高三一轮复习—统计与概率

一、抽样方法
三种抽样方法的比较
类别
共同点
各自特点
简单随 机抽样
抽样过程中 每个个体被 系统抽样 抽取的概率 相等 分层抽样
从总体中逐个抽 取
将总体均分成几 部分，按事先确 定的规则分别在 各部分中抽取 将总体分成几层 ，分层进行抽取
一、抽样方法
三种抽样方法的比较
类别
相互联系
适用范围
简单随 机抽样
统 计
统计的基本知识框架
1.收集数据——抽样方法
2.分析数据——统计表、数据的数 字特征及用样本估计总体
山东高考概率统计考查统计
年份 题号 考查内容 频率分布直方图，古典概型 数字特征，古典概型
2007 8,12 2008 9,18
2009 11,19 几何概型，分层抽样，古典概型 2010 6,19 数字特征，古典概型 2011 8,13, 回归直线，分层抽样，古典概型 18 2012 4,14， 数字特征，频率分布直方图，古典概型 18 2013 10,18 茎叶图、方差,古典概型
B F
C
E A
D
A a1 , b1 a2 , b1 b1 , a1 b1 , a2 n 9, m 4 P A
练习巩固
练习2.已知函数f ( x) ax 2bx a
2
(1)若a是从0， 1， 2， 3四个数中任取的一个数， b是从0， 1， 2,3四个数中任取的一个数， 求方程f ( x) 0恰有两个不相等实根的概率 (2)若a是从区间 0， 3中任取的一个数， b是从从区间 0， 2中任取的一个数， 求方程f ( x) 0没有实根的概率
（2） {
4 2 n 6, m 4 P A 6 3
a1 , a1 a1 , a2 a1 , b1 a2 , a1 a2 , a2 a2 , b1 b1 , a1 b1 , a2 b1 , b1 }
4 9
设B=“取出的两件产品中恰有一件次品”
统计图：频率分布直方图，折线图，茎叶图
数字特征：平均数、众数、中位数、 统
计 方差、标准差、极差
K 3.841,95%把握相关；
2 2
独立性检验：
K 6.635,99%把握相关
y bx a, 定过( x, y );
2×2列联表
回归分析：
x增加一个单位,y增加b个单位； x m时，y大约为bm a
。相应
的直线叫回归直线，对两个变量所进行的
上述统计叫做回归分析。
三、线性相关性与最小二乘法
求线性回归直线方程的步骤：
（1）画散点图观察相关性 （2）列出表格，求出某些数据
（3）代入公式求得a,b，进而得到直线方程。
三、两个变量的线性相关
1.正相关、负相关、回归直线
ˆ 2.线性相关关系： y
(i)过 （x,y）
频率分布直方图中小长方形的面积
频率 =组距× =频率 组距
二、样本估计总体
1.频率分布直方图、频率分布折线图、总体密度曲线
例2
n （1）频率=纵坐标×组距= N
（2）频率之和为1
二、样本估计总体
2.茎叶图
将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩 余分数的平均分为91,现场做的9个分数的茎叶图后来有一 个数据模糊,无法辨认,在图中以 表示:
练习巩固
解：(1)如图所示基本事件共16个，即n 16
由题意知
a 0 0
即b a 0
事件A包含3个 基本事件，即m=3
3
b
2 1
0
1
2
3
a
所以P(A)=
3 16
练习巩固
b
答:
(1)概率为 (2)概率为
3 16 2 3
a
思考讨论
考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点 连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角 形，则所得的两个三角形全等的概率 ： 1
n 6 5 4 3 2 1
7 12






m
21 7 p 36 12
1 2 3 4 5 6 1
练习1、投掷 3 枚骰子，求点数之和等于10 的概率 。
解：从图中容易看出基本事件空间与点集
1. 2×2列联表
2. 无关概率对照表
两变量无关
0.010
6.635
P K2 k


0.050
3.841
0.001
10.828
k
四、统计案例—独立性检验——卡方检验( 2 2列联表 )
统计中有一个有用的（读做“卡方”）统计 量，它的表达式是：
n(ad bc) K (a b)(c d )(a c)(b d )
6 5 中的元素一一对应。因为点的个数是36个， 4 所以基本事件的总数 n=36. 3 2 其中至少有一个5点或6点的结果有20个， 1


y
所以 m=20






x
m 20 5 所以 P n 36 9 思考：还可以用什么方法？
在起始部分抽 系统抽样 样时采用简单 随机抽样 各层抽样时采 分层抽样 用简单随机抽 样或系统抽样
总体中据的数字特征及用样本估计总体
1．用样本的数字特征估计总体的数字特征 （1）众数、中位数 在一组数据中出现次数最多的数据叫做众数； 将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列， 处在中间位置上的一个数据（或中间两位数据的 平均数）叫做这组数据的中位数； (2)平均数与方差 x x1 x2 x3 n
2 2 2 ( x x ) ( x x ) ( x x ) 2 1 2 3 S = n
xn
( xn x ) 2
二、数据的数字特征及用样本估计总体
常用结论：有一组数据 xn : x1 , x2 , x3 ,
xn
x1 x2 x3 xn 的平均值为x n 2 2 2 2 ( x x ) ( x x ) ( x x ) ( x x ) 2 2 3 n 方差为S = 1 n 构造新数据axn b : ax1 b, ax2 b, ax3 b, axn b
三、线性相关性与最小二乘法
(3) 散点图：表示具有相关关系的两个变 量的一组数据的图形。 (4)回归直线方程： y bx a ，
n xi y i n x y b i 1n 2 2 xi n x 其中 i 1 a y bx
，
1 n x xi n i 1
1 2 3 4 5 6 1
P A 1 P A
例1变式：（1）求点数之和为7的概率。
（2）求点数之积为偶数的概率。
6 1 解： (1) P 36 6 3 3 3 3 3 3 3 2 P 36 4 9 3 或P 1 36 4
连掷两次骰子得到的点数分别为m和n， 记向量a (m , n)与向量b (1, 1)的夹角为， 则 0, 的概率是： 2
2
2
经过对统计量分布的研究， 已经得到了两个临界值：3.841与6.635。
当根据具体的数据算出的k
1.当k>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关； 2.当k>3.841时，有95%的把握说事件A与B有关； 3.当k 3.841时，认为事件A与B是无关的。
n 抽样：简单随机抽样， 系统抽样，分层抽样 P N
相关性检验：|r|≤1,|r|→1,线性相关越强
古典概型
几何概型
一、知识回顾
古典概型
1、古典概型的两个特征：（1）有限性（2）等可能性 2、古典概型的概率公式：
P A m 事件A包含的基本事件数 n 试验的基本事件数
注：（1）关键是分清试验和事件（2）计算n 和 m 几何概型 1、几何概型的两个特征： （1）无限性（2）等可能性 2、几何概型的概率公式：
2.频率分布直方图、折线图与茎叶图 样本中所有数据（或数据组）的频率和样本容量 的比，就是该数据的频率。所有数据（或数据组） 的频率的分布变化规律叫做频率分布，可以用频 率分布直方图、折线图、茎叶图来表示。
频率分布直方图：具体做法如下： （1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）； （2）决定组距与组数；（3）将数据分组； （4）列频率分布表； （5）画频率分布直方图
解：用 a1 , a2 和 b1 表示两个正品和一件次品，则
（1）
a , a a , b a , a a , b b , a b , a
1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2
设A=“取出的两件产品中恰有一件次品”
A a1 , b1 a2 , b1 b1 , a1 b1 , a2
x, y, z x, y, z N， 1 x, y, z 6


中的元素一一对应。
基本事件的总数为：n 6 6 6 216
3个数字之和为10的共有2类： 第一类：3个数字均不相同的有：1，3，6；1，4，5；2，3，5 其中1，3，6构成的基本事件有：
2， 6 ， 6， 2 ， 2， 2 2， 2， 6，
同理：2，4，4 与 3，3，4 也各有3个
P
27 1 216 8
例2、从含有两件正品和一件次品的3件产品中每 次任取一件， （1）每次取出后不放回，连续取两次； （2）每次取出后放回，连续取两次 试分别求取出的两件产品中恰有一件次品的概率 。
(ax1 b) (ax2 b) 的平均值为x n
'
(axn b)
ax b
' 2 ' 2 ( ax b x ) ( ax b x ) '2 1 2 方差为S = n =a 2 S 2
(axn b x ' ) 2
二、数据的数字特征及用样本估计总体
ˆx a ˆ b
(ii)X每增加一个单位，y平均（约）增加（减少） b 个单位
ˆ (iii)当x=x0时，y约为bx
3.相关系数r
0
ˆ a
(i)衡量两个变量间的线性相关关系
(ii)r>0时，正相关，r<0时，负相关
(iii) |r|接近于1，线性相关性强，接近于0，线性相关性弱
四、独立性检验
P A
A 子区域A的几何度量 区域的几何度量
注：几何度量可能是：长度、面积、体积
二、典型例题
分析：列出所有基本事件，利用古典概型概率公式求解，或利用对立事件求概率。
例1、同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率。
解：从图中容易看出基本事件空间与点集
x, y x N , y N ,1 x 6,1 y 6
3， 6，， 3， ， ， 6 ， 6，， 1 6， 1， 3， 31 ， 1， 1 6， 31 3， 6，
同理：1，4，5 与 2，3，5 也各有6个 所以共有 3 6 18 个 第二类：两个数字相同的有： 2，2，6； 2，4，4；3，3，4 其中2，2，6构成的基本事件有： 所以共有 3 3 9 个 所以，m=18+9=27
则7个剩余分数的方差为_______
变量的相关性 与统计案例
三、线性相关性与最小二乘法
线性回归：
(1)相关关系：自变量取值一定时，因变 量的取值带有一定随机性的两个变量之间 的关系。 注：与函数关系不同，相关关系是一种非 确定性关系。 (2)回归分析：对具有相关关系的两个变量进
行统计分析的方法。