§1.5 倒易点阵

2π 2π b1 = a2 × a3 = i Ω a
b2
3 1
( ) 2π 2π (a × a ) = a j = Ω
( )
2π 2π b3 = a1 × a 2 = k Ω a
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2π b1 = i a 2π b2 = j a 2π b3 = k a
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第一章 晶体结构
2π b1 = i a 2π b2 = j a 2π b3 = k a
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第一章 晶体结构 倒格基矢的方向和长度如何呢？ 倒格基矢的方向和长度如何呢？
2π a2 × a 3 Ω 2π b2 = a3 × a1 Ω 2π b3 = a1 × a2 Ω b1 =
( ( (
) ) )
2π = d1
b3
a3
b2
a1
b1
a2
2π 2π b3 = b2 = b1 = 2 π d3 d2 Ω 一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的， 一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方
第一章 晶体结构 2π ( i = j )
0 (i ≠ j )
a 2 ⋅ b1 = 0 a 2 ⋅ b2 = 2π
2π b1 = i a 2π b2 = j a
2π a
2π a
K h = h1 b1 + h2 b 2
2π 的正方形格子。 倒格是边长为 的正方形格子。 a
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第一章 晶体结构 [另一解法 另一解法] 另一解法
倒格
4.线度量纲为 长度 线度量纲为[长度 线度量纲为 长度]
4.线度量纲为 长度 -1 线度量纲为[长度 线度量纲为 长度]
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第一章 晶体结构 已知晶体结构如何求其倒格呢？ 已知晶体结构如何求其倒格呢？
晶体 结构
正格
正格 基矢
倒格 基矢
倒格
2π b1 = a2 × a3 Ω 2π b2 = a 3 × a1 Ω 2π b3 = a1 × a2 Ω
a2 × a3
向是该晶面的法线方向， 向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的 2π倍。 π
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第一章 晶体结构
对于二维晶格， uu 对于二维晶格，利用倒格子基矢的定义计算倒格子基矢 ur r uu r ∧ uu 方向的单位矢。 3 时，取 a 3 为 a 1 × a 2 方向的单位矢。 r = k a
2π
。
dh1h2h3
dh h h
1 2
3
a1 K h a1 h1 b1 + h2 b2 + h3 b3 2π = = ⋅ = ⋅ h1 K h h1 Kh Kh
在单胞坐标系 a , b, c 中，
2π a = b ×c Ω 2π ∗ b = c ×a Ω 2π c∗ = a ×b Ω
∗
(
) ) )
( (
上式两边分别按傅里叶级数展开： 上式两边分别按傅里叶级数展开：
Γ r = ∑Γ( K h ) ei K h ⋅r
h
()
Γ r + Rl = ∑Γ K h ei K h⋅(r + Rl )
h
(
)
( )
K h ⋅ Rl = 2πµ
K h 一定是倒格矢。 一定是倒格矢。
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第一章 晶体结构 晶体结构
)
) )
2π a 2 × a3 Ω 2π b2 = a3 × a1 Ω 2π b3 = a1 × a2 Ω b1 =
( ( (
) ) )
1 Ω = a1 ⋅ a2 × a3 = a3 2
(
)
a2 ×a3 =
i a 2 a 2
j a − 2 a 2
a k − a =i 2 a 2 a 2 − 2
a a 2 + j 2 a a − − 2 2
C O
Kh
a2 a3 CB = OB − OC = − h2 h3
B A
a1
a1 a2 K h ⋅ CA = (h b1 + h2 b2 + h3 b3 ) ⋅ − =0 1 h h 2 1 a2 a3 K h ⋅ CB = (h b1 + h2 b2 + h3 b3 ) ⋅ − = 0 1 h h 3 2
(
A× B × C = A⋅ C B − A⋅ B C
(
) (
) (
)
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A× (B × C) = (A⋅ C )B − (A⋅ B)C [(a × a )× (a × a )] = [(a × a )⋅ a ] a − [(a × a )⋅ a ] a
3 1 1 2
第一章 晶体结构
3
1
2
1
3
1
1
2
= Ω a1
Ω* =
2π Ω
a2 × a3 ⋅ Ω a1
3
(
)
(2 π)3 =
Ω
4.倒格矢 与正格中晶面族( 4.倒格矢 K h = h1 b1 + h2 b2 + h3 b3 与正格中晶面族(h1h2h3)
2π
正交， 正交，且其长度为
dh1h2h3
。
与晶面族( 正交。 (1)证明 (1)证明 K h = h1 b1 + h2 b2 + h3 b3 与晶面族(h1h2h3)正交。
2π a 2 × a 3 a1 ⋅ b1 = a 1 ⋅ Ω
(
0
(i ≠ j)
)
= 2π
2π a 3 × a 1 a1 ⋅ b2 = a1 ⋅ Ω
(
)
=0
2.
为整数) Rl′ ⋅ K h′ = 2πµ (µ为整数)
分别为正格点位矢 倒格点位矢。 正格点位矢和 其中 Rl′和K h′ 分别为正格点位矢和倒格点位矢。
a2 = a j
a 1 = ai a2 = a j
a
a
a 1 = ai
ur uu r 2 首先计算二维晶格的原胞面积： S = a1 × a2 = a 首先计算二维晶格的原胞面积：
则倒格子基矢为 ： ur 2π uu ∧ 2π r r b1 = a2 × k = i S a uu 2π ∧ ur 2π r r b2 = k × a1 = j S a
3
倒格 倒格基矢
b1 , b2 , b3
倒格（点位） 倒格（点位）矢：
Rn = n1 a1 + n2 a2 + n3 a3
′ ′ ′ K n = h1 b1 + h2 b2 + h3 b3
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第一章 晶体结构 1.5.1 倒格定义 倒格基矢定义为： 倒格基矢定义为：
2π b1 = a2 × a3 Ω 2π b2 = a3 × a1 Ω 2π b3 = a1 × a2 Ω
所以 K h = h1 b1 + h2 b2 + h3 b3 与晶面族 1h2h3)正交。 与晶面族(h 正交。 正交
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第一章 晶体结构 (2)证明 K h = h1 b1 + h2 b2 + h3 b3 的长度等于 证明 由平面方程： 由平面方程： X ⋅ n = µ d 得：
b2 =
ur 2π uu ∧ r b1 = a2 × k S uu 2π ∧ ur r
S k × a1
其中S 其中S为二维晶格原胞面积的大小
ur uu r S = a1 × a2
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第一章 晶体结构 1.5.2 倒格与正格的关系 1. ai ⋅ b j = 2πδ ij = 2π ( i = j )
2π a
2π a
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第一章 晶体结构 例2：证明体心立方的倒格是面心立方。 证明体心立方的倒格是面心立方。 体心立方的原胞基矢： 解： 体心立方的原胞基矢：
a1 a a
2
3
a = − i + j + k 2 a i − j + k = 2 a i + j − k = 2
( ( (
′ ′ ′ Rl′ = l1 a1 + l2 a 2 + l3 a 3
′ ′ ′ K h′ = h1 b1 + h2 b2 + h3 b3
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第一章 晶体结构
′ ′ ′ ′ ′ ′ Rl′ ⋅ K h′ = (l1 a1 + l2 a 2 + l3 a 3 ) ⋅(h1 b1 + h2 b2 + h3 b3 )
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第一章 晶体结构 为晶面族(h 中离原点最近的晶面， 设ABC为晶面族 1h2h3)中离原点最近的晶面， 为晶面族 中离原点最近的晶面
a1 a2 a3 , , 。 ABC在基矢 a1 , a 2 , a 3上的 截距分别为 在基矢 h1 h2 h3
a3 a2
由图可知： 由图可知： CA = OA− OC = a1 − a 3 h1 h3
′ ′ ′ ′ ′ ′ = 2 π( l1h1 + l 2 h2 + l 3 h3 )
= 2 πµ
3.
(2π)3 Ω* =
Ω* = b 1 ⋅ b 2 × b 3
3
(
Ω
分别为正、倒格原胞体积) (其中Ω和Ω*分别为正、倒格原胞体积 其中
)
) [( ) ( )]
2π = a2 × a3 ⋅ a3 × a1 × a1 × a2 Ω