人教A版数学必修二《平面》经典课件
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8.4.1平面-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件
说明：两相交平面的画法：
⑴先画两平面基本线
β
⑵画两平面的交线
⑶分别画三条线的平行线
⑷把被遮部分的线段画成
α
虚线,其它为实线.
注：画相交平面时， 虚线实线要清楚
说明：两相交平面的画法：
如果一个平面的一部分被另一个平面遮住，为增 强立体感，常把遮住部分画成虚线。
说明：在平面几何中，凡是 后引的辅助线画成虚线，而 立体几何凡是被平面遮住的 线都画成虚线，凡是不被遮 住的线画成实线（无论原题 有的，还是后引的辅助线）
➢针对练习
1、下列说法正确的是（ D ） A、经过三点确定一个平面 B、经过一条直线和一个点确条直线确定一个平面
2．下列命题正确的个数为( ) ①经过三点确定一个平面 ②梯形可以确定一个平面 ③两 两相交的三条直线最多可以确定三个平面 ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 解析：①④错误，②③正确．
（A）0 （B）1 （C）2 （D）０或无数 （２)三个平面两两相交,则它们交线的条数……( B )
（A)最多4条最少3条 （B）最多3条最少1条 （C)最多3条最少2条 （D）最多2条最少1条
➢针对练习 5、判断下列命题的真假：
1. 平面的形状是平行四边形 2.任何一个平面图形都可以表示平面 3.空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线 4.平面可用平行四边形的对角顶点的两个大写字母表示 5.平面ABCD的面积为10cm2 6.一条直线和一个平面可能没有公共点
推论 3.两条平行直线唯一确定一个平面
C
B l1
l2
A
二、平面的基本性质
基本事实1：不在同一直线上的三点唯一确定一个平面
高一人教A版高中数学必修第二册《8.4.1 平面》课件
图1
图2
图3
应用知识
我们知道，确定一个平面包括存在性和唯一性两个方面，对于以上
三个推论，你能从这两方面说明道理吗?
推论1的说理过程：
用类似的方法，你能说
明推论2和推论3成立吗？
存在性：如图，设点A是直线a外一点，在直线a上任取两点B和C，则由基本事
实1，经过A,B,C三点确定一个平面α.再由基本事实2，直线a也在平面α内，因
②判定点共线、线共点的依据.
文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们
有且只有一条过该点的公共直线．
图形语言：
三个基本事实的探究
基本事实3，两个平面相交成一条直线的事实，
使我们进一步认识了平面的“平”和“无限延展”.
应用知识
问题7：基本事实1给出了确定一个平面的一种
方法.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点
高一人教A版高中数学必修第二册课件
8.4.1 平面
感知平面概念
问题1：对于点和直线，我们在平面几何中已经有所了解.
知道它们都是由现实事物抽象得到的. 想一想,生活中的哪些
物体给你以平面的感觉？
感知平面概念
平面的概念：几何里所说的“平面（plan）”就是从桌面、
黑板面、平静的水面等物体中抽象出来的.类似于直线向两端无
条直线在这个平面内．
图形语言：
符号语言：?
从集合的角度理解点、直线、平面的关系
②线面位置关系的符号表示：
直线、平面都可以看成点的集合.
如果直线l上所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，
记作： l ⊂α.
否则，就说直线l不在平面α内，记作： l ⊄α.
三个基本事实的探究
基本事实2：
高中数学人教a版必修二课件：2.1.1《平面》
几何里所说的“平面” 就是从这样的一些物体中抽 象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．
平面的两个特征：
①无限延展
②平的（没有厚度）
2.平面的画法
(1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
D
C 通常把表示平面的平行四
A
边形的锐角画成45o,长边
B
是短边的二倍.
注意：在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可
的直线与面平行、有些棱所在的直线与
面相交的；每条棱所在的直线都可以看
成是某个平面内的直线等等。 3.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？这
是本节我们要讨论的问题，为此，我们先来学习平面。
正方体的面、黑板面、课桌面以及海平面，都给我们以平面的感觉， 数学中的平面怎样定义？
平面
1.平面的概念 课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．
先确定这三条直线中哪一是两个平面的 交线，另外两条直线分别在这两个平面 内，再证明这两条直线相交于一点，由 公理3判断这个交点在公共交线上，即 三线共点.
课后练习 课后习题
说明：公理1是判定直线在平面内的依据
生活中经常看到用三角架支撑照相机和停放地自行车
动画演示公理2
http://../edu/ppt/ppt_pla yVideo.action?mediaVo .resId=55d2910daf508f0 099b1c6cb
B
A
C
公理2. 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
数学语言：A,B,C三点不共线，则 A,B,C确定一个平面。
B
A
C
说明：公理2是确定平面的条件。
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在
平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么
平面的两个特征：
①无限延展
②平的（没有厚度）
2.平面的画法
(1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
D
C 通常把表示平面的平行四
A
边形的锐角画成45o,长边
B
是短边的二倍.
注意：在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可
的直线与面平行、有些棱所在的直线与
面相交的；每条棱所在的直线都可以看
成是某个平面内的直线等等。 3.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？这
是本节我们要讨论的问题，为此，我们先来学习平面。
正方体的面、黑板面、课桌面以及海平面，都给我们以平面的感觉， 数学中的平面怎样定义？
平面
1.平面的概念 课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．
先确定这三条直线中哪一是两个平面的 交线，另外两条直线分别在这两个平面 内，再证明这两条直线相交于一点，由 公理3判断这个交点在公共交线上，即 三线共点.
课后练习 课后习题
说明：公理1是判定直线在平面内的依据
生活中经常看到用三角架支撑照相机和停放地自行车
动画演示公理2
http://../edu/ppt/ppt_pla yVideo.action?mediaVo .resId=55d2910daf508f0 099b1c6cb
B
A
C
公理2. 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
数学语言：A,B,C三点不共线，则 A,B,C确定一个平面。
B
A
C
说明：公理2是确定平面的条件。
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在
平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么
高中数学必修第二册人教A版-第八章-8.4.1平面课件
跟踪训练
如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明 方法一 (纳入法) ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α. ∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线l1，l2，l3在同一平面内. 方法二 (同一法) ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2和l3确定一个平面β.
图形
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面
易错辨析
1.两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.( × ) 2.两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.×( ) 3.空间不同三点确定一个平面.( × ) 4.两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( √ )
5.如图，已知D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点， 若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是P__∈__直__线__D__E__.
解析 因为P∈AB，AB⊂平面ABC， 所以P∈平面ABC. 又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE， 所以P∈直线DE.
课堂小结
典例剖析
一、图形语言、文字语言、符号语言的相互转换
例1 用符号表示下列语句，并画出图形： (1)点A在平面α内但在平面β外；
解 A∈α，A∉β.(如图①)
(2)直线a经过平面α内一点A，α外一点B； 解 A∈a，B∈a，A∈α，B∉α，a⊄α.(如图②)
(3)直线a在平面α内，也在平面β内. 解 α∩β＝a.(如图③)
反思感悟
用文字语言、符号语言表示一个图形时，第一仔细视察图形有几个平面，几条直线 及相互之间的位置关系，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.
数学人教A版(2019)必修第二册8.4.1平面(共25张ppt)
思考：点和线我们在小学初中阶段已经有了一定的研究，那么类比
线的定义，你能知道什么是平面吗？
平整的路面
平静的海面
桌面、黑板面
平面的形象
面和点、直线一样是不加
定义的最基本、最原始的几
何概念。那么你能否抽象出
平面的特征呢？
新知探究
几何里所说的“平面”（）就是从这样的一些物体中抽象出来
的，但是，几何里的平面是无限延展的．
平面
直线
绝对的平
绝对的直
无限延展
无限延展
无薄厚之分 ，不计大小
无粗细之分
辨析1：判断正误.
(1) 一个平面长 4 米，宽 2（ × ）
(2) 平面有边界（ × ）
(3)一个平面的面积是 25 2 （× ）
(4)
一个平面可以把空间分成两部分（√ ）
新知探究
问题1：平面如何画呢？
直线的画法：画出直线的一部分来表示直线
2.直线l与平面α有且只有两个公共点. （ ）
3.10个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚一些.（
4.一个平面的面积是8 cm2 .（
）
5.经过空间任意三点能确定一个平面.（
）
6.四条线段首尾相连一定构成一个平面四边形.（ ）
7.基本事实2是确定直线在平面内的依据.（
【答案】×，×，×，×，×，×，√.
(1)平面 α 与 β 相交于直线 l，直线 a 与 α ，β 分别相交于点A，B；
(2)点 A，B 在平面 α 内，直线 a 与平面 α 交于 点C，点 C 不在直线 AB 上．
解：(1) ∩ ＝， ∩ ＝， ∩ ＝，
(2) ∈ ， ∈ ， ∩ ＝， ∉ ，
练习巩固
面所在平面是否只相交于一点？为什么？
线的定义，你能知道什么是平面吗？
平整的路面
平静的海面
桌面、黑板面
平面的形象
面和点、直线一样是不加
定义的最基本、最原始的几
何概念。那么你能否抽象出
平面的特征呢？
新知探究
几何里所说的“平面”（）就是从这样的一些物体中抽象出来
的，但是，几何里的平面是无限延展的．
平面
直线
绝对的平
绝对的直
无限延展
无限延展
无薄厚之分 ，不计大小
无粗细之分
辨析1：判断正误.
(1) 一个平面长 4 米，宽 2（ × ）
(2) 平面有边界（ × ）
(3)一个平面的面积是 25 2 （× ）
(4)
一个平面可以把空间分成两部分（√ ）
新知探究
问题1：平面如何画呢？
直线的画法：画出直线的一部分来表示直线
2.直线l与平面α有且只有两个公共点. （ ）
3.10个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚一些.（
4.一个平面的面积是8 cm2 .（
）
5.经过空间任意三点能确定一个平面.（
）
6.四条线段首尾相连一定构成一个平面四边形.（ ）
7.基本事实2是确定直线在平面内的依据.（
【答案】×，×，×，×，×，×，√.
(1)平面 α 与 β 相交于直线 l，直线 a 与 α ，β 分别相交于点A，B；
(2)点 A，B 在平面 α 内，直线 a 与平面 α 交于 点C，点 C 不在直线 AB 上．
解：(1) ∩ ＝， ∩ ＝， ∩ ＝，
(2) ∈ ， ∈ ， ∩ ＝， ∉ ，
练习巩固
面所在平面是否只相交于一点？为什么？
数学必修Ⅱ人教新课标A版2-1-1平面课件(55张)
A在α内
_A_∈__α__
A在α外
_A_∉__α_
文字语言 l在α内
符号语言
_l_⊂_α__
l在α外
_l⊄__α_
l,m相交于A
_l∩__m_=_A_
l,α相交于A _l∩__α__=_A_
α,β相交于l _α__∩__β__=_l
图形语言
3.平面的基本性质
公理
文字语言
如果一条直线上的_两__点__
公理1 在一个平面内,那么这条 直线在_此__平__面__内__
图形语言
符号语言
A∈l,B∈l,且 A∈α,B∈α
⇒__l⊂__α_
公理
文字语言
过_不__在__一__条__直__线__上__的三 公理2
点,_有__且__只__有__一个平面
图形语言 ________
符号语言 A,B,C三点不共 线⇒存在唯一的 平面α使 A,B,C∈α
2.点、直线、平面之间的位置关系及其表示方法 (1)直线在平面内的概念. 如果直线l上的_所__有__点__都在平面α内,就说直线l在平面α内,或者说 平面α经过直线l.
(2)常见的文字语言、符号语言与图形语言的对应关系.
文字语言 A在l上 A在l外
符号语言 _A_∈__l _A_∉_l
图形语言
(3)公理3. 意义:揭示了两个平面相交的主要特征,提供了确定两个平面交线的方 法. 作用:①判断两个平面是否相交; ②确定两个平面的交线; ③证明若干点共线问题.
2.公理2的三个推论 (1)一条直线和此直线外的一点可以确定一个平面. (2)两条相交直线可以确定一个平面. (3)两条平行直线可以确定一个平面. 以上三个推论在解题时可直接使用.
8.4.1平面 课件(共35张PPT)数学人教A版(2019)必修 第二册
1.空间中的两个平面若有公共点，则公共点有多少个 ？
研究结论
有无数个公共点
2.两个平面的公共点有什么特点？
折纸演示
研究结论 两个平面的公共点在同一条直线上
【概念探究】
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这 条直线在这个平面内
谢谢大家！
【课后思考】
本节课我们通过点与平面、直线与平面、平面与平面的关系 刻画了平面的一些基本特征。 类似地，你可否刻画出直线的一些基本特征？
基本特征1 过两点，有且只有一条直线 基本特征2 两点之间线段最短 基本特征3 两条直线相交，有且仅有一个公共点
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条过该点的公共直线
生活中还有与基本事实3相关的实例吗？
欧几里得与《几何原本》
《几何原本》从少数几个 公理出发，由简到繁地推 演出460多个命题，建立 起人类史上第一个完整的 公理演绎体系。
【应用探究】
在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并说明理由。
1.一条直线和一个平面若有公共点，可分为几种情况？ 直线与平面有无数个公共点
1.一条直线和一个平面若有公共点，可分为几种情况？
研究结论
①一个公共点 ②无数个公共点
①直线与平面相交 ②直线在平面内
2.如何使得一条直线上所有点都在一个平面内 ？
直绳与黑板演示
研究结论 直线上有两个点在一个平面内即可
1.空间中的一个点和一个平面有几种位置关系？
1.空间中的一个点和一个平面有几种位置关系？ 研究结论 ①点在平面外 ②点在平面内
2.几个点可以确定一个平面？
高中数学人教A版必修二 2.1.1 平面 课件(39张)
-24-
2.1.1 平面
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Z H 自主预习 IZHUYUXI
合作学习
EZUOXUEXI
D当堂检测 ANGTANG JIANCE
探究一
探究二
探究三
思想方法
证法一∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α. 又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也
反思感悟证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2,常用 方法有:
(1)先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面 内,即用“纳入平面法”;
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一 个平面β,再证平面α与β重合,即用“辅助平面法”;
(3)假设不共面,结合题设推出矛盾,用“反证法”. 注意:在遇到文字叙述的结论时,一定要先根据题意画出图形,结 合图形写出已知与求证,再证明.
提示:不是.平面ABCD与平面ABB1A1相交于直线AB.
-13-
2.1.1 平面
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Z H 自主预习 IZHUYUXI
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一二三
4.关于平面的基本性质,请完成下表:
公理 内 容
图形
如果一条直线
上的两点在一
公理 1 个平面内,那么 这条直线在此
解:(1)①不一定共面.
若三条直线两两相交,且过同一个点. 这三条直线在同一个平面内相交,如图.
-20-
2.1.1 平面
探究一
探究二
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探究三
思想方法
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2.1.1 平面
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探究一
探究二
探究三
思想方法
证法一∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α. 又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也
反思感悟证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2,常用 方法有:
(1)先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面 内,即用“纳入平面法”;
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一 个平面β,再证平面α与β重合,即用“辅助平面法”;
(3)假设不共面,结合题设推出矛盾,用“反证法”. 注意:在遇到文字叙述的结论时,一定要先根据题意画出图形,结 合图形写出已知与求证,再证明.
提示:不是.平面ABCD与平面ABB1A1相交于直线AB.
-13-
2.1.1 平面
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一二三
4.关于平面的基本性质,请完成下表:
公理 内 容
图形
如果一条直线
上的两点在一
公理 1 个平面内,那么 这条直线在此
解:(1)①不一定共面.
若三条直线两两相交,且过同一个点. 这三条直线在同一个平面内相交,如图.
-20-
2.1.1 平面
探究一
探究二
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探究三
思想方法
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高一数学人教A版必修二《8.4.1平面》精品课件(34页)
[典例 1] 用符号语言表示下面的语句，并画出图形． (1)三个平面 α，β，γ 相交于一点 P，且平面 α 与平面 β 相交于 PA，平面 α 与平面 γ 相交于 PB，平面 β 与平面 γ 相交于 PC； (2)平面 α 与 β 相交于直线 l，直线 a 与 α，β 分别相交于点 A，B. [解] (1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC， 图形表示：如图①.
A在l上
A_∈__l
A在l外
A_∉__l
A在α内
A_∈__α
A在α外 l在α内
A_∉__α l_⊂__α
续表 l在α外
l，m 相交于 A l，α 相交于 A α，β 相交于 l
L_⊄_α __l_∩__m__＝__A__
l∩α＝A _α_∩__β_＝__l__
(二)基常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面． (× )
A．P∈a，a∥α
B．a∩α＝P
C．P∈a，P∉α
D．P∈a，a⊂α
答案：C
()
知识点二 平面的基本事实
(一)教材梳理填空 1．平面的基本事实：
基本事实
内容
基本 事实
1
过_不__在__一__条__直__线__上__的三 个点，有且只有一个平面
基本 事实
2
如果一条直线上的_两__个__点_ 在一个平面内，那么这条 直线在这个平面内
(2)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图②.
[方法技巧] 三种语言转换的注意点 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先要仔细观察图形有几个平 面、几条直线且相互之间的位置关系如何，然后试着用文字语言、符号语言表 示． (2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”， 直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．
人教A版高中数学必修二课件2.1.1平面(共31张PPT)
第二章
点、直线、平面之间的位
置关系
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2．1.1 平 面
学习导航
学习目标
重点难点 重点：用符号语言、图形语言描述空间点、直线、平面
间的位置关系．
难点：对平面概念的理解及应用．
新知初探思维启动
1．平面的有关概念
(1)定义：平面是最基本的不加定义的原始几何概念， 平面无厚薄，无大小，是无限延展的，通常用
平行四边形 表示平面． _____________
(2)平面的表示法
常把一个希腊字母如α，β或γ等写在表示平面的平行四边 形的一个角上来表示平面．如图①所示，表示平面α.如 图②所示，表示平面α、平面β.也可以用表示平面的平行 四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字 母作为这个平面的名称．如图①所示中的平面α，也可 以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD.
【名师点评】 加以证明．
四条直线两两相交且不共点有两种情
况：一是无三线共点，二是有三线共点，要分两种情况
互动探究
1．若将本例中条件改为三条直线，且已知a∥b，直线l
与a，b都相交，交点分别为A，B.如何证明直线a，b，l 共面？
直线 a∥ b⇒ a， b确定平面α 证明： l∩ a＝ A⇒ A∈ a l∩ b＝ B⇒ B∈ b ⇒ A∈ α， B∈α A∈ l， B∈ l
⇒ l⊂ α⇒ a， b，l 共面．
题型二
例2
多点共线问题
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设A1C∩
平面ABC1D1＝E.求证：B、E、D1三点共线．
【证明】
如图，连接A1B、BD1、CD1，
点、直线、平面之间的位
置关系
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2．1.1 平 面
学习导航
学习目标
重点难点 重点：用符号语言、图形语言描述空间点、直线、平面
间的位置关系．
难点：对平面概念的理解及应用．
新知初探思维启动
1．平面的有关概念
(1)定义：平面是最基本的不加定义的原始几何概念， 平面无厚薄，无大小，是无限延展的，通常用
平行四边形 表示平面． _____________
(2)平面的表示法
常把一个希腊字母如α，β或γ等写在表示平面的平行四边 形的一个角上来表示平面．如图①所示，表示平面α.如 图②所示，表示平面α、平面β.也可以用表示平面的平行 四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字 母作为这个平面的名称．如图①所示中的平面α，也可 以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD.
【名师点评】 加以证明．
四条直线两两相交且不共点有两种情
况：一是无三线共点，二是有三线共点，要分两种情况
互动探究
1．若将本例中条件改为三条直线，且已知a∥b，直线l
与a，b都相交，交点分别为A，B.如何证明直线a，b，l 共面？
直线 a∥ b⇒ a， b确定平面α 证明： l∩ a＝ A⇒ A∈ a l∩ b＝ B⇒ B∈ b ⇒ A∈ α， B∈α A∈ l， B∈ l
⇒ l⊂ α⇒ a， b，l 共面．
题型二
例2
多点共线问题
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设A1C∩
平面ABC1D1＝E.求证：B、E、D1三点共线．
【证明】
如图，连接A1B、BD1、CD1，
高中数学人教A版必修2课件：2.1.1平面(共22张PPT)
西山一中
1、能用数学符号正确表示平面、平面内的 点和直线；
2、记住平面的三个公里。
认真阅读教材P40－42页内容， 提出你不懂的问题。
平面的概念
桌面
黑板面 平静的水面
平面的形象
几何里的平面是无限延展的.
平面的画法
我们常常把水平的平面画成一个平行四边形， 用平行四边形表示平面．
平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等 于其邻边长的2倍．
文字语言
平面公理
基本性质1 如果一条直线上的两点在一个平面内，
那么这条直线在此平面内．
作用？
判定直线是否在平面内．
图形语言
m
. . l A ·
·B
·
错误
符号语言
Al
Bl A
l
B
图形、文字、符号
l
A
点A在直线l上．
Al
l
A
直线l在平面 外．
l
l A
点A在直线l外．
Al
l A
B 直线l在平面 内． 平面 经过直线l．
B
A
点A在平面 内，记作 A．
读作
点B在平面 外，记作 B．
读作
平面公理
如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在 平面α内？
如果直线 l 与平面α有两个公共点，直线 l 是否在 平面α内？
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘 上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边 缘就落在了桌面上．
B 因为AB
, AB
, 所以A ∈ ( ∩ )且 B ∈ ( ∩ )
我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面．
因为AB
1、能用数学符号正确表示平面、平面内的 点和直线；
2、记住平面的三个公里。
认真阅读教材P40－42页内容， 提出你不懂的问题。
平面的概念
桌面
黑板面 平静的水面
平面的形象
几何里的平面是无限延展的.
平面的画法
我们常常把水平的平面画成一个平行四边形， 用平行四边形表示平面．
平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等 于其邻边长的2倍．
文字语言
平面公理
基本性质1 如果一条直线上的两点在一个平面内，
那么这条直线在此平面内．
作用？
判定直线是否在平面内．
图形语言
m
. . l A ·
·B
·
错误
符号语言
Al
Bl A
l
B
图形、文字、符号
l
A
点A在直线l上．
Al
l
A
直线l在平面 外．
l
l A
点A在直线l外．
Al
l A
B 直线l在平面 内． 平面 经过直线l．
B
A
点A在平面 内，记作 A．
读作
点B在平面 外，记作 B．
读作
平面公理
如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在 平面α内？
如果直线 l 与平面α有两个公共点，直线 l 是否在 平面α内？
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘 上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边 缘就落在了桌面上．
B 因为AB
, AB
, 所以A ∈ ( ∩ )且 B ∈ ( ∩ )
我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面．
因为AB
人教A版数学必修二《平面》经典课件
代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示.
如
D
C
平面
平面
A
B
平A 面BCD
平面 AC
平面 BD
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
例1. 画出两个竖直放置的相交平面.
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系：
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系：
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
3. 平面的画法： (1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
通常把表示平面的平行四边形的锐角 画成45o.
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
3. 平面的画法： (3)在画图时，如果图形的一部分被另一 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线， 也可以不画.
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
பைடு நூலகம்
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3. 平面的画法： (1)水平放置的平面：
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
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3. 平面的画法： (1)水平放置的平面：
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如
D
C
平面
平面
A
B
平A 面BCD
平面 AC
平面 BD
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
例1. 画出两个竖直放置的相交平面.
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系：
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系：
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3. 平面的画法： (1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
通常把表示平面的平行四边形的锐角 画成45o.
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3. 平面的画法： (3)在画图时，如果图形的一部分被另一 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线， 也可以不画.
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பைடு நூலகம்
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3. 平面的画法： (1)水平放置的平面：
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
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3. 平面的画法： (1)水平放置的平面：
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高一数学人教A版必修2第二章2.平面教学ppt课件25张
3、平面的表示方法
几何画法：通常用平行四边形来表示平面。
D
C
A
B
通常把平行四边形的锐角画成45°，横边
画成邻边长的2倍。
α
α
D
A
C B
符号表示：通常用希腊字母α,β,γ等来表示， 如：平面α,平面β;也可用表示平行四边形的
四个顶点，或两个相对顶点的大写字母来表示，
如：平面ABCD,平面AC，平面BD。
A∈α B∈α
aα
b∩α＝A
a∥α
三个公理
公理1 如果一条直线上两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内。
公理2 过不在同一直线上的三点，有且只 有一个平面。
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
课堂练习
1．在下列各种面中，不能认为是平面一部分的应
该为( C )
a
B
A l
al
P
b
（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）
（2）
解 1 ： l ,a l A ,b l B
2 l , a , b , a l p , b l p , a b p
思 考
若一条直线l与平面α有一个公共点，直线l是否 在平面α内？若直线l与平面α有两个公共点呢？
公理1 如果一条直线上两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内。
思 考
• 1．为什么停放自行车时需要将车撑放下才 能将自行车停稳？
• 2．飞机至少需要几个轮子？
• 3．最少用几枚钉子可以将一段木棍固定在 墙上？
• 这些问题如何用数学的方法进行解决呢？ 带着以上问题，我们进入本节的学习.
平面
教学目标
➢利用生活中的实物对平面进行描述。 ➢掌握平面的基本性质及作用。 ➢培养学生的空间想象能力。
高中数学人教A版必修2 2.1.1 平 面 课件(39张)
探
究
•
攻
重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
2．平面的画法
(1) 水平 放置 的 平 面通 常 画 成一 个 _平__行__四__边__形__ ，它 的 锐 角通 常 画 成
自
当
主 预
_4_5_°__，且横边长等于其邻边长的___2_倍______．如图 2-1-1①.
堂 达
习
标
•
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡
层
中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点， 作
业
难 再证点重合，从而得三线共点．
返 首 页
[跟踪训练]
自
当
主 预
3．如图 2-1-7 所示，四边形 ABCD 中，已知 AB∥CD，AB，BC，DC，
堂 达
习
标
• AD(或延长线)分别与平面 α 相交于 E，F，G，H，求证：E，F，G，H 必在 •
当 堂
预 习
②直线 l 在平面 α 内，直线 m 与平面 α 相交于点 A，且点 A 不在直线 l
达 标
•
•
探 新
上；
固 双
知
基
③直线 l 经过平面 α 外一点 P 和平面 α 内一点 Q.
合
图形分别如图①，②，③所示．
作
探
究
•
攻
重
课 时 分 层 作 业
难
①
②
③
返 首
页
自
当
主
堂
预
[规律方法] 三种语言的转换方法
时 分
层
作
业
返 首 页
高一下学期数学人教A版必修第二册8.4.1平面课件(1)
l A
B
A l,Bl,且A ,B l .
作用：判定直线是否在平面内的根据．
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那
么它们有且只有一条过该点的公共直线．
P ，且P l, 且P l.
l
P
作用： ①判断两个平面相交的根据． ②判断点在直线上．
三推论： 推论1.经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一 个平面。 推论2.经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3.经过两条平行直线，有且只有一个平面。
2.平面的画法 我们常常把水平的平面画成一个平行四边形， 用平行四边形表示平面．
平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等 于其邻边长的2倍．
相交平面的画法：
⑴先画两平面基本线
β
⑵画两平面的交线
⑶分别作三条线的平行线 α
⑷把被遮部分的线段画成
虚线或不画，其他为实线。
表示两平面相交的画法
3.平面的表示方法 (1)常用平行四边形表示，如图所示
确定平面的 根据
A∈l,B∈l, 且A∈α， B∈α⇒l⊂α
判定直线在平面内
P∈α且 P∈β⇒α ∩β=l且 P∈l
①判定两个 平面相交 ②作两个平 面的交线 ③证明点共 线或线共点
经过不在同一条 直线上的三点， 有且只有一个平 面
如果一条直线上的
基本事 实2
两点在一个平面内， 那么这条直线上的 所有点都在这个平
面内
基本事 实3
如果不重合的 两个平面有一 个公共点，那 么它们有且只 有一条过该点 的公共直线
图形
符号
A，B，C三点 不共线⇒存 在唯一的平
面α使 A,B,C∈α
作用
题型一、符号表示
例1.如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面 之间的位置关系．
B
A l,Bl,且A ,B l .
作用：判定直线是否在平面内的根据．
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那
么它们有且只有一条过该点的公共直线．
P ，且P l, 且P l.
l
P
作用： ①判断两个平面相交的根据． ②判断点在直线上．
三推论： 推论1.经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一 个平面。 推论2.经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3.经过两条平行直线，有且只有一个平面。
2.平面的画法 我们常常把水平的平面画成一个平行四边形， 用平行四边形表示平面．
平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等 于其邻边长的2倍．
相交平面的画法：
⑴先画两平面基本线
β
⑵画两平面的交线
⑶分别作三条线的平行线 α
⑷把被遮部分的线段画成
虚线或不画，其他为实线。
表示两平面相交的画法
3.平面的表示方法 (1)常用平行四边形表示，如图所示
确定平面的 根据
A∈l,B∈l, 且A∈α， B∈α⇒l⊂α
判定直线在平面内
P∈α且 P∈β⇒α ∩β=l且 P∈l
①判定两个 平面相交 ②作两个平 面的交线 ③证明点共 线或线共点
经过不在同一条 直线上的三点， 有且只有一个平 面
如果一条直线上的
基本事 实2
两点在一个平面内， 那么这条直线上的 所有点都在这个平
面内
基本事 实3
如果不重合的 两个平面有一 个公共点，那 么它们有且只 有一条过该点 的公共直线
图形
符号
A，B，C三点 不共线⇒存 在唯一的平
面α使 A,B,C∈α
作用
题型一、符号表示
例1.如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面 之间的位置关系．
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3. 平面的画法：
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
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3. 平面的画法： (3)在画图时，如果图形的一部分被另一 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线， 也可以不画.
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5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系：
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5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系：
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
(1)点与直线的位置关系：
点A在直线a上：
A
a
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
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5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系：
(1)点与直线的位置关系：
点A在直线a上： 记为A∈a. A
a
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人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系：
(1)点与直线的位置关系：
点A在直线a上： 记为A∈a. A
a
B
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系：
在空间是无限延伸的.
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3. 平面的画法：
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
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代表表示平面的平行四边形的四个顶点或
相对的两个顶点字母表示.
如
D
C
A
B
4. 平面的表示方法： 平面可以用希腊字母表示，也可以用
代表表示平面的平行四边形的四个顶点或
相对的两个顶点字母表示.
如
D
C
A
B
平面
4. 平面的表示方法：
平面可以用希腊字母表示，也可以用
代表表示平面的平行四边形的四个顶点或
相对的两个顶点字母表示.
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3. 平面的画法： (3)在画图时，如果图形的一部分被另一 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线， 也可以不画.
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2.1.1 平面
1. 平面的概念：
1. 平面的概念：
1. 平面的概念：
1. 平面的概念： 光滑的桌面、平静的湖面等都是我们
熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现 实平面加以抽象的结果.
2. 平面的特征：
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
2. 平面的特征： 平面没有大小、厚薄和宽窄， 平面
如
D
C
A
B
Hale Waihona Puke 平面平面4. 平面的表示方法：
平面可以用希腊字母表示，也可以用
代表表示平面的平行四边形的四个顶点或
相对的两个顶点字母表示.
如
D
C
平面
A
B
平A 面BCD
平面
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
4. 平面的表示方法： 平面可以用希腊字母表示，也可以用
代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示.
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5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系：
(1)点与直线的位置关系：
A
a
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5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系：
3. 平面的画法： (1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
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3. 平面的画法： (1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
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3. 平面的画法： (1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
通常把表示平面的平行四边形的锐角 画成45o.
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3. 平面的画法： (3)在画图时，如果图形的一部分被另一 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线， 也可以不画.
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4. 平面的表示方法： 平面可以用希腊字母表示，也可以用
代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示.
4. 平面的表示方法： 平面可以用希腊字母表示，也可以用
如
D
C
平面
平面
A
B
平A 面BCD
平面 AC
平面 BD
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例1. 画出两个竖直放置的相交平面.
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3. 平面的画法： (1)水平放置的平面：
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
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3. 平面的画法： (1)水平放置的平面：
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3. 平面的画法： (3)在画图时，如果图形的一部分被另一 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线， 也可以不画.
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5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系：
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5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系：
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(1)点与直线的位置关系：
点A在直线a上：
A
a
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5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系：
(1)点与直线的位置关系：
点A在直线a上： 记为A∈a. A
a
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5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系：
(1)点与直线的位置关系：
点A在直线a上： 记为A∈a. A
a
B
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5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系：
在空间是无限延伸的.
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3. 平面的画法：
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代表表示平面的平行四边形的四个顶点或
相对的两个顶点字母表示.
如
D
C
A
B
4. 平面的表示方法： 平面可以用希腊字母表示，也可以用
代表表示平面的平行四边形的四个顶点或
相对的两个顶点字母表示.
如
D
C
A
B
平面
4. 平面的表示方法：
平面可以用希腊字母表示，也可以用
代表表示平面的平行四边形的四个顶点或
相对的两个顶点字母表示.
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
3. 平面的画法： (3)在画图时，如果图形的一部分被另一 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线， 也可以不画.
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2.1.1 平面
1. 平面的概念：
1. 平面的概念：
1. 平面的概念：
1. 平面的概念： 光滑的桌面、平静的湖面等都是我们
熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现 实平面加以抽象的结果.
2. 平面的特征：
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
2. 平面的特征： 平面没有大小、厚薄和宽窄， 平面
如
D
C
A
B
Hale Waihona Puke 平面平面4. 平面的表示方法：
平面可以用希腊字母表示，也可以用
代表表示平面的平行四边形的四个顶点或
相对的两个顶点字母表示.
如
D
C
平面
A
B
平A 面BCD
平面
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4. 平面的表示方法： 平面可以用希腊字母表示，也可以用
代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示.
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5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系：
(1)点与直线的位置关系：
A
a
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5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系：
3. 平面的画法： (1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
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3. 平面的画法： (1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
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3. 平面的画法： (1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
通常把表示平面的平行四边形的锐角 画成45o.
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经 典课件( 共41张 PPT)
3. 平面的画法： (3)在画图时，如果图形的一部分被另一 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线， 也可以不画.
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4. 平面的表示方法： 平面可以用希腊字母表示，也可以用
代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示.
4. 平面的表示方法： 平面可以用希腊字母表示，也可以用
如
D
C
平面
平面
A
B
平A 面BCD
平面 AC
平面 BD
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例1. 画出两个竖直放置的相交平面.
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3. 平面的画法： (1)水平放置的平面：
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3. 平面的画法： (1)水平放置的平面：
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