初中数学竞赛第十六讲完美的正方形(含答案)

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初中数学竞赛教程16、因式分解(2)

2013年暑期初一数学竞赛第十六讲：因式分解（2）一. 内容提要分解因式，其常用的方法有：提取公因式，运用公式法，分组分解法，十字相乘法，双十字相乘法，拆（添）项法，待定系数法和换元法等等．常用公式除课本上的几个公式以外，大家还应熟悉以下的公式（结论）：a3±3a2b+3ab2±b3=（a±b）3；a3±b3=（a±b）（a2ab+b2）；a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2；a4+4=（a2+2a+2）（a2-2a+2）．a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ac）；二. 热身练习1．已知三个整数a、b、c的和为奇数，那么a2+b2－c2+2ab（）．A．一定是非零偶数 B．等于零C．一定是奇数 D．可能是奇数，也可能是偶数2．关于x、y的方程x2y=180的正整数解有（）．A．1组 B．2组 C．3组 D．4组3．方程2x2－3xy－2y2=98的正整数解有（）．A．3组 B．2组 C．1组 D．0组4．化简：2222000199819971997 19982000199820014+--⨯-= ．5．已知实数a、b、x、y满足a+b=x+y=2，•ax+by=5，则（a2+b2）xy+ab（x2+y2）的值为_______．三. 例题分析例1．分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12例2．k为何值时，多项式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分成两个一次因式的积？例3．分解因式2x3-13x2+25x-14．例4．因式分解：①x 3－11x+20 ② a 5+a+1例5．已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足x y x xy y --+-+=22220，求长方形的面积。

例6．证明：若4x y -是7的倍数，其中x ，y 都是整数，则810322x xy y +-是49的倍数。

2022年北师大版数学《正方形的判定》配套精品练习(附答案)

第2课时正方形的判定一、填空题：1. 在正方形ABCD的AB边的延长线上取一点E，使BE = BD，连接DE交BC于F，则∠BFD= °；2. 已知：四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O. ①若OA= OB，且OA⊥OB，则四边形ABCD是，②若AB = BC，且AC = BD，则四边形ABCD是；3. 正方形边长为a，若以此正方形的对角线为一边作正方形，则所作正方形的对角线长为.二、选择题：4. 四边形ABCD中，AC、BD相交于O，下列条件中，能判定这个四边形是正方形的是（）；A. AO = BO = CO = DO，AC⊥BDB. AB∥CD，AC = BDC. AD∥BC，∠A =∠CD. AO = CO，BO = C O，AB = BC5. 四边形ABCD的对角线AC = BD，且AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，则所构成的四边形是（）.A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形三、解答题：6．如右图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：DE=DF．（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，•请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）7.如图，△ABC中，点O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，设Mn交∠ACB的平分线于点E，交∠ACH 的平分线于点F。

⑴说明：EO＝FO；⑵当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形；⑶当O是AC上怎样的点，且AC与BC具有什么关系时，四边形AECF是正方形？答案与提示一、1. 112.5；2. 正方形，正方形；3. 2a.二、4. A；5. D.三、6．（1）提示：证△DEB≌△DFC，（2）∠A=900167，四边形AFDE是平行四边形等（方法很多）==；⑵AC的中点；⑶当O是AC的中点，且AC⊥BC时，四边形AECF是正方形。

初中数学竞赛第十六讲和圆有关的比例线段(含解答)

第十六讲和圆有关的比例线段【趣题引路】某建筑物上装有一块长方形广告牌,上下边相距5m,下底边距离地面5.6m.•如果人的眼部高度为 1.6m,那么从远处正对广告牌走近时,看广告牌效果最好的位置距该建筑物多远?解析广告牌AB 在视线的水平线DF 之上.如图,因此,可过AB•两点作一个圆,使圆与DF 相切,这时可看到,当人从远处走来时,人眼在DF 的水平线上,除D 点外,•DF 上的其余各点都在圆外 ,则当人走到DE 处时∠ADB 最大,看广告效果最好. 那么如何求出CE 的距离呢?由切割线定理可知,DF 2=BF ·AF,且CE=DF,因此,很容易得到 D F 2=4×9=36,∴DF=6(m)即人距离广告牌6m 左右看广告牌的效果最好.【知识延伸】过一点P 作与圆有关的两条直线,点P 与圆的不同位置有两种:1.当点P 在圆内时,这两条直线分别交圆于A 、B 和C 、D,则PA ·PB=PC ·PD,•这就是相交弦定理,如图1.（1） (2) (3) 2.当点P 在圆外时,分两种情况:(1)这两条直线与圆都有两个交点,分别为A 、B 与C 、D,则PA ·PB=PC ·PD称作割线定理:如图2.(2)当这两条直线中一条与圆有两个交点,另一条只有一个交点(切点)M时,得切割线定理:PA·PB=PM2.相交弦定理、切割线定理及切割线定理的推论(割线定理),•我们统称为圆幂定理.圆幂定理在形式上也可以进一步统一.如图3,点P在圆内时,像所作的虚线那样,连OP,过点P作弦EF⊥OP,交圆于E、F,由于PE=PF,故PA·PB=PC·PD=PE·PF=PF2=r2-OP2,其中r为⊙O的半径.如图4,点P在圆外时,连OM、ON、OP,有PA·PB=PC·PD=•PM·PN=P M2=OP2-r2.综上所述,圆幂定理可以统一为PA·PB=│r2-OP2│.换言之,•圆幂定理可叙述为:通过不在⊙O上一定点P向⊙O任作一直线交⊙O于A、B两点,则有PA·PB=│r2-OP2│.(r2-OP2叫做点对于⊙O的幂).圆幂定理揭示了圆中线段的比例关系,对于涉及相交弦,切割线的有关计算,•常可利用圆幂定理去求.例1已知,如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,A为切点,割线CDF交AB于E,并且CD:DE:EF=1:2:1,AC=4.求⊙O的直径AB.解析设CD=k,则DE=2k,EF=k,CF=4k.由切割线定理,有AC2=CD·CF.∴42=k·4k,•k=2.∴CE=6,DE=4,EF=2.在Rt△ACE中,由勾股定理,有根据相交弦定理,得AE·EB=DE·EF.∴EB=4×2，EB=5。

华师大版数学八年级下册_知识拓展：完美正方形

完美正方形
我们能不能将一个大正方形分割为一些彼此互不相同的小正方形？或者反过来说，我们能不能用一些大小各不相同的小正方形拼合成一个大正方形？答案是可以的。

这样的一个大正方形，叫做完美正方形（又称完全正方形）。

第一个完美正方形是由英国剑桥大学的四位数学家组成的研究小组于1938年发现的。

这个完美正方形可分为69个小正方形，因此称为69阶完美正方形。

此后，又有许多其他阶的完美正方形被发现。

于是，人们试图寻找一个由个数最少的小正方形拼合而成的（即最低阶的）完美正方形。

利用电子计算机已经证明：不存在20阶或20阶以下的完美正方形。

1978年，荷兰数学家杜伊杰斯廷发现了21阶的完美正
方形，边长为112，如图（图中数字为小正方形边长）。

更加奇妙的是，它还是一个简单完美正方形，即其中的小正方形不构成任何矩形。

杜伊杰斯廷的发现很可能是独一无二的，也就是说，很可能再也没有与此不同的21阶完美正方形了。

完美正方形

完美正方形完美正方形「完美正方形」是指在一正方形内切割出大小都相异的小正方形.而我们的研究,则放宽条件,允许同样大小的正方形不超过三个.我们先估算出正方形中可切割的最大正方形边长范围,再以方格纸手画的方式找出边长1至25的解,在过程中,我们发现可用放大的方式解决边长为合数的正方形.因此我们将重点放在边长为质数的正方形,我们将正方形分割成两个连续整数边长的正方形,则剩下少一单位的缺角正方形区域.我们探讨缺角正方形区域的解,再讨论分析回原来的正方形.最后解出了边长1至100中全部有解的正方形.对於更大边长的正方形,我们的方法也可行.所以我们以流程图来表示解决问题的过程,并用电脑试算边长1至1000的完美正方形.研究动机在暑假专书研读:名人趣题妙解书中,我们看到了塔尔塔利亚的巧分格纸,觉得很感兴趣,所以我们将完美正方形与巧分格纸两个融合,当作我们科展的题目.研究目的「完美正方形」是指,在一正方形内切割成不同大小,边长为整数的正方形,且这些切割出的正方形,均不能全等,这个主题在文献上有不错的研究成果.而我们的研究,则放宽条件,允许每一种同样大小的正方形不超过三个,希望可以探讨边长1～100中哪些正方形有解,哪些正方形无解如果有解如何切割文献探讨1926年,苏联数学家鲁金对"完美正方形"的存在提出了猜想.到1938年,他们终于找到了一个由63个大小不同的正方形组成的大正方形,人们称它为63阶的完美正方形.次年有人给出了一个39阶的完美正方形.1964年,塔特的学生,滑铁卢大学的威尔逊博士找到了一个25阶的完美正方形.1948年,威尔科克斯提出了一个24阶的完美正方形,在往后的30年中,人们一度以为24就是完美正方形的最小阶.1978年,荷兰特温特技术大学的杜依维斯蒂尤,用大型电子电脑算出了一个21阶的完美正方形.这是完美正方形的最终目标了.因为鲁金曾证明,小於21阶的完美正方形是不存在的.。

(华杯)16届初一总决赛试题答案讲解版

第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛初一组一试试题解答一、填空题（共3题，每题10分）1. 计算)]5(31[)41(2)32(|231|)1()2(22343-⨯-+-⨯-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--÷---⨯-= 解： 3432228594(2)(1)|123|()8122832781146472()[13(5)]4⎡⎤-⨯---÷---⨯-÷--⎢⎥⎣⎦==+-⨯-+-⨯- 6459431.4784--==-⨯ 2. 正方形ABCD 的面积等于625平方厘米.如图，DE 与CF 相交于G.已知125ADE CDG S S ∆∆==平方厘米.△BFG 的面积是平方厘米.答：△BFG 的面积是50平方厘米.解：由于正方形ABCD 的面积等于625平方厘米.所以，边长25AB =厘米.由于125ADE S ∆=平方厘米，所以AE =10厘米.连接CE , 则1162531222CDE S ∆=⨯=（平方厘米）. 而已知125CDG S ∆=（平方厘米），则1252,312.55CDG CDE S DG DE S ∆∆===连接AG . 由221255055ADG ADE S S ∆∆==⨯=（平方厘米）但16252ADGCBG S S ∆∆+=⨯，而16252BFG CBG S S ∆∆+=⨯，比较可得 50BFG ADG S S ∆∆==（平方厘米）.3. 用长度分别为50,,2,1 的木条去摆三角形，每个三角形的三条边的长度分别为c b a ,,，c b a <<，问),,(c b a 最多有多少种不同的取法？答案：9500.解：利用三条边可以构成三角形的条件：任意的两个边的和大于第三边. 边长为1的木条不能与其它长度的木条构成三角形.三角形的最小边长为2时，边长为2的木条只能与差值为1的两个木条构成三角形，故有47对.三角形的最小边长为3时，边长为3的木条只能与差值为1，2的两个木条构成三角形，故有46+45对.三角形的最小边长为4时，边长为3的木条只能与差值为1，2，3的两个木条构成三角形，故有45+44+43对.......三角形的最小边长为k （)25≤k 时，边长k 为的木条只能与差值为1，2，3，⋯，1-k 的两个木条构成三角形，故有(49)(491)(4922)k k k -+--++-+ 对.三角形的最小边长为k （)25>k 时，边长k 为的木条只能与差值为1，2，3，⋯，1-k 的两个木条构成三角形，故有1)149()49(++--+- k k 对. 故总数为(47461)(45441)(43421)(212k k +++++++++++++-+-+++ (321)1++++ 47244523(21)53321k k =⨯+⨯++-⨯++⨯+⨯+()22224231(24231)9500.=+++-+++=二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4. 用)(n S 表示自然数n 的数字和，如1)1(=S ，6)123(=S ，10)1234(=S 等等，求自然数n ，使得2011)(=+n S n .答: 1991.解1： 2011)(=+n S n ，20111900<<∴n 则可设y x n ++=101900或y x n ++=102000，其中90,90≤≤≤≤y x ，且y x ,为整数.若y x n ++=101900，则201191101900=++++++y x y x ，即101211=+y x ⎩⎨⎧==∴19y x 1991=n 若y x n ++=102000，则20112102000=+++++y x y x ，即9211=+y x 没有符合条件的整数解.因此，n =1991.解2：因为()(mod9),n S n ≡要使2011)(=+n S n ，只须()2011(mod9),n S n +≡ 即220114(mod9)2(mod9).n n ≡≡⇒≡已知在2011n ≤时()S n 最大为38，所以19832011,n ≤≤其中被9除余2的有1991，2000，2009.其中只有1991满足1991+20=2011，所以1991.n =5. 两个21位自然数m 和n ，每个都由三个1、三个2、三个3、三个4、三个5、三个6和三个7组成，使得nm k =是自然数，问k 能取哪几个自然数？说明你的理由.答：1.解：显然777666555444333222111 1.777666555444333222111k == 假设存在这样的m 和n ，使得数m n 是一个大于1的自然数，则可设m k n=，故m kn =. 两边分别除以9，用数被9除的性质知m 和n 被9除的余数均等于3(1234567)⨯++++++被9除的余数，即84被9除的余数，为3. 因此3与3k 模9同余. 由7776665554443332221117111222333444555666777m k n =≤<，及m 和n 不同（即1k ≠）推得4k =，即4m n =. 考虑数n 最低位的数字7，当把n 乘以4时，这个数字7的下一位（如果有）最多为6，因此乘以4最多进两位，这说明m 中对应位的数字为8（下面不进位,7×4=28）或9（下面进一位）或0（下面进两位），这与m 由三个1、三个2、三个3、三个4、三个5、三个6和三个7组成相矛盾！即不存在满足条件的m 和n .使得数m n是一个大于1的自然数. 所以，只有 1.k =6. 使得关于未知数x 的方程k x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡32无解的自然数 k 由小到大排成一行,其前2011个k 的值之和等于多少？解. k0 1 2 3 x 1 2 3 4 23x x ⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0 1 2 3 设5,0,1,2,3k m r r =+=；令6,x m p p =+待定. 325232323x x p p p p m m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 从上表可知，=,0,1,2,3,23p p r r ⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦是有解的. 因此，5,0,1,2,3,(1)k m r r =+=都有解.下面考虑 5 1.k m =-显然，665.23m m m ⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦而对于01,q <<66323121115 2.232323m q m q q q q q m m m m m --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=-+-=-+-+-+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦上式对于任意01q <<的q 成立. 所以当51k m =-时，方程无正有理数解.因此，前2011个k 的值之和=20112012(511)(521)(520111)5201110113319.2⨯⨯-+⨯-++⨯-=⨯-=初一组二试试题解答图3 一、填空题（共3题，每题10分）1. 一水池有一进水口，若干同样大小的排水口.如果同时打开进水口和5个排水口，连续30个小时可以将水排尽；如果同时打开进水口和6个排水口，连续20小时可以将水排尽.如果同时打开进水口和15个排水口，几小时可以将水排尽？答：5小时.解：设一水池水为z 立方米，进水口每小时过水y 立方米，一个排水口每小时排水x 立方米.于是 3053020620x y z x y z ⨯=+⎧⎨⨯=+⎩由此此得 2305230232063203x y z xy z ⨯⨯=⨯+⎧⎨⨯⨯=⨯+⎩ 两式两边分别相减得 60x z = ∴ 160x z =；同样可得 120y z =. 设同时打开一进水口和15个排水口，t 小时可以将水排尽. 则1115,6020t z t z z ⨯=⨯+ 即 11 1.420t t =+ 所以 1155t t =⇒=（小时）. 2. 图中，四边形ABCD 是一个长方形，EF //AB ，GH //AD , EF 和GH 相交于点O , 三角形OBD 的面积是m ，求长方形OFCH 的面积和长方形AGOE 的面积差.答：2.m解：从图中可见，1.2BODC BOD ABCD BODA BOD S S S S S ∆∆-==+ 即 22.BODC BODA BOD S S S m ∆-==即 ()()2O F C H B O F D O H A G O E B O G D O ES S S S S S m ∆∆∆∆++-++= 但 ,,BOF BOG DOH DOE S S S S ∆∆∆∆== 因此得2.OFCH AGOE S S m -=3. 自然数a ，b 互质，如果a a b =⎥⎦⎤⎢⎣⎡，n b a b 101⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧，n 是10进制数b 的位数，则a b = .其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡a b 表示不超过a b 的最大整数，⎭⎬⎫⎩⎨⎧a b 表示a b 的小数部分.答：.25 解：设符合题意的最简分数为b a ，a 、b 均为正整数且互质.可知b >a ，根据题意即，则110n b a b a+⨯=，整理成正整数方程为210()n b a -=ab . 从方程中可知2a a b ≤<.因为a 与b 互质，所以b - a 2与ab 也互质.因为若 b -a 2与ab 有公因子p ，那么p 能整除a (或能整除b )，也能整除b -a 2，从而p 也能整除b (或也能整除a )，这样，与题意最简分数(分子与分母互质的分数)矛盾.因此，互质的a 与b 的积只能是10n 与1的乘积或5n 与2n 的乘积两种可能.若10n b =，1a =，这时21b a -≠；若ab =10n =)(52n⨯，b =5n ,2n a =, 这时b -a =1得25(2)1n n -=,即()2521n n -=. 因此，n 只能是1时才成立，即a =2，b =5. 最简分数为.25 二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4. 将正整数1，2，3，… ，8分别放置于正方体的8个顶点，每个顶点与相邻3个顶点上的数之和称为该顶点的“众数”.对每一种填法，都可以得到最大“众数”的与最小“众数”的差，那么这个差至少等于多少.答：2解：首先考虑这样的8个众数能否全相等，如果能，因为它们的和等于144，即 1444364)8_321(=⨯=⨯+++，所以每个都等于18，那么最大与最小的众数之差就是0.如果不能全相等，为了求得最小可能值，如果有一个是19，那么相应地得有一个是17，（总和须等于144）所以这个最小的可能值就不能小于21719=-.这样我们只要先证明8个众数不能全相等，然后找出一种布法，其最大与最小众数之差等于2，就可以断定所求的这个最小值是2.设顶点的编号为1，2，3，4，5，6，7，8，如图，记在顶点i 的数为,18,i x i ≤≤.这样，顶点1的众数为1234x x x x +++；顶点5的众数为1568x x x x +++. 若此二顶点的众数相等，则864286515421x x x x x x x x x x x x +=+⇒+++=+++同样地，顶点2的众数为1236x x x x +++，顶点4的众数为1348x x x x +++，若此二顶点的众数相等，则846284316321x x x x x x x x x x x x +=+⇒+++=+++由上面得到的二式相加得 2822,x x =即 28,x x =这是不可能的. 这就证明了8个众数不能全相等.构造一个摆放方式的图例（见右图），最大数和最小数的差等于2，故最小差值等于2.5. 已知三角形边长都是整数，周长不超过28，三个边长两两之差的平方和等于14. 问这样的三角形共有多少个？（三条边长分别对应相等的三角形只算1个）答：12个.解：设三角形三条边长分别为a,b,c ，由已知等式可得：()()()22214a b b c a c -+-+-=. ①令a b m,b c n -=-=，则a c m n -=+，其中m,n 均为自然数.于是，等式①变为 227m n mn ++=. ② 由于m,n 均为自然数，判断易知，2()3737.m n mn mn -+=⇒≤因此，使得等式②成立的m ，n 只有两组：21m n =⎧⎨=⎩ 和 12m n =⎧⎨=⎩. （1）当m ＝2，n ＝1时，b =c +1,a =c +3.又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即13c c c ++>+，解得2c >.又因为三角形的周长不超过28，即3428a b c c ++=+≤，解得8c ≤.因此28c <≤，所以c 可以取值3，4，5，6，7，8，对应可得到6个符合条件的三角形.（2）当12m ,n ==时，23b c ,a c =+=+.a,b,c 又为三角形的三边长，所以b c a +>，即23c c c ++>+.解得1c >.又因为三角形的周长不超过28，即()()3228a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤，因此17c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形，且和（1）中得到的三角形不同.综合可知：符合条件且周长不超过28的三角形的个数为6612+=个.6. 求最小自然数k , 使得对于任意正整数n , k 个奇数2n +1, 2n +3, ……, 2n +2k -1中至少有一个数, 不能被3, 5, 7, 11中的任何一个整除.解. 试验可知，我们有6个奇数: 115,117,119,121,123,125,它们中每一个都可以被3,5,7,11中的一个或几个数整除.所以,k>6.对于任意的正整数 n , 当 k >6时, 取前7 个数:2n +1, 2n +3, ….., 2n +13 (1)由于2个能被3整除的奇数之差,不小于6; 2个能被5整除的奇数之差,不小于10; 2个能被7整除的奇数之差,不小于14; 2个能被11整除的奇数之差,不小于22. 因此,(1)中能被3整除的数最多有3个,且只能是2n +1, 2n +7, 2n +13.(1)中能被5整除的数最多有2个,且只能是2n +1,2n +11或者2n +3，2n +13;(1)中能被7整除的数最多有1个;(1)中能被11整除的数最多有1个.下面证明(1)中能被3 或5 整除的数的个数不超过4.若能被3整除的数只有2个，显然能能被3 或5 整除的数的个数不超过4. 若能被3整除的数有3个，不管什么情况，能被3整除的数和能被5整除的数，必有一个重合. 能被3整除和能被5整除的数一共不能超过4个.除了能被3 或5 整除的数外，还余下3个.但能被7或11整除的数最多只有2个，因此，必有一个数不能含有质因子3，5，7，11.即这个数不能被3, 5, 7, 11中的任何一个整除.答.k的最小值是7。

新人教版数学八年级下《18.2.3正方形》课时练习含答案解析

新人教版数学八年级下册18.2.3正方形课时练习一．选择题（共15小题）1．如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）A．12 B．13 C．26 D．30答案：C知识点：全等三角形的判定；等腰直角三角形；正方形的性质解析：解答：解：设AB＝3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成10对全等三角形；斜边长为的有6个，它们组成15对全等三角形；斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；共计26对．故选C．分析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏．本题考查了全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形和正方形的性质，解题的关键是记熟全等三角形的判定方法并做到不重不漏．2．如图所示，E．F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：A知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AD∵CE＝DF∴DE＝AF∴△ADE≌△BAF∴①AE＝BF，S△ADE＝S△BAF，∠DEA＝∠AFB，∠EAD＝∠FBA∴④S△AOB＝S四边形DEOF∵∠ABF＋∠AFB＝∠DAE＋∠DEA＝90°∴∠AFB＋∠EAF＝90°∴②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO＝OE．故选A．分析：根据四边形ABCD是正方形及CE＝DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE＝BF，以及△ADE和△BAF的面积相等，得到；④S△AOB＝S四边形DEOF；可以证出∠ABO＋∠BAO ＝90°，则②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO＝OE．本题考查了全等三角形的判定和正方形的判定和性质．3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE 于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF＝FH，②∠HAE＝45°，③BD＝2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④答案：D知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：（1）连接FC，延长HF交AD于点L，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝∠CDF＝45°．∵AD＝CD，DF＝DF，∴△ADF≌△CDF．∴FC＝AF，∠ECF＝∠DAF．∵∠ALH＋∠LAF＝90°，∴∠LHC＋∠DAF＝90°．∵∠ECF＝∠DAF，∴∠FHC＝∠FCH，∴FH＝FC．∴FH＝AF．（2）∵FH⊥AE，FH＝AF，∴∠HAE＝45°．（3）连接AC交BD于点O，可知：BD＝2OA，∵∠AFO＋∠GFH＝∠GHF＋∠GFH，∴∠AFO＝∠GHF．∵AF＝HF，∠AOF＝∠FGH＝90°，∴△AOF≌△FGH．∴OA＝GF．∵BD＝2OA，∴BD＝2FG．（4）延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则：LI＝HC，根据△MEC≌△MIC，可得：CE＝IM，同理，可得：AL＝HE，∴HE＋HC＋EC＝AL＋LI＋IM＝AM＝8．∴△CEM的周长为8，为定值．故（1）（2）（3）（4）结论都正确．故选D．分析：（1）作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF＝CF，故需证明FC＝FH，可证：AF＝FH；（2）由FH⊥AE，AF＝FH，可得：∠HAE＝45°；（3）作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD＝2FG，只需证OA＝GF即可，根据△AOF≌△FGH，可证OA＝GF，故可证BD＝2FG；（4）作辅助线，延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则IL＝HC，可证AL＝HE，再根据△MEC≌△MIC，可证：CI＝IM，故△CEM的周长为边AM的长，为定值．解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等．4．一个围棋盘由18×18个边长为1的正方形小方格组成，一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n个，则n的最大值是（）A．4 B．6 C．10 D．12答案：D知识点：正方形的性质解析：解答：解：∵卡片的边长为1.5，∴卡片的对角线长为2＜223＜3，且小方格的对角线长2＜1.5．故该卡片可以按照如图所示放置：图示为n取最大值的时候，n＝12．故选D．分析：要n 取最大值，就让边长为1.5的正方形卡片边与小方格的边成一定角度．本题考查的是已知正方形边长正方形对角线长的计算，旋转正方形卡片并且找到合适的位置使得n 为最大值，是解题的关键．5．如图，四边形ABCD 是正方形，以CD 为边作等边三角形CDE ，BE 与AC 相交于点M ，则∠AMD 的度数是（）A ．75°B ．60°C ．54°D ．67.5° 答案：B知识点：正方形的性质；线段垂直平分线的性质解析：解答：解：如图，连接BD ，∵∠BCE ＝∠BCD ＋∠DCE ＝90°＋60°＝150°，BC ＝EC ，∴∠EBC ＝∠BEC ＝21（180°－∠BCE ）＝15° ∵∠BCM ＝21∠BCD ＝45°， ∴∠BMC ＝180°－（∠BCM ＋∠EBC ）＝120°，∴∠AMB ＝180°－∠BMC ＝60°∵AC 是线段BD 的垂直平分线，M 在AC 上，∴∠AMD ＝∠AMB ＝60°故选B ．分析：连接BD ，根据BD ，AC 为正方形的两条对角线可知AC 为BD 的垂直平分线，所以∠AMD ＝AMB ，要求∠AMD ，求∠AMB 即可．本题考查的正方形的对角垂直平分的性质，根据垂直平分线的性质可以求得∠AMD ＝∠AMB ，确定AC 和BD 垂直平分是解题的关键．6．在平面直角坐标系中，称横．纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是（）A．13 B．21 C．17 D．25答案：D知识点：正方形的性质；坐标与图形性质解析：解答：解：正方形边上的整点为（0，3）、（1，2）、（2，1）、（3，0）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（4，1）、（5，2）、（1，4）、（2，5）、（3，6）；在其内的整点有（1，3）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（5，3）．故选D．分析：根据正方形边长的计算，计算出边长上的整点，并且根据边长的坐标找出在正方形范围内的整点．本题考查的是正方形四条边上整点的计算，找到每条边上整点变化的规律是解本题的关键．7．在同一平面上，正方形ABCD的四个顶点到直线l的距离只取四个值，其中一个值是另一个值的3倍，这样的直线l可以有（）A．4条B．8条C．12条D．16条答案：D知识点：正方形的性质；点到直线的距离解析：解答：解：符合题目要求的一共16条直线，下图虚线所示直线均符合题目要求．分析：根据正方形的性质，一个值为另一个值的3倍，所以本题需要分类讨论，①该直线切割正方形，确定直线的位置；②该直线在正方形外，确定直线的位置．本题考查了分类讨论计算点到直线的距离，找到直线的位置是解题的关键．8．如图，正方形ABCD 的边长为1，E 为AD 中点，P 为CE 中点，F 为BP 中点，则F 到BD 的距离等于（）A ．82B ．102C ．122D ．162 答案：D知识点：正方形的性质；三角形的面积解析：解答：解：连接DP ，S △BDP ＝S △BDC －S △DPC －S △BPC ＝21－21×1×21－21×1×41 ＝81， ∵F 为BP 的中点，∴P 到BD 的距离为F 到BD 的距离的2倍．∴S △BDP ＝2S △BDF ，∴S △BDF ＝161，设F 到BD 的距离为h ，根据三角形面积计算公式，S △BDF ＝21×BD ×h ＝161，计算得：h ＝22161＝162．故选D ．分析：图中，F 为BP 的中点，所以S △BDP ＝2S △BDF ，所以要求F 到BD 的距离，求出P 到BD 的距离即可．本题考查的是转化思想，先求三角形的面积，再根据三角形面积计算公式，计算三角形的高，即F 到BD 的距离．9．搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD ，彩线BD ．AN ．CM 将正方形ABCD 分成六部分，其中M 是AB 的中点，N 是BC 的中点，AN 与CM 交于O 点．已知正方形ABCD 的面积为576cm 2，则被分隔开的△CON 的面积为（）A ．96cm 2B ．48cm 2C ．24cm 2D ．以上都不对答案：B知识点：正方形的性质；三角形的面积；相似三角形的判定与性质解析：解答：解：找到CD 的中点E ，找到AD 的中点F ，连接CF ，AE ，则CM ∥EA ，AN ∥FC ，△BOM ∽△BKA ， ∴BK BO ＝BABM ＝21，同理可证：DO DK ＝DA DF ＝21，故DK ＝KO ＝OB ， ∴△BOC 和△BOA 的面积和为31正方形ABCD 的面积， ∵CN ＝NB ＝AM ＝BM ，∴△OCN 的面积为41△BOC 和△BOA 的面积和，∴△OCN 的面积为12576＝48cm 2，故选B ．分析：先证明BO 为正方形ABCD 的对角线BD 的31，再求证△CNO ，△NBO ，△AMO ，△BMO 的面积相等，即△CON 的面积为正方形面积的121．本题考查了正方形内中位线的应用，考查了正方形四边均相等的性质，解本题的关键是求证BO ＝31BD ，△OCN 的面积为41△BOC 和△BOA 的面积和． 10．如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点，在BD 上截取BE ＝BC ，连接CE ，点P 是CE 上任意一点，PM ⊥BD 于M ，PN ⊥BC 于N ，若正方形ABCD 的边长为1，则PM ＋PN ＝（）A ．1B ．2C ．22D ．1＋2答案：C知识点：正方形的性质，三角形的面积解析：解答：解：连接BP ，作EH ⊥BC ，则PM ．PN 分别为△BPE 和△BCP 的高，且底边长均为1，S △BCE ＝1－－S △CDE ，∵DE ＝BD －BE ＝，△CDE 中CD 边上的高为22（2－1）， ∵S △CDE ＝CD ×22（2－1）＝－42； S △BCE ＝1－21－S △CDE ＝42；又∵S △BCE ＝S △BPE ＋S △BPC ＝•BC•（PM ＋PN ）∴PM ＋PN ＝＝．故选C ．分析：连接BP ，PM ．PN 分别为△BPE 和△BCP 的高，且底边长均为1，因此根据面积计算方法可以求PM ＋PN ．本题考查的用求三角形面积的方法求三角形的高的转化思想，考查正方形对角线互相垂直且对角线即角平分线的性质，面积转换思想是解决本题的关键．11．顶点为A （6，6），B （－4，3），C （－1，－7），D （9，－4）的正方形在第一象限的面积是（）A ．25B ．36C ．49D ．30 答案：B知识点：正方形的性质；坐标与图形性质；三角形的面积解析：解答：解：连接OA ，过A ．D 两点的直线方程是69664-6----x y ＝，即y ＝－x 310＋16，解得它与x 轴的交点E 的横坐标是x ＝7.8，同理求得过A ．B 两点的直线方程是y ＝－x 103＋4.2，解得它与y 轴的交点E 的纵坐标是y ＝4.2，∴S △AOE ＝21×7.8×6＝23.4，S △AFO ＝21×4.2×6＝12.6， ∴S △AOE ＋S △AFO ＝23.4＋12.6＝36，即顶点为A （6，6），B （－4，3），C （－1，－7），D （9，－4）的正方形在第一象限的面积是36．分析：根据正方形的顶点坐标，求出直线AD 的方程，由方程式知AD 与x 轴的交点E 的坐标，同理求得AB 与y 轴的交点F 的坐标，连接OA ，再去求两个三角形的面积，从而求得正方形在第一象限的面积．解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，利用直角三角形求面积，在本题中，借助直线方程求的点E ．F 在坐标轴上的坐标，据此解得所求三角形的边长，代入面积公式求得结果．12．ABCD 是边长为1的正方形，△BPC 是等边三角形，则△BPD 的面积为（）A ．41B ．413－C ．81D ．8132－答案：B知识点：正方形的性质；三角形的面积；等边三角形的性质解析：解答：解：△BPD 的面积等于△BCP 和△CDP 面积和减去△BCD 的面积因此本题求解△BCP ．△CDP 面积和△BCD 的面积即可，S △BCP ＝4323121＝⨯⨯， S △CDP ＝4121121＝⨯⨯，S △BCD ＝×1×1＝，∴S △BPD ＝413214143－＝－＋．故选B ．分析：根据三角形面积计算公式，找到△BPD 的面积等于△BCP 和△CDP 面积和减去△BCD 的面积的等量关系，并进行求解．本题考查了三角形面积的计算，考查了正方形对角线平分正方形为2个全等的等腰直角三角形．解决本题的关键是找到△BPD 的面积等于△BCP 和△CDP 面积和减去△BCD 的面积的等量关系．13．如图，正方形ABCD 的面积为16，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线BD 上有一点P ，使PC ＋PE 的和最小，则这个最小值为（）A ．4B ．23C ．26D ．2答案：A知识点：轴对称－最短路线问题；等边三角形的性质；正方形的性质解析：解答：解：∵正方形ABCD ，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ，∴C ．A 关于BD 对称，即C 关于BD 的对称点是A ，连接AE 交BD 于P ，则此时EP ＋CP 的值最小，∵C ．A 关于BD 对称，∴CP ＝AP ，∴EP ＋CP ＝AE ，∵等边三角形ABE，∴EP＋CP＝AE＝AB，∵正方形ABCD的面积为16，∴AB＝4，∴EP＋CP＝4，故选A．分析：根据正方形的性质，推出C．A关于BD对称，推出CP＝AP，推出EP＋CP＝AE，根据等边三角形性质推出AE＝AB＝EP＋CP，根据正方形面积公式求出AB即可．本题考查了正方形的性质，轴对称－最短问题，等边三角形的性质等知识点的应用，解此题的关键是确定P的位置和求出EP＋CP的最小值是AE，题目比较典型，但有一定的难度，主要培养学生分析问题和解决问题的能力．14.如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝()A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm答案：A知识点：正方形的性质；翻折变换（折叠问题）解析：解答：解：∵四边形CEFD是正方形，AD＝BC＝10cm，BE＝6cm，∴CE＝EF＝CD＝10－6＝4(cm).分析：根据正方形的性质，即可轻松解答．15.如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的周长为()A.14B.15C.16D.17答案：C知识点：正方形的性质；菱形的性质解析：解答：解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∵∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AC ＝AB ＝4，∴正方形ACEF 的周长是AC ＋CE ＋EF ＋FA ＝4×4＝16.分析：根据正方形和菱形的性质，即可轻松解答．二．填空题（共5小题）1．如图所示，将五个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，其中点A 、B 、C 、D 分别是正方形对角线的交点、如果有n 个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是___cm 2．答案：41-n 知识点：正方形的性质；探索图形规律解析：解答：解：∵点A 、B 、C 、D 分别是正方形对角线的交点 ∴两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的，即41×1×1＝41，当有三个三角形时，其面积为41＋41＝42 当有四个时，其面积为41＋41＋41＝43 所以当n 个三角形时，其面积为41-n ．故答案为41-n ．分析：求面积问题，因为点A 、B 、C 、D 分别是正方形对角线的交点，所以两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的41，由此便可求解．熟练掌握正方形的性质，会运用正方形的性质进行一些简单的计算问题．2．如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系、已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA 沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，若在y轴上存在点P，且满足FE＝FP，则P 点坐标为．答案：（0，4）或（0，0）知识点：正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：连接EF，∵OA＝3，OC＝2，∴AB＝2，∵点E是AB的中点，∴BE＝1，∵BF＝AB，∴CF＝BE＝1，∵FE＝FP，∴Rt△FCP≌Rt△FBE，∴PC＝BF＝2，∴P点坐标为（0，4）或（0，0），即图中的点P和点P′．故答案为：（0，4），（0，0）分析：连接EF，CF＝BE＝1，若EF＝FP，显然Rt△FCP≌Rt△FBE，由此确定CP的长．本题考查了三角形翻折前后的不变量，利用三角形的全等解决问题．3．如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为，线段O1O2的长为．答案：ab 41 ）＋（22221b a 知识点：正方形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质解析：解答：解：做O 1H ∥AE ，使O 2H ⊥O 1H ，交BG 于P ，K 点，（1）BP ＝，又∵O 2H ⊥HO 1，∴KP ∥HO 2，∴△PKO 1∽△HO 2O 1， ∴ba a HO PO HO KP +＝＝112， KP ＝）（＝b a a ab a b b a a +--⨯+222，阴影部分的面积＝21×BK ×（2b a +）＝21×[2a ＋）（b a a ab +-22]×2b a + ＝82ab ＝4ab ；（2）HO 1＝2b a +，HO 2＝2a b -，根据勾股定理O 1O 2＝2221HO HO + ＝222b a + ＝）（22221b a +．故答案为：ab 41；）＋（22221b a ．分析：阴影部分的面积可以看成两个三角形面积之和，所以求2个三角形面积即可；线段O 1O 2的长根据勾股定理求解．本题考查的相似三角形的证明即对应边比例相等的性质，三角形面积的计算，考查了根据勾股定理计算直角三角形斜边的应用，解决本题的关键是构建直角三角形HO1O2．4．已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为和．（只写一组）答案：（1，0）和（1，1）知识点：正方形的性质；坐标与图形性质解析：解答：解：∵正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），∴BD∥x轴，AC∥x轴，这样画出正方形，即可得出C与D的坐标，分别为：C（1，0），D（1，1）．故答案为：（1，0），（1，1）．分析：首先根据正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），在坐标系内找出这两点，根据正方形各边相等，从而可以确定C，D的坐标．本题主要考查了正方形的性质与坐标内图形的性质，确定已知点的坐标，从而根据正方形的性质，确定其它顶点的坐标是解决问题的关键．5．如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上．在格点上存在点C，使△ABC的面积为2，则这样的点C有个．答案：5知识点：正方形的性质；三角形的面积解析：解答：解：图中标出的5个点均为符合题意的点．故答案为 5．分析：要使得△ABC 的面积为2，即S ＝ah ，则使得a ＝2、h ＝2或者a ＝4、b ＝1即可，在图示方格纸中找出C 点即可．本题考查了正方形各边长相等的性质，考查了三角形面积的计算公式，本题中正确地找全C 点是解题的关键，考生容易漏掉一个或者几个答案．三．解答题（共5小题）1．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AF 平分∠BAC ，交BD 于点F ．（1）求证：AC OF AB 21=-；（2）点A 1、点C 1分别同时从A 、C 两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A 1F 1平分∠BA 1C 1，交BD 于点F 1，过点F 1作F 1E ⊥A 1C 1，垂足为E ，请猜想EF 1，AB 与1121C A 三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当A 1E 1＝6，C 1E 1＝4时，则BD 的长为．答案：（1）见解析（2）AB －EF1＝A 1C 1 （3）27知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理解析：解答：解：（1）过F 作FG ⊥AB 于G ，∵AF平分∠CAB，FO⊥AC，FG⊥AB，∴OF＝FG，∵∠AOF＝∠AGF＝90°，AF＝AF，OF＝FG，∴△AOF≌△AGF，∴AO＝AG，直角三角形BGF中，∠DGA＝45°，∴FG＝BG＝OF，∴AB＝AG＋BG＝AO＋OF＝AC＋OF，∴AB－OF＝AC．（2）过F1作F1G1⊥A1B，过F1作F1H1⊥BC1，则四边形F1G1BH1是矩形．同（1）可得EF1＝F1G，因此四边形F1G1BH1是正方形．∴EF1＝G1F1＝F1H1，即：F1是三角形A1BC1的内心，∴EF1＝（A1B＋BC1－A1C1）÷2…①∵A1B＋BC1＝AB＋A1A＋BC－CC1，而CC1＝A1A，∴A1B＋BC1＝2AB，因此①式可写成：EF1＝（2AB－A1C1）÷2，即AB－EF1＝A1C1．（3）由（2）得，F1是三角形A1BC1的内心，且E1、G1、H1都是切点．∴A1E＝（A1C1＋A1B－BC1）÷2，如果设CC1＝A1A＝x，A1E＝[A1C1＋（AB＋x）－（AB－x）]÷2＝（10＋2x）÷2＝6，∴x＝1，在直角三角形A1BC1中，根据勾股定理有A1B2＋BC12＝AC12，即：（AB＋1）2＋（AB－1）2＝100，解得AB＝7，∴BD＝7．分析：（1）可通过构建全等三角形来求解，过F作FG⊥AB于G，那么可通过角平分线上的点到角两边的距离相等得出OF＝FG，通过全等三角形AOF和AGF可得出AO＝AG，那么AB＝AO＋OF，而AC＝2OA，由此可得证；（2）本题作辅助线的方法与（1）类似，过F1作F1G1⊥AB，F1H1⊥BC，那么可证得四边形F1G1BH1是正方形，EF1＝F1G1＝F1H1，那么可得出F1就是三角形A1BC1的内心，根据直角三角形的内心公式可得出EF1＝（A1B＋BC1－A1C1）÷2，然后根据用AB分别表示出A1B，BC1，最后经过化简即可得出AB－EF1＝A1C1；（3）求BD的长，首先要求出AB的长，本题可借助（2）中，F1是三角形A1BC1的内心来解，那么我们不难看出E，G1，H1都应该是切点，根据切线长定理不难得出A1E＋A1G1＝A1C1＋A1B－C1E－BG1，由于C1E＝C1H1，BG1＝BH1，A1E＝A1G1因此式子可写成2A1E＝A1C1＋A1B－BC1，而（A1B－BC1）正好等于2A1A，由此可求出A1A的长，那么可根据勾股定理用AB表示出两条直角边，求出AB的长，然后即可得出BD的值．本题主要考查了正方形的性质，三角形的内接圆与内心等知识点，要注意的是后两问中，结合圆的知识来解会使问题更简单．2．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE＝BF．答案：见解析知识点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质解析：解答：证明：∵∠FAB＋∠BAE＝90°，∠DAE＋∠BAE＝90°，∴∠FAB＝∠DAE，∵∠AB＝AD，∠ABF＝∠ADE，∴△AFB≌△ADE，∴DE＝BF．分析：由同角的余角相等知，∠FAB＝∠DAE，由正方形的性质知，∠AB＝AD，∠ABF＝∠ADE＝90°，则ASA证得△AFB≌△ADE⇒DE＝BF．此题即考查了实数的运算又考查了正方形的性质．学生对学过的知识要系统起来．3．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG＝AB，则∠EAF为多少度．答案：45°知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：在Rt△ABF与Rt△AGF中，∵AB＝AG，AF＝AF，∠B＝∠G＝90°，∴△ABF≌△AGF（HL），∴∠BAF＝∠GAF，同理易得：△AGE≌△ADE，有∠GAE＝∠DAE；即∠EAF＝∠EAG＋∠FAG＝∠DAG＋∠BAG＝∠DAB＝45°，故∠EAF＝45°．分析：根据角平分线的判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF＝∠GAF，再证明AGE≌△ADE，有∠GAE＝∠DAE；所以可求∠EAF＝45°．主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定．4．如图，正方形ABCD中，AB＝，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE＝30°，∠DAF ＝15度．（1）求证：DF＋BE＝EF；（2）求∠EFC的度数；（3）求△AEF的面积．3答案：（1）见解析（2）30°（3）3知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠ABG＝∠ADF＝∠BAD＝90°，∵BG＝DF，∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，∵∠BAE＝30°，∠DAF＝15°，∴∠FAE＝∠GAE＝45°，∵AE＝AE，∴△FAE≌△GAE，∴EF＝EG＝GB＋BE＝DF＋BE；（2）∵△AGE≌△AFE，∴∠AFE＝∠AGE＝75°，∵∠DFA＝90°－∠DAF＝75°，∴∠EFC＝180°－∠DFA－∠AFE＝180°－75°－75°＝30°，∴∠EFC＝30°（3）∵AB＝BC＝3，∠BAE＝30°，∴BE＝1，CE＝3－1，∵∠EFC＝30°，∴CF＝3－3，∴S△CEF＝CE•CF＝23－3，由（1）知，△ABG≌△ADF，△FAE≌△GAE，∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADF－S△AEB－S△CEF＝S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF，S△AEF＝（S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF）＝3－3．分析：（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG．利用正方形的性质，证明△AGE≌△AFE，△FAE≌△GAE，得出DF＋BE＝EF；（2）根据△AGE ≌△AFE 及角之间的关系从而求得∠EFC 的度数；（3）S △AEF ＝S 正方形ABCD －S △ADF －S △AEB －S △CEF ＝S 正方形ABCD －S △AEF －S △CEF ，关键求S △CEF ．解答本题利用正方形的特殊性质，通过证明三角形全等，得出线段间的关系，同时考查了三角函数的运用，及组合图形的面积计算．5．已知正方形ABCD 的边长为4cm ，E ，F 分别为边DC ，BC 上的点，BF ＝1cm ，CE ＝2cm ，BE ，DF 相交于点G ，求四边形CEGF 的面积．答案：518 知识点：正方形的性质；一次函数的性质；两条直线相交或平行的问题解析：解答：解：以B 点为坐标原点建立坐标系，如下图：由题意可得几个点的坐标A （0，4），B （0，0），C （4，0），D （4，4），E （4，2），F （1，0）．设BE 所在直线的解析式是y ＝kx ，因为BE 所在直线经过E 点，因此有4k ＝2，k ＝21，因此BE 所在直线的解析式是y ＝21x （1），同理可得出DF 所在直线的解析式是y ＝34（x －1）（2），联立（1）（2）可解得点G 的坐标为（58，54）．故可求四边形CEGF 的面积S ＝S △BCE －S △BFG ＝21×4×2－21×1×54＝518．分析：本题的关键是求出G点的坐标，那么就要求出BE，DF所在直线的函数解析式，然后联立两个关系式求出交点坐标，再根据GECF的面积＝三角形BEC的面积－三角形BFG 的面积，求出GECF的面积．本题主要考查的是正方形的性质，一次函数等知识点的应用．根据BE，DF所在直线求出交点的坐标是解题的关键．。

江苏省第十六届初中数学竞赛试题(B卷)及参考答案

江苏省第十六届初中数学竞赛试题（B 卷）及参考答案一、选择题(每题8分，共48分．以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内．)1．已知b>a>0，a 2+b 2=4ab ，则b a b a -+等于( )． A ．-21B ． 3C ．2D ．-32．已知xB x A x x x ++=+-1322，其中A 、B 为常数，则A-B 的值为( )． A ．－8 B8C ．－1D ．43．1 O 个棱长为l 的小正方体木块，堆成如图所示的形状，则它的表面积为( )．A ．30B ．34C ．36D ．484．如图所示．△ABC 中，∠B=∠C，D 在BC 上，∠BA D=50°，AE=AD ，则∠EDC 的度数为( )．A ．15° B．25° C．30°D．50°5．将一个正方形分割成n 个小正方形(n>1)，则n 不可能取( )．A ．4B ．5C ．8D ．96．如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 离城市的距离分别为4，10，15，17，l9，20 km ，而村庄G 正好是AF 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在( )．A ．A 处B ．C 处 C ．G 处D ．E 处二、填空题(每题8分，共48分)7．一列数71，72，73，…，72001，其中末位数是3的有个．8．已知对任意有理数a 、b ，关于x 、y 的二元一次方程(a －b)x －(a+b)y=a+b 有一组公共解，则公共解为．9．数a 比数b 与c 的和大于16，a 的平方比b 与c 的和的平方大1664．那么，a 、b 、c 的和等于10．数的集合X由1，2，3，…，600组成，将集合X中是3的倍数，或4的倍数，或既是3的倍数又是4的倍数的所有数，组成一个新的集合y，则集合y中所有数的和为．11．若a1=5，a5=8，并且对所有正整数n，有a n+a n+1+a n+2=7，则a2001=12．三条线段能构成三角形的条件是：任意两条线段长度的和大于第三条线段的长度．现有长为144 cm的铁丝，要截成n小段(n>2)，每段的长度不小于1 cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为三、解答题(每题16分，共64分)13．中国第三届京剧艺术节在南京举行，某场京剧演出的票价由2元到100元多种，某团体需购买票价为6元和10元的票共140张，其中票价为10元的票数不少于票价为6元的票数的2倍，问这两种票各购买多少张所需的钱最少?最少需要多少钱?14．如图所示，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP= AC，点Q在CE上，CQ=AB．求证：(1)AP=AQ；(2)AP⊥AQ．15．有五个数，每两个数的和分别为2，3，4，5，6，7，8，6，5，4(未按顺序排列)．求这5个数的值．16．如图所示，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD、QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．。

江苏省第十六届初中数学竞赛试题（初三年级）及答案

1 / 4江苏省第十六届初中数学竞赛试题（初三年级）一、选择题（6×6=36分）1. 已知5252a b ==-+227a b ++的值为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）62. 若两个方程20x ax b ++=和20x bx a ++=，则（）（A ）a b = （B ）0a b += （C ）1a b += （D ）1a b +=-3. 下列给出四个命题：命题1 若||||a b =，则||||a a b b =；命题2 若2550a a -+=2(1)1a a -=-；命题3 若关于x 的不等式(3)1m x +>的解集是13x m <+，则3m <-；命题4 若方程210x mx +-=中0m >，则该方程有一正根和一负根，且负根的绝对值较大。

其中正确的命题个数是（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD=90°，AB=BC=23AC=6，AD=3，则CD 的长是( )（A ）4 （B ）42（C ）32（D ） 335.已知三角形的每条边长的数值都是2001的质因数那么这样的三角形共有（）（A ）6个（B ）7个（C ）8个（D ）9个6.12块规格完全相同的巧克力，每块至多被分为两小块(可以不相等)。

如果这12 块巧克力可以平均分给n 名同学，则n 可以为（）（A ）26 （B ）23 （C ）17 （D ）15二、填空题（5×8=40分）7.若||2a b ==，且0ab <，则a b -= .8.如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的点且DE ∥BA ，DF ∥CA 。

(1) 要使四边形AFDE 是菱形，则要增加条件：____________________________(2) 要使四边形AFDE 是矩形，则要增加条件：____________________________第4题第8题2 / 49.方程18272938x x x x x x x x +++++=+++++的解是 . 10.要使610222x ++为完全平方数，那么非负数x 可以是____________。

人教版数学八年级培优竞赛正方形专题课件

CD 于 F.
A
D
E
A
D
E
P
F
P
F
B
图⑴
C
B
C
图⑵
（1）求证：PC=PE；（2）求 CPE 的度数；（3）如图②，把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD，其他条件不变，若 ABC 65 ，则 CPE =__________.
（1）提示：证△ABP≌△CBP（SAS）；（2）由（1）知，AABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵PA ＝PE， ∴∠DAP＝∠E，.∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等）， ∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠E，即∠CPF＝∠EDF＝90°；（3）115.
B A
图1
B A
图2
10.如图，在由边长为 1 的小正方形组成的网格图中有两个格点 A、B.（注：网格线交点称为格点）
（1）请在图 1 中确定格点 C，使得△ABC 的面积为 12.如果符合题意的格点 C 不止一个，请分别用 C1 、 C2 、 C3 …表示；
（2）请用无刻度的直尺在图 2 中以 AB 为一边画一个面积为 18 的矩形 ABMN.
（第 3 题）
H
A
D
F
E
G
B
C
（第4题）
4.如图，正方形 ABCD 的边长为 1，AC，BD 是对角线，将△DCB 绕着点 D 顺时针旋转 45 得到△DGH，
HG 交 AB 于点 E，连接 DE 交 AC 于点 F，连接 FG.则下列结论：
① 四边形 AEGF 是菱形； ②△AED≌△GED； ③ DFG 112.5 ；④ BC+FG=1.5

河南九年级数学竞赛试卷【含答案】

河南九年级数学竞赛试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个正方形的边长为a，则它的对角线长为（）。

A. a/2B. a√2C. 2aD. a²2. 下列哪个数是无理数？（）A. √9B. √16C. √3D. √13. 若一个等腰三角形的底边长为8，腰长为5，则这个三角形的周长为（）。

A. 18B. 20C. 22D. 244. 下列函数中，哪个函数是增函数？（）A. y = -x²B. y = x²C. y = -2xD. y = 2x5. 若一个圆的半径为r，则它的面积是（）。

A. πrB. πr²C. 2πrD. 2πr²二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个奇数之和都是偶数。

（）2. 0是正数也是负数。

（）3. 任何一个整数都可以分解为几个质数的乘积。

（）4. 两条平行线的斜率相等。

（）5. 任何一个三角形都有外接圆。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若一个等差数列的首项为1，公差为2，则第10项为______。

2. 若一个等比数列的首项为2，公比为3，则第5项为______。

3. 若一个圆的直径为10，则它的半径为______。

4. 若一个三角形的两个内角分别为30°和60°，则第三个内角为______。

5. 若一个二次函数的顶点为（2，-3），则它的对称轴为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述勾股定理。

2. 简述等差数列的通项公式。

3. 简述等比数列的通项公式。

4. 简述二次函数的顶点公式。

5. 简述圆的面积公式。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 一个正方形的边长为6，求它的对角线长。

2. 一个等腰三角形的底边长为10，腰长为8，求这个三角形的周长。

3. 一个等差数列的首项为3，公差为2，求第10项。

4. 一个等比数列的首项为2，公比为3，求第5项。

初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题20 正方形_答案[精品]

专题 20 正方形例1 ①④⑤ 提示：在AD 上取AH ＝AE ，连EH ，则∠AHE ＝45°，∴∠HED ＝∠HDE ＝22.5°，则HE ＝HD ．又∵HE ＝HD ＞AE ，故②不正确．又AGD FGD CGD S S S ∆∆∆=> ，故③不正确．例2 提示：(1)延长DM 交CE 于N ，连DF ，NF ，先证明△ADM ≌△ENM ，再证明△CDF ≌△ENF 得FD ＝FN ，∠DFN ＝∠CFE ＝90°，故MD ⊥MF 且MD ＝MF ．(2)延长DM 到N 点，使DM ＝MN ，连FD ，FN ，先证明△ADM ≌△ENM ，得AD ＝EN ，∠MAD ＝∠MEN ，则AD ∥EN ．延长EN ，DC 交于S 点，则∠ADC ＝∠CSN ＝90°．在四边形FCSE 中，∠FCS ＋∠FEN ＝180°，又∵∠FCS ＋∠FCD ＝180°，故∠FEN ＝∠FCD ，再证△CDF ≌△ENF ．∴(1)中结论仍成立．例3 提示：延长BC 至点H ，使得CH ＝AE ，连结DE ，DF ，由Rt △DAE ≌Rt △DCH 得，DE ＝DH ，进而推证△DEF ≌△DFH ，Rt △DGE ≌Rt △DCH ．例4 设AG ＝a ，BG ＝b ，AE ＝x ，ED ＝y ，则,2. a b x y ax by +=+⎧⎨=⎩①②由①得a －x ＝y －b ，平方得a 2－2ax ＋x 2＝y 2－2by ＋b 2．将②代入得a 2－2ax ＋x 2＝y 2－4ax ＋b 2， ∴(a ＋x )2＝b 2＋y 2，得a ＋x∵b 2＋y 2＝CH 2＋CF 2＝FH 2， ∴a ＋x ＝FH ，即DH ＋BF ＝FH ．延长CB 至M ，使BM ＝DH ，连结AM ，由Rt △ABM ≌Rt △ADH ，得AM ＝AH ，∠MAB ＝∠HAD ． ∴∠MAH ＝∠MAB ＋∠BAH ＝∠BAH ＋∠HAD ＝90°．再证△AMF ≌△AHF ．∴∠MAF ＝∠HAF ．即∠HAF ＝12∠MAH ＝45°．例5 (1)如图，延长CD 至点E 1，使DE 1＝BE ，连结AE 1，则△ADE 1≌△ABE ．从而，∠DAE 1＝∠BAE ，AE 1＝AE ，于是∠EAE 1＝90°．在△AEF 和△AE 1F 中，EF ＝BE ＋DF ＝E 1D ＋DF ＝E 1F ，则△AEF ≌△AE 1F ．故∠EAF ＝∠E 1AF ＝12∠EAE 1＝45°． (2)如图，在AE 1上取一点M 1，使得AM 1＝AM ，连结M 1D ，M 1N ．则 △ABM ≌△ADM 1，△ANM ≌△ANM 1，故∠ABM ＝∠ADM 1，BM ＝DM 1，MN ＝M 1N ．∵∠NDM 1＝90°，从而M 1N 2＝M 1D 2＋ND 2，∴MN 2＝BM 2＋DN 2．FEAD CB MNM E 11A D CFHB MGEP例6 (1)BM ＋DN ＝MN 成立．如图a ，把△AND 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ，E 、B 、M 三点共线，则△DAN ≌△BAE ， ∴AE ＝AN ，∠EAM ＝∠NAM ＝45°，AM ＝AM ，得△AEM ≌△ANM ，∴ME ＝MN ． ∵ME ＝BE ＋BM ＝DN ＋BM ，∴DN ＋BM ＝MN ． (2)DN －BM ＝MN ．如图b ，对于图2，连BD 交AM 于E ，交AN 于F ，连EN ，FM 可进一步证明：①△CMN 的周长等于正方形边长的2倍； ②EF 2＝BE 2＋DF 2；③△AEN ，△AFM 都为等腰直角三角形； ④2AMN AEF S S ∆∆=．A 级1．75°2．②3．34．5．C 6．B 7．B 8．B9．提示：△ABE ≌△DCE ，△ADF ≌△CDF ，证明∠ABE ＋∠BAF ＝90°． 10．提示：延长CE 交DA 的延长线于G ，证明FG ＝FC ． 11．提示：连PC ，则PC ＝EF ．12．(1)延长DM 交EF 于N ，由△ADM ≌△ENM ，得DM ＝NM ，MF ＝12DN ，FD ＝FN ，故MD ⊥MF ，且MD ＝MF ．(2)延长DM 交CE 于N ，连结DF ，FN ，先证明△ADM ≌△ENM ，再证明△CDF ≌△ENF ，(1)中结论仍成立．B 级1.2 22.60°°提示：MA 2＋MC 2＝MD 2＋MB 23.54.D5.C6.B7.B8.提示:⑴在AD 上截取AF ＝AM ，∠DFM ＝∠MBN ，由△DFM ≌△MBN ，故DM ＝MN . ⑵证法同上，结论仍成立.⑶在AD 延长线取一点E ，使DE ＝BM ，可证明△DEM ≌△MBN ，故DM ＝MN .9.提示：构造边长为1的正方形ABCD ，P 为正方形ABCD 内一点，过P 作FH ∥AB 交AD 于F ，交BC 于H,作EG ∥AD 交AB 于E ，交CD 于G .设AE ＝a,则BE ＝1－a .设AF ＝b ，则DF ＝1－b .∴PA ＝a 2＋b 2,同理：PB ＝(1－a )2＋b 2,PC ＝(1－a )2＋(1－b )2，PD ＝a 2＋(1－b )2. 又∵PA ＋PB ＋PC ＋PD ≥2AC ＝22，∴命题得证.图b图aEEFADCBM N NM BCD A10.提示：MN ＝BM ＋DN ，延长CD 至M ',使M 'D ＝BM ，证明△ADM '≌△ABM ，△AM 'N ≌△AMN ，则∠MAN ＝∠M 'AN ＝12∠M ’AM ＝45°.11.提示：八边形八个内角分成两组，每一组四个角都相等.12.连结RN,MP ，△MPC ≌△BAC ≌△BRN ，则RB ＝MP ，又△RNM ≌△PCB ，则RM ＝BP ，从而四边形RBPM 是平行四边形，故BP ∥RM .。

河南九年级数学竞赛试卷【含答案】

河南九年级数学竞赛试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个正方形的边长为a，则它的对角线长为（）。

A. a/2B. a√2C. 2aD. a²2. 下列哪个数是无理数？（）A. √9B. √16C. √3D. √13. 若a、b为实数，且a≠0，那么下列哪个式子是正确的？（）A. a² = b²B. a² + b² = (a + b)²C. (a + b)² = a² + 2ab + b²D. a² b² = (a b)(a + b)4. 下列哪个函数是奇函数？（）A. y = x²B. y = |x|C. y = x³D. y = x² + 15. 下列哪个图形不是正多边形？（）A. 等边三角形B. 等腰梯形C. 正方形D. 正五边形二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个奇数之和都是偶数。

（）2. 任何两个无理数之积都是无理数。

（）3. 任何两个实数都可以比较大小。

（）4. 任何两个正数之和都是正数。

（）5. 任何两个负数之积都是正数。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若a、b为实数，且a≠0，那么a² + 2ab + b² = _______。

2. 若x² = 9，那么x = _______ 或 _______。

3. 两个相同的数相乘，其积是这个数的_______。

4. 若一个等边三角形的边长为a，那么它的面积是_______。

5. 若一个圆的半径为r，那么它的周长是_______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简述勾股定理的内容。

2. 请简述二次方程的解法。

3. 请简述正多边形的性质。

4. 请简述无理数的定义。

5. 请简述函数的性质。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知一个正方形的边长为a，求它的对角线长。

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角2第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手3第一讲走进追问求根公式形如a某2b某c0（a0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。

而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

求根公式某1,2bb24ac内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。

降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。

解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。

【例题求解】【例1】满足(n2n1)n21的整数n有个。

思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。

【例2】设某1、某2是二次方程某2某30的两个根，那么某134某2219的值等于（）A、一4B、8C、6D、0思路点拨：求出某1、某2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如某123某1，某223某2。

八年级数学下册《正方形》练习题及答案(人教版)

八年级数学下册《正方形》练习题及答案(人教版)A．15 B．20 C．25 D．303A．4 B．8 C．16 D．32A．1 B．2018 C．2019 D．2020 运动时，ABE的面积25A ．B ．C ．D ．二、填空题11．正方形的性质∶①边∶_______都相等且_______；②角：四个角都是_______；③对角线：两条对角线互相_______且_______，并且每一条对角线平分_______；④正方形既是_______图形，又是_______图形，正方形有_______对称轴．12．如图，请给矩形ABCD 添加一个条件，使它成为正方形，则此条件可以为________．13．如图，点P 为线段AB 上的一个动点，AB ＝6，以PA 、PB 为边向同侧作正方形APDC 、正方形PBEF ，两正方形的对角线的交点分别记为O 1、O 2，连接O 1O 2，则O 1O 2的最小值为_____．14．如图，正方形111OA B C 的边长为1，以对角线1OB 为边作第二个正方形122OB B C ，再以对角线2OB 为边作第三个正方形233OB B C …则第二个正方形122OB B C 的面积为_____________，第n 个正方形1n n n OB B C 的面积为_____________（用含n 的代数式表示）．15．如图，四边形ABCO是平行四边形，OA＝2，AB＝8，点C在x轴的正半轴上，将平行四边形ABCO绕点A 顺时针旋转得到平行四边形ADEF，AD恰好经过点O，点F恰好落在x轴的负半轴上．则点D的坐标是_____．三、解答题16．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有多少个等腰三角形？17．如图，大正方形与小正方形的面积之差是50，求阴影部分的面积．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．(1)当t 为何值时，四边形ABQP 是矩形？(2)当t 为何值时，四边形AQCP 是菱形？(3)分别求出（2）中菱形AQCP 的周长和面积．19．如图，点E ，F ，G 分别在正方形ABCD 的边AB ，BC ，CD 上，EF FG ⊥，且EF FG =．求证：BE CF =20．如图，在Rt ABC △中30cm AC =，60A ∠=︒点D 从点C 出发沿CA 方向以2cm /秒的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以1cm /秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D 、E 运动的时间是t 秒（015t <≤），过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接DE ，EF(1)求证：AE DF =；(2)四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出t 的值，如果不能，说明理由；(3)在运动过程中，四边形BEDF 能否为正方形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．参考答案1．B2．B3．C4．A5．C6．D7．D8．D9．C10．A∴DE DF∴四边形BEDF不可能为正方形．。

2024–2025学年九年级数学暑假提升精品讲义(北师大版)第06讲正方形的判定(解析版)

第06讲正方形的判定模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测 1.掌握平行四边形、矩形、菱形与正方形的概念之间的从属关系及性质之间的区别；2．能熟练应用正方形的性质、判定等知识进行有关证明和计算。

一、正方形的判定1.定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形；2.先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；3.先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.二、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：三、中点四边形：顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.考点一：正方形的判定定理理解例1．（23-24八年级下·北京·期中）下列命题中，能判断四边形是正方形的是（）A．对角线互相垂直的矩形B．对角线相等的平行四边形C．对角线互相垂直的平行四边形D．对角线互相垂直平分的菱形【答案】A【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键．【详解】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，符合题意；B、对角线相等的平行四边形不一定是正方形，例如矩形也满足条件，不符合题意；C、对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形，不符合题意；D、对角线相等的菱形是正方形，不符合题意；故选：A．【变式1-1】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错．误的是（）A．①对角相等B．②对角线互相垂直C．③有一组邻边相等D．④对角线相等【答案】A【分析】本题考查矩形，菱形，正方形的判定，关键是熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定方法．由矩形，菱形，正方形的判定，即可判断．【详解】解：A 、对角相等的平行四边形不一定是矩形，故A 符合题意；B 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，故B 不符合题意；C 、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故C 不符合题意；D 、对角线相等的菱形是正方形，正确，故D 不符合题意．故选：A ．【变式1-2】（2024八年级下·安徽·专题练习）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A ．当AB BC =时，它是菱形B ．当AC BD ⊥时，它是菱形C ．当90ABC ∠=︒时，它是矩形D ．当AC BD =时，它是正方形【答案】D 【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．【详解】解：A 、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD 是平行四边形，当AB BC =时，它是菱形，故A 选项正确，不符合题意；B 、四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥，∴四边形ABCD 是菱形，故B 选项正确，不符合题意；C 、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C 选项正确，不符合题意；D 、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC BD =时，它是矩形，不是正方形，故D 选项错误，符合题意．故选：D ．【变式1-3】（23-24八年级下·云南昆明·期中）下列命题中，真命题的个数是（）①平行四边形是轴对称图形，也是中心对称图形；②一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线相等且互相平分的四边形是菱形；⑤四个内角都相等的四边形是矩形；⑥对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】本题考查了真假命题，平行四边形的性质与判断，矩形、菱形、正方形的判定等知识，利用平行四边形的性质判断①；利用平行四边形的判定判断②、③；利用矩形、菱形的判定判断③、④；利用正方形的判定判断⑤即可．【详解】解：①平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故原命题是假命题；②一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故原命题是假命题；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，，故原命题是真命题；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原命题是假命题；⑤四个内角都相等的四边形是矩形，故原命题是真命题；⑥对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原命题是真命题．故选：B ．考点二：添一个条件使四边形是正方形例2.（2024·陕西榆林·三模）在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点Q ，请添加一个条件：使得矩形ABCD 是正方形．（只写一个）【答案】AB BC =（答案不唯一）【分析】本题考查正方形的判定，根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形添加条件．【详解】解：根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：AB BC =或BC CD =或CD DA =或DA AB =或AC BD ⊥，故答案为：AB BC =（答案不唯一）．【变式2-1】（21-22八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，不添加任何辅助线，请你添加一个条件，使四边形ABCD 是正方形（填一个即可）．【答案】90BAD ∠=︒（答案不唯一）【分析】本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．根据有一个直角的菱形为正方形添加条件．【详解】解：四边形ABCD 为菱形，∴当90BAD ∠=︒时，四边形ABCD 为正方形．故答案为：90BAD ∠=︒．【变式2-2】（22-23八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90ACB D E F ∠=︒，，，分别是AB AC BC ，，的中点，连接DE DF EF ，，，要使四边形DECF 是正方形，只需增加一个条件为．【答案】AC BC=【分析】根据中位线定理，和一组邻边相等的矩形是正方形添加条件即可．【详解】∵90ACB D E F ∠=︒，，，分别是AB AC BC ，，的中点，∴1122DE BC DE BC DF AC DF AC ==，，，，P P ∴四边形DECF 是矩形，∵四边形DECF 是正方形，∴1122DF DE BC AC ===，故AC BC =，故添加的条件是：AC BC =．【点睛】本题考查了中位线定理，和一组邻边相等的矩形是正方形，熟练掌握中位线定理和正方形的判定定理是解题的关键．使四边形EFGH 是正方形，BD 、AC 应满足的条件是．【答案】AC BD =且AC BD⊥【分析】依据条件先判定四边形EFGH 为平行四边形，再根据又AC BD =，EF EH =，得出四边形EFGH 为菱形，再根据90FEH ∠=︒，即可得到菱形EFGH 是正方形．【详解】应满足的条件是：AC BD =且AC BD ⊥，理由：E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴在ADC △中，HG 是ADC △的中位线，HG AC ∴∥，12HG AC =，同理EF AC ∥，12EF AC =，同理，12EH BD =，则HG EF ∥且HG EF =，∴四边形EFGH 为平行四边形，又AC BD = ，EF EH ∴=，∴四边形EFGH 为菱形，AC BD ^ ，EF AC ∥，EF BD ∴⊥，EH BD ∥ ，EF EH ∴⊥，90FEH ∴∠=︒，∴菱形EFGH 为正方形，故答案为：AC BD =且AC BD ⊥．【点睛】此题考查了中点四边形的性质、三角形中位线定理以及正方形的判定，注意三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．考点三：证明四边形是正方形例3.（2024·陕西咸阳·三模）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，BP 平分ABC ∠交AC 于点P ，过点P 作PM AB ⊥于点M ，PN BC ⊥于点N ，求证：四边形BMPN 为正方形．【答案】详见解析【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，正方形的判定，等腰三角形的判定，角平分线的性质等知识点，由BP 平分ABC ∠交AC 于点P ，得出ABP CBP ∠=∠，由过点P 作PM AB ⊥于点M ，PN BC ⊥于点N 和90ABC ∠=︒得出四边形BMPN 为矩形，再由MP MB =即可得出结论，熟练掌握矩形的判定和性质是解决此题的关键．【详解】∵BP 平分ABC ∠交AC 于点P ，∴ABP CBP ∠=∠，∵过点P 作PM AB ⊥于点M ，PN BC ⊥于点N ，∴90BMP BNP ∠=∠=︒，∵90ABC ∠=︒，∴四边形BMPN 为矩形，∴PM BN ∥，∴CBP MPB ABP ∠=∠=∠，∴MP MB =，∴四边形BMPN 为正方形．【变式3-1】（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，在ABC 中，AB AC =，点D 是边BC 的中点，过点A ，D 分别作BC 与AB 的平行线，相交于点E ，连接EC ，AD ，DE 与AC 交于点O ．(1)求证：四边形ADCE 是矩形；(2)当90BAC ∠=︒时，求证：四边形ADCE 是正方形．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【分析】（1）先由AB AC =，点D 是边BC 的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出BD CD =，AD BC ⊥，，再由AE BD ∥，DE AB ∥得出四边形AEDB 为平行四边形，那么AE BD CD ==，又AE DC ∥，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ADCE 是平行四边形，又90ADC ∠=︒，根据有一个角是直角的平行四边形即可证明四边形ADCE 是矩形；（2）由矩形的性质可得AC DE ⊥，又由（1）知四边形ADCE 是矩形，根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可证明四边形ADCE 是正方形．【详解】（1）证明：∵AB AC =，点D 是边BC 的中点，∴BD CD =，AD BC ⊥，∴90ADC ∠=︒，∵AE BD ∥，DE AB ∥，∴四边形AEDB 为平行四边形，∴AE BD CD ==，又∵AE DC ∥，∴四边形ADCE 是平行四边形，∵90ADC ∠=︒，∴四边形ADCE 是矩形；（2）证明：∵DE AB ∥，90BAC ∠=︒，∴90DOC BAC ∠=∠=︒，即AC DE ⊥，由（1）知四边形ADCE 是矩形，∴四边形ADCE 是正方形．【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【变式3-2】（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 是边AB 的中点，连接CD ，过点C 作AB 的平行线，并在此直线上截取CE AD =，连接BE ．(1)判断四边形CDBE 的形状并请说明理由；(2)直接写出当ABC 满足什么条件时，四边形CDBE 是正方形．【答案】(1)四边形CDBE 是菱形，理由见解析(2)当ABC 是等腰直角三角形时，四边形CDBE 是正方形【分析】（1）说明CE DB =，证明四边形CDBE 是平行四边形，再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得到12CD BD AB ==，即可得证；（2）当ABC 是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出CD AB ⊥，即可得证．【详解】（1）解：四边形CDBE 是菱形．理由：∵CE AB ∥，点D 是边AB 的中点，∴CE DB ∥，AD DB=∵CE AD =，∴CE DB =，∴四边形CDBE 是平行四边形，∵90ACB ∠=︒，点D 是边AB 的中点，∴12CD BD AB ==，∴平行四边形CDBE 是菱形；（2）当ABC 是等腰直角三角形时，四边形CDBE 是正方形．理由：∵90ACB ∠=︒，且ABC 是等腰直角三角形，∴CA CB =，∵点D 是边AB 的中点，∴CD AB ⊥，∴90CDB ∠=︒，由（1）知：四边形CDBE 是菱形，∴四边形CDBE 是正方形．【点睛】本题考查平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形三线合一性质．熟练掌握平行四边形的判定及特殊平行四边形的判定，并能进行推理论证是解题的关键．【变式3-3】（2024八年级下·浙江·专题练习）在ABC 中，AB AC =，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，过点B 作BE AD ∥交BAF ∠的平分线于点E ．(1)求证：四边形ADBE 是矩形；(2)当BAC ∠满足什么条件时，四边形ADBE 是正方形．【答案】(1)见解析(2)90BAC ∠=︒，见解析【分析】（1）由AB AC =，AD 平分BAC ∠，可得12BAD BAC AD BC ∠=∠⊥，，由AE 是ABC 的外角平分线，可得12BAE BAF ∠=∠，则90BAD BAE ∠+∠=︒，即=90DAE ∠︒，AD AE ⊥，证明AE BC ∥，进而可证四边形ADBE 是矩形；（2）由AB AC =，AD 平分BAC ∠，90BAC ∠=︒，可得45ABC C BAD CAD ∠=∠=∠=∠=︒，则AD BD =，进而结论得证．【详解】（1）证明：∵AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴12BAD BAC AD BC ∠=∠⊥，，∵AE 是ABC 的外角平分线，∴12BAE BAF ∠=∠，∵180BAC BAF ∠+∠=︒，∴90BAD BAE ∠+∠=︒，即=90DAE ∠︒，∴AD AE ⊥，∵AD BC ⊥，∴AE BC ∥，又∵BE AD ∥，=90DAE ∠︒，∴四边形ADBE 是矩形；（2）解：当90BAC ∠=︒时，四边形ADBE 是正方形．理由如下：∵AB AC =，AD 平分BAC ∠，90BAC ∠=︒，∴45ABC C BAD CAD ∠=∠=∠=∠=︒，∴AD BD =，∴矩形ADBE 为正方形．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线，矩形的判定，正方形的判定等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，角平分线，矩形的判定，正方形的判定是解题的关键．考点四：与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）例4.（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知：如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 和BC 上的点，且满足BE CF =．(1)不用圆规，请只用不带刻度的直尺作图：在边CD 和DA 上分别作出点G 和点H ，DG AH BE CF ===（保留作图痕迹，不写做法作法）；(2)判断：四边形EFGH 的形状是．【答案】(1)见解析(2)正方形【分析】（1）根据正方形是中心对称图形作图即可；（2）证明()SAS AEH BFE CGF DHG ≌≌≌，推出EF FG GH HE ===，得到四边形EFGH 是菱形，再证明90AEH BEF BFE BEF ∠+∠=∠+∠=︒，即可得到四边形EFGH 是正方形．【详解】（1）解：如图所示：DG AH BE CF ===；；（2）解：四边形EFGH 是正方形，∵正方形ABCD 中，∴AB CD ∥，OB OD =，∴EBO GDO ∠=∠，∵EOB GOD ∠=∠，∴()ASA EOB GOD ≌，∴BE DG =，同理AH CF =，∵BE CF =，∴EF FG GH HE ===，∵正方形ABCD 中，BAD ABCBCD CDA ∠=∠=∠=∠，AB BC CD DA ===，∵DG AH BE CF ===，∴AE BF CG DH ===，∴()SAS AEH BFE CGF DHG ≌≌≌，∴EF FG GH HE ===，∴四边形EFGH 是菱形，∴AEH BFE ∠=∠，∵90AEH BEF BFE BEF ∠+∠=∠+∠=︒，∴四边形EFGH 是正方形．故答案为：正方形．【点睛】本题考查了中心对称图形作图，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定．掌握正方形是中心对称图形是解题的关键．【变式4-1】（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图，点,E F 在正方形ABCD 的边,AB CD 上．(1)请用尺规作图法，在,AD BC 上分别取点,M N 使得MN EF ⊥且平分正方形ABCD 的面积．（保留作图痕迹，不写作法）(2)求证：MN EF=【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了正方形的性质，作线段的垂线，全等三角形的性质与判定．（1）平分正方形ABCD 的面积，会经过正方形的中心O ，过点O 作EF 的垂线即可；（2）过点E 作EG CD ⊥于点G ，过点N 作NH AD ⊥，设,EG MN 交于点P ，证明()AAS EFG NMH ≌，即可得证．【详解】（1）解：如图，MN 即为所作，（2）解：如图所示，过点E 作EG CD ⊥于点G ，过点N 作NH AD ⊥，设,EG MN 交于点P ，∴四边形,AEGD ABNH 是矩形，90NHM EGF ∠=∠=︒∴,EG AD AB HN ==，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，AB AD ⊥，∴EG HN =，HN EG⊥∵AD EG∥∴EPN HMN∠=∠∵EF MN ⊥，HN EG⊥∴90,90PEF EPN HNM EPN ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴PEF HNM ∠=∠即GEF HNM∠=∠在,EFG NMH 中，90NHM EGF HNM GEF EG HN ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS EFG NMH ≌∴MN EF=【变式4-2】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形ABCD 中，点E 在AD 上，点F 在BC 的延长线上，AE CF =，连接EF ．(1)求证：45F ∠=︒；(2)如图，当点E 为AD 边中点时，请仅用无刻度的直尺作矩形CDOF （保留作图痕迹）．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）连接AC ，先证明四边形AEFC 是平行四边形，可得AC EF ，即有45F ACB ∠=∠=︒；（2）设EF 、CD 交于点T ，连接AC 、BD ，二者交于点P ，连接DF ，连接PT ，并延长交PT 于点G ，连接CG ，并延长交AD 的延长线于点O ，连接FO ，问题得解．【详解】（1）证明：连接AC ，如图，在正方形ABCD 中，有AD BC ∥，45ACB ACD ∠=∠=︒，∵AE CF =，AD BC ∥，∴四边形AEFC 是平行四边形，∴AC EF ，∴45F ACB ∠=∠=︒；（2）如图，矩形CDOF 即为所求．证明：根据点E 为AD 边中点，AE CF =，可得DE CF =，进而可证明DET CFT ≌，则有DT CT =，ET FT =，即点T 为EF 、CD 的中点；根据正方形的性质可得点P 为BD 、AC 的中点；即有：PT AD ∥，PT BC ∥，结合点P 为BD 、AC 的中点，可得点G 为CO 、DF 的中点，即可证明四边形CDOF 是平行四边形，结合90DCF DCB ∠=∠=︒，则平行四边形CDOF 是矩形．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握平行四边形的判定与性质，是解答本题的关键．【变式4-3】（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知正方形,ABCD E 为BC 上任意一点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）(1)在边AD 上找点F ，使得直线EF 将正方形ABCD 的面积平均分成相等的两部分；（在图1中完成）(2)在边AB 上找点G ，使得BG BE =；（在图2中完成）(3)连接AE ，将ABE 绕点A 逆时针旋转90 ，作出旋转后的三角形．（在图3中完成）【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）利用经过对角线的交点的直线平分平行四边形的面积，与对角线的交点进行连线即可求解；（2）利用正方形关于任意一条对角线对称即可作出所作图形；==，利用全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定（3）在第（2）问所作图的基础上构造DH BE BG=，即可作出所作图形．与性质，得到DM BG【详解】（1）如图所示：（2）如图所示：（3）旋转后的三角形为ADM△，如图所示：【点睛】本题考查了用无刻度的直尺作图，解题关键是掌握正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称等知识．考点五：正方形的性质与判定的综合问题例5.（23-24八年级下·江苏无锡·期中）实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD 沿过D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处，得到折痕DE ，然后在把纸片展平；第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD 沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，再把纸片展平．问题解决：(1)如图1，求证：四边形AEA D '是正方形；(2)如图2，若2AC '=，4DC '=，，求AC M '△的面积．【答案】(1)见解析(2)AC M '△的面积是83【分析】（1）由折叠性质得AD AD ='，AE A E '=，45ADE A DE '∠=∠=︒，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定得到四边形AEA D '是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形AEA D '为正方形；（2）连接C E '，证明Rt Rt EAC C BE ''' ≌，得C EA EC B '''∠=∠，从而有MC ME '=，设AM x =，则6C M BM x '==-，在Rt MC A ' 中，利用勾股定理列方程求出x ，得到AM ，即可求出AC M '△的面积．【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ADC ∠=∠=︒，∵将矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处，得到折痕DE ，∴AD AD ='，AE A E '=，45ADE A DE '∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴AED A DE '∠=∠，∴AED ADE ∠=∠，∴AE AD =，∴AD AE A E A D ''===，∴四边形AEA D '是菱形，∵90A ∠=︒，∴四边形AEA D '是正方形；（2）解：如图，连接C E '，由（1）知，AD AE =，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC =，90EAC B '∠=∠=︒，由折叠知，B C BC ''=，B B '∠=∠，∴AE BC '=，EAC B ''∠=∠，在Rt EAC ' 和Rt C BE '' 中，EC C E AE BC '''=⎧⎨=⎩∴()Rt Rt EAC C BE HL ''' ≌，∴C EA EC B '''∠=∠，∴MC ME '=，设AM x =，∵2AC '=，4DC '=，∴2+46AE AD ===，∴6C M BM x '==-，在Rt MC A ' 中，由勾股定理，得222+AC AM MC ''=，即2222+(6)x x =-，2243612x x x +=-+，1232x =，解得83x =，即83AM =，∴AC M '△的面积1188=22233AC AM '=⨯⨯=g ．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，添加辅助线．线交于点A ，过点A 分别作直线CE ，CF 的垂线，B ，D 为垂足．(1)EAF ∠=________°（直接写出结果不写解答过程）(2)①求证：四边形ABCD 是正方形．②若3BE EC ==，求AEF △的面积．(3)如图（2），在PQR 中，45QPR ∠=︒，高7PH =，3QH =，则HR 的长度是________（直接写出结果不写解答过程）．【答案】(1)45；(2)①证明见解析；②15；(3)2.8．【分析】（1）由90C ∠=︒可得90CEF CFE ∠+∠=︒，进而得270BEF DFE ∠+∠=︒，再根据角平分线的定义可得()11352AEF AFE BEF DFE ∠+∠=∠+∠=︒，最后根据三角形内角和定理即可求解；（2）①过点A 作AG EF ⊥于G ，由角平分线的性质可得AB AD =，再证明四边形ABCD 是矩形即可求证；②证明()Rt Rt HL ABE AGE ≌得3BE GE ==，同理得DF GF =，设DF GF x ==，得3EF x =+，又由3BE EC ==可得6CD AB CG ===，得到6CF x =-，在Rt CEF △中，利用勾股定理得()()222363x x +-=+，得到2x =，即得5EF =，再根据三角形面积公式即可求解；（3）如图2所示，把PQH 沿PQ 翻折得PQD △，把PRH △沿PR 翻折得PRM △，延长DQ MR 、交于点G ，同理（2）即可求解；本题考查了正方形的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】（1）解：∵90C ∠=︒，∴90CEF CFE ∠+∠=︒，∴180********BEF DFE ∠+∠=︒+︒-︒=︒，∵AE 平分BEF ∠，AF 平分DFE ∠，∴12AEF BEF ∠=∠，12AFE DFE ∠=∠，∴()11112701352222AEF AFE BEF DFE BEF DFE ∠+∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，∴18013545EAF ∠=︒-︒=︒，故答案为：45；（2）①证明：过点A 作AG EF ⊥于G ，∵AE 平分BEF ∠，AB EB ⊥，AG EF ⊥，∴AB AG =，同理可得AD AG =，∴AB AD =，∵AB BC ⊥，AD CD ⊥，∴90B D ∠=∠=︒，∴90B C D ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形，∵AB AD =，∴四边形ABCD 是正方形；②∵AG EF ⊥，∴90AGE AGF ∠=∠=︒，在Rt ABE △和Rt AGE 中，AB AG AE AE =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ABE AGE ≌，∴3BE GE ==，同理可得DF GF =，设DF GF x ==，∴3EF x =+，∵3BE EC ==，∴336BC =+=，∴6CD AB AG ===，∴6CF x =-，在Rt CEF △中，222CE CF EF +=，∴()()222363x x +-=+，解得2x =，∴325EF =+=，∴11·561522AEF S EF AG ==⨯⨯= ；（3）解：如图2所示，把PQH 沿PQ 翻折得PQD △，把PRH △沿PR 翻折得PRM △，延长DQ MR 、交于点G ，由折叠可得7PD PH PM ===，3QD QH ==，MR HR =，DPQ HPQ ∠=∠，MPR HPR ∠=∠，90D PHQ ∠=∠=︒，90M PHR ∠=∠=︒，∴()222290DPM HPQ HPR HPQ HPR QPR ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴90D DPM M ∠=∠=∠=︒，∴四边形PMGD 是矩形，∵PD PM =，∴四边形PMGD 是正方形，∴7DG MG PD ===，∴734GQ DG QD =-=-=，设MR HR a ==，则3QR a =+，7GR a =-，在Rt GQR △中，222GQ GR QR +=，∴()()222473a a +-=+，解得 2.8a =，∴ 2.8HR =，故答案为：2.8．上的一个动点，延长CD 到点E ，使DE BP =，连接AE AP ，，以AE AP ，为边作平行四边形APFE ，直线PF 和直线CD 相交于点M ．(1)如图1，点P 在边BC 上，判断四边形APFE 的形状，并说明理由；(2)在（1）的条件下，若点P 为BC 的中点，求点F 到边CD 的距离；(3)若2CP =，求CM 的长．【答案】(1)正方形，理由见解析(2)2(3)1或3【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定：（1）先证明()SAS ABP ADE ≌得到AP AE BAP DAE =∠=∠，，进而证明90PAE ∠=︒，即可证明四边形APFE 是正方形；（2）如图所示，作FH CD ⊥，垂足为H ，证明()AAS ADE EHF ≌，得到ED FH BP ==，求出122PB BC ==，则2FH =，即点F 到CD 距离为2；（3）分点P 在BC 上和点P 在BC 得延长线上两种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：四边形APFE 是正方形，理由如下：解：在正方形ABCD 中，90AB AD B ADC ∠∠===︒，，∴90B ADE BAD ∠=∠=∠=︒，∵DE BP =，∴()SAS ABP ADE ≌，∴AP AE BAP DAE =∠=∠，，∵90BAD BAP PAD ∠=∠+∠=︒，∴90PAE DAE PAD ∠=∠+∠=︒，又∵四边形APFE 是平行四边形，∴四边形APFE 是正方形；（2）解：如图所示，作FH CD ⊥，垂足为H ，∵四边形APFE 是正方形，∴90AE EF AEF =∠=︒，，∵9090AED MEF EFH MEF ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴AED EFH ∠=∠，∵90ADE EHF ∠=∠=︒，∴()AAS ADE EHF ≌，∴ED FH BP ==，又DE BP =，∴FH BP =，∵点P 是BC 中点，∴122PB BC ==，∴2FH =，∴点F 到CD 距离为2；（3）解：①点P 在线段BC 上，∵2CP =，∴2BP =，∴22220AP AB BP =+=，由（2）可得2FH DE ==，ADE EHF ≌，∴4EH AD ==，设MH x =，则4EM x =+，由勾股定理得22222MF HM HF ME EF =+=-，∴()22222420x x +=+-，解得1x =，∴24411CM CD DE EH HM =+--=+--=；②点P 在BC 延长线上，如图所示，作FH DE ⊥，垂足为H ，同理可得22252AP AB BP =+=，同理可证明ADE EHF ≌，∴4264HF DE BP EH AD ===+===，，设MH m =，则4EM m =+，由勾股定理得22222MF HM HF ME EF =+=-，∴()2226452m m +=+-，解得9m =，∴3CM HM CD DE =--=；综上所述，CM 得长为1或3．【变式5-3】（23-24八年级下·四川广安·期中）问题情境：如图①，点E 为正方形ABCD 内一点，90，∠=︒⊥AEB BF BE ，且BF BE =，延长AE 交CF 于点G ，连接DE ．猜想证明：（1）如图①，试判断四边形BEGF 的形状，并说明理由．（2）如图②，若DA DE =，请猜想线段CG 与GF 的数量关系，并加以证明．解决问题：（3）如图①，若159，==AB GF ，请直接写出DE 的长．【答案】（1）四边形BEGF 是正方形．理由见解析；（2）CG GF =，证明见解析；（3）317【分析】本题考查了正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键．（1）证明90∠=∠=∠=︒BEG EBF GFB 即可；（2）过点D 作DH AE ⊥于点H ，证明AEB DHA △≌△，结合ABE CBF △≌△，得到12GF CF =，得证；（3）过点D 作DM AE ⊥，垂足为M ，证明DAM ABE ≌，结合ABE CBF △≌△，得到===+DM AE CF FG CG ，设CG x =，则9===+DM AE CF x ，根据勾股定理，求得x 的值，再利用DE 222=+DM ME 计算即可．【详解】解：（1）四边形BEGF 是正方形．理由是：∵四边形ABCD 是正方形，∴90,ABC AB BC ∠=︒=，∴90BEG ∠=︒．∵BF BE ⊥，∴90EBF ∠=︒．∴ABE CBF ∠=∠，∵BE BF =，∴(SAS)ABE CBF △≌△，∴AEB CFB ∠=∠，90∠=∠=∠=︒BEG EBF GFB ，∴四边形BE FE '是矩形，又∵BE BF =，∴四边形BEGF 是正方形．（2）CG GF =．证明：如图，过点D 作DH AE ⊥于点H ，则90,1390∠=︒∠+∠=︒DHA ．DA DE = ，12AH AE ∴=，∵四边形ABCD 是正方形，,90∴=∠=︒AB DA DAB ，2190∴∠+∠=︒，23∴∠=∠，90AEB DHA ∠=∠=︒ ，AEB DHA ∴△≌△，AH BE ∴=，由（1）知四边形BEGF 是正方形，BE GF ∴=，∴=AH GF ，ABE CBF △≌△，AE CF ∴=，12∴=GF CF ，CG GF ∴=．（3）过点D 作DM AE ⊥，垂足为M ，如图：∵四边形ABCD 是正方形，90,∴∠=︒=DAB DA AB ，90BAE DAM ∴∠+∠=︒，90ADM DAM ∠+∠=︒ ，BAE ADM ∴∠=∠，90DMA AEB ∠=∠=︒ ．()ADM BAE AAS ∴ ≌，,AM BE DM AE ∴==，根据（2），得到CBF ABE ≌，∴===+DM AE CF FG CF ，设CG x =，∵四边形BFGE 是正方形，9GF =，9∴===+DM AE CF x ，222AB AE BE =+ ，222(9)915∴++=x ，解得3,21==-x x （舍去），93912,1293∴===+=+==-=-=DM CF AE x ME AE AM ，22222123∴=+=+DE DM ME ，解得317DE =．考点六：中点四边形例6.（23-24八年级下·广西玉林·期中）已知：如图1，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG GH HE 、、，得到四边形EFGH （即四边形ABCD 的中点四边形）．(1)四边形EFGH 的形状是__________，证明你的结论．(2)如图2，请连接四边形ABCD 的对角线AC 与BD ，当AC 与BD 满足__________条件时，四边形EFGH 是正方形，证明你的结论．【答案】(1)平行四边形，证明见解析(2)互相垂直且相等（AC BD ⊥且AC BD =），证明见解析【分析】本题考查了中位线，平行四边形的判定，正方形的判定．熟练掌握中位线，平行四边形的判定，正方形的判定是解题的关键．（1）如图1，连接BD ，由点E 、H 分别是AB AD 、中点，可得EH BD ∥，12EH BD =，同理，FG BD ∥，12FG BD =，则EH FG ∥，EH FG =，进而可证四边形EFGH 是平行四边形；（2）如图2，连结AC BD 、，同理（1）可知，四边形EFGH 是平行四边形，由AC BD ⊥，可得EH HG ⊥，证明平行四边形EFGH 是矩形，由AC BD =，可得EH HG =，进而可证四边形EFGH 是正方形．【详解】（1）证明：四边形EFGH 是平行四边形，证明如下；如图1，连接BD ，点E 、H 分别是AB AD 、中点，∴EH BD ∥，12EH BD =，同理，FG BD ∥，12FG BD =，∴EH FG ∥，EH FG =，∴四边形EFGH 是平行四边形；（2）解：互相垂直且相等（AC BD ⊥且AC BD =），证明如下；如图2，连结AC BD 、，同理（1）可知，四边形EFGH 是平行四边形，∵AC BD ⊥，∴EH HG ⊥，∴平行四边形EFGH 是矩形，∵AC BD =，∴EH HG =，∴四边形EFGH 是正方形．垂足为O ，顺次连接四边形ABCD 各边的中点，得到四边形1111D C B A ；再顺次连接四边形1111D C B A 各边的中点，得到四边形2222A B C D ，…如此下去得到四边形n n n n A B C D ．(1)判断四边形1111D C B A 的形状，并说明理由．(2)求四边形1111D C B A 的面积．(3)直接写出四边形n n n n A B C D 的面积（用含n 的式子表示）．【答案】(1)四边形1111D C B A 是矩形，理由见解析(2)12(3)1242n⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据中位线的性质可得11A D BD ∥，1112D A D B =，11B C BD ∥，1112B C BD =，11C D AC ∥，1112C D AC =，11A B AC ∥，1112A B AC =；即有1111A D B C ∥，1111A B C D ∥，证得四边形1111D C B A 是平行四边形，结合AC BD ⊥，问题得解；（2）由（1）得四边形1111D C B A 是矩形，1112A B AC =，11B C 是BCD △的中位线，可得1112B C BD =，从而得到113A B =，114B C =，再由矩形的面积公式计算，即可．（3）由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，即可求解．【详解】（1）解：四边形1111D C B A 是矩形，理由如下：在四边形ABCD 中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形1111D C B A ，∴1A 、1D 分别为AB AD 、的中点，∴11A D 是ABD △的中位线，∴11A D BD ∥，1112D A D B =，同理可得：11B C BD ∥，1112B C BD =，11C D AC ∥，1112C D AC =，11A B AC ∥，1112A B AC =；∴1111A D B C ∥，1111A B C D ∥，∴四边形1111D C B A 是平行四边形，∵AC BD ⊥，∴1111A B A D ⊥，∴平行多边形1111D C B A 是矩形，（2）解：由（1）得四边形1111D C B A 是矩形，1112A B AC =，11B C 是BCD △的中位线，∴1112B C BD =．又∵6AC =，8BD =，∴113A B =，114B C =，。

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