高一上韦达定理,高次,多元方程解法
初高衔接3：韦达定理
初高衔接[3]根与系数的关系——韦达定理一元二次方程02=++c bx ax 如果有两根1x ，2x ，则有根与系数的关系a b x x -=+21，acx x =21我们称此为一元二次方程的韦达定理，在初中是通过求根公式证明的，现在给出另外更通用的证明方式．因为1x ，2x 是方程的两根，所以21212212)())((x ax x x x a ax x x x x a c bx ax ++-=--=++对比两边的系数即得韦达定理．韦达定理给出了在不解出两根的情况下，两根和与两根积的表达，在高中数学中占有非常重要的地位．例1. 已知a ，b 是方程0142=++x x 的两根，求下列各式的值： (1)22b a +，33b a +； (2)b a 11+，ba ab +； (3)b a - ．分析与解 一元二次方程的判别式为正，由韦达定理知4=+b a ，1=ab .于是(1)中：142)(222=-+=+ab b a b a ， 52))((2233-=+-+=+b ab a b a b a .(2)中：411=+=+abb a b a ， 1422=+=+abb a b a a b . (3)因为ab b a b a b a 4)()(22-+=-=-，所以32=-b a ．注 事实上，所有关于a ，b 的对称式（即交换a ，b 的顺序后，式子不变）都可以用b a +，ab 表示出来．例2 .已知α，β是方程012=--x x 的两根，写出一个以α1，β1为两根的一元二次方程，并求βα86+的值．分析与解 由韦达定理知1=+βα，1-=⋅βα，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+=+111111βααββαβα，从而以α1，β1为两根的一元二次方程为01)1(2=---x x ,即012=-+x x ．由韦达定理知αβ-=1，代入知ααβα88866-+=+.下面来写6α：因为α是方程的解，所以有αα+=12，从而24)1(αα+=)1(21αα+++= α32+=所以有426ααα⋅=)32)(1(αα++= )1(352αα+++=58+=α从而有1386=+βα． 注 事实上，令xt 1=，整理得到的关于t 的一元二次方程就是以α1，β1为两根的一元二次方程．一元二次方程的韦达定理可以推广到一元n 次方程中去，我们处理较多的是一元三次方程，如果)0(023≠=+++a d cx bx ax 有三个实数根1x ，2x ，3x ，那么有d cx bx ax +++23))()((321x x x x x x a ---=32132312123213)()(x x ax x x x x x x x a x x x x a ax -+++++-= 从而得到一元三次方程的韦达定理⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==++-=++a d x x x a c x x x x x x ab x x x 321323121321例3. 设α，β，γ是三次方程0133=+-x x 的三个根．(1)以α1，β1，γ1为根的三次方程是______________； (2)以βα11+，γβ11+，αγ11+为根的三次方程是______________．分析与解 由三次方程的韦达定理知⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++=++.1,3,0αβγγαβγαβγβα (1)因为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=⋅⋅=++=⋅+⋅+⋅=++=++.11110111111,3111γβααβγγβααγγββααβγαβαγβγγβα，所以以α1，β1，γ1为根的三次方程是 0)1(0323=--⋅+-x x x即01323=+-x x ． (2)先计算三根和有)11()11()11(αγγββα+++++)111(2γβα++=6=因为211γγγαββαβα=--=+=+,所以我们知道这三根就是2α，2β，2γ，从而三根积为1)(2=αβγ．最后计算222222αγγββα++的值．先介绍一个三项的完全平方式ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++.从而有222222αγγββα++)222()(2222βγααβγγαβγαβγαβ++-++= αβγγβα)(29++-=9=综上知所求的三次方程为019623=-+-x x x ．最后给出两道练习：练习一 已知1x ，2x 是方程0132=+-x x 的两根，求2221x x +，3231x x +，)1)(1(21++x x ，2111x x +，21x x -的值．答案 7，18，5，3，5．练习二 已知a ，b ，c 是方程0164223=---x x x 的三个根，求cb a 111++，222c b a ++的值．答案 −6，10．提示 ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++．。
一元二次方程的解法及韦达定理
一元二次方程的解法及韦达定理一元二次方程的解法及韦达定理编号：撰写人：审核：一、一元二次方程的解法：例题1：用配方法、因式分解、公式法解方程：x2-5x+6=0【一元二次方程的解法总结】1、直接法：对于形如—x2=a的方程，我们可以用直接法。
方程的解为x=推论：对于形如(x+a)2=b的方程也是用直接开方的方法。
注意点：①二次项的系数为1，且a≥0②如果a为根式，注意化简。
例1：解方程：5x2=1例2：解方程：x2=4例3：解方程：4x 2+12x+9=122、配方法：对于形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程，我们可以采用配方法的方法来解。
步骤：①把二次项的系数化为1.两边同时除以a ，可以得到：X 2+ b a x+ c a=0 ②配方：（x+ 2ba ）2+c- 2()2b a =0③移项：（x+ 2ba ）2=2()2b a -c ④用直接法求出方程的解。
X=-2b a注意点：解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。
例：解方程：x 2+x=13、公式法：对于形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程，我们也可以采用公式法的方法来解。
根据配方法，我们可以得到方程的解为：X=-2b a进一步变形，就可以知道：形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程的解为：x1x2注意点：①解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。
②解题步骤要规范。
例:解方程：x2+5x+2=0除了以上几种教材里的方法，一元二次方程还有其他的解法。
4、换元法对于一个方程，如果在结构上有某种特殊的相似性，可以考虑用换元法；或者，当这个题目有比较复杂的根式，换元法也是可以考虑的解法。
例1：解方程：（x2+5x+2）2+(x2+5x+2)-2=0例2：=15、有理化方法：对于一个方程，如果含有两个根式，并且这两个根式内的整式的和或者差是特定的数值，那就可以考虑用有理化的方法。
例：=46、主元法：对于一个方程，如果有两个未知数，那么，我们可以确定其中的一个为“主元“，将另一个未知数设定为常数，用公式法可以解出结果。
魅力无穷的韦达定理——巧用韦达定理解决高中数学的实际问题
魅力无穷的韦达定理——巧用韦达定理解决高中数学的实际问题
发布时间：2022-08-10T07:00:49.976Z 来源：《中国教师》2022年4月7期作者：赵刚[导读] 韦达定理是法国数学家韦达最早发现的关于代数方程的根与系数之间的一种关系。
赵刚
湖北省竹溪县第一高级中学 442300
韦达定理是法国数学家韦达最早发现的关于代数方程的根与系数之间的一种关系。
中学阶段，我们学一元二次方程中根和系数关系的重要定理。
它第一次出现在人教版九年级数学上册二十一章——《2.4 一元二次方程的根与系数的关系》一节中，为选学内容。
在实数范围内应用韦达定理，必须注意判别式? ? 0，a ? 0这两个隐含条件是否成立。
但纵观高中阶段的考试考卷，不难发现，关于韦达定理的题目屡屡出现，包括代数和平面解析几何两个方面，而且我们认识到巧用韦达定理解题的强大作用，也体会到韦达定理的巧妙之处。
下面从两个方面介绍巧用韦达定理解决高中数学的实际问题。
一、在代数方面的应用
通过上面的例题及剖析，说明了韦达定理在代数和平面解析几何中具有重要的价值。
在与代数的结合中，主要是关于一元二次方程的系数与根之间的关系，和由根的关系构建一元二次方程两个方面。
在与平面解析几何的结合中，将直线方程与圆锥曲线联立，得到的交点坐标与韦达定理的联系，进而求解一些关于弦长，离心率，轨迹方程，中点弦等系列的问题。
韦达定理的应用，在高中数学的学习中，充分考察了学生的思维能力和计算能力，需把数学中常用的思想——函数与方程，数形结合，转化与化归，类比归纳等与之巧妙结合。
在高
中的常见题型中，我们还会遇到类似的问题，需要把它们适当变形或者转化后，再运用韦达定理求解。
韦达定理
韦达定理韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
基本介绍英文名称：Vieta's formulas韦达定理证明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
这里讲一元二次方程两根之间的关系。
一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a，X1*X2=c/a定理内容一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac>0)中，设两个根为x1，x2 则X1+X2= -b/aX1*X2=c/a用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)中，若b^2-4ac<0 则方程没有实数根若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根证明结论由一元二次方程求根公式为：X = (-b±√b^2-4ac)/2a （注意：a指二次项系数，b指一次项系数，c指常数，且a≠0）可得X1= (-b+√b^2-4ac)/2a ，X2= (-b-√b^2-4ac)/2a 1. X1﹢X2=（-b+√b^2-4ac)/2a+（-b-√b^2-4ac)/2a所以X1﹢X2=-b/a2. X1X2= [（-b+√b^2-4ac﹚÷2a]×[（-b-√b^2-4ac﹚÷2a]所以X1X2=c/a（补充：X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1·X2（扩充）3.X1-X2=（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a 又因为X1.X2的值可以互换，所以则有X1-X2=±【（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a】所以X1-X2=±（√b^2-4ac）/a韦达定理推广的证明设X1，X2，……，xn是一元n次方程∑AiXi =0的n个解。
高中数学韦达定理公式
高中数学韦达定理公式高中数学韦达定理公式韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
下面是小编为大家带来的高中数学韦达定理公式，欢迎阅读。
韦达定理公式：一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中设两个根为x和y则x+y=-b/axy=c/a韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。
一般的，对一个n次方程∑AiX^i=0它的根记作X1,X2 (X)我们有∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)…∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)其中∑是求和，∏是求积。
如果一元二次方程在复数集中的根是，那么法国数学家韦达最早发现代数方程的.根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程在复数集中必有根。
因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：其中是该方程的个根。
两端比较系数即得韦达定理。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
定理的证明设x_1，x_2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解，且不妨令x_1 ge x_2。
根据求根公式，有x_1=frac{-b + sqrt {b^2-4ac}}，x_2=frac{-b - sqrt {b^2-4ac}} 所以x_1+x_2=frac{-b + sqrt {b^2-4ac} + left (-b ight) - sqrt {b^2-4ac}} =-frac，x_1x_2=frac{ left (-b + sqrt {b^2-4ac} ight) left (-b - sqrt {b^2-4ac} ight)}{left (2a ight)^2} =frac。
高一上韦达定理,高次,多元方程解法
一元二次方程根与系数关系（韦达定理），多元方程解法，高次方程解法一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述． 一）、一元二次方程的根的判断式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：(1) 当240b ac ->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：(2) 当240b ac -=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：(3) 当240b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=-【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数： (1) 22310x x -+=(2) 24912y y +=(3) 25(3)60x x +-=说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．【例2】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．【例3】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．二）、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：22b b x x a a-+--==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．【例4】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答．说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：*【例5】一元二次方程042=+-a x x求a 的取值范围。
02--韦达定理--高一暑假
韦达定理韦达定理虽是初二一元二次方程时的内容，但因为考试没有要求，很多学校都没怎么系统的讲过，很多学生还不是很了解韦达定理，更别提掌握和灵活运用了。
而韦达定理在高中阶段运用的非常频繁，许多知识点都要结合韦达定理来做，希望通过本章学习让学生能够理解掌握韦达定理．韦达定理实际上就是一元二次方程中根与系数的关系，韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．一、 运用韦达定理，求方程中参数的值【例1】已知方程5x 2＋kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．【巩固训练】1．1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 的值范围是 ．2．0519998081999522=++=+-b b a a 及已知，求ba 的值．知识梳理例题解析二、运用韦达定理，求代数式的值【例2】若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根．(1) 求|x 1-x 2|的值； (2) 求222111x x +的值； (3) 求31x ＋32x 的值．【例3】已知α、β是方程x 2＋2x -5=0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为_______．【例4】关于x 的方程240x x m ++=的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．【巩固训练】1．已知α、β是方程210x x --=的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．2．设a ,b 是相异的两实数，满足a b b a b b a a 2222,34,34++=+=求的值．3．设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且ba ab ab 14,1++≠求的值．三、利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的情况【例5】已知关于x 的方程x 2＋2(m -2)x ＋m 2＋4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．【例6】已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程4x 2＋4(m -1)x ＋m 2=0的两个非零实数根，问x 1和x 2能否同号？若能同号，请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由．【例7】一元二次方程240x x a -+=有两个实根，一个比3大，一个比3小，求a 的取值范围．【例8】已知一元二次方程222(9)560x a x a a +-+-+=一个根小于0，另一根大于2，求a 的取值范围．【巩固训练】1．已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 ．2．设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x + 有最小值?并求出这个最小值．3．已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x ． (1) 求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实根．(2) 若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ．4．若关于x 的方程20x x a ++=的两个根，一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．四、 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等【例9】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么b a a b +的值为( ) A ．22123 B ．22125或2 C ．22125 D ．22123或2【例10】解方程121193482232222=+-++-++x x x x x x x x ．【巩固训练】1．△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．2．已知：四边形ABCD 中，AB∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程047)21(222=+-+-m mx x 的两个根． (1) 当m =2和m >2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形? 并说明理由；(2) 若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ=1，且AB<CD ，求AB 、CD 的长；(3) 在(2)的条件下，AD=BC=2，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是tan ∠BDC 和tan ∠BCD ．3．如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD=m ，BD=n ，AC 2：BC 2=2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求：m ，n 为整数时，一次函数y =mx +n 的解析式．韦达定理在高中阶段是一种非常常用且重要的解题手段，同学们一定要在充分理解的基础上加以掌握及灵活运用．同学们要能掌握根与系数的关系，知道韦达定理的常见变式与常规题型，注重设而不解，注重整体，通过整体带入来解决问题．一、选择题1．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程的两根，则p 、q 的值分别等于( )A ．1，-3B ．1，3C ．-1，-3D ．-1，32．在R t △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( )A ．23 B ．25 C ．5 D ．23．方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)1)(1(21++x x p 的值是 ( )A ．1B ．-lC ．21-D ．214．两个质数a 、b 恰好是整系数方程x 2-99x +m =0的两个根，则ba ab +的值是 ( ) 02=++p qx x 课后练习 反思总结A ．9413B ．1949413 C ．999413 D ．979413 5．设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为( )A ．0232=---m x xB ．0232=--+m x xC ．02412=---x m xD ．02412=+--x m x6．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( )A ．0≤m ≤1B ．m ≥43 C ．143≤<m D ．43≤m ≤1二、填空题7．关于x 的一元二次方程22(1)10m x x m -++-=有一根为0，则m 的值为______8．CD 是R t △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 ．9．已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 ．10．已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 ．三、解答题11. 若关于x 的一元二次方程3x 2+3(a +b )x +4ab =0的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断4)(2≤+b a 是否正确?12．已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x ．(1) 当k 为何值时，此方程有实数根；(2) 若此方程的两个实数根1x 、2x 满足：312=+x x ，求k 的值．13．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1) 若62221=+x x ，求m 的值．(2) 求22212111x mx x mx -+-的最大值．14．设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程210xax ++=和20x bx c ++=有一个相同的实数根，并且使方程20x x a ++=和20x cx b ++=也有一个相同的实数根，试求a b c ++的值．。
运用三次方程的韦达定理解题
运用三次方程的韦达定理解题
韦达定理（Vieta's Theorem）是一种有趣的数学理论，它描述了一
般三次方程在解析解方面的强大功能。
它主要说明了三次方程两个根
之和以及根与一常数的乘积之和是一定的。
一、定义
韦达定理是指对于三次方程ax³+bx²+cx+d=0，其根为r1，r2，r3，则
r1+r2+r3= -b/a，r1r2r3=-d/a。
其中a,b,c,d不全为零，且a≠0。
二、运用
（1）利用韦达定理来求解三次方程的有理根
首先，算出三次方程的a，b，c，d，由韦达定理可得，r1+r2+r3= -b/a，r1r2r3=-d/a，由这两个公式可以得到三个关于x的线性方程，求解这三
个方程，可以求解出三个根以及有理根。
（2）利用韦达定理验证给定的解是否正确
若给定某三次方程的解r1，r2，r3的值，则可以利用韦达定理来检验
其正确与否，即求出r1+r2+r3，r1r2r3的值，对比其是否符合韦达定理
的关系式即可。
三、注意事项
（1）要求a≠0，即三次方程的系数不能全为零，如果a=0，则不符合
韦达定理的要求，无法应用这个定理来解决三次方程；
（2）若三次方程有重根，即有两个根相同，则运用韦达定理会出现数
学上的问题，此时可以利用其它方法来求解三次方程。
四、总结
韦达定理是一个有效求解三次方程的定理，它不仅可用来求解有理根，也可以用来检验给定的根是否符合三次方程的条件。
但是，有时候会
出现三次方程的系数a等于0以及根中存在相等的情况，此时韦达定理就无法使用了，所以在应用韦达定理时要注意以上两种特殊情况的出现。
高一数学 初高中衔接教材 高次方程、分式方程、无理方程的解法
分式方程解法例3（1）
例3（1） 解方程
7 5 x2 x
典 型 例
解： 两边同乘以最简公分母 x(x2) 题
得 7x5(x2)
解得 x5 经检验， x5 是原方程的解.
分式方程解法例3（2）
例3（2） 解方程
5x2 x2 x
3 x1
典 型 例
解： 两边同乘以最简公分母 x2 x
题
得 (5x2 )x ( 1 )3 (x2x)
即 (t6)t(4)0
故 t 6 或 t 4
即 x25x6或 x25x4
解得：x 1 1 ,x 2 6 ,x 3 1 ,x 4 4
高次方程解法例2（2）
典
例2（2）解方程
型
(x 2 )x ( 1 )x ( 4 )x ( 7 ) 19例 题
解：原方程即
(x 2 5 x 1 4 )(x 2 5 x 4 ) 1 9
例
解：原方程即
题
(6 x 7 )2 (6 x 7 1 )6 ( x 7 1 ) 72
换元 令 t6x7
原方程可化为 t2(t2 1)72
解得 t 2 9 或 t2 8（舍去）
解得 t 3 即 6x73
解得 x 2 或 x 5
3
3
解高次方程的思路是：
高次 因式分解、换元 一次或二次方程
解分式方程的思路是：
分式 方程
去分母
整式 方程
解分式方程的一般步骤
1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程.
2、解这个整式方程.
3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公 分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解； 否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.
一元二次方程的解法一元二次方程解题步骤韦达定理公式变形6个
一元二次方程的解法•一元二次方程的解：能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
解一元二次方程方程：求一元二次方程解的过程叫做解一元二次方程方程。
•韦达定理：一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到）一般式：ax2+bx+c=0的两个根x1和x2关系：x1+x2= b/ax1·x2=c/a•一元二次方程的解法：1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如的一元二次方程，根据平方根的定义可知，x+a 是b的平方根，当时，；当b<0时，方程没有实数根。
用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根。
2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。
3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程的求根公式：求根公式是专门用来解一元二次方程的，故首先要求a≠0；有因为开平方运算时，被开方数必须是非负数，所以第二个条件是b24ac≥0。
即求根公式使用的前提条件是a≠0且b24ac≥0。
4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
•韦达定理公式变形：x1²+x2²=(x1+x2)²2x1x2，1/x1²+1/x2²=(x1²+x2²)/x1x2，x1³+x2³=(x1+x2)(x1²x1x2+x2²)等。
••与韦达定理有关的恒等变形••韦达定理公式•韦达定理：两根之和等于b/a,两根之差等于c/a. •x1*x2=c/a•x1+x2=b/a•韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
初高中衔接——韦达定理
高一数学（初高中数学知识衔接）——一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【知识链接】已知，、是关于x 的一元二次方程的两根。
求证：； 分析：由求根公式计算一下， 可以找到一元二次方程根与系数的关系，这条性质也称作韦达定理。
证明：由求根公式有：，∴注：① 当一元二次方程二次项系数为1时，即关于x 的方程时，则由韦达定理知：，，即12()p x x =-+,12q x x =⋅②以两个数12,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是:21212()0x x x x x x -++⋅=【例题分析】例1：不解方程，求下列方程的12x x +与12x x ⋅：（1）25100x x --= （2）22710x x ++=（3）23125x x -=+ （4）(1)37x x x -=+（5） 2310x x -+= (6)2322x x -=1x 2x )0( 02≠=++a c bx ax a b x x -=+21ac x x =⋅21aac b b x 242-±-=21x x +21x x ⋅a ac b b x 2421-+-=a ac b b x 2422---=a b a b a ac b b a ac b b x x -=-=---+-+-=+2224242221a ac b b a ac b b x x 24242221---⋅-+-=⋅2224)4()(a ac b b ---=a c a ac b b =+-=2224402=++q px x p x x -=+21q x x =⋅21例2：关于x 的方程10422=-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 ；k ＝例3：已知：、是方程两个实数根。
求：①； ②；③； ④；⑤ ⑥12x x -例4：m 为何值时，的两根均为正【练习】一、选择题1.下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）．A ．B ．C ． D． 2、如果方程12=+mx x 的两个实根互为相反数，那么m 的值为（） A 、0 B 、－1 C 、1D 、±1 3．两根均为负数的一元二次方程是 （ ）1x 2x 0252=--x x 21x x +21x x ⋅2111x x +2221x x +)1)(1(21--x x 0)32()1(2=-++-m x m x 0122=--x x 0322=+-x x 3322-=x x 0442=+-x xA.271250x x -+=B.261350x x --=C.242150x x ++=D.21580x x +-=4.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）A. B.且 C. D. 且5．若方程20x px q ++=的两根中只有一个为0，那么 （ ）A. 0p q ==B. 0p =，0q ≠C. 0p ≠，0q = D .0p ≠，0q ≠6．关于x 的一元二次方程2250ax x a a -++=的一根是0，则a 的值是（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．0 或1-7．若方程的两根为、，则的值为( ) A ．3 B ．－3 C ． D ． 8.关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．259、以5-和5+为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2-10x-1=0B ．x 2+10x-1=0C ．x 2+10x+1=0D ．x 2-10x+1=010、若方程20(0)ax bx c a ++=≠中，,,a b c 满足0a b c ++=和0a b c -+=，则方程的根是（ ） A ．1，0B ．-1，0C ．1，-1D ．无法确定二、填空题 11． 若方程20ax bx c ++=(0a ≠)的两根为1x ，2x 则12x x += ，12.x x =12．若0和－3是方程的20x px q ++=两根，则p q +=13.关于x 的一元二次方程有实数根，则k 的取值范围是14.已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．15、已知方程0452=+-mx x 的两实根差的平方为144，则m ＝16、已知方程032=+-m x x 的一个根是1，则它的另一个根是 ，m 的值是17、以方程0422=--x x 的两根的倒数为根的一元二次方程是 。
高阶方案韦达定理
高阶方案韦达定理引言高阶方案韦达定理（Advanced Scheme Vieta’s Theorem）是一个用于解决多项式问题的定理。
它是韦达定理的一个推广，也被称为多项式的对称和与基本对称多项式之间的关系。
在本文中，我们将介绍高阶方案韦达定理及其应用。
韦达定理回顾在讨论高阶方案韦达定理之前，我们先回顾一下韦达定理。
在数学中，韦达定理是一个基本的关于多项式根与系数之间的关系定理。
它表明，对于一个 n 次多项式（如 Ax^n + Bx^(n-1) + … + Gx + H = 0），其 n 个根的和等于系数 B/A 的相反数，同时也等于多项式项之一迭代相加的和。
高阶方案韦达定理的描述高阶方案韦达定理给出了更多关于多项式根与系数之间的关系，尤其是多项式的对称和与基本对称多项式之间的关系。
它描述了如下关系：考虑一个 n 次多项式 f(x) = a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + … + a_1x + a_0，其中 a_n,a_(n-1), …, a_1, a_0 是实数系数。
令 s_k 表示 f(x) 的根的 k 次对称和，即s_k = r_1^k + r_2^k + … + r_n^k，其中r_1, r_2, …, r_n 是 f(x) 的根。
那么，s_k 可以通过基本对称多项式 a_i 之间的关系来表达。
高阶方案韦达定理的证明高阶方案韦达定理的证明涉及到对多项式的系数进行递推的过程。
这里我们给出一个简要的证明概述：首先，我们可以通过Vieta’s formulas 得到 a_i 与根的关系。
然后，我们将 a_i与 s_k 之间进行关联，并利用数学归纳法证明 s_k 可以通过 a_i 表达。
具体的证明过程相对较为复杂，涉及到多项式代数、对称多项式和Vieta’s formulas 的运用。
在此我们不对证明进行详细展开，仅提供了一个简要的概述。
高阶方案韦达定理的应用高阶方案韦达定理在多项式问题的求解中有着广泛的应用。
如何求解高次方程和分式方程
如何求解高次方程和分式方程在数学中，高次方程和分式方程是常见且重要的问题。
本文将介绍如何求解高次方程和分式方程，并提供相应的解题方法和步骤。
一、高次方程的求解方法高次方程是指包含以上两次方或更高次方的方程。
常见的高次方程类型包括一元高次方程和多元高次方程。
在求解高次方程时，可以采用以下方法：1. 因式分解法：对一元高次方程进行因式分解，将方程转化为二次方程、三次方程或低次方程，从而求得方程的解。
2. 公式法：对一元高次方程可以使用一些经典公式进行求解，例如二次方程的求根公式、三次方程的求根公式等。
3. 代换法：对于一元高次方程，可以尝试将其转化为一个新变量的较低次方程，通过代换求解。
4. 迭代法：对于一些无法通过传统方法求解的高次方程，可以使用迭代法逼近方程的解。
二、分式方程的求解方法分式方程是指方程中包含有分式的方程。
在求解分式方程时，可以采用以下方法：1. 通分法：对于分式方程中的分式，可以通过通分的方法，将方程转化为等价的含有相同分母的方程，从而求解。
2. 消元法：对于包含多个分式的方程，可以通过消去分母的方式，将方程转化为一个多项式方程或低次方程，从而进行求解。
3. 假设法：对于一些特殊的分式方程，可以通过假设一个未知数的值，将方程转化为一个等式，从而求解。
4. 代换法：对于较为复杂的分式方程，可以尝试通过代换的方法，将方程转化为一个简化的方程，从而进行求解。
三、高次方程和分式方程的例题解析为了更好地理解高次方程和分式方程的求解方法，以下举例说明：【例题1】解一元高次方程：$x^3-9x^2+26x-24=0$。
解法：观察方程，发现$x=1$是方程的根。
通过除以$x-1$得到$x^2-8x+24=0$，再应用一元二次方程求根公式，可以求得方程的另外两个根为$x=4$和$x=6$。
【例题2】解分式方程：$\frac{x+1}{x}+\frac{x-1}{x+1}=\frac{6}{5}$。
一元三次方程的求根公式以及解法和韦达定理
一元三次方程的求根公式以及解法和韦达定理下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢！本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注！Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!一元三次方程是指方程的最高次项为三次方的一元二次方程。
一元二次方程韦达定理的解题技巧
一元二次方程韦达定理的解题技巧一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，它的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
解一元二次方程的韦达定理是一种常用的解题方法，它可以帮助我们快速求解方程的根。
本文将介绍一元二次方程韦达定理的解题技巧。
一、韦达定理的表达式韦达定理是指一元二次方程的根与系数之间的关系。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根可以通过以下公式计算得出：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根的取正负号，√表示平方根。
二、解题步骤使用韦达定理解一元二次方程的步骤如下：1. 将方程化为标准形式：将方程的各项整理为ax^2 + bx + c = 0的形式，确保系数a不为0。
2. 计算判别式：判别式Δ = b^2 - 4ac，判别式的值可以判断方程的根的情况。
a. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；b. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；c. 当Δ < 0时，方程没有实数根，但可能有复数根。
3. 根据判别式的值计算根：根据韦达定理的公式，将判别式的值代入公式中计算根的值。
a. 当Δ > 0时，方程的两个实数根为x1 = (-b + √Δ) / (2a)和x2 = (-b - √Δ) / (2a)；b. 当Δ = 0时，方程的两个相等实数根为x1 = x2 = -b / (2a)；c. 当Δ < 0时，方程没有实数根，但可能有复数根，可以表示为x1 = (-b + √(-Δ)i) / (2a)和x2 = (-b - √(-Δ)i) / (2a)，其中i为虚数单位。
三、解题示例为了更好地理解韦达定理的解题技巧，我们来看一个具体的解题示例。
例题：解方程2x^2 + 5x - 3 = 0。
解：根据韦达定理的步骤，我们先将方程化为标准形式：2x^2 + 5x - 3 = 0然后计算判别式Δ = b^2 - 4ac：Δ = 5^2 - 4 * 2 * (-3) = 49由于Δ > 0，所以方程有两个不相等的实数根。
一元三次方程韦达定理
一元三次方程韦达定理一元三次方程韦达定理是17th世纪法国数学家阿莫兹韦达提出的一种关于一元三次方程求解的定理，是解析几何领域中解多项式方程最重要的定理之一。
它可以帮助我们把一个给定的一元三次多项式方程拆解成三个一元二次多项式方程，从而实现对一元三次方程解的求解。
一元三次多项式定义一元三次多项式（即三次多项式）是指一个函数满足下列形式的函数：$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$其中a、b、c、d为常数，若a≠0，则此方程称为一元三次方程，若a=0，则此方程称为一元二次方程。
一元三次方程的求解一元三次方程的求解问题包括：1.解一元三次方程的根；2.解一元三次方程的最小正根；3.解一元三次方程的最大正根；4.解一元三次方程的最小负根；5.解一元三次方程的最大负根；6.解一元三次方程的最小正实根；7.解一元三次方程的最大正实根；8.解一元三次方程的最小负实根；9.解一元三次方程的最大负实根。
一元三次方程求解的方法有多种，其中最重要的就是韦达定理。
韦达定理指出，一元三次方程有三个根，且有一个关系式可以表示三个根之间的关系，另外，三个根可以通过根的代数运算（加减乘除）来求出。
韦达定理韦达定理是阿莫兹韦达17th世纪提出的一种解一元三次方程的定理。
它主要是提出了一元三次方程的三个根之间的关系，也就是说，如果知道一个一元三次方程的三个根，就可以推出它的另外两个根。
具体地说，设m,n,p是一元三次方程的三个根，那么根据韦达定理，我们有：$m+n+p=-frac{b}{a}$$mn+np+mp=-frac{c}{a}$$mnp=-frac{d}{a}$上式描述了三个根m,n,p之间的关系，可以用来求解一元三次方程。
因为通过上述的三个关系式，我们可以把一元三次方程化为三个一元二次方程求解，这就是韦达定理的意义所在。
应用一元三次方程求解的应用领域非常广泛，它被广泛用于科学计算以及许多复杂问题的求解，例如：1.用一元三次方程求解天体运动的轨道问题；2.用一元三次方程求解波动方程；3.用一元三次方程求解高绩效飞行器的飞行参数；4.用一元三次方程求解量子力学问题；5.用一元三次方程求解流体动力学问题；6.用一元三次方程求解拓扑学问题。
一元四次方程之韦达定理解法
������1 + ������2 + ������3 + ������4 = −������ ������1������2 + ������1������3 + ������1������4 + ������2������3 + ������2������4 + ������3������4 = ������ ������1������2������3 + ������2������3������4 + ������3������4������1 + ������4������1������2 = −������ {������1������2������3���� = −������1������2������3
=−[3(������1������2 + ������3������4) − ������][3(������1������3 + ������2������4) − ������][3(������1������4 + ������2������3) − ������]
一元二次方程的判别方法，从而系统地求解一般一元四次方程。其过程简单明了，思路清晰， 有利于编程开发求解一元四次方程，并且利用计算器或者 excel 就可以轻松求解一般一元四 次方程。
设一元四次方程为������������ + ������������������ + ������������������ + ������������ + ������ = ������，根据韦达定理确定方程的根与系
令
������1=2(������1������2 + ������3������4) − (������1������3 + ������2������4) − (������1������4 + ������2������3) ������2=(������1������2 + ������3������4) + ������(������1������3 + ������2������4) − (������1������4 + ������2������3) ������3=(������1������2 + ������3������4) − (������1������3 + ������2������4) + 2(������1������4 + ������2������3)
多次方程的韦达定理定律
多次方程的韦达定理定律引言：多次方程是数学中的重要概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。
而韦达定理则是解多次方程的一种常用方法。
本文将介绍韦达定理的原理和应用，并通过实例演示其解题过程。
一、韦达定理的原理：韦达定理是基于多次方程的根与系数之间的关系。
对于一个m次多次方程a0x^m + a1x^(m-1) + ... + am-1x + am = 0，其根为x1、x2、...、xm，韦达定理可以表示为以下形式：x1 + x2 + ... + xm = -a1/a0x1x2 + x1x3 + ... + x1xm + x2x3 + ... + x2xm + ... + xm-1xm = a2/a0...x1x2...xm = (-1)^m * am/a0二、韦达定理的应用：韦达定理可以帮助我们求解多次方程的根，尤其是当方程次数较高时，使用韦达定理可以简化计算过程。
下面通过一个实例来说明韦达定理的应用。
实例：假设有一个三次方程2x^3 - 5x^2 + 3x - 1 = 0，我们可以使用韦达定理来计算其根。
根据韦达定理，我们可以得到以下等式：x1 + x2 + x3 = 5/2x1x2 + x1x3 + x2x3 = 3/2x1x2x3 = 1/2通过观察方程系数，我们可以猜测方程的根为1、1/2和-1/2。
将这些根代入韦达定理的等式中，可以验证等式的成立。
我们得到了方程的三个根。
在实际应用中，我们可以通过韦达定理来找到多次方程的根，从而解决各种问题。
三、总结：韦达定理是解多次方程的一种常用方法，它通过根与系数之间的关系，简化了多次方程的求解过程。
通过本文的介绍和实例演示，我们了解了韦达定理的原理和应用。
在实际应用中，我们可以灵活运用韦达定理来解决各种与多次方程相关的问题。
结语：多次方程的韦达定理定律是数学中的重要知识点，通过学习和应用韦达定理，我们可以更好地理解和解决多次方程相关的问题。
希望本文能够对读者有所启发，加深对韦达定理的理解和运用能力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一元二次方程根与系数关系（韦达定理），多元方程解法，高次方程解法一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．一）、一元二次方程的根的判断式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：(1) 当240b ac ->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：(2) 当240b ac -=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：(3) 当240b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=-【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1) 22310x x -+=(2) 24912y y +=(3) 25(3)60x x +-=说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．【例2】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．【例3】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．二）、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：x x ==所以：1222b b bx x a a a-+--+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：说明：所以通常把此定理称为”韦达定理”．【例4】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答．说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：*【例5】一元二次方程042=+-a x x求a 的取值范围。
*【例6】 已知一元二次方程5)9(222-+-+a x a x 根大于2，求a 的取值范围。
【例7】已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是120x x =≥，二是12x x -=，所以要分类讨论．解：(1) ∵方程两实根的积为5【例8】已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．练习：1．一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <D ．2,1k k >≠且2．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( )A ．2B ．2-C ．12 D ．923．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于( )A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或4．若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则1111b a a b --+--的值为 ( ) A ．20-B ．2C ．220-或D ．220或5．若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．6．设12,x x 是方程20x p x q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x q x p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ．7．对于二次三项式21036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于10，您是否同意他的看法？请您说明理由．*8．一元二次方程02)13(722=--++-m m x m x 两根1x 、2x 满足21021<<<<x x求m 取值范围。
9．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．10．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=．(1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？(2) 若该方程的两根是一个矩形相邻两边的长，求k 的值．11．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ．(1) 求k 的取值范围；(2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．12．若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1．(1) 求实数k 的取值范围； (2) 若1212x x =，求k 的值．四、一元高次方程的解法含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数大于2的整式方程叫做一元高次方程。
一元高次方程的解法通常用试根法因式分解或换元法达到降次的目的，转换为一元一次方程或一元二次方程，从而求出一元高次方程的解。
【例1】解方程（1）x3+3x2-4x=0 （2）x4-13x2+36=0练习：解方程（1）x3+5x2-6x=0（2）（x2-3x）2-2（x2-3x）-8=0五、三元一次方程组的解法举例1）．三元一次方程组的概念：三一次方程组中含有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程。
注：（1）“未知项”与“未知数”不同。
（2）每个方程不一定都含有三个未知数。
它的一般形式是未知项的系数不全为零，其中每一个方程都可以是三元、二元、一元一次方程，但方程组中一定要有三个未知数。
2）．解三元一次方程组的基本思想方法是：【例1】解方程组【例2】解方程组练习：1. 解下列三元一次方程组1） 2）3）2．已知，且x+y+z=24，求x、y、z的值。
3．代数式ax2+bx+c在x为1，-1，2时，它的值分别是-6，-8，-11，求：①a，b，c的值；②当x=-4时，求代数的值。
*4．已知2x+5y+4z=0，3x+y-7z=0，且xyz≠0求：的值。
*5．已知且xyz≠0，求x：y：z．．*6．用100元恰好买了三种笔共100支，其中金笔每支10元，铂金笔每支3元，圆珠笔每支0．5元，试问三种笔各买了多少支？六、简单的二元二次方程组的解法举例（1）二元二次方程及二元二次方程组观察方程，此方程的特点：①含有两个未知数；②是整式方程；③含有未知数的项的最高次数是2.定义①：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程.二元二次方程的一般形式是：（a、b、c不同时为零）.其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项.定义②：二元二次方程组即有两个未知数且未知数的最高次数为二次的方程组由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程及两个二元二次方程组成的方程组是我们所研究的二元二次方程组.例如：都是二元二次方程组.（2）二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。
由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法.我们已经学过二元一次方程组的解法，所谓解二元一次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，同样，解二元二次方程组也就是求方程组中两个方程的公共解.解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法.【例1】解方程组112解方程组⎩⎨⎧==+)2(10)1(7xy y x练习：*1. 解方程组⎩⎨⎧=+=+---25043432222y x y x y xy x*2. 解方程组⎩⎨⎧-=+-=++4553131532222y xy x y xy x提示：（1）×3＋（2）得（x －2y ）（3x －y ）＝03. 解方程组⎩⎨⎧==+2522xy y x。