线性系统的稳态误差计算(2)
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稳态误差的计算_图文(精)
ess 与输入和开环传递函数有关。 显然， 假设开环传递函数 Gk (s) 的形式如下：
K Gk ( s ) s
2 ( s 1 ) ( s i k 2 k k s 1) 2 ( T s 1 ) ( T s j l 2 lTl s 1) j 1 l 1 i 1 n1 k 1 n2 m1 m2
R(s)
E ' (s) E (s) H (s)
E’(s) 1/H(s)
N(s)
C(s)
e(t)
E(s)
+
B(s)
式中： r(t)为给定输入； 图 典型反馈系统结构图 b(t)为系统主反馈信号。 H （ s ）是测量装置的传递函数（通常我们认为是理想的）， 故此时误差就是给定输入与测量装置的输出量之差。 误差的定义
s 0
当 0时，K v lim sKG0 ( s ) 0 ,
s 0
当 1时，K v lim KG0 ( s ) K , s 0 K 当 2时，K v lim G0 ( s) , s 0 s 结论：
0型系统稳态时不能跟踪斜坡输入
ess 1 ess K ess 0
单位阶跃函数输入时的稳态误差
1 当输入为 R ( s ) 时（单位阶跃函数） s sR(s) 1 1 1 ess lim s 0 1 G ( s) 1 lim Gk (s) 1 lim K G (s) 1 K p k s 0 0 s 0 s 式中：K p lim Gk ( s ) 称为位置误差系数； s 0 1 当 0时，K p lim KG0 ( s ) K , ess s 0 1 K K 当 1时，K p lim G0 ( s ) , ess 0 s 0 s K p 的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。 K p 越大，ess 越 小。所以说 K p 反映了系统跟踪阶跃输入的能力。
线性系统的稳态误差计算
函数为
G( s) K S ( S 2 bS C )
p 1 p 2 b C 4 2 p 2 C 2 p K 0.5C K 2 b 3
因为 ess 按定义
1 2 Kr
s 0
Kv
K 0.5, K 0.5C C
令r (t ) Rt 2 / 2，R 常量，R(s) R / s3。
sR(s) sR / s3 R R R ess lim lim lim 2 2 lim 2 s 0 1 G( s) H ( s ) s 0 1 G( s ) H ( s ) s 0 s s G ( s ) H (s ) s 0 s G (s ) H (s ) Ka
系统稳态误差计算通式则可表示为
ess
1 lim s R ( s )
s 0
sR( s) ess lim sE ( s) lim s 0 s 0 1 G ( s ) H ( s )
K lim s
s 0
系统型别 e ss 与 K 开环增益有关 R ( s ) 输入信号
def
E ( s) 1 R(s) 1 H ( s)G( s)
E ( s ) e ( s ) R( s ) R( s ) 1 H ( s)G( s)
e(t ) L1[e (s)R(s)] ets (t ) ess (t )
瞬态分量
稳态分量
E ( s ) e ( s ) R( s )
要求对于阶跃作用下不存 在稳态误差，则必须选用 Ⅰ型及Ⅰ型以上的系统
4.斜坡输入作用下的稳态误差和静态速度误差系数
r (t ) Rt，R 常量，R(s) R / s 2。
G( s) K S ( S 2 bS C )
p 1 p 2 b C 4 2 p 2 C 2 p K 0.5C K 2 b 3
因为 ess 按定义
1 2 Kr
s 0
Kv
K 0.5, K 0.5C C
令r (t ) Rt 2 / 2，R 常量，R(s) R / s3。
sR(s) sR / s3 R R R ess lim lim lim 2 2 lim 2 s 0 1 G( s) H ( s ) s 0 1 G( s ) H ( s ) s 0 s s G ( s ) H (s ) s 0 s G (s ) H (s ) Ka
系统稳态误差计算通式则可表示为
ess
1 lim s R ( s )
s 0
sR( s) ess lim sE ( s) lim s 0 s 0 1 G ( s ) H ( s )
K lim s
s 0
系统型别 e ss 与 K 开环增益有关 R ( s ) 输入信号
def
E ( s) 1 R(s) 1 H ( s)G( s)
E ( s ) e ( s ) R( s ) R( s ) 1 H ( s)G( s)
e(t ) L1[e (s)R(s)] ets (t ) ess (t )
瞬态分量
稳态分量
E ( s ) e ( s ) R( s )
要求对于阶跃作用下不存 在稳态误差，则必须选用 Ⅰ型及Ⅰ型以上的系统
4.斜坡输入作用下的稳态误差和静态速度误差系数
r (t ) Rt，R 常量，R(s) R / s 2。
3-6线性系统的稳态误差计算
i=1 n 1 i k =1 n2 k j =1 j l =1 l
m 1
m2
2
+ 2ζ kτk s +1) + 2ζlTs +1) l
∏(T s +1)∏(Ts
=
2
K ⋅ G0 (s) sν
sR(s) 1 essr = lim = = s→0 1+ G (s) 1+ limGk (s) k
s→0
1 1 = K 1+ Kp 1+ lim ν ⋅ G0 (s) s→0 s
三、扰动作用下的稳态误差(3) 扰动作用下的稳态误差(3) [例]系统结构图如图所示。当 r(t) = n(t) = 1(t) 系统结构图如图所示。 时，求系统的稳态误差 ess；若要求稳态误差 为零，如何改变系统结构。 为零，如何改变系统结构。 解：该系统对给定输入而言属于Ⅰ型系统。 该系统对给定输入而言属于Ⅰ型系统。 所以当给定输入为单位阶跃函数时的稳态误差 essr = 0
3、单位抛物线输入时的稳态误差
R(s) =
1 s3
sR(s) 1 essr = lim = = 2 s→0 1+ G (s) lims ⋅ Gk (s) k
s→0
1 1 = K Ka lim ν −2 ⋅ G0 (s) s→0 s
∞ 1 = K 0
Ka
根据
ν =0,1 ν =2 ν ≥3
m2
=
K ⋅ G0 (s) ν s
K－开环增益
系统型别（即积分环节的个数） ν − 系统型别（即积分环节的个数）
当ν =0，无积分环节，称为0型系统 无积分环节，称为0
当 = ，有一个积分环节，称为Ⅰ型系统 ν 1 有一个积分环节，称为Ⅰ
m 1
m2
2
+ 2ζ kτk s +1) + 2ζlTs +1) l
∏(T s +1)∏(Ts
=
2
K ⋅ G0 (s) sν
sR(s) 1 essr = lim = = s→0 1+ G (s) 1+ limGk (s) k
s→0
1 1 = K 1+ Kp 1+ lim ν ⋅ G0 (s) s→0 s
三、扰动作用下的稳态误差(3) 扰动作用下的稳态误差(3) [例]系统结构图如图所示。当 r(t) = n(t) = 1(t) 系统结构图如图所示。 时，求系统的稳态误差 ess；若要求稳态误差 为零，如何改变系统结构。 为零，如何改变系统结构。 解：该系统对给定输入而言属于Ⅰ型系统。 该系统对给定输入而言属于Ⅰ型系统。 所以当给定输入为单位阶跃函数时的稳态误差 essr = 0
3、单位抛物线输入时的稳态误差
R(s) =
1 s3
sR(s) 1 essr = lim = = 2 s→0 1+ G (s) lims ⋅ Gk (s) k
s→0
1 1 = K Ka lim ν −2 ⋅ G0 (s) s→0 s
∞ 1 = K 0
Ka
根据
ν =0,1 ν =2 ν ≥3
m2
=
K ⋅ G0 (s) ν s
K－开环增益
系统型别（即积分环节的个数） ν − 系统型别（即积分环节的个数）
当ν =0，无积分环节，称为0型系统 无积分环节，称为0
当 = ，有一个积分环节，称为Ⅰ型系统 ν 1 有一个积分环节，称为Ⅰ
《自动控制原理》第三第讲
误差系数 Kp Kv Ka
单位阶跃 输入
r(t) = u(t)
单位速度 输入
r(t) = t
单位加速 度输入
r(t) = 1 t 2 2
0
K0 0
1 1+K
I
∞ K0
0
II
∞ ∞K
0
∞
∞
1
∞
K
1
0
K
1. 稳态误差与输入信号有关；与开环增益有关；与积分环节的个 数有关。
2. 减小或消除稳态误差的方法： a、增加开环放大系数K； b、提高系统的型号数;
R(s)
E(s) -
G1 ( s)
+ G2 (s) C(s)
H (s) (b)
通常，给定输入作用产生的误差为系统的给定误差
(E=R-HC)，扰动作用产生的误差为扰动误差。认为扰动输入时 系统的理想输出为零，故从输出端的误差信号为：
En
= C理想
− C实际
=
−C实际
=
−Cn
= − G2 1+ G1G2 H
=
lim sv+1R(s)
s→0
lim sv + K
s→0
由上式可见, ess 与系统的型号v﹑开环增益K及输入信号
的形式及大小有关，由于工程实际上的输入信号多为阶跃信号
﹑斜坡信号(即等速度信号) ﹑抛物线信号(即等加速度信号) 或者为这三种信号的组合, 所以下面只讨论这三种信号作用 下的稳态误差问题.
Ka
m
G(s)H (s)
=
K sv
∏ (τ is +1)
i =1
n−v
∏ (Tjs +1)
第六章1(2)线性系统的稳态误差
（2）计算误差方法
（3）适用条件
1）系统稳定 2）按输入端定义误差 3）r(t)作用,且r(t)无其他前馈通道
4.6、线性系统的稳态误差
例4 系统结构图如图所示，当r(t)=t 时，要求ess<0.1，求K的范围。
解 . D(s) s(s 1)(2s 1) K(0.6s 1)
2s3 3s2 (1 0.6K)s K 0
例3 r(t) Asinwt
cs(t)
A sin(wt-arctanwT) 1 w 2T2
cs (t)
1
r(t) 1 w2T2
幅频特性
G( jw) 1 w 2T 2 1
稳态输出幅值 输入量的幅值
幅频特性
cs (t) r(t) arctan wT
G( jw) arctanwT 相频特性
G(s) Uc (s)
1
T CR
1
Ur (s) CRs 1 Ts 1
Uc
(s)
1 Ts
1
s2
Aw w
2
uc (t )
AwT 1 w 2T2
t
eT
A sin(w t-arctanw T) 1 w 2T2
频率响应：线性控制系统在输入正弦信号时， 其稳态输出随频率变化的规律。
6、2 频率特性的概念及几何表示
lim s
s0
A s2
s1s2
K2K3 s1(Ts 1) K1K2K3Ts K1K2K3
A K1
在主反馈口到干扰作用点之间的前向通道中提高增益、设置积分环节， 可以减小或消除干扰作用下产生的稳态误差。
§6. 线性系统的频域分析
§6.2 频率特性的概念及几何表示 §6.3 幅相频率特性曲线（Nyquist图） §6.4 对数频率特性曲线（Bode图） §6.5 频域稳定判据 §6.6 稳定裕度 §6.7 利用开环对数频率特性分析系统的性能 §6.8 利用闭环频率特性分析系统的性能
3.6 线性系统的稳态误差计算
3-6 线性系统稳态误差计算
稳态误差是系统的稳态性能指标，是系 统控制精度的度量。 计算系统的稳态误差以系统稳定为前提 条件。
一、误差与稳态误差 1、从输入端定义误差： 给定量与主反馈量之差
E ( s) R( s) H ( s)C ( s)
R(s)
E(s)
(-) B(s)
G(s) H(s)
Ⅰ型系统，在R(s)作用下稳态误 差为0
n0 G2 ( s) K2 N (s) 1 G1 ( s)G2 ( s) s(T2 s 1) K1K 2 s
K 2 n0 n0 lim sEn (s ) lim s 0 s 0 s (T s 1) K K K1 2 1 2
C(s)
可测量 误差的理论含义不明显
R(s) Cr (s) E’(s) 1/H(s) (-) E(s) C(s) G(s)
2、从输出端定义误差： 输出量希望值与实际值之差
R( s ) ( s) E C ( s) H ( s)
H(s)
不可测量 较接近e(t )的含义
E( s ) H ( s ) E( s )
例题 设单位负反馈系统开环传递函数为G(s)=1/Ts , 输入信号分别 为 1）r(t)=t ，2) r(t)=t2/2，3) r(t)=sinωt，求系统稳态误差。 解：误差传递函数为 e ( s)
E ( s) 1 Ts , 系统稳定 R( s) 1 G( s) H ( s) 1 Ts
5 s(5s 1)
0.8s
C(s)
解：开环传递函数为 闭环传递函数为： ( s)
5 1 s (5 s 1) G (s) 5s s ( s 1) 1 0 .8 s (5 s 1)
稳态误差是系统的稳态性能指标，是系 统控制精度的度量。 计算系统的稳态误差以系统稳定为前提 条件。
一、误差与稳态误差 1、从输入端定义误差： 给定量与主反馈量之差
E ( s) R( s) H ( s)C ( s)
R(s)
E(s)
(-) B(s)
G(s) H(s)
Ⅰ型系统，在R(s)作用下稳态误 差为0
n0 G2 ( s) K2 N (s) 1 G1 ( s)G2 ( s) s(T2 s 1) K1K 2 s
K 2 n0 n0 lim sEn (s ) lim s 0 s 0 s (T s 1) K K K1 2 1 2
C(s)
可测量 误差的理论含义不明显
R(s) Cr (s) E’(s) 1/H(s) (-) E(s) C(s) G(s)
2、从输出端定义误差： 输出量希望值与实际值之差
R( s ) ( s) E C ( s) H ( s)
H(s)
不可测量 较接近e(t )的含义
E( s ) H ( s ) E( s )
例题 设单位负反馈系统开环传递函数为G(s)=1/Ts , 输入信号分别 为 1）r(t)=t ，2) r(t)=t2/2，3) r(t)=sinωt，求系统稳态误差。 解：误差传递函数为 e ( s)
E ( s) 1 Ts , 系统稳定 R( s) 1 G( s) H ( s) 1 Ts
5 s(5s 1)
0.8s
C(s)
解：开环传递函数为 闭环传递函数为： ( s)
5 1 s (5 s 1) G (s) 5s s ( s 1) 1 0 .8 s (5 s 1)
《自动控制原理》第三章 35 稳态误差计算
两种定义的联系： E ' ( s ) E ( s ) H (s)
H ( s ) 1时， E ( s ) E ' ( s )
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
3
1. 误差与稳态误差的定义…
e(t ) L1[ E (s)] L1[e (s) R (s)] L1[ R (s) ] 1 G(s)H (s)
3-6 线性系统的稳态误差计算 （Steady-state error）
稳定性 系统性能 动态性能
稳态性能 稳态误差
稳态性能
原理性误差 结构性误差 (附加稳态误差）
系统结构 输入类型、形式 摩擦，间隙 死区等非线性
能源与动力学院
第三章 线性系统的时域分析法
1
3-6 线性系统稳态误差计算
本节内容：
N(s)
C(s)
G2 (s)
H (s)
输出端误差定义
E'n
(s)
Cn(s)
G2(s)
1G1(s)G2(s)H(s)
N(s)
输入端误差定义
En(s)
Cn(s)H(s)
G2(s)H(S) 1G1(s)G2(s)H(s)
ets (t ) ess (t ) 稳态误差
ess ( )
Lim
s0
sE (s)
Lim
s0
1
sR (s) G(s)H
(s)
ess():终值误差 条件s： E(s)在右半平面及析 虚（ 轴原 上点 解除外）
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
4
1. 误差与稳态误差的定义…
例1
R(s) E(S)
误差与稳态误差的定义 系统的类型 输入作用下稳态误差计算 扰动作用下稳态误差 减小或消除稳态误差的措施
自动控制原理3.6 线性系统的稳态误差
§3 — 6 稳态误差的分析计算
系统稳态误差是系统的稳态性能指标，是系统控 制精度的一种度量，它是控制系统设计中的一项重要 技术指标。 一、误差与稳态误差：
1、误差：被控量的希望值 c0(t )和实际值 c(t )之差：
(t) c0(t) c(t)
2、稳态误差：当 t 时系统误差的极限值：
二、给定输入下的稳态误差与静态误差系数：
1、阶跃
输
入下的esr与静
态位置误
差系数K
：
p
r(t) A 1(t)，R(s) A
s
esr
令K
p
lim sE(s)
s0
lim
s0
Gk
(s
lim
s0
)
1
s A
A
Gk s
esr
1
lim
As0
Gk
1 Kp
(
s)
0型：K p
ess
lim (t)
t
§3---6 稳态误差的分析计算
稳态误差的分析计算（续）
▲稳态误差是指在稳定条件下，加入输入信号后经 过足够长的时间，其瞬时响应已衰减到微不足道时， 稳态响应的期望值与实际值之差。因此，只有稳定 的系统讨论稳态误差才有意义。
●单位反馈系统的r(t)即为要求值：r(t) c0(t)
lim
s0
K
G0(s)
K
esr
A 1 K
1型：K p
lim
s0
K s
G0(s)
esr 0
1型以上：同1型一样ess 0
系统稳态误差是系统的稳态性能指标，是系统控 制精度的一种度量，它是控制系统设计中的一项重要 技术指标。 一、误差与稳态误差：
1、误差：被控量的希望值 c0(t )和实际值 c(t )之差：
(t) c0(t) c(t)
2、稳态误差：当 t 时系统误差的极限值：
二、给定输入下的稳态误差与静态误差系数：
1、阶跃
输
入下的esr与静
态位置误
差系数K
：
p
r(t) A 1(t)，R(s) A
s
esr
令K
p
lim sE(s)
s0
lim
s0
Gk
(s
lim
s0
)
1
s A
A
Gk s
esr
1
lim
As0
Gk
1 Kp
(
s)
0型：K p
ess
lim (t)
t
§3---6 稳态误差的分析计算
稳态误差的分析计算（续）
▲稳态误差是指在稳定条件下，加入输入信号后经 过足够长的时间，其瞬时响应已衰减到微不足道时， 稳态响应的期望值与实际值之差。因此，只有稳定 的系统讨论稳态误差才有意义。
●单位反馈系统的r(t)即为要求值：r(t) c0(t)
lim
s0
K
G0(s)
K
esr
A 1 K
1型：K p
lim
s0
K s
G0(s)
esr 0
1型以上：同1型一样ess 0
线性系统的稳态误差分析
（阶跃输入） r(t)=1(t)
（斜坡输入） r(t)=t
（加速度输入） r(t)=t2/2
0型系统 1
1 KP
Ⅰ型系统
0 1 Kv
Ⅱ型系统
0
0 1 Ka
• 误差系数Kp、Kv和Ka描述了系统减少或消除稳态误差的能力， 系数值愈大，则给定稳态误差终值愈小。一般来说，在保持瞬态 响应在一个允许的范围内时，希望增加误差系数，如果在静态速 度误差系数和加速度误差系数之间有任何矛盾时，主要考虑前者。
线性系统的稳态误差分析 1误差及稳态误差的定义
C0 (s) (s)
N (s)
R(s) E(s) G1(s) + B(s) -
-
G2 (s) C(s)
系统误差：输出量的希望值 c0 (t)和实际值 c(t) 之差。即
(t) c0 (t) c(t)
系统稳态误差：当t→∞时的系统误差，用 ss 表示。即
ss
lim (t)
t
系统偏差：系统的输入 r(t) 和主反馈信号 b(t) 之差。即
e(t) r(t) b(t)
系统稳态偏差：当t→∞时的系统偏差，用 ess表示。即
ess
lim
t
e(t)
lim
s0
sE(s)
线性系统的时域分析法>>线性系统的稳态误差计算
偏差和误差之间存在一定的关系：
E(s) R(s) B(s) H (s)C0 (s) H (s)C(s) H (s) (s)
ss s0 sG(s)H (s) K lim sG(s)H (s)
v
s0
1 ess Kv
3、输入为单位加速度函数R(s) 1 时
s3
其稳态误差为：
《自动控制原理》第三章-3-5-稳态误差计算
伺服电动机
R(s)
E(s)
1
C(s)
-
s(s 1)
K 1, 1
r(t) 1(t),k p , ess 0
r(t) t, kv 1, ess 1
r(t)
1 2
t2, ka
0, ess
位置随动系统
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
14
4.扰动作用下稳态误差
R(s)
-
E(s)
R(s) E(s) 20
s4
N (s)
+
2
C(s)
s(s 2)
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
28
3-20
R
-
K1
U
K2 S(T1S 1)
C
G(s)
K1K 2
B
s(T1s 1)(T2s 1)
1 T2S 1
(s)
C(s) R(s)
T1T2 s 3
K1K2 (T2s 1) (T1 T2 )s2 s
1
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
7
3.输入作用下稳态误差计算
（1）阶跃作用下的稳态误差
r(t) R 1(t), R(s) R s
ess
Lim sR(s) s0 1 G(s)H (s)
Lim s1R(s)
s0
K Lim s
s0
1
R LimG(s)H (s)
Lim s R
s0
K Lim s
27
参考答案: Kp= ,kv=5,ka=0,essr=0.4，essn=-0.2
四、控制系统如图, r(t) 1 2t, n(t) 1(t), 试计算
第10讲线性系统的稳态误差计算
(5-2)
26
C(s)i n1s bipi sajsaj
a ,a 和 b i(i 1 ,2 , n ) 待定系数
(5-2)
n
c(t)a ejt aejt biepit
t趋向于零
i1
a G ( s ) s 2 A 2 ( s j) s j G ( j) ( s j A ) s ( j) ( s j) s j G ( j) 2 A j
17
小结
1.时域分析是通过直接求解系统在典型输入信号作 用下的时域响应来分析系统的性能的。通常是以系 统阶跃响应的超调量、调节时间和稳态误差等性能 指标来评价系统性能的优劣。
2.二阶系统在欠阻尼时的响应虽有振荡，但只要阻尼
取值适当(如 0.7左右)，则系统既有响应的快速
性，又有过渡过程的平稳性，因而在控制系统中常
E (s)R (s)C (s) (3-82)
Gr(s)
+ E(s)
-
？
G(s)
C(s)
C(s)[1Gr(s)G ](s)R(s)(3-83) 1Gs)
C(s)R(s) (3-85)
Gr
(s)
1 G(s)
(3-84)
输入信号的误差全补偿条件
系统的输出量在任何时刻都可以完全无误差
地复现输入量，具有理想的时间响应特性
K 2 的大小和是否有积分环节，它们均对减小或消除扰动引起的 稳态误差没有什么作用。
11
II型系统 2
三种可能的组合
12, 20 11, 21
10, 22
结论
。
第一种组合的系统具有II型系统的功能，即对于阶跃和斜坡 扰动引起的稳态误差均为零
第二。种组合的系统具有I型系统的功能，即由阶跃扰动引 起的稳态误差为零，斜坡产生的稳态误差为 N 0
线性系统的稳态误差
控制系统的稳态误差是系统控制精度的一种度量，是系统的稳态性能指标。由于系统自 身的结构参数、外作用的类型（控制量或扰动量）以及外作用的形式（阶跃、斜坡或加速度 等）不同，控制系统的稳态输出不可能在任意情况下都与输入量（希望的输出）一致，因而 会产生原理性稳态误差。此外，系统中存在的不灵敏区、间隙、零漂等非线性因素也会造成 附加的稳态误差。控制系统设计的任务之一，就是尽量减小系统的稳态误差。
=
1+
1
K sv
G0
(s)
⑴ 位置输入时， r(t) = A×1(t)
essp
=
lim
s→0
s
Φ
e
(s)
R(s)
= lim s s→0
A1 s 1+ G(s)H (s)
=
A
1+ limG(s)H (s)
s→0
定义静态位置误差系数
Kp
=
lim G(s)H (s)
s→0
=
lim
s→0
K sv
（3-31）
1 s2
=
1 K
图 3-31 控制系统结构图
干扰 n(t) 作用下的误差传递函数为
− Kn
Φ en (s)
=
E(s) N (s)
=
1+
Tn s + 1 K
=
(Tn s
− K n s(Ts + 1)
+ 1)[s(Ts + 1) +
K]
s(Ts + 1)
干扰 n(t) 作用下的稳态误差为
essn
=
lim
=
lim
s→0
K s v−2
=
1+
1
K sv
G0
(s)
⑴ 位置输入时， r(t) = A×1(t)
essp
=
lim
s→0
s
Φ
e
(s)
R(s)
= lim s s→0
A1 s 1+ G(s)H (s)
=
A
1+ limG(s)H (s)
s→0
定义静态位置误差系数
Kp
=
lim G(s)H (s)
s→0
=
lim
s→0
K sv
（3-31）
1 s2
=
1 K
图 3-31 控制系统结构图
干扰 n(t) 作用下的误差传递函数为
− Kn
Φ en (s)
=
E(s) N (s)
=
1+
Tn s + 1 K
=
(Tn s
− K n s(Ts + 1)
+ 1)[s(Ts + 1) +
K]
s(Ts + 1)
干扰 n(t) 作用下的稳态误差为
essn
=
lim
=
lim
s→0
K s v−2
第07讲 线性定常系统的稳态误差
第07讲 线性定常系统的稳态
2020/7/28
误差
16
3）静态速度误差系数Kv 当系统的输入为单位斜坡信号时r(t)=t·1(t)，R(s)
1 s2
ess
lim
1
1
s0 1 G(s)H (s) s 2
1 lim sG(s)H (s)
s0
1 K
其差中系K数。lsim0 sG(s)H (s) ，定义为系统静态速度误
误差
9
由拉普拉斯变换的终值定理计算稳态误差，则
ess 代入E(s)表达式得
lim
t
e(t
)
lim
s0
sE
(s)
ess
lim
s0
s
1
1 G(s)H(s)
R(s)
从上式得出两点结论： 1）稳态误差与系统输入信号r(t)的形式有关； 2）稳态误差与系统的结构及参数有关。
第07讲 线性定常系统的稳态
2020/7/28
essr
lim
s0
sEr (s)
lim
s0
s
1
1 G1(s)G2 (s)H (s)
R(s)
第07讲 线性定常系统的稳态
2020/7/28
误差
6
2）扰动信号单独作用下，误差ess (t) b(t)
稳态误差
En (s) B(s) H (s)C(s)
H (s)
G2 (s)
N (s)
1 G1 (s)G2 (s)H (s)
第07讲 线性定常系统的稳态
2020/7/28
误差
17
对于0型系统
K
lim s s0
K (1s 1)( 2s 1)( ms 1)
3-5线性系统的稳态误差计算
er (t ) L1 ER ( s)
en (t ) EN (s) EN ( s) N (s)
1 ER ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
EN ( s)
G2 ( s) H ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
1
ess essr essn 3
（2）r(t ) 1(t ), n(t ) sin 4t，求ess
es (t ) essr
1 s 1 1 1 = lim s s 0 1 1 2 1 s 3 s 1
1 1 3 essn (t ) sin(4t 1800 cos 1 ) 3 5 5
则：essnຫໍສະໝຸດ 1 s N 1 lim s N ( s ) lim N (s) s 0 s 0 K KN N N s
注意：当系统开环传递 函数G1 ( s)G2 ( s) H (s)含有积分环节 (1型及以上系统 )时， 上述计算式成立。
四、改善系统稳态性能的措施
• 增加开环传函Gk(s)的型别：有利于消除ess，增加G1(s)的 型别； • 增加开环传函Gk(s)的增益：有利于减小ess，增加G1(s)的 增益； • 为了减小扰动误差，可以增加偏差点到扰动作用点之间积 分环节个数或放大系数 • 放大系数不能任意放大，积分环节也不能太多（一般2个 ），否则系统将会不稳定。
s0
1 ER ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
essn lim en (t ) lim sEN ( s) lim s EN ( s) N ( s)
t s0 s0
G2 ( s) H ( s) EN ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
en (t ) EN (s) EN ( s) N (s)
1 ER ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
EN ( s)
G2 ( s) H ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
1
ess essr essn 3
（2）r(t ) 1(t ), n(t ) sin 4t，求ess
es (t ) essr
1 s 1 1 1 = lim s s 0 1 1 2 1 s 3 s 1
1 1 3 essn (t ) sin(4t 1800 cos 1 ) 3 5 5
则：essnຫໍສະໝຸດ 1 s N 1 lim s N ( s ) lim N (s) s 0 s 0 K KN N N s
注意：当系统开环传递 函数G1 ( s)G2 ( s) H (s)含有积分环节 (1型及以上系统 )时， 上述计算式成立。
四、改善系统稳态性能的措施
• 增加开环传函Gk(s)的型别：有利于消除ess，增加G1(s)的 型别； • 增加开环传函Gk(s)的增益：有利于减小ess，增加G1(s)的 增益； • 为了减小扰动误差，可以增加偏差点到扰动作用点之间积 分环节个数或放大系数 • 放大系数不能任意放大，积分环节也不能太多（一般2个 ），否则系统将会不稳定。
s0
1 ER ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
essn lim en (t ) lim sEN ( s) lim s EN ( s) N ( s)
t s0 s0
G2 ( s) H ( s) EN ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
西工大、西交大自动控制原理 第六节 线性系统的稳态误差计算11-12
G2 s Cs
e
s
BERsss
1
1
GH1 ssG2
s
H
s
ef
s
Es F s
1
G2 sH s G1sG2 sH
s
1. 误差与稳态误差
稳态误差的计算
第六节 线性系统的稳态误差计算
Es Er s E f s e sRs ef sF s
1
G1
s
1
G2
s
H
s
Rs
1
G2 sH s G1sG2 sH
；e() R / K
▪ 对Ⅲ型以上系统v 3 ，K a ；e() 0
第六节 线性系统的稳态误差计算
2.用静态误差系数法求稳态误差
系 静态误差 阶跃输入 斜坡输入
统 系数 型 别
R 1t Rt
位置误差 速度误差
K
p
Kv
Ka
ess
R
(1 K p )
ess
R Kv
0K 00 R
1 K
Ⅰ K0 0
2.用静态误差系数法求稳态误差
静态加速度误差系数 K a
定义： Ka
lim
s0
s
2GK
s
lim
s0
s
2Gk
0
s
lim
s0
K sv2
e R R
lim
s0
K s 2
Ka
“加速度误差”
▪ ▪ ▪
对0型系统 对Ⅰ型系统 对Ⅱ型系统
v0
v 1 v2
，，K, KKaaa
0
0 K
；e() ；e()
第六节 线性系统的稳态误差计算
3-6稳态误差计算
i
E ( s ) e ( s) R( s )
5
0.046 cos 5t 0.105 sin 5t
0.115 sin( 5t 23.7) 。
7 扰动作用下的稳态误差 在理论上，扰动作用下的稳态误差的分析方 法与输入作用下的分析方法相同，即在理论上将 扰动信号看作是另一个输入信号。 E (s) en ( s) ； 要点：扰动误差传递函数
G (s )
C (s )
图3-31 等效单位反馈系统
E ( s)
t
1
1
H ( s) 1 G( s) H ( s)
s 0
R( s ) e ( s ) R( s )
lim e(t ) lim sE ( s ) lim s e ( s ) R( s ) (应用条件)
s 0
1 s 1.2s 0.2s
(2 0.4s) 1 s 1.2s 0.2s
2 3
；
；
信号各阶导数
r (t ) t ，r (t ) 1；r (i ) (t ) 0 ， i 1； (i ) n(t ) 1(t ) ； n (t ) 0 ， i 0 。
1 G(s) T s 1
(1)
R(s)=1/s 3； E ( s)
1 2 t / T
1 s (s 1 / T )
2
T s
2
T
2
T
2
s
s 1/ T
；
e(t ) L [ E (s)] T e
(2) R(t)= ω/ (s 2 +ω2)； E ( s)
T (t T ) ； ess (t ) T (t T ) ； T s
E ( s ) e ( s) R( s )
5
0.046 cos 5t 0.105 sin 5t
0.115 sin( 5t 23.7) 。
7 扰动作用下的稳态误差 在理论上，扰动作用下的稳态误差的分析方 法与输入作用下的分析方法相同，即在理论上将 扰动信号看作是另一个输入信号。 E (s) en ( s) ； 要点：扰动误差传递函数
G (s )
C (s )
图3-31 等效单位反馈系统
E ( s)
t
1
1
H ( s) 1 G( s) H ( s)
s 0
R( s ) e ( s ) R( s )
lim e(t ) lim sE ( s ) lim s e ( s ) R( s ) (应用条件)
s 0
1 s 1.2s 0.2s
(2 0.4s) 1 s 1.2s 0.2s
2 3
；
；
信号各阶导数
r (t ) t ，r (t ) 1；r (i ) (t ) 0 ， i 1； (i ) n(t ) 1(t ) ； n (t ) 0 ， i 0 。
1 G(s) T s 1
(1)
R(s)=1/s 3； E ( s)
1 2 t / T
1 s (s 1 / T )
2
T s
2
T
2
T
2
s
s 1/ T
；
e(t ) L [ E (s)] T e
(2) R(t)= ω/ (s 2 +ω2)； E ( s)
T (t T ) ； ess (t ) T (t T ) ； T s
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e(s)R(s)
e (s)
E(s) R(s)
1 1 G(s)H (s)
——系统误差传函
02:23
• 稳态误差ess
twinkle state error
steady state error
e(t) ets (t) ess (t)
lim
t
ets
(t)
0
ess
lim
t
ess
(t
)
ess
lim e(t )
t
ltim[ets (t)
ess (t)]
lim
t
ess
(t
)
由终值定理：
ess
lim e(t)
t
lim
s0
sE(s)
பைடு நூலகம்
lim s0 1
sR(s) G(s)H (s)
02:23
二 系统的类型(开环传函中串联积分环节的数
目)
m
B(s) R(s)
G(s)H (s)
K s
i 1 n
(is 1)
(Tjs 1)
s0
s
i 1 n
(Tjs 1)
j 1
02:23
ess 0
结论
1、0型系统对阶跃输入的稳态误差为一定值 ， 误差1的大小与系统的开环放大系数K成反比，K越
1 K
大，ess越小，只要K不是无穷大，系统总有误差 存在。
2、具有单位负反馈的1型系统可以准确跟踪阶跃 输入信号，稳态误差为0。
要准确跟踪阶跃输入信号，必须采用1型及以上 系统。
讲授技巧及 注意事项
表达式推导、图形显示和表格总结相辅相成。
02:23
稳定性、 动态性能和稳态性能 是我们分析系统、评 价系统和改善系统时 所用的三类重要衡量 标准。
02:23
稳态误差是描述系统稳态 性能的性能指标。对于稳定的系统， 暂态响应随时间的推移而衰减，若 时间趋于无穷时，系统的输出量不 等于输入量或输入量确定的函数， 则系统存在稳态误差。稳态误差是 系统控制精度或抗扰动能力的一种 度量。
2
Kv
ess 0
02:23
结论
1、0型系统在稳态时，不能跟踪斜坡输入信号， 最后误差为∞。
02:23
一 误差和稳态误
差
1 稳态误差的分 给定信号或 类 扰动信号
• 原理性稳态误差和结构性稳态误差
三种典型 外作用
原理性稳态误差：控制系统由于系统结构、输入的作用类型和形式所产生的稳
态误差。
结构性稳态误差：控制系统由于非线性因素所引起的系统稳态误差，称为结构
性稳态误差(附加稳态误差)。
元件的不灵敏、 零点漂移、老化 及机械间隙、摩 擦
02:23
2 误差的两种定义
输入端定义：输入信号与反馈信号之差为作用误差。
E(s) R(s) B(s) R(s) H (s)C(s)
02:23
输出量的理想值：
E(s) 0时，R(s) H (s)C(s) 0 C(s) R(s) H (s)
输出端定义：理想输出值与实际输出值的差值为系 统误差。
1 s
1 lim s0 1 G(s)H (s)
Kp
limG(s)H (s)
s0
——位置误差系数
ess
1 1 Kp
02:23
0型系统：
m
K(is 1)
K p
limG(s)H (s)
s0
lim
s0
s
i 1 n
(Tj s
1)
K
j 1
ess
1 1 K
ess
1 1 Kp
1时：
m
K(is 1)
K p
lim
02:23
• 给定稳态误差(由给定输入引起的稳态误差)和扰动稳态误差(由扰动输入引起的 稳态误差)
系统的性质不同两种误差在稳态性能分析的地位不同 随动系统要求系统输出量以一定的精度跟随输
入量的变化，因而用给定稳态误差来衡量系统的稳态 性能。
恒值系统需要分析输出量在扰动作用下所受到 的影响，因而用扰动稳态误差来衡量系统的稳态性能。
第三章 时域分析法
第六节 线性系统的稳态误差计 算
02:23
3-6 线性系统的稳态误差计算
项目
内容
教学目的
理解误差与稳态误差的概念，掌握计算方法和计 算结果，熟悉减小或消除稳态误差的措施。
教学重点
稳态误差系数定义和典型输入信号作用下的稳态 误差，即表3－5 ；减小或消除稳态误差的措施。
教 学 难 点 减小或消除稳态误差的措施。
R(s) 1 C(s) E(s)
C(s)
G(s)H (s)
H (s)
－
E(s) C(s) C(s) R(s) C(s) H (s)
02:23
两种误差的比较
从输入端定义的误差在实际的物理系统中 可以测量，便于实施控制，具有一定的物理意义； 从输出端定义的误差在实际的物理系统中有时无法 测量(主要指理想输出)，因此只具有数学意义。 两种误差之间的关系
——速度误差系数
1
ess Kv
m
Kv
lim sG(s)H (s)
s0
lim
s0
K (is 1)
i 1
n
s1 (Tj s 1)
lim
s0
K s 1
j 1
02:23
Kv
lim
s0
K s 1
ess
1 Kv
0型系统： 0 1型系统： 1
Kv 0 Kv K
ess
ess
1 K
1型以上 系统：
02:23
G3 (s)
2s 1 s2 (s 1)
step(feedback(tf([2 1],conv([1 0 0],[1 1])),1)
2、单位速度输入作用下的稳态误差
将R(s)=1/s2代入ess
ess
lim
s
s0 1 G(s)H (s)
•
1 s2
lim
s0
1 sG(s)H (s)
Kv
lim sG(s)H (s) s0
02:23
Step Response 1.8
1.6
1.4
1.2
1
Amplitude
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
G1(s)
s
1 1
G2 (s)
1 s(s 1)
10
15
20
25
30
Time (sec)
step(feedback(tf(1,[1 1]),1))
step(feedback(tf(1,conv([1 0],[1 1])),1))
E(s) C(s) C(s) R(s) B(s) E(s) H (s) H (s) H (s)
02:23
• 作用误差简称误差，记作E(s)或e(t)
E(s) R(s) B(s) R(s) C(s)H (s) R(s) G(s)E(s)H (s)
E(s)
1
R(s)
1 G(s)H (s)
j 1
0,0型系统 1,1型系统
注意： 尾1形式
2, 2型系统
3,使系统稳定相当困难，一般很少采用。
02:23
三 典型输入信号作用下系统的稳态误差ess和 稳态误差系数(Kp、Kv、Ka)
1、单位阶跃输入作用下的稳态误差
将R(s)=1/s代入ess
ess
s lim s0 1 G(s)H (s)