一元二次方程综合测试题培优
(完整版)一元二次方程综合培优(难度大-含参考答案)
一元二次方程拓展提高题1、已知0200052=--x x，则()()211223-+---x x x 的值是 . 2、已知0120042=+-a a ，则_________120044007222=++-a a a . 3、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=b a.4、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，则代数式_____21682=-++-a a a .5、已知x x y -+=62，则y 的最大值为 .6、已知0=++c b a ，2=abc ，0φc ，则（ ）A 、0πabB 、2-≤+b aC 、3-≤+b aD 、4-≤+b a 7、已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a . 8、已知012=-+m m ，则________2006223=-+m m . 9、已知4=-b a ，042=++c ab ，则________=+b a .10、若方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ，且11φx ，03φ++q p ，则2x ( ) A 、小于1 B 、等于1 C 、大于1 D 、不能确定11、已知α是方程0412=-+x x 的一个根，则ααα--331的值为 .12、若132=-x x ，则=+--+200872129234x x x x （ ）A 、2011B 、2010C 、2009D 、2008 13、方程22323=--+x x 的解为 . 14、已知06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是（ ）A 、14B 、15C 、16D 、18 15、方程m x x =+-2||22恰有3个实根，则=m （ ）A 、1B 、1.5C 、2D 、2.5 16、方程9733322=-+-+x x x x 的全体实数根之积为（ ）A 、60B 、60-C 、10D 、10-17、关于x 的一元二次方程0522=--a x x （a 为常数）的两根之比3:2:21=x x ，则=-12x x （ ）A 、1B 、2C 、21 D 、23 18、已知是α、β方程012=-+x x 的两个实根，则_______34=-βα. 19、若关于x 的方程xax x x x x a 1122++-=-只有一解，求a 的值。
浙教版2022-2023学年八下数学第二章 一元二次方程 培优测试卷
浙教版2022-2023学年八下数学第二章 一元二次方程 培优测试卷考试时间：120分钟 满分：120分一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）A ．2x −1=0B ．3x +x 2=7C ．x 2−2x −3=0D ．x +y =6 2．若关于x 的方程x 2+2x +a =0有两个不相等的实数根，则a 的值可以是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．03．用配方法解一元二次方程y 2−y −12=0时，下列变形正确的是（ ） A ．(y +12)2=1 B ．(y −12)2=34 C ．(y +12)2=34 D ．(y −12)2=1 4．一元二次方程x （x ﹣2）＝2﹣x 的根是（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝2C ．x 1＝1，x 2＝2D ．x 1＝﹣1，x 2＝25．关于x 的一元二次方程x 2+4x+（1-m ）（m -3）=0，下列选项正确的是（ ）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．根的个数与m 的取值有关6．已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程x 2−7x +12=0的一个根，则这个三角形的周长是（ ）A ．12B ．13C ．12或13D ．157．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约2亿元，第三天票房收入约达到4亿元，设票房收入每天平均增长率为x ，下面所列方程正确的是（ ）A ．2(1+x)2=4B ．2(1+2x)=4C ．2(1−x)2=4D ．2+2(1+x)+2(1+x)2=48．如图，在一块长为 20m ，宽为 12m 的矩形 ABCD 空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路.四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为 40m 2 .设道路宽为 xm ，则以下方程正确的是（ ）A ．32x +4x 2=40B ．32x +8x 2=40C ．64x −4x 2=40D ．64x −8x 2=40（第8题） （第9题）9．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点 …… ，第 n 行有 n 个点 …… ，前 n 行的点数和不能是以下哪个结果（ ）A ．741B ．600C ．465D ．30010．下列关于一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的命题中：真命题有（ ）①若a ﹣b+c ＝0则b 2﹣4ac≥0；②若方程ax 2+bx+c ＝0两根为1和2，则2a ﹣c ＝0；③若方程ax 2+c ＝0有两个不相等的实根，则方程ax 2+bx+c ＝0必有实根A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①③二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx −1=0的一个解是x =1，则2023-a -b= ． 12．若a 是方程2x 2-x -5=0的一个根，则代数式2a -4a 2+1的值是13．若方程x2−(a−3)x−3a−b2=0有两个相等的根，则方程x2+ax+b=0的根分别是．14．若关于x的一元二次方程a(x－h)2+k=0的解是x1=－2，x2=1，则关于x的一元二次方程a(x－h+3)2+k=0的解是．15．已知关于x的方程x2－(k+2)x+2k=0，若等腰三角形ABC的一边长a=1，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为．16．设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则两根分别与方程系数之间有如下关系：x1+x2=−b a，x1x2=c a.根据该材料选择：已知a，b是方程x2+(m+2)x+1=0的两根，则(a2+ma+1)(b2+mb+1)的值为.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．按照指定方法解下列方程：（1）16x2+8x=3（公式法）；（2）2x2+5x−1=0（配方法）；（3）6−2y=(y−3)2（因式分解法）．18．如图，要在墙边围一个矩形花圃．花圃的一边靠墙（墙的长度不限），另三边用篱笆围成．如果矩形花圃的面积为50平方米，篱笆长20米，求矩形花圃的长和宽各是多少米？19．小芳家今年添置了新电器已知今年5月份的用电量是120千瓦时，根据去年5至7月用电量的增长趋势，预计今年7月份的用电量将达到240千瓦时.假设今年5至6月用电量月增长率是6至7月用电量月增长率的1.5倍，预计小芳家今年6月份的用电量是多少千瓦时.20．已知关于x的一元二次方程：x2+（k-5）x+4-k=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；（2）若方程的一个根是2，求另一个根及k的值．21．已知a、b、c是△ABC的三边长，关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+a−c=0有两个相等的实数根．（1）请判断△ABC的形状；（2）当a=5，b=3时，求一元二次方程的解．22．已知关于x的方程x2+2mx+n=0（m、n是常数）有两个相等的实数根．（1）求证：m2=n；（2）求证：m+n≥−1 4．23．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件.为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润.据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件.设每件童装降价x元.（1）每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含x的代数式表示）（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元.（3）平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由.24．已知关于x的方程x2+(m−2)x−9=0.（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根.（2）若这个方程的两个实根α，β，满足2α+β=m+1，求m的值.。
一元二次方程专题能力培优(含答案)
一元二次方程专题能力培优(含答案)解得：m≠2m10当m≠2时，原方程可化为x-m+1=0.2.C解析：将方程化简可得(m-6)x+(m-6)=0，由于常数项为0，所以m-6=0，即m=6.3.a=2解析：由于一次项系数为0，所以根据一元二次方程的求根公式可得：x1=x2=-b/2a，代入a-b+c=0中得a=2.4.a=2解析：将方程化简可得(2a-4)x+(3a+6)x+(a-8)=0，由于一次项系数为0，所以2a-4+3a+6=0，解得a=2.5.D解析：由题可得另一个根为-b，代入x1x2=a/c=-a/b得到b=-2a，代入a-b得到a=2b，所以a-b=2b-b=b=2.6.a/2解析：由于a-b+c=0，所以c=b-a，代入一元二次方程的求根公式可得x1=(b+√(b^2-4ac))/2a，x2=(b-√(b^2-4ac))/2a，代入x1x2=a/c得到a=(b^2-a^2)/(b-a)，解得a/2=b-a，即a=2b-2a，解得a/2.7.2012解析：由一元二次方程的求根公式可得a=2013/2+√(2013^2/4-1)，代入a-2012a-2013/2得到2012.2或者当m+1+（m-2）≠0且m+1=1时，它是一元一次方程。
解得：m=-1，m=0.因此，当m=-1或m=0时，为一元一次方程。
给定方程m^2-1=0，解得m=-1.因为m-1≠0，所以这是一元一次方程。
解方程3a+6=0，得到a=-2.因此，这是一元一次方程。
根据题意，方程x+bx+a=0的一个根是-a（a≠0）。
由此得到a-b=-1.解方程x^2=1，得到x=±1.因此，x=-1.已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解，因此a-2013a+1=0.解得a=-1/2012.若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为-8或9.如果代数式x+6x+m是一个完全平方式，则m=9.用配方法证明：无论x为何实数，代数式-2x^2+4x-5的XXX小于零。
数学 一元二次方程的专项 培优练习题含答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根． ()1求k 的取值范围；()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．【答案】（1）134k ≤；（2）2k =-． 【解析】 【分析】 ()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥，解之可得． ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．【详解】解：()1关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根， 0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥，解得134k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+，221223x x +=， 224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，134k ≤， 4k ∴=舍去，2k ∴=-．【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系．2．已知：关于的方程有两个不相等实数根．（1） 用含的式子表示方程的两实数根；（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．【答案】（I）kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．∴由求根公式，得．∴或（II），∴．而，∴，．由题意，有∴即（﹡）解之，得经检验是方程（﹡）的根，但，∴【解析】（1）计算△=（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1＞x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.请你解答下列问题：3． y与x的函数关系式为：y=1.7x（x≤m）;或( x≥m) ；4．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0方程有两不等根综合①②得不论k为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=∴S=++ x1+x2=====2k-2=2，解得k=2，∴当k=2时，S的值为2∴S的值能为2，此时k的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．5．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y （只）与销售单价x（元）之间的关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元【解析】【分析】表示出一件的利润为（x﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】设每天获得的利润为w元，根据题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．∵a＝﹣10＜0，∴当x＝50时，w取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.6．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），每星期的销售量为y箱．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?【答案】(1)y=-10x+780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元【解析】【分析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x,（2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x）=-10x+780,(40≤x≤60),(2)依题意得：（x-40）(-10x+780)=3570,解得：x=57,∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.（3）设每星期的利润为w，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,∵-10 0,二次函数向下,函数有最大值,当x=59时, 利润最大，为3610元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.7．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据题意得：400（1﹣x ）2=361，解得：x 1=0.05=5%，x 2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．8．阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式。
一元二次方程专题培优训练精选
一元二次方程专题培优训练精选专题一利用一元二次方程的定义确定字母的取值1.已知(m-3)x^2+m+2x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A.m≠3.B.m≥3.C.m≥-2.D。
m≥-2且m≠3已知(m-3)x^2+m+2x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A。
m≠3.B。
m≥3.C。
m≥-2.D。
m≥-2且m≠32.已知关于x的方程(m+1)x^m+1+(m-2)x^-1=，问：1）m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；2）m取何值时，它是一元一次方程？已知关于x的方程(m+1)x^m+1+(m-2)x^-1=，问：1）m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；2）m取何值时，它是一元一次方程？3.若一元二次方程ax^2+bx+c=0中，a-b+c=0，则此方程必有一个根为.a^2+1若一元二次方程ax^2+bx+c=0中，a-b+c=0，则此方程必有一个根为.a^2+14.已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解，求代数式a-2012a-的值.2013^2已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解，求代数式a-2012a-的值.2013^2方法技巧：1.ax+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领会.方法技巧：1.ax+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领会.专题二利用配方法求字母的取值或者求代数式的极值21.若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A.-9或11.B.-7或8.C.-8或9.C.-8或9 若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A。
-9或11.B。
-7或8.C。
一元二次方程培优检测
一元二次方程培优检测
姓名：
一、填空题(每小题5分，共25分）
1.方程01892=+-x x 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 .
2.关于x 的方程()02=++b m x a
的解是1,221=-=x x （b m a 、、均为常数，0≠a ），则方程()022=+++b m x a 的解是 .
3.已知b a 、是方程042=+-m x x 的两个根，c b 、是方程0582=+-m x x 的两个根，则
m = .
4.关于x 的方程()k x k kx 81822-=++有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 .
5.设b a 、是整数，方程02=++b ax x 的一根是324-，则b a += .
二、解答题（每题15分，共75分）
6.设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和.
7.已知21,x x 为方程0132=++x x
两实根，求代数式208231++x x 的值.
8.设方程
42=+ax x 只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根.
9.设a 是方程0412
=-+x x 的根，求234531a a a a a --+-的值.
10.关于x 的方程012223=-+--a ax ax x 只有一个实数根，求a 的取值范围.。
(完整版)一元二次方程综合培优(难度大-含参考答案)(最新整理)
A、1
B、2
C、 1 2
D、 3 2
18、已知是 、 方程 x 2 x 1 0 的两个实根，则 4 3 _______ .
19、若关于 x 的方程 2a x ax 1 只有一解，求 a 的值。 x 1 x2 x x
中考真题
1、若 x 1 1 ，则 x3 1 的值为（ ）
x
D、 1 和 1 2
6、实数 x、y 满足 x 2 xy y 2 2 ，记 u x 2 xy y 2 ，则 u 的取值范围是（ ）
A、 2 u 6 3
B、 2 u 2 3
C、1 u 6
D、1 u 2
7、已知实数 m，n 满足 m2 m 2009 0 ， 1 1 2009 0mn 1 ，则 1 n _____ .
答案： 2005
考点：因式分解的应用。
专题：整体思想。
分析：根据已知条件可得到 m 2 m 1 ，然后整体代入代数式求值计算即可。
解答：∵ m2 m 1 0
∴m2 m 1
∴原式 m m2 m m 2006 m2 m 2006 1 2006 2005
点评：这里注意把要求的代数式进行局部因式分解，根据已知条件，整体代值计算。
∵ x1 1， p q 3 ∴ x2 x1 x2 3 x1 2
∴ x1 x2 x1 x2 3
∴ x2 x1 1 2
7、已知 a b 8 ， ab c 2 16 0 ，则 a b c ________ .
D、 a b 4
8、已知 m 2 m 1 0 ，则 m3 2m 2 2006 ________ .
9、已知 a b 4 ， ab c 2 4 0 ，则 a b ________ .
4、已知方程 2x 2 2ax 3a 4 0 没有实数根，则代数式 a 2 8a 16 2 a _____ .
一元二次方程培优检测卷九年级数学上册重难点专题提优训练
《第二十一章 一元二次方程》培优检测卷班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________考试范围：全册； 考试时间：120分钟； 总分：120分一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（2022·吉林· 八年级期中）下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．2210x x += B ．20ax bx c ++= C ．()()121x x -+= D ．223250x xy y --=【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【详解】解：A 、2210x x +=是分式方程，选项说法错误，不符合题意； B 、当0a =时，20ax bx c ++=不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意； C 、(1)(2)1x x -+=，即230x x +-=是一元二次方程，选项说法正确，符合题意； D 、223250x xy y --=是二元二次方程，选项说法错误，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一元二次方程应注意的5个方面：一是化简后、二是一个未知数、三是未知数的最高次数为2、四是二次项系数不等于0、五是整式方程．2．（山东省济南市高新区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）已知x ＝1是方程x 2﹣3x +c ＝0的一个根，则实数c 的值是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【答案】D【解析】【分析】将x ＝1代入已知方程求出c 即可．【详解】解：把x ＝1代入x 2﹣3x +c ＝0得：1﹣3+c ＝0，解得：c ＝2，故选：D ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．3．（2022·福建省福州屏东中学八年级期末）新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，在每轮传染中平均一个人可以传染x 个人，经过两轮传染后共有400人感染，列出的方程是（ ）A ．21400x x ++=B ．()21400x +=C ．()1400x x x ++=D ．12400x +=【答案】C【解析】【分析】根据题意，正确的理解题意，列出一元二次方程，即可得到答案．【详解】解：根据题意， ()1400x x x ++=,故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确的理解题意，列出一元二次方程． 4．（2021·贵州遵义·一模）已知a ，b 是一元二次方程2320x x +-=的两根，则252a a b ++的值是（ ）A ．-5B ．-4C ．1D ．0【答案】B【解析】【分析】把x =a 代入方程求出a 2+3a 的值，再利用根与系数的关系求出a +b 的值，代入原式计算即可得到结果．【详解】解：把x =a 代入方程得：a 2+3a -2=0，即a 2+3a =2，由根与系数的关系得：a +b =-3，则原式=（a 2+3a ）+2（a +b ）=2-6=-4．故选：B ．【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 5．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）若关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．k ≥－1B ．k ＞－1C ．k ≥－1且k ≠0D ．k ＞－1且k ≠0【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式可得0,≥ 一元二次方程有实数根，再解不等式即可．【详解】 解： 关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根， 22410k 且0,k ≠解得：1k ≥-且0,k ≠故选C【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，牢记“当0≥时，方程有实数根”是解题的关键，是基础题．6．（2022·江苏·九年级）下列说法正确的是（ ）A ．方程8x 2﹣7＝0的一次项系数为﹣7B ．一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c ＝0C ．只有当k ＝0时，方程kx 2+3x 1x 2为一元二次方程D ．当m 取所有实数时，关于x 的方程(m 2+1)x 2﹣mx ﹣3＝0为一元二次方程【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义及一般形式可进行求解．【详解】解：A 、方程8x 2﹣7＝0的一次项系数为0，故选项错误；B 、一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），故选项错误；C 、当k ﹣1≠0，即k ≠1时，方程kx 2+3x ﹣1＝x 2为一元二次方程，故选项错误；D 、当m 取所有实数时，关于x 的方程（m 2+1）x 2﹣mx ﹣3＝0为一元二次方程是正确的． 故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及一般形式，熟练掌握一元二次方程的定义及一般形式是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（2022·山东德州·九年级期末）已知关于x 的方程（m ﹣2）x |m |﹣3x ﹣4＝0是一元二次方程，则m ＝______【答案】-2【解析】【分析】 根据一元二次方程的定义得到2m =且20m -≠，由此求得m 的值．【详解】 解：依题意得：2m =且20m -≠，解得m =-2．故答案为：-2．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．一元二次方程的最高次项的未知数的指数为2，注意二次项的系数不能等于0．8．（2022·江苏·九年级）若x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣4x +3＝0的两个实数根，则x 1+x 2﹣x 1x 2＝_____．【答案】1【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可解答．【详解】解：由根与系数的关系可知：x 1+x 2＝4，x 1x 2＝3，∴x 1+x 2﹣x 1x 2＝（x 1+x 2）﹣x 1x 2＝4﹣3＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系． 9．（2022·全国·九年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 __． 【答案】492【解析】设甲、乙两人相遇的时间为t ，则乙走了3t 步，甲斜向北偏东方向走了(710)t -步，利用勾股定理即可得出关于t 的一元二次方程，解之即可得出t 值，将其正值代入3t 中即可求出结论．【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t ，则乙走了3t 步，甲斜向北偏东方向走了(710)t -步，则 依题意得：22210(3)(710)t t +=-，整理得：2401400t t -=， 解得：172t =，20t =（不合题意，舍去）， 7497722t ∴=⨯=，即甲走的步数是492， 故答案为：492． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．（2021·全国·九年级专题练习）求代数式2272x x -+的最小值为_________． 【答案】338-【解析】【分析】直接利用配方法进行整理．【详解】解：∴2272722()22x x x x -+=-+ 2733332()488x =--≥-， ∴最小值为338-， 故答案是：338-． 【点睛】本题考查了配方法，解题的关键是掌握配方法的基本步骤，出的完全平方公式，利用非负性求解．11．（2022·陕西西安·三模）对于任意实数a 、b ，定义一种运算：22a b a b ⊗=+，若(1)3x x ⊗-=-，则x 的值为________．【答案】-1【分析】根据定义即可得到一元二次方程，解方程即可求得．【详解】解：根据题意得：()2(1)213x x x x ⊗-=+-=-得2210x x ++=解得121x x ==-故答案为：-1【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程的解法，理解题意，列出方程是解决本题的关键． 12．（2022·浙江绍兴·八年级期中）已知等腰三角形的每条边长都是一元二次方程27100x x -+=的根，则这个三角形的周长为_______________；【答案】6或12或15【解析】【分析】先利用因式分解的方法解方程得到x 1=2，x 2=5，根据题意讨论：当腰为2，底边为5时；当腰为5，底边为2时，然后分别计算出等腰三角形的周长．【详解】∴x 2-7x +10=0，∴（x -2）（x -5）=0，∴x -2=0或x -5=0，∴x 1=2，x 2=5，当腰为2，底边为5时，2+2=4<5，不能构成三角形；当腰为5，底边为2时，等腰三角形的周长为2+5+5=12；当腰为2，底边为2时，等腰三角形的周长为2+2+2=6，当腰为5，底边为5时，等腰三角形的周长为5+5+5=15．故答案为6或12或15．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（2022·江苏·九年级专题练习）解下列方程：(1)()24249x -= (2)()()2123x x +-= 【答案】(1)12113,22x x ==- (2)125,12x x ==- 【解析】【分析】（1）直接采用开平方的方法即可求出解．（2）将原方程化为一般形式，后采取因式分解法直接求出解．(1)解：原方程两边都除以4，得()24924x -=两边开平方，得722x -=± 所以，12113,22x x ==- (2) 解：原方程整理得22350x x --=，因式分解的：()()2510x x -+=，解得：11x =-，252x =． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握开方法，因式分解法是求解一元二次方程的关键．14．（2022·全国·九年级）若关于x 的一元二次方程()222240m x x m -++-=的常数项为0，求m 的值．【答案】m ＝﹣2【解析】【分析】根据常数项为0，二次项系数不为0，确定出m 的值即可．【详解】解：∴关于x 的一元二次方程()222240m x x m -++-=的常数项为0，∴22040m m -≠⎧⎨-=⎩ 解得：2m =-【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，熟练掌握其定义是解本题的关键．15．（2022·吉林通化·九年级期末）如图，学校建一长方形自行车棚，一边靠墙（墙长18米），另三边用总长50米的栏杆围成，留2米宽的门，若想建成面积为240平方米的自行车棚，则车棚垂直于墙的一边的长为多少米？【答案】20【解析】【分析】根据题意设车棚垂直于墙的一边的长为为x 米，则根据图并利用长×宽=面积，建立方程并求解即可．【详解】解：设车棚垂直于墙的一边的长为x 米，则平行于墙的一边的长为(5022)x +-米， 由题意列方程可得：(5022)240x x +-=，解得20x 或x =6当车棚垂直于墙的一边的长为6米时，平行于墙的一边的长为40米，大于墙长的18米， 答：车棚垂直于墙的一边的长为20米.【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，正确的列方程，牢记长方形的面积为长×宽，一元二次方程的求解是本题的关键与重点．16．（2022·河北保定·三模）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成任务．①小颖解方程的方法是____；②第二步变形的依据是____；(2)任务二：请你用“公式法”解该方程．【答案】(1)配方法，等式性质(2)152x =，21x =- 【解析】【分析】（1）任务一，结合配方法解一元二次方程的步骤求解即可；（2）任务二，利用公式法求解即可．(1)解：小颖是将方程左边配成完全平方形式，∴小颖解方程的的方法是配方法，等式变形的依据是等式性质；(2)解：∴2a =，3b =-，5c =-，∴()()23425490∆=--⨯⨯-=>，则374x ±==， ∴152x =，21x =-． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力， 熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．17．（2022·江苏·九年级）已知a 、b 、c 是ABC 的三边长，关于x 的一元二次方程2()20a c x bx a c +++-=有两个相等的实数根．(1)请判断ABC 的形状；(2)当5a =，3b =时，求一元二次方程的解．【答案】(1)∴ABC 为直角三角形；(2)1213x x ==- 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式以及勾股定理的逆定理，即可求解；（2）由（1）可得4c =，再代入原方程，利用因式分解法解答，即可求解．(1)∴关于x 的一元二次方程2()20a c x bx a c +++-=有两个相等的实数根，∴()()()2240b a c a c ∆=-+-=，∴222b c a +=，∴∴ABC 为直角三角形；(2)∴222b c a +=，5a =，3b =，∴4c ，∴9261a c b a c +====-=，∴原方程为29610x x ++=， 解得：1213x x ==-． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，熟练掌握一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理是解题的关键．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（2022·四川攀枝花·x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣4x ﹣1＝0有两个实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若方程的两根x 1，x 2，满足（x 1+1）（x 2+1）＝4，求k 的值．【答案】(1)k ≥﹣3且k ≠1(2)2【解析】【分析】（1）由方程有两个实数根，结合根的判别式，即可得出关于k 的一元一次不等式，并使k ﹣1≠0，即可得出结论．（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x 1+x 2＝41k -，x 1x 2＝﹣11k -，再将它们代入（x 1+1）（x 2+1）＝4，即可求出k 的值．(1)解：（1 ）∴关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣4x ﹣1＝0有两个实数根．∴k﹣1≠0，∆＝b2﹣4ac≥0，即（﹣4）2﹣4×（k﹣1）×（﹣1）≥0，∴k≥﹣3且k≠1．(2)解：∴关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝41k-，x1x2＝﹣11k-．∴（x1+1）（x2+1）＝4，∴（x1+x2）+x1x2+1＝4，即41k-﹣11k-+1＝4，整理，得：k﹣1＝1，解得：k＝2，经检验，k＝2是方程的解，∴k＝2．∴k的值为2．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题关键是熟练运用根与系数关系列出方程或不等式．19．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级期中）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a bc d，定义a bad bcc d=-，上述记号就叫做2阶行列式．(1)若764174x=，求x的值；(2)若1211011m mm m--=---，求m的值．【答案】(1)49 16(2)83或-1【解析】【分析】（1）根据新定义得到关于x的一元一次方程，然后利用整式的混合计算法则进行解方程即可；（2）根据新定义得到关于x的一元二次方程，然后解方程即可．(1)解：∴764174x=，∴1496404x -⨯=， ∴4916x =； (2) 解：∴1211011m m m m --=---，∴()()()()11-21110m m m m ----=-，∴222123110m m m m -+--+-=-，∴23580m m --=，∴()()3810m m -+=， ∴183m =，21m =-， ∴m 的值为83或1-． 【点睛】本题主要考查了新定义的知识，涉及到了解一元一次方程，解一元二次方程，整式的混合计算等知识，正确理解题意是解题的关键．20．（2022·浙江·杭州育才中学八年级期中）某商场对某种商品进行销售调整．已知该商品进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，现进行降价处理．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求这两次中平均每次下降的百分率．(2)经调查，该商品每降价0.5元，平均每天可多销售4件．若要使每天销售该商品获利510元，则每件商品应降价多少元？【答案】(1)该商品平均每次下降的百分率为10%；(2)每件商品应降价1.5元或2.5元．【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为x ，根据该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32．4元，列一元二次方程，求解即可；（2）设每件商品应降价m 元，根据每天要想获得510元的利润，列一元二次方程可得（40-30-m ）（48+8m ）=510，再解方程即可．(1)解：设每次降价的百分率为x ， 根据题意，得40（1-x ）2=32.4，解得x 1=0.1=10%，x 2=1.9=190%（不合题意，舍去），答：该商品平均每次下降的百分率为10%；(2)设每件商品应降价m 元， 根据题意，得（40-30-m ）（48+8m ）=510，整理得：2416150m m ，解得121.5, 2.5,m m答：每件商品应降价1.5元或2.5元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立合适的等量关系是解题的关键．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（2022·江苏·九年级专题练习）解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个新的未知数去代替它，从而使方程得到简化，这叫换元法．先阅读下面的解题过程，再解出右面的两个方程：例：解方程：30=．t =（t ≥0）∴原方程化为2t ﹣3＝0 ∴32t = 而32t =＞032=∴94x = 请利用上面的方法，解出下面两个方程：(1)80x +=(2)60x =【答案】(1)x ＝4(2)x ＝5【解析】【分析】（1t ，将方程变形为2280t t +-=，解出t 即可求出x ；（2()0t t ≥，将方程变形为220t t +-=，解出t 即可求出x ．(1)t =，将原方程转化为2280t t +-=，解得，12t =，24t =-，而20t => ，2=，4x ∴=；(2)解：()0t t =≥，∴原方程化为220t t +-= ，解得11t =，22t =-，而10t =>，1，5x ∴=．【点睛】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观22．（2022·河南濮阳·八年级期中）如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x 2﹣6x +8＝0的两个根是2和4，则方程x 2﹣6x +8＝0就是“倍根方程”．请解决下列问题：(1)若一元二次方程x 2﹣9x +c ＝0是“倍根方程”，则c ＝______；(2)若（x ﹣1）（mx ﹣n ）＝0（m ≠0“倍根方程”，求代数式222223m mn n m n -++的值． 【答案】(1)18(2)0或35【解析】【分析】（1）根据倍根方程的定义以及根与系数的关系即可求出答案．（4）根据定义可求出n =2m 或n =12m ，代入原式后即可求出答案； (1)由题意可知：x ＝m 与x ＝2m 是方程x 2﹣9x +c ＝0的解，∴m +2m ＝9，m •2m ＝c ，∴m ＝3，c ＝18，故答案为18；(2)由（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，且该方程的两根分别为x＝1和xnm =，∴nm=2或12nm=，当n＝2m时，222222222323244m mn n m m m mm n m m-+-⋅+==++0，当n12=m时，22222222112323324154m m m mm mn nm n m m-⋅+-+==++；故代数式222223m mn nm n-++的值0或35．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义．六、（本大题共12分）23．（2022·江苏·九年级专题练习）阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2＋4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y＋4＝0①，解得y1＝1，y2＝4当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，3＝2，x4＝﹣2(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．(2)解方程：（x2＋x）2﹣4（x2＋x）﹣12＝0(3)已知非零实数a，b满足a2﹣ab﹣12b2＝0，求ab的值．【答案】(1)换元法；降次(2)x1＝2，x2＝﹣3(3)4或﹣3【解析】【分析】（1）根据解答过程归纳出银法为换元法，换元法的目的是将高次方程降为低次方程求解；（2）运用换元法求解，（3）运用因式分解法求得a＝4b或a＝﹣3b，再代入计算即可．(1)解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想；故答案为：换元法，降次；(2)解：设x2+x＝y，原方程可变为y2﹣4y﹣12＝0，解得y1＝﹣2，y2＝6．当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2，方程没有实数解；当y＝6时，x2+x＝6，∴x＝2或﹣3；原方程有两个根：x1＝2，x2＝﹣3；(3)解：（a﹣4b）（a+3b）＝0，a﹣4b＝0或a+3b＝0，所以a＝4b或a＝﹣3b，当a＝4b时，4a bb b==44；当a＝﹣3b时，3a bb b-==-33．即ab的值为4或﹣3．【点睛】本题考查了高次方程：通过换元法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．。
(完整版)一元二次方程培优提高例题
考点一、概念(1)定义:①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．,这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
（2）一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”: ①该项系数不为“0"； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题:例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ）A ()()12132+=+x x B 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 。
针对练习:★1、方程782=x 的一次项系数是 ,常数项是 。
★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值;⑵写出关于x 的一元一次方程.★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m+x n—2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ )A 。
m=n=2 B.m=2，n=1 C.n=2，m=1 D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念:使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用:利用根的概念求代数式的值;典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 .例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 。
说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察,再利用特殊根“-1”巧解代数 式的值。
数学 一元二次方程的专项 培优练习题及答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0.【解析】【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数.【详解】若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0， ①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)， 综上所述，n=0.2．解方程：（3x+1）2=9x+3．【答案】x 1=﹣13，x 2=23． 【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，可得3x+1=0或3x ﹣2=0，解得：x 1=﹣13，x 2=23． 点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.3．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0有两根α，β．（1）求m 的取值范围；（2）若111αβ+=-，则m 的值为多少？【答案】（1）14m ≥；（2）m 的值为3． 【解析】【分析】（1）根据△≥0即可求解,（2）化简11αβ+,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可. 【详解】解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m 2≥0，解得：m≥-34； （2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m 2， ∵111αβ+=-，即αβαβ+=-1, ∴2m 3m2+﹣（）=-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0 解得：m 1=﹣1，m 1=3，由（1）知m≥-34， ∴m 1=﹣1应舍去，∴m 的值为3．【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.4．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）2x 2＋4x －1＝0；（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0.【答案】（1）x 1＝－1x 2＝－12）y 1＝－14，y 2＝32. 【解析】试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1∴△=b 2-4ac=16+8=24＞0∴x=2b a -±=4122-=-⨯∴x 1＝－1＋2，x 2＝－1－2（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0[(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0即4y+1=0或-2y+3=0解得y 1＝－14，y 2＝32. 5．已知关于x 的一元二次方程()2211204x m x m +++-=． ()1若此方程有两个实数根，求m 的最小整数值；()2若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22212121184x x x x m ++=-，求m 的值． 【答案】（1）m 的最小整数值为4-；（2）3m =【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根得0∆≥,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题.【详解】（1）解：()22114124m m ⎛⎫∆=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭22218m m m =++-+29m =+方程有两个实数根0∴∆≥，即290m +≥92m ∴≥- ∴ m 的最小整数值为4-（2）由根与系数的关系得：()121x x m +=-+，212124x x m =- 由22212121184x x x x m ++=-得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭13m ∴=，25m =- 92m ≥- 3m ∴=【点睛】本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.6．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．【答案】（1）a≤174；（2）x=1或x=2【解析】【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于a的不等式，即可求出a的取值范围；（2）根据（1）确定出a的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2=0有实数根，∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤174；（2）由（1）可知a≤174，∴a的最大整数值为4，此时方程为x2﹣3x+2=0，解得x=1或x=2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．7．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．【解析】【分析】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.【详解】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，根据题意得：x(32﹣2x)=126，解得：x1=7，x2=9，∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，根据题意得：y(36﹣2y)=170，整理得：y2﹣18y+85=0．∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．8．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折.【解析】【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x元.根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+x2×20）=2240，化简，得 x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90% 60⨯.答：该店应按原售价的九折出售.9．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m （单位：件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：这20天中，该产品每天的价格y（单位：元/件）与时间t的函数关系式为：1254y t=+（t 为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：（1）直接写出m 关于t 的函数关系式；（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a 元（4a <）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.【答案】（1）2100m t =-+；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.54a ≤<.【解析】【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围【详解】（1）设该函数的解析式为:m=kx+b由题意得:98=k b 94=3k b +⎧⎨+⎩解得:k=-2,b=100∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+.（2）设前20天日销售利润为W 元，由题意可知，()1210025204W t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭ 21151002t t =-++ ()2115612.52t =--+ ∵102<，∴当15t =时，612.5W =最大. ∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元. （3）由题意得：()1210025204W t t a ⎛⎫=-++--⎪⎝⎭ ()211525001002t a t a =-+++-， ∴对称轴为：152t a =+，∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，且120t ≤≤，∴15220a +≥，∴ 2.5a ≥，∴2.54a ≤<.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.10．解方程：(x ＋1)(x －1)＝x.【答案】x 1，x 2【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x ＋1)(x －1)＝x 2-2x-1=0∵a=1，b=-c=-1∴△=b 2-4ac=8+4=12＞0∴∴x1x 2.。
数学 一元二次方程的专项 培优练习题附详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】 试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值． 试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，∴k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.2．如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，动点P 、Q 分别以3cm /s 、2cm /s 的速度从点A 、C 同时出发，点Q 从点C 向点D 移动．(1)若点P 从点A 移动到点B 停止，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，问经过2s 时P 、Q 两点之间的距离是多少cm ？(2)若点P 从点A 移动到点B 停止，点Q 随点P 的停止而停止移动，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，问经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm ？(3)若点P 沿着AB →BC →CD 移动，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点Q 从点C 移动到点D 停止时，点P 随点Q 的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ 的面积为12cm 2？【答案】（1）2cm ；（2）85s 或245s ；（3）经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．【解析】 试题分析：（1）作PE ⊥CD 于E ，表示出PQ 的长度，利用PE 2+EQ 2=PQ 2列出方程求解即可；（2）设x 秒后，点P 和点Q 的距离是10cm ．在Rt △PEQ 中，根据勾股定理列出关于x 的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴2cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是2；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，∴16-5x=±8，∴x1=85，x2=245；∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．①当0≤y≤163时，则PB=16-3y，∴12PB•BC=12，即12×（16-3y）×6=12，解得y=4；②当163＜x≤223时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则1 2BP•CQ=12（3y-16）×2y=12，解得y1=6，y2=-23（舍去）；③223＜x≤8时，QP=CQ-PQ=22-y ，则12QP•CB=12（22-y ）×6=12， 解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．考点：一元二次方程的应用．3．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10．【解析】【分析】 分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k =当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4．∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形．∴△ABC 的周长为10．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．4．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)．(1) 试说明：此方程总有两个实数根．(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.【答案】(1)()2243b ac m -=+≥0；(2)m=-1,-3.【解析】分析: （1）先计算判别式得到△=（m -3）2-4m •（-3）=（m +3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出x 1=3m ，x 2=-1，然后利用整除性即可得到m 的值． 详解: （1）证明：∵m ≠0，∴方程mx 2+（m -3）x -3=0（m ≠0）是关于x 的一元二次方程，∴△=（m -3）2-4m ×（-3）=（m +3）2，∵（m +3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x =()()332m m m --±+ ， ∴x 1=-3m，x 2=1， ∵m 为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m =-1或-3．点睛: 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．5．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ﹣2＝0…①（1）若x ＝﹣1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根；（2）对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m 的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断．(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1∴2--2=0． ∴∴另一根是2；(2)∵， ∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根6．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【答案】共有35名同学参加了研学游活动．【解析】试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．设九（1）班共有x人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x﹣30）]元，由题意得：x[100﹣2（x﹣30）]=3150，整理得x2﹣80x+1575=0，解得x1=35，x2=45，当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去．答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动．考点：一元二次方程的应用．7．已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；当m =3时，原方程为x 2﹣12x +35=0，解得：x 1=5，x 2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．综上所述：此三角形的周长为13或17．点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x =5求出m 值．8．已知:如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =cm ，6BC =cm.直线PE 从B 点出发，以2 cm/s 的速度向点A 方向运动，并始终与BC 平行，与线段AC 交于点E .同时，点F 从C 点出发，以1cm/s 的速度沿CB 向点B 运动，设运动时间为t (s) (05t <<) .(1)当t 为何值时，四边形PFCE 是矩形?(2)当ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍时，求出t 的值;【答案】（1）3011t =；（2）552t ±=。
一元二次方程培优(含答案)
一元二次方程培优卷【思维入门】1．若关于x 的一元二次方程的两根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程是 ( )A ．x 2＋3x －2＝0B ．x 2－3x ＋2＝0C ．x 2－2x ＋3＝0D ．x 2＋3x ＋2＝02．用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，此方程可变形为 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝4ac －b 24a 2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝4ac －b 24a 2 3．一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0的解为____．4．已知关于x 的一元二次方程2x 2－3kx ＋4＝0的一个根是1，则k ＝____．5．一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝____．6. 先化简，再求值：(x －1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－1，其中x 为方程x 2＋3x ＋2＝0的根．【思维拓展】7．若关于x 的方程m (x ＋h )2＋k ＝0(m ，h ，k 均为常数，m ≠0)的解是x 1＝－3，x 2＝2，则方程m (x ＋h －3)2＋k ＝0的解为( ) A ．x 1＝－6，x 2＝－1B ．x 1＝0，x 2＝5C ．x 1＝－3，x 2＝5D ．x 1＝－6，x 2＝28．定义运算“★”：对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a 2－3a ＋b ，如：3★5＝32－3×3＋5.若x ★2＝6，则实数x 的值是____．9．关于x 的一元二次方程为(m －1)x 2－2mx ＋m ＋1＝0.(1)求出方程的根；(2)m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？10．某文献对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．”请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的方程m－1x－1－xx－1＝0无解，方程x2＋kx＋6＝0的一个根是m.(1)求m和k的值；(2)求方程x2＋kx＋6＝0的另一个根．【思维升华】11．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－5m＋6＝0的常数项为0，则m的值是()A．2 B．3C．2或3 D．012．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋3n＝0的根，则m＋n的值是____．13．已知n为正整数，且n4＋2n3＋6n2＋12n＋25为完全平方数，则n＝____．14．若x2－||2x－1－4＝0，则满足该方程的所有根之和为____．15．若x＝－1是关于x的方程a2x2＋2 015ax－2 016＝0的一个根，则a的值为______．一元二次方程的解法【思维入门】1．若关于x 的一元二次方程的两根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程是 ( B )A ．x 2＋3x －2＝0B ．x 2－3x ＋2＝0C ．x 2－2x ＋3＝0D ．x 2＋3x ＋2＝02．用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，此方程可变形为 ( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝4ac －b 24a 2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝4ac －b 24a 2 3．一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0的解为__x 1＝1，x 2＝12__．4．已知关于x 的一元二次方程2x 2－3kx ＋4＝0的一个根是1，则k ＝__2__．5．一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝__1__．【解析】 ∵一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，∴a ＋1≠0且a 2－1＝0，∴a ＝1.6. 先化简，再求值：(x －1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－1，其中x 为方程x 2＋3x ＋2＝0的根． 解：原式＝(x －1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x －1x ＋1＝(x －1)·x ＋1－x ＋1＝－x －1. 由x 2＋3x ＋2＝0，得x 1＝－1，x 2＝－2.当x 1＝－1时，原式无意义，所以x 1＝－1舍去．当x 2＝－2时，原式＝1.【思维拓展】7．若关于x 的方程m (x ＋h )2＋k ＝0(m ，h ，k 均为常数，m ≠0)的解是x 1＝－3，x 2＝2，则方程m (x ＋h －3)2＋k ＝0的解为( B ) A ．x 1＝－6，x 2＝－1 B ．x 1＝0，x 2＝5C．x1＝－3，x2＝5 D．x1＝－6，x2＝28．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是__－1或4__．9．关于x的一元二次方程为(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.(1)求出方程的根；(2)m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？解：(1)根据题意得m≠1，Δ＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4，∴x1＝2m＋22()m－1＝m＋1m－1，x2＝2m－22()m－1＝1.(2)由(1)知x1＝m＋1m－1＝1＋2m－1，∵方程的两个根都是正整数，∴2m－1是正整数，∴m－1＝1或2.∴m＝2或3.10．某文献对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．”请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的方程m－1x－1－xx－1＝0无解，方程x2＋kx＋6＝0的一个根是m.(1)求m和k的值；(2)求方程x2＋kx＋6＝0的另一个根．解：(1)∵将分式方程m－1x－1－xx－1＝0去分母化成整式方程得(m－1)－x＝0，解得x＝m－1.又∵关于x的方程无解，∴x＝m－1是增根．∴m－1－1＝0，解得m＝2.∵方程x2＋kx＋6＝0的一个根是m，即x＝2.∴22＋2k＋6＝0.解得k＝－5.(2)x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3.【思维升华】11．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－5m＋6＝0的常数项为0，则m的值是(B)A．2 B．3C．2或3 D．012．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋3n＝0的根，则m＋n的值是__－3__．13．已知n为正整数，且n4＋2n3＋6n2＋12n＋25为完全平方数，则n＝__8__．【解析】易知n＝1，n＝2均不符合题意，所以n≥3，此时一定有(n2＋n＋2)2＝n4＋2n3＋5n2＋4n＋4＜n4＋2n3＋6n2＋12n＋25，(n2＋n＋4)2＝n4＋2n3＋9n2＋8n＋16≥n4＋2n3＋6n2＋12n＋25，而n4＋2n3＋6n2＋12n＋25为完全平方数，所以一定有n4＋2n3＋6n2＋12n＋25＝(n2＋n＋3)2，整理得n2－6n－16＝0，解得n＝8(负根n＝－2舍去)．2x－1－4＝0，则满足该方程的所有根之和为．14．若x2－||15．若x＝－1是关于x的方程a2x2＋2 015ax－2 016＝0的一个根，则a的值为__2__016或－1__．【解析】∵x＝－1是关于x的方程a2x2＋2 015ax－2 016＝0的一个根，∴将x＝－1代入方程得a2－2 015a－2 016＝0，因式分解得(a－2 016)(a＋1)＝0，可化为a－2 016＝0或a＋1＝0，解得a1＝2 016，a2＝－1，则a的值为2 016或－1.。
数学 一元二次方程的专项 培优 易错 难题练习题及详细答案
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a的取值范围；（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣26aa+，x1x2=6aa+，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣66a-是是负整数，即可得66a-是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴，∴a≥0且a≠6．（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣．∵（x1+1）（x2+1）是负整数，∴﹣是负整数，即是正整数．∵a是整数，∴a﹣6的值为1、2、3或6，∴a的值为7、8、9或12．【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键．2．解方程：（3x+1）2=9x+3．【答案】x1=﹣13，x2=23．【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，可得3x+1=0或3x﹣2=0，解得：x 1=﹣13，x 2=23． 点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.3．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）2x 2＋4x －1＝0；（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0.【答案】（1）x 1＝－1x 2＝－12）y 1＝－14，y 2＝32. 【解析】试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1∴△=b 2-4ac=16+8=24＞0∴x=2b a -±=41222-=-±⨯∴x 1＝－1，x 2＝－1 （2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0[(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0即4y+1=0或-2y+3=0解得y 1＝－14，y 2＝32.4．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x 1=x 2=﹣1．【解析】【详解】分析：（1）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况.（2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.详解：（1）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b ac a a a ∆=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=，解得：121x x ==．点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-， 当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.5．淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售的A 商品的成本为30元/件，网上标价为80元/件．（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A 商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A 商品的售价为39.2元/件？（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A 商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A 商品．在“双十一”购物活动当天，乙网店先将A 商品的网上标价提高a %，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A 商品数量相比原来一周增加了2a %，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价．【答案】（1）平均每次降价率为30%，才能使这件A 商品的售价为39.2元；（2）乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．【解析】【分析】（1）设平均每次降价率为x ，才能使这件A 商品的售价为39.2元，根据原标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出a 的值，再将其代入80（1+a %）中即可求出结论．【详解】（1）设平均每次降价率为x ，才能使这件A 商品的售价为39.2元，根据题意得：80（1﹣x ）2＝39.2，解得：x 1＝0.3＝30%，x 2＝1.7（不合题意，舍去）．答：平均每次降价率为30%，才能使这件A 商品的售价为39.2元．（2）根据题意得：[0.5×80（1+a %）﹣30]×1000（1+2a %）＝30000，整理得：a 2+75a ﹣2500＝0，解得：a 1＝25，a 2＝﹣100（不合题意，舍去），∴80（1+a %）＝80×（1+25%）＝100．答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣12）＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？【答案】（1）详见解析；（2）k＝32或2．【解析】【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解关于k的方程即可．【详解】（1）∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，∴该方程总有实数根；（2）() 2k12k3 x=2±＋﹣∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵a、b、c为等腰三角形的三边，∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，∴k＝32或2．【点睛】本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.7．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m （单位：件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：这20天中，该产品每天的价格y（单位：元/件）与时间t的函数关系式为：1254y t=+（t为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：（1）直接写出m关于t的函数关系式；（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a 元（4a <）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.【答案】（1）2100m t =-+；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.54a ≤<.【解析】【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围【详解】（1）设该函数的解析式为:m=kx+b由题意得:98=k b 94=3k b +⎧⎨+⎩解得:k=-2,b=100∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+.（2）设前20天日销售利润为W 元，由题意可知，()1210025204W t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭ 21151002t t =-++ ()2115612.52t =--+ ∵102<，∴当15t =时，612.5W =最大. ∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元. （3）由题意得：()1210025204W t t a ⎛⎫=-++--⎪⎝⎭ ()211525001002t a t a =-+++-， ∴对称轴为：152t a =+，∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，且120t ≤≤，∴15220a +≥，∴ 2.5a ≥，∴2.54a ≤<.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.8．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x 元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x 的值.【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7.【解析】【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.由题得：()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩解之得：108a b =⎧⎨=⎩答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克（2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-=解之得：12x =，27x =经检验，12x =，27x =均符合题意答：x 的值为2或7.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.9．已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x +a ﹣1＝0．（1）若该方程有一根为2，求a 的值及方程的另一根；（2）当a 为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a 的值及方程的根．【答案】（1）a=15，方程的另一根为12；（2）答案见解析. 【解析】【分析】（1）把x=2代入方程，求出a 的值，再把a 代入原方程，进一步解方程即可；（2）分两种情况探讨：①当a=1时，为一元一次方程；②当a≠1时，利用b 2－4ac ＝0求出a 的值，再代入解方程即可．【详解】（1）将x ＝2代入方程2(a 1)x 2x a 10-++-=，得4(a 1)4a 10-++-=，解得：a ＝15． 将a ＝15代入原方程得24x 2054x 5-+-=，解得：x 1＝12，x 2＝2． ∴a ＝15，方程的另一根为12； （2）①当a ＝1时，方程为2x ＝0，解得：x ＝0.②当a≠1时，由b 2－4ac ＝0得4－4(a －1)2＝0，解得：a ＝2或0．当a ＝2时， 原方程为：x 2＋2x ＋1＝0，解得：x 1＝x 2＝－1；当a ＝0时， 原方程为：－x 2＋2x －1＝0，解得：x 1＝x 2＝1．综上所述，当a ＝1，0，2时，方程仅有一个根，分别为0，1，－1.考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.10．阅读下面的材料，回答问题：解方程x 4﹣5x 2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x 2＝y ，那么x 4＝y 2，于是原方程可变为y 2﹣5y +4＝0 ①，解得y 1＝1，y 2＝4． 当y ＝1时，x 2＝1，∴x ＝±1；当y ＝4时，x 2＝4，∴x ＝±2；∴原方程有四个根：x 1＝1，x 2＝﹣1，x 3＝2，x 4＝﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x 2+x ）2﹣4（x 2+x ）﹣12＝0．【答案】（1）换元，降次；（2）x 1=﹣3，x 2=2．【解析】【详解】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想;（2）设x 2+x =y ，原方程可化为y 2﹣4y ﹣12=0，解得y 1=6，y 2=﹣2．由x 2+x =6，得x 1=﹣3，x 2=2．由x 2+x =﹣2，得方程x 2+x +2=0，b 2﹣4ac =1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x 1=﹣3，x 2=2．。
第二章 一元二次方程 综合题型归类 培优练习(含详解)
一元二次方程-综合题型归类 培优练习【综合题型一】一元二次方程➼➻解法【综合①】一元二次方程的解法➼➻解一元二次方程★✭分式方程★✭换元法1．（2008·浙江温州·中考真题）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．①2310x x -+=；①2(1)3x -=；①230x x -=；①224x x -=．2．（2019·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）用配方法求一元二次方程()()23616x x +-＝的实数根．3．（2019·上海·中考真题）解分式方程：228122-=--x x x x．4．（2020·湖北荆州·统考中考真题）阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x 的值．问题：解方程2250x x ++=（提示：可以用换元法解方程），()0t t =≥，则有222x x t +=，原方程可化为：2450t t +-=，续解：2212(1)121x x x x x x +++-÷+++，其中x 满足220x x --=．6．（2020·四川广元·统考中考真题）先化简，再求值：2111a a a a a a--⎛⎫-+÷ ⎪+⎝⎭，其中a 是关于x 的方程2230x x --=的根．【综合题型二】解一元二次方程➼➻根的判别式★✭韦达定理★✭换元法【综合①】根的判别式➼➻求参数取值范围★✭证明7．（2017·北京·中考真题）已知关于x 的方程()23220x k x k -+++=（1）求证：方程总有两个实数根（2）若方程有一个小于1的正根，求实数k 的取值范围8．（2013·山东淄博·中考真题）关于x 的一元二次方程()2a 6x 8x 90--+=有实根．（1）求a 的最大整数值；（2）当a 取最大整数值时，①求出该方程的根；①求2232x 72x x 8x 11---+的值．9．（2016·北京·中考真题）关于x 的一元二次方程x 2＋（2m ＋1）x ＋m 2-1=0有两个不相等的实数根．【综合②】根的判别式✭★韦达定理➼➻求参数取值范围★✭证明10．（2022·湖北十堰·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程22230x x m --=．(1) 求证：方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两个实数根分别为α，β，且25αβ+=，求m 的值．11．（2021·湖北荆门·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程26210x x m -+-=有1x ，2x 两实数根．（1）若11x =，求2x 及m 的值；（2）是否存在实数m ，满足()()126115x x m --=-？若存在，求出求实数m 的值；若不存在，请说明理由．12．（2022·四川南充·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2320x x k ++-=有实数根．(1) 求实数k 的取值范围．(2) 设方程的两个实数根分别为12,x x ，若()()12111x x ++=-，求k 的值．【综合题型三】一元二次方程的应用【综合①】一元二次方程的应用➼➻增长率问题★✭传播问题13．（2022·四川眉山·中考真题）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．(1) 求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；(2) 2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加14．（2022·广西南宁·校联考一模）有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242人患了流感．(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)若一个患流感的人打一个喷嚏喷出的病毒粒子（忽略触角近似于球体）达8000万个，且该流感病毒粒子的直径为160纳米．请完成下列填空及问题：①用科学记数法表示数据8000万个为__________个；①如图，若把8000万个病毒粒子最大纵切面圆面相切放在一条直线上，求这些病毒粒子纵切面的总直径是多少米？（参考数据：1纳米910-=米）15．（2017·广西桂林·中考真题）为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2018年该市投入基础教育经费5000万元，2020年投入基础教育经费7200万元．(1) 求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；(2) 如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算．该市计划2021年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校．若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需2000元，则最多可购买电脑多少台？【综合②】一元二次方程的应用➼➻图形问题★✭营销问题16．（2010·湖北宜昌·中考真题）如图，有一块等腰梯形的草坪，草坪上底长48米，下底长108米，上下底相距40米，现要在草坪中修建一条横、纵向的“H”型甬道，甬道宽度相等，甬道面积是整个梯形面积的213.设甬道的宽为x米.（1）求梯形ABCD的周长；17．（2021·山东日照·统考中考真题）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y （桶）与每桶降价x （元）（020x <<）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？18．（2021·山东烟台·统考中考真题）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？19．（2012·山西·中考真题）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【挑战题型一】一元二次方程➼➻阅读材料问题★✭规律问题20．（2022·湖北黄石·统考中考真题）阅读材料，解答问题：材料1为了解方程()22213360x x -+=，如果我们把2x 看作一个整体，然后设2y x ，则原方程可化为213360y y -+=，经过运算，原方程的解为1,22x =±，3,43x =±．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．材料2已知实数m ，n 满足210m m --=，210n n --=，且m n ≠，显然m ，n 是方程210x x --=的两个不相等的实数根，由韦达定理可知1m n +=，1mn =-．根据上述材料，解决以下问题：(1) 直接应用：方程42560x x -+=的解为_______________________；(2) 间接应用：已知实数a ，b 满足：422710a a -+=，422710b b -+=且a b ，求44a b +的值； (3) 拓展应用：已知实数x ，y 满足：42117m m +=，27n n -=且0n >，求241n m+的值．21．（2022·四川凉山·统考中考真题）阅读材料：材料1：若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1x 2＝c a 材料2：已知一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根分别为m ，n ，求m 2n ＋mn 2的值．解：①一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根分别为m ，n ，①m ＋n ＝1，mn ＝－1，则m 2n ＋mn 2＝mn （m ＋n ）＝－1×1＝－1(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求n mm n+的值．(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求11s t-的值．22．（2018·贵州黔东南·统考中考真题）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是、．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．23．（2022·安徽合肥·校考二模）观察下列图形中小黑点个数与等式的关系，按照其图形与等式的规律，解答下列问题：＝第1个等式：1221+=++=+＝第2个等式：4682+=+＝第3个等式：912183+=+＝第4个等式：1620324(1)写出第5个等式：________．(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示）．(3)若第n组图形中左右两边各有210个小黑点，求n．24．（2018·江苏常州·中考真题）阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想--转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ；（2）拓展：用“转化”x=的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．【挑战题型二】一元二次方程➼➻拓展问题★✭探究问题25．（2014·四川凉山·统考中考真题）实验与探究：三角点阵前n行的点数计算如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…容易发现，10是三角点阵中前4行的点数约和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24=300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系前n行的点数的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以发现．2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]=[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1]把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n=1n（n+1）2n（n+1）这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是12下列用一元二次方程解决上述问题n（n+1）设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有12整理这个方程，得：n2+n﹣600=0解方程得：n1=24，n2=25根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．请你根据上述材料回答下列问题：（1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．26．（2022·山东青岛·统考二模）实际问题：婚礼上有116名宾客，地面上水平放置了一个长方体蛋糕，要保证这116名宾客都能分得蛋糕（忽略大小，水平切割的方向只能与地面平行，垂直切割只能与地面垂直），小明说我10刀即可完成任务，你认为小明是怎样切这个蛋糕才能完成任务．问题探究：为解决这个问题我们从最简单的长方形分割开始研究．探究一：用一条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？如图1所示，一条线来分多出1部分，最多分成1+1=2部分；探究二：用2条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？如图2所示，第2条线与第一条线相交，多出2部分，最多分成1+1+2=4部分；探究三：用3条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？如图3所示，第3条线与前2条线相交，多出3部分，最多分成1+1+2+3=7部分；探究四：用4条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？如图4所示，第4条线与原来3条线相交，多出4部分，最多分1+1+2+3+4=11部分；(1)探究五：用5条直线分一个长方形，第5条线与原来4条线相交，多出部分，即最多分成部分；(2)探究六：用n条直线分一个长方形，最多可以分成部分；（用含n的代数式表示）(3)探究七：我们可以将开始提出的问题转化为切割长方体，借助以上探究长方形切割的结论如何将长方体切割成14块？我们只需要在探究三的基础上，先在长方体中竖直切割3刀最多分成7块，平行于地面切一刀，此时4刀可切成7×2=14块．探究八：如何用最少的切割次数，将一个长方体蛋糕切割成44块，请说明切割过程，无需画图；切割的方向只能与地面平行，垂直切割只能与地面垂直），小明说我10刀即可完成任务，你认为小明是怎样切这个蛋糕？请说明切割的过程，无需画图．27．（2020·山东青岛·中考真题）实际问题：某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有多少种不同的结果？模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法． 探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表①3，最大是5，所以共有3种不同的结果．（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表①所以共有5种不同的结果．（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．（2）从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．拓展延伸：（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）（2）从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果．参考答案1．①x =①1x =①10x =，23x =；①1x = 【分析】①利用公式法求解即可．①利用直接开平方法求解即可．①利用因式分解法求解即可；①利用配方法求解即可；解：①2310x x -+=； ①a =1，b =-3，c =1， ①①=（-3）2-4×1×1=5＞0，①x =即12x x ==； ①2(1)3x -=；①x -1=①1211x x == ①230x x -=； ①x （x -3）=0 ①x =0或x =3 ①10x =，23x =； ①224x x -= ①22141x x -+=+ ①()215x -=；①1x -=①1211x x ==2．1x 2x 【分析】首先把方程化为一般形式为2x 2-9x -34=0，然后变形为29x x 172﹣＝，然后利用配方法解方程． 解：原方程化为一般形式为22x 9x 340﹣﹣＝， 29x x 172﹣＝， 298181x x 1721616-++＝，29353x 416-（）＝，所以12x 【点拨】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．3．x ＝－4.【分析】首先去分母，化为整式方程，然后合并同类项，把未知数的系数化为1，最后检验求得的结果是否使原分式有意义，即可得到答案．解：去分母得2x 2－8＝x 2－2x ， 移项、整理得x 2＋2x －8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝－4．经检验：x ＝2是增根，舍去；x ＝－4是原方程的根． ①原方程的根是x ＝－4．【点拨】此题考查解分式方程，解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法；注意解分式方程要检验，避免产生增根．4．11x =-21x =-．【分析】利用因式分解法解方程t 2+4t -5=0得到t 1=-5，t 2=11=，然后进行检验确定原方程的解．解：续解：()229t +=，23t ∴+=±，解得11t =，25t =-（不合题意，舍去），1t ∴=，221x x +=，2(1)2x ∴+=，1211x x ∴=-=-经检验都是方程的解．【点拨】本题考查了换元法解方程，涉及了无理方程及一元二次方程的解法．看懂提示是解决本题的关键．换元法的一般步骤：设元、换元、解元、还元．5．x （x +1）；6【分析】先求出方程220x x --=的解，然后化简分式，最后选择合适的x 代入计算即可． 解：①220x x --= ①x =2或x =-1 ①2212(1)121x x x x x x +++-÷+++ =()221212()111x x x x x x +++÷+++-=()2222()11x x x x x ++÷++ =()()22112x x x x x ++⨯++=x （x +1）①x =-1分式无意义，①x =2当x =2时，x （x +1）=2×（2+1）=6．【点拨】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件以及解一元二次方程等知识点，化简分式是解答本题的关键，确定x 的值是解答本题的易错点．6．a 2+2a+1；16【分析】首先将括号里面通分，进而因式分解各项，化简求出即可． 解：2111a a a a a a--⎛⎫-+÷ ⎪+⎝⎭ ()()1111a a a a a a a a ⎡⎤-+-=-⨯⎢⎥-⎣⎦ ()()()1111a a a a aa+-+=⨯-()21a =+=a 2+2a+1①a 是关于x 的方程2230x x --=的根， ①a 2-2a -3=0， ①a=3或a=-1， ①a 2+a≠0， ①a≠-1， ①a=3，①原式=9+6+1=16.【点拨】此题主要考查了分式的化简求值以及一元二次方程的解，正确化简分式是解题关键． 7．（1）证明见分析；（2）10k -<<【分析】（1）证出根的判别式240b ac ∆=-≥即可完成； （2）将k 视为数，求出方程的两个根，即可求出k 的取值范围. 解：（1）证明：1,(3),22a b k c k ==-+=+22224[(3)]41(22)21(1)0b ac k k k k k ∆=-=-+-⨯⨯+=-+=-≥①方程总有两个实数根（2）()23220x k x k -+++=①3(1)2k k x +±-=①121,2x k x =+= ①方程有一个小于1的正根①011k <+< ①10k -<<【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键. 8．（1）a 的最大整数值为7．（2）①12x 4x 4==①292-【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到()644a 690∆=-⨯-⨯≥且a 60-≠，解得7a 79≤且a≠6，然后在此范围内找出最大的整数．（2）①把a 的值代入方程得到2x 8x 90-+=，然后利用求根公式法求解．①由于2x 8x 90-+=则2x 8x 9-=-，把2x 8x 9-=-整体代入所求的代数式，再变形得到()272x 8x 2-+，再利用整体思想计算即可．解：（1）根据题意() a 60{644a 690-≠∆=-⨯-⨯≥，解得 a 6{7a 79≠≤．①a 的最大整数值为7．（2）①当a=7时，原方程变形为2x 8x 90-+=， 6441928∆=-⨯⨯=，①x 4==①12x 4x 4== ①①2x 8x 90-+=，①2x 8x 9-=-． ①()()2222232x 732x 7777292x 2x 2x 16x 2x 8x 29x 8x 119112222---=-=-+=-+=⨯-+=--+-+【点拨】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握①与根的情况之间的关系是关键.9．（1）m ＞-54；（2）x 1=0，x 2=-3．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出Δ＞0，代入数据即可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）结合（1）结论，令m =1，将m =1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论． 解：（1）①关于x 的一元二次方程2x +（2m +1）x +2m ﹣1=0有两个不相等的实数根， ①Δ=()()2221411m m +-⨯⨯-=4m +5＞0， 解得：m ＞54-；（2）m =1，此时原方程为2x +3x =0， 即x （x +3）=0， 解得：1x =0，2x =﹣3．【点拨】本题考查了一元二次方程的根的情况，解一元二次方程，解决此题的关键是正确的计算． 10．(1) 见分析(2) 1m =±【分析】（1）根据根的判别式24b ac ∆=-，即可判断；（2）利用根与系数关系求出2αβ+=，由25αβ+=即可解出α，β，再根据23m αβ⋅=-，即可得到m 的值． 解：（1）()22224241(3)412b ac m m ∆=-=--⨯⋅-=+， ①2120m ≥， ①241240m +≥>，∴该方程总有两个不相等的实数根；（2）方程的两个实数根α，β，由根与系数关系可知，2αβ+=，23m αβ⋅=-， ①25αβ+=， ①52αβ=-， ①522ββ-+=， 解得：3β=，1α=-， ①23133m -=-⨯=-，即1m =±．【点拨】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 11．（1）25x =，3m =；（2）存在，2m =【分析】（1）根据题意可得①＞0，再代入相应数值解不等式即可，再利用根与系数的关系求解即可； （2）根据根与系数的关系可得关于m 的方程，整理后可即可解出m 的值． 解：（1）由题意：Δ=(−6)2−4×1×(2m −1)>0， ①m <5，将x 1=1代入原方程得：m =3， 又①x 1•x 2=2m −1=5， ①x 2=5，m =3；（2）设存在实数m ，满足()()126115x x m --=-，那么 有()1212615x x x x m -++=-⋅， 即6(21)615m m --+=-， 整理得：28120m m -+=， 解得2m =或6m =． 由（1）可知5m <， ①6m =舍去，从而2m =， 综上所述：存在2m =符合题意．【点拨】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式①的关系：（1）①＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）①=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）①＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，12b x x a +=-，12cx x a=．12．(1) k 174≤；(2) k =3【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k -2）≥0，解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到12123,2x x x x k -+==-，将等式左侧展开代入计算即可得到k 值． （1）解：①一元二次方程2320x x k ++-=有实数根． ①∆≥0，即32-4（k -2）≥0， 解得k 174≤（2）①方程的两个实数根分别为12,x x ， ①12123,2x x x x k -+==-， ①()()12111x x ++=-， ①121211x x x x +++=-， ①2311k --+=-， 解得k =3．【点拨】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．13．(1) 20% (2) 18个【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x ，根据2019年投入资金2(1)x ⨯+=2021年投入的总资金，列出方程求解即可；（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x ， 根据题意得：21000(1)1440x +=， 解这个方程得，10.2x =，2 2.2x =-， 经检验，0.220%x ==符合本题要求．答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%． （2）设该市在2022年可以改造y 个老旧小区， 由题意得：80(115%)1440(120%)y ⨯+≤⨯+， 解得181823y ≤． ①y 为正整数，①最多可以改造18个小区． 答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．14．(1) 10个人(2) ①7810⨯；①12.8米【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据“有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242人患了流感”建立方程，解方程即可得；（2）①根据科学记数法的定义（将一个数表示成10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）即可得；①利用160纳米乘以8000万即可得．（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人， 由题意得：22(1)242x +=，解得1210,12==-x x （不符题意，舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了10个人． （2）解：①8000万34781010810=⨯⨯=⨯， 故答案为：7810⨯；①9729716010810 1.6101081012.8--⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=（米）， 答：这些病毒粒子最大纵切面的总直径是12.8米．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用、科学记数法、负整数指数幂与同底数幂乘法的应用，正确建立方程和熟练掌握科学记数法是解题关键．15．(1) 该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20% (2) 2021年最多可购买电脑880台【分析】（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x ，根据2018年及2020年投入的基础教育经费金额，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据年平均增长率求出2021年基础教育经费投入的金额，再根据总价＝单价×数量，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，取其中的最大值即可．（1）解：设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x ， 根据题意得：5000（1＋x ）2=7200， 解得：x 1=0.2=20%，x 2=−2.2（舍去）．答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%；（2）解：2021年投入基础教育经费为7200×（1＋20%）=8640（万元）， 设购买电脑m 台，则购买实物投影仪（1500−m ）台， 根据题意得：3500m ＋2000（1500−m ）≤86400000×5%， 解得：m ≤880，答：2021年最多可购买电脑880台．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据2018年及2020年投入的基础教育经费金额，列出关于x 的一元二次方程；（2）根据总价＝单价×数量，列出关于m 的一元一次不等式．16．（1）256米 （2）（128-2x ）米 （3）4米解：（1）在等腰梯形ABCD 中， AD =EF =48，()121(10848)23050AE BC DF BC BE CF BC EF AB CD ⊥⊥==-=-=∴===，，，，∴梯形ABCD 的周长=AB +BC +CD +DA =50+108+50+48=256(米).···· 2分（2）甬道的总长：402482(1282)x x ⨯+-=-米.··············· 4分 （3）根据题意，得 21(1282)40(48108)132x x -=⨯⨯+.····················· 7分 整理，得x 2−64x +240=0， 解之得x 1=4，x 2=60.因6048>，不符合题意，舍去. 答：甬道的宽为4米.···························· 10分17．（1）y =10x +100；（2）这种消毒液每桶实际售价43元【分析】（1）设y 与x 之间的函数表达式为y kx b =+，将点(1,110)、(3,130)代入一次函数表达式，即可求解； （2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于x 的一元二次方程，通过解方程即可求解． 解：（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y kx b =+， 将点(1,110)、(3,130)代入一次函数表达式得：1101303k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得：10100k b =⎧⎨=⎩，故函数的表达式为：10100y x =+；（2）由题意得：(10100)(5535)1760x x +⨯--=， 整理，得210240x x --=． 解得112x =，22x =-（舍去）． 所以5543x -=．答：这种消毒液每桶实际售价43元．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量⨯每件的利润=总利润得出一元二次方程是解题关键．18．（1）50元；（2）八折【分析】（1）设每件的售价定为x 元，根据利润不变，列出关于x 的一元二次方程，求解即可； （2）设该商品至少打m 折，根据销售价格不超过（1）中的售价列出一元一次不等式，解不等式即可． 解：（1）设每件的售价定为x 元， 则有：60(1020)(40)(6040)205xx -⨯+⨯-=-⨯，解得：125060x x ==，(舍)，答：每件售价为50元；（2）设该商品至少打m 折， 根据题意得：62.55010m ⨯≤， 解得：8m ≤，答：至少打八折销售价格不超过50元．【点拨】本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程是解决问题的关键．19．（1）4元或6元；（2）九折【分析】（1）设每千克核桃降价x 元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．解：（1）设每千克核桃应降价x 元根据题意，得（60﹣x ﹣40）（100+x 2×20）=2240， 化简，得 x 2﹣10x+24=0，解得x 1=4，x 2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.①要尽可能让利于顾客，①每千克核桃应降价6元此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90%60⨯ 答：该店应按原售价的九折出售．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．20．(1) 1x ，2x =3x 4x =(2)454(3) 15【分析】（1）利用换元法降次解决问题；（2）模仿例题解决问题即可；（3）令21m =a ，-n =b ，则2a +a -7=0，2b +b =0，再模仿例题解决问题． （1）解：令y =2x ，则有2y -5y +6=0，①（y -2）（y -3）=0，①1y =2，2y =3，①2x =2或3，①1x =2x =3x =4x =故答案为：1x =，2x =3x 4x =。
中考数学一元二次方程(大题培优)附答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg ，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg ，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关． （1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？ （2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg 时，用油的重复利用率为61.6%． ①润滑用油量为80kg ，用油量的重复利用率为多少？②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？ 【答案】（1）28（2）①76%②75，84% 【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）①利用润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案； ②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，得出等式求出答案．试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg ）； （2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%； ②设润滑用油量是x 千克，则 x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x ）]}=12， 整理得：x 2﹣65x ﹣750=0， （x ﹣75）（x+10）=0， 解得：x 1=75，x 2=﹣10（舍去）， 60%+1.6%（90﹣x ）=84%，答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%． 考点：一元二次方程的应用2．已知关于x 的一元二次方程()2204mmx m x -++=. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根；（2）当4m =时，求方程的解.【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）1x =，234x =. 【解析】 【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，>0∆，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0；（2）将4m =代入原方程，求解即可. 【详解】（1）由题意得：24b ac ∆=- =()22404mm m+->，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根.（2）把4m =带入得24610x x -+=，解得1x =，2x =. 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.3．用适当的方法解下列一元二次方程： （1）2x 2＋4x －1＝0；（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0.【答案】（1）x 1＝－1x 2＝－12）y 1＝－14，y 2＝32.【解析】试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1 ∴△=b 2-4ac=16+8=24＞0∴x=2b a-±=41222-=-±⨯∴x 1＝－1，x 2＝－1 （2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0 [(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0 即4y+1=0或-2y+3=0 解得y 1＝－14，y 2＝32.4．已知关于x 的方程x 2﹣2x +m ﹣2＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)如果m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．【答案】(1)m＜3；(2)m＝2．【解析】【分析】（1）根据题意得出△＞0，代入求出即可；（2）求出m=1或2，代入后求出方程的解，即可得出答案．【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根．∴△＝4﹣4(m﹣2)＞0．∴m＜3；（2）∵m＜3 且 m为正整数，∴m＝1或2．当 m＝1时，原方程为 x2﹣2x﹣1＝0．它的根不是整数，不符合题意，舍去；当 m＝2时，原方程为 x2﹣2x＝0．∴x(x﹣2)＝0．∴x1＝0，x2＝2．符合题意．综上所述，m＝2．【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出m的值和m的范围是解此题的关键．5．关于x的一元二次方程．（1）.求证：方程总有两个实数根；（2）.若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）-1.【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根.(2)根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定的取值范围，即求出吗的最小值.【详解】(1)证明：依题意，得．，∴．∴方程总有两个实数根．由．可化为：得，∵方程的两个实数根都是正整数，∴．∴．∴的最小值为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.6．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【答案】(1)2000；(2)2米【解析】【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程【详解】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：4600022000x-﹣46000220001.5x-= 4解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解;答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56解得：x=2或x=263（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．7．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．8．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．【答案】（1）换元，降次；（2）x1=﹣3，x2=2．【解析】【详解】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想;（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．9．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．【答案】（1）证明见解析；（2）x1=﹣，x2=﹣1或【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程的判别式△=b2﹣4ac的结果判断即可，当△＞0时，有两个不相等的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-ba，x1•x2=ca，表示出两根的关系，得到x1，x2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.试题解析：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣35）2+365，∴△＞0，则方程有两个不相等的实数根；（2）∵x1•x2=ca=﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，∴x1，x2异号，又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，∴m﹣3=﹣2，即m=1，方程化为x2+2x﹣1=0，解得：x1=﹣x2=﹣1，若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2，∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，方程化为x2﹣2x﹣25=0，解得：x1=1，x210．若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”．（1）一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，则a＝；（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4＝0的两根，求它们的“x牵手点”．【答案】（1）（1，0），a＝﹣2；（2）“x牵手点”为（12-，0）或（12，0）.【解析】【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；（2）根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x2-4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种情况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x牵手点”．【详解】解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，所以x＝1，即一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），由于一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，所以0＝a+2，解得a＝﹣2；（2）∵y＝ax+1与y＝bx﹣1为一对“x牵手函数”∴11a b-=，∴a+b＝0．∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0的两根∴a+b＝k＝0，∴x2﹣4＝0，∴x1＝2，x2＝﹣2．①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1的“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；②若a＝﹣2，b＝2则y＝﹣2x+1与y＝2x﹣1的“x牵手点”为（12，0 ）∴综上所述，“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭或（12，0）【点睛】本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．。
一元二次方程达标训练卷(培优题)
一元二次方程达标训练卷（培优题）一．选择题（共6小题）1．若x2+xy+y＝14，y2+xy+x＝28，则x+y的值为（）A．﹣7B．6C．﹣7或6D．﹣6或72．若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2020的值为（）A．2019B．2020C．2021D．20223．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：如图，画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，在斜边AB上截取BD＝，则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．BC的长C．CD的长D．AD的长4．关于x的一元二次方程ax2+bx＝c（ac≠0）一个实数根为2022，则方程cx2+bx＝a一定有实数根（）A．2022B．C．﹣2022D．﹣5．满足（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6的所有实数对（x，y），使取最小值，此最小值为（）A．B．C．D．6．可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（）A．CD的长B．BD的长C．AC的长D．BC的长二．填空题（共7小题）7．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根是2m+1和m﹣4，则＝．8．已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+4m2﹣2019m﹣2023的值为．9．已知m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则m3﹣10m＝．10．若方程x2﹣6x﹣k﹣1＝0与x2﹣kx﹣7＝0仅有一个公共的实数根，则k的值为．11．如果多项式9x2+mx+49是一个完全平方式，则常数m＝．12．已知，则（a+b）•c＝．13．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax1+b）2．其中正确的．A．只有①②④B．只有①②③C．①②③④D．只有①②三．解答题（共16小题）14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，连接CD．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E，连接CE．（1）求∠DCE的度数．（2）设BC＝a，AC＝b．①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根吗？说明理由．②若D为AE的中点，求的值．15．观察下面方程的解法x4﹣13x2+36＝0解：原方程可化为（x2﹣4）（x2﹣9）＝0∴（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）＝0∴x+2＝0或x﹣2＝0或x+3＝0或x﹣3＝0∴x1＝2，x2＝﹣2，x3＝3，x4＝﹣3你能否求出方程x2﹣3|x|+2＝0的解？16．在一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题．老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：（x2﹣x）2﹣（x2﹣x）+12＝0学生甲：老师，这个方程先去括号，再合并同类项，行吗？老师：这样，原方程可整理为x4﹣2x3﹣7x2+8x+12＝0，次数变成了4次，用现有知识无法解答．同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点？学生乙：老师，我发现x2﹣x是整体出现的，最好不要去括号！老师：很好，我们把x2﹣x看成一个整体，用y表示，即x2﹣x＝y，那么原方程就变为y2+8y+12＝0．全体学生：（同学们都特别高兴）噢，这不是我们熟悉的一元二次方程吗？！老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然一元二次方程y2+8y+12＝0的根是y1＝6，y2＝2，那么就有x2﹣x＝6或x2﹣x＝2．学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x1＝3，x2＝﹣2，x3＝2，x4＝﹣1，嗬，有这么多根啊！老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法．在这里使用它的最大妙处在于降低了原方程的次数，这是一种重要的转化方法．全体同学：OK，换元法真神奇！现在，请你用换元法解下列分式方程：．17．多项式4a2+1加上一个单项式后，正好成为一个完全平方式，那么所加上的单项式可能有哪些？请你写出所有可能的单项式．18．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长．19．今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在原售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值．20．已知：关于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0．（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．21．甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？22．已知一元二次方程x2﹣2（m+2）x+2m2﹣1＝0有两个根x1和x2，并且，求m 的值．23．已知非零实数a，b满足a2+ab+b2+a﹣b+1＝0，求的值．24．方程x2﹣ax+4a＝0仅有整数根，求a．25．实数a，b，c满足：＝，求abc的值．26．设a+b+c+3＝2（），求a2+b2+c2的值．27．若关于x的一元二次方程mx2+5（2m﹣3）x﹣150＝0有两个不等负整数根，求整数m 的值．28．如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD中，点G，E，F分别在CD，AD，AB上，且DG＝1m，AE＝AF＝x，在△AEF，△DEG，五边形EFBCG三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元．（1）当x＝2时，小正方形ABCD种植花卉所需的费用；（2）试用含有x的代数式表示五边形EFBCG的面积；（3）当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？29．农历虎年之际，某社区为了突出浓浓年味，计划购买A与B两种贴花共500张．已知A 贴花的售价是每张15元，B贴花的售价是每张30元，共花费9000元．（1）求计划购买多少张B贴花？（2）为了节省费用，社区工作人员最终在网上购买，A贴花每张售价减少了，B贴花每张售价也便宜了m元．现在在（1）的基础上购买B贴花的数量增加了m张，总数量不变，并且总费用比原计划减少了（2000+10m）元，求m的值．。
人教版九年级上册数学一元二次方程培优习题附答案学生版
人教版九年级上册数学一元二次方程培优习题附答案一、单选题1．对于任意的实数，代数式2−5+10的值是一个（）A．正数B．负数C．非负数D．无法确定2．已知实数x，y满足26336−276=1且2≠2，则2+22−2的值为（）A．54B．45C．12D．23．如果x2+2（1－2m）x+9=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方公式，则m等于（）. A．1B．-1C．－1或1D．－1或24．已知α，β是方程x2+2014x+1=0的两个根，则（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）的值为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题5．某商品原价100元，连续两次涨价后，售价为144元．若平均增长率为x，则x=。
6．若关于的一元二次方程(−1)2−4+2−1=0的一根是0，则＝. 7．已知（x﹣2016）2+（x﹣2018）2=80，则（x﹣2017）2=．三、解答题8．某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元。
为了迎接“六一”儿童节和扩大销售，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，并且尽快减少库存，那么每件童装应降价多少元？9．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请用一元二次方程的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，那么经过三轮感染后，被感染的电脑共有多少台？10．计算①3x2﹣3=2x（用配方法解）②4（x﹣1）2﹣9（3﹣2x）2=0．11．春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？四、综合题12．已知：关于的一元二次方程B2−(4−3)+3−3=0（1）求证：无论取何值，方程都有实根；（2）若=−1是该方程的一个根，求的值；（3）若方程的两个实根均为正整数，求的值(为整数)．13．已知关于x的一元二次方程2+3B+3−1=0有两个实数根1，2.（1）若1=22，求k的值.（2）若1<1，2>1，求k的取值范围.14．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．（1）设每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元；（用x的代数式表示）（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．15．网购已经成为一种时尚，某网络购物平台“双十一”全天交易额逐年增长，2016年交易额为500亿元，2018年交易额为720亿元。
九年级数学上册-一元二次方程(选择题)专题培优训练100题【含答案】
一、单选题1．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值是（）A．﹣2B．﹣1C．1D．22．下列方程是一元二次方程的是（）A．3x2−6x+2B．x2−y+1=0C．x2=4D．1x+x2=2 3．若x＝5是方程x2﹣6x+k＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A．1B．2C．3D．44．已知关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜13B．k＞- 1 3C．k＜13且k≠0D．k＞- 13且k≠05．将一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0配方，所得的方程是（）A．（x﹣2）2＝11B．（x﹣2）2＝3C．（x+2）2＝11D．（x+2）2＝36．在下列方程中，是一元二次方程的是（）。
A．3(x−2)+x=1B．x2+2x=1x C．2x2=1−3x D．x2−x3+3=0 7．一元二次方程x2＋x－1＝0根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判断8．一元二次方程4x2﹣2x+ 14=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断9．已知关于x的一元二次方程mx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m≤1B．m<1C．m≤1，且m≠0D．m<1，且m≠010．用配方法方程x2+6x﹣5=0时，变形正确的方程为（）A．（x+3）2=14B．（x﹣3）2=14C．（x+6）2=4D．（x﹣6）2=411．下列一元二次方程中常数项为0的是（）A．x2+x＝1B．2x2﹣x+2＝0C．3（x2+x）＝3x+1D．﹣x2+x＝x212．一元二次方程x2+3=2x的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根13．下列选项中的方程，是一元二次方程的为（）A．x+ 1x2＝1B．x2+2y﹣3＝0C．3x2＝1D．x3﹣2x+1＝014．一元二次方程x2+4x+5=0的根的情况是（）A．无实数根B．有一个实根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根15．用配方法解方程x2+8x﹣9=0时，此方程可变形为（）A．（x+4）2=7B．（x+4）2=25C．（x+4）2=9D．（x+4）2=﹣716．一元二次方程x2−2x−3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是() A．1,−2,−3B．1,−2,3C．1,2,3D．1,2,−3 17．一元二次方程4x2−2x+14=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断18．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．x2+ 3x＝0B．y2﹣3x+2＝0C．x2＝5x D．x2﹣4＝（x+1）219．下列方程是一元二次方程的是（）A．2x+1=0B．x2=3C．y+x=1D．−1x−2x2=4 20．如果2是一元二次方程x2=c的一个根，那么常数c是（）A．2B．-2C．4D．-421．下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0；②x2+1x2−3=0；③x2−4+x5=0；④3x=x2．其中是一元二次方程的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个22．关于x一元二次方程x2－kx－6＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定根的情况23．已知1是关于x的一元二次方程(m－1)x2+x+1=0的一个根，则m的值是（）A．1B．－1C．0D．无法确定24．方程x2+2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．1，2，3B．1，2，﹣3C．1，﹣2，3D．﹣1，﹣2，3 25．用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可化为（）A．（x+4）2=9B．（x﹣4）2=9C．（x+8）2=23D．（x﹣8）2=9 26．方程x2−4=0的解是（）A．x1=2，x2=−2B．x=0C．x1=x2=2D．x1=x2=−227．一元二次方程x2+2x＝0的根是（）A．x1＝0，x2＝2B．x1＝0，x2＝﹣2C．x1＝1，x2＝﹣2D．x1＝1，x2＝228．方程x2=x的解是（）A．x=1B．x=0C．x1=1，x2=0D．x1=﹣1，x2=029．一元二次方程2021x2−x+2021=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定30．关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．1B．-1C．2D．-231．某广场绿化工程中有一块长2千米，宽1千米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间既周边留有宽度相等的人行通道（如图），并在这些人行通道铺上瓷砖，要求铺瓷砖的面积是矩形空地面积的12，设人行通道的宽度为x千米，则下列方程正确的是（）A．（2﹣3x）（1﹣2x）=1B．12（2﹣3x）（1﹣2x）=1C．14（2﹣3x）（1﹣2x）=1D．14（2﹣3x）（1﹣2x）=232．为了促使药品及医用耗材的价格回归合理水平，减轻群众就医负担，国家近几年大力推进带量采购制度改革，在改革推进的过程中，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（）A．100(1−x)2=81B．100(1+x)2=81C．100x2=81D．100(1−x%)2=8133．方程（x﹣1）（x﹣2）=1的根是（）A．x1=1，x2=2B．x1=﹣1，x2=﹣2C．x1=0，x2=3D．以上都不对34．用配方法解方程x²-4x-1=0，方程应变形为（）A．(x+2)2=3B．(x+2)²=5C．(x-2)²=3D．(x-2)²=535．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们规定一个新数i，使其满足i2=﹣1（即x2=﹣1方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对任意正整数n，我们可得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1，那么，i+i2+i3+i4+…+i2016+i2017的值为（）A．0B．1C．﹣1D．i36．若方程x2﹣4x﹣3=0的两实根为x1、x2，则x1+x2的值为（）A．﹣3B．3C．﹣4D．437．函数y=x2−2px+2p2+2p−1的最小值是（）A．−3B．−2C．−1D．038．方程(x+0.5)(x−2)=0的根为（）A．x1=2，x2=−0.5B．x1=−2，x2=0.5C．x1=2，x2=0.5D．x1=−2，x2=−0.539．某县第一中学学校管理严格、教师教学严谨、学生求学谦虚，三年来中考数学A等级共728人.其中2016年中考的数学A等级人数是200人，2017年、2018年两年中考数学A等级人数的增长率恰好相同，设这个增长率为x，根据题意列方程，得（）A．200(1+x)2=728B．200+200(1+x)+200(1+x)2=728 C．200+200x+200x2=728D．200(1+2x)=72840．若关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k≥-1且k≠0B ．k≥-1C ．k≤1D ．k≤1且k≠041．二元二次方程组{(x +1)(y +2)=0y =x 2的解的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．442．中国正在布局以5G 等为代表的战略性新兴产业，据统计2020年我国已建成5G 基站a 万座，计划2022年基站数量达到b 万座，如果每年的平均增长率为x ，则以下关系正确的是（ ） A ．a （1＋x ）＝b B ．b （1－x ）＝a C ．a （1＋2x ）＝bD ．a （1＋x ）＝b43．已知关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞2B ．a ＜2C ．a ＜2且a≠1D ．a ＜﹣244．若关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（ ）A ．-2B ．2C ．4D ．-345．若a>0，b<0，c<0则方程ax 2+bx+c=0的根的情况为（ ）A ．有两个同号的实数根B ．有两个异号的实数根，且负根的绝对值大C ．有两个异号的实数根，且正根的绝对值大D ．无实数根46．已知一元二次方程 x 2−3x +1=0 的两根为 x 1 ， x 2 ，则 x 12−5x 1−2x 2 的值为（ ）A ．-7B ．-3C ．2D ．547．某种植基地2017年蔬菜产量为80吨，预计2019年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）． A ．80(1+x)2=100 B ．100(1−x)2=80 C ．80(1+2x)2=100D ．80(1−x)2=10048．设x 1，x 2是方程2x 2﹣6x+3=0的两根，则x 12+x 22的值是（ ）A ．15B ．12C ．6D ．349．下列方程中，一元二次方程是（ ） A ．x 2+ 1x2 =0B ．（2x ﹣1）（x+2）=1C ．ax 2+bx=0D ．3x 2﹣2xy ﹣5y 2=050．已知两个整数a，b，有2a+3b=31，则ab的最大值是（）A．35B．40C．41D．4251．某文化衫经过两次涨价，每件零售价由81元提高到100元.已知两次涨价的百分率都为x，根据题意，可得方程（）A．81(1+x)2＝100B．81(1﹣x)2＝100C．81(1+x%)2＝100D．81(1+2x)＝10052．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2020年投入3000万元，预计2022年投入5000万元.设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．3000x2=5000B．3000(1+x)2=5000C．3000(1+x％)2=5000D．3000+3000(1+x)+3000(1+x)2=500053．某企业因春节放假，二月份产值比一月份下降20%，春节后生产呈现良好上升势头，四月份比一月份增长15%，设三、四月份的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．2(1−20%)(1+x)=1+15%B．(1+15%)(1+x)2=1−20%C．2(1+15%)(1+x)=1−20%D．(1−20%)(1+x)2=1+15%54．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为300元的药品进行连续两次降价后为243元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（A．300（1﹣x）2=243B．243（1﹣x）2=300C．300（1﹣2x）=243D．243（1﹣2x）=30055．关于x的方程ax2−(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1−x1x2+x2=1−a，则a的值是（）A．1B．-1C．1或-1D．256．设m，n分别为一元二次方程x2+2x-1=0的两个实数根，则m +n+mn的值为（）A．-3B．3C．-2D．257．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0,N：cx2+bx+a=0，其中a+c=0，以下列四个结论中，错误的是…….（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根；D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是58．下列方程中没有实数根的是（）A．x2＋2x＋1＝0B．x2﹣x＋2＝0C．x2＋2x＝0D．2x2﹣x﹣1＝059．若a−b+c=0，则一元二次方程ax2−bx+c=0(a≠0)必有一根是（）A．0B．1C．-1D．无法确定60．由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降。
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一元二次方程培优训练一部分1.已知方程3ax 2-bx-1=0和ax 2+2bx-5=0,有共同的根-1, 则a= , b= .2．关于x 的方程03)3(12=+---x x m m 是一元二次方程，则=m ；3.设b a ,是一个直角三角形两条直角边的长，且12)1)((2222=+++b a b a ，则这个直角三角形的斜边长为 ；4. 当_______=x 时，代数式21212--x x 的值为0 5. 已知：21=-m ，则关于x 的二次方程04)5()1(2=++-+x m x m 的解是 ；6． 方程x x =+2)32(的解是 ；7.若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为1,则a+b+c= ;若有一个根为-1,则b 与a 、c 之间的关系为 ;若有一个根为零,则c= .8.某食品连续两次涨价10%后价格是a 元,那么原价是_______ ___.9.长方形铁片四角各截去一个边长为5cm 的正方形, 而后折起来做一个没盖的盒子,铁片的长是宽的2倍,作成的盒子容积为 1. 5 立方分米, 则铁片的长等于________,宽等于________.10、2690y y +-+=则xy=11、写出以4，-5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是12、在一条线段上取n 个点，这n 个点连同线段的两个端点一共有（n+2）个点，若以这（n+2）个点中任意两点为端点的线段共有45条，则n= 13、方程0322=+x x 的根是 。
14、如果()4122++-x m x 是一个完全平方公式，则=m 。
15、已知两个数的差等于4，积等于45，则这两个数为 和 。
16、当____=m 时，关于x 的方程()()021122=--+-x m x m 为一元二次方程。
17．（x －3）2=1的根是 ．413=+x x 18．方程(x +1)( x －2)=0的解是 ．19．写出一个一元二次方程，使它的一个根为2 ．20．当x = 时，代数式的值相等的值与代数式3242++x x x ．21．我市某企业为节约用水，自建污水净化站，7月份净化污水3000吨，9月份增加到3630吨，则这两个月净化污水量的平均每月增加的百分率为 ．22．一个立方体的表面积是384cm 2，求这个立方体的棱长. 设这个立方体的棱长为x cm ，根据题意列方程得 ，解方程得x= ．23．在一幅长80cm ，宽50cm 的长方形风景画的四周镶一条金色纸边（如图所示），制成一幅长方形挂图. 如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，则由题意列方程得 ．二部分1、关于y 的一元二次方程()432-=-y y 的一般形式是 。
2、732=-x x 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
3、方程0322=+x x 的根是 。
4、用配方法解方程0642=--x x ，则___6___42+=+-x x ， 所以_______,21==x x 。
5、当 ≥0时，一元二次方程02=++c bx ax 的求根公式为 。
6．一个三角形的两边长为3、6，第三条边长是方程0)4)(2(=--x x 的根，则这个三角形的周长是 ………………………………………（ ）A ．11B ．13C ．11或13D ．无法角定 7、下列方程是一元二次方程的是（ ）A 、12=+y xB 、()32122+=-x x x C 、 D 、022=-x 8、关于x 的一元二次方程02=+k x 有实数根，则（ ）A 、k ＜0B 、k ＞0C 、k ≥0D 、k ≤09、将方程()n m x x x =-=--22032化为的形式，指出n m ,分别是（ ） A 、31和 B 、31和- C 、41和 D 、41和-10、方程0)2)(1(=-+x x x 的解是 ；11、当y= 时，y 2-2y 的值为3；12、已知方程x 2+kx+3=0 的一个根是 - 1，则k= ____, 另一根为 ____；13、写出以4，－5为根且二次项系数为1的一元二次方程是 _；14、某校去年投资2万元购买实验器材，预期今明两年的投资总额为8万元，若该校这两年购买实验器材的投资的年平均增长率为x ，则可列方程___________________；15、设b a ,是一个直角三角形两条直角边的长，且12)1)((2222=+++b a b a ，则这个直角三角形的斜边长为 ；三部分1.方程不一定是一元二次方程的是 ( )A.(a-3)x 2=8 (a ≠0)B.ax 2+bx+c=0232057x +-= 2、若关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是（ ） A 、 1 B 、 -1 C 、 1或-1 D 、123、把方程2830x x -+=化成()2x m n +=的形式，则m 、n 的值是（ ）A 、4，13B 、-4，19C 、-4，13D 、4，194、已知直角三角形的两条边长分别是方程214480x x -+=的两个根，则此三角形的第三边是（ ）108 A B C D 、6或8 、 10或、 或、5. 关于x 的方程0)2(22=++--b ax x a a 是一元二次方程的条件是----（ ）A 1-≠aB 2≠aC 1-≠a 且2≠aD 1-≠a 或 2≠a6等腰三角形的两边的长是方程091202=+-x x 的两个根，则此三角形周长为A. 27B. 33C. 27和33D. 以上都不对7. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为 ( )A ．x(x ＋1)＝1035B ．x(x －1)＝1035×2C ．x(x －1)＝1035D ．2x(x ＋1)＝10358. 一元二次方程2x(x －3)＝5(x －3)的根为 ( )A ．x ＝52B ．x ＝3C ．x 1＝3，x 2＝52D ．x ＝－529.已知06522=+-y xy x ，则x y :等于（ ） A. 161或 B.16或 C. 2131或 D. 32或 9.使分式2561x x x --+ 的值等于零的x 是 （ ） A.6 B.-1或6 C.-1 D.-610方程x 2-4│x │+3=0的解是 （ ）A.x=±1或x=±3B.x=1和x=3C.x=-1或x=-3D.无实数根11.关于x 的方程x 2-k 2-16=0和x 2-3k+12=0有相同的实数根, k 的值是 ( )A.-7B.-7或4C.-4D.412、请判别下列哪个方程是一元二次方程（ ）A 、12=+y xB 、052=+xC 、832=+x x D 、2683+=+x x 13、请检验下列各数哪个为方程0862=+-x x 的解（ ）A 、5B 、2C 、8-D 、2-14、下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）A 、若2,42==x x 则； B 、2,632==x x x 则若； C 、2102==-+k ，k x x 则的一个根是；D 、2322+--x x x 若分式的值为零，则2=x 。
15、()22416-=++x bx x 如果，则的值为b （ ）A 、4-B 、4C 、8-D 、816、将方程()n m x x x =-=--22032化为的形式，指出n m ,分别是（ ） A 、31和 B 、31和- C 、41和 D 、41和-17、已知一元二次方程()002≠=+m n mx ，若方程有解，则必须（ ）A 、0=nB 、同号mnC 、的整数倍是m nD 、异号mn18、若的值为则的解为方程10522++=-+a a ，x x a （ ） A 、12 B 、6 C 、9 D 、1619、某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（ ）A 、%10B 、%15C 、%20D 、%25三、解一元二次方程（1） x (2x - 7) = 2x （2）x 2 -2x +4 =0（3）()()22132-=+y y （4） 2y 2+7y-3=0 （5）01232=-x（6）9)2(2=+y （7）0422=--x x（8）365)7(-=-x x x （9） 0742=-x （10） x x 232=（11）()()22132-=+y y （12） 0242=-+-x x （13）05422=--x x （14）()()x x x =+-2323 （15）04)23(5)23(2=+---x x （16）4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x1、试证明关于x 的方程012)208(22=+++-ax x a a 无论a 取何值，该方程都是一元二次方程；2、将进货单价40元的商品按50元出售，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，就会少销售10个。
为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个。
3、有一边为3的等腰三角形，它的两边长是方程240x x k -+=的两根，求这个三角形的周长，（8分）4、某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元。
为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施。
经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件。
求（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案。
（10分）5、已知)0(04322≠=-+y y xy x ，求yx y x +-的值。
6.国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策. 现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时, 每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x 元(叫做税率x%), 则每年的产销量将减少10x 万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少?7、已知)0(04322≠=-+y y xy x ，求yx y x +-的值。
23．（本题9分）已知关于x 的方程01)(222=-++-a ax x a a（1）当a 为何值时，方程是一元一次方程；（2）当a 为何值时，方程是一元二次方程；（3）当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a 的值．24．（本题8分）如图，在△ABC 中，∠B =90度，AB =6cm ，BC点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 边向C 点以2cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、B △PBQ 的面积等于8cm 2．。