因式分解知识点总结

因式分解知识点总结

第一讲因式分解一，知识梳理

1、因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。

即：多项式几个整式的积例：

因式分解，应注意以下几点。

1、因式分解的对象是多项式；

2、因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

3、分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；

4、公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；

5、结果如有相同因式，应写成幂的形式；

6、题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。

2、因式分解的方法：

（1）提公因式法：

①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。

例：的公因式是、解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是

12、-

8、6，它们的最大公约数为2；字母部分都含有因式，故多项式的公因式是

2、②提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，

所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。注意：提取公因式

后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式

中第一项有负号的，要先提取符号。例1：把分解因式、解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，

故公因式为6ab。

解：例2：把多项式分解因式解析：由于，多项式可以变形为,我们可以发现多项式各项都含有公因式（）,所以我们可以提取公因式（）后,再将多项式写成积的形式、解：==例3：把多项式分解因式解：= （2）运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用

公式法。

注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多

项式。

②选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项

式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公

式。例1：因式分解解：=例2：因式分解解：= （3）分组分解法（拓展）①将多项式分组后能提公因式进行因式分解；例：把多项式分解因式解：== ②将多项式分组后能运用公式进行因式分解、例：将多项式因式分解解：= （4）字相乘法（形如形式的多项式，可以考虑运用此种方法）方法：常数项拆成两个因数，这两数的和为一次项系数例：分解因式分解因式补充点详解补充点详解我们可以将-30分解成pq的形式，我们可以将100分解成pq的形式，使p+q=-1, pq=-30,我们就有p=-6, 使

p+q=52, pq=100,我们就有p=2,q=5或q=-6,p=5。q =50或

q=2,p=50。

所以将多项式可以分所以将多项式可以分解为解为52 -6503、因式分解的一般步骤：

如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法，最后运用字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四字”。注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。

一、例题解析提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面、确定公因式的方法：系

数取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂、

【例1】

分解因式：⑴(为正整数)⑵(、为大于1的自然数)

【巩固】

分解因式：

，为正整数、

【例2】

先化简再求值，，其中，、

【巩固】

求代数式的值：，其中、

【例3】

已知：，求的值、

【巩固】

分解因式：、