空间向量与平行垂直关系精品PPT课件
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第三章 空间向量与立体几何
2．空间平行关系的向量表示 (1)线线平行 设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2， c2) ， 则 l∥m⇔a∥b⇔__a_＝__λb___⇔a1 ＝ λa2 ， b1 ＝ λb2 ， c1 ＝ λc2(λ∈R)． (2)线面平行 设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量为 u ＝(a2，b2，c2)，则 l∥α⇔a⊥u⇔_a_·_u_＝__0__⇔a1a2＋b1b2＋c1c2 ＝0.
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第三章 空间向量与立体几何
若 A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直线 l 上，则直线 l 的一
个方向向量是( )
A．(2，2，6)
B．(－1，1，3)
C．(3，1，1)
D.(－3，0，1)
答案：A
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第三章 空间向量与立体几何
若平面 α⊥β，且平面 α 的一个法向量为 n＝－2，1，12，
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第三章 空间向量与立体几何
探究点 1 求直线的方向向量与平面的法向量 如图，四棱锥 P ABCD 中，底面
ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点，AB＝AP＝1，AD＝ 3，试建立恰 当的空间直角坐标系，求平面 ACE 的一个 法向量．
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第三章 空间向量与立体几何
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第三章 空间向量与立体几何
(3)面面平行 设平面 α，β 的法向量分别为 u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2， c2)，则 α∥β⇔u∥v⇔__u_＝__λ_v____⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝ λc2(λ∈R)． 3．空间垂直关系的向量表示 (1)线线垂直 设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，a2，a3)，直线 m 的方向向量 为 b ＝ (b1 ， b2 ， b3) ， 则 l⊥m⇔a⊥b⇔a·b ＝ 0⇔__a_1_b_1_＋__a_2b_2_＋__a_3_b_3＝__0_____．
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第三章 空间向量与立体几何
设 n＝(x，y，z)为平面 ACE 的法向量，
则nn··A→CA→＝E＝0，0，即x2＋3y＋312y＝ z＝00，，所以zx＝＝－－
3y， 3y，
令 y＝－1，则 x＝z＝ wenku.baidu.com.
所以平面 ACE 的一个法向量为 n＝( 3，－1， 3)．
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第三章 空间向量与立体几何
【解】 因为 PA⊥平面 ABCD，底面
ABCD 为矩形，所以 AB，AD，AP 两两
垂直．
如图，以 A 为坐标原点，A→B的方向为 x
轴的正方向，建立空间直角 坐标系，则 D(0， 3， 0)，
E0，
23，12，B(1，0，0)，C(1，
3，0)，于是A→E＝0，
23，12，
A→C＝(1， 3，0)．
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第三章 空间向量与立体几何
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 若 两 条 直 线 平 行 ， 则 它 们 的 方 向 向 量 方 向 相 同 或 相 反．( ) (2)平面 α 的法向量是惟一的，即一个平面不可能存在两个不 同的法向量．( ) (3)两直线的方向向量平行，则两直线平行．( ) (4)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直 线与平面垂直．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
则平面 β 的法向量可以是( )
A.－1，12，14
B．(2，－1，0)
C．(1，2，0) 答案：C
D.12，1，2
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第三章 空间向量与立体几何
若直线的方向向量为 u1＝2，43，1，平面的法向量为 u2 ＝(3，2，z)，则当直线与平面垂直时 z＝________． 答案：32
设平面 α 的法向量为(1，3，－2)，平面 β 的法向量为(－2， －6，k)，若 α∥β，则 k＝__________． 答案：4
[变问法]本例条件不变，试求直线 PC 的一个方向向量和平面 PCD 的一个法向量．
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第三章 空间向量与立体几何
解：如图所示，建立空间直角坐标系， 则 P(0，0，1)，C(1， 3，0)，所以P→C＝ (1， 3，－1)，即为直线 PC 的一个方 向向量． 设平面 PCD 的法向量为 n＝(x，y，z)．因为 D(0， 3，0)， 所以P→D＝(0， 3，－1)．
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第三章 空间向量与立体几何
(2)线面垂直 设直线 l 的方向向量是 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量是 u ＝(a2，b2，c2)，则 l⊥α⇔a∥u⇔a＝ λu⇔_________a_1＝__λ_a_2_，__b_1_＝__λ_b_2，__c_1_＝__λ_c_2(_λ_∈__R_)___． (3)面面垂直 若平面 α 的法向量 u＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量 v＝(a2， b2，c2)，则 α⊥β ⇔ u⊥v ⇔ u·v＝0 ⇔_a_1a_2_＋__b_1_b_2＋__c_1_c_2_＝__0．
第三章 空间向量与立体几何
3．2 立体几何中的向量方法
第 1 课时 空间向量与平行、垂直关系
第三章 空间向量与立体几何
1.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念． 2. 会求平面的法向量． 3．能利用直线的方向向量和平面的法向量判断并证明空间中 的平行、垂直关系．
第三章 空间向量与立体几何
1．直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线_____平__行__或__共__线____的向量， 一条直线的方向向量有无数个． (2)平面的法向量 直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 α 的 法向量．
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第三章 空间向量与立体几何
由nn··PP→→CD＝＝00，，即x＋3y－3zy＝－0z＝ ，0， 所以xz＝＝0，3y， 令 y＝1，则 z＝ 3. 所以平面 PCD 的一个法向量为(0，1， 3)．
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第三章 空间向量与立体几何
待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为 n＝(x，y，z)． (2)选向量：在平面内选取两不共线向量A→B，A→C.
第三章 空间向量与立体几何
2．空间平行关系的向量表示 (1)线线平行 设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2， c2) ， 则 l∥m⇔a∥b⇔__a_＝__λb___⇔a1 ＝ λa2 ， b1 ＝ λb2 ， c1 ＝ λc2(λ∈R)． (2)线面平行 设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量为 u ＝(a2，b2，c2)，则 l∥α⇔a⊥u⇔_a_·_u_＝__0__⇔a1a2＋b1b2＋c1c2 ＝0.
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第三章 空间向量与立体几何
若 A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直线 l 上，则直线 l 的一
个方向向量是( )
A．(2，2，6)
B．(－1，1，3)
C．(3，1，1)
D.(－3，0，1)
答案：A
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第三章 空间向量与立体几何
若平面 α⊥β，且平面 α 的一个法向量为 n＝－2，1，12，
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第三章 空间向量与立体几何
探究点 1 求直线的方向向量与平面的法向量 如图，四棱锥 P ABCD 中，底面
ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点，AB＝AP＝1，AD＝ 3，试建立恰 当的空间直角坐标系，求平面 ACE 的一个 法向量．
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第三章 空间向量与立体几何
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第三章 空间向量与立体几何
(3)面面平行 设平面 α，β 的法向量分别为 u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2， c2)，则 α∥β⇔u∥v⇔__u_＝__λ_v____⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝ λc2(λ∈R)． 3．空间垂直关系的向量表示 (1)线线垂直 设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，a2，a3)，直线 m 的方向向量 为 b ＝ (b1 ， b2 ， b3) ， 则 l⊥m⇔a⊥b⇔a·b ＝ 0⇔__a_1_b_1_＋__a_2b_2_＋__a_3_b_3＝__0_____．
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第三章 空间向量与立体几何
设 n＝(x，y，z)为平面 ACE 的法向量，
则nn··A→CA→＝E＝0，0，即x2＋3y＋312y＝ z＝00，，所以zx＝＝－－
3y， 3y，
令 y＝－1，则 x＝z＝ wenku.baidu.com.
所以平面 ACE 的一个法向量为 n＝( 3，－1， 3)．
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第三章 空间向量与立体几何
【解】 因为 PA⊥平面 ABCD，底面
ABCD 为矩形，所以 AB，AD，AP 两两
垂直．
如图，以 A 为坐标原点，A→B的方向为 x
轴的正方向，建立空间直角 坐标系，则 D(0， 3， 0)，
E0，
23，12，B(1，0，0)，C(1，
3，0)，于是A→E＝0，
23，12，
A→C＝(1， 3，0)．
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第三章 空间向量与立体几何
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 若 两 条 直 线 平 行 ， 则 它 们 的 方 向 向 量 方 向 相 同 或 相 反．( ) (2)平面 α 的法向量是惟一的，即一个平面不可能存在两个不 同的法向量．( ) (3)两直线的方向向量平行，则两直线平行．( ) (4)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直 线与平面垂直．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
则平面 β 的法向量可以是( )
A.－1，12，14
B．(2，－1，0)
C．(1，2，0) 答案：C
D.12，1，2
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第三章 空间向量与立体几何
若直线的方向向量为 u1＝2，43，1，平面的法向量为 u2 ＝(3，2，z)，则当直线与平面垂直时 z＝________． 答案：32
设平面 α 的法向量为(1，3，－2)，平面 β 的法向量为(－2， －6，k)，若 α∥β，则 k＝__________． 答案：4
[变问法]本例条件不变，试求直线 PC 的一个方向向量和平面 PCD 的一个法向量．
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第三章 空间向量与立体几何
解：如图所示，建立空间直角坐标系， 则 P(0，0，1)，C(1， 3，0)，所以P→C＝ (1， 3，－1)，即为直线 PC 的一个方 向向量． 设平面 PCD 的法向量为 n＝(x，y，z)．因为 D(0， 3，0)， 所以P→D＝(0， 3，－1)．
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第三章 空间向量与立体几何
(2)线面垂直 设直线 l 的方向向量是 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量是 u ＝(a2，b2，c2)，则 l⊥α⇔a∥u⇔a＝ λu⇔_________a_1＝__λ_a_2_，__b_1_＝__λ_b_2，__c_1_＝__λ_c_2(_λ_∈__R_)___． (3)面面垂直 若平面 α 的法向量 u＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量 v＝(a2， b2，c2)，则 α⊥β ⇔ u⊥v ⇔ u·v＝0 ⇔_a_1a_2_＋__b_1_b_2＋__c_1_c_2_＝__0．
第三章 空间向量与立体几何
3．2 立体几何中的向量方法
第 1 课时 空间向量与平行、垂直关系
第三章 空间向量与立体几何
1.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念． 2. 会求平面的法向量． 3．能利用直线的方向向量和平面的法向量判断并证明空间中 的平行、垂直关系．
第三章 空间向量与立体几何
1．直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线_____平__行__或__共__线____的向量， 一条直线的方向向量有无数个． (2)平面的法向量 直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 α 的 法向量．
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第三章 空间向量与立体几何
由nn··PP→→CD＝＝00，，即x＋3y－3zy＝－0z＝ ，0， 所以xz＝＝0，3y， 令 y＝1，则 z＝ 3. 所以平面 PCD 的一个法向量为(0，1， 3)．
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第三章 空间向量与立体几何
待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为 n＝(x，y，z)． (2)选向量：在平面内选取两不共线向量A→B，A→C.