用正交变换化二次型成标准形

§6用配方法化二次成标准形

用正交变换化二次型成标准形,具有保持几何形状不变的优点.如果不限于用正交变换法,那么还有多种方法对应有多个可逆的线型变幻把二次型化成标准形.这里只介绍拉格朗日配方法.下面举例来说明这种方法 例15 化二次型

3

2

3

1

2

1

2

2

2

2

2

1

62252x

x x x x x x x x f +++++=

成标准形,并求所用的变换矩阵

解 由于

f

中含变量

1x 的平方项，故把含1x 的项归并起来，配方可得

3

2

2

3

2

2

3

1

2

1

21

65222x

x x x x x x x x f +++++=

3

2

2

3

2

2

3

2

2

3

2

2

2

3

2

1

6522)(x

x x x x x x x x x x +++---++=

23

3

2

2

2

2

3

2

1

44)(x

x x x x x x +++++=

上式右端除第一项外已不再含.1x 继续配方，可得

2

3

2

2

3

2

1

)

2()(x x x x x f ++++=

令

⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=,,2,

333223211x y x x y x x x y 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=,

,

2,

33

3223211y x y y x y y y x 就把化成标准形(规范形)22

21

y

y f +=，所用变换矩阵为

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡--=10

210111

C ，).

01(≠=C

例 16 化二次型

3

2

3

1

2

1

622x

x x x x

x f -+=

成规范形，并求所用的变换矩阵. 解 在

f

中不含平方项。由于含有乘积项，故令

⎪

⎩⎪

⎨⎧=-=+=,

,

,33212211y x y y x y y x

代入可得

.32312

22

18422y y y y y y f +--=

在配方，得 .6)2(2)(22

32

322

31y y y y y f +---=

令⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎨⎧=-=-=,6),2(2),(233322311y z y y z y y z 即⎪⎪

⎪

⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧

=+=+=,

61,

6

221,61213332311z y z z y z z y

就把

f

化成规范形

,

33

22

2

1

z z

z

f +-=

所用变换矩阵为

,61

0612121632121

610

6221061021100011011⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C

).

06

1(≠-

=C

一般地，任何二次型都可用上面两例的方法找到可逆变换，把二次型化成标准形（或规范形）。

§7正定二次型

二次型的标准形显然不是唯一的，只是标准形中所含项数是确定的（即是二次型的秩）。不仅如此，在限定变换为实变换时，标准形中正系数十不变的（从而负系数的个数也不变），也就是有

定理9 设有二次型Ax

x f T

=,它的秩为r ，有两个可逆变换

Cy

x = 即

Pz

x =

使 ()022

2

2

2

1

1

≠+++=i

r

r

k y k y k y k f

即

()02

2

2

2

2

1

1

≠+++=i

r

r

z z z f λλλλ 则 r k k ,,1 中

正数的个数与r λλ,,1 中正数的个数相等..

这个定理 称为惯性定理，这里不予证明.

二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数.若二次型f 的正惯性指数为,p 秩为,

r 则

f

的规范形便可确定为

.221

221

r

p p

y y

y y

f ---++=+

科学技术上用得较多的二次型是正惯性指数为n 或负惯性指数为n 的n 元二次型，我们有下述定义.

定义 10 设有二次型如果对任何

≠x ,都有

()0

>x f

（显然

()00=f ，则称f

为正定二次型，并称对称阵A 是正定的；如果对任何0≠x 都

有

()0

,则称

f 为负定二次型，并称对称阵A 是负定的.

定理 10 二次型

Ax

x f T

=为正定的充分必要条件是：它的标准形的

n 个系数全为正，即它的正惯性指数等于n 证 设可逆变换Cy x =使

()

()

2

1

i n

i i y k Cy f

x f

∑

==

=