相关性质是解决本题的关键．25、（1）见解析；（2）FD与DG垂直，理由见解析；（3）当AB=1AC时，△FDG为等腰直角三角形，理由见解析.【分析】（1）由比例线段可知，我们需要证明△ADC∽△EGC，由两个角对应相等即可证得；（2）由矩形的判定定理可知，四边形AFEG为矩形，根据矩形的性质及相似三角形的判定可得到△AFD∽△CGD，从而不难得到结论；（3）先判断出DF＝DG，再利用同角的余角相等判断出∠ADF＝∠CDG，∠BAD＝∠C，得出△ADF≌△CDG，即可得出结论．【详解】（1）证明：在△ADC和△EGC中，∵∠ADC＝∠EGC，∠C＝∠C，∴△ADC∽△EGC．∴EG CG AD CD=．（2）解：FD与DG垂直．理由如下：在四边形AFEG中，∵∠FAG＝∠AFE＝∠AGE＝90°，∴四边形AFEG为矩形．∴AF＝EG．∵EG CG AD CD=，∴AF CG AD CD=．又∵△ABC为直角三角形，AD⊥BC，∴∠FAD＝∠C＝90°﹣∠DAC，∴△AFD∽△CGD．∴∠ADF＝∠CDG．∵∠CDG+∠ADG＝90°，∴∠ADF+∠ADG＝90°．即∠FDG＝90°．∴FD⊥DG．（3）解：当ABAC的值为1时，△FDG为等腰直角三角形，理由如下：由（2）知，∠FDG＝90°，∵△DFG为等腰直角三角形，∴DF＝DG，∵AD是BC边上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ADG+∠CDG＝90°，∵∠FDG＝90°，∴∠ADG+∠ADF＝90°，∴∠ADF＝∠CDG，∵∠CAD+∠BAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠C，∴△ADF≌△CDG（AAS），∴AD＝CD，∵∠ADC＝90°，∴∠C＝45°＝∠B，∴AB＝AC，即：当ABAC的值为1时，△FDG为等腰直角三角形．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，同角的余角相等，判断出△ADF≌△CDG是解本题的关键．26、BH=18450丈，AH=753丈．【分析】根据“平行线法”证得△BCF∽△HAF、△DEG∽△HAG，然后由相似三角形的对应边成比例即可求解．【详解】∵AH∥BC，∴△BCF∽△HAF，∴BF BC HF AH=，又∵DE∥AH，∴△DEG∽△HAG，∴DG DE HG AH=，又∵BC=DE，∴BF DG HF HG=，即123127 1231271000HB HB=+++，∴BH=30750(步)，30750步=18450丈，BH=18450丈，又∵BF BCHF AH=，35BC==丈步，∴AH=()()3075012353087351255123123BH BF BCHF BCBF BF++⨯⨯====(步)，1255步=753丈，AH=753丈．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，得出△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG是解题关键．。
2022-2023学年四川省成都七中学实验学校九年级数学上册期末综合测试模拟试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，某一时刻太阳光下，小明测得一棵树落在地面上的影子长为2.8米，落在墙上的影子高为1.2米，同一时刻同一地点，身高1.6米他在阳光下的影子长0.4米，则这棵树的高为（ ）米．A ．6.2B ．10C ．11.2D ．12.42．对于不为零的两个实数a ，b ，如果规定a ★b ()()211,42.a b a b b a b a⎧+>⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩，那么函数2y x =★的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．P(3，-2)关于原点对称的点的坐标是( )A ．(3，2)B ．(-3，2)C ．(-3，-2)D ．(3，-2)4．一元二次方程220200x +=的根的情况是( )A ．有两个相等的实根B ．有两个不等的实根C ．只有一个实根D ．无实数根5．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互增了182件．如果全组共有x 名同学，则根据题意列出的方程是（ ）．A ．x （x +1）=182B ．x （x +1）=182×12C ．x （x －1）=182D ．x （x －1）=182×26．如图，是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，在下列结论中：①0abc >；②0a b c -+>；③210ax bx c +++=有两个相等的实数根；④42a b a -<<-；其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4个7．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 的长不可能是( )A ．3.5B ．4.2C ．5.8D ．78．如图，网格中小正方形的边长为1个单位长度，△ABC 的顶点均在小正方形的顶点上，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AB ′C ′，点C 在AB ′上，则'BB 的长为（ ）A ．πB ．2πC ．7πD ．6π9．如图，在△ABC 中，M ，N 分别为AC ，BC 的中点．则△CMN 与△CAB 的面积之比是( )A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:9 10．已知一斜坡的坡比为326米，那么坡高为（ ） A ．133 B 263米 C ．13米 D ．3二、填空题(每小题3分,共24分)11．设a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则()()11a b --的值为_____．12．在比例尺为1：3000000的地图上，测得AB 两地间的图上距离为5厘米，则AB 两地间的实际距离是______千米．13．把二次函数241y x x =+-变形为2()y a x h k =++的形式为_________． 14．二次函数2y ax bx c =++的图像开口方向向上，则a ______0.(用“=、>、<”填空) 15．如果23a b =，那么b a a b -+=_____． 16．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的点，弧AD=弧CD ．若∠CAB ＝40°，则∠CAD ＝_____．17．如图，⊙O 经过A ，B ，C 三点，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 点，∠P ＝46°，则∠C ＝_____．18．若0y <2x y化简成最简二次根式为__________． 三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在东西方向的海面线MN 上，有A ，B 两艘巡逻船和观测点D （A ，B ，D 在直线MN 上），两船同时收到渔船C 在海面停滞点发出的求救信号．测得渔船分别在巡逻船A ，B 北偏西30和北偏东45︒方向，巡逻船A 和渔船C 相距120海里，渔船在观测点D 北偏东15︒方向．（说明：结果取整数．参考数据：2 1.41≈，3 1.73≈．） （1）求巡逻船B 与观测点D 间的距离；（2）已知观测点D 处45海里的范围内有暗礁．若巡逻船B 沿BC 方向去营救渔船C 有没有触礁的危险？并说明理由．20．（6分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，（点D在⊙O外）AC平分∠BAD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DC、AB的延长线相交于点E，且DE＝12，AD＝9，求BE的长．21．（6分）如图1，直线y=2x+2 分别交x 轴、y 轴于点A、B，点C为x轴正半轴上的点，点D从点C处出发，沿线段CB匀速运动至点B 处停止，过点D作DE⊥BC，交x轴于点E，点C′是点C关于直线DE的对称点，连接EC′，若△ DEC′与△ BOC 的重叠部分面积为S，点D的运动时间为t（秒），S与t 的函数图象如图2 所示．（1）V D= ,C 坐标为；（2）图2中，m= ，n= ，k= .（3）求出S与t 之间的函数关系式（不必写自变量t的取值范围）.22．（8分）如图，已如平行四边形OABC中，点O为坐标顶点，点A(3，0)，B(4，2)，函数kyx=（k≠0）的图象经过点C．（1）求反比例的函数表达式：（2）请判断平行四边形OABC对角线的交点是否在函数kyx=（k≠0）的图象上．23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若CD＝25，BP＝1，求⊙O的半径．∠交O平点D.过点D的切线交AC的延长线于E.求24．（8分）已知，如图，AB是O的直径，AD平分BAC证:DE AE⊥.AC垂足为F，交25．（10分）如图，AB是O的直径，AC是弦，D是弧BC的中点，过点D作EF垂直于直线,AB的延长线于点E．()1求证:EF是O的切线；()2若6,8==，求O的半径．AF EF26．（10分） [问题发现]如图①，在ABC 中，点E 是AC 的中点，点D 在边BC 上，AD 与BE 相交于点P ，若:1:2CD CB =，则:AP AD =_____ ;[拓展提高]如图②，在等边三角形ABC 中，点E 是AC 的中点，点D 在边BC 上，直线AD 与BE 相交于点P ，若:2:3BP BE =，求:CD CB 的值.[解决问题]如图③，在Rt ABC 中， 90ACB ∠=，点E 是AC 的中点，点D 在直线CB 上，直线AD 与直线BE 相交于点P ，4,3,8CD CB AC ===.请直接写出BP 的长.参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】先根据同一时刻物体的高度与其影长成比例求出从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度，再加上落在墙上的影长即得答案.【详解】解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x 米， 则1.60.4 2.8x =，解得：x ＝11.2，所以树高＝11.2+1.2＝12.4（米）， 故选：D ．【点睛】本题考查的是投影的知识，解本题的关键是正确理解题意、根据同一时刻物体的高度与其影长成比例求出从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度.2、C【分析】先根据所给新定义运算求出分段函数解析式，再根据函数解析式来判断函数图象即可.【详解】解：∵a ★b ()()211,42.a b a b b a b a⎧+>⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩， ∴2y x =★()()2112,422.x x x x⎧+>⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩ ∴当x>2时，函数图象在第一象限且自变量的值不等于2，当x ≤2时，是反比例函数，函数图象在二、四象限. 故应选C.【点睛】本题考查了分段函数及其图象，理解所给定义求出分段函数解析式是解题的关键.3、B【解析】根据平面坐标系中点P(x,y)关于原点对称点是(-x,-y) 即可．【详解】解：关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，因此P(3，-2)关于原点对称的点的坐标是(-3，2)． 故答案为B ．【点睛】本题考查关于原点对称点的坐标的关系，解题的关键是理解并识记关于原点对称点的特点．4、D【分析】先求出24b ac -的值，再进行判断即可得出答案．【详解】解：一元二次方程x 2+2020=0中，24b ac -=0-4×1×2020＜0，故原方程无实数根．故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）24b ac -＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）24b ac -=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）24b ac -＜0⇔方程没有实数根．5、C【解析】试题分析：先求每名同学赠的标本，再求x 名同学赠的标本，而已知全组共互赠了182件，故根据等量关系可得到方程．每名同学所赠的标本为：（x-1）件，那么x 名同学共赠：x （x-1）件，根据题意可列方程：x （x-1）=182，故选C.考点：本题考查的是根据实际问题列一元二次方程点评：找到关键描述语，找到等量关系，然后准确的列出方程是解答本题的关键．6、C【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对各个结论进行判断．【详解】解：由抛物线的开口方向向上可推出a ＞0，与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上可推出c=-1＜0， 对称轴为210b ax >=->，a ＞0，得b ＜0， 故abc ＞0，故①正确； 由对称轴为直线12b x a =->，抛物线与x 轴的一个交点交于（2，0），（3，0）之间，则另一个交点在（0，0），（-1，0）之间，所以当x=-1时，y ＞0，所以a-b+c ＞0，故②正确；抛物线与y 轴的交点为（0，-1），由图象知二次函数y=ax 2+bx+c 图象与直线y=-1有两个交点，故ax 2+bx+c+1=0有两个不相等的实数根，故③错误； 由对称轴为直线2b x a =-，由图象可知122b a<-<， 所以-4a ＜b ＜-2a ，故④正确．所以正确的有3个，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此类问题的关键是掌握二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定，解题时要注意数形结合思想的运用． 7、D【详解】解：根据垂线段最短，可知AP 的长不可小于3∵△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，∴AB=1，∴AP 的长不能大于1．∴3PA 6≤≤8、A【分析】根据图示知∠BAB ′＝45°，所以根据弧长公式l ＝180n r π求得BB '的长． 【详解】根据图示知，∠BAB ′＝45°， BB '的长l ＝454180π⋅＝π， 故选：A ．【点睛】 此题考查了弧长的计算、旋转的性质．解答此题时采用了“数形结合”是数学思想．9、C【解析】由M 、N 分别为AC 、BC 的中点可得出MN ∥AB ，AB ＝2MN ，进而可得出△ABC ∽△MNC ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】∵M 、N 分别为AC 、BC 的中点，∴MN ∥AB ，且AB ＝2MN ，∴△ABC ∽△MNC ，∴MNC ABC S S =（MN AB）2＝14． 故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，根据三角形中位线定理结合相似三角形的判定定理找出△ABC ∽△MNC 是解题的关键．10、C【分析】根据坡比算出坡角,再根据坡角算出坡高即可.【详解】解：设坡角为α∵坡度=铅直高度水平宽度 ∴30α=.∴.坡高=坡长sin 13α⨯=.故选：C.【点睛】本题考查三角函数的应用,关键在于理解题意,利用三角函数求出坡角.二、填空题(每小题3分,共24分)【分析】根据根与系数的关系可得出1a b +=-，2019ab =-，将其代入()()()111a b ab a b --=-++中即可得出结论．【详解】∵a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，∴1a b +=-，2019ab =-，∴()()()111a b ab a b --=-++2019112017=-++=-．故答案为-1．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于b a -，两根之积等于c a ”是解题的关键． 12、150【分析】设实际距离为x 千米，根据比例尺=图上距离：实际距离计算即可得答案．【详解】设实际距离为x 千米，5厘米=0.00005千米，∵比例尺为1：3000000，图上距离为5cm ，∴1：3000000=0.00005：x ，解得：x=150(千米)，故答案为：150【点睛】本题考查了比例尺的定义，能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离是解题关键，注意单位的换算． 13、2(2)5y x =+-【分析】利用配方法变形即可.【详解】解： 22241445(2)5y x x x x x =+-=++-=+-故答案为：2(2)5y x =+-【点睛】本题考查了二次函数的的解析式，熟练掌握配方法是解题的关键.14、>【分析】根据题意直接利用二次函数的图象与a 的关系即可得出答案．【详解】解：因为二次函数2y ax bx c =++的图像开口方向向上，所以有a >1.故填>.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次项系数a 与抛物线的关系是解题的关键，图像开口方向向上，a >1；图像开口方向向下，a <1．15、15 【解析】试题解析：2,3a b = 设a =2t ，b =3t ，321.235b a t t a b t t --∴==++ 故答案为:1.516、25°【分析】先求出∠ABC ＝50°，进而判断出∠ABD ＝∠CBD ＝25°，最后用同弧所对的圆周角相等即可得出结论．【详解】解：如图，连接BC ，BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠CAB ＝40°，∴∠ABC ＝50°，∵弧AD=弧CD∴∠ABD ＝∠CBD ＝12∠ABC ＝25°， ∴∠CAD ＝∠CBD ＝25°．故答案为：25°．【点睛】本题考查的是圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，解本题的关键是作出辅助线.17、67°【分析】根据切线的性质定理可得到∠OAP ＝∠OBP ＝90°，再根据四边形的内角和求出∠AOB ，然后根据圆周角定理解答．【详解】解：∵PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，∴∠OAP ＝90°，∠OBP ＝90°，∴∠AOB ＝360°﹣90°﹣90°﹣46°＝134°，∴∠C ＝12∠AOB ＝67°， 故答案为：67°．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、四边形的内角和和圆周角定理，属于常见题型，熟练掌握上述知识是解题关键.18、 【分析】根据二次根式的性质，进行化简，即可.∵0y <∴原式=，故答案是：. 【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质，是解题的关键.三、解答题(共66分)19、（1）76海里；（2）没有触礁的危险，理由见解析【分析】（1）作CE MN ⊥．根据直角三角形性质求AE ，CE,AB ，再证DCA CBA △∽△．所以DA AC CA AB=． （2）作DF BC ⊥．证BF=DF ，由BF 2+DF 2=BD 2可求解.【详解】解：（1）作CE MN ⊥．因为渔船分别在巡逻船A ，B 北偏西30和北偏东45︒方向，所以∠CAE=60°, ∠CBE=45° 所以∠ACE=30°, ∠ACB=180°-60°-45°=75°; 所以1602AE AC ==（海里），()()222212060603CE BE AC AE ==+=+=（海里）． 所以60603AB =+．因为渔船在观测点D 北偏东15︒方向． 所以∠CDE=75〬所以∠CDE=∠ACB,所以DCA CBA △∽△．所以DA AC CA AB=． 即12060603DA =+． 解得，31)DA =．∴(60603)31)18060376BD =+-=-≈海里．（2）没有触礁的危险．作DF BC ⊥．因为∠CBD=45°所以BF=DF所以BF 2+DF 2=BD 2即DF 2+DF 2=762可求得38254DF =≈．∵5445>，∴没有触礁的危险．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系解答．20、（1）证明见解析；（2）BE的长是15 4【分析】（1）连接OC，根据条件先证明OC∥AD，然后证出OC⊥CD即可；（2）先利用勾股定理求出AE的长，再根据条件证明△ECO∽△EDA，然后利用对应边成比例求出OC的长，再根据BE=AE﹣2OC计算即可．【详解】（1）连接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∵OC为⊙O半径，∴CD是⊙O的切线．（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得：22912+，∵OC∥AD，∴△ECO∽△EDA，∴OC EO AD AE=∴15915 OC OC-=解得：OC=458，∴BE=AE﹣2OC=15﹣2×458=154，答：BE的长是154．21、（1）点D的运动速度为1单位长度/秒，点C坐标为（4，0）．（2）855；45；25．（3）①当点C′在线段BC上时，S＝14t2；②当点C′在CB的延长线上，S=−1312t2＋853t−203；③当点E在x轴负半轴，S＝t2−45t＋1．【分析】（1）根据直线的解析式先找出点B的坐标，结合图象可知当t＝5时，点C′与点B重合，通过三角形的面积公式可求出CE的长度，结合勾股定理可得出OE的长度，由OC＝OE＋EC可得出OC的长度，即得出C点的坐标，再由勾股定理得出BC的长度，根据CD＝12BC，结合速度＝路程÷时间即可得出结论；（2）结合D点的运动以及面积S关于时间t的函数图象的拐点，即可得知当“当t＝k时，点D与点B重合，当t＝m 时，点E和点O重合”，结合∠C的正余弦值通过解直角三角形即可得出m、k的值，再由三角形的面积公式即可得出n的值；（3）随着D点的运动，按△DEC′与△BOC的重叠部分形状分三种情况考虑：①通过解直角三角形以及三角形的面积公式即可得出此种情况下S关于t的函数关系式；②由重合部分的面积＝S△CDE−S△BC′F，通过解直角三角形得出两个三角形的各边长，结合三角形的面积公式即可得出结论；③通过边与边的关系以及解直角三角形找出BD和DF的值，结合三角形的面积公式即可得出结论．【详解】（1）令x＝0，则y＝2，即点B坐标为（0，2），∴OB＝2．当t＝5时，B和C′点重合，如图1所示，此时S＝12×12CE•OB＝54，∴CE＝52，∴BE＝52．∵OB＝2，∴OE ＝2253222⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴OC ＝OE ＋EC ＝32＋52＝4，BC ＝222425+=，CD ＝5， 5÷5＝1（单位长度/秒）， ∴点D 的运动速度为1单位长度/秒，点C 坐标为（4，0）．故答案为：1单位长度/秒；（4，0）；（2）根据图象可知：当t ＝k 时，点D 与点B 重合，此时k ＝1BC ＝25； 当t ＝m 时，点E 和点O 重合，如图2所示．sin ∠C ＝OB BC ＝225＝55，cos ∠C ＝425525OC BC ==， OD ＝OC •sin ∠C ＝4×55＝455，CD ＝OC •cos ∠C ＝4×255＝855． ∴m ＝1CD ＝855，n ＝12BD •OD ＝12×（25−855）×455＝45． 故答案为：855；45；25． （3）随着D 点的运动，按△DEC ′与△BOC 的重叠部分形状分三种情况考虑：①当点C ′在线段BC 上时，如图3所示．此时CD ＝t ，CC ′＝2t ，0＜CC ′≤BC ，∴0＜t ≤5．∵tan∠C＝12 OBOC=，∴DE＝CD•tan∠C＝12t，此时S＝12CD•DE＝14t2；②当点C′在CB的延长线上，点E在线段OC上时，如图4所示．此时CD＝t，BC′＝2t−25，DE＝CD•tan∠C＝12t，CE＝CDcos C∠＝52t，OE＝OC−CE＝4−52t，∵CC BCCE OC'⎧⎨≤⎩＞，即225542tt⎧⎪⎨≤⎪⎩＞，解得：5＜t≤855．由（1）可知tan∠OEF＝232＝43，∴OF＝OE•tan∠OEF＝162533-t，BF＝OB−OF＝251033t-，∴FM＝BF•cos∠C＝445 33t-．此时S＝12CD•DE−12BC′•FM＝−21385201233t t+-；③当点E在x轴负半轴，点D在线段BC上时，如图5所示．此时CD＝t，BD＝B C−CD＝，CEt，DF＝22BDBD ttan C==∠，∵CE OCCD BC⎧⎨≤⎩＞，即4t⎨⎪≤⎩＞，∴5＜t≤此时S＝12BD•DF＝12×2×＝＋1．综上，当点C′在线段BC上时，S＝14t2；当点C′在CB的延长线上，S=−1312t2203；当点E在x轴负半轴，S＝＋1．【点睛】本题考查了勾股定理、解直角三角形以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）求出BC、OC的长度；（2）根据图象能够了解当t＝m和t＝k时，点DE的位置；（3）分三种情况求出S关于t的函数关系式．本题属于中档题，（1）（2）难度不大；（3）需要画出图形，利用数形结合，通过解直角三角形以及三角形的面积公式找出S关于t的函数解析式．22、（1）y＝2x；（2）平行四边形OABC对角线的交点在函数y＝2x的图象上，见解析【分析】（1）根据平行四边形性质结合点的坐标特征先求得点C的坐标，继而求得答案；（2）根据平行四边形性质求得对角线交点的坐标，再判断.【详解】（1）∵四边形OABC是平行四边形，A（3，0），∴CB＝OA＝3，又CB∥x轴，B（4，2），∴C（1，2），∵点C（1，2）在反比例函数kyx=（k≠0）的图象上，∴k＝xy＝2，∴反比例的函数表达式y＝2x；（2）∵四边形OABC是平行四边形，∴对角线的交点即为线段OB的中点，∵O（0，0），B（4，2），∴对角线的交点为（2，1），∵2⨯1=2=k ，∴平行四边形OABC 对角线的交点在函数y ＝2x的图象上． 【点睛】 本题考查待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23、（1）见解析；（2）1【分析】（1）由圆周角定理得出∠ABC=∠ADC ，由已知得出∠ADC=∠AFB ，证出CD ∥BF ，得出AB ⊥BF ，即可得出结论；（2）设⊙O 的半径为r ，连接OD ．由垂径定理得出PD ＝PC ＝12CD OP=r-1在Rt △OPD 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解:（1）证明：∵弧AC ＝弧AC ，∴∠ABC ＝∠ADC ，∵∠AFB ＝∠ABC ，∴∠ADC ＝∠AFB ，∴CD ∥BF ，∵CD ⊥AB ，∴AB ⊥BF ，∵AB 是圆的直径，∴直线BF 是⊙O 的切线；（2）解：设⊙O 的半径为r ，连接OD ．如图所示：∵AB ⊥BF ，CD ＝∴PD ＝PC ＝12CD ∵BP ＝1，∴OP ＝r ﹣1在Rt △OPD 中，由勾股定理得：r 2 ＝（r ﹣1）2+2解得：r ＝1．即⊙O 的半径为1．【点睛】本题考查切线的判定、勾股定理、圆周角定理、垂径定理以及勾股定理和平行线的判定与性质等知识，解题的关键熟练掌握圆周角定理和垂径定理．24、详见解析.【分析】连接OD，由切线的性质可知∠ODE=90°，证OD∥AE即可解决问题；【详解】连接OD.DE是O的切线，OD DE∴⊥，90ODE∴∠=︒，OA OD=，OAD ODA∠=∠∴，AD平分BAC∠，CAD DAB∴∠=∠，CAB ADO∴∠=∠，//OD AE∴，180E ODE∴∠+∠=︒，90E∴∠=︒，DE AE∴⊥.【点睛】本题考查切线的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25、（1）详见解析；（2）⊙O的半径为154．【分析】（1）证明EF是O的切线，可以连接OD，证明OD⊥EF；（2）要求O 的半径，即线段OD 的长，在证明△EOD ∽△EAF 的基础上，利用对应线段成比例可得OD AF ＝OE EA ，其中AF=6，AE 可利用勾股定理计算出来，OE 可用含半径的代数式表示出，这样不难计算出半径OD 的长．【详解】（1）证明：连接OD ．∵EF ⊥AF ，∴∠F ＝90°． ∵D 是BC 的中点，∴=BD CD ．∴∠EOD ＝∠DOC ＝12∠BOC ， ∵∠A ＝12∠BOC ，∴∠A ＝∠EOD ， ∴OD ∥AF ．∴∠EDO ＝∠F ＝90°．∴OD ⊥EF ，∴EF 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt △AFE 中，∵AF ＝6，EF ＝8，∴22AE AF EF =+2268+10，设⊙O 半径为r ，∴EO ＝10﹣r ． ∵∠A ＝∠EOD ，∠E ＝∠E ，∴△EOD ∽△EAF ，∴OD AF ＝OE EA， ∴10610r r -=． ∴r ＝154，即⊙O 的半径为154． 【点睛】本题考查的知识点有切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解题中添加过切点与圆心的辅助线是关键点，也是难点．26、 [问题发现]2:3；[拓展提高]:1:2CD BD =；[解决问题]5BP =或7BP =.【分析】[问题发现]由:1:2CD CB =，可知AD 是中线，则点P 是△ABC 的重心，即可得到:AP AD =2∶3；[拓展提高]过点E 作//EF AD 交CD 于点F ，则EF 是△ACD 的中位线，由平行线分线段成比例，得到23BP BD BE BF ==，通过变形，即可得到答案； [解决问题]根据题意，可分为两种情况进行讨论，①点D 在点C 的右边；②点D 在点C 的左边；分别画出图形，求出BP 的长度，即可得到答案.【详解】解：[问题发现]：∵:1:2CD CB =，∴点D 是BC 的中点， ∴AD 是△ABC 的中线，∵点E 是AC 的中点，则BE 是△ABC 的中线， ∴点P 是△ABC 的重心，∴:AP AD =2:3；故答案为：2:3.[拓展提高]：过点E 作//EF AD 交CD 于点F .E 是AC 的中点，F 是CD 的中点，∴EF 是△ACD 的中位线，12CF DF CD ∴==， //,EF AD//PD EF ∴，23BP BD BE BF ∴==， ∴()2233BD BF BD DF ==+， 1222BD DF CD CD ∴==⨯=， 即:1CD BD =.:1:2CD BD ∴=.[解决问题]：∵在Rt ABC 中， 90ACB ∠=，3,8CB AC ==，∵点E 是AC 的中点，∴118422CE AC ==⨯=， ∵CD=4，则点D 可能在点C 的右边和左边两种可能；①当点D 在点C 的右边时，如图：过点P 作PF ⊥CD 与点F ，∵ 90PFD ACB ∠=∠=︒， ADC PDF ∠=∠，∴△ACD ∽△PFD ，∴ DF PF DC AC =，即 48DF PF =， ∴ 2PF DF =，∵ 90PFD ACB ∠=∠=︒， EBC PBF ∠=∠，∴△ECB ∽△PBF ，∴ BC EC BF PF=， ∵ 431BF DF CD BC DF DF =+-=+-=+， ∴3412DF DF =+， 解得： 2DF =，∴ 213BF =+=， 224PF =⨯=，∴22 345BP =+=；②当点D 在点C 的左边时，如图：过点P 作PF ⊥CD 与点F ，与①同理，可证△ACD ∽△PFD ，△ECB ∽△PBF ，∴ 2PF DF =， BC EC BF PF=， ∵ 347BF BC CD DF DF DF =+-=+-=-， ∴34 72DF DF=-， 解得： 2.8DF =，∴ 2 2.8 5.6PF =⨯=， 7 2.8 4.2BF =-=，∴7BP ==；∴5BP =或7BP =.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理，以及三角形的重心，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，以及勾股定理解三角形.注意运用分类讨论的思想进行解题.。
成都七中(高新校区)初三数学九年级上册期末试题及答案知识讲解
成都七中(高新校区)初三数学九年级上册期末试题及答案知识讲解一、选择题1．如图，在Rt ABC ∆中，AC BC =，52AB =，以AB 为斜边向上作Rt ABD ∆，90ADB ∠=︒.连接CD ，若7CD =，则AD 的长度为（ ）A ．32或42B ．3或4C ．22或42D ．2或4 2．函数y=mx 2+2x+1的图像 与x 轴只有1个公共点，则常数m 的值是（ ）A ．1B ．2C ．0,1D ．1,23．若将二次函数2y x 的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得图象对应函数的表达式为（ ）A ．2(2)2y x =++B ．2(2)2y x =--C ．2(2)2y x =+-D ．2(2)2y x =-+4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点M 是AB 上的一点，点N 是CB 上的一点，43=BM CN ，当∠CAN 与△CMB 中的一个角相等时，则BM 的值为（ ）A ．3或4B ．83或4C ．83或6D ．4或65．下列说法中，不正确的是（ ） A ．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B ．圆有无数条对称轴 C ．圆的每一条直径都是它的对称轴D ．圆的对称中心是它的圆心6．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是A ．B ．C ．D ．7．某篮球队14名队员的年龄如表： 年龄（岁） 18 19 20 21 人数5432则这14名队员年龄的众数和中位数分别是（ ） A ．18，19 B ．19，19 C ．18，4 D ．5，4 8．如果两个相似三角形的周长比是1：2，那么它们的面积比是（ ）A ．1：2B ．1：4C ．1：2D ．2：1 9．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（ ） A ．1：2B ．1：2C ．1：3D ．1：410．点P 1（﹣1，1y ），P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．321y y y >> B ．312y y y >= C ．123y y y >> D ．123y y y => 11．二次函数y ＝3（x +4）2﹣5的图象的顶点坐标为（ ）A ．（4，5）B ．（﹣4，5）C ．（4，﹣5）D ．（﹣4，﹣5）12．关于二次函数y ＝x 2+2x +3的图象有以下说法：其中正确的个数是（ ） ①它开口向下；②它的对称轴是过点（﹣1，3）且平行于y 轴的直线；③它与x 轴没有公共点；④它与y 轴的交点坐标为（3，0）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 13．已知△ABC ≌△DEF ，∠A =60°，∠E =40°，则∠F 的度数为（ ） A ．40B ．60C ．80D ．10014．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） A ．2x ﹣3＝xB ．2x +3y ＝5C ．2x ﹣x 2＝1D ．17x x+= 15．如图，点P （x ，y ）（x ＞0）是反比例函数y=kx（k ＞0）的图象上的一个动点，以点P 为圆心，OP 为半径的圆与x 轴的正半轴交于点A ，若△OPA 的面积为S ，则当x 增大时，S 的变化情况是（ ）A ．S 的值增大B ．S 的值减小C ．S 的值先增大，后减小D ．S 的值不变二、填空题16．小亮测得一圆锥模型的底面直径为10cm ，母线长为7cm ，那么它的侧面展开图的面积是_____cm 2．17．已知矩形ABCD ，AB=3,AD=5,以点A 为圆心，4为半径作圆，则点C 与圆A 的位置关系为 __________.18．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，PA ＞PB ，AB ＝4 cm ，则PA ＝____cm ． 19．已知实数,,a b c 满足0a ≠，且0a b c -+=，930a b c ++=，则抛物线2y ax bx c =++图象上的一点(2,4)-关于抛物线对称轴对称的点为__________．20．如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，∠AOC =30°，点P 是直线l 上的一个动点（与圆心O 不重合），直线CP 与⊙O 相交于点Q ，且PQ =OQ ，则满足条件的∠OCP 的大小为_______．21．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若点()11,A y ，()23,B y 是图象上的两点，则1y ____2y (填“>”、“<”、“=”).22．如图，ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，且AE=4，若CD=1，AD=3，则AB 的长为______．23．一组数据：3，2，1，2，2，3，则这组数据的众数是_____．24．若m 是方程2x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，则6m 2﹣9m +2020的值为_____． 25．设1x 、2x 是关于x 的方程2350x x +-=的两个根，则1212x x x x +-•=__________．26．某服装店搞促销活动，将一种原价为56元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为31.5元，设降价的百分率为x ，则列出方程是______________．27．如图，圆形纸片⊙O 半径为 52，先在其内剪出一个最大正方形，再在剩余部分剪出 4个最大的小正方形，则 4 个小正方形的面积和为_______．28．甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，方差分别是2S 甲、2S 乙，且22S S >甲乙，则队员身高比较整齐的球队是_____．29．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AB +AD ＝8cm ．当BD 取得最小值时，AC 的最大值为_____cm ．30．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在△ABC 中，AB=AC ，若△ABC 是“好玩三角形”，则tanB____________。
成都七中实验学校(初中部)2021年数学九年级上册期末试题及答案
成都七中实验学校（初中部）2021年数学九年级上册期末试题及答案一、选择题1．已知34a b=（0a ≠，0b ≠），下列变形错误的是（ ）A ．34a b = B ．34a b = C ．43b a = D ．43a b =2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＜0＜b ）的图像与x 轴只有一个交点，下列结论：①x ＜0时，y 随x 增大而增大；②a ＋b ＋c ＜0；③关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③3．下图是甲、乙两人2019年上半年每月电费支出的统计，则他们2019年上半年月电费支出的方差2S 甲和2S 乙的大小关系是（ ）A ．2S 甲＞2S 乙 B ．2S 甲＝2S 乙C ．2S 甲＜2S 乙D ．无法确定4．已知关于x 的函数y ＝x 2＋2mx ＋1，若x ＞1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≥1B ．m ≤1C ．m ≥－1D ．m ≤－15．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（ ）A ．100°B ．72°C ．64°D ．36° 6．若关于x 的一元二次方程x 2－2x －k ＝0没有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞－1 B ．k≥－1 C ．k ＜－1 D ．k≤－1 7．抛物线y ＝2(x ﹣2)2﹣1的顶点坐标是( )A ．(0，﹣1)B ．(﹣2，﹣1)C ．(2，﹣1)D ．(0，1)8．一元二次方程x 2－x ＝0的根是（ ） A ．x ＝1B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝1D ．x 1＝0，x 2＝－19．下列函数中属于二次函数的是( )A．y＝12x B．y＝2x2-1 C．y＝23x+D．y＝x2＋1x＋110．关于x的一元二次方程x2+bx-6=0的一个根为2，则b的值为( )A．-2 B．2 C．-1 D．111．已知一组数据共有20个数，前面14个数的平均数是10，后面6个数的平均数是15，则这20个数的平均数是（）A．23B．1.15C．11.5D．12.512．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）A．2 B．54C．53D．7513．如图，P、Q是⊙O的直径AB上的两点，P在OA上，Q在OB上，PC⊥AB交⊙O于C，QD⊥AB交⊙O于D，弦CD交AB于点E，若AB=20，PC=OQ=6，则OE的长为（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.514．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，则∠A的度数等于（）A．30°B．45°C．60°D．80°15．如图，AB为O的切线，切点为A，连接AO BO、，BO与O交于点C，延长BO与O交于点D，连接AD，若36ABO∠=，则ADC∠的度数为( )A ．54B ．36C ．32D ．27二、填空题16．如图是测量河宽的示意图，AE 与BC 相交于点D ，∠B=∠C=90°，测得BD=120m ，DC=60m ，EC=50m ，求得河宽AB=______m ．17．二次函数23(1)2y x =-+图象的顶点坐标为________．18．如图，若抛物线2y ax h =+与直线y kx b =+交于()3,A m ，()2,B n -两点，则不等式2ax b kx h -<-的解集是______.19．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）关于滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是2200.5s t t =-，飞机着陆后滑行______m 才能停下来.20．在比例尺为1∶500 000的地图上，量得A 、B 两地的距离为3 cm ，则A 、B 两地的实际距离为_____km ．21．设1x ，2x 是关于x 的一元二次方程240x x +-=的两根，则1212x x x x ++=______. 22．如图，用一张半径为10 cm 的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的高为8 cm ，那么这张扇形纸板的弧长是________cm ．23．若m 是方程5x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，则15m ﹣3m+2010的值为_____． 24．长度等于62的弦所对的圆心角是90°，则该圆半径为_____． 25．在平面直角坐标系中，抛物线2yx 的图象如图所示．已知A 点坐标为()1,1，过点A 作1AA x ∕∕轴交抛物线于点1A ，过点1A 作12A A OA ∕∕交抛物线于点2A ，过点2A 作23A A x ∕∕轴交抛物线于点3A ，过点3A 作34A A OA ∕∕交抛物线于点4A ……，依次进行下去，则点2019A 的坐标为_____．26．如图，正方形ABCD 的顶点A 、B 在圆O 上，若23AB =cm ，圆O 的半径为2cm ，则阴影部分的面积是__________2cm ．（结果保留根号和π）27．如图，港口A 在观测站 O 的正东方向，OA ＝4km ，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达 B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离（即OB 的长）为 _____km.28．一个口袋中放有除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球，黑球6个，白球10个．现在往袋中放入m 个白球和4个黑球，使得摸到白球的概率为35，则m ＝__． 29．如图，在△ABC 和△APQ 中，∠PAB =∠QAC ，若再增加一个条件就能使△APQ ∽△ABC ，则这个条件可以是________．30．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，6AC =，8BC =，D 、E 分别是边BC 、AC 上的两个动点，且4DE =，P 是DE 的中点，连接PA ，PB ，则14PA PB +的最小值为__________．三、解答题31．已知：如图，抛物线y ＝﹣x 2+2x +3交x 轴于点A 、B ，其中点A 在点B 的左边，交y 轴于点C ，点P 为抛物线上位于x 轴上方的一点．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）若△PAB 的面积为4，求点P 的坐标．32．“2020比佛利”无锡马拉松赛将于3月22日鸣枪开跑，本次比赛设三个项目：A ．全程马拉松；B ．半程马拉松；C ．迷你马拉松．小明和小红都报名参与该赛事的志愿者服务工作，若两人都已被选中，届时组委会随机将他们分配到三个项目组． （1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为 ； （2）请利用树状图或列表法求两人被分配到同一个项目组的概率． 33．将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG ．（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD＝CD；（2）当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．34．解方程：（1）3x2－6x－2＝0；（2）(x－2)2＝(2x＋1)2．35．如图，AB是⊙O的弦，OP OA⊥交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且BC是⊙O的切线.（1）判断CBP∆的形状，并说明理由；（2）若6,2OA OP==，求CB的长；（3）设AOP∆的面积是1,S BCP∆的面积是2S，且1225SS=.若⊙O的半径为6,45BP=，求tan APO∠.四、压轴题36．问题提出（1）如图①，在ABC中，42,6,135AB AC BAC==∠=，求ABC的面积．问题探究（2）如图②，半圆O的直径10AB=，C是半圆AB的中点，点D在BC上，且2CD BD=，点P是AB上的动点，试求PC PD+的最小值．问题解决（3）如图③，扇形AOB的半径为20,45AOB∠=在AB选点P，在边OA上选点E，在边OB上选点F，求PE EF FP++的长度的最小值．37．如图，函数y=-x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2-2x-3=0的两个实数根，且m＜n．（1）求m ，n 的值以及函数的解析式；（2）设抛物线y=-x 2+bx +c 与x 轴的另一交点为点C ，顶点为点D ，连结BD 、BC 、CD ，求△BDC 面积；（3）对于（1）中所求的函数y=-x 2+bx +c ， ①当0≤x ≤3时，求函数y 的最大值和最小值；②设函数y 在t ≤x ≤t +1内的最大值为p ，最小值为q ，若p-q =3，求t 的值． 38．()1尺规作图1：已知：如图，线段AB 和直线且点B 在直线上求作：点C ，使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形． 作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点C ．()2特例思考：如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有______个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有______个.()3拓展应用：如图，AOB 45∠=，点M ，N 在射线OA 上，OM x =，ON x 2=+，点P 是射线OB 上的点.若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个，求x 的值． 39．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C ，给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的覆盖矩形．点A ，B ，C 的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ，C 的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，AB 3C 3D 3都是点A ，B ，C 的覆盖矩形，其中矩形AB 3C 3D 3是点A ，B ，C 的最优覆盖矩形． （1）已知A （﹣2，3），B （5，0），C （t ，﹣2）． ①当t ＝2时，点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为 ；②若点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC 的表达式；（2）已知点D （1，1）．E （m ，n ）是函数y ＝4x（x ＞0）的图象上一点，⊙P 是点O ，D ，E 的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P 的半径r 的取值范围．40．如图，扇形OMN 的半径为1，圆心角为90°，点B 是上一动点，BA ⊥OM 于点A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ． （1）当点B 移动到使AB ：OA=：3时，求的长；（2）当点B 移动到使四边形EPGQ 为矩形时，求AM 的长． （3）连接PQ ，试说明3PQ 2+OA 2是定值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各项分析判断即可得解. 【详解】 解：由34a b，得出，3b=4a, A.由等式性质可得：3b=4a ，正确； B.由等式性质可得：4a=3b ，错误；C. 由等式性质可得：3b=4a ，正确；D. 由等式性质可得：4a=3b ，正确. 故答案为：B. 【点睛】本题考查的知识点是等式的性质，熟记等式性质两内项之积等于两外项之积是解题的关键.2．C解析：C 【解析】 【分析】①根据对称轴及增减性进行判断； ②根据函数在x=1处的函数值判断；③利用抛物线与直线y=-2有两个交点进行判断． 【详解】解：∵a ＜0＜b ，∴二次函数的对称轴为x=2ba->0，在y 轴右边，且开口向下， ∴x ＜0时，y 随x 增大而增大； 故①正确；根据二次函数的系数，可得图像大致如下， 由于对称轴x=2ba-的值未知， ∴当x=1时，y=a+b+c 的值无法判断， 故②不正确；由图像可知，y=＝ax 2＋bx ＋c ≤0，∴二次函数与直线y=-2有两个不同的交点， ∴方程ax 2＋bx ＋c =-2有两个不相等的实数根. 故③正确. 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数的图像的性质，二次函数的图像与系数的关系，二次函数与方程的关系，借助图像解决问题是关键.3．A解析：A【解析】 【分析】方差的大小反映数据的波动大小，方差越小，数据越稳定，根据题意可判断乙的数据比甲稳定，所以乙的方差小于甲. 【详解】解：由题意可知，乙的数据比甲稳定，所以2S 甲＞2S 乙 故选：A 【点睛】本题考查方差的定义与意义,方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．4．C解析：C 【解析】 【分析】根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小． 【详解】解：∵函数的对称轴为x=222b m m a -=-=-， 又∵二次函数开口向上，∴在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大， ∵x ＞1时，y 随x 的增大而增大， ∴-m≤1，即m ≥-1 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数的图形与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：设AC 和OB 交于点D ，根据同弧所对的圆心角的度数等于圆周角度数2倍可得：∠O=2∠A=72°，根据∠C=28°可得：∠ODC=80°，则∠ADB=80°，则∠B=180°-∠A-∠ADB=180°-36°-80°=64°，故本题选C ．6．C解析：C【解析】试题分析：由题意可得根的判别式，即可得到关于k的不等式，解出即可.由题意得，解得故选C.考点：一元二次方程的根的判别式点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．7．C解析：C【解析】【分析】根据二次函数顶点式顶点坐标表示方法，直接写出顶点坐标即可.【详解】解：∵顶点式y＝a(x﹣h)2+k，顶点坐标是(h，k)，∴y＝2(x﹣2)2﹣1的顶点坐标是(2，﹣1)．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数顶点式，解决本题的关键是熟练掌握二次函数顶点式中顶点坐标的表示方法.8．C解析：C【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可解答.【详解】x2－x＝0x(x-1)=0,x=0或x-1=0,∴x1＝0，x2＝1.故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——因式分解法，熟知用因式分解法解一元二次方程的方法是解决问题的关键.9．B解析：B【解析】【分析】根据反比例函数的定义，二次函数的定义，一次函数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A. y＝12x是正比例函数，不符合题意；B. y＝2x2-1是二次函数，符合题意；C. yD. y＝x2＋1x＋1不是二次函数，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数、二次函数、反比例函数的定义．10．D解析：D【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程得到关于b的一次方程，然后解一次方程即可．【详解】解：把x=2代入程x2+bx-6=0得4+2b-6=0，解得b=1．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.11．C解析：C【解析】【分析】由题意可以求出前14个数的和，后6个数的和，进而得到20个数的总和，从而求出20个数的平均数．【详解】解：由题意得：（10×14+15×6）÷20=11.5，故选：C．【点睛】此题考查平均数的意义和求法，求出这些数的总和，再除以总个数即可.．12．D解析：D【解析】【分析】如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．【详解】如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，∴2234，∵CD=DB，∴AD=DC=DB=52，∵12•BC•AH=12•AB•AC，∴AH=125，∵AE=AB，DE=DB=DC，∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，∵12•AD•BO=12•BD•AH，∴OB=125，∴BE=2OB=245，在Rt△BCE中，75 ==.故选D．点睛：本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．13．C解析：C【解析】【分析】因为OCP和ODQ为直角三角形，根据勾股定理可得OP、DQ、PQ的长度，又因为CP//DQ，两直线平行内错角相等，∠PCE=∠EDQ，且∠CPE=∠DQE=90°，可证CPE∽DQE，可得CP DQ=PE EQ，设PE=x，则EQ=14-x，解得x的取值，OE= OP-PE，则OE的长度可得．【详解】解：∵在⊙O中，直径AB=20，即半径OC=OD=10，其中CP⊥AB，QD⊥AB，∴OCP和ODQ为直角三角形，根据勾股定理：，，且OQ=6，∴PQ=OP+OQ=14，又∵CP⊥AB，QD⊥AB，垂直于用一直线的两直线相互平行，∴CP//DQ，且C、D连线交AB于点E，∴∠PCE=∠EDQ，（两直线平行，内错角相等）且∠CPE=∠DQE=90°，∴CPE∽DQE，故CP DQ=PE EQ，设PE=x，则EQ=14-x，∴68=x14-x，解得x=6，∴OE=OP-PE=8-6=2，故选：C．【点睛】本题考察了勾股定理、相似三角形的应用、两直线平行的性质、圆的半径，解题的关键在于证明CPE与DQE相似，并得出线段的比例关系．14．C解析：C【解析】【分析】设∠A、∠C分别为x、2x，然后根据圆的内接四边形的性质列出方程即可求出结论．【详解】解：设∠A 、∠C 分别为x 、2x ，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴x +2x ＝180°，解得，x ＝60°，即∠A ＝60°，故选：C ．【点睛】此题考查的是圆的内接四边形的性质，掌握圆的内接四边形的性质是解决此题的关键．15．D解析：D【解析】【分析】由切线性质得到AOB ∠，再由等腰三角形性质得到OAD ODA ∠=∠，然后用三角形外角性质得出ADC ∠【详解】切线性质得到90BAO ∠=903654AOB ∴∠=-=OD OA =OAD ODA ∠=∠∴AOB OAD ODA ∠=∠+∠27ADC ADO ∴∠=∠=故选D【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键二、填空题16．100【解析】【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB 的长．【详解】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，∴△ABD∽△E解析：100【解析】【分析】由两角对应相等可得△BAD ∽△CED ，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB 的长．【详解】解：∵∠ADB=∠EDC ，∠ABC=∠ECD=90°，∴△ABD ∽△ECD ， ∴AB BD EC CD=， 即BD EC AB CD ⨯=， 解得：AB=1205060⨯ =100（米）． 故答案为100．【点睛】 本题主要考查了相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．17．【解析】【分析】二次函数（a≠0）的顶点坐标是（h ，k ）．【详解】解：根据二次函数的顶点式方程知，该函数的顶点坐标是：（1，2）． 故答案为：（1，2）．【点睛】本题考查了二次函数的性解析：()1,2【解析】【分析】二次函数2()y a x h k =-+（a≠0）的顶点坐标是（h ，k ）．【详解】解：根据二次函数的顶点式方程23(1)2y x =-+知，该函数的顶点坐标是：（1，2）．故答案为：（1，2）．【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式，解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程2()y a x h k =-+中的h ，k 所表示的意义． 18．【解析】【分析】观察图象当时，直线在抛物线上方，此时二次函数值小于一次函数值，当或时，直线在抛物线下方，二次函数值大于一次函数值，将不等式变形，观察图象确定x 的取值范围，即为不等式的解集.【解析：23x -<<【解析】【分析】观察图象当23x -<<时，直线在抛物线上方，此时二次函数值小于一次函数值，当2x <-或3x >时，直线在抛物线下方，二次函数值大于一次函数值，将不等式变形，观察图象确定x 的取值范围，即为不等式的解集.【详解】解：设21y ax h =+，2y kx b =+，∵2ax b kx h -<-∴2ax h kx b +<+，∴12y y <即二次函数值小于一次函数值，∵抛物线与直线交点为()3,A m ，()2,B n -，∴由图象可得，x 的取值范围是23x -<<.【点睛】本题考查不等式与函数的关系及函数图象交点问题，理解图象的点坐标特征和数形结合思想是解答此题的关键.19．200【解析】【分析】要求飞机从滑行到停止的路程就，即求出函数的最大值即可.【详解】解：所以当t=20时，该函数有最大值200.故答案为200.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用解析：200【解析】【分析】要求飞机从滑行到停止的路程就，即求出函数的最大值即可.【详解】解：()()222200.50.5404002000.520200s t t t t t =-=--++=--+ 所以当t=20时，该函数有最大值200.故答案为200.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数求最值的方法，即公式法或配方法是解题关键.20．15【解析】【分析】由在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB=3cm，根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离．【详解】解：∵比例尺为1：500000，量得两地的距离解析：15【解析】【分析】由在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB=3cm，根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离．【详解】解：∵比例尺为1：500000，量得两地的距离是3厘米，∴A、B两地的实际距离3×500000=1500000cm=15km，故答案为15．【点睛】此题考查了比例尺的性质．注意掌握比例尺的定义，注意单位要统一．21．－5.【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】∵，是关于的一元二次方程的两根，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，如果，是方解析：－5.【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．∵1x ，2x 是关于x 的一元二次方程240x x +-=的两根，∴121214x x x x +=-=-，， ∴()1212145x x x x ++=-+-=-，故答案为：5-．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，如果1x ，2x 是方程20x px q ++=的两根，那么12x x p +=﹣，12x x q =．22．【解析】【分析】首先求出圆锥的底面半径，然后可得底面周长，问题得解．【详解】解：∵扇形的半径为10cm ，做成的圆锥形帽子的高为8cm ，∴圆锥的底面半径为cm ，∴底面周长为2π×6＝12解析：12π【解析】【分析】首先求出圆锥的底面半径，然后可得底面周长，问题得解．【详解】解：∵扇形的半径为10cm ，做成的圆锥形帽子的高为8cm ，6=cm ，∴底面周长为2π×6＝12πcm ，即这张扇形纸板的弧长是12πcm ，故答案为：12π．【点睛】本题考查圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长． 23．2019【解析】【分析】根据m 是方程5x2﹣3x ﹣1＝0的一个根代入得到5m2﹣3m ﹣1＝0，进一步得到5m2﹣1＝3m ，两边同时除以m 得：5m ﹣＝3，然后整体代入即可求得答案．【详解】解解析：2019【解析】根据m 是方程5x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根代入得到5m 2﹣3m ﹣1＝0，进一步得到5m 2﹣1＝3m ，两边同时除以m 得：5m ﹣1m ＝3，然后整体代入即可求得答案． 【详解】解：∵m 是方程5x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，∴5m 2﹣3m ﹣1＝0，∴5m 2﹣1＝3m ，两边同时除以m 得：5m ﹣1m ＝3， ∴15m ﹣3m +2010＝3（5m ﹣1m）+2010＝9+2010＝2019， 故答案为：2019．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，灵活的进行代数式的变形是解题的关键.24．6【解析】【分析】结合等腰三角形的性质，根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图AB ＝6，∠AOB ＝90°，且OA ＝OB ，在中，根据勾股定理得，即∴，故答案为：6．【点睛】解析：6【解析】【分析】结合等腰三角形的性质，根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图AB ＝，∠AOB ＝90°，且OA ＝OB ，在Rt OAB 中，根据勾股定理得222OA OB AB +=，即222272OA AB === ∴236OA =，0OA >6OA ∴=故答案为：6．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，在等腰直角三角形中灵活利用勾股定理求线段长度是解题的关键.25．【解析】【分析】根据二次函数性质可得出点的坐标，求得直线为，联立方程求得的坐标，即可求得的坐标，同理求得的坐标，即可求得的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点的坐标．【详解】解：∵解析：2(1010,1010)-【解析】【分析】根据二次函数性质可得出点1A 的坐标，求得直线12A A 为2y x =+，联立方程求得2A 的坐标，即可求得3A 的坐标，同理求得4A 的坐标，即可求得5A 的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点2019A 的坐标．【详解】解：∵A 点坐标为()1,1，∴直线OA 为y x =，()11,1A -，∵12A A OA ∕∕，∴直线12A A 为2y x =+，解22y x y x =+⎧⎨=⎩得11x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩， ∴()22,4A ，∴()32,4A -，∵34A A OA ∕∕，∴直线34A A 为6y x =+，解26y x y x =+⎧⎨=⎩得24x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩， ∴()43,9A ，∴()53,9A -…，∴()220191010,1010A -，故答案为()21010,1010-． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．26．【解析】【分析】设AD 和BC 分别与圆交于点E 和F ，连接AF 、OE ，过点O 作OG⊥AE，根据90°的圆周角对应的弦是直径，可得AF 为圆的直径，从而求出AF ，然后根据锐角三角函数和勾股定理，即可求解析：412333π-- 【解析】【分析】设AD 和BC 分别与圆交于点E 和F ，连接AF 、OE ，过点O 作OG ⊥AE ，根据90°的圆周角对应的弦是直径，可得AF 为圆O 的直径，从而求出AF ，然后根据锐角三角函数和勾股定理，即可求出∠AFB 和BF ，然后根据平行线的性质、锐角三角函数和圆周角定理，即可求出OG 、AG 和∠EOF ，最后利用S 阴影=S 梯形AFCD －S △AOE －S 扇形EOF 计算即可．【详解】解：设AD 和BC 分别与圆交于点E 和F ，连接AF 、OE ，过点O 作OG ⊥AE∵四边形ABCD 是正方形∴∠ABF=90°，AD ∥BC ，BC=CD=AD=23AB =∴AF 为圆O 的直径∵23AB =cm ，圆O 的半径为2cm ，∴AF=4cm在Rt △ABF 中sin ∠AFB=AB AF ，BF=2=∴∠AFB=60°，FC=BC －BF=()2cm∴∠EAF=∠AFB=60°∴∠EOF=2∠EAF=120°在Rt △AOG 中，OG=sin ∠EAF ·，AG= cos ∠EAF ·AO=1cm根据垂径定理，AE=2AG=2cm∴S 阴影=S 梯形AFCD －S △AOE －S 扇形EOF =()21112022360OE CD FC AD AE OG π•+-•-=(21112022222360π•⨯+-⨯=24123cm π⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：4123π-． 【点睛】 此题考查的是求不规则图形的面积，掌握正方形的性质、90°的圆周角对应的弦是直径、垂径定理、勾股定理和锐角三角函数的结合和扇形的面积公式是解决此题的关键． 27．2＋2【解析】【分析】作AD⊥OB 于点D ，根据题目条件得出∠OAD＝60°、∠DAB＝45°、OA ＝4km ，再分别求出AD 、OD 、BD 的长，从而得出答案．【详解】如图所示，过点A 作AD⊥O解析：2【解析】【分析】作AD ⊥OB 于点D ，根据题目条件得出∠OAD ＝60°、∠DAB ＝45°、OA ＝4km ，再分别求出AD 、OD 、BD 的长，从而得出答案．【详解】如图所示，过点A 作AD ⊥OB 于点D ，由题意知，∠AOD＝30°，OA＝4km，则∠OAD＝60°，∴∠DAB＝45°，在Rt△OAD中，AD＝OAsin∠AOD＝4×sin30°＝4×12＝2（km），OD＝OAcos∠AOD＝4×cos30°＝4×32＝3km），在Rt△ABD中，BD＝AD＝2km，∴OB＝OD＋BD＝32（km），故答案为：32．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用−方向角问题，解题的关键是构建合适的直角三角形，并熟练运用三角函数进行求解．28．5【解析】【分析】根据概率公式列出方程，即可求出答案．【详解】解：由题意得，解得m＝5，经检验m＝5是原分式方程的根，故答案为5．【点睛】本题主要考查了概率公式，根据概率公解析：5【解析】【分析】根据概率公式列出方程，即可求出答案．【详解】解：由题意得，10m 3610m 45+=+++ 解得m ＝5，经检验m ＝5是原分式方程的根，故答案为5．【点睛】本题主要考查了概率公式，根据概率公式列出方程是解题的关键．29．∠P=∠B（答案不唯一）【解析】【分析】要使△APQ∽△ABC ，在这两三角形中，由∠PAB=∠Q AC 可知∠PAQ=∠BAC，还需的条件可以是∠B=∠P 或∠C=∠Q 或．【详解】解：这个条件解析：∠P =∠B （答案不唯一）【解析】【分析】要使△APQ ∽△ABC ，在这两三角形中，由∠PAB =∠QAC 可知∠PAQ=∠BAC ，还需的条件可以是∠B=∠P 或∠C=∠Q 或AP AQ AB AC =． 【详解】解：这个条件为：∠B=∠P∵∠PAB =∠QAC ，∴∠PAQ=∠BAC∵∠B=∠P ，∴△APQ ∽△ABC ，故答案为：∠B=∠P 或∠C=∠Q 或AP AQ AB AC=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的运用,掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 30．【解析】【分析】先在CB 上取一点F ，使得CF=，再连接PF 、AF ，然后利用相似三角形的性质和勾股定理求出AF ，即可解答．【详解】解：如图：在CB 上取一点F ，使得CF=，再连接PF 、AF ，解析：145 2【解析】【分析】先在CB上取一点F，使得CF=12，再连接PF、AF，然后利用相似三角形的性质和勾股定理求出AF，即可解答．【详解】解：如图：在CB上取一点F，使得CF=12，再连接PF、AF，∵∠DCE=90°，DE=4，DP=PE，∴PC=12DE=2，∵14CFCP=，14CPCB=∴CF CP CP CB=又∵∠PCF=∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴14 PF CFPB CP==∴PA+14PB=PA+PF，∵PA+PF≥AF，AF=22221145622 CF AC⎛⎫+=+=⎪⎝⎭∴PA+14PB ≥.1452∴PA+14PB的最小值为145，故答案为145．【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，正确添加常用辅助线、构造相似三角形是解答本题的关键．三、解答题31．（1）A （﹣1，0），B （3，0），C （0，3）；（2）P 点坐标为（1，2），（，2）【解析】【分析】（1）当0y =时，可求点A ，点B 坐标，当0x =，可求点C 坐标；（2）设点P 的纵坐标为y ，利用三角形面积公式可求得2y ＝，代入y =﹣x 2+2x +3即可求得点P 的横坐标，从而求得答案.【详解】（1）对于抛物线y =﹣x 2+2x +3，令y=0，得到﹣x 2+2x +3=0，解得：x 1=﹣1，x 2=3，则A （﹣1，0），B （3，0），令0x =，得到y =﹣x 2+2x +3=3，则C 点坐标为（0，3）；故答案为：A （﹣1，0），B （3，0），（0，3）；（2）设点P 的纵坐标为y ，∵点P 为抛物线上位于x 轴上方，∴0y >，∵△PAB 的面积为4， ∴()13142y ⨯+⨯=， 解得：2y =， ∵点P 为抛物线上的点，将2y =代入y =﹣x 2+2x +3得：﹣x 2+2x +3=2，整理得x 2﹣2x ﹣1=0，解得：x 1=1，x 2=∴P 点坐标为：（1，2），（，2）．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的运用，利用二次函数的性质求解是关键．32．（1）13；（2）13． 【解析】【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）先利用画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人被分配到同一个项目组的结果数，然后根据概率公式计算．【详解】解：（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为13；（2）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两人被分配到同一个项目组的结果数为3，所以两人被分配到同一个项目组的概率＝39＝13．【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知树状图的画法.33．(1)见解析;(2)见解析.【解析】【分析】（1）先运用SAS判定△AED≌△FDE，可得DF=AE，再根据AE=AB=CD，即可得出CD=DF；（2）当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角α的度数．【详解】（1）由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，∴∠AEB＝∠ABE，又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF，∴∠EDA＝∠DEF，又∵DE＝ED，∴△AED≌△FDE（SAS），∴DF＝AE，又∵AE＝AB＝CD，∴CD＝DF；（2）如图，当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，∵GC＝GB，∴GH⊥BC，∴四边形ABHM是矩形，∴AM＝BH＝12AD＝12AG，∴GM垂直平分AD，∴GD＝GA＝DA，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝60°；②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝360°﹣60°＝300°．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定（SAS）与性质的运用，解题关键是掌握旋转的性质、全等三角形的判定（SAS）与性质的运用．34．（1）x1＝115x2＝1152）x1＝13，x2＝－3【解析】【分析】（1）利用配方法解方程即可；（2）先移项，然后利用因式分解法解方程．【详解】（1）解：x2－2x＝2 3x2－2x＋1＝23＋1(x－1)2＝5 3x －1＝±15 ∴x 1＝1＋15，x 2＝1－15 （2）解：[ (x －2)＋(2x ＋1)] [ (x －2)－(2x ＋1)]＝0(3x －1) (－x －3)＝0∴x 1＝13，x 2＝－3 【点睛】 本题考查了解一元二次方程的应用，能灵活运用各种方法解一元二次方程是解题的关键．35．（1）CBP ∆是等腰三角形，理由见解析；（2）BC 的长为8；（3）3tan 2APO ∠=. 【解析】【分析】（1）首先连接OB ，根据等腰三角形的性质由OA ＝OB 得A OBA ∠=∠,由点C 在过点B 的切线上，且OP OA ⊥，根据等角的余角相等，易证得∠PBC ＝∠CPB ，即可证得△CBP 是等腰三角形；（2）设BC ＝x ，则PC ＝x ，在Rt △OBC 中，根据勾股定理得到2226(2)x x +=+，然后解方程即可；（3）作CD ⊥BP 于D ，由等腰三角形三线合一的性质得1252PD BD PB ===，由1225S S =，通过证得~AOP CDP ∆∆，得出2245AOP PCD S OA S CD ∆∆== 即可求得CD ，然后解直角三角形即可求得.【详解】（1）CBP ∆是等腰三角形，理由：连接OB ，OA OB =A OBA ∴∠=∠⊙O 与BC 相切与点B ，OB BC ∴⊥，即90OBC ∠=，90OBA PBC ∠+∠=OP OA ⊥90APO A ∴∠+∠=，APO CPB ∠=∠。
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2011—2012学年度（上期）初2012级期末诊断性评价数 学（时间：120分钟，总分：150分）A 卷（共100分）一 、选择题（每题3分，共30分） 1、3--的倒数是（ ）A ．3B ．3-C ．31 D ．31- 2、已知12-=-b a ，则124+-b a 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．33、如图，桌子上放着一个长方体的茶叶盒和一个圆柱形的水杯，则其主视图是（ ）4、在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则cos B ∠的值为（ ） A ．12B ．22 C ．32D ．335、某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P （件）与每件的销售价x （元）满足关系：1002P x =-.若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）. A ．(30)(1002)200x x --= B ．(1002)200x x -= C ．(30)(1002)200x x --= D ．(30)(2100)200x x --=6、反比例函数ky x=在第二象限的图象如图所示，过函数图象上一点P 作PA ⊥x 轴交x 轴于点A , 已知PAO ∆的面积为3，则k 的值为（ ） A ．6 B ．6- C ．3 D ．3-7、如图，在一块形状为直角梯形的草坪中，修建了一条由 A →M →N →C 的小路（M 、N 分别是AB 、CD 中点）.极少数同学 为了走“捷径”，沿线段AC 行走，破坏了草坪，实际上他们 仅少走了（ ）A ．7米B ．6米C ．5米D ．4米8、将抛物线23y x =先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是（ ）A ．23(2)1y x =++ B ．23(2)1y x =-+ C ． 23(2)1y x =+- D ．23(2)1y x =--9、下列四个图象表示的函数中，当x ＜0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（ ）A ．B ．C ．D ．10、已知二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 的图象如图所示， 给出以下结论：①0<abc ；②当1x =时，函数有最大值； ③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0； ④024<++c b a 其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题（每空4分，共16分） 11、化简▲ ．12、如图，在□ABCD 中，AB ＝5，AD ＝8，DE 平分∠ADC ， 则B E ＝ ▲ ．13、若关于x 一元二次方程02)2(2=++-a x a x 的两个实数根分别是3、b ，则=b ▲ ．14、如图，矩形ABCD 的边AB 与y 轴平行，顶点A 的坐标为(1，2)，点B 、D 在反比例函数xy 6=（x ＞0）的图象上，则点C 的坐标为 ▲ ．三、计算题（15题6分，16题每小题6分，共18分)15、计算：245sin 2201221801-︒++⎪⎭⎫⎝⎛--；16、解方程：（1）x x 232-=； （2）1213122+=--+-x x x x 四、解答题(每小题8分，共16分)17、放风筝是大家喜爱的一种运动．星期天的上午小明在万达广场上放风筝．如图他在A 处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上，风筝固定在了D 处．此时风筝线AD 与水平线的夹角为30°．为了便于观察，小明迅速向前边移动边收线到达了离A 处10米的B 处，此时风筝线BD 与水平线的夹角为45°．已知点A 、B 、C 在同一条直线上，∠ACD=90°．请你求出小明此吋的风筝线的长度是多少米？（本题中风筝线均视为线段，结果保留根号）18、今只有一张欢乐谷门票，而小明和小华都想要去，于是他们两人分x x x x y y y yO O O O A ．B ．C ．D ．别提出一个方案：小明的方案是：转动如图所示的转盘，当转盘停止转动后，如果指针停在阴影区域，则小明获得门票；如果指针停在白色区域，则小华获得门票（转盘被等分成6个扇形，若指针停在边界处，则重新转动转盘）．小华的方案是：有三张卡片，上面分别标有数字1，2，3，将它们背面朝上洗匀后，从中摸出一张，记录下卡片上的数字后放回，重新洗匀后再摸出一张．若摸出两张卡片上的数字之和为奇数，则小明获得门票；若摸出两张卡片上的数字之和为偶数，则小华获得门票．（1）在小明的方案中，计算小明获得门票的概率，并说明小明的方案是否公平？（2）用树状图或列表法列举小华设计方案中可能出现的所有结果，计算小华获得门票的概率，并说明小华的方案是否公平？五、解答题(每小题10分，共20分)19、如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象交反比例函数y＝4－2mx(x＞0)的图象于点A、B，交x轴于点C．(1)求m的取值范围；(2)若点A的坐标是(2，－4)，且BCAB＝13，求m的值和一次函数的解析式．20、在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为点E，F．(1)求证：△FOE≌△DOC；(2)求sin∠OEF的值；(3)若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求AB CDGH的值．B卷（共50分）一、填空题。
（每题4分，共20分）21、已知二次函数m x x y ++-=22的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程022=++-m x x 的解为 ▲ ．22、如图，已知梯形ABCD 中，090=∠B ,AD//BC ，沿着CE 翻折，点D 与点B 重合，AD=2，AB=4，则ECB ∠tan = ▲ ，CD= ▲ ．23、设1x 、2x 是一元二次方程0342=-+x x 的两个根，且()23522221=+-+a x x x ，则a = ▲ ．24、如图①，在直角梯形ABCD 中，∠B=︒90，AB//CD ，动点P 从B 点出发，由B →C →D →A 沿边运动。
设点P 运动的路程为x ，ABP ∆的面积为y ，如果关于x 的函数y 的图象如图②所示，则ABC ∆的面积为 ▲ ．25、如图，用火柴棍摆出一列正方形图案，若按这种方式摆下去，摆第n 个图案用 ▲ 根火柴棍（用含n 的代数式表示）．26、（8分）某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4120元．（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？（2）该经销商购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？ 27、(10分) 已知,矩形ABCD 中,4AB cm =,8BC cm =,AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ,垂足为O .(1)如图1,连接AF 、CE .求证四边形AFCE 为菱形,并求AF 的长；(2)如图2,动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发,沿AFB ∆和CDE ∆各边匀速运动一周.即点① ② ③……P 自A →F →B →A 停止,点Q 自C →D →E →C 停止.在运动过程中,①已知点P 的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm ,运动时间为t 秒,当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t 的值.②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b (单位:cm ,0ab ≠),已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形,求a 与b 满足的数量关系式.28、（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，3-）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP’C ， 那么是否存在点P ，使四边形POP’C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.参考答案与评分标准A 卷一、1、D ；2、A ；3、B ；4、B ；5、A ；6、B ；7、B ；8、C ；9、D ；10、C. 二、11、4；12、3；13、2；14、（3，6）.A BCDEF图1O图2ACDEP备用图ACDEP三、15、12+；16、（1）31-=x ，12=x ；（2）1-=x ，是原方程的增根，原方程无解. 17、解：设CD=x ,则BC=x ，AC=x 3， ……………………1分 ∵AB+BC=AC ， ∴x x 310=+， ……………………4分解得：535+=x ……………………6分 ∴ BD=25652+=x . ……………………7分 则小明此时的风筝线的长度为2565+米． ……………………8分 18、解：（1）小明获得门票的概率是2163=，小明的方案是公平的，因为双方获得门票的可能性都是21…………………………………3分 （2）或………………………5分小华获得门票的概率是95，小华的方案不公平，因为双方获得门票的可能性不相同. 小华获得门票的可能性是95 ，小明获得门票的可能性是94…………………8分19、解：（1）由m 24-＜0，得：m ＞2. …………………4分开始12 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3数字之和：2 3 4 3 4 5 4 5 6（2）分别过点A 、B 作x 轴的垂线交x 轴于点D 、E, 将A(2,-4)代入y ＝4－2mx得：824-=-m ∴6=m …………………6分 ∴反比例函数的解析式为：xy 8-= ∵AD ⊥x 轴，BE ⊥x 轴, ∴AD//BE ∴41==AC BC DA BE 而AD=4, ∴BE=1, ∴B(8,-1) …………………8分 将A(2,-4)、B(8,-1)代入y ＝kx ＋b⎩⎨⎧-=+-=+1842b k b k ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧-==521b k∴一次函数的解析式为：521-=x y …………………10分 20、解：（1）证明：∵E ，F 分别为线段OA ，OB 的中点，∴EF ∥AB ，AB ＝2EF ， ∵AB ＝2CD ， ∴EF ＝CD ， ∵AB ∥CD ， ∴EF ∥CD ，∴∠OEF ＝∠OCD ，∠OFE ＝∠ODC ，∴△FOE ≌ △DOC ； …………………3分（2）在△ABC 中，∵∠ABC ＝90°，∴AC ===sin BC CAB AC ∠==∵EF ∥AB ，∴∠OEF ＝∠CAB ，∴sin sin OEF CAB ∠=∠=…………………6分 （3）∵△FOE ≌ △DOC ，∴OE ＝OC ，∵AE ＝OE ，AE ＝OE ＝OC ，∴23CE CA =． ∵EF ∥AB ，∴△CE H ∽△CAB ， ∴23EH CE AB CA ==，∴2433CE EH AB CD CA ===， …………………8分 ∵EF ＝CD ，∴43EH EF =，1133FH EF CD ==，同理13GE CD =，∴53GH CD =，∴29553AB CD CD CD GH CD ++== …………………10分B 卷一、21、11-=x ，32=x ；22、21，5；23、8；24、16；25、n n 222+. 二、26、解：（1）设每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是x ，y 元，根据题意得：⎩⎨⎧=+=+4120527000810y x y x …………………2分解得：⎩⎨⎧==80060y x答：每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是60元，800元；…………………4分 （2）设该经销商购进电脑机箱m 台，购进液晶显示器)50(m -台，根据题意得：⎩⎨⎧≥-+≤-+4100)50(1601022240)50(80060m m m m解得：24≤m ≤26， …………………6分 因为m 要为整数，所以可以取24、25、26，从而得出有三种进货方式：①电脑箱：24台，液晶显示器：26台， ②电脑箱：25台，液晶显示器：25台； ③电脑箱：26台，液晶显示器：24台． ∴方案一的利润：24×10+26×160=4400， 方案二的利润：25×10+25×160=4250， 方案三的利润：26×10+24×160=4100，∴方案一的利润最大为4400元． …………………8分 （其余方法合理都可以给分） 27、解：（1）(1)证明:①∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC∴CAD ACB ∠=∠,AEF CFE ∠=∠ ∵EF 垂直平分AC ,垂足为O ∴OA OC = ∴AOE ∆≌COF ∆ ∴OE OF =∴四边形AFCE 为平行四边形 又∵EF AC ⊥∴四边形AFCE 为菱形 …………………2分A B CDE F O②设菱形的边长AF CF xcm ==,则(8)BF x cm =- 在Rt ABF ∆中,4AB cm =由勾股定理得2224(8)x x +-=,解得5x =∴5AF cm = …………………4分(2)①显然当P 点在AF 上时,Q 点在CD 上,此时A 、C 、P 、Q 四点不可能构成平行四边形;同理P 点在AB 上时,Q 点在DE 或CE 上,也不能构成平行四边形.因此只有当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时,才能构成平行四边形 …………………5分 ∴以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC QA =∵点P 的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm ,运动时间为t 秒∴5PC t =,124QA t =- ∴5124t t =-,解得43t =∴以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,43t =秒. …………………8分 ②由题意得,以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,点P 、Q 在互相平行的对应边上. 分三种情况:i)如图1,当P 点在AF 上、Q 点在CE 上时,AP CQ =,即12a b =-,得12a b += ii)如图2,当P 点在BF 上、Q 点在DE 上时,AQ CP =, 即12b a -=,得12a b += iii)如图3,当P 点在AB 上、Q 点在CD 上时,AP CQ =,即12a b -=,得12a b += 综上所述,a 与b 满足的数量关系式是12a b +=(0)ab ≠ …………………10分28、解：（1）将B 、C 两点的坐标代入得⎩⎨⎧-==+33c c b ……………………2分解得：⎩⎨⎧-=-=32c b所以二次函数的表达式为：322--=x x y ……………………………3分 （2）存在点P ，使四边形POP /C 为菱形．设P 点坐标为（x ，322--x x ）， PP /交CO 于E若四边形POP /C 是菱形，则有PC ＝PO ．连结PP / 则PE ⊥CO 于E ， ∴OE=EC =23∴y =23-．…………………………6分A C D E FP A B C D EP A D E F P C A C D E P Q 图1 图2 图3∴322--x x =23-解得1x =2102+，2x =2102-（不合题意，舍去） ∴P 点的坐标为（2102+，23-）…………………………8分 （3）过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ，设P （x ，322--x x ）， 易得，直线BC 的解析式为3-=x y 则Q 点的坐标为（x ，x －3）.FB QP OF QP OC AB S S S S CPQ BPQ ABC ABPC ⋅+⋅+⋅=++=∆∆∆212121四边形 )0(2121FB F QP OC AB +⋅+⋅=OB QP OC AB ⋅+⋅=2121 3)3(2134212⨯+-+⨯⨯=x x =87523232+⎪⎭⎫ ⎝⎛--x ……………10分当23=x 时，四边形ABPC 的面积最大 此时P 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-415,23，四边形ABPC 的 面积875的最大值为． ………………12分。