2019年中考数学《锐角三角函数》专题复习试卷(含答案)
北京市海淀区2019届中考《锐角三角函数》专题复习练习含答案
北京市海淀区普通中学2019届初三中考数学复习 锐角三角函数 专题复习练习题1．已知在△ABC 中，若∠C＝90°，sin A ＝13，则cos B 等于( )A.13 B ．1 C.23 D.2232．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论正确的是( ) A ．csin A ＝a B ．bcos B ＝c C ．atan A ＝b D ．ctan B ＝b 3．如图，已知AD 是△ABC 的外接圆的直径，AD ＝13 cm ，cos B ＝513，则AC 的长等于( )A ．5 cmB ．6 cmC ．12 cmD ．10 cm4．在△ABC 中，若|sin A －32|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B －122＝0，则△ABC 是( )A ．不等边的等腰三角形B ．等边三角形C ．不等腰的直角三角形D ．等腰直角三角形5．如图，∠1的正切值是( )A ．2 B.13 C. 5 D.526．为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB ⊥BE ，EF ⊥BE ，AF 交BE 于点D ，点C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC ，∠ACB ；②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC.根据所测数据，能求出A ，B 间距离的有( )．A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组07．在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD.如图，已知李明距假山的水平距离BD 为12 m ，他的眼睛距地面的高度为1.6 m ，李明的视线经过量角器零刻度线OA 和假山的最高点C ，此时，铅垂线OE 经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为( )A ．(43＋1.6)mB ．(123＋1.6)mC ．(42＋1.6)mD ．43m8．如图，在一个房间内，有一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a m ，此时梯子的倾斜角为60°，若梯子顶端距离地面的垂直距离NB 为b m ，梯子的倾斜角为45°，则这间房子的宽AB 是( )A.3a ＋b 2 m B.3a －b2m C.⎝⎛⎭⎪⎫33a －b m D.⎝ ⎛⎭⎪⎫33a ＋b m 9．在△ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A，∠B ，∠C 的对边，且有c 2＋4b 2－4bc ＝0，则sin A ＋cos A 的值为( )A ．1 B.1＋32 C.1＋22 D.3＋2210．如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯，若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P 的距离是( )A ．2 cmB ．4 3 cmC ．6 cmD ．8 cm11．计算：12＋2sin 60°＝________．12．如图，在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝13，AD 是BC 边上的高，AD ＝4，则CD ＝______，sin C ＝________．13．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为点E ，DE ＝6 cm ，sin A ＝35，则菱形ABCD 的面积是________cm 2.14．如图所示的是市民广场到地下通道的手扶电梯示意图，其中AB ，CD 分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC ＝135°，BC 的长是5 2 m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是________m.15．如图，△ABC 的内心在y 轴上，点C 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(0，2)，直线AC 的解析式为y＝12x －1，则tan A 的值是________．16．某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A 射出的光线AB ，AC 与地面MN 所夹的角分别为8°和10°，大灯A 与地面的距离为1 m ，则该车大灯照亮地面的宽度BC 是________m ．(不考虑其他因素，参考数据：sin 8°≈425，tan 8°≈17，sin 10°≈950，tan 10°≈528)17．如图，将以点A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到△A′B′C′，使点B′与点C 重合，连接A′B，则tan ∠A′BC′＝________．18．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O.过点O 作OE⊥AC 交AB 于点E ，若BC ＝4，△AOE 的面积为5，则sin ∠BOE 的值为________．19．当x ＝2sin 45°＋tan 60°时，先将代数式x x 2－1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1化简，后求值．20．如图，在平面直角坐标系内，点O 为原点，点A 的坐标为(10，0)，点B 在第一象限内，且BO ＝5，sin ∠BOA ＝35.求：(1)点B的坐标；(2)cos∠BAO的值．21．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的一点，AE＝BC，DF⊥AF，垂足为点F，连接DE.(1)求证：AB＝DF；(2)若AD＝10，AB＝6，求tan ∠ED F的值．22．一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示的位置时，AB＝3 m，已知木箱高BE＝ 3 m，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF.23．如图，马路的两边CF，DE互相平行，线段CD为人行横道，马路两侧的A，B两点分别表示车站和超市，CD与AB所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直，马路宽20米，A，B相距62米，∠A＝67°，∠B＝37°.(1)求CD 与AB 之间的距离；(2)某人从车站A 出发去超市B ，求他沿折线A→D→C→B 到达超市比直接横穿马路多走多少米？(参考数据：sin 67°≈1213，cos 67°≈513，tan 67°≈125，sin 37°≈35，cos 37°≈45，tan 37°≈34)答案：1---10 AACCB CADBC 11. 3 3 12. 10 2292913. 60 14. 5 15. 1316. 7517. 1318. 3519. 解：原式＝x x 2－1÷x x －1＝x （x ＋1）（x －1）·x －1x ＝1x ＋1.又∵x＝2sin 45°＋tan 60°＝2×22＋3＝1＋3，∴原式＝12＋3＝2－ 3. 20. 解：(1)过点B 作BC⊥OA 于点C ，图略．∵sin ∠BOA ＝35，∴BC ＝BO·sin ∠BOA ＝5×35＝3.∴OC ＝BO 2－BC 2＝4.∴点B 的坐标为(4，3)．(2)∵BC＝3，OC ＝4，OA ＝10，∴AC ＝6，∴AB ＝62＋32＝35，∴cos ∠BAO ＝635＝255.21. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴∠DAF ＝∠AEB.∵AE ＝BC ，∴AE ＝AD ，又∵∠B＝∠DFA＝90°，∴△EAB ≌△ADF ，∴AB ＝DF.(2)在Rt △ABE 中，BE ＝AE 2－AB 2＝102－62＝8.∵△EAB ≌△ADF ，∴DF ＝AB ＝6，AF ＝EB ＝8，∴EF ＝AE －AF ＝10－8＝2，∴tan ∠EDF ＝EF DF ＝26＝13.22. 解：连接AE ，图略．在Rt △ABE 中，AB ＝3，BE ＝3，则AE ＝AB 2＋BE 2＝2 3.∵tan ∠EAB ＝BE AB ＝33，∴∠EAB ＝30°.在Rt △AEF 中，∠EAF ＝∠EAB＋∠BAC＝30°＋30°＝60°，∴EF ＝AE×sin ∠EAF ＝23×32＝3(m)． 答：木箱端点E 距地面AC 的高度EF 为3 m.23. 解：(1)设CD 与AB 之间的距离为x 米，则在Rt △BCF 和Rt △ADE 中，∵CF BF ＝tan 37°，DEEA＝tan 67°， ∴BF ＝CF tan 37°≈43x ，AE ＝DE tan 67°≈512x.又∵AB＝62，CD ＝EF ＝20，∴43x ＋512x ＋20≈62，解得x≈24， 故CD 与AB 之间的距离约为24米．(2)在Rt △BCF 和Rt △ADE 中，∵BC ＝CF sin 37°≈2435＝40(米)，AD ＝DE sin 67°≈241213＝26(米)，∴AD ＋DC ＋CB －AB≈26＋20＋40－62＝24(米)．答：他沿折线A→D→C→B 到达超市比直接横穿马路多走约24米．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．﹣5的相反数是（ ） A ．﹣5B ．5C ．﹣15D ．152．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 在第一象限内，边BC 与x 轴平行，A 、B 两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y ＝3x的图象经过A ，B 两点，则点D 的坐标为( )A.(23﹣1，3)B.(23+1，3)C.(22﹣1，3)D.(22+1，3)3．下列运算正确的是（ ） A ．（a 2）3＝a 6 B ．（a+2）2＝a 2+4 C ．a 6÷a 3＝a 2D ．23a a a +=4．如图，某工厂加工一批无底帐篷，设计者给出了帐篷的三视图（图中尺寸单位：m ）．根据三视图可以得出每顶帐篷的表面积为（ ）A.6πm 2B.9πm 2C.12πm 2D.18πm 25．下列命题是真命题的是( ) A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形 C ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D ．对角线互相平分的四边形是平行四边形6．将抛物线21y x =+先向左平移1个单位长，再向上平移1个单位长，得到新抛物线（ ） A.2(1)y x =+B.2(1)2y x =++C.2(1)y x =-D.2(1)2y x =-+7．如图，为了美化校园，学校在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角∠AOB ＝120°，半径OA为9m ，那么花圃的面积为（ ）A ．54πm 2B ．27πm 2C ．18πm 2D ．9πm 28．如图，在△ABC 中，BC ＞AB ＞AC ．甲、乙两人想在BC 上取一点P ，使得∠APC ＝2∠ABC ，其作法如下： （甲）作AB 的中垂线，交BC 于P 点，则P 即为所求；（乙）以B 为圆心，AB 长为半径画弧，交BC 于P 点，则P 即为所求． 对于两人的作法，下列判断何者正确？（ ）A ．两人皆正确B ．两人皆错误C ．甲正确，乙错误D ．甲错误，乙正确9．如图，点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，O 点在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠ADC 的度数为（ ）A.30°B.45°C.60°D.90°10．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝24，AC ＝25．在△ABC 内有一点P 到各边的距离相等，则这个距离为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．下列运算正确的是（ ） A ．325a a a +=B ．32a a a ÷=C ．326a a a ⋅=D ．()23622a a =12．在某校选拔毕业晚会主持人的决赛中，参与投票的每名学生必须从进入决赛的四名选手中选1名，且只能选1名，根据投票结果，绘制了如下两幅不完整的统计图，则选手B 的得票为（ ）A ．300B ．90C ．75D ．85二、填空题13．中国象棋红方棋子按兵种不同分布如下：1个帅，5个兵，“士象、马、车、炮”各两个，将所有棋子反面朝上放在棋盘中，任取一个不是士、象、帅的概率是14．科学家发现一种病毒的直径为0.00000104米，用科学记数法表示为_____米．15．已知二次函数y=kx 2+(2k-1)x-1与x 轴交点的横坐标为x 1、x 2(x 1<x 2)，则对于下列结论：①当x=-2时，y=1；②当x>x 2时，y>0；③方程kx 2+(2k-1)x-1=0有两个不相等的实数根x 1、x 2；④x 1<-1，x 2>-1；⑤x 2-x 1=2144k +，其中所有正确的结论是_______(只需填写序号). 16．已知甲、乙两种棉花的纤维长度的平均数相等，若甲种棉花的纤维长度的方差2 S 1.3275=甲，乙种棉花的纤维长度的方差2S 1.8775=乙，则甲、乙两种棉花质量较好的是 ▲ 。
2019年中考数学锐角三角函数专题复习含解析
在Rt△BCF中，BF=BC÷cos30°= 10÷ =
CF=BF×sin30°= × = ,DF=CD-CF=(30- )km
在Rt△DFG中，FG=DF×sin30°=(30- )× =(15- )km
∴EG=BE+BF+FG=10+ +15- =(25+5 )km．
答：点C位于点A的南偏东75°方向.
28.解：（1）2；1.
（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．
∵CD∥AN，∴∠CPN=∠DCM，∵△DCM是等腰直角三角形，
∴∠DCM=∠D=45°，∴cos∠CPN=cos∠DCM= ．
（3）如图3中，如图取格点M，连接AN、MN．
∵PC∥MN，∴∠CPN=∠ANM，∵AM=MN，∠AMN=90°，
九年级数学教学质量检测(七)
第7章锐角三角函数答案
一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）
1.B2.A3.D4.C5.B6.C7.A8.B
二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
9.1；10.15；11. ；12. ；13.10
14.40 ；15.210；16.17 -19；17. ；18.
如图1所示：
在Rt△ADC中，AC=4，∵∠C=150°，∴∠ACD=30°，∴AD= AC=2，
CD=ACcos30°=4× =2 ，在Rt△ABD中，tanB= = = ，∴BD=16，
∴BC=BD﹣CD=16﹣2 ；
（3）体会：解一般三角形的思路-----一般三角形常转化为直角三角形；解直角三角形的方法：常利用勾股定理、三角函数等关系求解等等；在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，如图2所示：∵∠ACB=150°，∴∠AMC=∠MAC=15°，
(完整版)2019年全国各地中考数学试卷真题汇集：锐角三角函数与特殊角(含答案),推荐文档
“人字梯”的顶端离地面的高度 AD 是【 】
A. 144cm
B. 180cm C. 240cm D. 360cm
【答案】B．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】∵“人字梯”的 5 个踩档把梯子等分成 6 份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的
6．（2019•甘肃庆阳，第 7 题，3 分）在△ABC 中，若角 A，B 满足|cosA﹣ |+（1﹣tanB）
2=0，则∠C 的大小是（ ）
A．45°
B．60°
C．75°
D．105°
考点： 特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方． .
分析： 根据非负数的性质得出 cosA= ，tanB=1，求出∠A 和∠B 的度数，继而可求得 ∠C 的度数． 解 答： 解：由题意得，cosA= ，tanB=1， 则∠A=30°，∠B=45°， 则∠C=180°﹣30°﹣45°=105°． 故选 D． 点评： 本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角
解答： 解：sin30°= ，
=2 ， π0=1，
1
2﹣2= ，
故选：D． 点评： 本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键，注意负整数指 数幂与正整数指数幂互为倒数． 3．（2019•本溪，第 9 题 3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴交于点
A（﹣2，0），与 x 轴夹角为 30°，将△ABO 沿直线 AB 翻折，点 O 的对应点 C 恰好落在双曲线 y=（k≠0）上，则 k 的值为（ ）
点评： 本题考查了圆周角定理，解直角三角形，连接 BC 构造直角三角形是解题的关 键． 4.（2019•四川巴中,第 18 题 3 分）如图，将∠AOB 放在边长为 1 的小正方形组成的网格中， 则 tan∠AOB= ．
2019年中考真题 锐角三角函数分类汇编(PDF版含解析)
【答案】 16 【解析】过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°在 Rt△ADC 中，∵∠ADC＝90°， 5
cos C 3 ，AC＝2，∴DC= 3 ×2= 6 ， AD
5
55
AC2 CD2
22
6 5
2
8 ，在 5
Rt△ADB 中，∠ADB＝90°，
sinB= AD 15 10 ，故选 D. AB 2 6 4
. （2019·天津）2sin60°的值等于
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)2
1
【答案】C【解析】常用特殊角三角函数值 sin60°=
3 ，再乘以 2，可得答案 C.
2
.（2019·金华）如图，矩形 ABCD 的对角线交于点 O，已知 AB=m，∠BAC=∠α，下列结论错误的是（）
到△ADE，∴ED=BC=12，AD=AB=12，∠ADE=90°，∴CD=AC-AD=13-5=8，∴tan∠ECD= ED = 12 = 3 ， DC 8 2
故答案为： 3 . 2
. （2019·自贡）如图，在由 10 个完全相同的正三角形构成的网络图中，∠α、∠β如图所示，则 cos(α+β)=.
2019 中考试题分类汇编
知识点 33 锐角三角函数 2019
第一批
一、选择题
. （2019·杭州）如图，一块矩形木板 ABCD 斜靠在墙边(OC⊥OB，点 A，B，C，D，O 在同一平面内)，已知 AB=a，
AD=b，∠BCO=x，则点 A 到 OC 的距离等于（ ）
A．asinx+bsinx
B．acosx+bcosx
A．AB＝ 41 ，BC＝4，AC＝5
2019届初三数学中考复习 锐角三角函数 专项训练 含答案
2019届初三数学中考复习 锐角三角函数 专项训练1. 已知45°＜∠A＜90°，则下列各式中成立的是( )A ．sinA ＝cosAB ．sinA ＞tanAC ．sinA ＞cosAD ．sinA ＜cosA 2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sinA ＝35，则cosB 的值是( )A.45B. 43C.34D. 353．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，sinA ＝35，则斜边上的高等于( )A.6425B.4825C.165D.1254．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )A.53B.255C.52D.235．如图，在△ABC 中，cosB ＝22，sinC ＝35，则△ABC 的面积是( )A. 12 B ．14 C ．212D ．216．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC ＝2，若⊙O 的半径r ＝32，则cosB的值是( )A.32B.53C. 23D. 527．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 如图所示那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是( )A.247B.73C. 13D. 7248. 如果在△ABC 中，sinA ＝cosB ＝22，那么下列最确切的结论是( )A ．△ABC 是直角三角形B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是锐角三角形9. 菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC ＝45°，OC ＝2，则点B 的坐标为( )A ．(2，1)B ．(1，2)C ．(2＋1，1)D ．(1，2＋1)10. 若∠A 是锐角，且cosA ＝34，则( )A ．0°＜∠A＜30°B ．30°＜∠A＜45°C ．45°＜∠A＜60°D ．60°＜∠A＜90° 11. 若∠A 是锐角，tanA ＝33，则∠A＝________．12．已知α为锐角，且cos(90°－α)＝12，则α＝________.13. 已知α，β均为锐角，且满足|sin α－12|＋（tan β－1）2＝0，则α＋β＝________．14. 如图，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB ＝________.15．如图，将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 的F 处，如果AB BC ＝23，那么tan ∠DCF 的值是________．16. 若a ＝3－tan60°，则(1－2a －1)÷a 2－6a ＋9a －1＝________.17．如果tan(2α＋10°31′7″)＝1.7515，那么α＝____________． 18．已知一个等腰三角形，顶角的度数为150°，腰长为4cm ，则该等腰三角形的面积为________．19. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC ＝2，设tan ∠BOC ＝m ，则m 的取值范围是________．20. 如图，⊙O 与正方形ABCD 的各边分别相切于点E ，F ，G ，H ，点P 是弧HG 上的一点，则tan ∠EPF 的值是________．21. 计算：cos 245°＋cos30°2sin60°＋1－3·tan30°.22. 计算：cos45°sin45°＋2sin60°·tan60°－1tan30°＋tan45°23. 已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝32.计算8－4cos α－(π－3.14)0＋tan α＋(13)－1的值．24. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点N 的坐标为(20，0)，点M 在第一象限内，且OM ＝10，sin ∠MON ＝35.求：(1) 点M 的坐标； (2) cos ∠MNO 的值．25. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 的平分线交BC 于点E ，EF ⊥AB 于点F ，点F 恰好是AB 的一个三等分点(AF ＞BF)．(1) 求证：△ACE≌△AFE； (2) 求tan ∠CAE 的值．参考答案：1---10 CDBAC BDCCB 11. 30° 12. 30° 13. 75° 14. 1215. 5216. －3317. 24°52′44″ 18. 4 cm 2 19. m≥5220. 121. 原式＝(22)2＋322×32＋1－3×33＝12＋3－34－1＝1－34.22. 原式＝1＋2×32×3－133＋1＝1＋3－3＋1＝5－ 3 23. 解：由α是锐角，且sin(α＋15°)＝32，得α＝45°，∴原式＝22－4cos45°－1＋tan45°＋3＝22－4×22－1＋1＋3＝3 24. (1)过点M 作MP⊥ON，垂足为点P ，在Rt △MOP 中，由sin ∠MON ＝35，OM ＝10，得MP 10＝35，即MP ＝6，由勾股定理，得OP ＝102－62＝8，∴点M 的坐标是(8，6)(2)由(1)知MP ＝6，PN ＝20－8＝12，∴MN ＝62＋122＝65，∴cos ∠MNO ＝PN MN ＝1265＝25525. 解：(1)∵AE 平分∠A，∠C ＝90°，EF ⊥AB ，∴CE ＝EF ，又∵AE ＝AE ，，∴△ACE ≌△AFE(2)设BF 的长为x ，则AF ＝AC ＝2x ，由勾股定理知BC ＝5x ，由△BEF∽△BAC 得EF AC ＝BF BC ，∴EF 2x ＝x 5x ，∴EF ＝EC ＝255x ，∴tan ∠CAE＝CE AC ＝255x 2x ＝55。
专题10 锐角三角函数(广东专版)-2019年中考真题数学试题分项汇编(解析版)
专题10 锐角三角函数1．（2019•广州）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC25=，则此斜坡的水平距离AC为A．75 m B．50 m C．30 m D．12 m 【答案】A【解析】∵∠BCA=90°，tan∠BAC25=，BC=30 m，∴tan∠BAC2305BCAC AC===，解得，AC=75 m，故选A．【名师点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2．（广东省惠州市博罗县2019届九年级中考一模数学试卷）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan A的值为A．35B．45C．13D．43【答案】D【解析】根据网格得：Rt△ABC中，BC=4，AB=3，则tan A=43BCAB=，故选D．【名师点睛】此题属于解直角三角形题型，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．3．（2019年广东省深圳市罗湖区中考数学二模试卷）如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=34，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，则小山岗的高AB是（结果取整数，参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）A ．300米B ．250米C ．400米D ．100米【答案】A【解析】设AB =3x 米， ∵斜坡AC 的坡度是tan α=34， ∴BC =4x ，在Rt △ADB 中，tan ∠ADB =AB BD， ∴BD =tan ABADB∠≈6x ，由题意得，6x -4x =200， 解得，x =100， 则AB =3x =300米， 故选A ．【名师点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．4．（2019年广东省深圳市二十三校联考中考数学4月份模拟试卷）定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A 的正对记作sad A ，即sad A =底边∶腰．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =4∠B ．则cos B ·sad A =A ．1B ．32C ．2D ．4【答案】B【解析】∵在△ABC 中，AB =AC ，∠A =4∠B ， ∴∠B =∠C ，∵∠A +∠B +∠C =180°， ∴6∠B =180°， 解得，∠B =30°，如图，作AD ⊥BC 于点D ，设AD =a ，则AB =2a ，BD ， ∵BC =2BD ，∴BC ，∴sad A =BC AB ==cos B =BD AB ==∴cos B ·sad A 32=， 故选B ．【名师点睛】本题考查新定义、解直角三角形、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找到sad A 的计算，利用数形结合的思想解答．5．（广东省深圳市罗湖区2019届九年级第二学期一模质量检测数学试卷）如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB 的高度，在C 点测得旗杆顶端A 的仰角∠BCA =30°，沿旗杆方向向前走了20米到达D 点，在D 点测得旗杆顶端A 的仰角∠BDA =60°，则旗杆AB 的高度是A ．10米B ．C ．3米D ．【答案】B【解析】由题意得，∠ADB =60°，∠C =30°，CD =20， ∴∠DAC =∠ADB −∠C =30°，∴∠DAC =∠C ， ∴AD =CD =20，∴AB =AD ·sin ∠ADB 故选B ．【名师点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．6．（广东省广州市增城区2019届九年级综合测试一模数学试题）如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A 为60°角与直尺交点，点B 为光盘与直尺唯一交点，若3AB =，则光盘的直径是A ．B ．C ．6D ．3【答案】A【解析】设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，如下图所示：由切线长定理知3AB AC ==，OA 平分BAC ∠， ∴60OAB ∠︒＝，在Rt ABO V 中，tan OBOAB AB∠=，∴tan 3OB AB OAB =⋅∠==∴光盘的直径为 故选A ．【名师点睛】本题主要考查切线的性质，掌握切线长定理和解直角三角形的应用是解题关键．7．（2019•广东）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是________米（结果保留根号）．【答案】【解析】过点B作BE⊥AB于点E，在Rt△BEC中，∠CBE=45°，BE；可得CE=BE×tan45°在Rt△ABE中，∠ABE=30°，BE，可得AE=BE×tan30°=15米．故教学楼AC的高度是AC15米．故答案为：15．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形是解题的关键．8．（2019年广东省汕头市潮南区胪岗镇中考数学三模试卷）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则tan∠B=__________．【答案】3 4【解析】tan∠B=ACBC=34．故答案为：34．【名师点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．9．（广东省佛山市禅城区2019届九年级下学期中考科研测试二模数学试题）如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，斜边AC与l3所夹的锐角为α，则tanα的值等于__________．【答案】1 3【解析】如图1所示，过点A作l1的垂线，垂足为D，过点C作l1、l3的垂线，垂足为E、F，设l1、l2之间的距离为a，则l2与l3之间的距离也为a，∵∠ABC=90°，∴∠DBA+∠EBC=90°，∵∠DBA+∠DAB=90°，∴∠EBC=∠DAB，∵∠ADB=∠BEC，AB=BC，∴△ADB≌△BEC，∴AD=BE=2a，DB=EC=a，∴AF=DE=3a，∵CF=a，∴tanα=13．故答案为：13．【名师点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，锐角三角函数的定义，构造“K”字形转换线段长度之间的关系为解题关键．10．（2019•深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD=600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B ，测得仰角为45°，再由D 走到E 处测量，DE ∥AC ，ED =500米，测得仰角为53°，求隧道BC 长．（sin53°45≈，cos53°35≈，tan53°43≈）．【解析】在Rt △ABD 中，AB =AD =600， 作EM ⊥AC 于M ， 则AM -DE =500， ∴BM =100，在Rt △CEM 中，tan53°46003CM CM EM ===， ∴CM =800，∴BC =CM -BM =800-100=700（米）． 答：隧道BC 长为700米．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．11．（2019年广东省惠州市惠阳区中考数学二模试卷）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =10，sin B =35，点D 为边BC 的中点． （1）求BC 的长． （2）求∠BAD 的正切值．【解析】（1）∵3sin 5B =， ∴35AC AB =， 设5AB k =，3AC k =，则4BC k =，∵ABC △的周长为24， ∴34524k k k ++=， ∴1224k =， ∴2k =，∴10AB =，6AC =，8BC =．（2）如图，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，∵AD 为中线， ∴1242ABD ABC S S ==△△， ∴110122DE ⨯=， ∴125DE =，在Rt ACD △中，222AD CD AC =+，∴AD =，∴345AE ==， ∴6tan 17DE BAD AE ∠==． 【名师点睛】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理以及三角函数的定义是解题的关键． 12．（2019年广东省中考数学一模试卷）如图，九年级学生在一次社会实践活动中参观了具有深厚文化底蕴的观音山后感概万千，这座观音多高呢？为了测量这座观音像的高度AB ，数学兴趣小组在C 处用高为1.5米的测角仪CE ，测得塔顶A 角为42°，再向观音像方向前进12米，又测得观音像的顶端A 的仰角为61°，求这座观音像的高度AB ．（参考数据：sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan 61°≈1.80，结果保留整数）【解析】如图，记EF 的延长线交CD 于H ，根据题意得：BH =CE =DF =1.5 m ，EF =CD =12 m ， 设AH =x ，在Rt △AEH 中，∠AEH =42°，AH =x ， ∴EH =tan42AH ︒=tan42x︒，在Rt △AFH 中，∠AFH =61°，AH =x ，∴FH =tan61AH ︒=tan61x︒，∵EF =EH -FH =0.9 1.8x x-=12， ∴x =21.6，∴AB =1.5+21.6≈23 m ，答：这座观音像的高度AB 是23 m ．【名师点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是证明AB =BM =40，属于中考常考题型．13．（广东省汕头市潮阳区金灶镇2019届九年级中考数学一模试卷）如图，小明站在河岸上的G 点，利用测角仪器DG 测量小船C 到岸边的距离，此时，测得小船C 的俯角是∠FDC =30°，若测角仪器DG 的高度是2米，BG =1米，BG 平行于AC 所在的直线，迎水坡AB 的坡度i =4∶3，坡高BE =8米，求小船C 到岸边的距离CA 的长？（结果保留根号）【解析】∵坡AB 的坡度i =4∶3，坡高BE =8，∴AE =6， 由题意得，四边形BEHG 为矩形， ∴GH =BE =8，EH =BG =2， ∴DH =DGDG +GH =9，在Rt △DCH 中，tan C =DHCH，则CH =tan DH C ，∴AC =CH -AE -EH 8，答：小船C 到岸边的距离CA 的长为（-8）米．【名师点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．14．（广东省广州市番禺区2019届九年级中考一模数学试题）如图，某同学要测量海河某处的宽度AB ，该同学使用无人机在C 处测得A ，B 两点的俯角分别为45°和30°，若无人机此时离地面的高度CH 为1000米，且点A ，B ，H 在同一水平直线上，求这处海河的宽度AB （结果取整数）．参考数据：1.732≈≈．【解析】∵CD HB ∥，∴45CAH ∠=︒，30CBH ∠=︒． 在Rt ACH △中，tan 1CHCAH AH∠==，CH =1000米， ∴1000AH CH ==（米）．在Rt BCH △中，tan CH CBH BH ∠==，∴BH ==（米）．∴1)732AB BH AH =-=≈（米）．答：这处海河的宽度AB 约为732米．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是用含CH 的式子表示出AH 和BH ．15．（广东省广州市从化区2019届九年级初中毕业班综合测试一模数学试题）如图，某货船以24海里/时的速度将一批货物从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B 处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，（1）求ACB ∠的度数；（2）已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明1.414≈ 1.732≈）【解析】（1）∵30CAB ∠=︒，120ABC ∠=︒，∴18030ACB CAB ABC ∠=-∠-=︒∠︒．（2）如图，过点C 作CD AB ⊥于D ，由题意30CAB ∠=︒，30BCD ∠=︒，30ACB ∠=︒，∴ACB CAB ∠=∠，∴BC AB =， ∴124122BC AB ==⨯=（海里）， 在Rt BCD △中，cos CD BCD BC ∠=，∴cos301210.392CD BC =⋅==≈︒， ∵10.3929>．所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险．【名师点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．16．（2019年广东省深圳市二十三校联考中考数学4月份模拟试卷）如图所示，要在某东西走向的A 、B两地之间修一条笔直的公路，在公路起点A 处测得某农户C 在A 的北偏东68°方向上．在公路终点B 处测得该农户c 在点B 的北偏西45°方向上．已知A 、B 两地相距2400米．（1）求农户c 到公路B 的距离；（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25） （2）现在由于任务紧急，要使该修路工程比原计划提前4天完成，需将该工程原定的工作效率提高20%，求原计划该工程队毎天修路多少米？【解析】（1）如图，过C 作CH ⊥AB 于H ．设CH =x ，由已知有∠EAC =68°，∠FBC =45°，则∠CAH =22°，∠CBA =45°．在Rt △BCH 中，BH =CH =x ，在Rt △HAC 中，tan ∠HAC =CH HA ， ∴HA =5tan 222CH x =︒， ∵AH +HB =AB ，∴x+52x=2400，解得x=48007，∴农户C到公路的距离48007米．（2）设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要（y-4）天．根据题意得：14y=（1+20%）×1y，解得：y=24．经检验知：y=24是原方程的根，2400÷24=100（米）．答：原计划该工程队毎天修路100米．【名师点睛】考查了构造直角三角形通过解直角三角形的方法解决问题，通过找到等量关系利用分式方程解决问题．。
2019年中考数学《锐角三角函数》专题复习试卷(含答案)
2018-2019学年初三数学专题复习锐角三角函数一、单选题1.在中，，，，那么的值是（）A. B. C. D.2.如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC=2，则tanA的值为（）A.2B.C.D.3.sin30°的值等于（）A. B. C. D.14.cos30°=（）A. B. C. D.5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosB的值是（）A. B. C. D.6.在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（）A. B. C. D.27.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，sinA=，则AB的长为（）A. B.6 C.12 D.88.如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=3：2，顶宽是7米，路基高是6米，则路基的下底宽是（）A.7米B.11米C.15米D.17米9.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（）A. B. C. D.10.在三角形ABC中，∠C为直角，sinA=，则tanB的值为（）A. B. C. D.11.游客上歌乐山山有两种方式：一种是如图，先从A沿登山步道走到B，再沿索道乘座缆车到C，另一种是沿着盘山公路开车上山到C，已知在A处观铡到C，得仰角∠CAD=3l°，且A、B的水平距离AE=430米，A、B的竖直距离BE=210米，索道BC的坡度i=1：1.5，CD⊥AD于D，BF⊥CD于F，则山篙CD为（）米；（参考数据：tan31°≈0.6．cos3l°≈0.9）A.680B.690C.686D.69312.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A=α，BC=a，那么AC等于（）A.a·tanαB.a·cotαC.D.13.化简等于（）A.sin28°﹣cos28°B.0C.cos28°﹣sin28°D.以上都不对14.如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3m，则鱼竿转过的角度是（）A.60°B.45°C.15°D.90°15.如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC等于（）A.45B.5C.D.二、填空题16.如图1，是工人将货物搬运上货车常用的方法，把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运．根据经验，木板与地面的夹角为20°（即图2中∠ACB=20°）时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离AB=1.5m，木板超出车厢部分AD=0.5m，则木板CD的长度为________．（参考数据：sin20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，精确到0.1m）．17.已知cosB=,则∠B=________18.如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为________m（结果保留根号）．19.一山坡的坡比为3：4，一人沿山坡向上走了20米，那么这人垂直高度上升了________米．20.如图，如果在坡度i=1：2.4的斜坡上两棵树间的水平距离AC为3米，那么两树间的坡面距离AB是________米．三、解答题21.如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶中D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m.（结果精确到0.1m。
2019年中考数学试题汇编 锐角三角函数填空题(解析版)
1.（2019年四川省眉山市）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，使得点D落在AC上，则tan∠ECD的值为．【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝13．根据旋转性质可得AE＝13，AD＝5，DE＝12，所以CD＝8．在Rt△CED中根据tan∠ECD＝计算结果．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝13．根据旋转性质可得AE＝13，AD＝5，DE＝12，∴CD＝8．在Rt△CED中，tan∠ECD＝＝．故答案为．【点评】本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，难度较小，求出所求三角函数值的直角三角形的对应边长度，根据线段比就可解决问题．2.（2019年湖北省孝感市）如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20米，则BC＝（20﹣20）米．【分析】根据正切的定义求出BD，根据等腰直角三角形的性质求出CD，结合图形计算，得到答案．【解答】解：在Rt△PBD中，tan∠BPD＝，则BD＝PD•tan∠BPD＝20，在Rt△PBD中，∠CPD＝45°，∴CD＝PD＝20，∴BC＝BD﹣CD＝20﹣20，故答案为：（20﹣20）．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．3.（2019年湖北省江汉油田）如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6m，则旗杆AB的高度为14.4m．【分析】作DE⊥AB于E，则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，得出BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，求出∠ADC＝120°，证出∠CAD＝30°＝∠ACD，得出AD＝CD＝9.6m，在Rt△ADE中，由直角三角形的性质得出AE＝AD＝4.8m，即可得出答案．【解答】解：作DE⊥AB于E，如图所示：则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，∴BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，∴∠ADC＝90°+30°＝120°，∵∠ACB＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠CAD＝30°＝∠ACD，∴AD＝CD＝9.6m，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴AE＝AD＝4.8m，∴AB＝AE+BE＝4.8m+9.6m＝14.4m；故答案为：14.4．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定；正确作出辅助线是解题的关键．4.（2019年贵州省毕节市）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是15﹣5．【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°，进而可得出答案．【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10 ，∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin30°＝＝5，CM＝BC×cos30°＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝5 ，∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5 ．故答案是：15﹣5．【点评】本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．5.（2019年广东省）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC 的高度是（15+15）米（结果保留根号）．【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△BEC、△ABE，进而可解即可求出答案．【解答】解：过点B作BE⊥AB于点E，在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15；可得CE＝BE×tan45°＝15米．在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15，可得AE＝BE×tan30°＝15米．故教学楼AC的高度是AC＝15米．答：教学楼AC的高度是（15）米．【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．6.（2019年湖南省株洲市）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x＝1处放置反光镜Ⅰ，在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB，其中点A（0，1），点B在点A上方，且AB＝1，在直线x＝﹣1处放置一个挡板Ⅲ，从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为 1.5．【分析】当光线沿O、G、B、C传输时，由tan∠OGH＝tan∠CGE，即：，即：，解得：a＝1，求出y C＝1+2＝3，同理可得：y D＝1.5，即可求解．【解答】解：当光线沿O、G、B、C传输时，过点B作BF⊥GH于点F，过点C作CE⊥GH于点E，则∠OGH＝∠CGE＝α，设GH＝a，则GF＝2﹣a，则tan∠OGH＝tan∠CGE，即：，即：，解得：a＝1，则α＝45°，∴GE＝CE＝2，y C＝1+2＝3，当光线反射过点A时，同理可得：y D＝1.5，落在挡板Ⅲ上的光线的长度＝CD＝3﹣1.5＝1.5，故答案为1.5．【点评】本题考查的是坐标与图形的变化，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，本题关键是弄懂题意，正确画图．7.（2019年浙江省杭州市）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cos C＝或．【分析】讨论：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cos C的值；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cos C的值．【解答】解：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cos C＝＝＝；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cos C＝＝＝；综上所述，cos C的值为或．故答案为或．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用它们进行几何计算．8.（2019年浙江省湖州市）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为120cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）【分析】过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，利用等腰三角形的三线合一得到OE为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形AFB中，利用锐角三角函数定义求出h即可．【解答】解：过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，∵BO＝DO，∴OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠BOD＝×74°＝37°，∴∠F AB＝∠BOE＝37°，在Rt△ABF中，AB＝85+65＝150cm，∴h＝AF＝AB•cos∠F AB＝150×0.8＝120cm，故答案为：120【点评】此题考查了解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解本题的关键．9.（2019年四川省乐山市）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cos C＝．则AB边的长为．【分析】如图，作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH，再根据AB＝2AH即可解决问题．【解答】解：如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝2，COSC＝，∴＝，∴CH＝，∴AH＝＝＝，在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AH＝，故答案为．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．10.（2019年甘肃省天水市）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为．【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根据折叠的性质得AF＝AD ＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝4，则CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2，解方程即可得到x，进一步得到EF的长，再根据正弦函数的定义即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，∵BF＝＝4，∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，∴EF＝3﹣x＝，∴sin∠EFC＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．11.（2019年浙江省丽水市）图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME、EF、FN是门轴的滑动轨道，∠E＝∠F＝90°，两门AB、CD的门轴A、B、C、D都在滑动轨道上，两门关闭时（图2），A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）；两门同时开启，A、D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B、C滑动：B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知AB＝50cm，CD＝40cm．（1）如图3，当∠ABE＝30°时，BC＝90﹣45cm．（2）在（1）的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为2256 cm2．【分析】（1）先由已知可得B、C两点的路程之比为5：4，再结合B运动的路程即可求出C运动的路程，相加即可求出BC的长；（2）当A向M方向继续滑动15cm时，AA'＝15cm，由勾股定理和题目条件得出△A'EB'、△D'FC'和梯形A'EFD'边长，即可利用割补法求出四边形四边形ABCD的面积．【解答】解：∵A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）且AB＝50cm，CD＝40cm．∴EF＝50+40＝90cm∵B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，∴B、C两点的路程之比为5：4（1）当∠ABE＝30°时，在Rt△ABE中，BE＝AB＝25cm，∴B运动的路程为（50﹣25）cm∵B、C两点的路程之比为5：4∴此时点C运动的路程为（50﹣25）×＝（40﹣20）cm∴BC＝（50﹣25）+（40﹣20）＝（90﹣45）cm故答案为：90﹣45；（2）当A向M方向继续滑动15cm时，设此时点A运动到了点A'处，点B、C、D分别运动到了点B'、C'、D'处，连接A'D'，如图：则此时AA'＝15cm∴A'E＝15+25＝40cm由勾股定理得：EB'＝30cm，∴B运动的路程为50﹣30＝20cm∴C运动的路程为16cm∴C'F＝40﹣16＝24cm由勾股定理得：D'F＝32cm，∴四边形A'B'C'D'的面积＝梯形A'EFD'的面积﹣△A'EB'的面积﹣△D'FC'的面积＝﹣30×40﹣24×32＝2256cm2．∴四边形ABCD的面积为2256cm2．故答案为：2256．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．12.（2019年浙江省丽水市）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是40°．【分析】过A点作AC⊥OC于C，根据直角三角形的性质可求∠OAC，再根据仰角的定义即可求解．【解答】解：过A点作AC⊥OC于C，∵∠AOC＝50°，∴∠OAC＝40°．故此时观察楼顶的仰角度数是40°．故答案为：40°．【点评】考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，仰角是向上看的视线与水平线的夹角，关键是作出辅助线构造直角三角形求出∠OAC的度数．13.（2019年浙江省宁波市）如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为456米．（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】通过解直角△OAC求得OC的长度，然后通过解直角△OBC求得OB的长度即可．【解答】解：如图，设线段AB交y轴于C，在直角△OAC中，∠ACO＝∠CAO＝45°，则AC＝OC．∵OA＝400米，∴OC＝OA•cos45°＝400×＝200（米）．∵在直角△OBC中，∠COB＝60°，OC＝200米，∴OB＝＝＝400≈456（米）故答案是：456．【点评】考查了解直角三角形的应用﹣方向角的问题．此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．14.（2019年浙江省衢州市）如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是 1.5米（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：∵sinα＝，∴AD＝AC•sinα≈2×0.77＝1.5，故答案为：1.5【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．15.（2019年四川省绵阳市）在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是75或25．【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，通过解直角三角形及勾股定理可求出AD，BD，CD的长，进而可得出BC的长，再利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ABD中，AD＝AB•sin B＝10，BD＝AB•cos B＝10；在Rt△ACD中，AD＝10，AC＝5，∴CD＝＝5，∴BC＝BD+CD＝15或BC＝BD﹣CD＝5，∴S△ABC＝BC•AD＝75或25．故答案为：75或25．【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，BC的长度是解题的关键．16.（2019年甘肃省）在△ABC中∠C＝90°，tan A＝，则cos B＝．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．【解答】解：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，设a＝x，b＝3x，则c＝2x，∴cos B＝＝．故答案为：．【点评】此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，关键明确求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．17.（2019年江苏省盐城市）如图，在△ABC中，BC＝+，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为2．【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设AC＝x，则AB＝x，在Rt△ACD中，通过解直角三角形可得出AD，CD的长，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得出BD的长，由BC＝BD+CD结合BC＝+可求出x的值，此题得解．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D，如图所示．设AC＝x，则AB＝x．在Rt△ACD中，AD＝AC•sin C＝x，CD＝AC•cos C＝x；在Rt△ABD中，AB＝x，AD＝x，∴BD＝＝．∴BC＝BD+CD＝x+x＝+，∴x＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及解一元一次方程，通过解直角三角形及勾股定理，找出BC与AC之间的关系是解题的关键．18.（2019年浙江省温州市）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝2019年浙江省温州市米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝2019年浙江省温州市米，晾衣臂支架HG＝FE＝2019年浙江省温州市米，且HO＝FO＝2019年浙江省温州市米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM 为（5+5）分米；当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，则B'E'﹣BE为4分米．【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．【解答】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∴∠COP＝∠COD＝30°，∴QM＝OP＝OC•cos30°＝5（分米），∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ＝OA＝5（分米），∴AM＝AQ+MQ＝5+5．∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝2（分米），在Rt△PKE中，EK＝＝2（分米）∴BE＝10﹣2﹣2＝（8﹣2）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝2（分米），在Rt△FJE′中，E′J＝＝2，∴B′E′＝10﹣（2﹣2）＝12﹣2，∴B′E′﹣BE＝4．故答案为5+5，4．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．19.（2019年山东省德州市）如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为 1.02米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）【分析】直接利用锐角三角函数关系得出AO，CO的长，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：∵∠ABO＝70°，AB＝6m，∴sin70°＝＝≈0.94，解得：AO＝5.64（m），∵∠CDO＝50°，DC＝6m，∴sin50°＝≈0.77，解得：CO＝4.62（m），则AC＝5.64﹣4.62＝1.02（m），答：AC的长度约为1.02米．故答案为：1.02．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AO，CO的长是解题关键．20.（2019年四川省自贡市）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝．【分析】给图中各点标上字母，连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝30°，同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α，由∠AEC＝60°结合∠AED＝∠AEC+∠CED可得出∠AED＝90°，设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝a，利用勾股定理可得出AD的长，再结合余弦的定义即可求出cos（α+β）的值．【解答】解：给图中各点标上字母，连接DE，如图所示．在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，∴∠α＝30°．同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．又∵∠AEC＝60°，∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝2×sin60°•a＝a，∴AD＝＝a，∴cos（α+β）＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．21.（2019年山东省枣庄市）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为9.5m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．【解答】解：过D作DE⊥AB，∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，∴∠ADE＝53°，∵BC＝DE＝6m，∴AE＝DE•tan53°≈6×1.33≈7.98m，∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝7.98+1.5＝9.48m≈9.5m，故答案为：9.5【点评】此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．。
2018-2019学年湖南省各市中考复习数学真题汇编解答题综合练：《锐角三角函数》(含解析)
2018-2019年湖南省各市中考复习数学真题汇编解答题综合练：《锐角三角函数》1．（2019•资阳）如图，南海某海域有两艘外国渔船A、B在小岛C的正南方向同一处捕鱼．一段时间后，渔船B沿北偏东30°的方向航行至小岛C的正东方向20海里处．（1）求渔船B航行的距离；（2）此时，在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中B渔船在点D的南偏西60°方向，A渔船在点D的西南方向，我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域．请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离．（注：结果保留根号）2．（2019•永州）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C，D之间的距离为400米．已知B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB．（可能用到的数据：≈1.414，≈1.732）3．（2019•湘潭）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30°．火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15°，求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）4．（2019•娄底）如图，某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i＝1：1．为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为α、β．已知tanα＝2，tanβ＝4，求山顶A的高度AE（C、B、E在同一水平面上）．5．（2019•邵阳）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直．AC＝40cm，∠ADE＝30°，DE＝190cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度（结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）6．（2019•张家界）天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿A﹣B﹣C路线对索道进行检修维护．如图：已知AB＝500米，BC＝800米，AB与水平线AA1的夹角是30°，BC与水平线BB1的夹角是60°．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA1是多少米？（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）7．（2019•常德）图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A 处，手柄长AB＝25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB＝37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．8．（2019•郴州）如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东45°方向上，距离A处30km．在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救．已知B处在A处的北偏东60°方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？（精确到0.01km．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）9．（2019•岳阳）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．10．（2019•怀化）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．11．（2019•株洲）小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为α，且tanα＝，若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行．（1）求BC的长度；（2）假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段MN为此长方形前端的边），MN⊥l1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米，通过汽车的前端F1点恰好看见障碍物的顶部N点（点D为点A的对应点，点F1为点F 的对应点），求障碍物的高度．12．（2019•衡阳）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D 处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°．已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：（坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房AB高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）13．（2018•湘西州）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB＝10km．（1）求景点B与C的距离；（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）14．（2018•郴州）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB＝60°，∠EAC＝30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC＝30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）15．（2018•邵阳）某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0．lm，温馨提示：sin15°≈0.26，cos l5°≈0.97，tan15°≈0.27）16．（2018•湘潭）随着航母编队的成立，我国海军日益强大．2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里？（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到1海里）．17．（2018•常德）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同（即AB＝CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）18．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）19．（2018•衡阳）一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30°的方向行走2000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B处，如图所示．（1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；（2）若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？参考答案1．解：（1）由题意得，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，BC＝20，∴AB＝2BC＝40海里，答：渔船B航行的距离是40海里；（2）过B作BE⊥AE于E，过D作DH⊥AE于H，延长CB交DH于G，则四边形AEBC和四边形BEHG是矩形，∴BE＝GH＝AC＝20，AE＝BC＝20，设BG＝EH＝x海里，∴AH＝x+20，由题意得，∠BDG＝60°，∠ADH＝45°，∴x，DH＝AH，∴20+x＝x+20，解得：x＝20，∴BG＝20，AH＝20+20，∴BD＝＝40，AD＝AH＝20+20，答：中国渔政船此时到外国渔船B的距离是40海里，到外国渔船A的距离是（20+20）海里．2．解：设AB＝x，由题意可知：∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，∴AB＝BC＝x，∴BD＝BC+CD＝x+400，在Rt△ADB中，∴tan30°＝，∴＝，解得：x＝≈546.4，经检验，x≈546.4是原分式方程的解，∴山高AB为546.4米．3．解：如图所示：连接MN，由题意可得：∠AMN＝90°，∠ANM＝30°，∠BNM＝45°，AN ＝8km，在直角△AMN中，MN＝AN•cos30°＝8×＝4（km）．在直角△BMN中，BM＝MN•tan45°＝4km≈6.9km．答：此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离约为6.9km．4．解：如图，作AF⊥CD于F．设AE＝x米．∵斜坡AB的坡度为i＝1：1，∴BE＝AE＝x米．在Rt△BDC中，∵∠C＝90°，CD＝96米，∠DBC＝∠β，∴BC＝＝＝24（米），∴EC＝EB+BC＝（x+24）米，∴AF＝EC＝（x+24）米．在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90°，∠DAF＝∠α，∴DF＝AF•tanα＝2（x+24）米，∵DF＝DC﹣CF＝DC﹣AE＝（96﹣x）米，∴2（x+24）＝96﹣x，解得x＝16．故山顶A的高度AE为16米．5．解：设OE＝OB＝2xcm，∴OD＝DE+OE＝190+2x，∵∠ADE＝30°，∴OC＝OD＝95+x，∴BC＝OC﹣OB＝95+x﹣2x＝95﹣x，∵tan∠BAD＝，∴2.14＝，解得：x≈9.4cm，∴OB＝2x≈19cm．6．解：如图，过点B作BH⊥AA1于点H．在Rt△ABH中，AB＝500，∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝（米），∴A1B1＝BH＝250（米），在Rt△BB1C中，BC＝800，∠CBB1＝60°，∴，∴B1C＝＝400（米），∴检修人员上升的垂直高度CA1＝CB1+A1B1＝400+250≈943（米）答：检修人员上升的垂直高度CA1为943米．7．解：过点B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，∵AB＝25，DE＝50，∴sin37°＝，cos37°＝，∴GB≈25×0.60＝15，GA≈25×0.80＝20，∴BF＝50﹣15＝35，∵∠ABC＝72°，∠D′AB＝37°，∴∠GBA＝53°，∴∠CBF＝55°，∴∠BCF＝35°，∵tan35°＝，∴CF≈＝50，∴FE＝50+130＝180，∴GD＝FE＝180，∴AD＝180﹣20＝160，∴安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．8．解：延长CB交过A点的正东方向于D，如图所示：则∠CDA＝90°，由题意得：AC＝30km，∠CAD＝90°﹣45°＝45°，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝CD＝AC＝15，AD＝BD，∴BD＝＝5，∴AB＝＝＝10≈10×2.449≈24.49（km）；答：巡逻船与渔船的距离约为24.49km．9．解：（1）由题意得，四边形CDBG、HBFE为矩形，∴GB＝CD＝1.7，HB＝EF＝1.5，∴GH＝0.2，在Rt△AHE中，tan∠AEH＝，则AH＝HE•tan∠AEH≈1.9a，∴AG＝AH﹣GH＝1.9a﹣0.2，在Rt△ACG中，∠ACG＝45°，∴CG＝AG＝1.9a﹣0.2，∴BD＝1.9a﹣0.2，答：小亮与塔底中心的距离BD为（1.9a﹣0.2）米；（2）由题意得，1.9a﹣0.2+a＝52，解得，a＝18，则AG＝1.9a﹣0.2＝34，∴AB＝AG+GB＝34+1.7＝35.7，答：慈氏塔的高度AB为35.7米．10．解：如图，作AD⊥BC于D．由题意可知：BC＝1.5×40＝60米，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠BAC，∴BC＝AC＝60米．在Rt△ACD中，AD＝AC•sin60°＝60×＝30（米）．答：这条河的宽度为30米．11．解：（1）由题意得，∠ABC＝∠α，在Rt△ABC中，AC＝1.6，tan∠ABC＝tanα＝，∴BC＝＝＝4.8m，答：BC的长度为4.8m；（2）过D作DH⊥BC于H，则四边形ADHC是矩形，∴AD＝CH＝BE＝0.6，∵点M是线段BC的中点，∴BM＝CM＝2.4米，∴EM＝BM﹣BE＝1.8，∵MN⊥BC，∴MN∥DH，∴△EMN∽△EHD，∴＝，∴＝，∴MN＝0.6，答：障碍物的高度为0.6米．12．解：过D作DG⊥BC于G，DH⊥AB于H，交AE于F，作FP⊥BC于P，如图所示：则DG＝FP＝BH，DF＝GP，∵坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：，∴∠DCG＝30°，∴FP＝DG＝CD＝5，∴CG＝DG＝5，∵∠FEP＝60°，∴FP＝EP＝5，∴EP＝，∴DF＝GP＝5+10+＝+10，∵∠AEB＝60°，∴∠EAB＝30°，∵∠ADH＝30°，∴∠DAH＝60°，∴∠DAF＝30°＝∠ADF，∴AF＝DF＝+10，∴FH＝AF＝+5，∴AH＝FH＝10+5，∴AB＝AH+BH＝10+5+5＝15+5≈15+5×1.73≈23.7（米），答：楼房AB高度约为23.7米．13．解：（1）如图，由题意得∠CAB＝30°，∠ABC＝90°+30°＝120°，∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝30°，∴∠CAB＝∠C＝30°，∴BC＝AB＝10km，即景点B、C相距的路程为10km．（2）过点C作CE⊥AB于点E，∵BC＝10km，C位于B的北偏东30°的方向上，∴∠CBE＝60°，在Rt△CBE中，CE＝km．14．解：∵∠EAB＝60°，∠EAC＝30°，∴∠CAD＝60°，∠BAD＝30°，∴CD＝AD•tan∠CAD＝AD，BD＝AD•ta n∠BAD＝AD，∴BC＝CD﹣BD＝AD＝30，∴AD＝15≈25.98．15．解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝10m，∴AD＝AB sin∠ABD＝10×sin30°＝5，在Rt△ACD中，∠ACD＝15°，sin∠ACD＝，∴AC＝＝≈≈19.2m，即：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.2米．16．解：在△APC中，∠ACP＝90°，∠APC＝45°，则AC＝PC．∵AP＝400海里，∴由勾股定理知，AP2＝AC2+PC2＝2PC2，即4002＝2PC2，故PC＝200海里．又∵在直角△BPC中，∠PCB＝90°，∠BPC＝60°，∴PB＝＝2PC＝400≈566（海里）．答：此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为566海里．17．解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE＝CM，如图所示．∵AB＝CD，AB+CD＝AD＝2，∴AB＝CD＝1．在Rt△ABE中，AB＝1，∠A＝37°，∴BE＝AB•sin∠A≈0.6，AE＝AB•cos∠A≈0.8．在Rt△CDF中，CD＝1，∠D＝45°，∴CF＝CD•sin∠D≈0.7，DF＝CD•cos∠D≈0.7．∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CM，又∵BE＝CM，∴四边形BEMC为平行四边形，∴BC＝EM，CM＝BE．在Rt△MEF中，EF＝AD﹣AE﹣DF＝0.5，FM＝CF+CM＝1.3，∴EM＝≈1.4，∴B与C之间的距离约为1.4米．18．解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，∵AB⊥CD，sin30°＝，BC＝80千米，∴CD＝BC•sin30°＝80×（千米），AC＝（千米），AC+BC＝80+40（千米），答：开通隧道前，汽车从A地到B地要走80+40千米；（2）∵cos30°＝，BC＝80（千米），∴BD＝BC•cos30°＝80×（千米），∵tan45°＝，CD＝40（千米），∴AD＝（千米），∴AB＝AD+BD＝40+40≈40+40×1.73＝109.2（千米），∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB＝136.4﹣109.2＝27.2（千米）．答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．19．解：（1）作CP⊥AB于P，由题意可得出：∠A＝30°，AP＝2000米，则CP＝AC＝1000米；（2）∵在Rt△PBC中，PC＝1000，∠PBC＝∠BPC＝45°，∴BC＝PC＝1000米．∵这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，∴他到达宾馆需要的时间为＝10＜15，∴他在15分钟内能到达宾馆．。
中考数学专项复习《锐角三角函数》练习题(附答案)
中考数学专项复习《锐角三角函数》练习题(附答案)一、单选题1．如图，在△ABC中CA＝CB＝4，cosC＝14，则sinB的值为（）A．√102B．√153C．√64D．√1042．在Rt△ABC中,△C=90°,cosA=35,那么tanB=()A．35B．45C．43D．34 3．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，BC=1，AB=2则下列结论正确的是（）A．sinA=√32B．tanA=12C．cosB=√32 D．tanB=√34．如图，已知△ABC内接于△O，△BAC=120°，AB=AC，BD为△O的直径，AD=6，则BC的长为（）A．2√3B．6C．2√6D．3√3 5．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（）A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里6．在矩形ABCD中AD=2,AB=1,G为AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点G重合，将三角板绕点G旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC(或它们的延长线)于点E、F设∠AGE=α(0°<α<90°)，下列四个结论：①AE= CF；②∠AEG=∠BFG；③AE+CF=1；④S△GEF=1cos2α，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4 7．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得△PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A．11−sinαB．11+sinαC．11−cosαD．11+cosα8．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，下列结论：①△ABC的形状是等腰三角形；②△ABC的周长是2√10+√2；③点C到AB边的距离是38√10；④tan∠ACB的值为2，正确的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．在Rt△ABC 中△ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（ ）A ．sinA=√32B ．cosA=√32C ．tanA=12D ．cotA=√3310．已知：如图，正方形网格中∠AOB 如图放置，则cos∠AOB 的值为（ ）A ．2√55B ．2C ．12D ．√5511．如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE△AB ，垂足为E ，cosA=45，则下列结论中正确的个数为（ ）①DE=3cm ；②EB=1cm ；③S 菱形ABCD =15cm 2A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个12．如图，在Rt △ABC 中 ∠ABC =90°，以其三边为边向外作正方形，连接EH ，交AC 于点P ，过点P 作PR ⊥FG 于点R.若tan∠AHE =12，EH =8√5，则PR 的值为（ ）A．10B．11C．4√5D．5√5二、填空题13．如图，在RtΔABC中∠B=90°，AB=3 ，BC=4 ，点M、N分别在AC、AB两边上，将ΔAMN沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当ΔDCM是直角三角形时，则tan∠AMN的值为.14．如图，在△ABC中∠ABC=60°，AB=6，BC=10将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A1BC1（点A的对应点是点A1，点C的对应点是点C1，A1落在边BC上，连接AC1，则AC1的长为．15．如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C 的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD=20米，则BC=米.16．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是．17．如图，某高为60米的大楼AB旁边的山坡上有一个“5G”基站DE，从大楼顶端A 测得基站顶端E的俯角为45°，山坡坡长CD＝10米，坡度i＝1：√3，大楼底端B 到山坡底端C的距离BC＝30米，则该基站的高度DE＝米．18．在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1，2号楼进行测高实践，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，则2号楼的高度为（结果精确到0.1）（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）三、综合题19．（1）已知Rt△ABC中△C=90°，△A=30°，BC= √3，解直角三角形.（2）已知△ABC中△A=45°，AB=4，BC=3，求AC的长.20．如图1，已知∠PAQ=60°．请阅读下列作图过程，并解答所提出的问题．△如图2，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别与AP，AQ交于B，C两点；△如图3，分别以B，C两点为圆心，以大于12BC的长为半径画弧，两弧交于点D；△如图4，作射线AD，连接BC，与AD交于点E．问题：（1）∠ABC的度数为．（2）若AB=4，求AE的长．21．如图，在△ABC中△C=60°，△O是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP．（1）求证：PA是△O的切线；（2）若AB=2 √3，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）22．如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中在OA的位置时俯角△EOA=30°，在OB的位置时俯角△FOB=60°，若OC△EF，点A比点B高7cm．求：（1）单摆的长度（√3≈1.7）；（2）从点A摆动到点B经过的路径长（π≈3.1）．23．已知：如图，AB是△O的直径，C是△O上一点，OD△BC于点D，过点C作△O 的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与△O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin△ABC= 23，求BF的长．24．如图，AB是△O的直径，OE垂直于弦BC，垂足为F，OE交△O于点D，且△CBE=2△C.（1）求证：BE与△O相切；（2）若DF=9，tanC= 34，求直径AB的长.参考答案1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】D4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】A12．【答案】B13．【答案】1或214．【答案】1415．【答案】(20√3−20)16．【答案】√31817．【答案】（25﹣5 √3）18．【答案】45.8米19．【答案】（1）解：在Rt△ABC中△C=90°，△A=30°∴△B=90°-△A=60°，AB=2BC=2 √3∴AC= √AB2−BC2=√(2√3)2−(√3)2=3；（2）解：如图，过点B作BD△AC于D∵△A=45°∴△ABD=△A=45°∴AD=BD∵AB=4，AD2+BD2=AB2∴AD=BD= 2√2在Rt△BCD中BC=3∴CD=√BC2−BD2=1∴AC=AD+CD= 2√2+1.20．【答案】（1）60°（2）由作图可知AB=AC，AD平分∠PAQ∴AE⊥BC．∵∠PAQ=60°∴∠BAE=30°．在Rt△ABC中AE=AB⋅cos30°=4×√32=2√3．答：AE的长为2√3．21．【答案】（1）解：如图，连接OA；∵△C=60°∴△AOB=120°；而OA=OB∴△OAB=△OBA=30°；而AB=AP∴△P=△ABO=30°；∵△AOB=△OAP+△P∴△OAP=120°﹣30°=90°∴PA是△O的切线．（2）解：如图，过点O作OM△AB，则AM=BM= √3∵tan30°= OMAM sin30°=OMAO∴OM=1，OA=2；∴S△AOB=12·AB·OM= 12× 2√3×1= √3S扇形OAB =120π⋅22360= 4π3∴图中阴影部分的面积= 4π3−√3．22．【答案】（1）解：如图，过点A作AP△OC于点P，过点B作BQ△OC于点Q∵△EOA=30°、△FOB=60°，且OC△EF∴△AOP=60°、△BOQ=30°设OA=OB=x则在Rt△AOP中OP=OAcos△AOP= 1 2x在Rt△BOQ中OQ=OBcos△BOQ= √32x由PQ=OQ﹣OP可得√32x﹣12x=7解得：x=7+7 √3≈18.9（cm）答：单摆的长度约为18.9cm（2）解：由（1）知，△AOP=60°、△BOQ=30°，且OA=OB=7+7 √3∴△AOB=90°则从点A摆动到点B经过的路径长为90⋅π⋅(7+7√3)180≈29.295答：从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm 23．【答案】（1）证明：连接OC∵OD△BC∴△COE=△BOE在△OCE和△OBE中∵{OC=OB∠COE=∠BOEOE=OE∴△OCE△△OBE∴△OBE=△OCE=90°，即OB△BE∵OB 是△O 半径∴BE 与△O 相切．（2）解：过点D 作DH△AB ，连接AD 并延长交BE 于点F∵△DOH=△BOD ，△DHO=△BDO=90°∴△ODH△△OBD∴OD OB =OH OD =DH BD又∵sin△ABC= 23，OB=9 ∴OD=6易得△ABC=△ODH∴sin△ODH= 23 ，即 OH OD = 23∴OH=4∴DH= √OD 2−OH 2 =2 √5又∵△ADH△△AFB∴AH AB = DH FB 1318 = 2√5FB∴FB= 36√51324．【答案】（1）证明：∵OE 垂直于弦BC∴△BOE+△OBF=90°∵△CBE=2△C ， △BOE=2△C∴△CBE=△BOE∴△CBE+△OBF=90°∴△OBE=90°∴BE 与△O 相切；（2）解：∵OE 垂直于弦BC∴△CFD=△BFO=90°，CF=BF.∵DF=9，tanC= 34∴CF=BF=12.设半径长是x，则OF=x-9在Rt△BOF中∵x2=(x-9)2+122∴x= 25 2∴直径AB=25.。
2019年中考数学专题《锐角三角函数》复习试卷含答案解析
2019年中考数学专题复习卷: 锐角三角函数一、选择题1.计算=（）A. B.1 C.D. 【答案】B【解析】：tan 45 ° =1故答案为:B。
【分析】根据特殊锐角三角函数值即可得出答案。
2.下列运算结果正确的是A. 3a3·2a2=6a6B. (-2a)2=-4a2 C. tan45°=D. cos30°=【答案】D【解析】 A、原式=6a5，故不符合题意；B、原式=4a2，故不符合题意；C、原式=1，故不符合题意；D、原式= ，故符合题意．故答案为：D【分析】根据单项式乘以单项式，系数的积作为积的系数，对于相同的字母，底数不变，指数相加；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；根据特殊锐角三角函数值即可一一得出答案，再进行判断即可。
3.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点0,BD=8,tan∠ABD= ,则线段AB的长为( ).A. B.2C. 5D. 10【答案】C【解析】：∵菱形ABCD,BD=8∴AC⊥BD，在Rt△ABO中，∴AO=3∴故答案为：C【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，得出AC⊥BD，求出BO的长，再根据锐角三角函数的定义，求出AO的长，然后根据勾股定理就可求出结果。
4.数学活动课，老师和同学一起去测量校内某处的大树的高度，如图，老师测得大树前斜坡的坡度i=1:4，一学生站在离斜坡顶端的水平距离DF为8m处的D点，测得大树顶端A的仰角为，已知，BE=1.6m，此学生身高CD=1.6m，则大树高度AB为（）m.A.7.4B.7.2C.7D.6.8【答案】D【解析】如图所示:过点C作延长线于点G,交EF于点N,根据题意可得: ,计算得出: ,,,,,设,则,故,即,计算得出: ,故,则,故答案为：D.【分析】将大树高度AB放在直角三角形中，解直角三角形即可求解。
即：过点C作 C G ⊥ A B 延长线于点G,交EF于点N,因为斜坡 D E 的坡度i=1:4，所以,解得EF=2，而 sinα=，设AG=3x,则AC=5x ,所以BC=4x ,即8+1.6=4x ,解得 x = 2.4 ，所以AG=2.4×3=7.2m ,则AB=AG−BG=7.2−0.4=6.8m。
2019年浙江省中考数学分类汇编专题锐角三角函数(含答案解析)
2019年浙江省中考数学分类汇编专题锐角三角函数（解析版）一、单选题1.某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】 B【考点】解直角三角形的应用【解析】【解答】解：∵简易房为轴对称图像，故BC边上的高平分底边，∴有故答案为：B。
【分析】由轴对称关系，作高，解直角三角形即可。
2.如图1长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一楼进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）A. B. C. D.【答案】 A【考点】解直角三角形，棱柱及其特点【解析】【解答】解：如图，过点D作DC⊥EC于点 C由题意可知：EF=BD=3，DE=BF=8两图形阴影部分的面积相等，设AF=x∴3×6= （x+8）×3解之：x=4∴AB=8-4=4在Rt△ABD中AD=∵∠ADB+∠ADE=∠EDC+∠ADE=90°∴∠ADB=∠EDC∴cos∠ADB=cos∠DEC解之：CD=故答案为： A【分析】过点D作DC⊥EC于点C，两图形阴影部分的面积相等，设AF=x，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式，建立关于x的方程，解方程求出x的值，就可得到AB的长，利用勾股定理求出AD的长，再证明∠ADB=∠DEC，就可得到cos∠ADB=cos∠DEC，建立关于DC的方程，解方程求出DC的长即可。
3.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，已知AB=m，∠BAC=∠α，则下列结论错误的是（）A. ∠BDC=∠αB. BC=m·tanαC. AO=D. BD=【答案】 C【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解： A.∵矩形ABCD，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，又∵BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SAS）,∴∠BDC=∠BAC=α，故正确，A不符合题意；B.∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，∵∠BAC=α，AB=m，∴tanα= ，∴BC=AB·tanα=mtanα，故正确，B不符合题意；C.∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，∵∠BAC=α，AB=m，∴cosα= ，∴AC= = ，∴AO= AC=故错误，C符合题意；D.∵矩形ABCD，∴AC=BD，由C知AC= = ，∴BD=AC= ，故正确，D不符合题意；故答案为： C.【分析】A.由矩形性质和全等三角形判定SAS可得△ABC≌△DCB,根据全等三角形性质可得∠BDC=∠BAC=α，故A正确；B.由矩形性质得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据正切函数定义可得BC=AB·tanα=mtanα，故正确；C.由矩形性质得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据余弦函数定义可得AC= = ，再由AO= AC 即可求得AO长，故错误；D.由矩形性质得AC=BD，由C知AC= = ，从而可得BD长，故正确；4.如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH、AB=EF=2cm，BC=FG=8cm，把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合，当两张纸片交叉所成的角最小α时，tanα等于（）A. B. C. D.【答案】 D【考点】翻折变换（折叠问题），锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：由图形绕着点D选择可知，当点B与点E重合时，α角度最小且重叠部分为平行四边形，设BC与FD交于点M，如图，依题可得：EF=CD=2，∠F=∠C=90°，∠EMF=∠DMC=α，∴△EFM≌△DCM（AAS），∴FM=CM，EM=DM，设CM=FM=x，则DM=8-x，在Rt△ABC中，∵CM2+CD2=DM2，∴x2+22=（8-x）2，解得：x= ，tanα= .故答案为： D.【分析】由图形绕着点D选择可知，当点B与点E重合时，α角度最小且重叠部分为平行四边形，设BC 与FD交于点M，根据全等三角形的判定AAS可得△EFM≌△DCM，由全等三角形性质得FM=CM，EM=DM，设CM=FM=x，则DM=8-x，在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程，解之得CD长，再由锐角三角函数正切定义即可求得答案.5.如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内）.已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于（）A. asinx+bsinxB. acosx+bcosxC. asinx+bcosx.D. acosx+bsinx 【答案】 D【考点】解直角三角形的应用【解析】【解答】解：作AG⊥OC交OC于点G，交BC于点H，如图，∵四边形ABCD为矩形，AD=b，∴∠ABH=90°，AD=BC=b，∵OB⊥OC，∴∠O=90°，又∵∠HCG+∠GHC=90°，∠AHB+∠BAH=90°，∠GHC=∠AHB，∠BC0=x，∴∠HCG=∠BAH=x，在Rt△ABH中，∵cos∠BAH=cosx= ，AB=a，∴AH= ，∵tan∠BAH=tanx= ，∴BH=a·tanx，∴CH=BC-BH=b-a·tanx，在Rt△CGH中，∵sin∠HCG=sinx= ，∴GH=（b-a·tanx）·sinx=bsinx-atanxsinx，∴AG=AH+HG= +bsinx-atanxsinx，= +bsinx- ，=bsinx+acosx.故答案为： D.【分析】作AG⊥OC交OC于点G，交BC于点H，由矩形性质得∠ABH=90°，AD=BC=b，根据等角的余角相等得∠HCG=∠BAH=x，在Rt△ABH中，根据锐角三角函数余弦定义cosx= 得AH= ，根据锐角三角函数正切定义tanx= 得BH=a·tanx，从而可得CH长，在Rt△CGH中，根据锐角三角函数正弦定义sinx= 得GH=bsinx-atanxsinx，由AG=AH+HG计算即可得出答案.二、填空题6.如图，在△ABC中，若∠A=45°，AC2-BC2= AB2，则tanC=________。
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2019春初三数学中考专题复习锐角三角函数一、单选题1.在中，，，，那么的值是（）A. B. C. D.2.如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC=2，则tanA的值为（）A. 2B.C.D.3.sin30°的值等于（）A. B. C. D. 14.cos30°=（）A. B. C. D.5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosB的值是（）A. B. C. D.6.在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（）A. B. C. D. 27.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，sinA= ，则AB的长为（）A. B. 6 C. 12 D. 88.如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=3：2，顶宽是7米，路基高是6米，则路基的下底宽是（）A. 7米B. 11米C. 15米D. 17米9.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（）A. B. C. D.10.在三角形ABC中，∠C为直角，sinA=，则tanB的值为（）A. B. C. D.11.游客上歌乐山山有两种方式：一种是如图，先从A沿登山步道走到B，再沿索道乘座缆车到C，另一种是沿着盘山公路开车上山到C，已知在A处观铡到C，得仰角∠CAD=3l°，且A、B的水平距离AE=430米，A、B的竖直距离BE=210米，索道BC的坡度i=1：1.5，CD⊥AD于D，BF⊥CD于F，则山篙CD为（）米；（参考数据：tan31°≈0.6．cos3l°≈0.9）A. 680B. 690C. 686D. 69312.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A=α，BC=a，那么AC等于（）A. a·tanαB. a·cotαC.D.13.化简等于（）A. sin28°﹣cos28°B. 0C. cos28°﹣sin28°D. 以上都不对14.如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3m，则鱼竿转过的角度是（）A. 60°B. 45°C. 15°D. 90°15.如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC等于（）A. 45B. 5C.D.二、填空题16.如图1，是工人将货物搬运上货车常用的方法，把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运．根据经验，木板与地面的夹角为20°（即图2中∠ACB=20°）时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离AB=1.5m，木板超出车厢部分AD=0.5m，则木板CD的长度为________．（参考数据：sin20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，精确到0.1m）．17.已知cosB=,则∠B=________18. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为________m（结果保留根号）．19.一山坡的坡比为3：4，一人沿山坡向上走了20米，那么这人垂直高度上升了________ 米．20.如图，如果在坡度i=1：2.4 的斜坡上两棵树间的水平距离AC为3米，那么两树间的坡面距离AB是________米．三、解答题21. 如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶中D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m.（结果精确到0.1m。
参考数据：tan20°≈0.36,tan18°≈0.32）（1）求∠BCD的度数.（2）求教学楼的高BD22.在升旗结束后，小铭想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好至C处且与地面成60°角，小铭从绳子末端C处拿起绳子后退至E点，求旗杆AB的高度和小铭后退的距离．（单位：米，参考数据：≈1.41，≈1.73，结果保留一位小数）23.解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁．（Ⅰ）如图①，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处开启，则AC开启至AC′的位置时，AC′的长为m；（Ⅱ）如图②，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ，在观景平台M处测得∠PMQ=54°，沿河岸MQ 前行，在观景平台N处测得∠PNQ=73°，已知PQ⊥MQ，MN=40m，求解放桥的全长PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数）．24.如图，小明的家在某住宅楼AB的最顶层（AB⊥BC），他家的后面有一建筑物CD（CD // AB），他很想知道这座建筑物的高度，于是在自家阳台的A处测得建筑物CD的底部C的俯角是43°，顶部D的仰角是25°，他又测得两建筑物之间的距离BC是28米，请你帮助小明求出建筑物CD的高度（精确到1米）．（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47；sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93．）四、综合题25.如图，我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将奉校的办学理念做成宣传牌（CD），放置在教学楼的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿坡面AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平而AE的高度BH；（2）求宣传牌CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）26.如图，一只蚂蚁在某公园的位置平面图上爬行，它从西门出发，沿北偏东60°的方向爬行400cm到达望春亭，在望春亭停留片刻，小蚂蚁又沿北偏西60°的方向爬行400cm到达中心广场．（1）在图中画出蚂蚁爬行路线，并标出望春亭和中心广场的位置；（2）以中心广场为参考点，请用方向角和实际距离（1cm表示1m）表示西门和望春亭的位置．答案解析部分一、单选题1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】B8.【答案】C9.【答案】C10.【答案】C11.【答案】B12.【答案】B13.【答案】C14.【答案】C15.【答案】B二、填空题16.【答案】4.9m17.【答案】30°18.【答案】10 +119.【答案】1220.【答案】三、解答题21.【答案】（1）解：过点C作CD⊥BD于点E，则∠DCE=18°，∠BCE=20°，所以∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°.（2）解：由已知得CE=AB=30（m）,在Rt△CBE中，BE=CE×tan20°≈30×0.36=10.80(m)，在Rt△CDE中，DE=CE×tan18°≈30×0.32=9.60(m)，∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4（m）.答：教学楼的高为20.4m.22.【答案】解：设绳子AC的长为x米；在△ABC中，AB=AC•sin60°，过D作DF⊥AB于F，如图所示：∵∠ADF=45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AF=DF=x•sin45°，∵AB﹣AF=BF=1.6，则x•sin60°﹣x•sin45°=1.6，解得：x=10，∴AB=10×sin60°≈8.7（m），EC=EB﹣CB=x•cos45°﹣x×cos60°=10×﹣10×≈2.1（m）；答：旗杆AB的高度为8.7m，小铭后退的距离为2.1m．23.【答案】（Ⅰ）∵点C是AB的中点，∴A'C'= AB=23.5m．（Ⅱ）解：设PQ=x，在Rt△PMQ中，tan∠PMQ= =1.4，∴MQ= ，在Rt△PNQ中，tan∠PNQ= =3.3，∴NQ= ，∵MN=MQ﹣NQ=40，即﹣=40，解得：x≈9724.【答案】解：过点A作AE⊥CD，垂足为点E，由题意得，AE= BC=28，∠EAD＝25°，∠EAC＝43°，在Rt△ADE中，∵，∴，在Rt△ACE中，∵，∴，∴（米），答：建筑物CD的高度约为39米四、综合题25.【答案】（1）解：在Rt△ABH中，∵tan∠BAH= =i= = ．∴∠BAH=30°，∴BH=AB．sin∠BAH=10．sin30°=10× =5．答：点B距水平面AE的高度BH是5米；（2）解：在Rt△ABH中，AH=AB．cos∠BAH=10．cos30°=5 ，在Rt△ADE中，tan∠DAE= ，即tan60°= ，∴DE=15 ，如图，过点B作BF⊥CE，垂足为F，∴BF=AH+AE=5 +15，DF=DE﹣EF=DE﹣BH=15 ﹣5，在Rt△BCF中，∠C=90°﹣∠CBF=90°﹣45°=45°，∴∠C=∠CBF=45°，∴CF=BF=5 +15，∴CD=CF﹣DF=5 +15﹣（15 ﹣5）=20﹣10 ≈20﹣10×1.732≈2.7（米），答：广告牌CD的高度约为2.7米．26.【答案】（1）解：如图所示，（2）解：∵MN∥OB，∴∠NAO=∠BOA=60°，∵∠BAM=60°，∴∠BAO=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠OBA=60°，∴△ABO是等边三角形，∴AO=BO=AB=400cm，则西门在中心广场的正南方向上400米处；∵∠OBA=60°，则望春亭在中心广场的南偏东60°方向上400米处；所以西门在中心广场的正南方向上400米处，望春亭在中心广场的南偏东60°方向上400米处．。