16-3 一维势阱和势垒问题

ψ(x) = Asinkx
nπx ψn(x) = Asin ( ) a
ka = nπ , n = 1,2,3,......
(0< x < a) n =12,3 , ,...
与能量本征值E 与能量本征值 n相对应的本征波函数ψn (x)为：
利用归一化条件
∫
2
ψn(x) dx = ∫ ψn(x) dx =1 0 −∞
ψ2 =0
理由:因为势壁无限高 所以粒子不能穿透势壁 理由 因为势壁无限高,所以粒子不能穿透势壁 故势 因为势壁无限高 所以粒子不能穿透势壁,故势 阱外的 波函数为零
定态薛定谔方程为
d ψ 2µ E + 2 ψ =0 2 dx ℏ
2
E是粒子的总能量，E > 0，令 是粒子的总能量， 是粒子的总能量 ， 定态薛定谔方程变为
ℏ
V
U0
0≤ x≤a
I II III
O a
x
ℏ
d2ψ1(x) 2 + k ψ1(x) = 0, x ≤0 2 dx 三个区间的薛定 2 谔方程简化为： 谔方程简化为： d ψ 2 ( x) − γ 2ψ ( x) = 0, 0≤ x≤a 2 2 dx d 2ψ3 (x) 2 + k ψ3 (x) = 0, x≥a 2 dx
一维无限深方势阱的数学表达形式 ：
U (x ) =
0
(0 < x < a )
∞ ( x ≤ 0 及x ≥ a )
一维无限深方势阱的图形表达形式 ： ∞
U(x)
∞ 粒子只能在宽为 a 的两个无 限高势壁间运动， 限高势壁间运动，这种势称为 一维无限深方势阱。
0
a
x
因为系统的势能与时间无关， 因为系统的势能与时间无关，因此这是一个定 态问题，可以用定态薛定谔方程进行求解。 态问题，可以用定态薛定谔方程进行求解。
ℏ 2 d 2ψ 1 ( x) − = Eψ 1 ( x), x ≤ 0 2 2 µ dx ℏ 2 d 2ψ 2 ( x) − + U 0ψ 2 ( x) = Eψ 2 ( x), 2 2µ dx ℏ 2 d 2ψ 3 ( x) − = Eψ 3 ( x), x ≥ a 2 2 µ dx 2µE 2µ (U0 − E) 2 2 令： k = 2 γ = 2
薛定谔方程的简单应用
找出问题中势能函数的具体形式，代入相应的薛定谔方程； 找出问题中势能函数的具体形式，代入相应的薛定谔方程； 求出薛定谔方程的通解——即波函数 即波函数 求出薛定谔方程的通解 根据波函数应满足的自然条件定出边界条件 求出薛定谔方程的特解 根据波函数应满足的归一化条 件写出波函数 对量子力学处理的结果进行分析
定义反射系数： 定义反射系数： 反射系数 ————粒子被势垒反射的概率 粒子被势垒反射的概率 ————被势垒反射的粒子数 / 入射到势垒上的 被势垒反射的粒子数 2 2 粒子数 B
B R= 2 = 1 A A 1 1
1
定义透射系数： 定义透射系数： 透射系数 ————粒子穿过势垒的概率 粒子穿过势垒的概率 ————穿过势垒的粒子数 / 入射到势垒上的粒 穿过势垒的粒子数 2 2 子数
=∫
a1 [cos 0
a
( m − n ) πx ( m + n ) πx − cos ]dx a a
1 1 ( m −n ) ( m+n) cos udu − cos vdv = ∫0 ∫0 ( m − n) ( m + n)
=0
属于不同能级的波函数是正交的。 属于不同能级的波函数是正交的。 把波函数的正交性和归一性表示在一起， 把波函数的正交性和归一性表示在一起，
考虑粒子的动能 E小于势垒高 小于势垒高 的情况。（ 度 U0的情况。（ E < U0 ）
E
P
o
Q
S
a x
U (x) =
x < 0和x > a U0, 0 ≤ x ≤ a
0,
V
U0
这种势能分布称为一维势垒。 这种势能分布称为一维势垒。 一维势垒 I II III 区域里， 粒子在 x < 0 区域里，若其能量 小于势垒高度， 小于势垒高度，经典物理来看是不 x 能越过势垒达到 x > a的区域。 的区域。 的区域 O a 在量子力学中，情况又如果呢？ 在量子力学中，情况又如果呢？ 为讨论方便，我们把整个空间分成三个区域： 为讨论方便，我们把整个空间分成三个区域： Ι( x ≤ 0), Π (0 ≤ x ≤ a ), ΙΠ ( x ≥ a ) 在各个区域的波函数分别表示为Ψ 在各个区域的波函数分别表示为Ψ1、Ψ2、Ψ3。
讨论一： 不等于零 讨论一：n不等于零
d2 ψ 2 +k ψ =0 2 dx
ψ (0) = 0 ψ (a) = 0
ψ ( x) = Cx + D D=0 C=0
ψ ≡0
此时波函数没有物理意义，故舍去。 此时波函数没有物理意义，故舍去。 讨论二： 不取负数 讨论二：n不取负数
ψ(x) = Asin(−kx) = −Asin kx
2 2
a 2
+ ∞
a
2 a nπx A ∫ sin dx = A 0 nπ a 2 a nπ 2 a = A = A =1 nπ 2 2
∫
nπ
0
sin 2tdt
A= 2/ a
波 函 (x) = 数： n
取 A为正实数 为正实数
0< x < a;
x ≤0 x ≥ a , .
ψ
2 nπ x sin , a a
§16-3 一维势阱和势垒问题
1.一维无限深势阱 1.一维无限深势阱
一维无限深方势阱是金属中自由电子的简化模型 一维无限深方势阱是金属中自由电子的简化模型 金属中自由电子 粒子在势阱内受力为零，势能为零。 粒子在势阱内受力为零，势能为零。在阱内自由运 势阱内受力为零 阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力, 动。在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力 不能到阱外。 不能到阱外。
∗ ψm ndτ ψ −∞ + ∞
∫
= δmn
δmn
=1 , =0,
m= n克罗内克符号m Nhomakorabea n二、势垒穿透和隧道效应 有限高的方形势垒 数学形式： 数学形式：
0 , U(x) = 0, U
图形形式： 图形形式： U
U0
x <0(P区,x > a(S ) ) 区 0< x < a(Q ) 区
ψn(x) =
（1）一维无限深势阱的粒子波函数 ） 2 nπ x ψ1
sin , a a 0< x < a;
0 , 除端点外， x ≤0 x ≥ a , .
n =1
0
ψ2 n = 2
a x a x
0
基态的波函数(n=1)无节点， 无节点， 基态的波函数 无节点 第一激发态(n=2)有一个节点， 有一个节点， 第一激发态 有一个节点 激发态(n=k+1)有k个节点。 个节点。 第k激发态 激发态 有 个节点
与零点能相对应的，应存在零点运动。这与经典粒 零点能相对应的，应存在零点运动。 相对应的 零点运动 子的运动是相矛盾的。 子的运动是相矛盾的。零点能是微观粒子波动性的表 因为“静止的波”是没有意义的。 现，因为“静止的波”是没有意义的。
② 图形 一维无限深方势阱中粒子的能级、 一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度
2
k=
2 µE ℏ
dψ 2 +k ψ =0 2 dx
此薛定谔方程的解为
ψ(x) = Asin(kx +α)
式中 A和α是待定常数，由边界条件和归一化条 和 是待定常数， 是待定常数 件确定。 件确定。
ψ(x) = Asin(kx +α)
从物理上考虑，粒子不可能透过阱壁， 从物理上考虑，粒子不可能透过阱壁，因而按照波 函数的统计诠释，要求在阱壁上和阱外波函数为0。 函数的统计诠释，要求在阱壁上和阱外波函数为 。 考虑波函数在阱壁上等于零的情况， 考虑波函数在阱壁上等于零的情况，即
∗ ψm ndτ ψ −∞ + ∞
∫
=0
即不同能级的波函数是互相正交的。 即不同能级的波函数是互相正交的。 ψ m 取其复共轭 ψ ∗ 相乘并积分，得 解: 波函数 m 相乘并积分，
∗ ψ m ( x )ψ n ( x )dτ −∞ +∞
∫
=
∫
a ( 0
2 mπx 2 nπx sin )( sin ) dx a a a a
2 2 2 2 2
这说明： 这说明：并非任何 E值所对应的波函数都能满足一维 值所对应的波函数都能满足一维 无限深方势阱所要求的边界条件， 无限深方势阱所要求的边界条件，只有当能量取上式 体系的能量本征值） 给出的那些分立的值 En（体系的能量本征值）时， 相应的波函数才是物理上有意义的，即本问题中体系 相应的波函数才是物理上有意义的，即本问题中体系 的能量是量子化的，亦即体系的能谱是分立的 体系的能谱是分立的。 的能量是量子化的，亦即体系的能谱是分立的。
ψ (0) = 0,ψ (a) = 0
————边界条件 边界条件
ψ (0) = 0 ψ (a) = 0
α = 0, 或mπ , m = ±1,±2,±3,......
波函数改写为： 波函数改写为： ψ(x) = Asin kx
ka = nπ , n = 1,2,3,......
d2 ψ =0 2 dx
A T= 2 = 3 A A 1 1
A 3
R+T =1
————概率守恒 概率守恒
的具体值， 反射系数 R 和透射系数 T 的具体值，需要根据波函 数的归一化条件，以及边界条件（ 数的归一化条件，以及边界条件（波函数及其导数 在全空间连续）来确定。 在全空间连续）来确定。 利用波函数“单值、有限、连续”的标准条件， 利用波函数“单值、有限、连续”的标准条件，可 得：
ψ3 n = 3
ψ4
n=4
0
0
a x a x
（2）一维无限深势阱 ） 的粒子位置概率密度 分布
ψ1
2
n =1
0 ψ2 2n=2 a
2
x
0 ψ 无数峰：量子 → 经典(均匀分布) 0
a (a )n = 1，x = 处，几率最大 0 ψ 2 3 (b )n ↑ ，峰数 ↑ ，当n → ∞时，
4
n=3 n=4
方程的通解为： 方程的通解为：
Ψ1 = A1e + B1e ik1 x − ik1 x Ψ2 = A2 e + B2 e ikx − ikx Ψ3 = A3e + B3e
ikx
− ikx
三式的右边第一项表示沿x方向传播的平面波， 三式的右边第一项表示沿 方向传播的平面波， 方向传播的平面波 第二项为沿x负方向传播的平面波 负方向传播的平面波。 第二项为沿 负方向传播的平面波。 Ψ1右边的第一项表示射向势垒的入射波，第二项 右边的第一项表示射向势垒的入射波， 表示被“界面（ 表示被“界面（x=0）”反射的反射波。 ） 反射的反射波。 右边的第一项表示穿入势垒的透射波， Ψ2右边的第一项表示穿入势垒的透射波，第二项 表示被“界面（ 表示被“界面（x=a）”反射的反射波。 ） 反射的反射波。 右边的第一项表示穿出势垒的透射波， Ψ3右边的第一项表示穿出势垒的透射波， Ψ3的第 二项为零，因为在x>a区域不可能存在反射波 3=0)。 区域不可能存在反射波(B 二项为零，因为在 区域不可能存在反射波 。
0 ,
讨论： 讨论：
ℏk πℏn ① 粒子的能量 En = = , n =123⋅⋅⋅ , ,, 2µ 2µa2
2 2 2 2 2
粒子的最低能量状态称为基态， 粒子的最低能量状态称为基态，则一维无限深方势 基态 阱的基态能量为： 阱的基态能量为：
πℏ E= 1 2 ≠0 2µa
2 2
————零点能 零点能
ℏ2 2 ∇ +U(r) (r) = E (r) ψ ψ − 2µ
————定态薛定谔方程 定态薛定谔方程 ①列出各区域的定态薛定谔方程
ψ
1
(0 < x < a )
( x ≤ 0及x ≥ a )
ψ
2
势阱内
2
0<x<a
d ψ1 2µ E + 2 ψ1 =0 2 dx ℏ
势阱外
x ≤ 0 ; x ≥a
x a
a x
2
x a
n→ ∞时
量子→ 量子→经典
|Ψn | 2
n很大 很大
En 0 a
一维无限深势阱
En ρn
Φn(x)
h 2 En(x) = n 2 8m a
2 nπ ψn(x) = sin x a a
2
2 2 n π ρn(x) = sin ( x) a a
0
a
x
证明无限深方势阱中， 例1: 证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函数 具有正交性 正交性： 具有正交性：
取正数时代表相同的概率分布， 此时波函数与 n取正数时代表相同的概率分布， 取正数时代表相同的概率分布 即无法给出新的波函数，故舍去。 即无法给出新的波函数，故舍去。
2 µE k= ℏ
ka = nπ , n = 1,2,3,......
ℏk πℏn En = = , n =123⋅⋅⋅ , ,, 2µ 2µa2