高中数学必修2空间几何典型例题及讲解

数学必修2第一章

一、学习目标：

1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。

2. 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图与直观图，能识别上述三视图与直观图所表示的立体模型。

二、重点、难点：

重点：空间几何体中的棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；空间几何体的三视图与直观图的画法。

难点：柱、锥、台、球结构特征的概括；识别三视图所表示的空间几何体;几何体的侧面展开图，计算组合体的表面积和体积。

三、考点分析：

三视图是新课程改革中出现的内容，是新课程高考的热点之一，几乎每年都考，同学们要予以足够的重视。在高考中经常以选择、填空题的形式出现，属于基础或中档题，但也要关注三视图以提供信息为目的，出现在解答题中。这部分知识主要考查学生的空间想象能力与计算求解能力。

1. 多面体

棱柱、棱锥、棱台

2. 旋转体

圆柱、圆锥、圆台、球

3. 三视图

（1）正视图、侧视图、俯视图

（2）三种视图间的关系

4. 直观图

水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法

表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面的周长，h表示高度，h′表示斜高，l表示侧棱长。

5. 旋转体的面积和体积公式

名称 圆柱 圆锥 圆台 球 S 侧 2πrl πrl π(r 1+r 2)l S 全 2πr(l+r) πr(l+r)

π(r 1+r 2)l+π(r 21+r 22)

4πR 2

V

πr 2h （即πr 2l ）

31πr 2h 31

πh(r 21+r 1r 2+r 22) 3

4πR 3 表中l 、h 分别表示母线长、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底面 半径，r 1、r 2分别表示圆台上、下底面的半径，R 表示半径。

知识点一 柱、锥、台、球的结构特征

例1. 下列叙述正确的是（ ）

①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台。 ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台。 ④直角三角形绕其一条边旋转得到的旋转体是圆锥。

⑤直角梯形以它的一条垂直于两底边的腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面围成的旋转体叫圆台。

⑥用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分是圆台。 ⑦通过圆锥侧面上一点，有无数条母线。

⑧以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成球体。 A. ①②③④⑤⑥⑧ B. ①③④⑦⑧ C. ①②⑤⑧ D. ⑤

思路分析：遇到概念判断问题，一定要在理解透彻相关概念的基础上，仔细分析，如果判断它是正确的，必须能紧扣定义，而不是模棱两可地去作判断；如果判断它是错误的，只需找到一个反例即可。

解答过程：如图所示，由图（1）可知①是错误的；由图（2）可知②③是错误的；由图（3）可知④是错误的；由图（4）可知⑥是错误的。

因为通过圆锥侧面上一点和圆锥的顶点只能连一条射线，所以“通过圆锥侧面上一点，有无数条母线。”是错误的，即⑦是不正确的。

以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的应该是球面，半圆面旋转一周形成的才是球体。所以⑧是错误的。

所以只有⑤是正确的。故应选D 。

解题后的思考：在作判断的时候没有严格的根据定义进行多角度分析，而是只抓住定义中的某一点就作出判断，容易导致错误。

知识点二 组合体

例2. 如图，下列组合体是由哪几种简单几何体组成的？

解答过程：

（1）由一个三棱锥和一个四棱锥组成，为左右结构

（2）由两个三棱锥组成，为上下结构

（3）由圆锥和圆台组成，为上下结构

知识点三柱、锥的侧面展开图

例3. 小明在一个正方体盒子的每个面都写有一个字母，分别是：A、B、C、D、E、F，其平面展开图如图所示，那么在该正方体盒子中，和“A”相对的面所写的字母是哪一个？

思路分析：在每个格子中标明你所想象的面的位置，如将A格标明“上”，将B格标明“前”等等。

解答过程：为字母“E”

解题后的思考：本题突出考查了学生将正方体各面展开图复原为正方体的空间想象能力。

例4. 如图所示，为一个封闭的立方体，在它的六个面上标出A，B，C，D，E，F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已标明，则字母A，B，C对面的字母分别是（）

A. D，E，F

B. F，D，E

C. E，F，D

D. E，D，F

思路分析：本题处理方法比较灵活，要将几个图结合起来一起分析。

解答过程：由（1）（2）两个图知，A与B，C，D相邻，结合第（3）个图知，B，C 与F共顶点，所以A的对面为F，同理B，C的对面分别为D，E，故选择B。

解题后的思考：本题考查推理能力以及空间想象能力。也可先结合图（1）（3）进行判断。

例5. 用长和宽分别是π3和π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，求圆柱的底面半径？ 思路分析：要注意哪条边是圆柱的母线，哪条边是圆柱底面的圆周。

解答过程：设圆柱底面圆的半径为r ，由题意可知矩形长为底面圆的周长时，r ππ23=，解得23=

r 。矩形宽为底面圆的周长时，r ππ2=，解得21=r 。故圆柱的底面半径为2

3

或2

1。

解题后的思考：本题学生经常会丢解，即主观认为只有图中所示的情况，即以π3作为底面周长，而忽视了它也可作为母线这种情况。

知识点四 旋转体中的有关计算

例6. 一个圆台的母线长cm 12，两底面面积分别为24cm π和225cm π，求：

（1）圆台的高；

（2）截得此圆台的圆锥的母线长。

思路分析：通过作截得此圆台的圆锥的轴截面，构造直角三角形与相似三角形求解。

解答过程：（1）作OA H A ⊥1

242=∴=r r ππ 5252=∴=R R ππ

3=∴AH

153312221=-=∴H A （2）11O VA ∆ 与O VA ∆相似 AO O A VA VA 1

11=∴

20=∴VA

解题后的思考：通过构造旋转体的轴截面，将立体问题转化为平面问题。

例7. 已知球的两个平行截面的面积分别为π5和π8，且距离为3，求这个球的半径。 思路分析：两截面的相互位置可能出现两种情况，一种是在球心O 的同侧，另一种是