波的相干叠加

当A1=A2时，γ =1，反衬度最大 当A1<<A2或A1>>A2时，即A1、A2相差悬殊 时，γ =0，反衬度最小
四．两束平行光的干涉
XOY
两列同频率单色光， 振幅分别为 A1 ， A2 ； 初位相为φ 10，φ 20 ， 方向余弦角为（α 1 ， β 1 ， γ 1 ） ， （α 2 ， β 2 ， γ 2） 研究在Z=0的波前上 的位相
2 j (2 j 1)
亮、暗条纹都是等间隔的平行直线，形 成平行直线族，斜率为
cos 2 cos1 cos 2 cos 1
2 x k (cos cos ) cos cos 2 1 2 1 条纹间隔 2 y k (cos 2 cos 1 ) cos 2 cos 1 X
2 1 两列波在空间P点的位相差

0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2 1 (t )
在观察时间内不是定值，而是随时间改 变，是时间的随机函数，则有


0
cos dt 0
2 2 2
I A1 A I 1 I 2
是两列光的强度简单相加，没有干涉现象 。 或者说它们是不相干的
r1
r2
( x, y)
P
D
2 2 2 A ( d / 2 ) x y ikd ~ U 1 ( x, y ) exp{ ik[ D ]}exp( x) D 2D 2D
2 2 2 A ( d / 2 ) x y ikd ~ U 2 ( x, y ) exp{ ik[ D ]}exp( x ) D 2D 2D
光学是严格的近似理论？！
难道是好莱坞电影《True Lies》or 《Eye Wide Closed》？ 严格：其理论有严格的数学逻辑，自成 体系，而且都经过实验的检验。 近似：几何光学，有近轴近似；波动光 学，也有相应的近轴近似和远场近似。
为什么要近似？难道精确的理 论不好吗？
其一、近似是可行的。物理学是实验科 学，被实验检验为正确的结论，就是好 的。 其二、物理学是实用的。近似可以减少 大量不必要的工作。 其三、有时理论上的精确在实验上是无 法实现的。
更深层次的思考（也许是错 的！？）
光具有波粒二象性。但其波动性不如波长更长 的电磁波，而粒子性又不及波长更短的X-ray、 电子等，所以无论从哪一方入手，都难以对其 特性进行精确的测量。 具有波粒二象性的体系本身就具有不确定性。 即一对共轭的物理量是无法同时精确测量的。 对于光，在宏观仪器前仍具有微观特性，但在 微观仪器处又表现出宏观特性，所以无论从微 观还是宏观，都难以进行不受限制的精确测量。
2
如两振动不平行，可将其中一个正交分解为 和另一个分别平行、垂直的分量，再进行叠加。 其中垂直的分量作为背底，不参与干涉。
~
1
~
2
五．不同频率单色波的叠加
振动方向相同、传播方向相同，频率不 同的两列波 1 A0 cos(1t kz) 2 A0 cos(2t k2 z)

2
j=0，1，2，3，4，…… ，干涉级数
交错的亮条 纹和暗条纹在空 间形成一系列双 叶旋转双曲面。 在平面接收屏上 为一组双曲线， 明暗交错分布。 干涉条纹为 非定域的，空间 各处均可见到。
S1 S2
杨氏双孔干涉
轴外物点 和场点都 S1 满足近轴 条件 两点光源 S2 间距为d， 可以求得 发出的光 波在屏上 的复振幅
2
干涉相消 （暗条纹）
kd x (2 j 1) 2D 2 2D 2 j 1 D x (2 j 1) 2 kd 2 d
D x d
是一系列等间隔的平行直条纹 相邻亮（暗）条纹间隔
X
X
Y
如光源和接收屏之间充满介质，则条纹间距为
2D D x j j kd d n
振幅和位相的表达式与代数方法相同
3．振幅矢量法 在复空间中 ，如图所示
~ U1 ~ ~ ~ U U1 U 2
~ U
A
A1
1
2

A2
~ U2
连续多个振幅矢量的叠加
各个矢量按次序首尾 相接，夹角为相应的 位相差
4 3
3 2
2 1
三．叠加的强度
光的频率是1014 Hz，其变化周期比仪器的响应 时间小得多 光强的测量值只能是一定时间内的平均值 1 2 1 2 2 A dt [ A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )]dt I 1 2 0 0 1 2 2 A1 A2 2 A1 A2 cos dt
成立的条件
传播介质为线性介质。 振动不十分强。在振动很强烈时，线性 介质会变为非线性的。 注意要点：不是强度的叠加，也不是振 幅的简单相加，而是振动矢量（瞬时值） 的叠加。
二．叠加方法
同频率、同振动方向的单色光。 1．代数法（瞬时值法）
1 A1 cos(1 t ) 2 A2 cos( 2 t ) 合振动 1 2 A cos( t )
I ( x, y) A A2 2 A1 A2 cos
2 1 2
( x, y) k (cos1 cos1 ) x k (cos 2 cos 1 ) y ( 20 10 )
2 j (2 j 1)
( x, y) k (cos1 cos1 ) x k (cos 2 cos 1 ) y ( 20 10 )

n1r1 t 01 )
S1 S2
r2
可设初位相均为零， 位相差 光程差 在真空中

2
2
n2 r2 n1r1
(r2 r1 )

(n2 r2 n1r1 )

干涉相长
干涉相消
r2 r1 j

r2 r1 (2 j 1)
I1 I 2
干涉相消
两列波在空间相遇，使得光的能量重新 分布，称为干涉现象。能够产生干涉的光， 称为相干光
四．相干条件
（1）、Δφ稳定
（2）、ω相同 （3）、存在相互平行的振动分量。
两列波的振动方向相互垂直
按矢量叠加 Ψ Ψ Ψ 1 2 2 2 2 ~ ~ ~ 数量关系 | | | 1 | | 2 |
强度分布为
2A A 2 kd 2 kd I x) 4 cos ( x) cos ( 2D 2D D D 2 kd 4 I 0 cos ( x) 2D
从一个孔中出射的光波在屏中心的强度
2 2
A 2 I0 ( ) D
kd I 4 I 0 cos ( x) 2D 2D D kd 干涉相长 j x j x j （亮条纹） 2 D kd d
光强是振幅的平方
~ ~ 1 2
~
1
Ψ
~
2
I I1 I 2
总光强是两列波的光强之和，无干涉。
2 A1 A2 y cos A2 x I1 I 2 2 A1 A2 cos cos A2 sin Ψ 2 x
2
Ψ Ψ1 Ψ 2 (Ψ1 Ψ 2 y )ey Ψ 2 xex Ψ 2y 2 2 I A1 A2 y A cos
2 j
I1 I 2
2 1 2 2
cos 1
干涉相长
2 I A12 A2 2 A1 A2 ( A1 A2 ) 2 I1 I 2 2 I1I 2
(2 j 1)
cos 1
2
I A A 2 A1 A2 ( A1 A2 ) I1 I 2 2 I1I 2
3.2 两列单色波的干涉花样
一．两相干个点光源的干涉 发出球面波，在场点P相遇。 1 A1 cos(k1r1 t 01 )
A1 cos( 2
P( x, y, z ) r1
2 A2 cos(k 2 r2 t 02 ) 2 A2 cos( n2 r2 t 02 )
第三章 波的相干叠加
第一部分、波的叠加原理
处理分立波列的叠加
第二部分、惠更斯——菲涅耳原理
处理连续分布的次波中心发出次波的叠加
§3.1 波的叠加原理
两列波在空间相遇
一．内容
1 ．波的独立传播定 律 从不同振源发出的波 在空间相遇时，如振 动不十分强，各个波 将保持各自的特性不 变，继续传播，相互 之间没有影响。 2．波的叠加原理 几列波在相遇点的合 振动是各个波独自在 该点振动的矢量叠加 （矢量和）。
合成的复振幅为
~ ~ ~ U ( x, y) U1 ( x, y) U 2 ( x, y)
A (d / 2) 2 x 2 y 2 ikd ikd exp{ ik[ D ]}[exp( x) exp( x)] D 2D 2D 2D
2 2 2A (d / 2) x y kd exp{ ik[ D ]}cos( x ) D 2D 2D 2
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 2 1 2 2
tg ( A1 sin 1 A2 sin 2 ) /( A1 cos1 A2 cos2 )
2．复数法
~ i 2 U2 e
~ i1 U1 A1e
~ ~ ~ i i1 i 2 U U1 U 2 A1e A2e Ae
在观察时间内不随时间改变，则有
I A1 A 2 A1 A2 cos I 1 I 2
2 2

1

0
cos dt cos
被称为干涉项
2 A1 A2 cos
Δφ只与空间位置有关，即不同的空间点具有 不同的位相差，因而有不同的干涉项的数值。 即两列波在空间不同的地点有不同的位相 差，叠加后有不同的强度，出现干涉现象。
I 4 A cos ( mt k m z) 2 A [1 cos2( mt k m z)]
2 0 2 2 0
光强随时间变化，没有稳定的光强分布。
形成光学拍，拍频为ω m ，强度分布随时 间和空间变化。 结论： 1、不同频率单色光叠加形成光学拍； 2、不同频率的定态光波叠加形成非定态 光。
2 2
(1 2 )t (k1 k 2 ) z (1 2 )t (k1 k 2 ) z 2 A0 cos cos 2 2
2 A0 cos(mt km z) cos( t kz)
Ψ 2 A0 cos(mt km z) cos( t kz)
相邻亮（暗）条纹间隔
D x d n
三．干涉条纹的反衬度（可见度）
反衬度的定义：在接收屏上一选定的区 域中，取光强最大值和最小值，有
IM Im IM Im
I M ( A1 A2 ) , I m ( A1 A2 )
2
2
A1 2 A2 2 A1 A2 2 2 A1 A2 1 ( A1 ) 2 A2
Z
Z=0
1 ( x, y) k (cos1 x cos 1 y cos 1 0) 10
2 ( x, y) k (cos 2 x cos 2 y cos 2 0) 20
( x, y) k (cos1 cos1 ) x k (cos 2 cos 1 ) y ( 20 10 )
1 fx 或条纹的 x 空间频率 fy 1 y
x
Y
y
3.2 相干光的获得
一．原子发光的特点 原子跃迁发光。 光源中大量的原子，随机发光。不同原 子发出的光波是不相干的。 同一原子在不同时刻所发出的光波也是 不相干的。