1.2.2第二课时 分段函数与映射
高中数学 1.2.2分段函数及映射课件 新人教版必修1
在它的定义域中， 对于自变量的不同 取值范围，对应关
系不同。
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
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3
探究点1 分段函数
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分， 有不同的对应关系的函数.
注意 （1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确 定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合 B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射。
注意 若对应是映射，必须满足两个条件：
①A中任何一个元素在B中都有元素与之对应。
②A在B中所对应的元素是唯一的 。
x2 4x4, x 2
例2
画出函数
y
x 1, 2
x 2 图像.
y
yx24x4
x O2
y x 1 2
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7
3.求分段函数的解析式 例3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内(含5公里)，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里 的按5公里计算）. 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意， 写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.
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1.判断下列对应是否为映射？
a
e
b
f
c
g
是பைடு நூலகம்
a
e
b
f
c
g
d
不是
a
e
b
f
c
g
1.2.2函数的表示法第2课时分段函数及映射2课件人教新课标
乙用户用水量为3x=4.5(吨)，
缴水费4×1.8+0.5×3=8.7(元).
22
1.分段函数
分段函数
概念
图象
求函数值
23
2.映射的“三性” ①“有序性”：映射是有方向的，A到B的映射与B 到A的映射往往不是同一个映射； ②“存在性”：对于集合A中的任何一个元素，集 合B中都存在元素和它对应；
③“唯一性”：对于集合A中的任何一个元素，在集 合B中和它对应的元素是唯一的.
d c c
e c
e， d， e.
19
3.函数
f (x)
2x x2 ,0 x 3，
x
2
6x,
2
x
0
的定义域是［__-_2_,_3_］__.
【解析】分段函数的定义域是各段定义域的并集，所
以此函数的定义域是［-2,3］.
20
4.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不
超过4吨为每吨1.80元，当用水超过4吨，超过部分
v/cm·s-1 30 25
20 15
10
解:v(t)=
t+10, (0 ≤ t<5) O 5 10 20 30 t/s 3t,(5 ≤ t＜10) 30,(10 ≤t ＜20) -3t+90,(20 ≤ t≤30)
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探究点2 映射
填写下图中的对应关系
（1)相应国家的首都 (2)求平方
【变式练习】
1.已知
x 3
f
(x)
f
(
f
(x
4))
, x 9, , x 9.
求 f 15,f 7 的值.
解：f 15 12,f 7 6
人教A版必修一数学课件：1.2.2函数的表示法(第2课时分段函数及映射)
研修班
3
x＋2，x≤－1 2 已知函数 f(x)＝x ，－1<x<2 ，求 f(f(f(－3))) 2x，x≥2 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①函数 f(x)是分段函数； ②本例是求值问题． 解答本题需确定 f(f(－3))的范围，为此又需 确定 f(－3)的范围，然后根据所在定义域代入相 应解析式逐步求解．
2018/12/1 研修班 8
对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值
的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作 出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一
样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．
2.写出下列函数的解析式并作出函数图象： (1)设函数y＝f(x)，当x＜0时，f(x)＝0；当x≥0时，f(x)＝2； (2)设函数y＝f(x)，当x≤－1时，f(x)＝x＋1；当－1＜x＜1时，f(x)
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研修班
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1．分段函数是一个函数还是几个函数？其定义域、值域各
是什么？ 【提示】 分段函数是一个函数而非几个函数，其定义域是
各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
2．函数是映射吗？ 【提示】 对比函数定义与映射定义可知，函数是特殊的映
射，是从非空数集到非空数集的映射．
2018/12/1
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研修班
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【解析】 ∵－3≤－1，∴f(－3)＝－3＋2＝－1 ∴f(f(－3))＝f(－1)＝1，
∵－1<1<2，
∴f(f(f(－3)))＝f(1)＝1.
(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相
应的解析式求得． (2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层
高中数学人教A版必修一1.2.2函数的表示法第2课时分段函数与映射课件(26张)
题型二
求分段函数的函数值
x 1, x 0, 【例 2】 已知 f( x) = π, x 0, 求 f{f[ f( -3) ] }. 0, x 0,
分析: 先求 f(-3), 设 f( -3 ) =m, 再求 f(m), 设 f(m) =n, 再求 f( n) 即可. 解: ∵ -3<0, ∴ f(-3)=0. ∴ f[f(-3) ]=f(0) = π. 又∵ π>0, ∴ f{f[f(-3) ]}=f(π) =π+1, 即 f{f[f(-3)] }=π+1. 反思: ( 1)求分段函数的函数值, 一定要注意所给自变量的值所在的范围, 再代入 相应的解析式求得. (2)像本题中含有多层“f”的问题, 要按照“由里到外”的顺序, 层层处理.
1.理解映射的概念 剖析: 对于映射 f: A→B , 可以从以下几个方面理解: (1)映射中的两个集合 A 和 B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等; (2)映射是有方向的, A 到 B 的映 射与 B 到 A 的映射往往是不一样的; (3)映射要求对集合 A 中的每一个元素在集 合 B 中都有元素与之对应, 而且这个与之对应的元素是唯一的, 这样集合 A 中元 素的任意性和在集合 B 中对应的元素的唯一性就构成了映射的核心; (4)映射允 许集合 B 中存在元素在 A 中没有元素与其对应; (5)映射允许集合 A 中有不同的 元素在集合 B 中有相同的对应元素, 即映射只能是“多对一”或“一对一”, 不能 是“一对多”.
题型一
判断映射
【例 1】 下列对应是 A 到 B 的映射的有( ①A=R, B=R, f: x→y= 1 x ;
) .
x 1
②A={2010 年广州亚运会的火炬手}, B={2010 年广州亚运会的火炬手的体重}, f: 每个火炬手对应自己的体重; ③A={非负实数}, B=R, f: x→y=± x . A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 解析: ①中, 对于 A 中元素-1, 在 B 中没有与之对应的元素, 则①不是映射; ②中, 由 于每个火炬手都有唯一的体重, 则②是映射; ③中, 对于 A 中元素 4, 在 B 中有两个 元素 2 和-2 与之对应, 则③不是映射. 答案: B 反思: 判断一个对应是否为映射, 依据是映射的定义.判断方法为: 先看集合 A 中 每一个元素在集合 B 中是否均有对应元素.若没有, 则不是映射; 若有, 再看对应 元素是否唯一, 若唯一, 则是映射, 若不唯一, 则不是映射.
教学设计4：1.2.2 第2课时 分段函数及映射
1.2.2 第2课时 分段函数及映射教学目的：（1）了解映射的概念及表示方法.（2）会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用，提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识.教学重点：映射的概念教学难点：映射概念的理解教学过程：一、复习回顾，新课引入1.函数的常用表示法2.分段函数分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数；（2）分段函数的定义域是所有区间的并集，值域是各段函数值域的并集；（3）分段函数的求解策略：分段函数分段解.3.复习初中常见的对应关系（1）对于任何一个实数a ，数轴上都有唯一的点P 和它对应.（2）对于坐标平面内任何一个点A ，都有唯一的有序数对(x ,y )和它对应.（3）对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应.（4）班级的座位都有唯一的同学与之对应.4.函数的定义设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ， 在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f :为从集合A 到集合B 的函数.二、师生互动，新课讲解：函数是“两个数集间的一种确定的对应关系”．当我们将数集扩展到任意的集合时，就可以得到映射的概念．例如，欧洲的国家构成集合A ，欧洲各国的首都构成集合B ，对应关系f ：国家a 对应它的首都b ．这样，对于集合A 中的任意一个国家，按照对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的首都与之对应．我们将对应B A f →:称为映射．一般地，我们有：映射定义：设A ，B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有惟一确定的元素y 与之对应，那么就称对应B A f →:为从集合A 到集合B 的一个映射(mapping),记作:f A B →．练习 判断下列对应是不是从A 到B 的映射？解：图甲不是映射，因为集合A 中的一个元素对应了集合B 中的两个元素；图乙是映射，符合映射的定义；图丙是映射，虽然，集合B 中有的元素没有A 中的元素与之对应，但仍符合映射的定义； 图丁不是映射，因为集合A 中的每一个元素都要对应集合B 中的元素，但是A 中的元素1,2--没有对应B 中的元素．说明：①函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫 映射.②这两个集合有先后顺序，A 到B 的射与B 到A 的映射是截然不同的．其中f 表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．③“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思.例1 以下给出的对应是不是从集合A 到B 的映射？（1）集合A ={P |P 是数轴上的点}，集合B =R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应.（2）集合A ={P |P 是平面直角坐标系中的点}，集合B ={(x ,y )|x ∈R ,y ∈R },对应关系f ：平面直角坐标素中的点与它的坐标对应.（3）集合A ={x |x 是三角形}，集合B ={x |x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合A ={x |x 是新华中学的班级}，集合B ={x |x 是新华中学的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生.解：（1）按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f ：A →B 是从集合A 到B 的一个映射.（2）按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系上的任意一点，都有唯一的一个实数与之对应，所以这个对应f ：A →B 是从集合A 到B 的一个映射.（3）由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f ：A →B 是从集合A 到B 的一个映射.（4）新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个， 所以这个对应f ：A →B 不是从集合A 到B 的一个映射.变式训练1：（1）A =R ，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；（2）{|2,}A x x x =≥∈*N ，{}|0,B y y y =≥∈N ，2:22f x y x x →=-+；（3）{|0}A x x =>，{|}B y y =∈R ，:f x y →=上述三个对应 是A 到B 的映射．【答案】（2）例2 判断下列对应是否是从集合A 到集合B 的映射：(1)A =R ,B ={x |x >0}，f :x →|x |；(2)A =N ,B =*N ，f :x →|x -2|；(3)A ={x |x >0},B=R ，f :x →x 2.解： (1)0∈A ，在法则f 下，0→|0|=0∉B ，故该对应不是从集合A 到集合B 的映射；(2)2∈A ，在法则f 下，2→|2-2|=0∉B ，故该对应不是从集合A 到集合B 的映射；(3)对于任意x ∈A ，依法则f :x →x 2∈B ，故该对应是从集合A 到集合B 的映射.变式训练2：设集合{02}M x x =≤≤，{02}N y y =≤≤，从M 到N 有四种对应如下图所示：其中能表示为M 到N 的函数关系的有__________．【答案】②③例3 甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km ，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y （km ）与时间x （分）的关系．试写出()y f x =的函数解析式．【解析】理解题意，根据图像待定系数法求解析式．解：当[0,30]x ∈时，直线方程为115y x =，当[40,60]x ∈时，直线方程为1210y x =-， 1[0,30],15()2(30,40),1[40,60].210x x f x x x x ⎧⎪∈⎪∴=∈⎨⎪∈⎪-⎩点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达．要注意求出解析式后，一定要写出其定义域．变式训练3：画出分段函数f （x ）=2,0,2,02,11,22x x x x x ⎧⎪-≤⎪<<⎨⎪⎪+≥⎩的图象，并求出函数的值域．解：画出分段函数f （x ）=2,0,2,02,11,22x x x x x ⎧⎪-≤⎪<<⎨⎪⎪+≥⎩的图象，如下图所示：由图可知，值域为[2，+∞）.三、 课堂小结，巩固反思（1）理解映射的概念；（2）映射与函数的区别与联系.四、 布置作业：A 组：1.已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（ ）A. 1B. 1或32C. 1，32或D. 【答案】D2.在映射中B A f →:，{(,)|,}A B x y x y ==∈R ，且),(),(:y x y x y x f +-→， 则与A 中的元素)2,1(-对应的B 中的元素为（ ）A.)1,3(-B.)3,1(C.)3,1(--D.)1,3(【答案】A 3.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A.1,x y y x ==B.y y ==C.,y x y =D.2||,y x y ==【答案】C4.下列图象中不能作为函数图象的是（ ）【答案】B5.设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n ＋n ，则在映射f 下，B 中的20对应在A 的是( )A.2B.3C. 4D.5 【答案】C6.函数y =_____________ .【答案】(),0-∞B 组：如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数式y =f (x )，并写出它的定义域.解：由题意AB =2x ，弧CD =πx ，于是AD =12π2x x --，因此，y =2x •12π2x x --+2π2x ， 即函数的解析式为y =﹣2π42x x ++． 又由20,12π02x x x >⎧⎪⎨-->⎪⎩得0＜x ＜1π2+， 故函数的定义域为（0，1π2+）．。
教学设计2：1.2.2 第2课时 分段函数及映射
1.2.2 第2课时分段函数及映射●三维目标1．知识与技能(1)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；(2)纠正认为“y＝f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识；(3)了解映射的概念及表示方法．2．过程与方法(1)重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；(2)启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题；(3)通过教师指导发现知识结论，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力．3．情感、态度与价值观(1)培养辨证地看待事物的观念和数形结合的思想；(2)使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式；(3)激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神．●重点难点重点：分段函数的概念．难点：分段函数的表示及映射的概念(1)重点的突破：首先以两个例题为依据，通过学生的研习，组内讨论等活动，让学生先从感性上认识分段函数，再结合生活中的其他实例充分理解分段函数是一个函数，而不是几个函数．最后通过习题，利用师生合作探究的方式，让学生掌握分段函数问题的解法，在此过程中培养学生分析问题和归纳总结的能力，强化训练学生数形结合、分类讨论的思想意识，突出重点的同时化解分段函数的表示这一难点；(2)难点的解决：在映射概念引入时，可先从学生熟悉的对应入手，选择一些具体的生活例子，然后列举一些数学例子，分为一对多、多对一、多对多、一对一四种情况，让学生认真观察、比较，再引导学生发现其中一对一和多对一的对应是映射，逐步归纳概括出映射的基本特征，让学生的认识从感性认识到理性认识，体会出映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．2．了解映射的概念．(易混点) 【问题导思】在现实生活中，常常使用表格描述两个变量之间的对应关系．比如：国内邮寄信函(本埠)，每封信函的重量和对应邮资如下表： 信函重量m /g 0<m ≤20 20<m ≤40 40<m ≤60 60<m ≤80 80<m ≤100 邮资M /元 0.801.602.403.204.00(1)邮资M 是信函重量m 的函数吗？若是，其解析式是什么？ 【提示】 据函数定义知M 是m 的函数，其解析式为：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.80，m ∈（0，20]1.60，m ∈（20，40]2.40，m ∈（40，60]3.20，m ∈（60，80]4.00，m ∈（80，100](2)在(1)中有几个函数？为什么？【提示】 一个．因为(1)中的函数虽然有5个不同的部分，但不是5个函数，只不过在定义域的不同子集内，对应关系不同而已．如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．【问题导思】在某次数学测试中，高一（1—）班的60名同学都取得了较好的成绩，把该班60名同学的名字构成集合A ，他们的成绩构成集合B .1．A 中的每一个元素，在B 中有且只有一个元素与之对应吗？ 【提示】 是的．2．从集合A 到集合B 的对应是函数吗？为什么？ 【提示】 不是．因为集合A 不是数集． 映射设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射.例1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－12x ，－1<x <2x 22，x ≥2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫32的值； (2)若f (a )＝2，求a 的值．【思路探究】 (1)求f ⎝⎛⎭⎫32→求f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫32 (2)就(a )的取值范围分三种情形分别求解． 【自主解答】 (1)∵－1<32<2，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝2×32＝3. 又3>2，∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫32＝f (3)＝92. (2)当a ≤－1时，由f (a )＝2，得a ＋2＝2，a ＝0，舍去； 当－1<a <2时，由f (a )＝2，得2a ＝2，a ＝1；当a ≥2时，由f (a )＝2，得a 22＝2，a ＝2或a ＝－2(舍去)．综上所述，a 的值为1或2. 变式训练 已知n ∈N *，且f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －2， n ≥10f （n ＋5）， n <10，则f (4)＝________.【解析】 由分段函数定义，f (4)＝f (4＋5)＝f (9)＝f (9＋5)＝f (14)＝14－2＝12 【答案】 12例2. 画出函数y ＝|x ＋1|＋|x －3|的图象，并写出该函数的值域． 【思路探究】 y ＝|x ＋1|＋|x －3|――→绝对值定义零点分段法去绝对值――→分段分段函数―→作图【自主解答】由y ＝|x ＋1|＋|x －3|＝{ －2x ＋2，x ≤－14，－1<x ≤32x －2，x >3∴函数图象如图由图象易知函数的值域为[4，＋∞) 变式训练下列图形是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0x －1，x ≥0的图象的是( )【解析】 由于f (0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x <0时，y ＝x 2，则函数图象是开口向上的抛物线在y 轴左侧的部分．因此只有图形C 符合．【答案】 C例3.下列对应关系中，哪些是从集合A 到集合B 的映射？ (1)A ＝B ＝N *，对应关系f ：x →y ＝|x －3|；(2)A ＝R ，B ＝{0,1}，对应关系f ：x →y ＝{ 1，x ≥00，x <0； (3)设A ＝{矩形}，B ＝{实数}，对应关系f ：矩形的面积． 【思路探究】 紧扣映射概念中的“任意一个”“唯一”即可判断．【自主解答】 (1)集合A 中的3，在f 作用下得0，但0∉B ，即3在集合B 中没有相对应的元素，所以不是映射．(2)对于集合A 中任意一个非负数都唯一对应元素1，对于集合A 中任意一个负数都唯一对应元素0，所以是映射．(3)对于每一个矩形，它的面积是唯一确定的，所以f 是从集合A 到集合B 的映射． 变式训练已知点(x ，y )在映射f 作用下对应的元素是(2x ，x ＋y )，则(1,3)在f 作用下对应的元素是( )A.⎝⎛⎭⎫12，52 B ．(2,4) C ．(3,5)D ．(4,6)【解析】 由题意知，x →2x ，y →x ＋y ，故(1,3)在f 作用下对应的元素是(2,4)．【答案】 B与分段函数有关的实际问题的解法典例 (12分)如图1－2－4在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，图1－2－4沿着折线BCDA 由点B (起点)向A (终点)运动．设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y .试求：(1)y 与x 之间的函数关系式； (2)画出y ＝f (x )的图象．【思路点拨】 当点P 在线段BC 上时△APB 的面积随点P 的变化而变化，当点P 在线段CD 上时，△APB 的面积是一个定值，当点P 在线段AD 上时，△APB 的面积随点P 的变化而变化，可见应分三段考虑面积计算．【规范解答】 (1)①当点P 在线段BC 上运动时， S △APB ＝12×4x ＝2x (0≤x ≤4).2分②当点P 在线段CD 上运动时， S △APB ＝12×4×4＝8(4＜x ≤8).4分③当点P 在线段AD 上运动时，S △APB ＝12×4×(12－x )＝24－2x (8＜x ≤12).6分∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤48，4＜x ≤824－2x ，8＜x ≤12.8分(2)画出y ＝f (x )的图象，如图所示：12分思维启迪1．本题因点P 所在的位置不同，得到的面积表达式不同，因而应分段计算，得出分段函数表达式．2．解决这类问题的关键点是根据自变量的取值情况决定其对应的运算法则，即保持自变量的取值范围与对应法则的一致性，一般需要分类讨论求解．课堂小结1．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．2．判断一个对应是不是映射，先看第一集合A ：看集合A 中的每一个元素是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一；至于集合B 中的元素不作任何要求.当堂达标1．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{0,1}，则下列对应不是从A 到B 的映射的是( )【解析】 在映射中允许“多对一”，但不允许“一对多”． 【答案】 C2．下列图形是函数y ＝－|x |(x ∈[－2,2])的图象的是( )【解析】 ∵x ∈[－2,2]，故函数y ＝－|x |在x ＝±2处均有意义，排除C 、D 两选项．又当x ＝1时，y ＝－1<0，从而排除A 选项，故选B.【答案】 B3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0－2x ＋1，x <0，则f (1)＋f (－1)＝________.【解析】∵f (1)＝2×1＋1＝3,f (－1)＝－2×(－1)＋1＝3，∴f (1)＋f (－1)＝3＋3＝6. 【答案】 64．已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．【解】 (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .∴f (x )＝{ 10≤x ≤21－x－2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示，(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．。
课件5：1.2.2 第2课时 分段函数及映射
[错因分析] 以上解法的错误之处在于误解了映射的定 义．a4＝10或a2＋3a＝10都有可能，因而要分类讨论．
[思路分析] 对于A映射f：A→B，A中的元素x的象可能是 B中的任意一个元素，故在解此类题时要将问题考虑全面．
[正解] ∵B 中的元素 y＝3x＋1 与 A 中的元素 x 对应， ∴A 中的元素 1,2,3，对应 B 中的元素 4,7,10. ∴a34k＝＋110＝，a2＋3a 或a32k＋＋31a＝＝a14.0. ∵a，k∈N， ∴ak＝＝52.， 这就是所求 a，k 的值．
[分析] 判断一个对应 f 是否为从 A 到 B 的映射，主要从 映射的定义入手，看集合 A 中的任意一个元素，在对应关系 f 下在集合 B 中是否有唯一的对应元素．
[解析] 对于(1)，集合A中的元素在集合B中都有唯一的对 应元素，因而能构成映射；对于(2)，集合A中的任一元素x在对 应关系f下在B中都有唯一元素与之对应，因而能构成映射；对 于(3)，由于当x＝3时，f(3)＝2×3－1＝5，在集合B中无对应元 素，因而不满足映射的定义，从而不能构成映射；对于(4)，满 足映射的定义，能构成映射．
第一章 1.2.2 函数的表示法
第二课时 分段函数及映射
1.分段函数 所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的_ _对__应__关__系__的函数． [知识点拨] 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几 个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段 值域的并集．
2．映射 (1)定义：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某 一个确定的对应关系f，使对于集合A中的__任__意__一__个__元素x，在 集合B中都有__唯__一__确__定__的元素y与之对应，那么就称对应f： A→B为从集合__A__到集合__B__的一个映射． [知识点拨] 满足下列条件的对应f：A→B为映射： (1)A，B为非空集合； (2)有对应法则f； (3)集合A中的每一个元素在集合B中均有唯一元素与之对 应．
1.2.2第二课时 分段函数与映射
f(- 3 )=(- 3 )2+2×(- 3 )=3-2 3 .f(- 5 )=- 5 +1=- 3 ,而-2<- 3 <2,
22
2
2
所以 f(f(- 5 ))=f(- 3 )=(- 3 )2+2×(- 3 )= 9 -3=- 3 .
2
2
2
24
4
(2)若f(a)=3,求实数a的值; (3)若f(m)>3m-5(m≥2),求实数m的取值范围.
解:(2)当a≤-2时,a+1=3,即a=2>-2,不合题意,舍去. 当-2<a<2时,a2+2a=3,即a2+2a-3=0. 所以(a-1)(a+3)=0,得a=1或a=-3. 因为1∈(-2,2),-3∉(-2,2),所以a=1符合题意. 当a≥2时,2a-1=3,即a=2符合题意. 综上可得,当f(a)=3时,a=1或a=2. (3)因为m≥2,所以f(m)=2m-1, 即2m-1>3m-5,解得m<4, 又m≥2,所以m的取值范围为[2,4).
H(x)=
400x
40000
x2
x
0 x
200
,
200
,
其中
x
是
仪器的月产量.(利润=总收入-总成本)
(1)将利润表示为月产量x的函数;
解:(1)设月产量为 x 台时的利润为 f(x), 则总成本 t=7 500+100x, 又因为 f(x)=H(x)-t,
所以利润
f(x)=
x2 300x 7500
第一章 .1.2.2 第2课,时
研一研·问题探究、课堂更高效
第2课时
例 3 以下给出的对应是不是从集合 A 到集合 B 的映射？ (1)集合 A＝{P|P 是数轴上的点}，集合 B＝R，对应关系 f：数 轴上的点与它所代表的实数对应；
本 课 栏 目 开 关
(2)集合 A＝{P|P 是平面直角坐标系中的点}， 集合 B＝{(x， y)|x ∈R，y∈R}，对应关系 f：平面直角坐标系中的点与它的坐 标对应； (3)集合 A＝{x|x 是三角形}， 集合 B＝{x|x 是圆}， 对应关系 f： 每一个三角形都对应它的内切圆； (4)集合 A＝{x|x 是新华中学的班级}，集合 B＝{x|x 是新华中 学的学生}，对应关系 f：每一个班级都对应班里的学生．
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第2课时
(1)解
函数的图象如图所示：
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(2)答案 1 0 1 1 解析 f(1)＝12＝1，
f(－3)＝0， f[f(－3)]＝f(0)＝1， f{f[f(－3)]}＝f(1)＝12＝1.
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跟踪训练 2 已知 y＝f(x)的图象如图所示，求 f(x)．
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第2课时
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(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对 应 f：A→B 是从集合 A 到集合 B 的一个映射．
(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班 级对应的学生不止一个，所以这个对应 f：A→B 不是从集合 A 到集合 B 的一个映射．
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第2课时
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跟踪训练 1 作出下列函数的图象： (1)y＝1－x，x∈Z； 1 (2)y＝ ； x (3)y＝x2－4x＋3，x∈[1,3]．
高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法第2课时分段函数与映射课件
A.0
B.π
C.π2 D.9
解析:f(f(-3))=f(0)=π.
答案:B
||
2.函数 f(x)=x+ 的图象是(
||
解析:f(x)=x+
答案:C
)
)
+ 1, > 0,
=
是分段函数.
-1, < 0
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
3.已知A=R,B={x|x≥1},映射f:A→B,且A中元素x与B中元素y=x2+1
解:(1)函数 y=
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
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反思感悟 1.因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,
所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也
可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对
应点的实虚之分.
2.对含有绝对值的函数,要作出其图象,第一根据绝对值的意义去
通过图象得出实数根的个数.但要注意这种方法一般只求根的个数,
不需知道实数根的具体数值.
探究一
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探究四
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变式训练 讨论关于x的方程|x2-4x+3|=a(a∈R)的实数解的个数.
解:作函数y=|x2-4x+3|及y=a的图象如图所示,
方程|x2-4x+3|=a的实数解就是两个函数图象的交点(纵坐标相等)
自己的身高;
③A={非负实数},B=R,f:x→y= 3 .
A.0个 B.1个 C.2个D.3个
高一数学必修一1.2.2.2 分段函数及映射 ppt课件
ppt课件
19
(2)①当a≤－2时，f(a)＝a＋1， ∴a＋1＝3，∴a＝2＞－2不合题意，舍去． ②当－2＜a＜2时，a2＋2a＝3， 即a2＋2a－3＝0. ∴(a－1)(a＋3)＝0， ∴a＝1或a＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)， ∴a＝1符合题意． ③当a≥2时，2a－1＝3， ∴a＝2符合题意． 综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
(2)如图所示．
ppt课件
12
在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分， 在函数y＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分， 在函数y＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分． 图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象． (3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值 为6.
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13
分段函数及应用
x＋2 x≤－3 已知函数 f(x)＝x2 －3＜x＜3 ，
2x x≥3 求(1)f(－5)，(2)f(－ 3)，(3)f(3)，(4)f(f(f(－4))) 的值．
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14
ppt课件
15
[解题过程] (1)∵－5＜－3 ∴f(－5)＝－5＋2＝－3 (2)∵－3＜－ 3＜3 ∴f(－ 3)＝(－ 3)2＝3 (3)f(3)＝2×3＝6 (4)∵－4＜－3， ∴f(－4)＝－4＋2＝－2； 又∵－3＜－2＜3， ∴f(f(－4))＝f(－2)＝(－2)2＝4； 又∵4＞3， ∴f(f(f(－4)))＝f(4)＝2×4＝8.
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3
2．作出下列函数的图象． (1)y＝x，|x|≤1； (2)y＝1－x，x∈Z 且|x|≤2； (3)y＝xx2－－1x. 解析： (1)此函数图象是直线y＝x的一部分．
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1.2.2-2 分段函数及映射》课件
(4)某影院的某场电影的每一张电影票都有唯一确定的 人 教 Ａ 版 必 修 一 · 新 课 标 数 学 ·
座位与它对应．
你还能说出一些对应的例子吗？
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1．在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，
有着不同的 对应关系 ，这样的函数通常叫做分段函
思路分析：由题目可获取以下主要信息： 人 教 Ａ 版 必 修 一 · 新 课 标 数 学 ·
①判断对应是否为映射；②用解析式给出了三个对应
关系． 解答本题可先由映射定义出发，观察A中任何一个元 素在B中是否都有唯一元素与之对应．
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解： ) 1 ( 集合A＝N中元素1在 对 应 关 系 为0， 而0∉N*，即A中元素1在 对 应 关 系 下 之对应， 故 不 是 映 射 ． ) 2 ( A中元素6在 对 应 关 系
答案：(－3,1)
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5． 已 知
x＋1 f(x)＝π 0
(x>0) (x＝0) ， 求 f{f[f(－ } ]) 3 (x<0)
．
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已 知 函 数
f(x)＝
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x＋2 (x≤－3) 2 x (－3<x<3)， 2x (x≥3) 求 f{f[f(－ } ]) 4 的值．
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|x|－x 已 知 函 数 f(x)＝1＋ (－2<x≤2)． 2 ) 1 ( 用 分 段 函 数 的 形 式 表 示 该 函 数 ； ) 2 ( 画 出 该 函 数 的 图 象 ； ) 3 ( 写 出 该 函 数 的 值 域 ．
高中数学 1.2.2.2 分段函数及映射 新人教A版必修1
2．作出下列函数的图象． (1)y＝x，|x|≤1； (2)y＝1－x，x∈Z 且|x|≤2； (3)y＝xx2－－1x. 解析： (1)此函数图象是直线y＝x的一部分．
(2)此函数的定义域为{－2，－1,0,1,2}，所以 其图象由五个点组成，这些点都在直线y＝1－ x上．(这样的点叫做整点)
分段函数的图象 已知函数 f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．
讨论x的取值范围→化简fx的解析式→把fx 表示为分段函数形式→画出fx的图象→求fx 的值域
[规范作答] (1)当 0≤x≤2 时， f(x)＝1＋x－2 x
(3)先求定义域，在定义域上化简函数式 y＝xx2－－1x ＝x，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．其图象如下：
1．分段函数 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不 同的取值范围，有着不同的_对__应__关__系__，则称这 样的函数为分段函数． 2．映射 设A、B是两个_非__空__的集合，如果按某一个确 定的对应关系f，使对于集合A中的_任__意__一__个_元 素x，在集合B中都有_唯__一__确__定__的元素y与之对 应，那么就称对应_f：__A__→__B为从集合A到集合B 的一个映射．
第2课时 分段函数及映射
1.通过具体实例，了解简 1.分段函数求值．(重
单的分段函数，并能简单 点)
应用.
2.对映射概念的理
2.了解映射的概念.
解．(难点)
1．若f(2x＋1)＝x2＋1，则f(x)＝________.
解析： 设 t＝2x＋1，则 x＝t－2 1， ∴f(t)＝t－2 12＋1.从而 f(x)＝x－2 12＋1. 答案： x－2 12＋1
课件4：1.2.2 第2课时 分段函数及映射
∵a∈N，∴方程组①无解． 解方程组②，得 a＝2 或 a＝－5(舍)． 则 3k＋1＝16,3k＝15，k＝5. ∴A＝{1,2,3,5}，B＝{4,7,10,16}．
【例 4】 已知 f：A→B 是集合 A 到集合 B 的映射，又 A＝
2．理解映射概念时要注意的几点． (1)映射是函数的一种推广，两个集合 A，B，它们可以是数 集，也可以是点集或其他集合． (2)集合 A，B 及对应关系 f 是确定的，是一个系统． (3)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和 它对应． (4)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的元素可以是同 一个，即可以多个元素对应一个元素，但不能一个元素对应多 个元素． (5)集合 B 中的元素在集合 A 中可以没有与之对应的，即集
【问题探究】 1．用图表示下列两个集合 A，B 的元素之间的一些对应关系． (1)A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}，对应法则：开 平方； (2)A＝{－3，－2，－1,1,2,3}，B＝{1,4,9}，对应法则：平方；
(3)A＝{30°，45°，60°}，B＝1，
22，
23，12，
其中 AB＝4，另一直角边为 12－x，
所以 y＝2(12－x)，x∈(8,12]．
综上所述，所求函数关系式是
2x y＝8
212－x
0≤x≤4， 4＜x≤8， 8＜x≤12.
题型 3 映射的概念 【例 3】 图 1-2-5 建立了集合 P 中元素与集合 M 中元素的 对应关系 f，其中为映射的是哪几个？为什么？
解析：本题的关键在于读懂题意，y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2 － 4≥－4，k∈B 且 k 在 A 中没有元素与之对应，则 k 的取值范 围为 k<－4.故选 A.
课件6：1.2.2 第2课时 分段函数及映射
典型例题
解：(1)∵－π＜－1，∴f(－π)＝－π＋2.
3 3
3
2 9
∵－1＜ ＜2，∴f2＝2 ＝ ＞2.
2
4
3
9
9 9
∴ff2＝f4＝2× ＝ .
4 2
典型例题
(2)分三种情况：
1
3
①当 a≤－1 时，则有 a＋2＝ ，解得 a＝－ 满足．
1.2.2 第2课时 分段函数及映射
情景导入
某魔术师猜牌的表演过程是这样的，表演者手中持有
六张扑克牌，不含王牌和牌号数相同的牌，让6位观
众每人从他手里任摸一张，并嘱咐摸牌时看清和记住
自己的牌号，牌号数是这样规定的，A为1，J为11，Q
为12，K为13，其余的以牌上的数字为准，
情景导入
然后，表演者让他们按如下的方法进行计算，将自
己的牌号乘2加3后乘5，再减去25，把计算结果告
诉表演者(要求数值绝对准确)，表演者便能立即准
确地猜出谁拿的是什么牌，你能说出其中的道理吗？
知识梳理
知识点1
分段函数
对于自变量x的不同取值区间，有着不同的___________.
对应法则
知识点2
映射
映射是特殊的对应，其特点是：
①映射包括_________________________________，
集合A、B以及A到B的对应法则f
三者缺一不可．
知识梳理
②映射中集合A，B可以是数集，也可以是点集或其
它集合，同时两个集合必须有先后次序，从集合A到
集合B的映射与集合B到集合A的映射是不同的．
知识梳理
③对于一个从A到B的映射而言：A中的每一个元素在B
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(A)只有①②
(B)只有①④
(C)只有①③④ (D)只有③④
4.(映射)已知集合A=[0,8],集合B=[0,4],则下列对应关系中,不能看作
从A到B的映射的是( D )
(A)f:x→y= 1 x (B)f:x→y= 1 x
8
4
(C)f:x→y= 1 x (D)f:x→y=x 2
5.(分段函数)设 函数
解:当 m≤-2 时,m+1>3m-5,即 m<3, 所以 m≤-2. 当-2<m<2 时,m2+2m>3m-5,
即 m2-m+5>0.由 m2-m+5=(m- 1 )2+ 19 >0 知, 24
-2<m<2. 当 m≥2 时,2m-1>3m-5, 即 m<4,即 2≤m<4. 综上可知,满足 f(m)>3m-5 的实数 m 的取值范围为(-∞,-2]∪(-2,2)∪[2,4)=(-∞,4).
解之得 a= 2 -1 或 a=- 2 -1(舍去). 同理当 t=2 时,f(a)=2,则 a2+2a-2=0.
解之得 a= 3 -1 或 a=- 3 -1(舍去). 综上可知当 f[f(a)]=3 时,a= 2 -1 或 a= 3 -1.
变式探究2:本题(3)中,若改为f(m)>3m-5,求m的取值范围.
变式探究1:本题中若将(2)中的f(a)=3改为f[f(a)]=3,求a.
解:令 t=f(a),则 f(t)=3, 由例 1(2)的解法知 t=1 或 t=2. 当 t=1 时,f(a)=1.由于 x≤-2 时,x+1≤-1, x≥2 时,2x-1≥3. 因此只有-2<a<2 时,能满足 f(a)=1, 即 a2+2a-1=0.
这一问题,本节我们学习分段函数. 导入二 在现实生活中,常常使用表格描述两个变量之间的对应关系.比
如:国内跨省市之间的邮寄信函,每封信函的重量和对应邮资如下表:
信函重量 m/g
0<m ≤20
20<m ≤40
40<m ≤60
60<m ≤80
80<m ≤100
邮资M/元 0.80
1.60
2.40
3.20
方法技巧
(1)分段函数求值问题的关键是看所给自变量的取值属于哪
一段,代入该段解析式求解即可.
(2)已知函数值求自变量的值时,应分别代入各段解析式中求解,以免丢解.要
根据每段解析式中自变量本身的限制条件进行验证取舍.
(3)已知f(x)解关于f(x)的不等式时,要先在每一段内求交集,最后求并集.
(4)求解形如f[f(a)]的函数值问题,按从里到外的原则,先求f(a),再求f[f(a)].
4.00
想一想 邮资M是信函重量m的函数吗?若是,其解析式是什么?
0.80, m 0,20,
1.60,
m
20,
40,
(据函数定义知 M 是 m 的函数,其解析式为 M= 2.40, m 40,60, )
3.20, m 60,80,
4.00, m 80,100
知识探究
1.分段函数 如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同的对 应关系,则称这样的函数为分段函数. 探究1:怎样求分段函数的定义域、值域? 答案:分段函数的定义域是各段定义域的并集,分段函数的值域是各段值 域的并集. 2.映射 设A,B是 非空 的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中 的 任意一个 元素x,在集合B中都有 唯一确定 的元素y与之对应,那么 就称对应 f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射.
x f
5, x
x 2
6, ,x
6
(x∈N*),则
f(3)等于
(
(A)2
(B)3
(C)4
(D)5
A)
2.(分段函数)已
知
f(x)=
1 x, x,1
x x
1, 2,
则
f(x)的定义域为(
C
)
(A)R
(B)(-∞,1]
(C)(-∞,2)
(D)(1,+∞)
3.(映射概念)给出下列四个对应,如图,其中构成映射的是( B )
x2 1, x 1,
第二课时 分段函数与映射
课标要求:1.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.2.了解 映射的概念.
自主学习——新知建构·自我整合
【情境导学】
导入一 某人去上班,由于担心迟到,所以一开始就跑步前进,等跑累
了再走完余下的路程.可以明显地看出,这人距离单位的距离是关于出发
后的时间的函数,想一想,用怎样的解析式表示这一函数关系呢?为解决
解:(1)由-5∈(-∞,-2],- 3 ∈(-2,2),- 5 ∈(-∞,-2],知 f(-5)=-5+1=-4, 2
f(- 3 )=(- 3 )2+2×(- 3 )=3-2 3 .f(- 5 )=- 5 +1=- 3 ,而-2<- 3 <2,
22
2
2
所以 f(f(- 5 ))=f(- 3 )=(- 3 )2+2×(- 3 )= 9 -3=- 3 .
探究2:函数与映射的关系是什么? 答案:函数是一类特殊的映射,若构成映射的两个集合是非空的数集,则该 映射一定是函数. 探究3:若映射f:A→B,集合A中元素在对应法则f下的元素构成集合C,则B 与C相等吗? 答案:B与C不一定相等,它们之间的关系是C⊆B.
自我检测
1.(分段函数)已
知
f(x)=
2
2
2
24
4
(2)若f(a)=3,求实数a的值; (3)若f(m)>3m-5(m≥2),求实数m的取值范围.
解:(2)当a≤-2时,a+1=3,即a=2>-2,不合题意,舍去. 当-2<a<2时,a2+2a=3,即a2+2a-3=0. 所以(a-1)(a+3)=0,得a=1或a=-3. 因为1∈(-2,2),-3∉(-2,2),所以a=1符合题意. 当a≥2时,2a-1=3,即a=2符合题意. 综上可得,当f(a)=3时,a=1或a=2. (3)因为m≥2,所以f(m)=2m-1, 即2m-1>3m-5,解得m<4, 又m≥2,所以m的取值范围为[2,4).
f(x)=
x2
x
2
1, x
x
1, 2, x
1,
则
f(f(-1))的值为
.
答案:4
课堂探究——典例剖析·举一反三
题型一 分段函数求值
x 1, x 2,
【例 1】
(2018·山东潍坊一中高一月考)已知函数
f(x)=
x2
2x,
2xຫໍສະໝຸດ 2,2x 1, x 2.
(1)求 f(-5),f(- 3 ),f(f(- 5 ))的值; 2