勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别

勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别

本文讨论勒贝格积分是与黎曼积分的联系与区别，勒贝格积分和黎曼积分积分之间有一种相依赖、相互补充、相互帮助及在特定条件下相互转化的关系，勒贝格积分在积分与极限换序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处。在实变函数里引入勒贝格积分是为了弥补黎曼积分的不足，可以扩大可积函数类，降低逐项积分与交换积分顺序的条件。勒贝格积分拓广了黎曼积分的定义,使得可积性的条件要求减弱了。它断言可测集上的有界可测函数和单调函数必勒贝格可积,这比黎曼积分中要求连续函数、单调函数的条件放松多了。它放松了黎曼积分要求函数序列的一致收敛的过强的要求。 关键词：勒贝格可 黎曼可积 勒贝格积分 黎曼积分

1、定义

1.1黎曼积分定义 设)(x f 在[]b a,上有定义

1）分割分划，将()b a ,添加n-1个分点T ：n n x b x x x a x =<<<<=-1210 将[]b a,分成n 个小区间

[][][]n n x x x x x x ,,,12110-

1x ∆ 2x ∆ n x ∆

2）取近似[]()i i i i i x f t s x x ∆∀-ξξ..,,1 3）()i i n

i x f ∆∑=ξ1

4）取极限令{}i x T ∆=max —T 的细度，若()i n

i i T x f ∆∑=→1

0lim ξ存在

()()∑⎰=→∆=n

i i

i

T b

a

x

f dx x 1

0lim ξ

1.2勒贝格积分定义

设()x f 在有限可测集E 上有界

1）n E E E 21为E 的n 个互相不相交的可测子集且 n

i i E 1E ==称{}n E E E D 21=为E 的一

个L-分划

2）设{}n E E E D 21=，{}'

'2

'1'D n E E E =均为E 的一个L-分划，若对''D E ∈∀存在j i j E E t s D

E ⊂∈'

..称D 比'D 细（D D 是'的加细）

3）设{}n E E E D 21=为E 的一个L-分划，()()x f B x f b i

i

E x i E x i sup inf ,∈∈==称 ()i n

i i mE b f D s ∑==1'

,在划分D 下()x f 的小和

()∑==n i i i mE B f 1

D,S 在划分D 下()x f 的大和

2黎曼积分和勒贝格积分的联系

对于定义在[]b a ,上的函数f ，如果它是黎曼可积的，则它勒贝格可积的，而且有相同的积分值，故我们平时解题算勒贝格积分时，一般先考虑该函数是否黎曼可积，如果

可以，那么就先化为黎曼积分求解，因为我们在学数分时，已经熟悉了黎曼积分。对于无界函数的积分或函数在无穷区间上的积分，黎曼积分是作为广义积分来定义的，这时要求{}k E 是单调增加的可测集合列，其并为E ，若极限()dx x f K

E k ⎰

∞

→lim 存在，则f 在E

上勒贝格可积，且有()dx x f E

⎰=()dx x f K

E k ⎰

∞

→lim

当k E 是矩体k I 且()x f 在每个k I 上都是有界连续函数，同时满足

()dx x f K

E k ⎰

∞

→lim <∞时，可以通过计算黎曼积分

()dx x f E

⎰而得到勒贝格积分

()dx x f E

⎰=()dx x f K

E k ⎰

∞

→lim

而且计算方法与k I 的选择没有关系，只需保证{}k I 单调增加到并集E 。

例1：设f 是区间[]b a ,上的有界单调函数，f 的不连续点至多是可列集，因此f 在[]b a ,上是几乎处处连续的，又因为f 在[]b a ,上是有界的，f 在[]b a ,上是黎曼可积的，所以也是勒贝格可积。

但是，必须指出，具有广义黎曼积分的函数并不一定勒贝格可积。

例2：设()x f =x x

sin ，在数分中，f 在[]∞,0上的广义黎曼积分收敛的，但不是绝对收敛

的而f 在[]∞,0上不是勒贝格可积的

平时我们在解勒贝格积分时，有很多可以先化为求黎曼积分，下面我们看看几个例子。

例3：计算()x f =3

1

1-x 在[]2,1上的积分

解：用截断函数求解

()x f 是[]2,1上的非负函数，作截函数

()[]⎪⎪⎩⎪

⎪⎨

⎧<≤+

-+<≤21

11

111133

3

x n

x n x n x f n

显然，对每个()[]n x f 均黎曼可积，故也勒贝格可积

()[][]

()()⎰

⎰⎰+

+

-+=2113

111213

3

1

n

n n

x dx

R dx n R dx x f ，

=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛

+

23232311n n n n =2

21

23n -

于是()[]

dx x f ⎰

2,1=()[]

[]dx x f n

n ⎰∞

→2

,1lim

=⎪⎭⎫ ⎝

⎛-∞→22323

lim n n

=

2

3

例4：设()∞=，0E ，E 上函数 [1]

()()

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧∞∈∈=--,1]

1,0(221

x x x x x f

求()dx x f E

⎰

解：作截断函数