人教版 九年级数学讲义 与圆有关的位置关系(含解析)

第12讲与圆有关的位置关系

知识定位

讲解用时：3分钟

A、适用范围：人教版初三，基础一般

B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先学习与圆有关的三类位置关系：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系，重点掌握各种与圆位置关系的判断方法，其次学习切线的有关性质与判定定理以及切线长定理及应用，能够结合已知题意证明相关切线，最后掌握圆的外接三角形与三角形内切圆概念。本节课的重点是三类位置关系的判断方法以及切线的性质与判定定理，属于中考重点内容，也是难点之一，希望同学们能够好好学习，扎实基础。

知识梳理

讲解用时：30分钟

与圆有关的位置关系

（1）点与圆的位置关系

点与圆的位置关系有3种，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，

则有：

⊙点P在圆外⊙d＞r

⊙点P在圆上⊙d=r

⊙点P在圆内⊙d＜r

注意：

点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆

心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系。

课堂精讲精练

【例题1】

到圆心的距离不大于半径的点的集合是（）。

A．圆的外部B．圆的内部C．圆D．圆的内部和圆

【答案】D

【解析】此题考查圆的认识以及点与圆的位置关系，

根据点和圆的位置关系，知圆的内部是到圆心的距离小于的所有点的集合；

圆是到圆心的距离等于半径的所有点的集合；

所以与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是圆的内部（包括边界），

故选：D．

讲解用时：3分钟

解题思路：根据圆是到定点距离等于定长的点的集合以及点和圆的位置关系即可解决。

教学建议：理解圆上的点、圆内的点和圆外的点所满足的条件。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：盱眙县校级月考年份：2016秋

【练习1】

关于半径为5的圆，下列说法正确的是（）。

A．若有一点到圆心的距离为5，则该点在圆外

B．若有一点在圆外，则该点到圆心的距离不小于5

C．圆上任意两点之间的线段长度不大于10

D．圆上任意两点之间的部分可以大于10π

【答案】C

【解析】此题主要考查了点与圆的位置关系以及弦长概念，

A、关于半径为5的圆，有一点到圆心的距离为5，则该点在圆上，故此选项错误；

B、关于半径为5的圆，若有一点在圆外，则该点到圆心的距离大于5，故此选

项错误；

C、圆上任意两点之间的线段长度不大于10，此选项正确；

D、圆上任意两点之间的部分不可以大于10π，故此选项错误，故选：C.

讲解用时：3分钟

解题思路：根据定义逐项排除。

教学建议：根据定义逐项排除。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：奉贤区一模年份：2014

【例题2】

已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，那么直线l与⊙O 的位置关系是（）。

A．相交B．相切C．相离D．不确定

【答案】A

【解析】本题考查的是直线与圆的位置关系，

∵⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，

⊙3.5＜4，⊙直线l与⊙O的位置关系是相交，故选：A．

讲解用时：2分钟

解题思路：根据直线和圆的位置关系的内容判断即可。

教学建议：熟记直线与圆的位置关系判断。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：资中县一模年份：2018【练习2】

半径为10的⊙O和直线l上一点A，且OA=10，则直线l与⊙O的位置关系是（）。A．相切B．相交C．相离D．相切或相交

【答案】D

【解析】本题考查的是直线与圆的位置关系，

若OA⊙l，则圆心O到直线l的距离就是OA的长，等于半径，所以直线l与⊙O 相切；

若OA与直线l不垂直，根据垂线段最短，圆心O到直线l的距离小于5，即小

于半径，所以直线l与⊙O相交，故选：D．

讲解用时：5分钟

解题思路：分两种情况求解：OA⊙l与OA不垂直l，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判定。

教学建议：注意分类讨论。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：常州模拟年份：2018 【例题3】

已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（）。

A．0＜d＜1B．d＞5C．0＜d＜1或d＞5D．0≤d＜1或d＞5【答案】D

【解析】本题考查了圆与圆的位置关系，

若两圆没有公共点，则可能外离或内含，

外离时的数量关系应满足d＞5；

内含时的数量关系应满足0≤d＜1，故选：D．

讲解用时：3分钟

解题思路：若两圆没有公共点，则可能外离或内含，据此考虑圆心距的取值范围。教学建议：注意分类讨论。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：浦东新区模拟年份：2018 【练习3】

在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点E是边AB上一点（不与A、B重合），以点A为圆心，AE为半径作⊙A，如果⊙C与⊙A外切，那么⊙C的半径r的取值范围是。

【答案】8＜r＜13

【解析】本题考查了圆与圆的位置关系，

⊙四边形ABCD为矩形，

⊙⊙B=90°，AD=BC=12，

在Rt⊙ABC中，由勾股定理得AC=13，

⊙以点A为圆心，AE为半径作⊙A，由题意可知0

如果⊙C与⊙A外切，r A+r C=13，即r A=13-r C，

可得⊙C的半径r的取值范围是8＜r＜13．

讲解用时：3分钟

解题思路：先利用勾股定理计算出AC=13，利用⊙C与⊙A外切可确定⊙C的半径r的取值范围。

教学建议：根据圆与圆的位置关系解答。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：崇明县二模年份：2018 【例题4】

如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，若⊙A=40°，则⊙C等于（）。

A．20°B．25° C．30° D．50°

【答案】B

【解析】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质等知识，

如图，连接OB，

⊙AB是⊙O的切线，

⊙AB⊙OB，⊙⊙OBA=90°，

⊙⊙A=40°，⊙⊙AOB=90°﹣⊙A=50°，

⊙OB=OC，⊙⊙C=⊙OBC，

⊙⊙AOB=⊙C+⊙OBC=50°，⊙⊙C=⊙OBC=25°，故选：B．

讲解用时：5分钟

解题思路：如图，连接OB．由AB是⊙O的切线，推出AB⊙OB，即⊙OBA=90°，由⊙A=40°，推出⊙AOB=90°﹣⊙A=50°，由OB=OC，推出⊙C=⊙OBC，由⊙AOB=⊙C+⊙OBC=50°，即可解决问题。

教学建议：切线的常规辅助线就是连接圆心和切点，即出现直角。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：沙坪坝区模拟年份：2018【练习4】