第六章 非正弦周期信号电路

周期函数展开为傅里叶函数举例
例1：矩形周期波电压如图所示，求其傅立叶展级数：
u Um
0
Um
T
2
T
t
解：图示矩形周期电压，在一个周期内的表达式为： T 0t u(t ) U m 2
u(t ) U m
T t T 2
1 A0 T

T
0
1 u( t )dt T

T 2 0
1 U m dt T
1 I T


T
0
i dt
2
一个非正弦周期电流i可以分解为傅里叶级数:
i I 0 I mk sinkt k
k 1
则：
1 I T
1 T

T
0
I 0 I mk sinkt k dt k 1

2

T
0
2 2 I0 dt I 0
平均功率：
i
u
无源 二端 网络
u U 0 U mk sinkt uk
k 1

i I 0 I mk sinkt ik
k 1

p ui
1 P T

T
0
1 pdt T

T
0
uidt
1 T P U 0 U mk sinkt uk I 0 I mk sinkt ik dt T 0 k 1 k 1
C 0 A0 2 2 C k Ak Bk 式中： Ak k arcty Bk
第二项C1sin(ωt+Φ1),称为基 波分量或一次谐波，其周期 和频率与原函数f(t)相同。
数在一周期内的平 均值，是一个常数， 称为周期函数f(t)的 恒定分量（或直流 分量），也称为零 次谐波。 其余各项的频率是 周期函数频率的整 数倍，称为高次谐 波
2 T AK f ( t ) cos ktdt 0 T 0 T 4 2 BK f (t ) sinktdt T 0
f ( t ) Bk sinkt
k 1

偶函数（纵轴对称 ）
奇函数（纵轴对称 ）
f t f t
在一个 周期内的积分 为2倍半周期 的积分

T
T 2
(U m )dt 0
直流分量为 0
2 T 2 T 2 T 2 Ak u( t ) cos ktdt U m cos ktdt T ( U m ) cos ktdt 0 T 0 T 0 T 2 2U m 2 T 2 T 2 T 2 Bk u( t ) sinktdt U m sinktdt T ( U m ) sinktdt (1 cos k ) 0 0 T T T 2 k
K为奇数时
4U m cos k 1, Bk k
K为偶数时
所以：u( t )
4U m
cosk 1, Bk 0
1 1 1 (sint sin3t sin5t sinkt ) 3 5 k
(k为奇数）
例2 求出下图所示的锯齿波电流的傅里叶级数。
0
2 Bk T
f (t ) sinkwtdt f ( wt ) sinkwtd( wt )
0
2
利用三角函数公式，将分解式中的同频率正弦项与余弦项合 并，则傅里叶级数还可以写成另一种形式：
Ck0是非正弦周期函 f (t ) C 0 C k sin kwt
k 1


（k≠q）
非正弦周期电流i的有效值：
I I I I I
2 0 2 1 2 2 2 m
I1、I2、I3等分 别为基波、二次 谐波、三次谐波 等的有效值
非正弦周期电压的有效值为：
U U U U U
2 0 2 1 2 2 2 k
U1、U2、U3等 分别为基波、二 次谐波、三次谐 波等的有效值
k 1
式中，ω=2π/T，T为f(t)的周期 ，K为正整数。上式中的 A0、AK及BK称为傅里叶系数
傅里叶系数的确定：
1 A0 T
Ak 2 T
T

0
T
1 f (t )dt 2
2
f (wt )d (wt )
0

0 T 0
f ( t ) cos kwtdt
1
2

1
f ( wt ) coskwtd( wt )
f(t) A0 A kcoskωt
k 1

偶函数的傅里叶 级数中将包含直 流分量且只有余 弦项，不含正弦 项
奇谐波函数（镜对称）
ft f t T/2 奇谐波函数（镜对称） 奇函数的波形的特点：在任一周期内把第二个 半波的波形向前移动半个周期。就会与第一个 在一个 半波对称于横轴，二者互为镜像 周期内波形前移半 f(t) 周期波形相对于t轴 镜相对称
各次谐波有效值与最大值之间的关系为:
I mk Ik 2
U mk Uk 2
非正弦周期电流的平均值:
I av
1 T

T
0
i dt
非正弦周期电流在 一周期内绝对值的 平均值称为该电流 的平均值
磁电式仪表 （直流仪表）可以测量 直流分量
用电磁式或 电动式仪表测量 所得结果是 有效值
用全波整流 磁电式仪表测量所得 结果是电流的 平均值
1 T

T
0
I
2 mk
I mk 2 sin kt k dt I k 2
2
2
1 T 2 I 0 I mk sinkt k dt 0 T 0 1 T 2I mk sinkt k I mq sin qt q dt 0 0 T
1 + + u u 0 (b)
u
1
u= U0
1
u
0
u =U m1Sinwt
0
2 (a)
wt
正弦 交流电
两信号 叠加后的 波形
电路中存在 非线性元件，也产生非正弦的周期信号
非线性元 件二极管
i + u (a) R + u
电源电压 波形
i
整流后电 流波形
u
R
-
0
T 2
T (b)
t
0 (c)
t
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§6-2 非正弦周期信号的分解
T
t
分析：图中三角波电压对原点对称，因而是奇函数，只有正 弦项； 如将前半周波形后移半个周期，它将与下半周波形对称于横 轴，如图中虚线所示，这说明该波形也是奇半波对称，因而 只有奇次谐波 ； 总之，这个三角波电压中只含有奇次正弦项
8U m u(t) 2 π 1 1 sinωt 2 sin3ωt 2 sin5ωt 3 5
不同频率正弦波的合成 例：已知两个正弦电压u1 U m sin t 和 u3 U m3 sin 3t 试作出 u u1 u3 的波形。
u
u
u
1
u
0
3
wt
非正弦周期波的分解 综上所述，几个频率不同的正弦波之和是一个非正弦周 期波，那么反过来,一个非正弦周期波可以分解成几个不同 频率的正弦波之和 由数学知识可知，如果一个函数是周期性的，且满足狄 里赫利条件，那么它可以展开成一个收敛级数，即傅里叶级 数。电工技术中所遇到的周期函数f(t)一般都能满足这个条 件，因而可以分解为下列的傅里叶级数。 f (t ) A0 A1 cos wt B1 sin wt A2 cos2wt B2 sin 2wt Ak coskwt Bk sin kwt 即： f (t ) A0 Ak coskwt Bk sin kwt
综上所述，f(t)的傅里叶级数中只有奇次余弦项，计算得：
4Im f（t） π
1 1 1 cosωt cos3ωt cos5ωt cos7ωt 3 5 7
例6-5 图6-11所示的是一个周期电压三角波，试分析其中的 谐波成份
u
Um
T 2
Um
0
T 2
主要内容 非正弦周期信号及分解 非正弦周期信号的有效值，平均值和平均功率 非正弦周期电路的计算.
§6.1 非正弦周期信号及波形
常见的几种非正弦周期信号
u
方波
u
三角波
0
u
共同特点： 0 t 其一它们都是周期波， 其二它们的变化规律都是 锯齿波 非正弦的 u
t
t
脉冲波
0
0
t
直 流 电
频率不同的正弦电源作用于同一电路时,也产生 非正弦的周期信号
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§6.3 函数对称性与傅里叶级数的关系
把周期函数分解成傅里叶级数时，并不一 定包含所有谐波项。有的只包含有正弦项， 有的只包含有余弦项。这是因为周期函数 具有对称性。电工技术中遇到的周期函数 的波形往往具有某种对称性，利用函数的 对称性，不仅可使系数的计算过程得以简 化，更重要的是可以根据波形的对称性来 判断非正弦周期波的谐波成分。
第六章 非正弦周期信号电路
概
第一节 第二节
述
非正弦周期信号及波形 非正弦周期信号的分解
第三节
第四节
函数对称性与傅里叶级数的关系
非正弦周期信号的有效值、平均值和 平均功率
第五节
本章小结
非正弦周期电流信号电路的计算
概 述
本章主要介绍非正弦周期信号作用于线性电路的分析方， 其思路是把直流电路及正弦交流电路的分析方法应用到非正弦 周期交流电路中。 分析这些电路的方法是：利用傅里叶级数将非正弦周期量 分解为一系列不同频率的正弦量之和，然后按照直流电路和正 弦电路的计算方法，分别计算在直流和单个正弦信号作用下的 电路响应，再根据线性电路叠加原理将所得结果相加。这种方 法称为谐波分析法。
奇函数（原点对称）
奇函数（原点对称）
f t f t
在一个 周期内的积分 为零
奇函数的波形的特点：对称于坐标原点
i(t)
I
m
T 2
T
2
0
t
f t cos kt 也是一个奇函数，因而有： 当 f t 是奇函数时，
1 A0 T

T
0
f ( t )dt 0
奇函数的傅里叶 级数中将不含直 流分量和余弦项， 只含正弦项
i 10 0 0.2 0.4 t(ms)
解： 锯齿波电流的周期，角频率和最大值分别为：
T 0.2ms 0.0002 s 2 2 3.14 rad s 31400 rad s T 0.0002
I m 10A
查表6-1并计算得：（表6-1见教材）
i 5 3.18 sin 31400 t 1.59 sin 62800 t 1.06 sin 94200 t A
例题分析
函数分解为傅里叶级数后，理论上，必须用无穷 多项来代表原函数。在实际运算中，只能取有限项。 如果级数收敛很快，只取前几项就足够了，如果级 数收敛，则视精确度要求而定。 一个函数是奇函数或偶函数，这与计时起点的选 择有关。
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§6.4 概非正弦周期信号 的有效值、平均值和平均功率
非正弦周期电流的有效值:
奇函数的波形的特点：对称于坐标纵轴
u(t)
u
m
T
0
2
T
t
当 f t 是偶函数时，f t sin kt 也是一个奇函数，因而有：
2 T BK f(t)sinkωt dt 0 T 0
1 T A0 2T f(t)dt T 2 4 T AK 2 f(t)coskωtdt T 0
k 1

1 A0 f(t)dt 0 T 4 AK f(t)coskωtdt T 0
此外，如将f(t)的波形沿时间轴移动半周，如图中虚线所示， 两个波形互呈镜像对称；这就是说，它又是奇谐波函数，因 而只含奇次谐波。即：
T 2 T 2 T 2
f（t） A1cosωt A 3cos3ωt A 5cos5ωt A 7cos7ωt
T 2


T
0
t
f t cos kt 也是一个奇函数，因而有： 当 f t 是奇函数时，
1 T A0 f(t)dt 0 T 0
2 T AK f(t)coskωt dt T 0 2 T BK f(t)sinkωt dt T 0
k 1
不含直流分量和 偶次谐波， 只含 奇次谐波
f（t） (Akcoskωt B Ksinkωt）
（K为奇数）
例6-4 已知周期函数f(t)如下图所示，试判断其中所含的谐 波成份，并求其傅里叶级数
f (t )
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Im
0
Im
T 2
T
t
分析：图中方波以纵轴为对称，因而是偶函数。因此，它的 傅里叶级数中没有正弦项，而只有余弦项。即：
f(t) A0 A kcoskωt