green函数
格林函数方法
格林函数方法
1、格林函数
格林函数（Green's function）是指由著名数学家.格林（Green）提出的数学方法，它是一种可以求解各种微分方程的技术。
格林函数的定义是对于任意给定的初值问题，在区间上的解的和等于给定的数值13。
其用法主要有两种：一种是用于求解某些有定型的初值问题；另一种是求解某些微分方程的积分解。
格林函数的结果可以用来解决复杂的初值问题和理解复杂的微分方程以及系统的时间变化。
2、格林函数的原理
格林函数可以用来解决一类有特定初值条件的常微分方程组。
它的原理是基于一种叫做拉普拉斯变换（Laplacetransform）的数学变换理论，它是一种将微分方程组变换成求积分方程组的方法，从而可以使原本困难的初值问题变得容易解决，其在解决物理学中不变解中特别有用。
3、格林函数的计算
对于特定的初值条件，可以使用格林函数计算出拉普拉斯变换得到的积分方程的结果，从而计算得到解析解。
计算过程比较复杂，需要用到积分变换和methods。
总之，格林函数是一种可以求解复杂常微分方程的有效数学方法，它基于拉普拉斯变换的原理，对于特定的初值问题，运用格林函数，可以计算出相应的解析解。
green函数.ppt
(x,
Ba
y)
G(x, y;,)
n
dS x, y
G(x; ) 1 ln
1
1 ln
a
2 (x )2 ( y )2 2 2 2 (x *)2 ( y *)2
2 2 , * *2 *2 ,
r x2 y2
G(x, y; ,) 1 ln 2r2 a4 2ra2 cos 2 a 2 r2 2r cos
g(x;
)
dSx
引入函数
Green函数
G(x; ) (x; ) g(x; )
其中
g 0, x
g (x, )
Dirichlet问题 的解的积分
表达式
u(
)
G ( x;
)
f
( x)dx
(
x)
G ( x;
n
)
dS x
Neumann问题的求解
u f (x), x
u n
x0 2
y0
1
x
x0
G(x; ) 1 ln x 1 x 2 2 x x 3
圆上的Green函数
g 0, (x, y) Ba
g
xBa
1
2
ln
1
x
xBa
G(x; ) 1 ln 1 1 ln a 2 x 2 x *
半圆上的Green函数
g 0,
(x, y) Ba
方法求得
利用定解问题的积分表达式可用进一步研究 位势方程的解的性质
对于一般区域， Green函数的确定与求解原 来的定解问题一样困难
第三节 Green函数的求解
镜像法—Dirichlet问题 当n=3时
G(x; ) 1 1 g(x; ) 4 x
格林函数
第十四章 格林函数--偏微分方程解的积分表示解偏微分方程主要有两种方法：A: 数理方法中的分离变量法：正交的多项式或无穷级数解，但需要齐次边界条件。
B: 理论物理中的Green 函数方法：既是简单的有理形式解，又允许任意的边界条件！ 1，Green 函数（GF ）的意义：物理上：点源产生的场（函数）在时空中的分布。
特别是它在空间是源函数；在时空是传播函数。
(See below)数学上: 具有点源的偏微分方程在齐次边界条件或者无界区域、初值条件下的解。
2，GF 的分类：边界值GF ：(,')G r r 即源函数；初始值GF ：(,;',')G r t r t 即传播函数。
3，Green 函数的性质：1）对称性：(,')(',)G r r G r r =，它与定解问题相关，即与厄米性相关。
(See 4 below)2）时间传播函数没有对称性：(,;',')(',';,)G r t r t G r t r t ≠.（因果律引起） 3）存在的必要条件：设方程2()(,')(')G r r r r λδ∇+=--，若λ是对应齐次方程的本征值，即2ϕλϕ∇=- 和附加齐次边界条件，则(,')G r r 不存在。
这是因为既有点源：(')r r δ-矛盾于又无流：|0.n G ∂∑∂= 本征值问题存在，但是没有激发，物理上自相矛盾！平面波(),ik xat Ae 球面波1()ik xat Ar e -和柱面波1/2()ik at A e ρρ-均是LaplaceEquation 的解，但不是Possion Equation 的解。
球、柱面波分别来自于1x时（散射问题）渐近行为：(1,2)[(1/2)/2](1,2)[(1)/2]21(),().i x m i x l ml xxH x e h x e πππ±-+±-+4，Green 函数的边值条件：选取边值条件具有人为性，但要求简单并保证算子的厄米性。
第四章 Green函数法(all)
u(r0 ) G( r ,r0 ) f (r)dV G( r ,r0 )(r)dS
T
意义：Poisson方程边值问题的解在 T 内任一 点的值可由Green函数 G(r,r0 ) 和问题的已知函数 f 和 φ 的积分表示.
由以上讨论知, 要求解Poisson方程边值问题, 就要首先求出相应的Green函数。要知区域 T上 的Green函数, 还必须解一个特殊的定解问题。以 第一边值问题为例, 须求解
减T 去①式得:
u[vx cos( n, x) v y
(vu uv)dV
T
co(sv(nun,
y)uvvz
cos(
)dS
n
n, z)]dS
……②
即
第二Green公式
uvdV
T
u
v dS n
(uxvx
T
uyv y
uzvz )dV……①
第一Green公式
2.基本解
定义：设 M ( r ), M0(r0 ) 为n维空间中的点，
ln[1
02
20
cos(
)]
k 1
k 0
cos k(
k
)
有
G1
|
1
4
k 1
0k
k
(cos k
cos k
sin k
sin k
)
通过比较系数可得
a0 0,
ak
k 0
4 k
cos k ,
bk
0k 4 k
sin k
从而得:
G1( , ;0 ,
)
1
4
(0 )k
k1 k
cos k(
)
1
第15章：Green 函数理论
1 x(l − ξ ) G ( x, ξ ) = l ξ (l − x) p (ξ ) w(u1 , u2 ) = l
0≤ x ≤ξ ξ ≤ x≤l
例二、求 L=-d2/dx2+λ 在边界条件u|x=0=u|x=l=0 下的 Green 函数。
7
解：先求齐次方程的解
d 2u L[u ] ≡ − 2 + λu = 0 dx
2
∂G =0 ∂n ∂V
可证明解不存在。物理上，Laplace 方程表示稳定 的温度场分布，区域中有点源的存在，而又要求边界 是绝热的，这样的温度场是不可能稳定的。
18
Green 函数的对称性质 G (r , r ′) = G (r ′, r ) 证明：Green 公式
∂u ∂v u − v dS ∫∫∫V (u∇ v − v∇ u)dV = ∫∫∂V ∂n ∂n
G ( x, ξ ) |x =ξ −0 = G ( x, ξ ) |x =ξ +0 dG dG − = p −1 (ξ ) dx x =ξ −0 dx x =ξ +0
注：第二个条件可由：对 方程在区间[ξ-0， ξ+0] 积 分而得到。
• a
ξ
•
• b
5
x
最后可得到 Green 函数
∂V
15
利用 Green 公式
∂u ∂v − v dS u ∫∫∫V (u∇ v − v∇ u)dV = ∫∫∂V ∂n ∂n
2 2
取 u 满足 Poisson 方程，v=G, 于是有
∂v ∂u u − v dS ∫∫∫V [uδ (r , r ′) − fv ] dV = ∫∫∂V ∂n ∂n
§5.2 Laplace方程的边值问题与Green函数
∂G ∂u − (3) × ∂n ∂n
∂u ⎞ ∂G ⎛ ∂G − G ⎟ ∂Ω = ϕ ( x, y, z ) ，带入（1） ，并利用互易性定理，得 ∂n ⎠ ∂n ⎝ ∂n v v 1 v v v v v ∂G (r0 , r ) u (r ) = ∫∫∫ G (r0 , r ) f (r0 )dV0 − ∫∫ ϕ (r ) dS0 Ω α ∂Ω ∂n v v v v 4、Green 函数互易性定理： G (r , r0 ) = G (r0 , r )
第一项物理意义为源点 r0 处所有电荷在 r 处产生电势的累加； 第二项代表边界处产生偶 电层在 r 产生电势的累加。 2、第二类边值问题（纽曼边值问题）
v
v
v
⎧∇ 2u = − f ( x, y, z ) ⎪ ⎨ ∂u ⎪ ∂Ω = ϕ ( x, y, z ) ⎩ ∂n
其中， Ω 为三维空间上的区域， ∂Ω 为 Ω 的边界。 其解为：
α , β不同时为零
其中， Ω 为三维空间上的区域， ∂Ω 为 Ω 的边界。 其解为
1 v v v v u (r ) = ∫∫∫ G (r0 , r ) f (r0 )dV0 +
Ω
v v v ϕ (r )G (r , r )dS ∫∫ β
∂Ω 0
0
后者
1 v v v v u (r ) = ∫∫∫ G (r0 , r ) f (r0 )dV0 −
令 u = G (r , r0 ) ， v = G (r , r1 )
v v
v v
v v v v v v v v v v ∂G (r , r0 ) ⎞ ⎛ v v ∂G (r , r1 ) − G (r , r1 ) ⎟dS ∫∫∫Ω [− G(r , r0 )δ (r − r1 ) + G(r , r1 )δ (r − r0 )]dV = ∫∫∂Ω ⎜ G(r , r0 )
什么是格林函数(Green's function)
一般地，点源作用产生的场就是格林函数。
在地震学中，格林函数是单位集中脉冲力产生的场，可以是位移，速度或加速度等，一般指位移场。
集中意味着力只作用于空间中一点，脉冲指力只作用于时间中某一时刻。
在地震学中，应特别注意：1) 集中脉冲型单力产生的位移场是格林函数；2) 一对单力组成的力偶产生的位移场是格林函数空间导数；3) 断层剪切位错所产生的位移场，等效于双力偶所产生的位移场，也等效于单力+单力偶所产生的位移场。
（见《定量地震学》等效体力章节，即3.2节）。
注：单力偶就是一般意义上的力偶，代表一对单力组成的力偶；双力偶是指两个单力偶的组合。
1 什么是格林函数对线性算子 L ，在点源 \delta 作用下的输出（或响应）就是格林函数G，即： LG=\delta 。
不同线性算子对应不同物理问题，也就对应不同性质的方程，如拉普拉斯方程，泊松方程，亥姆霍兹方程，波动方程等，这些方程都对应着各自不同的格林函数（见第二部分Wikipedia汇总）。
如，对声波波动问题，线性算子为 L=\frac{\partial^2}{\partial t^2}-c^2 \nabla^2 .格林函数妙处在于若已知格林函数与源分布（包括时间上与空间上），则可通过格林函数与源的卷积求得在此源作用下系统的输出（或响应）。
郭敦仁先生曾讲：“从物理上看，一个数理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间的关系（如热传导方程表示温度场和热源的关系），而格林函数则代表了一个点源所产生的场。
知道了一个点源的场，就可以用叠加的方法算出任意源的场。
”推导：已知： L\varphi=Q ,其中 L 是线性算子，Q 为源分布， \varphi 为待求输出。
利用卷积的性质，可得： \varphi=\varphi *\delta=\varphi * (LG)=(L\varphi) * G=Q*G .（注：卷积的实质就是把所有源的作用都通过积分叠加起来）因此，问题的关键就是求格林函数。
数学物理方法12格林函数
相应的格林函数 G(r, r0 ) 是下列问题的解：
G(r , r0 ) (r - r0 ) G(r , r0 ) [ G ] 0 n
泊松方程的边值条件，两边同乘以格林函
T
G (r , r0 ) u (r) u(r ) ]dS n n
称为泊松方程的基本积分公式． 格林函数满足互易定理 并利用格林函数的对称性则得到
u (r ) G(r , r0 ) f (r0 )dV0 [G(r , r0 )
T
u (r0 ) G(r , r0 ) u(r0 ) ]dS0 n0 n 0
由公式可得第二类边值问题解
u (r ) G(r , r0 ) f (r0 )dV0 (r )G(r , r0 )dS 0
T
u (r0 ) G(r , r0 ) u (r ) G(r , r0 ) f (r0 )dV0 [G(r , r0 ) n0 u(r0 ) n 0 ]dS0 T 3.第三类边值问题
(r r0 ) 代表三维空间变量的 函数，在直角坐标系中其形式为
(r r0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
格林函数的物理意义：
在区域T内部 r0 处放置一个点源，而在该区域T的界 面上为零的条件下, 那么该点点源在区域T内r处产生 的场，由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函 数为点源函数．
T
u (r0 ) G(r , r0 ) u(r0 ) ]dS0 n0 n 0
2.第二类边值问题
u (r ) f ( r ) u | (rp ) n
特殊区域的green函数
特殊区域的green函数
Green函数是当今互联网领域研究的热点课题之一。
它是一种算法，能够对复杂的系统提供可观察指标，帮助企业进行失控风险分析、工程优化、性能评估等工作。
Green函数利用理论物理、数学技术和计算机科学，在探索和试验阶段最大化系统的抗耗散能力，最大限度的强化了系统的一致性，减少了耗散现象的发生。
Green函数法可以用来实现对系统的动态可观察性，它将影响了系统应用的多变性和复杂性。
它可以更加准确的构建仿真的数据，更大的容差，可以将系统进行无限细致的分解，由此可以获得越来越准确而深入的见解，深入到系统结构及其它未知潜在因素。
Green函数法有助于企业在控制、优化和管理服务水平等领域取得突破性的成就。
借助Green函数，企业可以有效的利用它管理系统的资源，提高系统性能，并最大化系统的可持久性。
Green函数技术运用到系统中将增强系统的灵活性，能实现高效、轻松、稳定的系统控制，从而满足企业需求。
Green函数相当于企业把高精度技术融入系统中，系统就可以实现自动化，并在系统运行时进行越来越精准的运算和操控。
总之，Green函数是当今互联网领域的一项重要技术，它将大大提高企业的服务水平和服务质量，实现系统的智能化管理，更有效的实现对系统的管理与优化。
green公式的条件
green公式的条件Green 公式是高等数学中的一个重要公式，它在计算平面区域上的曲线积分与二重积分之间的关系时非常有用。
要理解 Green 公式，咱们得先搞清楚它成立的条件。
Green 公式表述为：设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，函数P(x, y) 及 Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续偏导数，则有∮(L) Pdx + Qdy = ∬(D) (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy 。
那 Green 公式成立的条件到底是啥呢？首先，曲线 L 得是分段光滑的。
啥叫分段光滑呢？就好比咱们走的路，有的地方平坦，有的地方有点小坡，但是整体上还算顺畅，没有那种突然断开或者特别尖锐的拐角。
这样的曲线才能保证咱们在计算的时候不会出现奇奇怪怪的问题。
再说说函数 P(x, y) 和 Q(x, y) ，它们得在闭区域 D 上具有一阶连续偏导数。
这就好比是要求两个小伙伴，不仅要能在这个区域里好好表现，还得表现得稳稳当当，不能有大的波动。
给您举个例子吧。
就说咱们有一个简单的闭区域 D ，是由一个以原点为圆心，半径为 2 的圆围成的。
假设函数 P(x, y) = x^2 ，Q(x, y) =2xy 。
咱们来验证一下 Green 公式是否成立。
先算算曲线积分∮(L) Pdx + Qdy 。
这个圆的参数方程可以设为 x =2cosθ ，y = 2sinθ ，θ 从 0 到2π 。
代入计算一番，这可得费点功夫，但算出来是8π 。
再算算二重积分∬(D) (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy 。
先求偏导数，∂Q/∂x =2y ，∂P/∂y = 0 ，然后积分，算出来也是8π 。
您瞧瞧，这两个结果一样，Green 公式成立啦！在实际应用中，如果不满足 Green 公式的条件，那可就不能随便用啦。
比如说，如果曲线不是分段光滑的，或者函数的偏导数不连续，那咱们就得另想办法，可能得把区域分割或者做一些其他的处理。
总之，搞清楚Green 公式的条件，咱们在解题的时候就能心中有数，知道啥时候能用，啥时候不能用，不会乱用公式出错啦！希望您通过我的讲解，对 Green 公式的条件有了更清楚的认识。
Green's function
解偏微分方程主要有两种方法： 数理方法中的分离变量法：正交的无穷级数解，特别的边界条件。 理论物理中的 Green 函数方法：有理形式解，任意的边界条件。 1，Green 函数的意义： 物理上：点源产生的场（函数）在时空中的分布 1） 空间：源函数 2） 时空：传播函数 数学上: 具有点源的偏微分方程在齐次边界条件或者无界、初值条件下的解。 2，Green 函数的分类： 边界值 Green 函数： G (r , r ') 源函数 初始值 Green 函数： G (r , t , r ', t ') 传播函数 3，Green 函数的性质： 1）对称性： G(r , r ') G(r ', r ) 与定解问题相关，即与厄米性相关。 2）时间传播函数没有对称性： G(r , t , r ', t ') G(r ', t ', r , t ) . 3）存在的必要条件：设方程 (2 )G(r , r ') (r r ') ，若λ是对应齐次方程 的本征值，即 2 和附加齐次边界条件，则 G (r , r ') 不存在（既有点 源又无流，物理上自相矛盾！ ） 4，Green 函数边值条件： 设边值条件具有人为性，但要求简单并保证算子的厄米性。 G G ) | 0. 1）齐次边值条件： ( n 2） G |r 0 有解：基本解。 5，Green 函数的用途： 偏微分方程的积分解法： 1）求 G (r , r ') 2）利用迭加原理给出待求解 u (r ) 的积分形式
L G (r , r ') (r r '), L G ( r r '), 0 L G1 0, 例如： G | f (). G1 | f (). G0 | 0;
数学物理方法_第7章 Green函数法
2 2
公式，经过繁复的推导，并考虑Green函 数的对易性 G(M , M0 ) G(M0 , M ) 得到
其中， G(M , M 0 ) 为二维Poisson方程的Dirichlet -Green函数，即定解问题
G( M , M 0 ) ( M M 0 ) ( M D), G( M , M ) 0 (7.2.22) 0 c
2
的解。 应当指出，Green法，即解的积分表示具 有上述理论意义，在实际求解中，只有几种 特殊边界可以求出Green函数，下面我们 来讨论求Green函数的一种特殊方法—电 像法。
因此，普遍地说，Green函数是一个点源在 一定的边界条件和（或）初始条件下所产生 的场，利用Green函数，可求出任意分布的 源所产生的场。下面以Poisson方程的第一、 二、三类边界条件为例进一步阐明Green函 数的概念，并讨论Green函数法—解的积分 表示。
§7.2 Poisson方程的边值问题 三维Poisson方程的边值问题，可以统一写成
1
0
可见，只要从式（7.2.6）和式（7.2.15）中 解出G(M , M0 ) 则式（7.2.16）也已全部由已知 量表示。我们称方程（7.2.6）和边界条件 （7.2.15）所构成的定解问题
2G(M , M 0 ) (M M 0 ) (M ), n G( M , M 0 ) G(M , M 0 ) 0 S 的解 G(M , M 0 ) 为由方程（7.2.1）和边界条件
green函数在傅里叶空间中的表达式中自变量
green函数在傅里叶空间中的表达式中自变量一、引言傅里叶变换是经典数学和工程领域中的重要工具，它在描述和解决许多实际问题中起着关键作用。
其中，Green函数是傅里叶变换的一个重要组成部分，它描述了函数在傅里叶空间中的相位分布。
本篇文章将详细讨论Green函数在傅里叶空间中的表达式及其自变量。
二、Green函数的定义在傅里叶变换中，Green函数通常定义为函数在某一频率上的相位分布。
具体来说，它描述了函数在空间中的分布如何转化为频域中的相位分布。
这种转换是通过傅里叶变换实现的，它可以将空间域中的函数转换到频域中，从而更容易进行分析和计算。
Green函数的表达式通常包含自变量，即时间和空间坐标。
具体来说，对于一维问题，Green函数的表达式可能如下：G(t, x) = A e^(i(ωt - kx)) + B e^(−i(ωt - kx))其中：* A和B是与初始条件相关的常数；* ω是角频率，表示时间的变化率；* k是波数，表示空间的变化率；* t和x分别是时间和空间坐标；* i是虚数单位。
对于二维和三维问题，Green函数的表达式将更加复杂，但基本的数学原理是相同的。
这些表达式通常需要使用数值方法进行求解，以获得精确的结果。
四、自变量在Green函数表达式中的作用自变量在Green函数表达式中起着至关重要的作用。
首先，它们决定了函数在傅里叶空间中的相位分布。
其次，通过选择不同的自变量，可以研究不同的问题领域，如声学、电磁学、热传导等。
最后，自变量还决定了Green函数的形状和大小，从而影响傅里叶变换的结果。
五、结论本文详细讨论了Green函数在傅里叶空间中的表达式及其自变量。
通过理解这些概念，我们可以更好地应用傅里叶变换来解决实际问题。
值得注意的是，虽然本文主要关注了一维问题，但在实际应用中，二维和三维问题同样重要。
为了解决这些问题，需要使用数值方法来求解更复杂的Green函数表达式。
六、参考文献在此部分列出本文所引用的相关文献，以示尊重知识产权并方便读者进一步研究。
格林函数解的积分公式
式中v 未知，又需要同时知道
u( r ) 及 u( r ) n
在边界处之值。上式尚不能用于解决三类边值问 题！
v( r , r0 ) u( r ) u( r0 ) v( r , r0 ) f ( r )dV v( r , r0 ) u( r ) dS n n T
u G G Gu G (1) Gu 0 (2) u n n
u( x, y )
G ( x, y; , ) f ( , ) d d 1 1 Green函数： G ( x, y; , ) ln 2 ( x )2 ( y )2 2G
0 ( x ) ( y ) ( x ) ( y ) 0
2G ( x ) ( y ) G 代表位于( , )的单位长度带电量为 ( 0 ) 的无限长线 电荷在( x, y )产生的电势。
6
三维有界空间Green公式
设 u(r ) 和 v(r ) 在区域 T 及其边界 上 具有连续一阶 mmm 导数, 而在T 中具有连续二阶导数。 应用矢量分析 高斯定理。
T T T
以上两式相减
——第一Green公式
2 2 (uv vu) dS (u v v u)dV 即：
v u 2 2 ( u v ) d S ( u v v u ) d V n n T
——第二Green公式
4
du ( , )
dE ( , ) d
dq ( ' , ' ) ˆ d( ' ) n 2 0 | ' |
green公式法
green公式法Green公式是数学分析中常用的一个重要定理，是微积分中的一种基本方法。
它的原理是通过将一个区域内的曲线或曲面的积分转化为该区域内的区域积分，从而简化计算过程。
在本文中，我们将介绍Green公式的定义、推导过程以及一些应用案例。
1. Green公式的定义给定一个平面区域D，边界为C。
设函数P(x, y)和Q(x, y)在D上具有连续的偏导数，那么Green公式可以表示为：∬D ( ∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∮C (P dx + Q dy)其中，∂Q/∂x 和∂P/∂y 分别表示Q(x, y)和P(x, y)对x和y的偏导数，∬D 表示对D上的区域积分，∮C 表示对C上的曲线积分。
2. Green公式的推导为了推导Green公式，我们先假设区域D是简单闭合区域，即边界C是一个简单闭合曲线。
然后，将区域D划分为无穷多个小的区域，每个小区域都可看作是矩形区域。
通过对小矩形区域应用散度定理，我们可以得到：∬D ( ∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∭V (∂^2Q/∂x^2 + ∂^2P/∂x∂y ) dV其中，∬D ( ∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA 可以看作是在D上的曲面积分，∭V (∂^2Q/∂x^2 + ∂^2P/∂x∂y ) dV 则是在D的内部体积上的体积积分。
由于无穷小小矩形区域趋近于零，所以体积积分项在推导过程中可以忽略。
因此，我们可以得到：∬D ( ∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∮C (P dx + Q dy)通过以上推导，我们成功地得到了Green公式。
3. Green公式的应用案例Green公式在物理学、工程学和计算机图形学等领域有广泛的应用。
下面我们将介绍一些常见的应用案例。
3.1 流场的流量计算假设在平面区域D上存在一个流场，流速由函数V(x, y)表示，那么流过闭合曲线C的总流量可以通过Green公式计算得出。
根据Green公式，我们有：∮C (V · n) ds = ∬D ( ∂Vx/∂x + ∂Vy/∂y) dA其中，V · n 表示V向量与曲线的法向量的点积，∂Vx/∂x 和∂Vy/∂y 分别表示Vx(x, y)和Vy(x, y)对x和y的偏导数。
第四章 -green函数法
1 在区域 K 内直到边界上，v r 可任意求导。
M 0
K
数学物理方程与特殊函数
2
第4章格林函数法
2
v u 在第二格林公式 (u v v u)dV (u v )dS n n 1 中, 取 u 为调和函数, 而令 v , 并以 K r
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
第四章
拉普拉斯方程的格林函数法
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法 4.2 格林公式 4.3 格林函数 4.4 两种特殊区域的格林函数及狄利克雷问题的解
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
三维拉普拉斯方程的球对称解
x r sin cos 球面坐标： y r sin sin z r cos
故
u M0 1 4 1 u M n rM 0 M
2
1 u M dS rM M n 0
2 2
rM 0 M 表示距离
x x0 y y0 z z0
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
3）调和函数的积分表达式 所谓调和函数的积分表达式, 是指用调和函数及 其在区域 边界 上的法向导数沿 的积分来表 达调和函数在区域 内任一点的值。 设 M 0 x0 , y0 , z0 是 内的点, 下面求调和函数在 该点的值。构造辅助函数
r
(r x 2 y 2 z 2 ).
以保证解的唯一性。
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
§4.2
高斯(Gauss)公式
格林公式
设 是以光滑曲面 为边界的有界区域，P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) 在闭域 上连续,在 内 有一阶连续偏导数，即 P , Q , R C C 1 则：
第十三章 Green函数 解的积分
∑ T T
∫∫uv ds = ∫∫∫(uv)dV = ∫∫∫uvdV+ ∫∫∫u vdV.(1)
n ∑
其中φ(M)是区域边界∑上的给定函数.当α=0,β≠0时(5) 式为第一类边界条件,而当α ≠0 β =0时为第二类边界条件,一般情况为第三类边界条 件.
为了研究点源所产生的场,引入δ函数来描 述点源的密度分布. v(r,r0)=δ(r-r0) (6) 下面我们利用格林公式导出泊松方程解的 积分表示式.
2
2
π ∫ (x x )
∞ 0
1
2
+y
2
f (x0 )dx0.
�
1 G G = = , r n ∑ r r = a r r r0 = r r0 cos Θ
2
(r
2 rr 0 cos Θ + r
2 0
)
3 2
r2 r r 2 a2 0 0 1 . = 3 r r r0 2 r r r0 ∑ ∑
G |∑ = 0 ,
(
)
G = G1 + G
0
(1)
其中G0与G1分别满足: G 0 = δ r r0 .
(G 0
G1 = 0
(
)
(2) (3)
+ G 1 ) |∑ = 0
称G0是基本解,是无界空间中非齐次方程的 解,而G1是相应的齐次方程的解. 1 .(4) 对三维空间 G0 r r0 = 4π r r0
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(x, y) Ba
g
xBa
1
2
ln
1
x
xBa
G(x; ) 1 ln x 1 x * 2 x x 1*
19
第四节 特殊区域上边值问题的解
圆内Dirichlet问题
u f (x, y), (x, y) Ba
u (x, y)Ba (x, y)
u(,)
Ba
G(x,
y; , )
dS
x
u(
)
(
x;
)
f
(
x)dx
(
x;
)
(
x)
u(
x)
(x;
n
)
dS
x
相减，得
u( ) (x; ) g(x; ) f (x)dx (x;) g(x;) (x)dSx
10
引入函数
Green函数
G(x; ) (x; ) g(x; )
其中
g 0, x
g n
n
(x, )
Neumann问题 的解的积分表
4
1
x
xBa
G(x; ) 1 1 a 1 4 x 4 x *
15
上半平面上的Green函数
g 0,
(x, y) R2
g
y0
1
2
ln
1
x
y0
G(x; ) 1 ln x * 2 x
16
四分之一平面上的Green函数
g 0, x 0, y 0
g
y0
1
2
ln
1
x
, g 1 ln
x0 2
y0
1
x
x0
G(x; ) 1 ln x 1 x 2 2 x x 3
17
圆上的Green函数
g 0, (x, y) Ba
g
xBa
1
2
ln
1
x
xBa
G(x; ) 1 ln 1 1 ln a 2 x 2 x *
18
半圆上的Green函数
g 0,
2 x
x g 0, x
g
x
1
4
1
x
x
x g 0, x
g
x
1
2
ln
1
x
x
13
上半空间上的Green函数
g 0,
(x, y, z) R3
g
z0
4
1
x
z0
G(x; ) 1 1 1 1 4 x 4 x *
14
球上的Green函数
g 0, x Ba
g Ba
当n=3时
(x; ) 1 1 4 x
2
Green公式
设分段光滑，u, v C2 () I C1()，则有
uv
vu
dx
u
v n
v
u n
dS
附注 若u C2 () I C1()是Neumann问题的解，则有
f (x)dx (x)dS 0
3
积分表示定理
设分段光滑，u C2 () I C1()，则有
u n
(x)
u( ) (x; ) f (x)dx
(
x;
)
(
x)
u
(
x)
( x; n
)
dS
x
9
考虑一个函数 g(x;
g 0, x
)：
g n
(x, )
n
对函数 g(x; ) 和 u(x) 利用Green公式
0
g
(
Hale Waihona Puke x;)f(
x)dx
g
(
x;
)
(
x)
u(
x)
g
(x; n
)
u( ) (x; )u(x)dx
(
x;
)
u ( x) n
u(
x)
( x; n
)
dS
x
4
附注
1. 若u C2 () I C1()是Piosson方程 -u f (x) 的解，则有
u(
)
( x;
)
f
(
x)dx
(
x;
)
u ( x) n
u(x)
( x;
n
)
dSx
2. 若u C2 () I C1()是Laplace方程 -u 0 的解，则有
)：
g
g
0, x
(x, )
对函数 g(x; ) 和 u(x) 利用Green公式
0
g
(
x;
)
f
(
x)dx
g
(
x;
)
u(x) n
(
x)
g
(x; n
)
dS
x
u(
)
(
x;
)
f
(
x)dx
(
x;
)
u(x) n
(
x)
(x;
n
)
dS
x
相减，得
u(
)
( x;
)
g(x;
)
f
(x)dx
(x)
第十二章 Green函数方法
第一节 基本解和Green公式 第二节 边值问题的解的积分表示
和Green函数 第三节 Green函数的求解 第四节 特殊区域上边值问题的解
1
第一节 基本解和积分表示定理
基本解
满足方程 (x ), x, Rn
当 n = 2 时 (x; ) 1 ln 1 2 x
于是在 Ba上，有
G G
1 a2 ( 2 2 )
n Ba r ra
2 a (x )2 ( y )2 ( x, y)Ba
21
直角坐标下的解的形式
u( ,) 1
2 2 (x *)2 ( y *)2
ln
f (x, y)dxdy
2 Ba
a (x )2 (y )2
达式
u( ) G(x; ) f (x)dx G(x; ) (x)dSx
11
利用Green函数方法求解的步骤：
求解相应问题在 上的Green函数 带入到积分表达式即得相应问题的形式解
Green函数方法几点注记
Green函数只与区域有关，而与边值无关 对某些特殊的区域，Green函数可用初等的方
法求得 利用定解问题的积分表达式可用进一步研究
位势方程的解的性质 对于一般区域， Green函数的确定与求解原
来的定解问题一样困难
12
第三节 Green函数的求解
镜像法—Dirichlet问题 当n=3时
G(x; ) 1 1 g(x; ) 4 x
当n=2时 G(x; ) 1 ln 1 g(x; )
(x; )
n
g(x;
)
dSx
7
引入函数
Green函数
G(x; ) (x; ) g(x; )
其中
g 0, x
g (x, )
Dirichlet问题 的解的积分
表达式
u(
)
G
(
x;
)
f
(
x)dx
(
x)
G ( x; n
)
dS
x
8
Neumann问题的求解
u f (x), x
f
(x,
y)dxdy
(x,
Ba
y)
G(x, y;,)
n
dS x, y
G(x; ) 1 ln
1
1 ln
a
2 (x )2 ( y )2 2 2 2 (x *)2 ( y *)2
20
2 2 , * *2 *2 ,
r x2 y2
G(x, y; ,) 1 ln 2r2 a4 2ra2 cos 2 a 2 r2 2r cos
u(
)
(
x;
)
u ( x) n
u(x)
( x;
n
)
dSx
5
第二节 边值问题的解的积分表 示和Green函数
Dirichlet问题的求解
u f (x), x
u (x)
u( ) (x; ) f (x)dx
(
x;
)
u ( x) n
(
x)
( x; n
)
dS
x
6
考虑一个函数 g(x;