多目标规划ppt

多目标规划问题的典型实例
例1 木梁设计问题
用直径为 1（单位长）的圆木制成截面为矩形的梁。为使重量最轻面强度最大， 问截面的宽和高应取何尺寸？ 假设矩形截面的宽和高分别为 x1 和 x2 ，那么根据几何知识可得：
2 x12 + x2 = 1
且此时木梁的截面面积为 x x 。同时根据材料力学的知识，木梁的强度取决于截面矩
多目标规划的象集
考虑多目标规划问题：
V- min F ( x ) (8-3) s.t. g i ( x ) ≥ 0 (i = 1,2,..., m)
多目标规划的解集
有效解与弱有效解
设 x* ∈ R ， 如果不存在 x ∈ R 使得 F ( x ) ≤ F ( x* ) 成立， 则称 x 为多目标规划问题的有
*
效解。多目标规划问题的有效解的全体记作 Re ，有效解的含义是：在所有的可行解 中找不到比它好的可行解，当 n = 1, p = 2 时有效解的直观几何意义如图 (a)所示，其
其中：
Fj ( x ) Fj
Fj = min Fj ( x )
x∈R
R = {x | gi ( x ) ≤ 0, i = 1, 2,..., m; hi ( x ) = 0, i = 1, 2,..., l}
这样 f j ( x ) 就是规范化的目标了，在以后的叙述中，不妨假设多目标规划问题中 的目标均已规范化。
第八章 多目标规划
概述
什么是多目标规划问题
在前面所述的最优化问题，无论是线性规划、整数规划还是非线性规划，其目 标函数都只有一个。但在实际问题中，衡量一个设计方案的好坏往往不止一个 标准，常常要考虑多个目标。例如研究生产过程时，人们既要提高生产效率， 同时还要考虑产品质量，又要考虑成本以降低生产费用，可能还希望生产过程 中的环保问题，即废渣、废水、废气造成的污染小。在设计导弹的过程中，既 要射程远，又要燃料省，还要重量轻且打击精度高。在进行投资决策时，既希 望回报高的同时又希望降低投资风险，如此等等。这就向我们提出了一个多指 标最优化问题。我们把在这样的背景下建立起来的最优化称之为多目标规划问 题。
多目标规划问题域线性规划和非线性规划问题的主要区别就在于， 它所追求的 目标不止一个，而是多个。
多目标规划问题的数学模型
目标规范化
由于许多实际问题中，各个目标的量纲一般都是不同的，所以有必要将每个目标 事先进行规范化，例如，对第 j 个带量纲的目标 Fj ( x ) ，我们可令：
f j (x) =
q A1 = 20 x1 , qA2 = 25 x2 , qA3 = 15 x3
故在生产过程中产生的能耗可以表达为：
f 2 ( x ) = 24 ×10−3 × 20 x1 + 26 ×10−3 × 25 x2 + 28 × 10−3 × 15 x3 = 0.48 x1 + 0.65 x2 + 0.42 x3
多目标规划问题的典型实例
假设该厂每周生产三种产品的小时数分别为 x1 , x2 , x3 ，则我们根据各种产品的单位 利润得到其总利润 f1 ( x ) 为：
f1 ( x ) = 500 x1 + 400 x2 + 600 x3
根据各个产品的生产效率，可得生产 A1、A2 和 A3 的生产数量分别为：
关系，既无大于等于关系，也无小于等于关系。 例如我们首先直观的看一个多目标规划的图解实例。假设问题的目标为求函数
f1 和 f 2 的极小值如图所示。 就方案 A1 和 A2 来说， 有：f1 ( A1 ) < f1 ( A2 ) 且 f 2 ( A1 ) > f 2 ( A2 ) ， 故无法确定优劣。而对于方案 A2 和 A3 而言，有： f1 ( A2 ) < f1 ( A3 ) 且 f 2 ( A2 ) < f 2 ( A3 ) ；所
1
极大化 f ( x ) 。
2
多目标规划问题的典型实例
同时要满足所花的总费用不得超过 300 元，原料的总重量不得少于 120kg，A 原料 不得少于 60kg，于是得到约束条件如下：
x1 + x2 ≥ 120
2 x1 + 1.5x2 ≤ 300
x1 ≥ 60
又考虑到购买的数量必须要满足非负的条件，由于对 x 已经有相应的约束条件，故只
1 2
量 1 x x ，故若要使得重量最轻，实际上目标即为横截面积最小，又要强度最大，故目
6
2 1 2
标为截面矩量最大，于是容易列出如下数学模型：
min max
f1 ( x ) = x1 x2 1 2 f 2 ( x ) = x1 x2 6 2 x12 + x2 = 1 x1 , x2 ≥ 0
qA1 = 20 x1 ≤ 700; q A2 = 25 x2 ≤ 800; q A3 = 15 x3 ≤ 500
同时考虑到生产时间的非负性，总结得到该问题的数学模型为：
max min s.t.
f 2 ( x ) = 0.48 x1 + 0.65 x2 + 0.42 x3 x1 + x2 + x3 ≤ 40 0.48 x1 + 0.65 x2 + 0.42 x3 ≤ 20 20 x1 ≤ 700 25 x2 ≤ 800 15 x3 ≤ 500 x1 , x2 , x3 ≥ 0
多目标规划的解集
绝对最优解
* * 设 x* ∈ R ，如果对于 ∀x ∈ R 均有 F ( x ) ≤ F ( x ) ，则称 x 为多目标规划问题的绝对最
*
优解。多目标规划问题的绝对最优解的全体可以记为 Rab ，其含义为：该最优解与 任意一个可行解都是可以进行比较的。下图为当 n = 1, p = 2 时绝对最优解的示意图。
1
需添加对 x 的非负约束即可。
2
综合以上分析，得到Baidu Nhomakorabea优化数学模型如下：
min f1 ( x ) = 2 x1 + 1.5 x2 max f 2 ( x ) = x1 + x2 x1 + x2 ≥ 120 2 x1 + 1.5 x2 ≤ 300 x1 ≥ 60 x2 ≥ 0
* 有效解的集合 Re = [ a, b]
*
设 x* ∈ R ，如果不存在 x ∈ R 使得 F ( x ) < F ( x ) 成立，则称 x 为多目标规划问题的
*
*
弱有效解。多目标规划问题的弱有效解的全体记作 Rwe ，弱有效解的含义是：在所有 的可行解中找不到比它严格好的可行解。当 n = 1, p = 2 时弱有效解的直观几何意义
以显然 A2 比 A3 好。 对于方案 A1 和 A2 ，由于无法确定其优劣， 而且又没有比它们更好的其他方案，所 以它们就被称之为多目标规划问题的有效解 有效解 （或者非劣解） ，其余方案都称为劣解。所有 非劣解构成的集合称为非劣解集 非劣解集。 非劣解集
O
f2 A5 A4 A1 A3 A2 f1 A6 A7
x2 L xn ] ； F ( x ) = f1 ( x )
T
f2 ( x ) L
f p ( x ) , p ≥ 2
对向量形式的 p 个目标函数求最小，且目标函数 F ( x ) 和约束函数 gi ( x ) 、hi ( x ) 可以 是线性函数也可以是非线性函数。
令 R = {x | gi ( x ) ≤ 0, i = 1, 2,..., m} ，则称 R 为问题的可行域，V-min F ( x ) 指的是
* * 如图(b)所示， Rwe = [ a, b ] ， Re = [ c, d ]
*
f ( x)
f1 ( x ) f 2 ( x )
f ( x)
f1 ( x )
f2 ( x )
Re* = [ a, b ]
O
a
(a)
b
x
O
a
c
(b)
d
b
x
多目标规划的解集
解集之间的关系
* (1) 若 ∩ R ≠ ∅ ，则 R = ∩ Ri i =1 i =1
多目标规划问题的典型实例
例2 工厂采购问题
某工厂需要采购某种生产原料，该原料市场上有 A 和 B 两种，单价分别为 2 元/kg 和 1.5 元/kg。现要求所花的总费用不超过 300 元，购得的原料总重量不少于 120kg，其中 A 原料不得少于 60kg。间如何确定最佳采购方案，花最少的钱，采 购最多数量的原料。 设 A、B 两种原料分别采购 x1 、 x2 kg，那么总的花费为： f1 ( x ) = 2 x1 + 1.5 x2 购得的原料总量为： f 2 ( x ) = x1 + x2 那么我们求解的目标即是使得花最少的钱买最多的原料，即最小化 f ( x ) 的同时
* i p
* ab
p
* * (2) Re ⊆ Rwe ⊆ R
* * (3) Ri ⊆ Rwe (i = 1, 2,..., p)
* * (4) Rab ⊆ Re
* * * (5) 若 R ≠ ∅ ，则 ∪ R = R ， ∩ Ri = Re = Rab i =1 i =1
* ab
p
* i
* we
p
* * (6) 若 F ( x ) 中每个 fi ( x ) 都是严格凸函数， R 是凸集，则 Re = Rwe
f ( x)
f1 ( x )
f ( x)
f 2 ( x ) f1 ( x )
f2 ( x )
* Rab = [ a, b ]
O
x* (a)
x
O
a b (b)
x
多目标规划问题的的绝对最优解一般情况下是不存在的。事实上，如果把多目标 规划中的每个目标函数看成是单目标规划问题的目标函数，即我们分别考虑 p 个单 目标规划问题： min f i ( x ) , x ∈ R, i = 1, 2,..., n ，那么这 p 个单目标规划问题的公共最优 解才是多目标规划问题的的绝对最优解。如果这 p 个单目标规划问题没有公共的最 优解，则多目标规划问题就没有绝对最优解。
f1 ( x ) = 500 x1 + 400 x2 + 600 x3
多目标规划问题的数学模型
上述问题可以归结为标准形式：
V-min F ( x ) gi ( x ) ≥ 0 (i = 1,2,..., m) s.t. hi ( x ) = 0 (i = 1,2,..., l )
其中： x = [ x1
多目标规划问题的典型实例
例3 生产计划问题
某工厂生产 A1、 2 和 A3 三种产品以满足市场的需要， A 该厂每周生产的时间为 40h， 且规定每周的能耗都不得超过 20t 标准煤，其数据表如表 8-1 所示。现在的问题时， 每周生产三种产品各多少小时，才能使得该厂的利润最多，而能源消耗最少？ 产品生产销售数据表 产品 生产效率 （m/h） A1 A2 A3 20 25 15 利润 （元/m） 500 400 600 最大销量 （m/周） 700 800 500 能耗 （t/1000m） 24 26 28
那么根据最优化问题的目标，我们需要使得才利润最多且能耗最少，即在极大化
f1 ( x ) 的同时极小化 f 2 ( x ) 。
多目标规划问题的典型实例
再由约束条件，该厂每周的生产时间为 40h，故： x1 + x2 + x3 ≤ 40 且需要满足能耗不得超过 20t 标准煤： 0.48 x1 + 0.65 x2 + 0.42 x3 ≤ 20 上面是对生产过程的约束，再考虑销售过程，由于数据表中给出了三种产品每周 的最大销量，故我们必须限制生产数量小于最大销量才能使得成本最低，即满足下 述约束条件：
多目标规划问题的发展
多目标规划法（Goal Programming，简称GP）也是最优化理论和方法中的一个 重要分支，它是在线性规划的基础上，为解决多目标决策问题而发展起来的一 种数学方法。其概念和数学模型是由A.Charnes和W.W.Cooper在1961年提出的， 经过Ijiri,Sang.M.Lee等人的改进，并逐步发展和成熟，它在经济管理与规划、 人力资源管理、政府管理、大型工程的最优化等重要问题上都有广泛的应用。
多目标规划的解集
直观理解
对单目标规划来说，给定任意两个可行解 x1 , x2 ∈ R ，通过比较它们的目标函数 值 f ( x1 ) , f ( x 2 ) 就可以确定哪个更优。 但对于多目标规划而言， 给定任意两个可行解
x1 , x 2 ∈ R ，因为目标函数 F ( x1 ) , F ( x2 ) 均为向量，故可能不存在 F ( x1 ) , F ( x2 ) 之间的大小