7 随机矢量的产生及空间噪声模型
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f X 2 x2
1 x2 0
f X1 X 2 x1 , x2 dx1 3 1 x1 , 0 x2 1
f X1பைடு நூலகம்
X2
x1 x2
f X1 X 2 x1 , x2 f X 2 x2
x2
2 x1 1 x2 ,0 x1 1 x2
2
考虑到 1 U 和 U 具有相同的分布，则上式可写成 X U 2 1 X12 1 X 2 3 1U1 ,X 2123 U1 , X 2 U 2 1 X 2
1 X 2 3 U1 , X12 U 2 1 X 2
随机矢量的产生
式中 f1 x1 是 X 1 的边沿概率密度函数； f k xk x1 , x2 ,, xk 1 是在给定 X1 x1 , X 2 x2 ,, X k 1 xk 1 条件下 X k 的条件概率密度函数，其中 1 k n 。
从 U 0,1 中产生独立的均匀分布随机变量 U1 ,U 2 ,,U n ，并建立下列方程组 F1 X 1 U1 F2 X 2 X 1 U 2 Fn X n X 1 , X 2 , , X n 1 U n
2
相应的分布函数为
FX 2 x2
0
f X 2 x2 dx2 1 1 x2
3
FX1
f X1 X 2 x1 x2
0
x1
X2
x1 x2 dx1 x12 1 x1 2 , 0 x1 1 x2
3
由此可建立方程组
1 1 X 2 U1 X12 1 X 2 U 2
2013-9-13 哈尔滨工业大学电子工程系 2
随机矢量与随机矢量过程
随机矢量
2、随机矢量实际上是多维随机变量的简洁表达形式。 多维随机变量的函数变换：
令X为n维随机矢量，其联合PDF为 f X (X) ，令g为一 一对应连续可微的矢量 变换，将X映射为一个新的n维随机矢量Y
Y g (X)
f X (x) f X1 X 2 X M ( x1 , x2 ,, xM )
FX (x) FX1 X 2 X M ( x1 , x2 ,, x M )
说明： 1、 随机矢量X = [X1 X2 … XM]T的含义可以有两种不同的解释： 由一个随机过程X(t)在M个不同时刻t1, t2, …, tM采样得到的M个随机变量 X(t1), X(t2), …, X(tM)构成——用于产生一个随机过程的相关随机抽样序列； 由M个随机过程X1(t), X2(t), …, XM(t)在同一时刻t采样得到的M个随机变量 组成——用于产生多个相关的随机过程。
X (ω) E e
j (1 X 1 2 X 2 N X N )
Ee
jωT X
T ω T Cω exp jm ω 2
式中 ω [1 2 N ]T
2013-9-13
哈尔滨工业大学电子工程系
4
随机矢量与随机矢量过程
随机矢量
………… (n) 产生具有分布函数 Fn X1 , X 2 ,, X n1 的 X n ； (n+1) 令 X X1 , X 2 ,, X n T ，然后返回。
对随机矢量X = [X1 X2 … Xn]T来说，可能有n！种不同的排列组合方法以 表示该随机矢量。例如n=2时，有n！= 2，即X = [X1 X2]T 或 [X2 X1]T，相应地 可以有两种不同的方法产生该随机矢量。
任意分布相关随机矢量的产生
比较上述两种情况，显然，第二种情况比第一种情况解方程式要简单得多。
1 X 2 1 U1 3 1 1 X1 U1 3U 2 2
然而， 还不能事先找出随机变量在矢量中排列的最佳次序， 以使计算机在计 算时占据最小的 CPU 时间。
正态相关随机矢量的产生
正态分布随机矢量X = [X1 X2 … Xn]T的PDF为：
f Z (z )
~ 1 exp (z m Z ) H C 1 (z m Z ) Z n CZ
式中上标 H 表示共轭转置， mZ 、 CZ 分为 Z 的复均值矢量、复协方差阵。
上述文献对n维复高斯随机矢量PDF表示式与2n维实随机矢量PDF表示式的关系 进行详细分析，本质上复高斯随机矢量PDF实际上是实高斯随机矢量PDF的不 同代数表达形式，不会产生新的理论。
m
因此独立随机矢量的产生过程为： 依次独立地产生PDF为 f X ( x m ) ，m 1,2,, M 的随机变量，将它们组合起来即 产生所需的随机矢量X = [X1 X2 … XM]T。
m
2013-9-13
哈尔滨工业大学电子工程系
7
随机矢量的产生
任意分布相关随机矢量的产生
随机矢量X = [X1 X2 … XM]T的统计特性由多维联合概率密度函数或概率 分布函数来完整地描述： FX (x) FX1 X 2 X M ( x1 , x2 ,, x M ) f X (x) f X1 X 2 X M ( x1 , x2 ,, xM ) 类似于单个特定PDF分布随机变量的产生，上述随机矢量或n维随机变量 的产生方法如下： f X1 , X 2 ,, X n x1 , x2 ,, xn f1 x1 f 2 x2 x1 f n xn x1 , x2 ,, xn 1
f X1 X 2 x1 , x2 f X1 x1 f X 2
X1
x2 x1
f X1 X 2 x1 , x2 f X 2 x2 f X1
X2
x1 x2
下面一个例子来说明随机变量在矢量中不同的排列次序将显示出不同的计算效 率。
随机矢量的产生
任意分布相关随机矢量的产生
例子：设随机变量 X1 , X 2 的联合概率密度为
6 x , x1 x2 1 , x1 0, x2 0 f X1 X 2 x1 , x2 1 0 , 其它 x1 , x2 f X1 x1 f X 2 X1 x2 x1
f X1 x1
如果用h表示g的逆变换，即X=h(Y)，可以证明n维随机矢量Y的PDF可表示为：
f Y (Y) f X (h(Y))
h1 y1 h2 h y1 式中 J (Y) hn y1 h1 y 2 h2 y 2 hn y 2
h (Y)
h1 y n h2 y n 为变换h的雅克比行列式。 hn y n
2013-9-13 哈尔滨工业大学电子工程系 8
随机矢量的产生
任意分布相关随机矢量的产生
则产生具有联合分布函数 FX , X
1 2 ,, X n
的随机矢量 X 的算法步骤如下：
(1) (2) (3)
产生具有分布函数 F1 X1 的 X 1 ； 产生具有分布函数 F2 X1 的 X 2 ； 产生具有分布函数 F3 X1 X 2 的 X 3 ；
1 x1
第一种情况： f X X
1
2
先求 X 1 的边沿概率密度
0
f X1 X 2 x1 , x2 dx2 6 x1 1 x1 , 0 x1 1
然后，求在 X1 x1 时 X 2 的条件概率密度函数 f X X x1 , x2 1 f X X x2 x1 , 0 x2 1 x1 f X x1 1 x1
2013-9-13 哈尔滨工业大学电子工程系 5
随机矢量与随机矢量过程
随机矢量过程
随机矢量过程是由M个随机过程构成的M维随机过程，即： X(t) = [X1(t) X2(t) … XM(t)]T 式中X1(t), X2(t), …, XM(t)分别为单个随机过程。 对上述随机矢量过程在某一特定时刻采样即得随机矢量。 由于单个随机过程的统计特性通常采用该过程多个采样时刻获得的多维随 机变量联合概率密度函数描述，因此随机矢量过程的统计特性也可以由其组成 的单个随机过程在不同采样时刻获得的更高维随机变量联合概率密度函数描述。 注：随机矢量过程系本人建议引入的一个概念，相关文献未见类似表述。引入 随机矢量过程的目的是为了方便描述相控阵雷达多个接收通道信号与噪声模型: 每个接收通道的回波是一个随机过程，空域多路信号就可表示为一个随机矢量 过程，其维数M就是接收通道数。
随机矢量与随机矢量过程
随机矢量
3、N维实高斯随机矢量X的PDF及特征函数：
f X ( x) (x m) T C 1 (x m) exp N 2 (2 ) C 1
式中 X [ X 1 X 2 X N ]T ，m [m1 m2 m N ]T ， 上标 T 表示矩阵转置，C 为协方差阵，C 1 为协方差阵的逆， C 为协方差阵的行列式
1 2 M
如果随机矢量中各随机变量相互独立，则根据随机变量统计独立的定义， 随机矢量的PDF可表示成各随机变量PDF的乘积形式，即：
f X (x) f X1 X 2 X M ( x1 , x2 ,, x M ) f X m ( xm )
m 1 M
式中 f X ( x m ) 是随机变量 X m 的边沿概率密度函数
由此可建立方程组
3 X 12 2 X 13 U1
X 2 1 X1
1
U2
随机矢量的产生
任意分布相关随机矢量的产生
第二种情况： f X X x1 , x2 f X x2 f X
1 2 2 1
X2
x1 x2
2
X 2 的边沿概率密度以及在 X 2 x2 时 X 1 的条件概率密度分别为
1 2 2 1 1
相应的概率分布函数为
FX1 x1
x1 0 3 f X1 x1 dx1 3x12 2 x1 , 0 x1 1
FX 2
X1
x2 x1 0 f X
x2
2
X1
x2 x1 dx2
x2 ,0 x2 1 x1 1 x1
2013-9-13 哈尔滨工业大学电子工程系 6
随机矢量的产生
独立随机矢量的产生
随机矢量X = [X1 X2 … XM]T的统计特性由多维联合概率密度函数或概率 分布函数来完整地描述： FX (x) FX1 X 2 X M ( x1 , x2 ,, x M ) f X (x) f X X X ( x1 , x2 ,, xM )
空间噪声模型
1、基本假设 2、空域白噪声、空域色噪声
2013-9-13 哈尔滨工业大学电子工程系 1
随机矢量与随机矢量过程
随机矢量
随机矢量是由M个随机变量构成的M维随机变量，即： X = [X1 X2 … XM]T 式中X1, X2, …, XM皆为随机变量，上标T表示矩阵转置。 随机矢量或多维随机变量的统计特性应由多维联合概率密度函数或概率分 布函数来完整地描述：
7、随机矢量的产生及空间噪声模型
随机矢量与随机矢量过程
1、随机矢量 2、随机矢量过程
随机矢量的产生
1、独立随机矢量的产生 2、任意分布相关随机矢量的产生 3、正态相关随机矢量的产生 4、对数正态相关随机矢量的产生
随机矢量过程的产生
1、独立随机矢量过程的产生 2、多维相关随机矢量过程的产生
4、 n维复高斯随机矢量PDF表示式：
n维复高斯随机矢量Z的概率密度函数可表示为（S. Kay, Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory, Prentice Hall, p.500-509, 1993， 中译文版：电子工业出版社，p.402-2003）：
1 x2 0
f X1 X 2 x1 , x2 dx1 3 1 x1 , 0 x2 1
f X1பைடு நூலகம்
X2
x1 x2
f X1 X 2 x1 , x2 f X 2 x2
x2
2 x1 1 x2 ,0 x1 1 x2
2
考虑到 1 U 和 U 具有相同的分布，则上式可写成 X U 2 1 X12 1 X 2 3 1U1 ,X 2123 U1 , X 2 U 2 1 X 2
1 X 2 3 U1 , X12 U 2 1 X 2
随机矢量的产生
式中 f1 x1 是 X 1 的边沿概率密度函数； f k xk x1 , x2 ,, xk 1 是在给定 X1 x1 , X 2 x2 ,, X k 1 xk 1 条件下 X k 的条件概率密度函数，其中 1 k n 。
从 U 0,1 中产生独立的均匀分布随机变量 U1 ,U 2 ,,U n ，并建立下列方程组 F1 X 1 U1 F2 X 2 X 1 U 2 Fn X n X 1 , X 2 , , X n 1 U n
2
相应的分布函数为
FX 2 x2
0
f X 2 x2 dx2 1 1 x2
3
FX1
f X1 X 2 x1 x2
0
x1
X2
x1 x2 dx1 x12 1 x1 2 , 0 x1 1 x2
3
由此可建立方程组
1 1 X 2 U1 X12 1 X 2 U 2
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随机矢量与随机矢量过程
随机矢量
2、随机矢量实际上是多维随机变量的简洁表达形式。 多维随机变量的函数变换：
令X为n维随机矢量，其联合PDF为 f X (X) ，令g为一 一对应连续可微的矢量 变换，将X映射为一个新的n维随机矢量Y
Y g (X)
f X (x) f X1 X 2 X M ( x1 , x2 ,, xM )
FX (x) FX1 X 2 X M ( x1 , x2 ,, x M )
说明： 1、 随机矢量X = [X1 X2 … XM]T的含义可以有两种不同的解释： 由一个随机过程X(t)在M个不同时刻t1, t2, …, tM采样得到的M个随机变量 X(t1), X(t2), …, X(tM)构成——用于产生一个随机过程的相关随机抽样序列； 由M个随机过程X1(t), X2(t), …, XM(t)在同一时刻t采样得到的M个随机变量 组成——用于产生多个相关的随机过程。
X (ω) E e
j (1 X 1 2 X 2 N X N )
Ee
jωT X
T ω T Cω exp jm ω 2
式中 ω [1 2 N ]T
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随机矢量与随机矢量过程
随机矢量
………… (n) 产生具有分布函数 Fn X1 , X 2 ,, X n1 的 X n ； (n+1) 令 X X1 , X 2 ,, X n T ，然后返回。
对随机矢量X = [X1 X2 … Xn]T来说，可能有n！种不同的排列组合方法以 表示该随机矢量。例如n=2时，有n！= 2，即X = [X1 X2]T 或 [X2 X1]T，相应地 可以有两种不同的方法产生该随机矢量。
任意分布相关随机矢量的产生
比较上述两种情况，显然，第二种情况比第一种情况解方程式要简单得多。
1 X 2 1 U1 3 1 1 X1 U1 3U 2 2
然而， 还不能事先找出随机变量在矢量中排列的最佳次序， 以使计算机在计 算时占据最小的 CPU 时间。
正态相关随机矢量的产生
正态分布随机矢量X = [X1 X2 … Xn]T的PDF为：
f Z (z )
~ 1 exp (z m Z ) H C 1 (z m Z ) Z n CZ
式中上标 H 表示共轭转置， mZ 、 CZ 分为 Z 的复均值矢量、复协方差阵。
上述文献对n维复高斯随机矢量PDF表示式与2n维实随机矢量PDF表示式的关系 进行详细分析，本质上复高斯随机矢量PDF实际上是实高斯随机矢量PDF的不 同代数表达形式，不会产生新的理论。
m
因此独立随机矢量的产生过程为： 依次独立地产生PDF为 f X ( x m ) ，m 1,2,, M 的随机变量，将它们组合起来即 产生所需的随机矢量X = [X1 X2 … XM]T。
m
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随机矢量的产生
任意分布相关随机矢量的产生
随机矢量X = [X1 X2 … XM]T的统计特性由多维联合概率密度函数或概率 分布函数来完整地描述： FX (x) FX1 X 2 X M ( x1 , x2 ,, x M ) f X (x) f X1 X 2 X M ( x1 , x2 ,, xM ) 类似于单个特定PDF分布随机变量的产生，上述随机矢量或n维随机变量 的产生方法如下： f X1 , X 2 ,, X n x1 , x2 ,, xn f1 x1 f 2 x2 x1 f n xn x1 , x2 ,, xn 1
f X1 X 2 x1 , x2 f X1 x1 f X 2
X1
x2 x1
f X1 X 2 x1 , x2 f X 2 x2 f X1
X2
x1 x2
下面一个例子来说明随机变量在矢量中不同的排列次序将显示出不同的计算效 率。
随机矢量的产生
任意分布相关随机矢量的产生
例子：设随机变量 X1 , X 2 的联合概率密度为
6 x , x1 x2 1 , x1 0, x2 0 f X1 X 2 x1 , x2 1 0 , 其它 x1 , x2 f X1 x1 f X 2 X1 x2 x1
f X1 x1
如果用h表示g的逆变换，即X=h(Y)，可以证明n维随机矢量Y的PDF可表示为：
f Y (Y) f X (h(Y))
h1 y1 h2 h y1 式中 J (Y) hn y1 h1 y 2 h2 y 2 hn y 2
h (Y)
h1 y n h2 y n 为变换h的雅克比行列式。 hn y n
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随机矢量的产生
任意分布相关随机矢量的产生
则产生具有联合分布函数 FX , X
1 2 ,, X n
的随机矢量 X 的算法步骤如下：
(1) (2) (3)
产生具有分布函数 F1 X1 的 X 1 ； 产生具有分布函数 F2 X1 的 X 2 ； 产生具有分布函数 F3 X1 X 2 的 X 3 ；
1 x1
第一种情况： f X X
1
2
先求 X 1 的边沿概率密度
0
f X1 X 2 x1 , x2 dx2 6 x1 1 x1 , 0 x1 1
然后，求在 X1 x1 时 X 2 的条件概率密度函数 f X X x1 , x2 1 f X X x2 x1 , 0 x2 1 x1 f X x1 1 x1
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随机矢量与随机矢量过程
随机矢量过程
随机矢量过程是由M个随机过程构成的M维随机过程，即： X(t) = [X1(t) X2(t) … XM(t)]T 式中X1(t), X2(t), …, XM(t)分别为单个随机过程。 对上述随机矢量过程在某一特定时刻采样即得随机矢量。 由于单个随机过程的统计特性通常采用该过程多个采样时刻获得的多维随 机变量联合概率密度函数描述，因此随机矢量过程的统计特性也可以由其组成 的单个随机过程在不同采样时刻获得的更高维随机变量联合概率密度函数描述。 注：随机矢量过程系本人建议引入的一个概念，相关文献未见类似表述。引入 随机矢量过程的目的是为了方便描述相控阵雷达多个接收通道信号与噪声模型: 每个接收通道的回波是一个随机过程，空域多路信号就可表示为一个随机矢量 过程，其维数M就是接收通道数。
随机矢量与随机矢量过程
随机矢量
3、N维实高斯随机矢量X的PDF及特征函数：
f X ( x) (x m) T C 1 (x m) exp N 2 (2 ) C 1
式中 X [ X 1 X 2 X N ]T ，m [m1 m2 m N ]T ， 上标 T 表示矩阵转置，C 为协方差阵，C 1 为协方差阵的逆， C 为协方差阵的行列式
1 2 M
如果随机矢量中各随机变量相互独立，则根据随机变量统计独立的定义， 随机矢量的PDF可表示成各随机变量PDF的乘积形式，即：
f X (x) f X1 X 2 X M ( x1 , x2 ,, x M ) f X m ( xm )
m 1 M
式中 f X ( x m ) 是随机变量 X m 的边沿概率密度函数
由此可建立方程组
3 X 12 2 X 13 U1
X 2 1 X1
1
U2
随机矢量的产生
任意分布相关随机矢量的产生
第二种情况： f X X x1 , x2 f X x2 f X
1 2 2 1
X2
x1 x2
2
X 2 的边沿概率密度以及在 X 2 x2 时 X 1 的条件概率密度分别为
1 2 2 1 1
相应的概率分布函数为
FX1 x1
x1 0 3 f X1 x1 dx1 3x12 2 x1 , 0 x1 1
FX 2
X1
x2 x1 0 f X
x2
2
X1
x2 x1 dx2
x2 ,0 x2 1 x1 1 x1
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随机矢量的产生
独立随机矢量的产生
随机矢量X = [X1 X2 … XM]T的统计特性由多维联合概率密度函数或概率 分布函数来完整地描述： FX (x) FX1 X 2 X M ( x1 , x2 ,, x M ) f X (x) f X X X ( x1 , x2 ,, xM )
空间噪声模型
1、基本假设 2、空域白噪声、空域色噪声
2013-9-13 哈尔滨工业大学电子工程系 1
随机矢量与随机矢量过程
随机矢量
随机矢量是由M个随机变量构成的M维随机变量，即： X = [X1 X2 … XM]T 式中X1, X2, …, XM皆为随机变量，上标T表示矩阵转置。 随机矢量或多维随机变量的统计特性应由多维联合概率密度函数或概率分 布函数来完整地描述：
7、随机矢量的产生及空间噪声模型
随机矢量与随机矢量过程
1、随机矢量 2、随机矢量过程
随机矢量的产生
1、独立随机矢量的产生 2、任意分布相关随机矢量的产生 3、正态相关随机矢量的产生 4、对数正态相关随机矢量的产生
随机矢量过程的产生
1、独立随机矢量过程的产生 2、多维相关随机矢量过程的产生
4、 n维复高斯随机矢量PDF表示式：
n维复高斯随机矢量Z的概率密度函数可表示为（S. Kay, Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory, Prentice Hall, p.500-509, 1993， 中译文版：电子工业出版社，p.402-2003）：