高考专题数学归纳法

数学归纳法

一.知识梳理

(1) 数学归纳法的基本形式

设P (n )是关于自然数n 的命题，若 1°P (n 0)成立(奠基)

2°假设P (k )成立(k ≥n 0)，可以推出P (k +1)成立(归纳)， 则P (n )对一切大于等于n 0的自然数n 都成立 (2)数学归纳法的应用

具体常用数学归纳法证明 恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等

二、典型例题讲解

【例1】证明：

(1)1

312111++++++n n n >1 )(+∈N n (2))2

31

1()711)(411)(11(-++++n >313+n )(+∈N n

分析:如果运用以前所学知识通过放缩法进行回很困难,但是如果用数学归纳法就比较容易.以下是详细证明过程.

证明:(1)ⅰ:当n=1时,左=12

13

413121=++>1,故n=1时不等式成立.

ⅱ:假设当n=k 时不等式成立，即1

31

211k 1++

++++k k >1 那么当n=k+1时,

左=431

33123113121++

++++++++k k k k k =

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-++++++++++++11431331231

1312111k k k k k k k =

)

1)(43)(23(32

1312111++++++++++k k k k k k >1 故n=k+1时不等式成立

根据（1）（2）可知：结论对于一切正整数n 成立.

(2)第一步:当n=1时,左=2, 右=34, 故左>右, 即n=1时不等式成立.

第二步:假设n=k 时不等式成立,即)2

k 31

1()711)(411)(11(-+

+++ >3

13+k

那么n=k+1时,

左=)131

1)(2k 311()711)(411)(11(++-++++k

>1

32

3133+++k k k

[]3

3

3

343132313+-⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

+++k k k k

=)43()

13()23(2

3+-++k k k =2

2

2)13()13)(43()23(+++-+k k k k

=

2

)

13(4

k 9++k >0 ∴ 左>1

3231

33+++k k k >3

11k 3++）（

∴n=k+1时不等式成立．

第三步：根据（1）（2）可知：对于一切正整数n 不等式成立。

【例2】 证n ∈N *时有2n 111

111333

•（－）（－）…（－）

>12 证明：显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个n ∈N *，有

2n 111

111333•（－）（－）…（－）

≥1－（2n 111333

＋＋…＋）…………（1） 用数学归纳法证明（1）式： ① n ＝1时，（1）式显然成立， ⑵设n ＝k 时，（1）式成立， 即2k

1

11

111333

•（－）（－

）…（－）≥1－（2k 111333＋＋…＋） 则当n ＝k ＋1时，

2k k 11111

11113333

•••＋（－）（－）…（－）（－）

≥〔1－（2k 111333＋＋…＋）〕•（k 1113＋－） ＝1－（2k 111333＋＋…＋）－k 113＋＋k 113＋（2k 111

333＋＋…＋）

≥1－（2k 111

333

＋＋…＋＋k 113＋）即当n ＝k ＋1时，（1）式也成立。

故对一切n ∈N *，（1）式都成立。

利用（1）得，2n 111111333•（－）（－）…（－）≥1－（2n 111333＋＋…＋）＝1－n

11133113

〔－（）〕

－

＝1－n

n

1

1111123

223

〔－（）〕＝＋（）>12

故原式成立，从而结论成立。

【例3】设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，

3，…．（Ⅰ）求a 1，a 2； （Ⅱ）｛a n ｝的通项公式．

解：(Ⅰ)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，

于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝1

2．

当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－1

2，

于是(a 2－12)2－a 2(a 2－12)－a 2＝0，解得a 2＝1

6．

(Ⅱ)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，

即 S n 2－2S n ＋1－a n S n ＝0．

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得 S n －1S n －2S n ＋1＝0 ①

由(Ⅰ)知S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝2

3．

由①可得S 3＝3

4．

由此猜想S n ＝

n

n ＋1

，n ＝1，2，3，…． 下面用数学归纳法证明这个结论． (i )n ＝1时已知结论成立． (ii )假设n ＝k 时结论成立，即S k ＝k k ＋1

， 当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝1

2－S k ，即S k ＋1＝k ＋1k ＋2

， 故n ＝k ＋1时结论也成立． 综上，由(i )、(ii )可知S n ＝

n

n ＋1

对所有正整数n 都成立． 于是当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1

n (n ＋1)

，

又n ＝1时，a 1＝12＝1

1×2，所以｛a n ｝的通项公式a n ＝n n ＋1，n ＝1，2，3，…．

【例4】(09山东) 等比数列{}n a 的前n 项和为s n ，已知对任意的,n N ∈，点(.)n n S 均