数值分析--第3章函数逼近与快速傅里叶变换

R n 上的加权内积为
n
(x, y) ixi yi i1
（1.13）
相应的范数为
n
1
x ( 2
i xi2)2.
i1
当 i 1 (i1 ,2,,n)时，（1.13）就是前面定义的内积.
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如果 x, yCn，带权内积定义为
n
(x, y) ixi yi i1
这里 { i } 仍为正实数序列，y i 为y i 的共轭.
（1.11）
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例1 R n 与 C n 的内积.
设 x, yRn, x(x1,,xn)T, y(y1,,yn)T,
n
(x, y) xi yi i1
（1.12）
向量2-范数为
1
n
1
x (x,x)2 ( 2
xi2)2
i1
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若给定实数 i 0(i1 ,2,,n),称{ i }为权系数，
（1.2）
它由 n 1个系数 (a0,a1,,an)唯一确定.
1, x, , xn是线性无关的，它是 H n 的一组基，故
H nsp{ 1 a ,x,n ,xn},
且 (a0,a1,,an)是 p(x) 的坐标向量，H n 是 n 1维的.
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对连续函数 f(x)C[a,b]，它不能用有限个线性无关的 函数表示，故 C[a,b] 是无限维的，但它的任一元素 f ( x) 均可用有限维的 p(x)Hn逼近，使误差
xi ,
i 1
n
1
x ( 2
xi2)2 ,
i1
称为 范数或最大范数，
称为 1-范数， 称为 2-范数.
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实际上任何向量的实值函数，只要满足上述三个条件，
就可以定义成一种向量范数. 在 R 2 中，满足‖·‖2 =1 ，即
为单位圆，
x1 2 的x2向2量1
满足‖·‖∞ =1 ，即 max1 x,x{ 2}1 的向量为单位正 方形，
B中求函数 p(x)B，使 p(x) 与 f (x) 的误差在某种度量
意义下最小”. 函数类 A通常是区间 [a, b] 上的连续函数，记作 C[a,b] ，
称为连续函数空间.
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函数类 B通常为 n次多项式，有理函数或分段低次多项 式等.
数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为 赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间.
(u,v)2(u,u)(v,v).
（1.6）
称为柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式.
证明 当 v 时0（1.6）式显然成立.
现设 v， 0 则 (v,v)，0 且对任何数 有
0 ( u v , u v ) ( u , u ) 2 ( u , v ) 2 ( v , v ).
(u1,un)
(u2,u1) (u2,u2)
(u2,un)
(un,u1) (un,u2)
(un,un)
（1.7）
称为格拉姆(Gram) 则 非G奇异的充分必要条件是
u1,u线2,性无,u关n .
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证明 方程组
G非奇异等价于deG t，其0充要条件是齐次
n
n
( juj,uk) (uj,uk)j 0, k1 ,2 ,,n（1.8）
（1.3）
ln i m B n (m )(f,x)f(m )(x).
这个结果不但证明了定理1，而且由(1.3)给出了 f (x) 的一个逼近多项式，但它收敛太慢，实际中很少使用.
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更一般地，可用一组在 C[a,b] 上线性无关的函数集合
i(x)in0 来逼近 f(x)C[a,b]，此时元素
j1
j1
只有零解； 而
n
juj 1u12u2nun0
j 1
（1.9）
n
n
( juj, juj)0
j1
j0
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n
( juj,uk)0, j0
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k1,2,,n
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从以上等价关系知， deG t 0等价于从（1.8）推出
1 2 n 0 ,
而(后n者等juj价,u于k)从（n1(.9u）j,u 推k)出j 1 0 , k 2 1 ,2 , ,n n （0 1,.8）
第3章 函数逼近与快速傅里叶变换
3.1 函数逼近的基本概念 3.2 正交多项式 3.3 最佳平方逼近 3.4 曲线拟合的最小二乘法 3.5 有理逼近 3.6 三角多项式与快速傅里叶变换
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3.1 函数逼近的基本概念
3.1.1 函数逼近与函数空间
问题 1、数值计算中经常要计算函数值，如计算机中计算 基本初等函数及其他特殊函数；
所有定义在 [a, b] 上的连续函数集合，按函数加法和 数与函数乘法构成数域 R上的线性空间，记作 C[a,b].
类似地, 记 C p[a,b]为具有 p阶连续导数的函数空间.
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定义1 设集合 S是数域 P上的线性空间，元素
x1,,xnS, 如果存在不全为零的数 1,,nP，
Ssp{a x1, n,xn}
并称空间 S为 n维空间，系数 1, ,n 称为 x在基 x1, , xn下的坐标， 记作 (1,,n).
如果 S中有无限个线性无关元素 x1,,xn,, 则称 S 为无限维线性空间.
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考察次数不超过
n次的多项式集合 H
，
n
其元素
p(x)Hn 表示为 p (x ) a 0 a 1 x a n x n ,
在 C[a,b]上也可以类似定义带权内积.
（1.14）
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定义4 设 [a, b] 是有限或无限区间，在 [a, b] 上的非负 函数 (x)满足条件：
（1）
b
a
xk
(x)dx存在且为有限值
(k0,1,),
（2） 对 [a, b] 上的非负连续函数 g (x) ，如果
bg(x)(x)dx0, a
而满足‖·‖1 =1 的向量 x1 x2 1则为对角线长 度为1的菱形.
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所以说，范数是对向量长度的度量，度量方式不同， 结果也不一样，但不同范数之间是存在等价关系的.
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类似地，对连续函数空间 C[a,b] ，若 f(x)C[a,b],
f mafx(x), Байду номын сангаасaxb
( x ) s{ p 0 ( x )1 a ( x , ) , , n n ( x ) C } [ a , b ]
可表示为
( x ) a 00 ( x ) a 1 1 ( x ) a nn ( x ). （1.4）
函数逼近问题就是对任何 f(x)C[a,b]，在子空间Φ 找一个元素 *(x)， 使 f(x)*(x)在某种意义下最小.
2、当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该 点集的区间上用公式给出函数的简单表达式.
这些都涉及到在区间 [上a, b用] 简单函数逼近已知复杂 函数的问题，这就是函数逼近问题.
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插值法就是函数逼近问题的一种. 本章讨论的函数逼近，是指“对函数类 A中给定的函数 f (x), 记作 f (x)A， 要在另一类简单的便于计算的函数类
（1.15）
1
f(x)2(f(x),f(x))2
b a
(x)
f
1
2(x)dx2
（1.16）
称（1.15）和（1.16）为带权 (x) 的内积和范数.
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常用的是 (x) 1的情形，即
b
(f(x)g ,(x))af(x)g(x)d.x
1
f
(x)
(2 ( u ) , v ) ( u , v ), K , u , v X ;
(3 ( u v ) , w ) ( u , w ) ( v , w ) , u , v , w X ; (4) ( u ,u ) 0 , 当且 u 0 时 仅 ( u ,u ) ， 当 0 .
则称 (u,为v)X上 与u的内v积.
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定义了内积的线性空间称为内积空间. 定义中（1）的右端 ( u称, v为) 的(u共, 轭v)， 当K为实数域R时 (u,v).(v,u) 如果 (u,v，)则0称 与 正u 交，v 这是向量相互垂 直概念的推广.
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定理2
设X为一个内积空间， 对u,v有X,
g(x)0.
则称 (x) 为[a, b]上的一个权函数.
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例2 C[a,b] 上的内积.
设 f(x)g ,(x) C [a,b],(x) 是 [a, b] 上给定的权函数,
则可定义内积
b
(f(x )g ,(x ) )a (x )f(x )g (x )d.x
由此内积导出的范数为
mafx (x)p(x)
axb
( 为任给的小正数)，这就是著名的魏尔斯特拉斯定理.
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定理1 设 f(x)C[a,b]，则对任何 0，总存在一
个代数多项式 p(x) ， 使
f(x)p(x)
在 [a , b ] 上一致成立.
伯恩斯坦1912年给出的证明是一种构造性证明.
他根据函数整体逼近的特性构造出伯恩斯坦多项式
(x ,y ) x 1 y 1 x n y n .
（1.5）
若将它推广到一般的线性空间 ，X则有下面的定义.
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定义3 X 是数域K(R或C)上的线性空间，对 u,vX, 有K中一个数与之对应，记为 (u, v，) 它满足 以下条件：
(1)(u ,v ) (v ,u ), u ,v X ;
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3.1.2 范数与赋范线性空间
为了对线性空间中元素大小进行衡量，需要引进范数 定义，它是 R空n 间中向量长度概念的直接推广.
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定义2 设S为线性空间，xS，若存在唯一实数‖·‖，
满足条件：
（1） x 0, 当且仅当 x0时， x 0; （正定性）
b
f f(x)dx,
1
a
称为 范数，
称为 1-范数，
f
(
b
1
f 2(x)d x )2,
2
a
称为 2-范数.
可以验证这样定义的范数均满足定义2中的三个条件.
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3.1.3 内积与内积空间
在线性代数中， 中R n两个向量 y(y1,,yn)T 的内积定义为
x(x1及,,xn)T
取 (u,v，)/v (,v) 代入上式右端，得
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(u,v)2 (u,v)2
(u,u)2
0
(v,v) (v,v)
即得 v 0时
(u,v)2(u,u)(v,v).
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定理3 矩阵
设X为一个内积空间，u1,u2,,unX ,
(u1,u1) G (u1,u2)
使得
1x1 nxn0 ,
（1.1）
则称 x1, , xn 线性相关.
否则，若等式(1.1)只对 1 2 n0 成立，
则称 x1, , xn线性无关.
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若线性空间 S是由 n个线性无关元素 x1, , xn生成的， xS 都有
x1x1nxn
则 x1, , xn称为空间 S的一组基，记为
即ju11,u2,线,性un无j关1 .
n
在内积空ju间j X1u12u2nun 0
j1
uX,
记
u (u,u)
（1.10）
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利用
(uv)2u2 2 uvv2 ( u ,u ) 2 ( u ,v ) ( v ,v ) (uv,uv)uv2
两端开方即得三角不等式
uv uv
n
Bn(f,x)
k0
f(k n)Pk(x)
（1.3）
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其中
Bn(P fk,(xx)) kn 0 knfx(k n k()1P k(xx))nk,
k nn(n1)k为(!n二k项式1)展开系数，并证明了
ln i m B n(f,x)f(x)在 [ 0 ,1上] 一致成立；
若 f在( x) 上[ 0 ,阶1]导数m 连续，则
例如将所有实 n维向量组成的集合，按向量加法及向量 与数的乘法构成实数域上的线性空间， 记作 R n，称为 n维 向量空间.
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对次数不超过 n( n为正整数)的实系数多项式全体， 按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域 R上一个线性空间，用 H n 表示，称为多项式空间.
（2） xx, R;
(齐次性)
（3） x yxy, x ,y S .(三角不等式)
则称‖·‖为线性空间 S上的范数，S与‖·‖一起称为赋范 线性空间，记为 X .
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例如，在 R n上的向量 x (x1,,xn)T R n,三种常 用范数为
x
m 1ian xi
,
n
x 1