偏导数及其经济应用

§8.2 偏导数及其经济应用

教学目的：理解并掌握偏导数概念，能正确求出所给函数的

偏导数和高阶偏导数．了解偏导数的几何意义．了解偏导数在经济分析中的应用．

重点：正确求出所给函数的偏导数与高阶偏导数．

难点：分清常量与变量，正确运用一元函数导数公式求函数

的偏导数．

教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程：

一、偏导数的定义及其计算方法

1.二元函数(,)z f x y =的全增量（全改变量） (,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-. 二元函数对x 的偏增量（偏改变量） (,)(,)x z f x x y f x y ∆=+∆-.

二元函数对y 的偏增量 (,)(,)y z f x y y f x y ∆=+∆-.

2.二元函数偏导数的定义

【定义8.4】设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某一邻域内有定义，若一元函数0(,)f x y 在0x x =处存在导数

00(,)x f x y ',则称00(,)x f x y '为(,)f x y 在点00(,)x y 处对

x 的偏导数，并记作

00

x x y y z x ==∂∂，

00

x x y y f

x

==∂∂，00

x x x

y y z ==或00(,)x f x y '.

其中 00(,)x f x y '=

000000(,)(,)lim

lim x x x f x x y f x y z

x

x ∆→∆→+∆-∆=∆∆.

(2) 类似可定义函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对y 的偏导数:

00

x x y y z y

==∂∂=00(,)y f x y '=

000000(,)(,)

lim lim y y y z f x y y f x y y

y ∆→∆→∆+∆-=∆∆ 结论(1)当(,)f x y 在点00(,)x y 处同时存在对x ，y 的偏导数时，简称(,)f x y 在点00(,)x y 可偏导.(2)当(,)f x y 在平面某一区域D 内每一点(,)x y 处都存在对x ，y 的偏导数

时，则称函数在该区域D 内有偏导函数，记作

,,,z z f x y x

∂∂∂∂∂∂ (,),(,),,x y x y f x y f x y z z ''''也简称偏导数．

3.多元函数偏导数的定义

设0()()U P D f ⊂,若一元函数

000001211(,,,,,,)k k k n f x x x x x x -+L L 在0k k x x =处存在极

0000000000

1111110(,,,,,)(,,,,,)lim k k k k k n k k k n x k

f x x x x x x f x x x x x x -+-+∆→+∆-∆L L L L ,

则称此极限为()u f P =在点000

012(,,,)n P x x x L 处对k x 的偏导数，并记作

k

P P u x =∂∂，

k

P P f x =∂∂，0

k

x P P u =或0()k

x f P .

提问：用定义表示三元函数(,,)f x y z 在点000(,,)x y z 处的

三个偏导数.

0000000000(,,)(,,)

(,,)lim

x x f x x y z f x y z f x y z x

∆→+∆-'=∆；

0000000000(,,)(,,)

(,,)lim y y f x y y z f x y z f x y z y

∆→+∆-'=∆；

0000000000(,,)(,,)

(,,)lim z z f x y z z f x y z f x y z z ∆→+∆-'=∆.

结论：多元函数求偏导数时，只将一个变量看作未知量，而

其余变量均看作常量，按照一元函数求导数的法则求导数即是.即将12(,,,)n f x x x L 中所有()j x j k ≠看作常量而对

k x 求导可得

k

f

x ∂∂. 4.偏导数函数

设区域)(f D D ⊂,若(,)z f x y =在D 内每一点P 对

(x y 或的偏导数(,)x f x y 或(,)y f x y 都存在,那么(,)

x f x y 或(,)y f x y 就称为(,)z f x y =对(x y 或的偏导函数，（它

仍是,x y 的函数）.记作

u

x

∂∂，（或u y ∂∂）f x ∂∂（或f y ∂∂），x

u （或y u ）或()x f P （或()y f P ）.

可见,函数()x f P 在0P P =处的值为偏导数0()x f P .以后在不混淆的情况下,将偏导函数()x f P 也称为偏导数. 例1(1) 求 2

2

3z x xy y =++在点(1,2)处的偏导数．

分析：二元函数的偏导数

① 将),(y x f 中的y 看作常量而对x 求导可得

x f ∂∂. ② 将),(y x f 中的x 看作常量而对y 求导可得y

f

∂∂.

解

23z

x y x

∂=+∂, 32z x y y ∂=+∂．

∴

12

21328x y z

x ==∂=⨯+⨯=∂,

1231227x y z y

==∂=⨯+⨯=∂．

(2)2

sin z x y =，则

(2,)6|z x π∂=∂ ，(2,)

6|z

y π∂=∂ . (2,)(2,)

66|2,|23z z

x y ππ∂∂==∂∂. (3) （09.3.4）设()y x

z x e =+，则

(1,0)|z

x

∂=∂