§2.1.1合情推理(一)

§2.1.1 合情推理（一）

【教学目标】 姓名：__________

1．了解归纳推理的概念和归纳推理的作用． 2．掌握归纳推理的一般步骤． 3．能利用归纳进行一些简单的推理． 【重点难点】

1．重点：了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理． 2．难点：用归纳进行推理，做出猜想． 【教学过程】 一.情境引入 看下面的两个示例: (1)前提 当1n =时,14a =; 当2n =时,27a =; 当3n =时,310a =; 当4n =时,413a =; 当5n =时,516a =;

结论 数列{}n a 通项公式31,*n a k k N =+∈ (2)前提 矩形的对角线的平方等于长和宽的平方和 结论 长方体的对角线的平方等于长,宽,高的平方和. 上述两个示例有何共同点?又有何区别?

二. 要点梳理

(1)推理的定义: . (2)归纳推理

①定义: . 归纳推理的一般步骤：

（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； （2）提出带有规律性的结论，即猜想； （3）检验猜想．

②思维过程: ⇒ ⇒

③特点:

（1）归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围． （2）归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性． （3）归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上． 提出带有规律性的结论．

（4）归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理．通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．

【练习】根据下列条件写出推理结果.

(1)蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的.蛇,鳄鱼,海龟,蜥蜴都是爬行动物,所以我们猜想 .

(2)三角形的内角和是180︒,凸四边形的内角和是360︒,凸五边形的内角和是540︒,由此我们猜想 . (3)

221222223,,,331332333

+++<<<+++L ,由此我们猜想 .

三、典型例题

【例1】已知数列{}n a 的每一项均为正数,11a =,2211n n a a +=+

1,2),(n =⋅⋅⋅,试归纳出数列{}n a 的一个通项公式.

【练习1】已知数列{}n a 的第一项11a =,且1(1,2,......),1n

n n

a a n a +==+试归纳出这个数列的通项公式.

【变式】将11n n n a a a +=+改为12n

n n

a a a +=+如何?

【例2】 已知数列{a n }的通项公式2

1

()(1)

n a n n +N ＝

∈＋， 12()(1)(1)(1)n f n a a a ⋅⋅⋅＝－－－． 试通过计算(1)(2)(3)f f f ，，的值，推测出()f n 的值．

四、学生探究

1．已知111()1()23f n n n +⋅⋅⋅N ＝＋＋＋＋∈，经计算：3(2)2

f ＝，(4)2f ＞，5

(8)2f ＞，

(16)3f ＞，7

(32)2

f ＞，推测当2n ≥时，有_______________________．

2．已知：2223sin 30sin 90sin 1502＋＋＝o o o ，2223sin 5sin 65sin 1252

＋＋＝o o o

．

观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题．

3．观察（1）tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101＋＋＝o o o o o o

． （2）tan5tan10tan10tan 75tan 75tan51＋＋＝

o

o

o

o

o

o

． 由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论．

★基础训练★ 一、基础过关

1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于________

2．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>7

2，推测当n ≥2

时，有________．

3．已知sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝3

2. 通过观察上述两等式的

规律，请你写出一个一般性的命题：____________________. 4．已知a 1＝3，a 2＝6且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33＝________. 5．数列－3,7，－11,15，…的一个通项公式是________． 二、能力提升

6．如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________．

7．如图所示，图(a)是棱长为1的小正方体，图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n 层．第n 层的小正方体的个数记为S n .解答下列问题．

(1)按照要求填表：

(2)S10＝________. (3)S n＝________.

8．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1且S n－1＋1

S n＋2＝0(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想S n的表达式．