复变函数的应用

复变函数的应用
通过网上的学习后，我了解到复变函数在描述波动，描述交流电，描述原子结构中都具有很大的优越性。

总的来说，是为各种表达，计算提供了更为简便的途径。

大多数问题在实数范围内其实就可以解决，但倘若复变函数，问题就会变得一目了然。

由于物理基础的问题，这里仅对复变函数在描述原子结构方面的应用加以阐述。

传统量子力学利用薛定谔方程，在研究氢原子碱金属原子和氦原子的基础上，给出了电子的四个量子数，解释了原子光谱。

事实上，薛定谔方程只有几个特殊情形可以求出解析解和精确解，对于多体系统，一般是不能求解的。

利用薛定谔方程，并不能完整、严格地给出了电子的四个量子数，解释原子光谱。

在数学发展的过程中，经常有一个定理或公式被用不同方法多次证明的例子。

例如高斯。

曾经用10 种不同的方法，证明了二次互反律；陈省身曾经给出了Gauss-Bonnet公式的新证明；Atiyah-Singer用三种不同方法证明了Atiyah-Singer 指数定理。

这些证明把许多重要的数学结构联系起来，推动了数学、物理学和自然科学的发展。

后来，人们把数学和力学中的思想方法，应用到物理学中，利用新的数学模式,研究微观原子系统。

首先，利用复变函数中幂函数和对数函数的周期结构，给出了电子的主量子数n 、角量子数l 、磁量子数m 、自旋量子数ms ,然后，修正了旧量子论中的量子化规则，最后，给出了磁通量子化规则。

在复变函数中，有时研究讨论多值函数[6]。

例如，设z = x + iy为一个复变数
为z 的对数函数。

式中，k 的取值是由周期性条件得到的，k = 0, ±1, ±2, …… Ln z 为多值函数。

Ln z 的各分支在除去原点及负实轴的平面内解析。

再设b为一个复常数，即
为z的幂函数。

z^b一般也是一个多值函数,它的的各分支在除去原点及负实轴的平面内解析。

特别，当b = p/q , p和q为互质的整数,且q > 0，
k = 0, 1, 2, 3,……(q−1)，有q个值，当k 再取其它整数值时，将重复出现上述q个值之一。

k 的取值不唯一，也可以取其它的值。

例如，k 也可以取k = 0, −1, −2, −3,……−(q −1)，也只能取q 个值。

另外，量子数n,l ,m和m s的取值范围。

取q = n为正整数，再取k = l ，代入（3）式，得
(4)式中的n 和l 的值,正好是量子力学中主量子数n 和角量子数l 的值.因此,可以把n 和l 作为主量子数和角量子数. p 和n 为互质的整数，p 待定，p 不影响n 和l 的结果．(4)式还可写成下述形式
取k = m 代入(1)式，并考虑到(5)式，得
再取z = iy，k = m，arg z =arg(iy) =m *π代入（1）式，并考虑到(6)式，得
由(4)式和(7)式得n , l ,m 和m s的值。

n = 1, 2, 3, ……, n; l = 0, 1, 2, 3,……, (n −1) .共有n个值。

m =−l, −l +1, ……，−1 ,0 ,1 ,…… , l−1, l。

共有2l +1个值。

m s=±1/2仅有两个值。

因而，n ,l ,m 和m s是量子力学中的主量子数n, 角量子数l 、磁量子数m 和自旋量子数m s。

根据复变函数理论,主量子数n 和角量子数l 具有简单的几何意义。

以z^(1/n)作为圆的半径, n = 1, 2, 3,……, n ,表示n个不同半径的圆，与原子中的电子的壳层对应。

主量子数n不同，圆的半径不同，电子的运动区域也不同。

对给定的n , l = 0, 1, 2, 3,……,(n −1) , l 的个数，表示圆内正接多边形顶点的个数，与原子中的电子的次壳层和角动量对应。

Δl = ±1的选择定则，正好是表示跃迁仅在相邻顶点之间发生，但是l = 0与l = n −1之间没有跃迁。

由于是圆的内正接多边形的顶点，所以电子轨道的位置一定是与圆相对称的。

这里给出的轨道概念并不相同。

在式(4)中取
得
式中q i是第i 个自由度的广义坐标，p i是其对应的广义动量。

式(8)为旧量子论中索末非量子化规则。

但是这里的角量子数l 取值为l = 0, 1, 2, 3,……, (n −1) ，与实验数据和量子力学的理论相同，因而克服了旧量子论中的缺点。

在旧量子理论中，角量子数l = 1, 2, 3,……, n．
根据电动力学，在规范变换环量
是规范不变量。

因此，环量是重要的反映电磁场本质的物理量。

利用斯托克斯公式，由得
式(11)右边的积分是磁通量Φ。

根据A-B 效应，在磁感应强度B 为零的区域A仍然起作用，矢势A是具有物理意义的物理量, 这是与经典电动力学不同的。

在式(4)中取
得
式(12)是环量量子化规则,也可称为磁通量子化规则, 也可写作
其中，
称为磁通量子[7]。

(12)式与经典电动力学中的结论不同, 是磁场量子化的产
物。

当l = 0时,环量为零,才与经典电动力学中磁感应强度B 为零，
对应。

在式(12)中，l = 0, 1, 2, 3,……, (n −1) ,是角量子数。

还样就把磁通量子化与主量子数n、角量子数l 、磁量子数m 和自旋量子数m s联系起来了。

这与普通的磁通量子化理论是不同的。

例如
在量子力学中，当存在磁场时，哈密顿算符中的动量算符p改写为
相当于动量[3]。

因此，在动量p 的位置上。

这相当于把式(8)换成了
在上式中取第一项为零,也就是把式(8)中的l 取为零,就得式(12)。

因此，本文把磁通量子化的子数写作角量子数。

在量子力学中，磁场是量子化的，由磁量子数描述。

但是在量子力学理论中并未直接对磁场进行量子化。

只是在解释超导、量子霍尔效应、Ａ-Ｂ效应等现象时才引入了磁通量子化。