模态理论

Tyler & Sofrin 模态分析理论

非定常来流与叶片干涉产生的声波在风扇或涡轮中并非是任意形态存在的。Goldstein 在假定平均流场有势的前提下，建立起了平均流场中任意一点的扰动量与远前方来流扰动量之间的相互关系，给出了下面的方程，

()()00002000111I D D Dt c Dt ϕρϕρρρ⎛⎫-∇∇=∇ ⎪⎝⎭u （0-1）

由以上方程可知，在非均匀平均流的情况下，来流扰动不仅通过边界条件与声扰动相互作用，而且在传播过程中也会与声扰动耦合，并形成如（2-2）右边所示声源[68]。在航空发动机叶轮机内部，最重要的边界条件就是管道效应，由于管道边界的限制，声波在其中只能以特定的形态出现，也就是我们常说的模态。在均匀平均流中，考虑一个环形管道，硬壁条件，对小扰动有下面的对流波动方程[12]，

2222222110i M p p x x r r r r ωυ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫+-+++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ （0-2）

波动方程描述的特征值问题是可解的，环形管道中我们可以将它的一般解展开为傅里叶-贝塞尔形式的模态

()()()1,,m m ik x ik x im m m m m p x r A e B e U r e μμθμμμμθ+-∞∞---=-∞==+∑∑ （0-3）

这里径向模态和径向、轴向波数分别满足

()

2222

2210m m m m m m m m m U U U r r Mk k k μμμμμμμμααω±⎛⎫'''++-= ⎪⎝

⎭=--= （0-4） 其中，径向特征模态()m U r μ以贝塞尔函数的形式出现，m 和μ分别表示周向和径向模态数。满足上述波动方程的声波解在环形或圆形管道中会以图2-4所示的螺旋波形式出现和传播。

Tyler 和Sofrin 是最早研究叶轮机内部叶片非定常气动力旋转模态特征的学者，他们的研究结果已经成为当代航空燃气涡轮发动机气动声学设计的主要理论基础之一。

Tyler 和Sofrin 的分析表明，非定常叶片气动力会产生不同于定常气动力所产生的高速旋转压力模态，其中某些非定常气动力模态会表现为以大于转子速度

的

图2- 1 圆形管道中的声波等相位表面

角速度旋转的压力图谱。这种物理现象可以用一架电影摄影机给旋转的轮子照相的情形类比分析，轮子投影运动的角速度可以与轮子真实速度有很大差别，它取决于轮子角速度、轮子辐条数目以及摄影机每秒钟所摄画面的数目。对于叶轮机械，非均匀流主要是由叶片的尾迹与势流场的干涉引起的，这种非均匀流中的传播模态主要是由转子和静子的叶片数目、转子旋转速度以及绝对气流速度等因素决定的。下面用一种简单的模型对叶轮机械非均匀传播模态进行说明。

如图2-5所示，因为转子叶片通过静子叶片流场时，在静子叶片上产生一个干涉“脉冲”，如果假定动叶数目是4，静叶数日是1，则在每1/4转内就有一个干涉“脉冲”，即在静子叶片位置将产生一个频率为转子叶片通过频率的单音声源，如果具有两个等间隔的静子叶片，则上述干涉过程在两个静子叶片上同时发生，因此产生两个频率为转子叶片通过频率的单音声源。如果具有4个等间隔的静子叶片，则产生4个频率为转子叶片通过频率的单音声源。这种“多源”（multisource）模式使得问题复杂化了，因为在远场由于声源之间干涉效应会导致噪声的放大或抵消。

图2- 2 转子-静子干涉图示

对于一般的风扇/压气机或涡轮，静子叶片数目与转子叶片数目不是成准确的倍数关系，这时的物理现象更加复杂。如果静子叶片数且比转子叶片数少1个，如图2-6所示，转子叶片每l/4转诱导出3个干涉脉冲，这3个不同空间位置上的脉冲时间上等间隔，并且依次按转子旋转方向出现，因此，转子每旋转一周，不仅在每一个静叶上产生4次干涉，而且产生一个附加的与转子旋转方向一致的高速旋转的压力模态（4倍旋转速度），即使转子叶尖速度是亚音速，4倍的旋转速度的旋转压力模态的速度也可能超音速。有趣的是，当静子叶片数比转子叶片数目多1个时，同样会产生一个4倍旋转速度的旋转压力模态，但这时旋转压力模态与转子旋转方向相反。这一点对于控制风扇／压气机单音通过上游叶片排的传播和辐射是有重要意义的。

图2- 3 转子-静子干涉图示

上述旋转压力模态可以用一个相当简单的方式描述。如果转子叶片数目是B，静子叶片数目是V，则转子-静子干涉形成的旋转压力模态的n次谐波的周向阶数为

=（0-5）

m±

kV

nB

式中，k是任意常数，表示静子产生的畸变的空间谐波。此时干涉旋转压力模态的的叶尖周向马赫数为，

0m nB r M mc Ω= （0-6）

式中，r 0是叶尖半径，Ω为转子旋转角速度。Tyler 和Sofrin 给出了干涉旋转压力模态的轴向波数形式：

m k μ== （0-7）

也就是式（2-5）平均流马赫数为0时的情况，式中m μα与是管道轮毂比与外径的

函数（见附录1）。定义m m M m μα*=表示临界周向马赫数，Tyler 和Sofrin 指出，

当m M 小于m M *时，声波被截止，幅值沿轴向会很快衰减，而m M 大于m M *时，声

波表现出传播特性。从式（2-4）亦可见，当m k μ为虚数时，波动幅值沿轴向是以指数形式下降的，即旋转压力模态被“截止”（cut －off ）。除了上述判断外，工程上应用更多的是下面的简单方法：

01/p r c nB ->Ω （0-8）

式中p 表示静子或畸变引起的空间谐波数，当上式成立时即满足截止条件。

上述“截止”条件说明，即使是亚音叶尖速度的风扇/压气机或涡轮，也可能产生传播模态。“截止”条件在现代叶轮机声学设计中起着十分重要作用，仅仅通过合理选择转子和静子叶片数目，就可获得可观的降噪效果。Tyler 和Sofrin 这一重要发现已成为当今风扇／压气机设计必须考虑的一个重要因素。

2.3 影响单音截止设计的因素

模态分析的目的在于合理的选择转子和静子叶片数目，使得叶片通过频率下转静干涉产生的单音噪声在管道中被“截止”。对于被“截止”的非传播模态，声波的衰减率是由方程（2-4）中的传播项决定，应用式（2-8）就可以重写成，

m ik x e e e μ---== （0-9）

当m M 小于于m M *时，则传播项就变成阻尼项的形式，

xmn ik x e e -= （0-10）

由上式可以明显看出，模态是随离声源的距离x 而衰减（消失模态evanescent modes ）。Tyler & Sofrin （1962）计算了空心圆形管道和环形管道中不同阶数m

模态的每管道半径长度的声压级衰减率（0/(/)8.69db x r ∆∆=，计

算结果如图2-7所示。对于所有的管道形式，一般地，周向模态阶数m 越高，模