模态理论
模态分析的基础理论
模态分析的基础理论模态分析是一种研究系统中不同模式的分布、生成和演化规律的方法。
在这个理论中，模态是指系统中不同状态或形式的存在形式，例如质量分数、温度、湿度等。
模态分析的基础理论包括概率论、统计学和模态分析技术等。
概率论是模态分析的基础之一、它研究随机事件的发生概率和规律。
在模态分析中，我们可以利用概率论来描述不同模态出现的概率分布，并通过分析系统中的模式，得出不同模态的生成规律。
通过概率论的方法，我们可以预测不同模态的变化趋势，从而指导系统的优化设计和运行管理。
统计学也是模态分析的基础理论之一、统计学研究如何收集、处理、分析和解释数据，通过对大量数据的统计分析，揭示数据背后的规律和趋势。
模态分析中，统计学的方法可以用于分析模态数据的分布情况，寻找模态之间的相关性和影响因素，并建立相应的模型来预测和优化系统的运行情况。
在模态分析技术方面，主要包括聚类分析、主成分分析和模态分析方法等。
聚类分析是一种将相似的对象分组的方法，通过对模态数据进行聚类分析，我们可以将相似的模态归为一类，从而描述系统中的不同模态分布情况。
主成分分析是一种降维技术，它可以将高维的模态数据降低到低维，并保留大部分信息。
这可以帮助我们更好地理解系统模态之间的关系和重要性。
模态分析方法包括有限元模态分析、频响函数法和模态参数识别等。
通过这些方法，我们可以对系统的模态进行分析，包括振型、频率和阻尼等，并找出模态的摄动源和分布规律。
模态分析的基础理论对于理解和优化系统具有重要意义。
通过对模态的分析和研究，我们可以了解系统的特性和不同模态之间的关系，从而指导系统的设计和运行。
同时，模态分析也可以帮助我们发现和解决系统中存在的问题，提高系统的稳定性和可靠性。
因此，深入理解和应用模态分析的基础理论对于各个领域的研究和实践具有重要价值。
第3章 实验模态分析的基本理论
实验模态分析第三章：实验模态分析的基本理论振动系统的特性可以用模态来描述:固有频率、固有振型(主振型)、模态质量、模态刚度和模态阻尼等。
建立用模态参数表示的振动系统的运动方程并确定其模态参数的过程使称为模态分析。
—种理解可以认为，振动系统的物理模型、物理参数和以物理参数表示的运动方程都是已知的，引入模态参数、建立模态方程的目的是为了简化计算，解除方程耦合，缩减自由度。
另一种理解可以认为，通过对实际结构的振动测试，识别振动系统的模态参数，从而建立起系统的以模态参数表示的运动方程，供各种工程计算应用。
试验模态分析指的是后一种过程,即通过振动测试(称模态试验),识别模态参数,建立以模态参数表示的运动方程这样一个过程。
1 多自由度系统振动基础回顾&&&++=M x C x K x f t []{}[]{}[]{}{()} 2实模态理论一个n 自由度线性定常振动系统，其运动方程可以如下表示:现对两端作付氏变换得:[]{}[]{}[]{}{()}M x C xK x f t ++=&&&2([][][]){()}{()}M j C K X F ωωωω−++=式中和分别是x(t)和F(t)的付氏变换,并有()X ω()F ω()()j t X x t e dt ωω+∞−−∞=∫()()j t F f t e dtωω+∞−−∞=∫(){()}{()}Z X F ωωω=111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ωωωωωωωωωω⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L 1()[()]{()}{()}{()}X Z F H F ωωωωω−==2[][][]K M j C ωω=−+阻抗矩阵中各元素值无法在实际振动测试中获得，因为人们不可能在实际结构上固定其它坐标，令其不动，仪留下J坐标，待其作出响应；也不可能仅使某个坐标运动，在其余坐标上测量力。
_模态分析理论基础
IVE
Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China
Iration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China
有限元分析软件(如ANSYS、NASTRAN、SAP、MAC等)在结 构设计中被普遍采用,但在设计中,由于计算模型和实
际结构的误差,而且受到边界条件很难准 确确定的影响,特别是结构的形状和动态特性很复杂时，
IVE
Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China
e. 为结构动力学优化设计提供目标函数或约束条件
动力学设计，即对主要承受动载荷而动特性又至关重要的结构，以 动态特性指标作为设计准则，对结构进行优化设计。它既可在常规静力 设计的结构上，运用优化技术，对结构的元件进行结构动力修改；也可 从满足结构动态性能指标出发，综合考虑其它因素来确定结构的形状， 乃至结构的拓扑（布局设计、开孔、增删元件）。动力学优化设计就是 在结构总体设计阶段就应对结构的模态参数提出要求，避免事后修补影 响全局。
•解的形式（s为复数）及拉氏 变换： x Xest (ms2 cs k ) x(s) f (s)
IVE
Institute of Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, China
单自由度模态分析理论
要点二
非线性模态分析的研 究
目前，大多数模态分析研究都集中在 线性系统上。然而，在许多工程应用 中，非线性因素对结构振动的影响是 不可忽视的。因此，未来可以进一步 研究非线性模态分析方法，以更准确 地描述这些非线性效应。
要点三
智能材料和结构的应 用
随着智能材料和结构的发展，它们在 许多领域的应用越来越广泛。这些材 料和结构具有独特的动态特性，需要 新的模态分析方法来描述。因此，未 来的研究可以探索适用于智能材料和 结构的模态分析方法。
背景
随着工程结构的日益复杂化，模态分析在结构健康监测、振 动控制、地震工程等领域的应用越来越广泛。单自由度模态 分析作为模态分析的基础，为多自由度模态分析提供了理论 支持。
模态分析的定义
模态
模态是结构的固有振动特性，包 括频率、阻尼比和振型。
模态分析
模态分析是通过试验或数值方法 识别结构的模态参数的过程。
模态振型之间具有正交性， 即不同模态的振动不会相 互干扰。
选择性
在实际工程中，可以根据需要 选择特定的模态进行分析，以 简化计算和提高分析效率。
Part
03
单自由度系统的01
激振器激励
STEP 02
自由衰减振动
通过激振器对系统施加激励 ，使其产生振动响应，然后 采集响应信号进行分析。
04
单自由度系统的模态特性分析
模态正交性分析
模态正交性是指在模态空间中，不同的模态之间相互独立， 没有耦合关系。在单自由度系统中，模态正交性表现为各模 态振型函数的正交性，即它们的内积为零。
模态正交性的意义在于，它使得各模态之间互不干扰，各自 独立地响应外部激励，从而使得系统的响应可以通过叠加各 模态的响应得到。
实验模态分析基本理论
机械式（Mechanical）：频带窄（10-100Hz）、行程一般数毫米、 噪音大、位移和波形控制不精确；
3.频响函数的测量
(2) 冲击激励（Impact Excitation）： 力锤（Hammer），适用于小阻尼线性结构。还有夯锤、 落锤、摆式冲击锤、小火箭等；
(3) 脉动等（Enviromental Excitation）： 利用大地、地震、人工爆炸模拟地震风等条件引起的振动。
3.频响函数的测量
1.3 测量系统(Measurement System)： 传感器+放大器（Transducer+Amplifier） ICP传感器（内装IC放大电路） （Integrated Circuit Piezoelectric）
第8章 实验模态分析初步
1.结构动特性的建模方法
理论建模：动力学仿真分析
耦合的力平衡方程 Mx(t) Cx(t) Kx(t) f (t)
通过有限元离散模型，采用模态分析理论、特征值求解技术和矩阵变换 技术获得结构的动力学特性：频率、阻尼和振型；建立结构完整模态模 型（一组解耦的方程组）、系统的传递特性（传递函数或频响函数）， 进一步建立结构的频域响应计算模型和时域响应计算模型。
3.频响函数的测量
4 测点布置与激振点的选择 测点布置 1.能够较好地反映结构物的构型 2.能够充分显示结构的模态振型 例：一个梁单元无法求解简支梁的10个模态。计算上一般要求至少 20个单元，计算出的20阶模态，只有前10阶准确。
激励点 应避开节点节线。多点激励进行校核。
激励力的选择 在不破坏试件的情况下，尽可能大的激励力，有助于提高信噪比。 不同大小的激励力，可以定性考查结构非线性的程度
多自由度模态分析理论
针对大规模系统，可以采用高效的数值算法和并行计算技术 来提高计算效率。同时，也可以采用适当的模型简化方法来 平衡计算效率和精度。
05 多自由度模态分析的未来 发展方向
混合模态分析方法
混合模态分析方法是一种结合了线性与非线性理论的分析方法，旨在更全面地描述系统的动态特性。 这种方法结合了线性模态分析的准确性和非线性模态分析的实用性，能够更好地处理复杂系统的振动 问题。
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通过建立系统的有限元模型，利用 数值方法求解特征方程得到模态参 数。
参数识别方法
包括频域法和时域法，其中频域法 通过频率响应函数识别模态参数， 时域法通过时间历程数据识别模态 参数。
03 多自由度模态分析在工程 中的应用
结构健康监测
结构损伤识别
01
多自由度模态分析能够通过比较结构在不同模态下的振动特性，
智能优化算法在模态分析中的应用
智能优化算法是一类基于人工智能的 优化算法，如遗传算法、粒子群算法 和蚁群算法等。这些算法在解决复杂 优化问题方面具有高效性和鲁棒性。
VS
在模态分析中，智能优化算法可以用 于求解系统的最优模态参数，如模态 频率、模态阻尼比和模态振型等。通 过智能优化算法，可以自动搜索系统 的最优模态参数，提高模态分析的效 率和准确性。
多自由度模态分析理论
目录
• 引言 • 多自由度模态分析理论概述 • 多自由度模态分析在工程中的应用 • 多自由度模态分析的局限性与挑战 • 多自由度模态分析的未来发展方向 • 结论
01 引言
背景介绍
机械系统振动分析
多自由度模态分析理论起源于机 械系统振动分析，用于研究复杂 机械结构的动态特性。
模态分析基本理论
+ +
(C1 (C2
+ +
C2 C3
)x&1(t) - C2x&2 (t) )x&2 (t) - C2x&1(t)
+ +
(K1 (K2
+ K2 )x1(t) - K2x2 (t) + K3 )x2 (t) - K2x1(t)
= =
f1 (t) f2 (t)
第三节 多自由度振动系统举例
一 系统方程
写出矩阵形式：
\
eλ1 t
\
e∧t
\
=
O
0
eλN t
eλ*1 t
0
O
e
λ*N
t
第四节 多自由度系统相关模态概念
一 无阻尼系统
阻尼矩阵[C]为零矩阵的系统
系统阻尼因子σ r = 0 ，全为纯虚数极点 λ1 = jω,L , λ*N = − jωN
系统方程：
P2 + Pα Pβ+1
[M]
+
[K
]{x}
=
{0}
比例阻尼系统频响函数
\
或 [H( jω)] = [ψ]
[ ] ∑ { } { } H(jω)
=
N
j2ωr Qr
ψ
r
ψ
T
r
r =1
(σ
2
r
+
ω
2
r
-
ω
2
)
-
2σ
r
模态理论
Tyler & Sofrin 模态分析理论非定常来流与叶片干涉产生的声波在风扇或涡轮中并非是任意形态存在的。
Goldstein 在假定平均流场有势的前提下，建立起了平均流场中任意一点的扰动量与远前方来流扰动量之间的相互关系，给出了下面的方程，()()00002000111I D D Dt c Dt ϕρϕρρρ⎛⎫-∇∇=∇ ⎪⎝⎭u （0-1）由以上方程可知，在非均匀平均流的情况下，来流扰动不仅通过边界条件与声扰动相互作用，而且在传播过程中也会与声扰动耦合，并形成如（2-2）右边所示声源[68]。
在航空发动机叶轮机内部，最重要的边界条件就是管道效应，由于管道边界的限制，声波在其中只能以特定的形态出现，也就是我们常说的模态。
在均匀平均流中，考虑一个环形管道，硬壁条件，对小扰动有下面的对流波动方程[12]，2222222110i M p p x x r r r r ωυ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫+-+++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ （0-2）波动方程描述的特征值问题是可解的，环形管道中我们可以将它的一般解展开为傅里叶-贝塞尔形式的模态()()()1,,m m ik x ik x im m m m m p x r A e B e U r e μμθμμμμθ+-∞∞---=-∞==+∑∑ （0-3）这里径向模态和径向、轴向波数分别满足()22222210m m m m m m m m m U U U r r Mk k k μμμμμμμμααω±⎛⎫'''++-= ⎪⎝⎭=--= （0-4） 其中，径向特征模态()m U r μ以贝塞尔函数的形式出现，m 和μ分别表示周向和径向模态数。
满足上述波动方程的声波解在环形或圆形管道中会以图2-4所示的螺旋波形式出现和传播。
Tyler 和Sofrin 是最早研究叶轮机内部叶片非定常气动力旋转模态特征的学者，他们的研究结果已经成为当代航空燃气涡轮发动机气动声学设计的主要理论基础之一。
多模态理论
多模态理论
多模态理论是一种以多模式视角来分析及解释行为的理论。
它认为，不同的行为有不同的模式，而这些模式可以单独分析。
这一理论有助于更好地理解不同类型的行为，并且可以帮助专家们更好地发展经典行为模型，以更好地了解行为的本质。
多模态理论由于其多方面的优势而受到广泛的欢迎。
首先，多模态理论可以帮助专家们更好地分析不同类型的行为，从而更好地理解行为的本质。
其次，多模态理论可以帮助专家们更好地了解整个行为系统，并从中提取有价值的信息。
最后，多模态理论可以帮助专家们在分析行为时，更好地考虑所有有关因素。
多模态理论被应用于多个领域，包括心理学、社会学、数学、物理学、生物学、经济学等等。
它可以帮助专家们更好地分析复杂行为，以便更加准确地理解其本质。
此外，多模态理论也可以帮助专家们更好地预测行为的发展趋势，以便更好地预防和解决问题。
总的来说，多模态理论是一种强大的理论，可以帮助我们更好地理解行为，并找出这些行为背后的深层原因。
它也可以帮助我们更好地预测行为的发展趋势，以便更好地解决问题。
因此，多模态理论是一个有价值的理论，值得深入研究。
模态分析的理论介绍及目的
模态分析理论1模态分析简介1.1 模态简介模态是结构固有的振动特性，每一个模态具有一个特定的固有频率、阻尼比和模态振型。
这些模态参数可以由分析软件分析取得，也可以经过试验计算获得，这样一个软件或者试验分析过程称为模态分析。
这个分析结果如果是由有限元计算的方法取得的，则称为计算模态分析；如果结果是通过试验将采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数，称为试验模态分析。
模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。
1.2 固有频率简介固有频率是物体的一种物理特性，由它的结构、大小、形状等因素决定的。
这种物理特征不以物体是否处于振动状态而转移。
当物体在多个频率上振动时会渐渐固定在某个频率上振动，当他受到某一频率策动时，振幅会达到最大值，这个频率就是物体的固有频率。
1.3 振型简介振型是指体系的一种固有的特性。
它与固有频率相对应，即为对应固有频率体系自身振动的形态。
每一个物体实际上都会有无穷多个固有频率，每一阶固有频率相对应物体相对应的形状改变我们称之为振型。
理论上来说振型也有无穷多个，但是由于振型阶数越高，阻尼作用造成的衰减越快，所以高振型只有在振动初期才较明显，以后则衰减。
因此一般情况下仅考虑较低的几个振型.1.4模态分析的目的模态分析技术从上世纪60年代开始发展至今，已趋于成熟。
它和有限元分析技术一起，已成为结构动力学中的两大支柱。
到目前，这一技术已经发展成为解决工程振动问题的重要手段，在机械、航空航天、土木建筑、制造化工等工程领域被广泛的应用。
我国在这一方面的研究，在理论上和应用上都取得了很大的成果，处于世界前列。
模态分析的最终目标就是识别出系统的模态参数，为结构系统的振动特性的分析、振动故障的诊断和检测以及结构的优化提供依据。
模态分析技术的应用可归结为以下几个方面：1) 评价所求结构系统的动态特性；2) 在新产品设计中进行结构特性的预估，优化对结构的设计；3) 诊断及预报结构系统中的故障；4) 识别结构系统的载荷。
《多模态理论文献综述1600字》
多模态理论文献综述多模态理论自提出以来，被广泛应用于多种领域，本文将从多模态的定义、多模态学习问题和其他领域对多模态理论进行综述。
一、关于多模态的定义顾曰国（2007）认为模态是指人类通过感官(如视觉、听觉等)跟外部环境(如人、机器、物件、动物等)之间的互动方式。
用单个感官进行互动的叫单模态,用两个的叫双模态,三个或以上的叫多模态。
无论是单媒体、双媒体还是多媒体,如果其内容是关于多模态互动的,我们称其为多模态内容。
黄立鹤（2016）将“模态”定义为人类通过感官系统(如视觉、听觉、触觉等)跟外部环境(如人、机器、物件、动物等)之间的互动方式。
感知模态和产出模态同时作用才能顺利实现完整的言语交际。
黄立鹤和张德禄（2019）认为多模态概念可归结为三个反面，即将其视为感官及相应的神经系统、将其视为在社会文化中形成的创造意义的符号资源、将其定义为人机交互中的信息呈现方式。
二、关于多模态学习问题张德禄（2012）探讨了多模态学习问题，发展多模态话语分析理论中所称的“多元读写能力”。
关于多元读写能力的培养，将课堂讲授、实景实践、批评性框定和转化实践结合起来形成一个多元读写能力培养模式。
黄立鹤（2014）认为以信息技术为主要代表的科技进步为教与学带来了新的机遇，为构建虚拟教育生态环境提供了技术可能。
教师要充分利用先进技术为英语教育带来的便利，设计出符合学习规律的大学英语教学体系，调用学习者的多种模态，增强其学习效果。
张德禄和陈一希（2015）对我国外语专业本科生多元能力结构进行了探索，认为当前国际国内的综合因素要求我们重新思考外语专业本科生的培养目标。
根据新的培养目标，我们需要重新构建外语本科生的能力结构。
外语本科生的能力结构一方面要和国际接轨，另一方面要符合我国实际情况，突出我国外语专业的特色。
黄立鹤（2021）认为外语教学作为鲜活的社会活动，可从主体、活动、系统三个建模视角出发，结合多模态话语分析、多模态互动分析、多模态语料库研究、多模态认知研究、多模态教学技术研发等具体路径与方法，进行教学创新与科学研究。
多模态理论发展历程
多模态理论发展历程多模态理论是研究人类感知和认知过程的一种理论，它主要探讨人类在接收和处理外界信息时所涉及的多个感官通道的互动和整合。
多模态理论的发展历程可以追溯到上世纪50年代初。
早期的研究主要集中在人类感官系统的结构和功能上。
通过对不同感官通道的研究，科学家们发现人类的感官系统并不是完全独立的，它们之间存在着相互作用和整合的关系。
这一发现促使科学家们开始关注多感官信息的综合处理过程。
随着技术的不断进步，研究者们开始使用更先进的实验方法和设备来研究多模态信息的处理过程。
例如，他们使用脑电图（EEG）和功能磁共振成像（fMRI）等技术来研究不同感官通道在大脑中的活动模式，并通过分析这些数据来了解多模态信息的整合机制。
在研究方法的改进和技术的支持下，多模态理论得以进一步发展。
研究者们提出了一系列的模型和理论来描述人类对多模态信息的感知和认知过程。
其中最著名的是Gibson的“感知生态学”理论和McGurk效应。
感知生态学理论认为，人类的感知和认知是通过与环境的交互来实现的，不同感官通道的信息被整合在一起，形成对环境的综合感知。
而McGurk效应则是指人们在接收到视觉和听觉信息不一致的情况下，往往会产生一种错觉，即听到一个与实际发音不同的声音。
此外，还有一些基于神经网络和计算模型的理论被提出来，用来解释多模态信息的处理机制。
这些模型尝试使用数学和计算方法来模拟人类感知和认知的过程，并通过比对模型的输出与实际数据来验证理论的可行性。
综上所述，多模态理论的发展经历了一系列的研究和发展过程，从对感官系统的结构和功能的认识，到对多感官信息的整合机制的探索，再到对多模态信息处理过程的建模和模拟。
这一过程使我们更好地理解了人类感知和认知的本质，并且在实际应用中有着广泛的应用前景。
模态分析理论
精心整理模态分析指的是以振动理论为基础、以模态参数为目标的分析方法。
首先建立结构的物理参数模型，即以质量、阻尼、刚度为参数的关于位移的振动微分方程；其次是研究其特征值问题，求得特征对（特征值和特征矢量），进而得到模态参数模型，即系统的模态频率、模态22¨330m 0z k 2k k z 000m 0k k z 0z +--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦（9） 定义主振型由于是无阻尼系统，因此系统守恒，系统存在振动主振型。
主振型意味着各物理坐标振动的相位角不是同相（相差0o ）就是反相位（相差180o ），即同时达到平衡位置和最大位置。
主振型定义如下：()i i j ωt+i i sin ωt+=Im(e )φφi mi mi z =z z （10）其中为第i 阶频率下，各自有度的位移矢量，为第i 个特征矢量，表示第i 阶固有频率下的振型，i ω为第i 阶频率下的第i 个特征值，i φ为（去除项化简得以矩阵的形式展开得：2i 2i mi 2i k-ωm -k 0-k 2k-ωm -k z =00-k k-ωm ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（15）有非零解，则2i 2i 2i k-ωm -k 0-k 2k-ωm -k =00-k k-ωm ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（16）即()234222ω-m ω+4km ω-3k m =0（17）阶固有频率，每一个特征根对应一个特征矢量，表示对应模态下该由式3i i 21=z k 如果设定了1z 值，则就可以求出三个特征根值下，2z 和3z 相对于1z 的位移。
假设m=k=1， 一阶模态，1ω=0：21z =1z ，31z =1z ，即；二阶模态，223kω=m ：21z=0z，31z=-1z，即；三阶模态，23kω=m ：21z=-2z，31z=1z，即。
运动方程的解耦图错误！未指定顺序。
运动方程解耦过程在进行坐标变换之前需对刚度矩阵和质量矩阵进行归一化。
模态分析理论
模态分析指的是以振动理论为基础、以模态参数为目标的分析方法..首先建立结构的物理参数模型;即以质量、阻尼、刚度为参数的关于位移的振动微分方程；其次是研究其特征值问题;求得特征对特征值和特征矢量;进而得到模态参数模型;即系统的模态频率、模态矢量、模态阻尼比、模态质量、模态刚度等参数..特征根问题以图3所示的三自由度无阻尼系统为例;设123m =m =m =m ;123k =k =k =k ;图 1 三自由度系统其齐次运动方程为： 8其中分别为系统的质量矩阵和刚度矩阵;123m 00m 00m=0m 0=0m 000m 00m ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦;11212221k -k 0k -k 0k=-k k +k -k =-k 2k -k 0-k k 0-k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦;则运动方程展开式为：¨11¨22¨33z m 00k k 0z 00m 0z k 2k k z 000m 0k k z 0z ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦9定义主振型由于是无阻尼系统;因此系统守恒;系统存在振动主振型..主振型意味着各物理坐标振动的相位角不是同相相差0o 就是反相位相差180o ;即同时达到平衡位置和最大位置..主振型定义如下：()i ij ωt+i i sin ωt+=Im(e)φφi mi mi z =z z 10其中为第i 阶频率下;各自有度的位移矢量;为第i 个特征矢量;表示第i 阶固有频率下的振型;i ω为第i 阶频率下的第i 个特征值;i φ为初始相位..对于三自由度系统;在第i 阶频率下;等式可以写成1m1i 2m2i i i 3m3i z z z =z sin(ωt+)z z φ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11mki z 表示第k 个自由度在第i 阶模态下的模态矩阵..特征值对式10二次求导;得2i i i =-ωsin(ω+)φ¨i mi z z 12代入齐次运动方程得13去除项化简得14以矩阵的形式展开得：2i 2i mi 2i k-ωm -k 0-k 2k-ωm -k z =00-k k-ωm ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦15 有非零解;则2i 2i 2i k-ωm -k 0-k 2k-ωm -k =00-k k-ωm ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦16即()234222ω-m ω+4km ω-3k m =0 17方程解如下：1ω=0;23k ω=m ±;3kω=m±..三个解对应该系统的前三阶固有频率;每一个特征根对应一个特征矢量;表示对应模态下该系统的振型..特征矢量由式得矩阵展开形式：2i m1i 2i m2i 2i m3i k-ωm -k 0z -k 2k-ωm -k z =00-k k-ωm z ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 18 展开第一行和第二行;忽略下脚标m 和i;得()()2i1221i3k-ωm z -kz =0-kz 2k-ωm kz+-= 19得22i 124223ii21z k-ωm =z k z m ω-3km ω+k =z k 20如果设定了1z 值;则就可以求出三个特征根值下;2z 和3z 相对于1z 的位移..假设m=k=1;一阶模态;1ω=0：21z =1z ;31z =1z ;即；二阶模态;223k ω=m ：21z =0z ;31z =-1z ;即；三阶模态;23kω=m ：21z =-2z ;31z =1z ;即..模态矩阵所谓模态矩阵就是指各列由各阶模态特征矢量构成的矩阵;如图4所示..图 2 模态矩阵对于前面提到的三自由度系统;模态矩阵如下：运动方程的解耦对于一个复杂的系统;在物理坐标系统中建立的运动方程之间存在耦合关系;因此求解起来比较麻烦;因此需要进行坐标系转化;将耦合的运动方程变为非耦合的运动方程;再将求得的结果转化为物理坐标系下的结果;运动方程解耦过程如下图5：图 3 运动方程解耦过程在进行坐标变换之前需对刚度矩阵和质量矩阵进行归一化..任意上面的三自由度系统为例;由式得2122 对式21左乘得23 又因为因为系统对称所以;;则：24 对式24右乘25 则式23—式25得26 当时;则27 当;即;则可以为任何值;令28 则对质量矩阵和刚度矩阵的归一化结果如下：2930特征矢量的归一化由于特征矢量只是位移之比;而不是绝对振幅;因此可以对其进行归一化处理..令;其中3132对于对角质量矩阵33则三自由度系统：343m 2m 6m 326=003m 6m m 363m2m6m 326n z 35 则归一化的质量矩阵为100010001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Tn n n m =z mz 36 同理归一化后的刚度矩阵为000k =010m003⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n k 37可以看出归一化后的刚度矩阵对角线上的各项就是各阶模态固有频率的平方..运动方程解耦将物理坐标系下的运动方程¨11¨22¨33z m 00k -k 0z 0 0m 0z +-k 2k -k z =000m 0-k k z 0z ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦按照前面介绍的归一化方法转化为主坐标系下的运动方程;其结果如下：¨p1p1¨p2p2¨p3p30z 00z 0k 00z +-k z =0m 00z 03k z 0-km 001101⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦38 可以看出在主坐标系中的运动方程之间没有耦合关系;分别单独描述各阶模态的运动特性..初始条件和激励的坐标转换物理坐标系中的非齐次运动方程为..mz+kz =F 39做如下变形..T -1T -1Tnn nn n n n z mz z z+z kz z z =z F 40 其中T n n z mz ;Tn n z kz 就是前面介绍的质量和刚度矩阵的对角化.. 令Tp n n m =z mz ;主坐标质量矩阵；Tp n n k =z kz ;主坐标刚度矩阵； ....-1p nz z =z ;主坐标系加速度矢量；-1n p z z =z ;主坐标系位移矢量； T n p z F =F ;主坐标系激励矢量..同样的关系也适用于初始位移和速度：-1op n o ..-1op n o z =z z z =z z 42两种坐标系的对比物理坐标系主坐标系物理坐标系中的运动方程的变量是速度和位移;在主坐标系中的变量是各阶振动模态下的位移和速度..由主坐标系转变为物理坐标系前面介绍了物理坐标系与主坐标系之间的关系为-1n p z z =z 43对式41左乘n z ;变为=-1n n n p z z z =z z z 44同理p =..n z z z 45非参数模型传递函数传递函数由系统的本质特性所决定;与系统的输入输出无关..知道了系统的传递函数就可以根据输入求输出或根据输出求输入..以图2的单自由度粘性阻尼系统为例;图 4 单自由度系统则该系统的运动方程为：...m z +c z +kz=F 1其中m 为质量;c 为阻尼系数;k 为刚度系数;z;分别为位移、速度和加速度..对二阶微分方程进行拉普拉斯变换;其中二阶导数项的拉普拉斯变换为：2假设初始位移和速度都为零;则3则经过拉普拉斯变换后的运动方程为：4求解拉氏方程得传递函数：22z(s)11/m==c k F(s)ms +cs+k s +s+m m5 其中定义2n kω=m为非阻尼系统的固有频率;rad/sec ；cr c 2km =阻尼值;ζ为阻尼比;一般为阻尼与临界阻尼的比值;cr c =c ζ;则n c 2ω=mζ.. 则传递函数又可以写成：22n nz(s)1/m=F(s)s +2ωs+ωζ 6 频响函数FRF用“j ω”代替s;得系统的频响函数;其中j 是虚数项：()()22n n 22n n z(j ω)1/m=F(j ω)j ω+2ζωj ω+ω1/m=-ω+2ζωωj+ω 7其中n kω=m ;=2kmζ则频响函数可以写成2z(j ω)1=F(j ω)-m ω+j ωc+k8 质量、阻尼、刚度对FRF 的影响刚度增大导致共振频率的增大;并且降低FRF 在低频段的幅值..增加阻尼会使共振频率略微减小;但它的主要作用是减小频响函数在共振点的幅值;同时使相位的改变较为平缓..如果阻尼为零;在共振点振动振幅将趋于无穷大;相位会突变180o ..增大质量会降低共振频率;同时也降低FRF 在高频段的幅值..。
多模态理论发展历程
多模态理论发展历程多模态理论是指人类在信息传递和理解过程中同时使用多种感知通道的理论。
这个理论的发展历程可以追溯到20世纪70年代，以下将对其发展历程进行详细介绍。
多模态理论的起源可以追溯到20世纪70年代，当时认知心理学家Albert Mehrabian提出了一个著名的理论——Mehrabian 的情感通信论。
该理论认为，在面对面的交流中，人们通过言语（语言）和非言语（声音和肢体动作）来传达信息，其中言语只占总体交流的7%，而非言语则占93%。
这一观点表明人类在交流中广泛运用了多个感知通道。
在1980年代，学者们开始将多模态理论进一步发展为更加系统化的理论。
他们提出了多模态计算模型，该模型将多模态信息处理分为三个阶段：感知阶段、草图表示阶段和理解与决策阶段。
感知阶段涉及到多种感知通道的信息接收和初步处理，如视觉、听觉、触觉等。
草图表示阶段是将多模态信息转换为内部表征的过程，可以理解为对接收到的感知信号进行编码。
在理解与决策阶段，人们将以不同模态获得的信息整合起来，进行综合理解和决策。
随着计算机技术的快速发展，多模态理论的研究得以更加深入和广泛地进行。
20世纪90年代，学者们开始关注计算机视觉和多模态信息融合的研究。
他们提出了一系列的多模态融合方法，如特征级融合、决策级融合等。
这些方法通过将不同模态的信息进行融合，达到更好的信息处理和理解效果。
此外，学者们还开展了大量的多模态交互研究，探索了人机交互中多模态传递和理解的方法和技术，如语音识别、手势识别等。
进入21世纪，多模态理论引起了越来越多研究者的兴趣。
学者们开始将多模态理论应用于更广泛的领域，如智能交互系统、虚拟现实、机器人等。
他们通过多模态交互和信息融合的方式，提高了交互系统的智能化水平和用户体验。
同时，学者们也致力于发展多模态理论的更加细致和精确的模型，将其应用于各种复杂的任务和场景，如情感识别、语义理解等。
总的来说，多模态理论是在20世纪70年代开始发展起来的，在学者们的不断努力下，逐渐发展为一个完整的理论体系。
模态分析理论基础PPT课件
v( ) f ()
• 三者之间的关系
H a ( )
a( ) f ()
Ha () jHv () ( j)2 Hd () 2Hd ()
• 动刚度（位移阻抗） Z (s) ms 2 cs k
•
动柔度（位移导纳）
H (s)
1 ms2 cs k
12/26
• 质量阻抗、阻尼阻抗、刚度阻抗（位移、速度、加速度） • 质量导纳、阻尼导纳、刚度导纳（位移、速度、加速度）
解析模态分析可用有限元计算实现，而试验模态分析则是对结构进行 可测可控的动力学激励，由激振力和响应的信号求得系统的频响函数 矩阵，再在频域或转到时域采用多种识别方法求出模态参数，得到结 构固有的动态特性，这些特性包括固有频率、振型和阻尼比等。
1/26
有限元分析软件(如ANSYS、NASTRAN、SAP、MAC等)在结
• 幅频图
20/26
+ 实频图与虚频图
21/26
•Nyquist图
22/26
• 不同激励下频响函数的表达式
– 要点 • 频响函数反映系统输入输出之间的关系 • 表示系统的固有特性 • 线性范围内它与激励的型式与大小无关 • 在不同类型激励力的作用下其表达形式常不相同
– 简谐激励 • 激励力 • 响应
HR 1, 2
(
)
4k
1
(1
)
2
1
g
2
半功率带宽反映阻尼大小 阻尼越大，半功率带宽
越大，反之亦然
16/26
• 虚频图
•
H
I
( )
g
k[(1 2 )2
g2]
（结构阻尼）
•
H
I
( )
模态分析理论范文
模态分析理论范文模态分析理论的核心理念是，人们在特定的社会和文化情境下会表现出不同的态度和行为。
它认为，我们的态度、信念和行为不仅受到个体心理因素的影响，还受到社会和文化环境的影响。
因此，要全面了解一个人的态度或行为，就需要考虑到这个人所处的情境。
首先，模态指的是人们在特定情境下所采取的态度、信念和行为。
它可以通过探究个体的思考方式、观点和意见来理解。
例如，一些人可能会对一些产品持有积极的态度，这可能是因为他对产品的特点和功能有较高的认同。
其次，資源指的是人们在模态形成过程中所依赖的信息和知识。
在分析模态时，人们使用各种不同的资源来评估和形成自己的态度。
这些资源可以是个体的经验、心理特征、社会身份或文化价值观。
通过了解人们所依赖的资源，我们可以更好地理解他们的态度和行为。
最后，情境是指人们所处的社会和文化环境。
情境对个体的态度和行为具有重要的影响。
在不同的情境下，人们可能表现出不同的态度和行为。
例如，同一个人在工作时可能持有不同的观点和做法，而在家庭生活中可能又是另一种态度和行为。
模态分析理论的应用非常广泛。
在广告和市场营销领域，模态分析理论被用于理解消费者的态度和行为，从而更好地设计和推广产品。
在政治和公共政策领域，模态分析理论可以帮助政治家和政策制定者了解公众的意见和需求，有针对性地制定政策和决策。
在社会学和心理学领域，模态分析理论可以用来研究群体行为和态度的变化，揭示社会和文化因素对个体的影响。
然而，模态分析理论也存在一些限制。
首先，因为人们的态度和行为是受多个因素的影响，所以模态分析理论不能解释所有的情况。
其次，模态分析理论强调了情境对个体行为的影响，但情境本身也是由个体创造和改变的，所以情境也会受到个体行为的影响。
最后，模态分析理论对于一些复杂的社会和文化现象可能无法提供充分的解释，因为这些现象涉及多个层面和多个因素的交互作用。
总之，模态分析理论是一种有用的社会科学研究方法，可以帮助我们理解人们在特定情境下的态度和行为。
第七章 固有模态理论
第七章 固有模态理论§7.1 离散有限元模型的振动基本方程7.1.1 模型抽象化结构动力学的理论基础是弹性动力学。
主要的研究内容是结构系统的有限元建模理论和动力学分析方法，包括振动特性分析与动响应分析。
结构系统的建模过程可分为两个过程。
首先是从工程实际出发，对实际结构系统作力学抽象。
取出实际结构的力学内容，包括它的几何构形、运动与变形、载荷与内力，以及材料性能等，构造一个力学模型。
这个过程是个重要的定性过程。
然后是对构造力学模型进一步作数学的描述，根据力学原理给定各力学量之间的数量关系，建立起数学模型。
这是个定量过程。
建立有限元模型采用的是离散化概念。
在第四章至第六章介绍了动力学有限元的基本理论和有限元特性矩阵的生成方法。
在定性建模过程中，对构形进行离散化，将作为连续介质的结构系统进行网格划分，划分成有限元。
在变形与受力分析的基础上确定有限元类型，选取节点并进行编号，生成结构系统的节点位移向量{x }，确定结构系统的自由度数。
在定量建模过程中，首先对有限元的力学量场变量进行离散化，在力学分析或能量分析基础上确定有限元的特性，包括刚度特性、惯性特性，以及阻尼特性，生成有限元刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵等特性矩阵。
最后进行装配集成生成结构系统的数学模型，通俗的说法是将有限元特性矩阵按其节点编号对号入座来形成结构系统的特性矩阵，再根据力学原理推导出结构系统有限元模型的动力学基本方程，生成在位移空间内的数学模型，其基本形式是}{}]{[}]{[}]{[f x K x C x M =++ (7.1) 其中[K ]是结构系统的刚度矩阵，[M ]是其质量矩阵，[C ]是其阻尼矩阵。
7.1.2 数学模型的分类对一个实际的工程结构，可以从不同角度进行数学描述，构造出不同形式的数学模型。
结构系统的动力学现象是在时、空域内发生，它的描述是在一定的空间域和时间域内给出。
选取不同的空间域和不同的时间域，将给出不同的数学模型。
模态分析理论
机械模态分析理论基础假设：系统是线性、定常与稳定的线性时不变系统 线性：描述系统振动的微分方程为线性方程，其响应对激励具有叠加性;定常：振动系统的动态特性（如质量、阻尼、刚度等）不随时间变化，即具有频率保持性;如系统受简谐激励-响应的频率必定与激励一致。
稳定：系统对有限激励必将产生一个有限响应，即系统满足傅氏变换和拉氏变换的条件。
振动系统分类：空间角度：离散（有限自由度）系统和连续（无限自由度）系统 时间角度：连续时间系统和离散时间系统 连续模拟信号--离散数字信号研究步骤：（1）建立结构的物理参数模型（以质量、阻尼、刚度为参数的关于位移的振动微分方程）（2）研究其特征值问题，求得特征值和特征矢量，得到结构的模态参数模型（模态频率、模态矢量、模态阻尼比、模态质量、模态阻尼、模态刚度等参数）。
正则化，解耦。
（3）通过研究受迫动力响应问题，可得到系统的非参数模型（频响函数和脉冲响应函数）。
频响函数和脉冲响应函数是试验模态分析系统识别模态参数的基础。
根据阻尼模型的不同，分为：无阻尼系统、比例阻尼系统、结构阻尼系统、粘性阻尼系统1、 单自由度系统的振动粘性阻尼系统的振动微分方程：)(t f kx x c x m =++&&&自由振动：0=++kx x c x m &&&正则形式：0220=++x x x ωσ&&&其中：m c 2=σ：衰减系数（衰减指数）；mk =0ω：无阻尼固有频率（固有频率） 引入阻尼比（无量纲阻尼系数）：mkc 20==ωσζ运动微分方程可写成：02200=++x x x ωζω&&&特解为：t e xλϕ=，λ为方程的特征值，因此： 0)(2=++ϕλλk c m为使系统有非零解，很显然：02=++k c m λλ因此可得到λ的解为：d j ωσλ±-=2,1 式中：201ζωω-=d 成为阻尼固有频率。
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Tyler & Sofrin 模态分析理论
非定常来流与叶片干涉产生的声波在风扇或涡轮中并非是任意形态存在的。
Goldstein 在假定平均流场有势的前提下，建立起了平均流场中任意一点的扰动量与远前方来流扰动量之间的相互关系，给出了下面的方程，
()()00002000111I D D Dt c Dt ϕρϕρρρ⎛⎫-∇∇=∇ ⎪⎝⎭u （0-1）
由以上方程可知，在非均匀平均流的情况下，来流扰动不仅通过边界条件与声扰动相互作用，而且在传播过程中也会与声扰动耦合，并形成如（2-2）右边所示声源[68]。
在航空发动机叶轮机内部，最重要的边界条件就是管道效应，由于管道边界的限制，声波在其中只能以特定的形态出现，也就是我们常说的模态。
在均匀平均流中，考虑一个环形管道，硬壁条件，对小扰动有下面的对流波动方程[12]，
2222222110i M p p x x r r r r ωυ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫+-+++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ （0-2）
波动方程描述的特征值问题是可解的，环形管道中我们可以将它的一般解展开为傅里叶-贝塞尔形式的模态
()()()1,,m m ik x ik x im m m m m p x r A e B e U r e μμθμμμμθ+-∞∞---=-∞==+∑∑ （0-3）
这里径向模态和径向、轴向波数分别满足
()
2222
2210m m m m m m m m m U U U r r Mk k k μμμμμμμμααω±⎛⎫'''++-= ⎪⎝
⎭=--= （0-4） 其中，径向特征模态()m U r μ以贝塞尔函数的形式出现，m 和μ分别表示周向和径向模态数。
满足上述波动方程的声波解在环形或圆形管道中会以图2-4所示的螺旋波形式出现和传播。
Tyler 和Sofrin 是最早研究叶轮机内部叶片非定常气动力旋转模态特征的学者，他们的研究结果已经成为当代航空燃气涡轮发动机气动声学设计的主要理论基础之一。
Tyler 和Sofrin 的分析表明，非定常叶片气动力会产生不同于定常气动力所产生的高速旋转压力模态，其中某些非定常气动力模态会表现为以大于转子速度
的
图2- 1 圆形管道中的声波等相位表面
角速度旋转的压力图谱。
这种物理现象可以用一架电影摄影机给旋转的轮子照相的情形类比分析，轮子投影运动的角速度可以与轮子真实速度有很大差别，它取决于轮子角速度、轮子辐条数目以及摄影机每秒钟所摄画面的数目。
对于叶轮机械，非均匀流主要是由叶片的尾迹与势流场的干涉引起的，这种非均匀流中的传播模态主要是由转子和静子的叶片数目、转子旋转速度以及绝对气流速度等因素决定的。
下面用一种简单的模型对叶轮机械非均匀传播模态进行说明。
如图2-5所示，因为转子叶片通过静子叶片流场时，在静子叶片上产生一个干涉“脉冲”，如果假定动叶数目是4，静叶数日是1，则在每1/4转内就有一个干涉“脉冲”，即在静子叶片位置将产生一个频率为转子叶片通过频率的单音声源，如果具有两个等间隔的静子叶片，则上述干涉过程在两个静子叶片上同时发生，因此产生两个频率为转子叶片通过频率的单音声源。
如果具有4个等间隔的静子叶片，则产生4个频率为转子叶片通过频率的单音声源。
这种“多源”（multisource）模式使得问题复杂化了，因为在远场由于声源之间干涉效应会导致噪声的放大或抵消。
图2- 2 转子-静子干涉图示
对于一般的风扇/压气机或涡轮，静子叶片数目与转子叶片数目不是成准确的倍数关系，这时的物理现象更加复杂。
如果静子叶片数且比转子叶片数少1个，如图2-6所示，转子叶片每l/4转诱导出3个干涉脉冲，这3个不同空间位置上的脉冲时间上等间隔，并且依次按转子旋转方向出现，因此，转子每旋转一周，不仅在每一个静叶上产生4次干涉，而且产生一个附加的与转子旋转方向一致的高速旋转的压力模态（4倍旋转速度），即使转子叶尖速度是亚音速，4倍的旋转速度的旋转压力模态的速度也可能超音速。
有趣的是，当静子叶片数比转子叶片数目多1个时，同样会产生一个4倍旋转速度的旋转压力模态，但这时旋转压力模态与转子旋转方向相反。
这一点对于控制风扇／压气机单音通过上游叶片排的传播和辐射是有重要意义的。
图2- 3 转子-静子干涉图示
上述旋转压力模态可以用一个相当简单的方式描述。
如果转子叶片数目是B，静子叶片数目是V，则转子-静子干涉形成的旋转压力模态的n次谐波的周向阶数为
=（0-5）
m±
kV
nB
式中，k是任意常数，表示静子产生的畸变的空间谐波。
此时干涉旋转压力模态的的叶尖周向马赫数为，
0m nB r M mc Ω= （0-6）
式中，r 0是叶尖半径，Ω为转子旋转角速度。
Tyler 和Sofrin 给出了干涉旋转压力模态的轴向波数形式：
m k μ== （0-7）
也就是式（2-5）平均流马赫数为0时的情况，式中m μα与是管道轮毂比与外径的
函数（见附录1）。
定义m m M m μα*=表示临界周向马赫数，Tyler 和Sofrin 指出，
当m M 小于m M *时，声波被截止，幅值沿轴向会很快衰减，而m M 大于m M *时，声
波表现出传播特性。
从式（2-4）亦可见，当m k μ为虚数时，波动幅值沿轴向是以指数形式下降的，即旋转压力模态被“截止”（cut －off ）。
除了上述判断外，工程上应用更多的是下面的简单方法：
01/p r c nB ->Ω （0-8）
式中p 表示静子或畸变引起的空间谐波数，当上式成立时即满足截止条件。
上述“截止”条件说明，即使是亚音叶尖速度的风扇/压气机或涡轮，也可能产生传播模态。
“截止”条件在现代叶轮机声学设计中起着十分重要作用，仅仅通过合理选择转子和静子叶片数目，就可获得可观的降噪效果。
Tyler 和Sofrin 这一重要发现已成为当今风扇／压气机设计必须考虑的一个重要因素。
2.3 影响单音截止设计的因素
模态分析的目的在于合理的选择转子和静子叶片数目，使得叶片通过频率下转静干涉产生的单音噪声在管道中被“截止”。
对于被“截止”的非传播模态，声波的衰减率是由方程（2-4）中的传播项决定，应用式（2-8）就可以重写成，
m ik x e e e μ---== （0-9）
当m M 小于于m M *时，则传播项就变成阻尼项的形式，
xmn ik x e e -= （0-10）
由上式可以明显看出，模态是随离声源的距离x 而衰减（消失模态evanescent modes ）。
Tyler & Sofrin （1962）计算了空心圆形管道和环形管道中不同阶数m
模态的每管道半径长度的声压级衰减率（0/(/)8.69db x r ∆∆=，计
算结果如图2-7所示。
对于所有的管道形式，一般地，周向模态阶数m 越高，模
态幅值衰减的就越快，临界马赫数mn Ma *越小。
(a) 轮毂比σ=0 (b) 轮毂比σ
=0.25
(c)轮毂比σ=0.50 (d) 轮毂比σ=0.75
图 2- 4圆形或环形管道各模态衰减率（Tyl er & Sofrin （1962））
对给定的通道内外径，周向模态数较小的声波总是更容易向外传播，选择转子与静子叶片数的原则就是使产生的最小周向模态声波满足“截止”条件。
与风扇不同，大涵道比涡扇发动机低压涡轮通常叶片数都很多，可达100-150左右，且转静子叶片数目之比接近1，这样根据式（2-6），最小的周向模态通常出现在k=1时。
因此在低压涡轮中，单音截止设计
就是使转静叶片数目之差足够大，而转子叶
片数越小，满足截止设计的这个“差值”越
小。
图2-7结果还表明，环形管道轮毂比越
大，临界马赫数mn Ma *就越小，也就是说通
道外径固定时，相比圆形管道，声波在环形
管道中更容易被截止。
图2-8给出的不同周
向模态阶数m 下临界马赫数与轮毂比的关系可以更清楚的看到这一趋势，且σ越小临界马赫数变化越慢。
同时注意到m 越大，临界马赫数的变化范围越小，当m ≥32时，这一范围已不到0.05。
图 2- 5 临界马赫数随轮毂比的变化
从式（2-5）中轴向波数的表达式可以看到，主流马赫数也会影响管道中声波截止。
考虑管道中主流的影响，临界马赫数重新定义如下：
M*=（0-11）
m
通道主流马赫数越大，临界马赫数越小，意味着主流对转静干涉声波有“阻碍”作用，高马赫数下干涉单音更容易被截止。
尽管如此，为了使单音截止设计不因发动机运行工况的改变而失效，在进行单音截止设计时通常认为背景主流马赫数为0。
除了上述因素外，影响管道中声波截止的还有转速、通道外径和当地声速。
其中转速的影响是显而易见的，其它条件不变的情况下，转速越高，叶尖周向马赫数越高，会有更多的高阶周向模态“跨过”截止边界成为强烈的声源。
通道外径的影响与转速相似，更大的半径意味着更高的叶尖周向马赫数。
当地声速越大则叶尖周向马赫数越小，声波更容易被截止，从这一点上讲，涡轮中的截止设计较压气机中容易。
管道声模态测量所需麦克风个数确定
假如需要测量的周向模态阶数为m，径向模态阶数为n，则沿周向至少均匀布置2m个麦克风，每一个周向位置沿径向均匀布置2n个麦克风，一共是4m*n个麦克风。
这是传统的测量方法，当模态阶数比较高时，需要大量的麦克风。
为了减少麦克风个数，可以使用可旋转探针杷装置，如下图所示：
探针杷结构示意图。