2014年第六届全国大学生数学竞赛非数学类试题

2014年全国大学生数学竞赛预赛试题

非数学类

一、 填空题(共有5小题，每题6分，共30分)

1. 已知x e y =1和x xe y =1是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是___ _________________________________

2. 设有曲面222:y x z S +=和平面022:=++z y x L 。则与L 平行的S 的切平面方程是_______________________________

3. 设函数)(x y y =由方程⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y dt t x 124sin π所确定。求==0x dx dy _______________

4. 设∑=+=n k n k k x 1)!

1(。则=∞→n n x lim ______________________ 5. 已知310)(1lim e x x f x x x =⎪⎭⎫ ⎝

⎛++→。则=→20)(lim x x f x ____________________

二、 （本题12分）设n 为正整数，计算⎰-⎪⎭

⎫ ⎝⎛=121ln cos πn e dx x dx d I 。

三、（本题14分）设函数)

("

|。证

f |)

A,使得B

(x

f在]1,0[上有二阶导数，且有正常数B

x

明：对任意]1,0[∈x ，有2

2|)('|B A x f +≤。

四、 （本题14分）（1）设一球缺高为h ，所在球半径为R 。证明该球缺体积为2)3(3h h R -π

。

球冠面积为Rh π2；（2）设球体12)1()1()1(222≤-+-+-z y x 被平面6:=++z y x P 所截得小球缺为Ω，记球冠为∑，方向指向球外。求第二型曲面积分

⎰⎰∑++=zdxdy ydzdx xdydz I

五、 （本题15

分）设f 在],[b a 上非负连续，严格单增，且存在],[b a x n ∈，使得

⎰-=b a n n

n dx x f a b x f )]([1)]([。求n n x ∞→lim

六、 （本题15分）设2222221n n n n n n n A n ++++++= 。求⎪⎭

⎫ ⎝⎛-∞→n n A n 4lim π