高中数学经典题型全解析试读 (1)
《提分王》高中数学经典题型全解析
《高中数学经典题型全解析》昵称：提分王第一篇预备知识第1课集合与简单逻辑知识1. 集合的概念与运算1.1集合的交、并、补的运算与参数取值范围1.2集合的包含关系与参数取值范围1.3集合元素的互异性与字母的取值1.4集合元素的个数与子集的个数2. 必要条件、充分条件、充要条件2.1充分不必要条件的判断与参数取值范围2.2 必要不充分条件的判断与参数取值范围2.3 既不充分也不必要条件的判断2.4充要条件的判断与参数取值范围3. 全称量词命题与存在量词命题及其否定3.1全称命题与特称（存在性）命题的否定3.2命题的否定与否命题的区别3 .3 “不都”还是“都不”3.4反证法与命题的否定3.5 简易逻辑知识与推理论证问题4. 集合与简单逻辑知识中常见的错误4.1 把交集当成习惯4.2 把区间等同于集合4.3 拿空集不当集合4.4 注意{,}A a b⊆与{,}A a b=的区别4.5 错把“推出”理解为“解出来”4.6 命题的“否定” 想当然第2课相等关系与不等关系1.不等式的性质与不等关系1.1不等式的基本性质与“糖水原理”的应用1.2利用不等式性质求“差”、“商”、“倒数”范围1.3不等式222a b ab+≥及其在求最值中的应用2. 基本不等式的基本特征2.1 在1a b+=前提下ab有自己的取值范围2.2 基本不等式必须满足“a、b均为正数”2.3 基本不等式可以同向叠加使用2.4 基本不等式在证明中的应用2.4几种常见的不等式证明方法3. 不等式中的最值定理3.1和定积最大，积定和最小3.2 求函数最小值本质是找其图像的最低点3.3()()f xg x≥不一定在取等号时()f x有最小值3.4 条件最值问题不能抛开条件等式3.5 函数的最值是定义域内的某个函数值3.6多次连用最值定理3.7* 多个正数的算数平均数不小于其几何平均数4.创造最值定理适宜的条件4.1 负数,x y与正数,x y和的最值为相反数4.2 求x y+的最值不能忽视,x y可能为负数4.3 x y c++(c非零)的最值不是互为相反数4.4 从目标函数出发整体代换定值4.5 从条件出发整体代换目标函数4.6 配凑系数使“和”为定值4.7 待定系数法可以为配凑定值提供帮助4.8实际生活中的基本不等式5. 掌握“1”的代换可基本搞定不等式中的最值问题5.1 已知“1a b+=”求“11a b+”的最值5.2 已知“111a b+=”求“a b+”的最值5.3 分母之和为常数是用“1”的代换的特征5.4 曲线过一点,为“1”的代换提供“定值”5.5* 隐藏在三角最值中的“1”的代换5.6换元法可凸显“1”的代换的典型特征5.7 含有不等关系m n a+≤的最值问题5.8 “1”的代换在不等式恒成立中的应用5.9 “1”的代换与1aa b+型最值问第4课从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式1．用函数观点解一元二次不等式1.1 用函数观点理解方程与不等式1.2 二次函数、一元二次不等式、一元二次方程的关系1.3用二次函数图像解一元二次不等式2.解一元二次不等式2.1二次三项式的因式分解2.2用配方法解一元二次不等式2.3用分解因式法解一元二次不等式2.4 用求根公式法解一元二次不等式2.5用整体思想求解不等式2[()]()0(0)f x mf x n++><2.6初中十字相乘法回顾3.已知解集求参数的值或取值范围3.1一元二次不等式解集的意义3.2两个具有相同参数的相关不等式的关系3.3观察解集特点化为两根的关系3.4一元二次不等式组()a f x b≤≤的解集4. 分式不等式与高次不等式的解法4.1移项通分求解分式不等式4.2可化为一元二次不等式的分式不等式4.3 数轴标根法解高次不等式5*. 含有绝对值的不等式5.1利用绝对值的定义5.2利用绝对值的几何意义5.3两边平方解绝对值不等式5.4零点分区间讨论法解不等式6.含参数的一元二次不等式的解法6.1能分解先求根，再按两根的大小讨论6.2判别式的符号不确定，先按判别式讨论6.3二次项系数a的符号不确定，先按a讨论7. 不等式有解与存在性问题7.1 形如()0f x<的不等式有解等价于min()0f x<7.2 形如()a f x<的不等式有解等价于max()a f x<7.3 形如()a f x>的不等式有解等价于min()a f x>7.4 补集法将存在性问题转为恒成立问题第二篇函数的概念和性质第4课函数的概念及其表示1.函数是一种特殊的对应关系1.1 函数是刻画两个变量间关系的数学模型1.2 函数是变量所在集合的元素间的对应关系1.3函数是从非空数集A到数集B的单值对应1.4定义域内函数的自变量都有且仅有唯一象1.5定义域内的每一个值与函数值不能一对多2.函数与函数的关系2.1 函数的三要素构成函数的名片2.2 图象一样的函数就是同一函数2.3同族函数的解析式、值域相同定义域不同2.4从A到B的函数值域C是B的子集3.函数的定义域3.1简单的不等式（组）的求法3.2使解析式有意义自变量取值范围叫定义域3.3复合函数定义域也是自变量x的取值范围3.4 求函数解析式遇到的函数定义域问题3.5用区间或集合表示函数定义域4.函数的值域4.1先内后外求复合函数的函数值4.2 赋值法求函数的值4.3函数值组成的集合构成函数的值域4.4函数图象的左右平移不改变函数的值域4.5函数值域与集合的交汇4.6函数的值与数学竞赛5.函数的对应法则5.1 代入法求函数的解析式5.2已知函数的名称用待定系数法求解析式5.3构造解方程组用消去法求函数解析式5.4用换元法（配凑法）求函数)(xf的解析式5.5根据两函数图象的关系进行坐标转移法6.函数的保值倍值问题6.1典型的定义域与值域关系的函数模型6.2已知值域求定义域区间长度6.3方程思想研究函数的保值倍值问题第5课函数的基本性质5.1函数的单调性的定义5.1.1用数学语言刻画函数图象的上升与下降5.1.2函数单调性是研究函数局部的性质5.1.3式子2121()()f x f xx x--符号与函数单调性关系5.1.4函数的单调区间一般不可以用“∪”5.1.5在区间(,]a-∞和[,)a+∞单调性一致的函数R上单调5.2判断或证明函数单调性或单调区间5.2.1定义是证明函数单调性的重要手段5.2.2 定义法证明中绝对不能出现循环论证5.2.3作差的结果应化成式子的积商的形式5.2.4数形结合判断函数的单调性5.2.5 定性判断函数的单调性5.3函数单调性的简单应用5.3.1用函数单调性解不等式5.3.2 函数的最值首先应该是函数值5.3.3运用单调性研究函数的最值5.3.4 根据函数单调性求参数的取值范围5.4函数的奇偶性定义5.4.1 用数量关系可以刻画函数图象的对称性5.4.2判断函数的奇偶性优先考虑函数定义域5.4.3函数奇偶性的定义及奇偶性和定义域的关系5.4.4奇函数定义区间对字母取值的影响5.5 函数奇偶性的应用5.5.1已知()f a b计算()f a-的值5.5.2偶函数性质)(|)(|xfxf=的应用5.5.3用奇函数处理不等式()()0(0)f m f n5.6函数的对称性与平移变换5.6.1奇偶函数的图象的对称性的应用5.6.2奇函数必有对称中心5.6.3三次函数对称中心的求法第三篇 指数、对数函数第6课 指数函数与幂函数 1．指数的运算法则 1.1 零指数幂与负整数指数幂 1.2分数指数幂是根式的另一种写法 1.3指数的运算性质 1.4 增长率模型的应用 1.5 设元与平方求含1a a -±的代数式的值 1.6整体平方法化简含有x xa a -+条件的代数式 2.指数函数的概念 2.1指数函数的定义 2.2指数函数的解析式 2.3用描点法作指数函数图象 2.4指数函数(0,1)xy a a a =>≠图象过定点 2.5指数函数图象的平移变换 2.6 定性分析函数图象 2.7指数函数的简单应用3．指数函数及其复合函数的单调性3.1利用函数的单调性比较大小3.2 中间媒介值0，1的比较大小3.3指数型复合函数()f x y a =的图象3.4指数型复合函数()f x y a =的单调性 3.5 含有指数的函数的单调性的判断与证明 4 解含有指数的方程与不等式4.1指数方程(0,1,0)x a b a a b =>≠>的解唯一 4.2 换元法解含有指数的方程4.3 利用指数函数的单调性证明或解不等式4.4 利用不等式的几何意义解不等式 4.5利用函数单调性解“()()f m f n <”型不等式5.指数函数及其复合函数的定义域与值域 5.1求函数的定义域 5.2换元法求含有指数的复合函数的值域和最值 5.3整体换元法研究不等式恒成立问题5.4 整体换元研究含指数方程解的存在性问题 5.5 函数()()g x f x a =存在最值的条件6. 幂函数的概念和性质 6.1幂函数的定义 6.2幂函数的图象6.3 解含有幂函数的不等式6.4幂函数的单调性与奇偶性6.5含幂函数的复合函数的单调性6.6含幂函数的复合函数的值域与定义域第7课 对数与对数函数 1.对数的运算法则 1.1 已知幂和底数反求指数就是求对数 1.2对数的运算法则 1.3 对数的基本运算性质1.4对数恒等式的应用1.5两边取对数与对数的换底公式的妙用1.6指数与对数互化关系解简单指数方程2. 对数函数的概念2.1 对数函数的定义和对数复合函数的定义域2.2用描点法作对数函数图象 2.3 对数函数图象log (0,1)a y x a a =>≠图象过定点2.4对数函数图象的变换及其特殊性2.5对数函数定义域不能成为永远的痛2.6对数函数图象交点与方程的解2.7集合与对数函数定义域3．对数及其复合函数的最值、值域与相关方程3.1 对数函数的单调性决定对数方程解的唯一性3.2 整体（换元）法解对数函数的方程3.3 “分而治之”求log ()log ()aaf xg x ⋅的值域3.4 对数复合函数的值域与恒成立问题3.5对数复合函数log ()a y f x =的定义域为R 3.6 对数复合函数log ()a y f x =的值域是R4. 与对数函数图象有关的问题 4.1区间长度与函数()|log |a f x x =的等高线 4.2函数()|log |a f x x =与12()()f x f x =的意义4.3对数背景下的基本不等式问题5．几个重要的对数与指数函数问题5.1 两边取对数研究指数不等式5.2两边取对数策略处理形如 x y z a b c ==的问题5.3函数xy a =与log a y x =互为反函数的应用 5.4 两个指数或两个对数函数图象之间的关系 6. 大小比较常用的解题策略 6.1利用单调性或作差比较同底数的对数大小 6.2 换底或根据图象比较真数相同的对数大小 6.3 中间媒介判断底数真数均不同的对数大小 6.4 放缩真数析出整数，比较底数真数不同的对数大小 6.5 作差作商，放缩变形 6.6*构造函数比较大小 第四篇 函数应用第8课 函数与数学模型 1．几类不同增长的函数模型 1.1指数级增长的模型1.2对数函数、指数函数、幂函数增长速度 1.3指数函数2x y =图象与幂函数2y x =交点问题2.函数的零点2.1 判断方程解的个数何须直接求解2.2函数图象和x 轴的交点与方程的解的意义 2.3函数的零点与相应方程的实数解的个数 2.4零点对于函数图象作图的重要性 2.5*函数零点的对称性与周期3.零点存在性定理与二分法3.1判断零点个数就是判断方程的实数根的个数 3.2判断函数在某区间(,)a b 上存在零点 3.3 逼近思想与二分法的基本原理3.4二分法确定函数在某区间上存在零点 3.5投石问路证明公共点的存在性 3.6 虚拟零点“设而不求”4.二次函数的根的分布4.1数形结合判断二次函数的零点个数 4.2根与系数关系只能判断根的正负 4.3二次函数某区间上只存在一个零点 4.4初中一元二次方程根的判别式 4.5二次函数的零点与变量替换4.6二次函数零点式判断零点的存在性5.数形结合研究函数的零点个数5.1函数零点个数就是函数图象与x 轴交点个数 5.2 函数零点个数可化为两函数图象交点个数 5.3分离参数求解函数的零点6.求嵌套函数函数的零点6.1 由外及里求嵌套函数零点6.2 根据零点个数确定字母参数范围 6.3换元法求嵌套函数方程根的个数 6.4换元法求嵌套函数的零点6.5换元法拆解不等式求嵌套函数不等式的解集 6.6 函数[()]f g x 内外层函数(),()f x g x 零点间的关系7.解复合函数方程7.1 换元法解复合一元二次方程7.2换元法求解形如(())0f f x '=的复合方程 7.3 使00()f x x =成立解是函数的不动点 7.4不动点个数的判定7.5满足(())f f x x =的x 为()f x 的“稳定点” 8.含有条件(1,1)-的取值范围问题8.1条件()()()f a f b f c ==对,,a b c 的约束作用 8.2利用对称图形中等高点横坐标之和为定值消元8.3 满足()()f a f b =的函数()log m f x x =隐含着1ab =8.4 二次方程()0fx a -=的根12,x x 满足韦达定理8.5 12()()f x f x=能实现2()f x 与1()f x 的替换 第9课 函数的最值与应用 第1节.常见的求值域的方法 1.1分离常数法求函数值域1.2*基本不等式法求函数值域 1.3*三角换元法求函数值域 1.4 函数单调性法求最值 1.5有界性法求最值1.6利用不等式性质与函数图象求值域第2节 二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的值域与最值2.1 若0a <函数()f x 在],[n m 上最大值有三种情况2.2若0a >函数()f x 在],[n m 上最小值有三种情况 2.3若0a <函数()f x 在],[n m 上最小值有两种情况 2.4若0a >函数()f x 在],[n m 上最大值有两种情况 2.5 二次函数在闭区间上的值域要分四种讨论 2.6代入验证法确定函数|()|f x 在闭区间内最值 2.7 函数()f x 的最值函数解析式2.8 含有绝对值的分段二次函数()f x 的最值 第3节 可化为二次函数的值域与最值问题3.1通过换元转化为二次函数3.2形如y 3.3 3.4 含有绝对值符号的最值问题 第4节 判别式法求最值4.1判别式求函数的值域的基本原理4.2 两个变量是判别式法求取值范围的典型特征 4.3 判别式法求定义域不是R 的函数的最值 4.4求函数的值域不能完全指望判别式 4.5判别式法求值域逆用第5节 函数问题中的恒成立与最值问题5.1 函数()f x 图像在x 轴上（下）就是最小（大）值大（小）于零5.2 开区间和闭区间的意义有较大区别5.3不等式()0(0)f x <>恒成立等价于()f x 图像在x 轴的下（上）方5.4 函数在某开区间上存在最值第6节.函数应用题6.1 分段函数的解析式6.2 分段函数要分段求最值6.3 准确构建实际问题中的函数模型 6.4 应用题中单位可以进行运算 第10课 几种特殊的函数与函数图象 1.碗状函数的值域和最值1.1 形如||||)(n ax m ax x f +++=的函数图象平底有最小值1.2 形如|)||(|||||)(b a n bx m ax x f >+++=的函数图象尖底有最小值1.3形如||||)(n ax m ax x f +-+=的函数图象平底平顶1.4 形如||||)(n bx m ax x f +-+=的函数图象呈折线形1.5 极端化法求“碗状函数”最值2. 谁大取谁谁小取谁函数2.1 谁大取谁函数图象是各函数最上层部分组合2.2谁小取谁函数图象是各函数最下层部分组合 2.3 绝对值可以构造出谁大取谁谁小取谁函数3.对勾函数图象和性质3.1对勾函数()(0)b f x ax ab x=+≠图像 3.2 定义法求对勾函数的单调区间与最值 3.3 对勾函数的极值 3.4 1()f x x x =+与1()f x x x=-的区别 3.5基本不等式与对勾函数 4.高斯函数4.1高斯函数的定义 4.2求高斯函数的值域4.3高斯函数的图象5 利用函数性质研究函数的图象 5.1 笛卡尔用几何图形来表示方程 5.2从函数的定义域判断图象渐近线 5.3从函数的值域判断图象的上下位置 5.4从函数的奇偶性判断图象的对称性 5.5从函数的特征点排除不合要求的图象 5.6从函数变换看函数图象的对称性5.7从函数的变化趋势判断函数图象的趋势力第五篇 专题提升微专题1 集合与简易逻辑1.如何避免出现几种常见的潜意识错误 1.1 不要把并集当做交集解 1.2 以为区间与集合没区别 1.3 别拿空集不当集合1.4 注意{,}A a b ⊆与{,}A a b =的区别 1.5 错把“推出”理解为“解出来”1.6 “命题否定”对应于“取补集”，但要分清“全集” 2*.四种命题的真假及关系2.1能判断其正确或错误的语句称为命题 2.2命题的四种形式的区别与联系2.3借助互为逆否命题的等价关系判断真假 2.4借助等价命题进行证明 3*.由命题真假求参数范围3.1 含“或”“且”“非”的命题的真假 3.2 逻辑联结词“或”的含义3.3需要讨论的含“或”“且”“非”的命题 3.4 *指数函数与简单逻辑知识 微专题2 分式函数、无理函数与多元最值 1. 破解最值定理不能直接使用问题1.1 函数的单调性破解等号不能取问题 1.2 “1”的代换破解等号不能取到问题 1.3三角换元法应对等号不能取到问题 1.4 分段实施，逐段求解 1.5*不等式22a a b b≥-(,0)a b >1.6 判别式法求二元函数的最值2. 求分式形函数的最值常见的策略 2.1 分式形如2ax bx cdx e+++的最值与分离常数法2.2分式形如2dx eax bx c+++的最值与分离常数法2.3 分子（分母）换元后分离常数可以降低配凑的难度2.4 换元法换低次求高次的分式函数的最值 2.5 通分后发现联系求形如11ab+的最值 3. 含根号的无理式求最值问题3.1 平方和为定值，可以平方凑定值3.2 值3.3 用平方平均数对无理式“脱根号用定值” 3.4 用平方平均数对无理式“脱根号凑定值” 3.52a,c 为常数）的无理式最值4. 与22,,,x y xy x y ±相关的最值问题4.1 形如mx ny kxy +=(,,m n k 为非零常数）的最值可转化为“1”的代换4.2 形如xy mx ny M ++=(,,m n M 为非零常数）的最值与消元法4.3 形如xy mx ny M ++=(,,m n M 为非零常数）的最值与整体处理法5.多元最值问题常见处理方法5.1 消元是求多元最值问题的基本思想 5.2 先用基本不等式减元法 5.3 直接整体代入也能实现消元 5.4 消元创造一元背景求多元最值5.5 不一定要消元,整体配凑也能求最值 5.6 三角换元求多元最值问题5.7 基本不等式求谁大（小）取谁对应函数的最值5.8 取等条件暗藏解题方向6*．两种特殊的不等式 6.1 柯西不等式的性质6.2 用柯西不等式证明不等式 6.3 用柯西不等式求最值 6.4 贝努利不等式微专题3 不等式恒成立第1节 判别式法处理一元二次不等式在R 上恒成立1.1不等式的解集为R 或∅与不等式恒成立 1.2 二次函数的二次项系数首先必须不为零1.3不等式恒成立与相应抛物线开口方向相关 1.4 函数定义域为R 可转化为不等式恒成立 第2节 一元二次不等式在某区间上恒成立2.1不等式()0f x ≥恒成立需要区间上最小值满足2.2不等式()0f x ≤恒成立需要区间上最大值满足2.3在某区间上恒成立只需要在区间内的所有值满足2.4分离参数法处理一元二次不等式恒成立 第3节 含有绝对值的不等式恒成立或存在性问题3.1图解法求相应函数的最值3.2用图形的覆盖问题处理不等式()()f x g x ≤恒成立3.3函数覆盖问题需要两个熟悉的函数做支撑 3.4 去绝对值后转为新的两个不等式恒成立或存在性问题第4节 分离变量法研究不等式恒成立问题4.1字母参数单独分离是分离变量法主要特征 4.2分离变量不以单独的字母为分离目标 4.3形如()()a g x f x ⋅<的不等式也可分离变量4.4函数()f x 的最值存在性对参数取值范围的影响第5节 与正整数n 有关的不等式恒成立问题 5.1任意的x N *∈与任意的x R ∈的区别5.2()f x c ≥与()()f x f c ≥区别5.3 奇偶分析法应对含有(1)n -的不等式恒成立问题第6节 变换主元法处理不等式恒成立问题 6.1 已知字母范围求x 的范围常用变换主元法 6.2 建立辅元的一次函数是变换主元最常见的类型6.3不优先使用“分离参数法”解题的三种情况 6.4分离变量法分离的程度对解题难度的影响 第7节 含有“任意”与“存在”型问题7.1比较最值大小解决形如12()()f x g x >的不等式 7.2根据值域解决形如12()()f x g x =的等式成立问题 7.3利用最值之差处理形如12()()f x f x a -<的不等式7.4控制变量法研究多变量型问题第8节 不等式恒成立的三种特殊的处理方法 8.1“符号法则”数形结合处理不等式恒成立 8.2 用两边夹在“不等”中求“等”8.3提前预支法(必要条件)求解恒成立问题 微专题4 指数、对数的复合函数的奇偶性和单调性1．指数函数及其复合函数的奇偶性 1.1判断指数型复合函数的奇偶性1.2 定义域内不确定是否含0的奇函数谨慎使用0)0(=f1.3 双变量21,x x 的问题与函数值域的关系 1.41()(0,1)1x x a f x a a a -=>≠+型函数奇偶性及其运用1.5 隐含()()f a f b +为定值的函数1.6指数复合函数||()2x a f x b -=+的性质 2．对数函数及其复合函数的奇偶性2.1判断对数复合函数的奇偶性 2.2函数)(x f 为奇偶函数的充要条件2.3恒等式 ()()f x f x -≡±变形中可能放大定义域范围2.4已知(),()f a b f a =-求的值2.5函数在[0,)+∞上的单调性与其R 上的单调性 2.6 奇函数的最大值M 与最小值m 的和为03.“三步一回头”探究复合函数的单调区间3.1*内外层函数在相应区间上均为单调函数 3.2*外层函数在相应区间上单调而内层不单调 3.3*外层函数在相应区间上不单调而内层单调 3.4*内外函数在相应区间上都不单调 微专题5 抽象函数及其性质 第1节 抽象函数概念1.1抽象函数的函数值与数学竞赛 1.2逆用单调性定义解不等式 1.3抽象函数的值域或最值 1.4函数方程是一种恒等式 1.5抽象函数的解析式与竞赛 第2节 抽象函数的单调性2.1抽象函数的单调性的证明2.2参照抽象函数不等式解函数不等式2.3不等式()c f m <中的常数c 与()f n 的转化 2.4 ()kf x 与()f mx 的转化2.5构造新函数巧解()()()()f m g m f n g n +<+ 第3节 抽象函数的奇偶性3.1赋值法判断抽象函数的奇偶性 3.2应用抽象函数的奇偶性求函数值 第4节 抽象函数的对称问题4.1关于满足()()f a x f b x +=-的函数()f x 的对称性 4.2 两个抽象函数()y f b x =+与()y f c x =-对称性 4.3抽象函数关于点对称问题 第5节 抽象函数的周期性问题5.1遇1()(0)2()kf x T k f x +=≠用迭代法 5.2遇()()f x a f x b +=+用替换法 5.3遇()()f x a f x b k +++=作差转化 5.4遇()(1)(1)f x f x f x =++-加法伺候 5.5综合运用对称、奇偶、周期性5.6图象对称的两个函数的值域间的关系专题6 分段函数及其性质 1. 分段函数概念1.1 分段函数的解析式1.2 分段函数的函数值1.3求复合函数的值遵循“由里到外”原则 1.4区间转移法求分段函数的解析式1.5分段函数是一个完整的函数1.6分段函数应用题第2节分段函数的周期性与奇偶性2.1 ()()f x T f x+=的作用是将自变量的取值进行调整2.2分段周期函数的定义区间一开一闭2.3 不完全周期的分段函数求值不要越界2.4含有对数的分段函数求值规律2.5分段函数的奇偶性判定采用分段讨论法第3节分段函数的单调性3.1单调的分段函数在各区间上单调性一致3.2分段的单调函数不仅仅在左右区间上单调性一致3.3 分段函数的单调性受定义区间的端点影响最大3.4 函数(),,()(),g x x af xq x x a<⎧=⎨≥⎩的分界线的讨论3.5 分段函数的值域为R的问题第4节分段函数不等式4.1 分段求解分段函数不等式的解集4.2 根据函数的单调性求解分段函数不等式4.3 分类确定分段函数的对应法则解不等式4.4 借助函数图象直观求解不等式第5节存在递推关系的分段函数5.1 含递推关系()()(f x f kx k=为实数）的分段函数5.2 含递推关系()()f x f x kT b=++（,,k T b为非零实数）分段函数5.3 含递推关系()()f x kf x T=-（,k T为非零实数）分段函数5.4 含递推关系(2)()f x cf x=的分段函数微专题7 线性规划问题1.二元一次不等式表示的区域1.1不等式0Ax By C++≤表示的区域1.2不等式a Ax By C b≤++≤表示的区域1.3动点(,)x y x y+-所在的区域2.最值问题的求解策略2.1截距法判定z ax by=+平移方向2.2曲线型目标函数的最值问题2.3旋转法处理最优解唯一的问题2.4平移法处理最优解无数多的问题3.目标函数的几何意义3.1求22)()(byax-+-的最值3.2||||x a y b c-+-=的几何意义3.3求3.4 求||CByAx++的最值4.数列、向量中的线性规划4.1线性规划视角下的平面向量问题4.2线性规划视角下的数列问题第一章三角函数第1课三角函数概念1．角的推广1.1运动变化观下角的定义1.2 终边相同的角的表示1.3分类讨论象限角1.4区间角的表示1.5轴线角不属于任何象限2．弧度制2.1用圆的半径度量弧长得弧度数2.2扇形的面积2.3圆心角为2的周长一定的扇形面积最大值2.4《九章算术》中的弧田面积问题3.任意角三角函数3.1初中锐角三角函数定义的妙用3.2终边定义法求任意角的三角函数值3.3妙用三角函数定义求三角函数值3.4判断三角函数值的符号3.5 根据角终边上一点的坐标求角大小4.单位圆与圆周运动4.1 三角函数线4.2利用三角函数线比较函数值的大小4.3利用三角函数线解三角函数不等式4.4终边定义法确定圆上的动点旋转后的坐标4.5三角函数定义与圆周运动5．不同角的三角函数间的关系（诱导公式）5.1终边对称的两个角的三角函数值可以相互转换5.2同名三角函数间的诱导公式5.3负化正，大化小，化到锐角为终了5.4不同名函数之间变换的诱导公式5.5奇变偶不变，符号看象6.妙用诱导公式巧求值6.1互补（余）的两个角之间的关系6.2 判断三角函数的奇偶性6.3三角形状对角的三角函数值大小的影响6.4 三角函数与()f x求值问题第2课三角函数的图象1. 五点法作图1.1如何精确地绘制三角函数图象1.2 正余弦函数图象的关键点1.3 根据五点纵横距离求A、ω、T、φ1.4 被整体换元后与相应的三角函数图象上点的对应2. 三角函数图象的变换2.1函数图象左右平移改变的仅仅是x。
高中数学经典高考难题集锦(解析版)1
2021年10月18日姚杰的高中数学组卷一．选择题〔共17小题〕1．〔2021•浙江〕设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有那么〔〕A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AB=AC D．AC=BC2．〔2021•广东〕对任意两个非零的平面向量和，定义○=，假设平面向量、满足||≥||＞0，与的夹角，且○和○都在集合中，那么○=〔〕A．B．1 C．D．3．〔2007•天津〕设两个向量和，其中λ，m，α为实数．假设，那么的取值范围是〔〕A．[﹣6，1]B．[4，8]C．〔﹣∞，1]D．[﹣1，6]4．〔2021•广东〕对任意两个非零的平面向量和，定义°=．假设两个非零的平面向量，满足与的夹角，且•和•都在集合中，那么•=〔〕A．B．C．1 D．5．〔2021•山东〕设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，假设〔λ∈R〕，〔μ∈R〕，且，那么称A3，A4调和分割A1，A2，点C〔c，0〕，D〔d，O〕〔c，d∈R〕调和分割点A〔0，0〕，B〔1，0〕，那么下面说法正确的选项是〔〕A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上6．〔2021•福建〕设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||=||，那么|•|的值一定等于〔〕A．以，为邻边的平行四边形的面积B．以，为两边的三角形面积C．，为两边的三角形面积D．以，为邻边的平行四边形的面积7．〔2021•浙江〕，是平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量满足〔﹣〕•〔﹣〕=0，那么||的最大值是〔〕A．1 B．2 C．D．8．〔2007•山东〕在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，那么以下等式不成立的是〔〕A．B．C．D．9．〔2007•湖北〕连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，那么的概率是〔〕A．B．C．D．10．〔2006•福建〕||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n〔m、n∈R〕，那么等于〔〕A．B．3 C．D．11．〔2005•湖南〕P是△ABC所在平面上一点，假设，那么P是△ABC的〔〕A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心12．〔2005•江西〕在△OAB中，O为坐标原点，，那么当△OAB的面积达最大值时，θ=〔〕A．B．C．D．13．〔2005•安徽〕点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，那么点O是△ABC的〔〕A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点14．平面上一点P在原坐标系中的坐标为〔0，m〕〔m≠0〕，而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为〔m，0〕，那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为〔A 〕A．〔﹣m，m〕B．〔m，﹣m〕C．〔m，m〕 D．〔﹣m，﹣m〕15．〔2021•桃城区校级模拟〕设向量，满足，，＜＞=60°，那么||的最大值等于〔〕A．2 B．C．D．116．〔2021•安徽〕在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，那么点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是〔〕A．B． C． D．17．〔2021•上海〕在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．假设m、M分别为〔++〕•〔++〕的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，那么m、M满足〔〕A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0二．解答题〔共13小题〕18．〔2005•上海〕在直角坐标平面中，点P1〔1，2〕，P2〔2，22〕，P3〔3，23〕，…，P n〔n，2n〕，其中n是正整数．对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，…，A n为A n﹣1关于点P n的对称点．〔1〕求向量的坐标；〔2〕当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y=f〔x〕的图象，其中f〔x〕是以3位周期的周期函数，且当x∈〔0，3]时，f〔x〕=lgx．求以曲线C为图象的函数在〔1，4]上的解析式；〔3〕对任意偶数n，用n表示向量的坐标．19．〔2021•上海〕定义向量=〔a，b〕的“相伴函数〞为f〔x〕=asinx+bcosx，函数f〔x〕=asinx+bcosx的“相伴向量〞为=〔a，b〕〔其中O为坐标原点〕．记平面内所有向量的“相伴函数〞构成的集合为S．〔1〕设g〔x〕=3sin〔x+〕+4sinx，求证：g〔x〕∈S；〔2〕h〔x〕=cos〔x+α〕+2cosx，且h〔x〕∈S，求其“相伴向量〞的模；〔3〕M〔a，b〕〔b≠0〕为圆C：〔x﹣2〕2+y2=1上一点，向量的“相伴函数〞f〔x〕在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．20．〔2021•江苏〕如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC 的中点，点M在CC1上．设二面角A1﹣DN﹣M的大小为θ，〔1〕当θ=90°时，求AM的长；〔2〕当时，求CM的长．21．〔2021•山东〕设m∈R，在平面直角坐标系中，向量a=〔mx，y+1〕，向量b=〔x，y﹣1〕，a⊥b，动点M〔x，y〕的轨迹为E．〔Ⅰ〕求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；〔Ⅱ〕m=．证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB〔O为坐标原点〕，并求该圆的方程；〔Ⅲ〕m=．设直线l与圆C：x2+y2=R2〔1＜R＜2〕相切于A1，且l与轨迹E只有一个公共点B1．当R为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值．22．〔2007•四川〕设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点．〔Ⅰ〕假设P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；〔Ⅱ〕设过定点M〔0，﹣2〕的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角〔其中O为坐标原点〕，求直线l的斜率k的取值范围．23．〔2021•丰台区校级一模〕如图，△OFP的面积为m，且=1．〔I〕假设，求向量与的夹角θ的取值范围；〔II〕设，且．假设以O为中心，F为焦点的椭圆经过点P，当取得最小值时，求此椭圆的方程．24．设、为平面向量，假设存在不全为零的实数λ，μ使得λ+μ=0，那么称、线性相关，下面的命题中，、、均为平面M上的向量．①假设=2，那么、线性相关；②假设、为非零向量，且⊥，那么、线性相关；③假设、线性相关，、线性相关，那么、线性相关；④向量、线性相关的充要条件是、共线．上述命题中正确的选项是〔写出所有正确命题的编号〕25．〔2005•安徽〕椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A、B两点，与=〔3，﹣1〕共线．〔Ⅰ〕求椭圆的离心率；〔Ⅱ〕设M为椭圆上任意一点，且，证明λ2+μ2为定值．26．〔2021•江苏模拟〕如图，D是△ABC的中点，，那么λ1+λ2=．27．〔2021•泗县校级模拟〕单位圆⊙O：x2+y2=1，A〔1，0〕，B是圆上的动点，∥，．〔1〕求点P的轨迹E的方程；〔2〕求过A作直线l被E截得的弦长的最小值．28．〔2021•西安校级模拟〕向量，动点M到定直线y=1的距离等于d，并且满足，其中O是坐标原点，k是参数．〔1〕求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；〔2〕当时，求的最大值和最小值；〔3〕如果动点M的轨迹是圆锥曲线，其离心率e满足，求实数k的取值范围．29．〔2021•上海〕在直角坐标平面xOy上的一列点A1〔1，a1〕，A2〔2，a2〕，…，A n〔n，a n〕，…，简记为{A n}、假设由构成的数列{b n}满足b n+1＞b n，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，那么称{A n}为T点列，〔1〕判断，，是否为T点列，并说明理由；〔2〕假设{A n}为T点列，且点A2在点A1的右上方、任取其中连续三点A k、A k+1、A k+2，判断△A k A k+1A k+2的形状〔锐角三角形、直角三角形、钝角三角形〕，并予以证明；〔3〕假设{A n}为T点列，正整数1≤m＜n＜p＜q满足m+q=n+p，求证：．30．〔2021•临川区校级一模〕设点F〔，0〕〔p为正常数〕，点M在x轴的负半轴上，点P 在y轴上，且，．〔Ⅰ〕当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；〔Ⅱ〕直线l过点F且与曲线C相交于不同两点A，B，分别过点A，B作直线l1：x=﹣的垂线，对应的垂足分别为A1，B1，求的值；〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的条件下，记，，，λ=，求λ的值．2021年10月18日姚杰的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共17小题〕1．〔2021•浙江〕设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有那么〔〕A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AB=AC D．AC=BC考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设||=4，那么||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，那么由数量积的几何意义可得||2﹣〔a+1〕||+a≥0恒成立，只需△=〔a+1〕2﹣4a=〔a﹣1〕2≤0即可，由此能求出△ABC是等腰三角形，AC=BC．解答：解：设||=4，那么||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，那么由数量积的几何意义可得，=||•||=||2﹣〔a+1〕〕||，•=﹣a，于是•≥••恒成立，整理得||2﹣〔a+1〕||+a≥0恒成立，只需△=〔a+1〕2﹣4a=〔a﹣1〕2≤0即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，所以AC=BC．应选：D．点评：此题主要考查了平面向量的运算，向量的模及向量的数量积的概念，向量运算的几何意义的应用，还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力2．〔2021•广东〕对任意两个非零的平面向量和，定义○=，假设平面向量、满足||≥||＞0，与的夹角，且○和○都在集合中，那么○=〔〕A．B．1 C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：空间向量及应用．分析：由题意可得•==，同理可得•==，故有n≥m 且m、n∈z．再由cos2θ=，与的夹角θ∈〔0，〕，可得cos2θ∈〔，1〕，即∈〔，1〕，由此求得n=3，m=1，从而得到•==的值．解答：解：由题意可得•====．同理可得•====．由于||≥||＞0，∴n≥m 且m、n∈z．∴cos2θ=．再由与的夹角θ∈〔0，〕，可得cos2θ∈〔，1〕，即∈〔，1〕．故有n=3，m=1，∴•==，应选C．点评：此题主要考查两个向量的数量积的定义，得到n≥m 且m、n∈z，且∈〔，1〕，是解题的关键，属于中档题．3．〔2007•天津〕设两个向量和，其中λ，m，α为实数．假设，那么的取值范围是〔〕A．[﹣6，1]B．[4，8]C．〔﹣∞，1]D．[﹣1，6]考点：相等向量与相反向量；平面向量共线〔平行〕的坐标表示．专题：压轴题．分析：利用，得到λ，m的关系，然后用三角函数的有界性求解的比值，为了简化，把换元．解答：解：由，，，可得，设代入方程组可得消去m化简得，再化简得再令代入上式得〔sinα﹣1〕2+〔16t2+18t+2〕=0可得﹣〔16t2+18t+2〕∈[0，4]解不等式得因而解得﹣6≤k≤1．应选A．点评：此题难度较大，题目涉及到向量、三角函数的有界性、还用到了换元和解不等式等知识，表达了化归的思想方法．4．〔2021•广东〕对任意两个非零的平面向量和，定义°=．假设两个非零的平面向量，满足与的夹角，且•和•都在集合中，那么•=〔〕A．B．C．1 D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先求出•=，n∈N，•=，m∈N，再由cos2θ=∈〔0，〕，故m=n=1，从而求得•=的值．解答：解：∵°•=====，n∈N．同理可得°•====，m∈N．再由与的夹角，可得cosθ∈〔0，〕，∴cos2θ=∈〔0，〕，故m=n=1，∴•==，应选：D．点评：此题主要考查两个向量的数量积的定义，求得m=n=1，是解题的关键，属于中档题．5．〔2021•山东〕设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，假设〔λ∈R〕，〔μ∈R〕，且，那么称A3，A4调和分割A1，A2，点C〔c，0〕，D〔d，O〕〔c，d∈R〕调和分割点A〔0，0〕，B〔1，0〕，那么下面说法正确的选项是〔〕A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上考点：平面向量坐标表示的应用．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得到c和d的关系，，只需结合答案考查方程的解的问题即可．A和B中方程无解，C中由c和d的范围可推出C和D点重合，由排除法选择答案即可．解答：解：由可得〔c，0〕=λ〔1，0〕，〔d，0〕=μ〔1，0〕，所以λ=c，μ=d，代入得〔1〕假设C是线段AB的中点，那么c=，代入〔1〕d不存在，故C不可能是线段AB 的中点，A错误；同理B错误；假设C，D同时在线段AB上，那么0≤c≤1，0≤d≤1，代入〔1〕得c=d=1，此时C和D点重合，与条件矛盾，故C错误．应选D点评：此题为新定义问题，考查信息的处理能力．正确理解新定义的含义是解决此题的关键．6．〔2021•福建〕设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||=||，那么|•|的值一定等于〔〕A．以，为邻边的平行四边形的面积B．以，为两边的三角形面积C．，为两边的三角形面积D．以，为邻边的平行四边形的面积考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；压轴题．分析：利用向量的数量积公式表示出，有得到的夹角与夹角的关系，利用三角函数的诱导公式和条件表示成的模及夹角形式，利用平行四边形的面积公式得到选项．解答：解：假设与的夹角为θ，|•|=||•||•|cos＜，＞|=||•||•|cos〔90°±θ〕|=||•||•sinθ，即为以，为邻边的平行四边形的面积．应选A．点评：此题考查向量的数量积公式、三角函数的诱导公式、平行四边形的面积公式．7．〔2021•浙江〕，是平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量满足〔﹣〕•〔﹣〕=0，那么||的最大值是〔〕A．1 B．2 C．D．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：压轴题．分析：本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题，所给出的两个向量是互相垂直的单位向量，这给运算带来很大方便，利用数量积为零的条件时要移项变化．解答：解：．∵，∵，∴，∵cosθ∈[﹣1，1]，∴的最大值是．应选C．点评：启发学生在理解数量积的运算特点的根底上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质，此题也可以利用数形结合，，对应的点A，B在圆x2+y2=1上，对应的点C在圆x2+y2=2上即可．8．〔2007•山东〕在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，那么以下等式不成立的是〔〕A．B．C．D．考点：平面向量数量积的性质及其运算律．专题：压轴题．分析：根据，∴A是正确的，同理B也正确，再由D答案可变形为，通过等积变换判断为正确，从而得到答案．解答：解：∵，∴A是正确的，同理B也正确，对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确应选C．点评：此题主要考查平面向量的数量积的定义．要会巧妙变形和等积变换．9．〔2007•湖北〕连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，那么的概率是〔〕A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角；等可能事件的概率．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知此题是一个古典概型，根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数要通过列举得到，题目大局部内容考查的是向量的问题，这是一个综合题．解答：解：由题意知此题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数6×6，∵m＞0，n＞0，∴=〔m，n〕与=〔1，﹣1〕不可能同向．∴夹角θ≠0．∵θ∈〔0，】•≥0，∴m﹣n≥0，即m≥n．当m=6时，n=6，5，4，3，2，1；当m=5时，n=5，4，3，2，1；当m=4时，n=4，3，2，1；当m=3时，n=3，2，1；当m=2时，n=2，1；当m=1时，n=1．∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1∴概率P==．应选C．点评：向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份〞能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点．10．〔2006•福建〕||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n〔m、n∈R〕，那么等于〔〕A．B．3 C．D．考点：向量的共线定理；向量的模．专题：计算题；压轴题．分析：将向量沿与方向利用平行四边形原那么进行分解，构造出三角形，由题目，可得三角形中三边长及三个角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案．此题如果没有点C在∠AOB内的限制，应该有两种情况，即也可能为OC在OA顺时针方向30°角的位置，请大家注意分类讨论，防止出错．解答：解：法一：如下图：=+，设=x，那么=．=∴==3．法二：如下图，建立直角坐标系．那么=〔1，0〕，=〔0，〕，∴=m+n=〔m，n〕，∴tan30°==，∴=3．应选B点评：对一个向量根据平面向量根本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法那么，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．11．〔2005•湖南〕P是△ABC所在平面上一点，假设，那么P是△ABC的〔〕A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心考点：平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题；压轴题．分析：此题考查的知识点是平面向量的数量积运算，由，我们任取其中两个相等的量，如，根据平面向量乘法分配律，及减法法那么，我们可得，同理我们也可以得到PA⊥BC，PC⊥AB，由三角形垂心的性质，我们不难得到结论．解答：解：∵，那么由得：，∴PB⊥AC同理PA⊥BC，PC⊥AB，即P是垂心应选D点评：重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．该点叫做三角形的重心．外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点．该点叫做三角形的外心．垂心定理：三角形的三条高交于一点．该点叫做三角形的垂心．内心定理：三角形的三内角平分线交于一点．该点叫做三角形的内心．12．〔2005•江西〕在△OAB中，O为坐标原点，，那么当△OAB的面积达最大值时，θ=〔〕A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量在几何中的应用．专题：压轴题．分析：在边长为1的正方形中，减去要求的三角形以外的三角形的面积，把要求的结果表示为有三角函数的代数式，后面题目变为求三角函数的最值问题，逆用二倍角公式得到结果．解答：解：在直角坐标系里△OAB的面积=1﹣==∵θ∈〔0，]，∴2θ∈〔0，π]∴当2θ=π时取得最大，即θ=应选D．点评：此题考查简单的图形面积和三角函数的最值问题，用三角函数表示的式子，因此代入后，还要进行简单的三角函数变换，二倍角公式逆用．13．〔2005•安徽〕点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，那么点O是△ABC的〔〕A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点考点：平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由得到，从而所以OB⊥AC，同理得到OA⊥BC，所以点O是△ABC的三条高的交点解答：解；∵∴；∴；∴OB⊥AC，同理由得到OA⊥BC∴点O是△ABC的三条高的交点应选D点评：此题考查向量的数量积及向量的运算，对学生有一定的能力要求14．平面上一点P在原坐标系中的坐标为〔0，m〕〔m≠0〕，而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为〔m，0〕，那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为〔A 〕A．〔﹣m，m〕B．〔m，﹣m〕C．〔m，m〕 D．〔﹣m，﹣m〕考点：向量在几何中的应用．专题：压轴题；阅读型．分析：利用平移公式求出平移向量，再利用平移公式求出新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标．解答：解：设按向量，那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为〔k，l〕那么据平移公式故∴解得即新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为〔﹣m，m〕应选项为A点评：此题考查平移公式的应用．15．〔2021•桃城区校级模拟〕设向量，满足，，＜＞=60°，那么||的最大值等于〔〕A．2 B．C．D．1考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题；压轴题．分析：利用向量的数量积求出的夹角；利用向量的运算法那么作出图；结合图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出最大值．解答：解：∵，∴的夹角为120°，设，那么；=如下图那么∠AOB=120°；∠ACB=60°∴∠AOB+∠ACB=180°∴A，O，B，C四点共圆∵∴∴由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=当OC为直径时，模最大，最大为2应选A点评：此题考查向量的数量积公式、向量的运算法那么、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理．16．〔2021•安徽〕在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，那么点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是〔〕A．B． C． D．考点：平面向量的根本定理及其意义；二元一次不等式〔组〕与平面区域；向量的模．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量根本定理，把P的坐标用A，B的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．解答：解：由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．不妨设A〔〕，B〔〕．再设P〔x，y〕．由，得：．所以，解得①．由|λ|+|μ|≤1．所以①等价于或或或．可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，那么区域面积为．应选D．点评：此题考查了平面向量的根本定理及其意义，考查了二元一次不等式〔组〕所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．17．〔2021•上海〕在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．假设m、M分别为〔++〕•〔++〕的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，那么m、M满足〔〕A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0考点：平面向量数量积的运算；进行简单的合情推理．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而可结论．解答：解：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，∴利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，∵m、M分别为〔++〕•〔++〕的最小值、最大值，∴m＜0，M＜0应选D．点评：此题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，分析出向量数量积的正负是关键．二．解答题〔共13小题〕18．〔2005•上海〕在直角坐标平面中，点P1〔1，2〕，P2〔2，22〕，P3〔3，23〕，…，P n〔n，2n〕，其中n是正整数．对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，…，A n为A n﹣1关于点P n的对称点．〔1〕求向量的坐标；〔2〕当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y=f〔x〕的图象，其中f〔x〕是以3位周期的周期函数，且当x∈〔0，3]时，f〔x〕=lgx．求以曲线C为图象的函数在〔1，4]上的解析式；〔3〕对任意偶数n，用n表示向量的坐标．考点：平面向量的综合题．专题：综合题；压轴题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：〔1〕利用中点坐标公式求出点A1，A2的坐标，再利用向量的坐标公式求出的坐标．〔2〕由判断出y=f〔x〕的图象是由C按平移得到的；得到C是由f〔x〕左移两个单位，下移4个单位得到，利用图象变换求出C的解析式．〔3〕利用向量的运算法那么将有以P n为起点终点的向量表示，利用向量的坐标公式求出各向量的坐标，利用等比数列的前n项和公式求出向量的坐标．解答：解：〔1〕设点A0〔x，y〕，A1为A0关于点P1的对称点，A1的坐标为〔2﹣x，4﹣y〕，A1为P2关于点的对称点A2的坐标为〔2+x，4+y〕，∴={2，4}．〔2〕∵={2，4}，∴f〔x〕的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到．因此，设曲线C是函数y=g〔x〕的图象，其中g〔x〕是以3为周期的周期函数，且当x∈〔﹣2，1]时，g〔x〕=lg〔x+2〕﹣4．于是，当x∈〔1，4]时，g〔x〕=lg〔x﹣1〕﹣4．〔3〕=++…+，由于=，得=2〔++…+〕=2〔{1，2}+{1，23}+…+{1，2n﹣1}〕=2{，}={n，}点评：此题考查中点坐标公式、向量的坐标公式、图象的平移变换、等比数列的前n项和公式．19．〔2021•上海〕定义向量=〔a，b〕的“相伴函数〞为f〔x〕=asinx+bcosx，函数f〔x〕=asinx+bcosx的“相伴向量〞为=〔a，b〕〔其中O为坐标原点〕．记平面内所有向量的“相伴函数〞构成的集合为S．〔1〕设g〔x〕=3sin〔x+〕+4sinx，求证：g〔x〕∈S；〔2〕h〔x〕=cos〔x+α〕+2cosx，且h〔x〕∈S，求其“相伴向量〞的模；〔3〕M〔a，b〕〔b≠0〕为圆C：〔x﹣2〕2+y2=1上一点，向量的“相伴函数〞f〔x〕在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．考点：平面向量的综合题；复合三角函数的单调性．专题：计算题；压轴题；新定义．分析：〔1〕先利用诱导公式对其化简，再结合定义即可得到证明；〔2〕先根据定义求出其相伴向量，再代入模长计算公式即可；〔3〕先根据定义得到函数f〔x〕取得最大值时对应的自变量x0；再结合几何意义求出的范围，最后利用二倍角的正切公式即可得到结论．解答：解：〔1〕g〔x〕=3sin〔x+〕+4sinx=4sinx+3cosx，其‘相伴向量’=〔4，3〕，g〔x〕∈S．〔2〕h〔x〕=cos〔x+α〕+2cosx=〔cosxcosα﹣sinxsinα〕+2cosx=﹣sinαsinx+〔cosα+2〕cosx∴函数h〔x〕的‘相伴向量’=〔﹣sinα，cosα+2〕．那么||==．〔3〕的‘相伴函数’f〔x〕=asinx+bcosx=sin〔x+φ〕，其中cosφ=，sinφ=．当x+φ=2kπ+，k∈Z时，f〔x〕取到最大值，故x0=2kπ+﹣φ，k∈Z．∴tanx0=tan〔2kπ+﹣φ〕=cotφ=，tan2x0===．为直线OM的斜率，由几何意义知：∈[﹣，0〕∪〔0，]．令m=，那么tan2x0=，m∈[﹣，0〕∪〔0，}．当﹣≤m＜0时，函数tan2x0=单调递减，∴0＜tan2x0≤；当0＜m≤时，函数tan2x0=单调递减，∴﹣≤tan2x0＜0．综上所述，tan2x0∈[﹣，0〕∪〔0，]．点评：本体主要在新定义下考查平面向量的根本运算性质以及三角函数的有关知识．是对根底知识的综合考查，需要有比拟扎实的根本功．20．〔2021•江苏〕如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC 的中点，点M在CC1上．设二面角A1﹣DN﹣M的大小为θ，〔1〕当θ=90°时，求AM的长；〔2〕当时，求CM的长．考点：向量在几何中的应用．专题：立体几何．分析：〔1〕建立如下图的空间直角坐标系，D﹣xyz，设CM=t〔0≤t≤2〕，通过，求出平面DMN的法向量为，，求出平面A1DN 的法向量为，推出〔1〕利用θ=90°求出M的坐标，然后求出AM 的长．〔2〕利用cos=以及，求出CM 的长．解答：解：建立如下图的空间直角坐标系，D﹣xyz，设CM=t〔0≤t≤2〕，那么各点的坐标为A〔1，0，0〕，A1〔1，0，2〕，N〔，1，0〕，M〔0，1，t〕；所以=〔，1，0〕.=〔1，0，2〕，=〔0，1，t〕设平面DMN的法向量为=〔x1，y1，z1〕，那么，，即x1+2y1=0，y1+tz1=0，令z1=1，那么y1=﹣t，x1=2t所以=〔2t，﹣t，1〕，设平面A1DN的法向量为=〔x2，y2，z2〕，那么，，即x2+2z2=0，x2+2y2=0，令z2=1那么y2=1，x2=﹣2所以=〔﹣2，1，1〕，〔1〕因为θ=90°，所以解得t=从而M〔0，1，〕，所以AM=〔2〕因为，所以，cos==因为=θ或π﹣θ，所以=解得t=0或t=根据图形和〔1〕的结论，可知t=，从而CM的长为．点评：此题是中档题，考查直线与平面，直线与直线的位置关系，考查转化思想的应用，向量法解答立体几何问题，方便简洁，但是注意向量的夹角，计算数据的准确性．21．〔2021•山东〕设m∈R，在平面直角坐标系中，向量a=〔mx，y+1〕，向量b=〔x，y﹣1〕，a⊥b，动点M〔x，y〕的轨迹为E．〔Ⅰ〕求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；〔Ⅱ〕m=．证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB〔O为坐标原点〕，并求该圆的方程；〔Ⅲ〕m=．设直线l与圆C：x2+y2=R2〔1＜R＜2〕相切于A1，且l与轨迹E只有一个公共点B1．当R为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值．考点：平面向量数量积的运算；圆的标准方程；轨迹方程；直线和圆的方程的应用．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：〔1〕由a⊥b，所以a•b=0，代入坐标化简整理即得轨迹E的方程mx2+y2=1．此为二元二次曲线，可分m=0、m=1、m＞0且m≠1和m＜0四种情况讨论；〔2〕当m=时，轨迹E的方程为=1，表示椭圆，设圆的方程为x2+y2=r2〔0＜r＜1〕，当切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y=kx+t，由直线和圆相切可得k和t的关系，由OA⊥OB，所以x1x2+y1y1=0，只需联立直线和圆的方程，消元，维达定理，又可以得到k和t的关系，这样就可解出r．当切线斜率不存在时，代入检验即可．〔3〕因为l与圆C相切，故△OA1B1为直角△，故|A1B1|2=|OB1|2﹣|OA1|2，只需求出OB1和OA1的长度即可，直线l与圆C相切，且与椭圆相切找出关系，将|A1B1|表示为R的函数，转化为函数求最值．解答：解：〔Ⅰ〕因为a⊥b，所以a•b=0，即〔mx，y+1〕•〔x，y﹣1〕=0，故mx2+y2﹣1=0，即mx2+y2=1．当m=0时，该方程表示两条直线；当m=1时，该方程表示圆；当m＞0且m≠1时，该方程表示椭圆；当m＜0时，该方程表示双曲线．〔Ⅱ〕当时，轨迹E的方程为，设圆的方程为x2+y2=r2〔0＜r＜1〕，当切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y=kx+t，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，所以，即t2=r2〔1+k2〕．①因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y1=0，即x1x2+〔kx1+t〕〔kx2+t〕=0，整理得〔1+k2〕x1x2+kt〔x1+x2〕+t2=0．②由方程组消去y得〔1+4k2〕x2+8ktx+4t2﹣4=0．③由韦达定理代入②式并整理得〔1+k2〕，即5t2=4+4k2．结合①式有5r2=4，r=，当切线斜率不存在时，x2+y2=也满足题意，故所求圆的方程为x2+y2=．〔Ⅲ〕显然，直线l的斜率存在，设l的方程y=k1x+t1，B1〔x3，y3〕轨迹E的方程为．由直线l与圆相切得t12=R2〔1+k12〕，且对应③式有△=〔8k1t1〕2﹣4〔1+4k12〕〔4t12﹣4〕=0，即t12=1+4k12，由方程组，解得当l与轨迹E只有一个公共点时，对应的方程③应有两个相等的．由韦达定理x32===，又B1在椭圆上，所以，因为l与圆C相切，所以|A1B1|2=|OB1|2﹣|OA1|2=x32+y32﹣R2===≤，其中，等号成立的条件，。
高中数学经典练习题及讲解
高中数学经典练习题及讲解### 高中数学经典练习题及讲解#### 练习题一：函数的单调性题目：判断函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) 在 \( x \in\mathbb{R} \) 上的单调性。
解答：首先，我们可以通过求导来分析函数的单调性。
对函数 \( f(x) \) 求导得到 \( f'(x) = 2x - 4 \)。
令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = 2 \)。
这是函数的极值点。
接下来，我们分析 \( f'(x) \) 的正负性：- 当 \( x < 2 \) 时，\( f'(x) < 0 \)，说明函数在 \( (-\infty, 2) \) 上单调递减。
- 当 \( x > 2 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，说明函数在 \( (2,+\infty) \) 上单调递增。
因此，函数 \( f(x) \) 在 \( x \in \mathbb{R} \) 上先减后增。
#### 练习题二：三角函数的周期性题目：已知 \( \sin(2x) \) 的周期为 \( \pi \)，求\( \sin(\omega x) \) 的周期 \( T \)。
解答：根据已知条件，\( \sin(2x) \) 的周期 \( T_1 =\frac{2\pi}{\omega_1} = \pi \)，其中 \( \omega_1 = 2 \)。
由此可得，\( \omega_1 = 2 = \frac{2\pi}{T_1} \)。
对于 \( \sin(\omega x) \)，其周期 \( T \) 满足 \( T =\frac{2\pi}{\omega} \)。
由于 \( \sin(2x) \) 和 \( \sin(\omega x) \) 都是正弦函数，它们的周期公式相同。
因此，\( \omega \) 应该与 \( \omega_1 \) 有相同的比例关系。
高中数学必修第二册典型题型解析
一㊁平面向量及其应用例1如图1,在әA B C中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,a=43,c=4,øB A C=2π3,P为әA B C内部(包含边界)的一动点,且P A=1㊂图1(1)求|A Cң+A Bң|的值㊂(2)求P Bң㊃P Cң的取值范围㊂解:(1)在әA B C中,由余弦定理得a2= b2+c2-2b c c o s A,即48=b2+16+4b,解得b=4或b=-8(舍去),所以|A Cң+A Bң|2= (A Cң+A Bң)2=A Cң2+A Bң2+2A Cң㊃A Bң=16㊂故A Cң+A Bң=4㊂(2)以A为原点,A B所在直线为x轴,建立平面直角坐标系(作法略)㊂设øP A B =α0ɤαɤ2π3,则点P(c o sα,s i nα)㊂由(1)知,A B=A C=4,øB A C=2π3,所以点B(4,0),点C(-2,23),所以P Bң=(4-c o sα,-s i nα),P Cң=(-2-c o sα,23-s i nα)㊂所以P Bң㊃P Cң=-23s i nα-2c o sα-7=-4s i nα+π6-7㊂因为0ɤαɤ2π3,所以π6ɤα+π6ɤ5π6,所以12ɤs i nα+π6ɤ1,所以-11ɤP Bң㊃P Cңɤ-9,所以P Bң㊃P Cң的取值范围是[-11,-9]㊂提炼:有关向量数量积的求解策略:一是利用数量积定义㊁向量的有关运算;二是建立平面直角坐标系,利用坐标运算求解㊂二㊁复数例2(多选题)已知z1,z2为复数,下列命题不正确的是()㊂A.若z1=z2,则z1=z2B.若z1=z2,则z1=z2C.若z1>z2则z1>z2D.若z1>z2,则z1>z2解:当两个复数相等时,模一定相等,A 正确㊂当两个复数的模相等时,复数不一定相等,如1-i=1+i,但1-iʂ1+i,B不正确㊂若z1>z2则z1,z2ɪR,z1不一定比z2大,如2>-3,但|2|<|-3|,C不正确㊂当z1,z2都是虚数时,不能比较大小,D 不正确㊂应选B C D㊂提炼:复数相等的充要条件是 化虚为实 的主要依据,多用来求解参数问题㊂解决复数相等的关键是利用实部与实部相等㊁虚部与虚部相等列出方程(组)求解㊂三㊁立体几何初步例3如图2,P是正方形A B C D所在平面外一点,P A=P C=A B=2,且平面P A Cʅ平面A B C D,E,F分别是线段A B, P C的中点㊂图2(1)求证:B DʅP C㊂(2)求证:E Fʊ平面P A D㊂(3)求点E到平面P A D的距离㊂证明:(1)由正方形A B C D,可得B Dʅ3知识结构与拓展高一数学2023年6月Copyright©博看网. All Rights Reserved.A C ㊂由平面P A C ʅ平面ABCD ,平面P A Cɘ平面A B C D =A C ,可得B D ʅ平面P A C ㊂因为P C ⊂平面P A C ,所以B D ʅP C ㊂(2)取P D 中点G ㊂在әP D C 中,因为F ,G 分别是P C ,P D 的中点,所以F G ʊC D ,且F G =12C D ㊂因为E 是A B 中点,所以A E ʊC D ,A E=12C D ㊂所以A E ʊG F ,A E =G F ,即四边形A E F G 是平行四边形,所以E F ʊA G ㊂又A G ⊂平面P A D ,E F ⊄平面P A D ,故E F ʊ平面P A D ㊂(3)设A C ɘB D =O ㊂因为P A =P C =2,O 为A C 中点,所以P O ʅA C ㊂因为平面P A C ʅ平面A B C D ,平面P A C ɘ平面A B C D =A C ,P O ⊂平面P A C ,所以P O ʅ平面A B C D ,即P O 是三棱锥P -A D E 的高㊂由A B =2,可得A O =O D =2,所以P O =P A 2-O A 2=2㊂因为R t әP O D ɸR t әP O A ,所以P A =P D =2㊂设点E 到平面P A D 的距离为d ㊂因为V E -P A D =V P -A D E ,所以13S әP A D ㊃d =13S әA D E ㊃P O ,即S әP A D ㊃d =S әA D E ㊃P O ,可得34ˑ4ˑd =12ˑ2ˑ1ˑ2,解得d =63,即点E 到平面P A D 的距离为63㊂提炼:求点到平面的距离的两种常用方法:构造法,根据定义构造垂直于平面的直线,确定垂足位置,将所求线段化归到三角形中求解;等积变换法,将所求距离看作某个几何体(多为棱锥)的高,利用体积相等建立方程求解㊂四㊁概率例4 羽毛球比赛规则:①21分制,每球取胜加1分,由胜球方发球;②当双方比分为20ʒ20之后,领先对方2分的一方赢得该局比赛,当双方比分为29ʒ29时,先取得30分的一方赢得该局比赛㊂经过鏖战,甲乙比分为27ʒ28,甲在关键时刻赢了一球,比分变为28ʒ28㊂在最后关头,按以往战绩统计,甲发球时,甲赢球的概率为0.4,乙发球时,甲赢球的概率为0.5,每球胜负相互独立㊂(1)甲乙双方比分为28ʒ28之后,求再打完两球该局比赛结束的概率㊂(2)甲乙双方比分为28ʒ28之后,求甲赢得该局比赛的概率㊂解:(1)设事件A = 甲乙双方比分为28ʒ28之后,两人又打了两个球该局比赛结束 ,则这两个球均由甲得分的概率为P 1=0.4ˑ0.4=0.16,这两个球均由乙得分的概率为P 2=(1-0.4)ˑ(1-0.5)=0.3㊂因此所求概率P (A )=P 1+P 2=0.46㊂(2)设事件B = 甲乙双方比分为28ʒ28之后,甲赢得该局比赛 ,则分三种情况:甲连得2分的概率为P 3=0.4ˑ0.4=0.16;甲先得1分,乙得1分,甲再得1分的概率为P 4=0.4ˑ(1-0.4)ˑ0.5=0.12;乙先得1分,甲得1分,甲再得1分的概率为P 5=(1-0.4)ˑ0.5ˑ0.4=0.12㊂因此所求概率P (B )=P 3+P 4+P 5=0.4㊂提炼:求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和;二是先求其对立事件的概率,再应用公式P (A )=1-P (A )求解㊂甲㊁乙两名同学进行篮球投篮练习,甲同学一次投篮命中的概率为34,乙同学一次投篮命中的概率为23,假设两人投篮命中与否互不影响,则甲㊁乙两人各投篮一次,至少有一人命中的概率是㊂提示:甲㊁乙两人都不命中的概率为1-34ˑ1-23=112,则至少有一人命中的概率是1-112=1112㊂作者单位:江苏省无锡市第六高级中学(责任编辑 郭正华)4知识结构与拓展 高一数学 2023年6月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高中数学高考新题型附解析选编知识点分析(一)旧人教版
高考数学新题型附解析选编（一）1、（Ⅰ）已知函数：1()2()(),([0,),)n n n f x x a x a x n N -*=+-+∈+∞∈求函数()f x 的最小值; （Ⅱ）证明:()(0,0,)22n n n a b a b a b n N *++≥>>∈；（Ⅲ）定理:若123,,k a a a a 均为正数,则有123123()n n nnnk ka a a a a a a a kk++++++++≥ 成立(其中2,,)k k N k *≥∈为常数．请你构造一个函数()g x ，证明：当1231,,,,,k k a a a a a +均为正数时，12311231()11n n nnnk k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++．解：（Ⅰ）令111'()2()0n n n f x nx n a x ---=-+=得11(2)()2n n x a x x a x x a --=+∴=+∴=…2分 当0x a ≤≤时，2x x a <+ '()0f x ∴≤ 故()f x 在[0,]a 上递减．当,'()0x a f x >>故()f x 在(,)a +∞上递增．所以，当x a =时，()f x 的最小值为()0f a =.….4分（Ⅱ）由0b >，有()()0f b f a ≥= 即1()2()()0n n n nf b a b a b -=+-+≥ 故 ()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈．………………………………………5分（Ⅲ）证明:要证：12311231()11n n nnnk k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++只要证：112311231(1)()()n n n nn n k k k a a a a a a a a -+++++++≥++++设()g x =1123123(1)()()n n n nn n k a a a x a a a x -+++++-++++…………………7分则11112'()(1)()n n n k g x k nx n a a a x ---=+⋅-++++令'()0g x =得12ka a a x k +++=…………………………………………………….8分当0x ≤≤12ka a a k +++时，1112'()[(]()n n k g x n kx x n a a a x --=+-++++≤111212()()0n n k k n a a a x n a a a x --++++-++++=故12()[0,]ka a a g x k+++在上递减，类似地可证12()(,)ka a a g x k ++++∞在递增所以12()ka a a x g x k+++=当时，的最小值为12()ka a a g k+++………………10分而11212121212()(1)[()]()n n n n n nk k k k k a a a a a a a a a g k a a a a a a k k k -+++++++++=+++++-++++ =1121212(1)[()()(1)()]n n n n nn n k k k nk k a a a a a a k a a a k -++++++++-++++=11212(1)[()()]n n n n n nk k n k k a a a k a a a k -++++-+++=1112121(1)[()()]n n n n n n k k n k k a a a a a a k ---++++-+++由定理知: 11212()()0n nn n nkk ka a a a a a -+++-+++≥ 故12()0ka a a g k+++≥1211[0,)()()0kk k a a a a g a g k+++++∈+∞∴≥≥故112311231(1)()()n n n nn n k k k a a a a a a a a -+++++++≥++++即:12311231()11n n nnnk k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++.…………………………..14分答案：5354321b b b b b b =∙∙∙∙3、10．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质： （i ）1*1=1，（ii ）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于A ．nB ．n+1C ．n -1D ．2n 答案：D4、若)(n f 为*)(12N n n ∈+的各位数字之和，如：1971142=+，17791=++，则17)14(=f ;记=∈===+)8(*,)),(()(,)),(()(),()(20081121f N k n f f n f n f f n f n f n f k k 则 ____答案：55、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD 的侧面与底面。
高中数学一题多解经典例题解析
【典例 6】已知向量 OA (k,2) ， OB (2,3) ， OC (3k,4) ，且 A, B,C 三点共线，则 k
.
解法一：距离公式法 A, B,C 三点共线 AB BC AC 取 O 点的坐标为 (0,0) ，则 A(k,2) ， B(2,3) ， C(3k,4)
解法二：复数有固定的表达形式，有时不妨假设出复数的表达式，然后再利用待定系数法解出 a，b 的值，这种
方法在有些时候非要有用。
y 2x
【典例 3】若变量 x，y 满足约束条件 2x y 1，则 z=3x+y 的最大值是
．
y 1
解法一：解方程法
y 2x
①
将原式的不等号看成等号，得
A.
CU CU
A B
{2,3} {3}
{3}
{2,3}
CU
B
CU
A ，A
错误
B.
CU CU
A B
{2,3} {3}
CU
B
CU
A
{2,3}
{1,2,3}
U
，B
错误
C. CU B {3}, A {1} CU B A ，C 正确 D. CU A {2,3}, B {1,2} CU A B {2} ，D 错误 解法三：韦恩图法
解法一：图像平移法 f (x 2) x2 5x 7 是将 f (x) 的图像向右平移 2 个单位长度得到
由 AB BC AC ，解得 k 3 . 解法二：共线向量法 A, B,C 三点共线 AB // BC // AC AB OB OA (2,3) (k,2) (2 k,1) ① BC OC OB (3k,4) (2,3) (3k 2,7) ②
名师解读高考真题系列-高中数学文数：专题01 集合和常
一、选择题1. 【集合的交集运算】【2016新课标1，文】设集合{}1,3,5,7A =,{}25B x x =剟,则A B = （ ） A.{1,3} B.{3,5} C.{5,7} D.{1,7}【答案】B2. 【集合的运算，解一元二次不等式】【2016新课标2，文】已知集合{123}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B =（ ）A.{210123}--，，，，， B.{21012}--，，，， C.{123}，， D.{12}，【答案】D3. 【集合的补集运算】【2016新课标Ⅲ，文】设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ð＝（ ） A.{48},B.{026}，, C.{02610}，，, D.{0246810}，，，，,【答案】C4. 【集合的运算】【2016天津，文】已知集合}3,2,1{=A ，},12|{A x x y y B ∈-==，则A B =（ ） A.}3,1{B.}2,1{C.}3,2{D.}3,2,1{【答案】A5. 【充要条件】 【2016四川，文】设p:实数x ，y 满足1x >且1y >，q: 实数x ，y 满足2x y +>，则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A6. 【集合的交集运算】【2016四川，文】设集合{|15}A x x =≤≤,Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是( )A.6B.5C.4D.3【答案】B7. 【补集的运算】【2016浙江，文】已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，集合P ={1，3，5}，Q ={1，2，4}，则U P Q （）ð=（ ） A.{1}B.{3，5}C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，5}【答案】C8. 【充要条件】【2016天津，文】设0>x ，R y ∈，则“y x >”是“||y x >”的（ ） A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C9. 【充要条件】【2016上海，文】设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A10. 【集合的交集运算】【2016北京，文】已知集合={|24}A x x <<，{|3B x x =<或5}x >，则A B = （ ）A.{|25}x x <<B.{|4x x <或5}x >C.{|23}x x <<D.{|2x x <或5}x >【答案】C11. 【集合的运算】【2016山东，文】设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5},{3,4,5}U A B ===，则()U A B ð=（ ） A.{2,6}B.{3,6}C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}【答案】A12. 【集合的运算】【2015陕西，文1】设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N = （ ） A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1) D ．(,1]-∞【答案】A13. 【集合的交集运算】【2015北京，文1】若集合{}52x x A =-<<，{}33x x B =-<<，则A B= （ ）A ．{}32x x -<< B ．{}52x x -<< C ．{}33x x -<< D ．{}53x x -<<【答案】A14. 【集合的交集运算】【2015广东，文1】若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N = （ ） A ．{}0,1- B ．{}0 C ．{}1 D ．{}1,1-【答案】C15. 【充要条件】【2015湖南，文3】设x ∈R ，则“x >1”是“2x >1”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件【答案】C16. 【集合的运算，解不等式】【2015山东，文1】 已知集合{}|{|24130}A x x B x x x =<<=--<，（)(），则A B ⋂= ( )A.1,3（）B.1,4（）C.（2,3（）D.2,4（））【答案】C17. 【命题的四种形式】【2015山东，文5】设m R ∈,命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是( )A.若方程20x x m +-=有实根，则0m > B.若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤ C. 若方程20x x m +-=没有实根，则0m > D.若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤【答案】D18. 【集合的并集运算】【2015四川，文1】设集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，集合B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∪B ＝( )A.{x |－1＜x ＜3}B.{x |－1＜x ＜1}C.{x |1＜x ＜2}D.{x |2＜x ＜3}【答案】A19. 【充要条件，对数函数】【2015四川，文4】设a ，b 为正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A20. 【集合的运算】【2015新课标1，文1】已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为( ) A. 5 B.4 C.3 D.2【答案】D21. 【特称命题和全称命题的否定形式】【2015湖北，文3】命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ）A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C. 二、非选择题22. 【集合的运算】【2015湖南，文11】已知集合U={}1,2,3,4，A={}1,3,B={}1,3,4,则A (U B ð)=_____.【答案】{1，2，3}.2017年真题1.【集合的运算】【2017课标1，文1】已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则( ) A ．A B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ B ．A B =∅ C ．A B 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．A B=R【答案】A 【解析】 由320x ->得32x <，所以33{|2}{|}{|}22A B x x x x x x ⋂=<⋂<=<，选A ． 【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理． 2. 【集合的运算】【2017课标II ，文1】设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==则A B = ( )A. {}123,4，， B. {}123，， C. {}234，， D. {}134，， 【答案】A【解析】由题意{1,2,3,4}A B = ，故选A.3. 【集合的运算】【2017课标3，文1】已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A B 中元素的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B4. 【集合的运算】【2017天津，文1】设集合{1,2,6},{2,4},{1A B C ===，则()A B C = ( )A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,6}【答案】B5. 【集合的运算】【2017北京，文1】已知U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则U A =ð( )A.(2,2)-B.(,2)(2,)-∞-+∞C.[2,2]-D.(,2][2,)-∞-+∞ 【答案】C【考点】集合的运算【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示，若集合是无限集合就用描述法表示，注意代表元素是什么，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.6.【集合的运算】【2017浙江，1】已知}11|{<<-=x x P ，}20{<<=x Q ，则=Q P ( ) A ．)2,1(-B ．)1,0(C ．)0,1(-D ．)2,1(【答案】A【解析】利用数轴，取Q P ,所有元素，得=Q P )2,1(-．7. 【充要条件】【2017天津，文2】设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B8. 【集合的运算，不等式的解法】【2017山东，文1】设集合{}11M x x =-<，{}2N x x =<，则M N =( )A.()1,1-B. ()1,2-C. ()0,2D. ()1,2 【答案】C 【解析】由|1|1x -<得02x <<,故={|02}{|2}{|02}M N x x x x x x <<<=<< ,故选C.9. 【命题真假的判断】【2017山东，文5】已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是( )A ．p q ∧ B.p q ∧⌝ C.p q ⌝∧ D.p q ⌝∧⌝ 【答案】B 【解析】由0x =时210x x -+≥成立知p 是真命题,由221(2),12<->-可知q 是假命题,所以p q ∧⌝是真命题,故选B.10. 【命题，不等式恒成立问题】【2017北京，文13】能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a >b >c ，则a +b >c ”是假命题的一组整数a ,b ,c 的值依次为______________________________．【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．11. 【元素的互异性】【2017江苏，1】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B = 则实数a 的值为 . 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【名师点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关,A B A B =∅⊆ 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.。
高考数学经典题型解析
第8页，共13页。
例题：
第9页，共13页。
函数零点问题
• 求一个函数的零点及零点个数，我们通常第 一思路就是Y=0，求X。还可以通过函数的 图像来观察，但是这里切记要充分利用函数 的对称性（奇偶性），周期性。还有就是更 巧妙的二分法（找邻居）。
第10页，共13页。
例题：
第11页，共13页。
新课标中的选做题
• 新课标的选做题分三类：一、几何证明，二、 参数方程与极坐标，三、不等式。
• 选做题型不是较难题型，很多学生感觉简单， 白给分，但是我对学生的要求是至少要会两 种以上选做题，不能孤注一掷。
第12页，共13页。
例题：
第13页，共13页。
高考数学经典题型解析
第1页，共13页。
向量选择题的巧解
• 向量类选择题、填空题属于小分值题型，可 以通过我们传统学习的向量的运算、乘积以 及向量的坐标运算来创建解题思路，这样也 是最简单，最直观的。但是，涉及到某些向 量题型计算量偏大，消耗时间较长的类型， 我们可以运用数形结合的方法，把向量以最 简单直观的建立在坐标轴中，从而运用几何 上的知识来解决问题。
第2页，共13页。
例题：
• 设向量a，b，c满足│a│=│b │=1，ab=-1/2， <a-c,b-c>=60°，则│c│的最大值等于
第3页，共13页。
三角函数题型
• 在计算三角函数题型时（新课标基本上体现 在选择填空题上），既可以利用常见角度的 三角函数，也可以利用三角函数的诱导公式， 和差公式，但是解题之前的首要前提就是要 注意我们所求的角度的“取值范围”。
2020届山东省新高考高三优质数学试卷分项解析 专题01 集合,常用逻辑用语(解析版)
专题1 集合，常用逻辑用语1.集合的运算.高考对集合基本运算的考查，集合由描述法呈现，转向由离散元素呈现．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的，明确集合中含有的元素，进一步进行交、并、补等运算．常见选择题.2. 充要条件.高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查，主要命题形式是选择题.由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要集中在以函数、方程、不等式、立体几何线面关系、数列等为背景的充分条件和必要条件的判定．3.关于存在性命题与全称命题，一般考查命题的否定. 预测2020年将保持稳定，必考且难度不会太大.一、单选题1．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知集合{}220A x x x =-≥，{}03B x x =<<，则A B =I （ ）A ．()1,3-B ．(]0,2C ．[)2,3D ．()2,3【答案】C 【解析】{|0A x x =≤Q 或2}x ≥，{|03}B x x =<<， [2,3)A B ∴⋂=．故选：C.2．（2020届山东省烟台市高三上期末）命题“2x ,10R x x ∀∈-+>”的否定是（ ）A ．2x ,10R x x ∀∈-+≤B ．2x ,10R x x ∀∈-+<C ．2000x ,10R x x ∃∈-+≤D ．2000x ,10R x x ∃∈-+<【答案】C 【解析】全称命题的否定“20,10x R x x ∃∈-+≤”，故选C.3．（2020届山东省日照市高三上期末联考）若集合 A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x 2＞1}，则 A∩B=（ ） A ．{x|x ＜﹣1或x ＞1}B ．{﹣2，2} C ．{2}D ．{0}【答案】B 【解析】由B 中不等式解得：x ＞1或x ＜﹣1，即B={x|x ＞1或x ＜﹣1}， ∵A={﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴A∩B={﹣2，2}， 故选B ．4．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知集合{}04A x Z x =∈<<，()(){}120B x x x =+-<，则A B =I （ ） A ．()0,2 B ．()1,2-C ．{}0,1D ．{}1【答案】D 【解析】由题意，集合{}{}041,2,3A x Z x =∈<<=， ()(){}{}12012B x x x x x =+-<=-<<， 所以{}1A B ⋂=． 故选D ．5．（2020·云南省玉溪第一中学高二期末（理））“1x =”是“2210x x -+=”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】1x =时，2210x x -+=成立，故是充分的，又当2210x x -+=时，即2(1)0x -=，1x =，故是必要的的，因此是充要条件．故选A ．6．（2020届山东省泰安市高三上期末）若全集U =R ，集合2{|16}A x Z x =∈<，{|10}B x x =-≤，则()U A B ⋂=ð（ ） A ．{|14}x x <„ B ．{|14}x x << C ．{1,2,3} D ．{2,3}【答案】D 【解析】{|44}{3,2,1,0,1,2,3}A x x =∈-<<=---Z ， {|1}U B x x =>ð，(){2,3}U A B =I ð.故选:D7．（2020届山东省烟台市高三上期末）已知集合{}2|20A x x x =--≤，{|B x y ==，则A B =U （ ）A ．{}1|2x x -≤≤B ．{}|02x x ≤≤C ．{}1|x x ≥-D ．{}|0x x ≥【答案】C 【解析】由题,因为220x x --≤,则()()210x x -+≤,解得12x -≤≤,即{}|12A x x =-≤≤； 因为0x ≥,则{}|0B x x =≥, 所以{}|1A B x x ⋃=≥- 故选：C8．（2020届山东省潍坊市高三上期中）m 、n 是平面α外的两条直线，在m ∥α的前提下，m ∥n 是n ∥α的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】//m α，则存在l α⊂有//m l .而由//m n 可得//n l ，从而有//n α.反之则不一定成立，,m n 可能相交，平行或异面.所以//m n 是//n α的充分不必要条件，故选A9．（2020届山东省泰安市高三上期末）“1a <-”是“0x ∃∈R ，0sin 10+<a x ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】必要性：设()sin 1f x a x =+，当0a >时，()[]1,1f x a a ∈-+，所以10a -<，即1a >；当0a <时，()[]1,1f x a a ∈+-，所以10a +<，即1a <-.故1a >或1a <-. 充分性：取02x π=，当1a <-时，0sin 10a x +<成立.答案选A10．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知集合{|11}A x x =-≤≤，则A N ⋂=（ ） A ．{1} B ．{0,1} C ．{}1- D ．{0,1}-【答案】B 【解析】由题意{0,1}A N =I ． 故选：B.11．（2020届山东省九校高三上学期联考）已知集合{}|21xA x =≤，(){}|lg 1B x y x ==-，则()R A C B =I （ ） A ．∅ B ．(0,1) C ．(,1]-∞ D ．(,0]-∞【答案】D 【解析】由题：{|21}{0}xA x x x =≤=≤，(){|lg 1}{|1}B x y x x x ==-=>， {1}RC B x x =≤，()(,0]R A C B =-∞I故选：D12．（2020届山东省日照市高三上期末联考）设,a b r r 是非零向量，则2a b =r r是a a bb =r r rr 成立的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】由2a b =v v 可知：a b v v ， 方向相同，a b a bvv v v ， 表示 a b v v ， 方向上的单位向量所以a ba b=v v v v 成立;反之不成立.故选B13．（2020届山东省德州市高三上期末）已知全集U =R ，{}2|9A x x =<，{}|24B x x =-<<，则()R A B I ð等于（ ）A ．{}|32x x -<<-B ．{}|34x x <<C ．{}|23x x -<<D ．{}|32x x -<≤-【答案】D 【解析】{}{}2933A x x x x =<=-<<Q ，{}24B x x =-<<，则{2U B x x =≤-ð或}4x ≥，因此，(){}32R A B x x ⋂=-<≤-ð. 故选：D.14．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设集合{2,1,0,1,2}P =--，{}2|20Q x x x =+-<，P Q =I （ ）A ．{1,0}-B ．{1,0,1}-C ．{0,1}D ．{0,1,2}【答案】C 【解析】{}{}2|20|21Q x x x x x =+-<=-<<，所以P Q =I {0,1}， 故选：C.15．（2020·全国高三专题练习（文））“[]1,2x ∀∈，210ax +≤”为真命题的充分必要条件是（ ） A ．1a ≤- B ．14a -≤ C ．2a ≤- D ．0a ≤【答案】A 【解析】Q “[]1,2x ∀∈，210ax +≤”为真命题，21a x ∴≤-对任意的[]1,2x ∈恒成立，由于函数21y x=-在区间[]1,2上单调递增，则min 1y =-，1a ∴≤-. 故选：A.16．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）命题“对任意x ∈R ，都有221x x +<”的否定是（ ） A ．对任意x ∈R ，都有221x x +> B ．对任意x ∈R ，都有221x x +≥ C ．存在x ∈R ，使得221x x +> D ．存在x ∈R ，使得221x x +≥【答案】D 【解析】命题“对任意x ∈R ，都有221x x +<”的否定是存在x ∈R ，使得221x x +≥. 故选：D.17．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）“0x <”是“ln(1)0x +<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由题意得，ln(1)001110x x x +<⇔<+<⇔-<<，故是必要不充分条件，故选B ．18．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知集合{}2230A x x x =--<，{}22B x x =-<<，若A B =I （ ）A ．(2,2)-B ．(2,1)-C ．(1,3)-D ．(1,2)-【答案】D 【解析】由(3)(1)0x x -+<得13x -<<，(1,3)A ∴=-，又(2,2)B =-Q ，(1,2)A B ∴=-I ， 故选：D.19．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知命题:p “,10x x R e x ∃∈--≤”，则命题:p ⌝（ ）A ．,10x x R e x ∀∈-->B ．,10x x R e x ∀∉-->C ．,10x x R e x ∀∈--≥D ．,10x x R e x ∃∈-->【答案】A 【解析】因为命题“,p q ∃”的否定为：,p q ∀⌝，因此命题:p “,10xx R e x ∃∈--≤”的否定为：,10xx R e x ∀∈-->，选A.20．（2020届山东师范大学附中高三月考）函数()log (0,1)a f x x a a =>≠是增函数的一个充分不必要条件是（ ） A ．102a <<B ．01a <<C ．1a >D ．24a <<【答案】D 【解析】∵1a >时，()log (0,1)a f x x a a =>≠是增函数，∴函数()log (0,1)a f x x a a =>≠是增函数的一个充分不必要条件是(1,)∈+∞a 的一个子集，又(2,4)(1,)⊂+∞，故选：D.21．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知集合{}{}2230,21A x x x B x x x Z =--≤=-≤<∈且，则A B =I （ ）A ．{}2,1--B ．{}1,0-C ．{}2,0-D ．{}1,1-【答案】B 【解析】2230x x --≤解得：13x -≤≤ ，{}13A x x ∴=-≤≤,{}2,1,0B =--， {}1,0A B ∴=-I .故选：B22．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(),0-∞B ．(],0-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 【答案】A 【解析】(){}|1001A x x x x =-≤⇒≤≤ (){}|ln B x y x a x a ==-⇒>A B A A B ⋂=⇒⊆所以0a < 故答案选A23．（2020届山东省济宁市高三上期末）设集合{|11}M x x =-≤≤，{|124}xN x =<<，则M N =IA ．{|10}x x -≤<B ．{|01}x x <≤C ．{|12}x x ≤<D ．{|12}x x -≤<【答案】B 【解析】因为{|11}M x x =-≤≤，{}|124{|02}xN x x x =<<=<<,所以{|01}M N x x ⋂=<≤，故选B.24．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知a R ∈，则“01a <<”是“,x R ∀∈2210ax ax ++>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】∵,x R ∀∈2210ax ax ++>，∴0a =或2440a a a >⎧⎨∆=-<⎩，即0a =或01a <<，∴01a ≤<．∴“01a <<”是“,x R ∀∈2210ax ax ++>”的充分不必要条件． 故选：A.25．（2020届山东省临沂市高三上期末）设集合()(){}160A x x x =-->，{}20B x x =->，则A B =I （ ） A ．{}6x x > B ．{}12x x <<C ．{}1x x <D ．{}26x x <<【答案】C【解析】()(){}{1601A x x x x x =-->=<Q 或}6x >，{}{}202B x x x x =->=<，因此，{}1A B x x ⋂=<. 故选：C.26．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）设集合{}|1A x x =<，(){}|30B x x x =-<，则A B =U （ ） A ．()1,0- B ．()0,1C ．()1,3D ．()1,3-【答案】D 【解析】集合A ＝{x||x|＜1}＝{x|﹣1＜x ＜1}， B ＝{x|x （x ﹣3）＜0}＝{x|0＜x ＜3}， 则A ∪B ＝{x|﹣1＜x ＜3}＝（﹣1，3）． 故选：D ．27．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知{}|13A x x =-≤<，{}0,2,4,6B =，则A B =I ( ) A ．{}0,2 B ．{}1,0,2-C ．{}|02x x ≤≤D ．{}1|2x x -≤≤【答案】A 【解析】因为{}|13A x x =-≤<，{}0,2,4,6B =， 所以{}0,2A B =I . 故选：A.28．（2020届山东省临沂市高三上期末）“游客甲在烟台市”是“游客甲在山东省”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为烟台是山东省的一个地级市，所以如果甲在烟台市，那么甲必在山东省，反之不成立，故“游客甲在烟台市”是“游客甲在山东省”的充分不必要条件 故选：A .29．（2020届山东实验中学高三上期中）命题:“(),0,34xxx ∀∈-∞≥”的否定为（ ）A ．[)0000,,34xx x ∃∈+∞<B ．[)0000,,34xx x ∃∈+∞≤C ．()000,0,34xx x ∃∈-∞<D ．()000,0,34xxx ∃∈-∞≤【答案】C 【解析】命题“(),0,34xxx ∀∈-∞≥”是全称命题，则命题的否定是特称命题即()000,0,34xxx ∃∈-∞<，故选：C ．30．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知x ∈R ，则“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”是“21x -<<-”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝解得0x <，所以由“21x -<<-”能推出“0x <”，反之，不能推出； 因此“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”是“21x -<<-”的必要不充分条件. 故选：B.31．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知A ,B ,C 为不共线的三点,则“AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r”是“ABC∆为直角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，两边平方得到222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，0AB AC ∴⋅=u u u r u u u r ，即AB AC ⊥u u u r u u u r 故ABC ∆为直角三角形，充分性；若ABC ∆为直角三角形，当B Ð或C ∠为直角时，AB AC AB AC +≠-u u u r u u u r u u u r u u u r ，不必要；故选：A32．（2020届山东实验中学高三上期中）设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =I ，求实数a 组成的集合的子集个数有A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】 {}2|8150{3,5}A x x x =-+==,因为A B B =I ，所以B A ⊂，因此,{3},{5}B =∅，对应实数a 的值为110,,35，其组成的集合的子集个数有328=，选D. 二、多选题33．（2020届山东省济宁市高三上期末）下列命题中的真命题是( )A ．1,20x x R -∀∈>B ．()2,10x N x *∀∈->C ．00,lg 1x R x ∃∈<D ．00,tan 2x R x ∃∈= 【答案】ACD【解析】A. 1,20x x R -∀∈>，根据指数函数值域知A 正确；B. ()2,10x N x *∀∈->，取1x =，计算知()210x -=，B 错误；C. 00,lg 1x R x ∃∈<，取01x =，计算0lg 01x =<，故C 正确；D. 00,tan 2x R x ∃∈=，tan y x =的值域为R ，故D 正确；故选：ACD34．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）下列判断正确的是（ ）A ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件；C ．若随机变量ξ服从二项分布：414,B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭,则()1E ξ=； D ．22am bm >是a b >的充分不必要条件.【答案】ABCD【解析】A ．已知随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），P （ξ≤4）＝0.79，则曲线关于x ＝1对称，可得P （ξ＞4）＝1﹣0.79＝0.21，P （ξ≤﹣2）＝P （ξ＞4）＝0.21，故A 正确；B ．若α∥β，∵直线l ⊥平面α，∴直线l ⊥β，∵m ∥β，∴l ⊥m 成立．若l ⊥m ，当m ∥β时，则l 与β的位置关系不确定，∴无法得到α∥β．∴“α∥β”是“l ⊥m ”的充分不必要条件．故B 对；C ．由于随机变量ξ服从二项分布：ξ～B （4，14），则Eξ＝4×0.25＝1，故C 对； D ．“am 2>bm 2”可推出“a >b ”，但“a >b ”推不出“am 2>bm 2”，比如m ＝0，故D 对；故选：ABCD ．35．（2019·山东高三月考）下列判断正确的是（ ）A ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件；C ．若随机变量ξ服从二项分布：414,B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭,则()1E ξ=； D ．22am bm >是a b >的充分不必要条件.【答案】ABCD【解析】A ．已知随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），P （ξ≤4）＝0.79，则曲线关于x ＝1对称，可得P （ξ＞4）＝1﹣0.79＝0.21，P （ξ≤﹣2）＝P （ξ＞4）＝0.21，故A 正确；B ．若α∥β，∵直线l ⊥平面α，∴直线l ⊥β，∵m ∥β，∴l ⊥m 成立．若l ⊥m ，当m ∥β时，则l 与β的位置关系不确定，∴无法得到α∥β．∴“α∥β”是“l ⊥m ”的充分不必要条件．故B 对；C ．由于随机变量ξ服从二项分布：ξ～B （4，14），则Eξ＝4×0.25＝1，故C 对； D ．“am 2>bm 2”可推出“a >b ”，但“a >b ”推不出“am 2>bm 2”，比如m ＝0，故D 对；故选：ABCD ．三、填空题36．（2020届山东省潍坊市高三上期中）“x R ∃∈，220x x a --<” 为假命题，则实数a 的最大值为__________．【答案】1-【解析】由“x R ∃∈，220x x a --<”为假命题，可知，“x R ∀∈，220x x a --≥”为真命题，22a x x ∴≤-恒成立，由二次函数的性质可知，221x x -≥-，则实数1a ≤-，即a 的最大值为1-．故答案为：1-.37．（2020届山东实验中学高三上期中）设命题21:01x p x -<-，命题()()2:2110q x a x a a -+++≤，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____________． 【答案】10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 由题意得，21:01x p x -<-，解得112x <<，所以1:12p x <<，由()()2:2110q x a x a a -+++?，解得1a x a ≤≤+，即:1q a x a ≤≤+，要使得p 是q 的充分不必要条件，则11{12a a +≥≤，解得102a ≤≤，所以实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 四、解答题38．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）非空集合()(){}2|312310A x x a x a =-++-<，集合(){}223|220B x x a a x a a =-++++<（Ⅰ）当3a =时，求A B I ；（Ⅱ）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（I ）{}|38A B x x =<<I ；（Ⅱ）(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭U【解析】（I ）当3a =时，{}2|10160A x x x =-+<()(){}|280x x x =--< {}|28x x =<<；{}2|14330B x x x =-+<()(){}|3110x x x =--<{}|311x x =<<；故{}|38A B x x =<<I .（Ⅱ）()(){}|2310A x x x a =---<⎡⎤⎣⎦.()(){}2|20B x x a x a ⎡⎤=--+<⎣⎦. ∵22172024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，∴22a a +>.∴{}2|2B x a x a =<<+.∵q 是p 的必要条件，∴A B ⊆.①当1a =时，312a -=，A =∅，不符合题意；②当1a >时，312a ->，{}|231A x x a =<<-，要使A B ⊆，需要212312a a a a >⎧⎪≤⎨⎪-≤+⎩∴12a <≤.③当1a <时，312a -<，{}|312A x a x =-<<，要使A B ⊆，需要213122a a a a <⎧⎪≤-⎨⎪≤+⎩ ∴112a ≤<.综上所述，实数a 的范围是(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭U .。
高三数学理考试题目完解读试题
卜人入州八九几市潮王学校2021年数学〔理〕考试题目完全解读一、选择题（一）选择题的特点：数学高考选择题一共12题(07年11题)，60分，占全卷的40%，难度比大概为6：4：2，即6个左右的题目为容易题，4个左右为中等难度的题，2个左右为难题。
（二）解选择题的要求：解答选择题的首要HY是准确，其次要求是快速。
平常训练时可以先对速度不做过多要求，力求准确，然后再逐渐追求速度，做到又准又快。
（三）解选择题的策略：对于容易题和大局部的中等难度的题，可采取直接法；难度较大的题使用一些技巧，采用非常规的方法同时注意多用图能不算那么不要算。
（四）答题本卷须知：〔1〕试卷实际上只起一个题目单的作用，特别是一卷。
所以考试时可将第一卷作为草稿纸使用，在题目周围运算、画图，做各种标记〔自己认识的〕，不必担忧这样会影响卷面整洁。
〔2〕答完选择题后即可填涂答题卡，涂好有把握的题，把握不大的先留下来，并做一个标记，以免忘记做答，在监考老师提醒完毕时间是还有15分钟时或者之前填好所有的工程。
切记最后不要留空，实在不会的，要采用猜测、凭第一感觉、选项平均分布〔四个选项里面正确答案的数目不会相差很大，选项C出现的机率较大，难题之答案一般放在A、B两个选项里面〕等方法选定答案。
（五）应考建议：1、每天安排30分钟时间是做一套模拟试卷中的选择题，要严格控制时间是，评出成绩，订正答案，反思总结。
坚持一段时间是，一定会有大的收获。
2、养成良好读题习惯。
一个完好的选那么题包含题干与选项〔有些同学作选择题时，不看选项，只读题干，费时易错〕3、 考试前50分钟看看有详细答案的选择题。
（六） 09年考题预测与答题技巧： 1、 09年高考数学高频考题〔1〕复数21i i+-的虚部是〔D 〕A 、1-B 、3C 、12-D 、32 〔2〕设集合1{|||1},{|11}1x M x N x x x -=>=-<<+，那么“a M∈〞是“a N ∈〞的〔D 〕A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、即不充分也不必要条件(3)点M 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛35π，，以下所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是〔B 〕 A.53，-⎛⎝⎫⎭⎪π B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-355π， C.523，-⎛⎝⎫⎭⎪π D.543，π⎛⎝⎫⎭⎪〔4〕如图C 内切于扇形AOB ，∠AOB ＝3π，假设在扇形AOB 内任取一点，那么该点在圆C 内的概率为〔C 〕A 、16B 、13C 、23D 、34〔5〕某个几何体的三视图如图〔正视图中的弧线是半圆〕, 根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的外表积是〔C 〕 〔单位cm 〕A 、42π+B 、62π+C 、43π+D 、63π+ 2、方法直接法按常规解法边做边比较答案答案,直到找到正确选项,这种方法可以解决大局部的选择题,特别适宜做比较容易的题目.(1)直接根据复数代数形式运算求解；〔2〕解出不等式由集合的包含关系知选D ；〔3〕由极坐标的定义或者极坐标与直角坐标的互化求解；〔4〕几何概型，概率为圆的面积除以扇形面积；〔5〕直观图反映出是半个圆柱，由外表积公式易得外表积。
高中数学经典题型与变式(高三版)试读版
1a 2 +b 22 5 a > 第 2 课 不等式性质与基本不等式2.1 用不等式的性质及几个常用不等式（多元消参、 取倒数法则、a 2 + b 2 ≥ 2 | ab | 求范围、拖泥带水求最值，（3）如图，在直角坐标平面 xOy 内， A (0, -1), B (3, 2), x + 1a +b ≤ 脱根号、互相垂直的弦）2【典例】问题 1：不等式有哪些基本性质？对于任意实数 a , b , c , d ，给出以下六个命题： （1）若 a > b 且c > d ，则 a + c > b + d ；（2）若a ,b ,c ,d 为实数，且 a > b ，c >d ，则a -c >b -d ； C (-3, 2) ，点(x , y ) 在 ∆ABC 内和边界上，求值范围.的取 y + 2 （3）若 a > 2, b > 2 ，则 a 2 + b 2 > 4 ； （4）在 ∆ABC 中，角 A,B,C 所对边分别是 a ,b , c ，（4）设 a ∈ R ，则“ a > 1”是“ a 2 > 1 ”的充要条件。
其中真命题的有 ．问题 2：两个不等式的不等号相同，它们就可以直接相加，可以用来求取值范围，那么能不能相减？ （1）已知0 < α< π, 0 < β< π，分别求α+ β，α- β，B = π.若π ≤ A ≤ π,求 c的取值范围。
3 64 a问题 5：不等式 a 2 + b 2 ≥ 2ab 成立的条件是什么？ （1）已知 a ,b , c ∈ R ，求证： a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ac ；a 4 + 4b 4 + 12 2（2）已知 a ,b ∈ R , a b > 0 ,求ab的最小值;2α- β， β-α的取值范围．（ 2 ） 已知 tan α= 2, tan β= - 1， α,β∈ (0,π) ， 求31 x2 + y 2（3）已知 xy 0 ，求 2xy ++ 的最小值；xy x 2 y 2（4）已知 a 2 +1 = 2b 2 ，求 a 2 + 4b 2 - 4ab 的最小值。
高考数学复习考点题型专题讲解题型01集合解析版
高考数学复习考点题型专题讲解题型: 集合【考点题型一】：区分数集与点集。
『解题策略』：关键看集合的代表元素，用描述法表示集合时，如竖线前面用一个字母表示，则表示数集；注意x 表示定义域，y 表示值域。
如竖线前面用坐标表示，则表示点集。
数集要考虑数(一维即数轴上数)的范围，而点集要考虑其图形(二维即坐标平面上点的轨迹)，考生在考题中易把数集混淆为点集。
1.(高考题)若集合，则 ( ){}{}23,,1,x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈S T = A.S B.T C. D.有限集∅【解析】：集合表示数集，且分别表示指数函数与二次函数的值域，,S T ；,选A 。
{}0S y y =>T ={}1y y ≥-2.(高考题)设集合，，为虚数22{||cos sin |,}M y y x x x R ==-∈1{|||N x x i =-<i 单位，，x ∈R }则为 ( )M N A. B., C., D.,()0,1(01][01)[01]【解析】：表示数集，，，[]:cos 20,1M y x =∈1:N x x i i-=+=<，选C 。
()1,1x ∈-3.(高考题)已知，，则= ( ) {}1,log 2>==x x y y U ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==2,1x x y y P P C U A. B. C. D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0()+∞,0()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∞-,210, 【解析】：表示数集，，，选A 。
:0U y >1:02P y >>4.(高考题)设集合，，则＝ ( ){}21<-=x x A []{}2,0,2∈==x y y B x B A A. B. C. D.[]2,0()3,1[)3,1()4,1【解析】：表示数集，，，选C 。
{}31-<<=x A {}41≤≤=y B 5.(2017年新课标全国卷III1)已知集合为实数，且，{(,),A x y x y =}221x y +=为实数，且，则的元素个数为 ( ){(,),B x y x y =}y x =A B A.0 B.1 C.2 D.3【解析】：表示点集，表示圆与直线的交点，选C 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
#
! " # #$%&'()
#
##
##
## ##
#!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " " " " " " ¾&O)¿À6ÁÂÃÄ# ÅMÆOÇÈÉ» " " " " " " " ! " $ # $ ,7 8 < M ' # ( ' # ( # ! k_KIabcG ' dKHa$ " " # KH$ ) ' # $ ' , $ # # ( " # ( " " $ Le$ EFTUVEFWX & KH& " " ' ( ! YE& ! ! & " " $ YE$ KIKPlEIma# ' ( *&)$ # ( ' ( *' #) " " $ " " $ ' # ( ' ( * + # ) & # ( ! " " EFTUVEF]X&KH& !YE& ! ! &YE$ " " " " $ $ KIKPnEIma# ' ( *&)$ # ( ' ( *' #)$ ' # ( ' ( " " * + # ) & # ( ! " " " " ./ &'()*+ ),# !"#$% " " ./01234567895"#:;! <./6 " " " " 7=>)5? @A51234=>)5B4! ! " $ $ $ F <O "' # ( ,$ # # (" # ( $ ' # ( " " CDEF)5GH5IJK LM)*NO Qma ` R m a ¡ ¢$ £¤¥<¦§ " " " " PAQRS&T()*UV) )RS+9WXY ! M<M<G ( ' # ( ' # ( % )%)$ " " Z/67[\34&Z]^_`abcZ]^_ $ " " %&* ! 3 ' # ( " " d;95:;! efgh% ijklmn5op ./ y¤ # - £ ) 5 * y R S C p y " " )tueRS+9,-Z/67`av jqrs ¢ CD¥¦l§) ¨)©bª«¬%® " " " " 95! wx`a5)*yzj ! {|}~%5 . # ( ¯! ° )±?5)5², % )% " " ')5 %4km mxwxd9 " " $ ' # ( 3 %& ! " " &`a)*+ " PA ), ! & # ( ! # ( 01 " " UZ])RS+>WXYZ/67[@53 " " ! !¨-345M<£Y[MJ£ " " 4&Z]^_`abcZ]^_d;95:;! ,©M# " " m wx`al5 ! " ' ! " ' ! ", ' ! ", " " ! $ $ # ( " ! ! # ( $ ! " + # ( ' & # ( ! " " #s0V5`a)* Um $ " !o345Mª_" % 3 # " %&" ! ' ( " " x`a;95)Cp) mx`a; " " <=«$ ¬-¤¥G®¯°±M# " " 95)C)! Z/670 #`a ¡@; ! % % ' ' " " ! " ! ",! ! ", ' ! " ! " $ ! & # # ( ' % " ( ! ' ' 9DZ]¢)! " " " " ( $ * $ 7\ $ ! # ) & & ) " % 3 % $ ) % & 01 " " $ $ ( }! & &) % 3 %&* ! % ##" p@KI " " ! !7\oEHi] " YE $ # KH$ " " / ! # $ 0 ! $ # ) ##### ) aq<MNG ! " " 1! #)$#### 2! #*$)+ p@KIa " " " !7\EIrX " YE # KH$ " " $ ²³M < < }M ! & q<MNG ! " " ´µQR% " " $ !34st&[u<vOG! ! ##" " " ! $ " $ M < < & ! & # " & ! "MGwxy9:;2<' ! " " $ }M ´µQR% ! "by9:z{|jma$ " " }~vM<, " & ( " " # *+ 123456 # ' Y_& ( " " ! " M M ¨M ! <µ& ¶·¸$ " " ! "by9:Zma=2M! $ " " M ¹º<´» ! /! # ! " $ ##0! ##1! ##2! " " ! " M M ¨M " <µ' ¶·¸$ " " " " ! ! ! ! " #+,-.('(/0 M ¹º<´»! " " "k_M M , ,- ! #! <µ& " " *+ #123456# " " $ $ ¶·¸ p@M <, <¼½§ L ! " MU$ 7ZBC34M<NO# ! " " ! " e ) " % , % ! & " " $ $ $ % M< , $ # # (, & (' # (" # ( ! " " ! " $ k_M M <µ ¶·¸ " , ' ! "<MF?@% " " " $ p@M < <¼½§ Le , ) " " % - M<M< ' # ( " " ! " % 3 , " %& ! " " " " " " " " " " " " !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " " " !"! # !$! !%! # &'()*+,)-./ $0
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 9: " ,- ! # " $ ;2<8=>M # " " ^_$# " $ `! " " # " " ' # ( EIabcBC ! dYEa$ " " ) " " YE ! " " " ! ! ! ! ! #!"#$%&'()* " " $ # ( " # # $ # # % # # EHB<EIJKIL=2 " " M<NOKPG $ # ( * " ) ' # ( $ # ( * $ ) + # ( $ # ( * % *+ " " #123456 " " ` ) " ! # ( $ ' # ( , $ # ( * % ) ! & # ( ! 78 9: " ! # " $ ; 2 < 8 = > ? @ " " LeHB<EIJKIL=2M<NOKP A@BCD " " " " G `! ' # ( + # ( " ! # ( & # ( ! " " " " " " " " " " " " EFG" HB<EIJ " " " # # $ # # % # # E " " KIL=2M<NOKPGQR " " HBS<EFTUVEFWX fghK $ HBS<EFTUVEFWX&KH " " $ !Y " " Ii]j EF]X KIgiWj ! E 7Z$[D 7\]XD ! ! &YE " " " " " " " " " " " " " " !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !" # !$ !% # &'()*+,)-./ $0