四、非线性规划
非线性规划高考知识点归纳总结
非线性规划高考知识点归纳总结非线性规划是运筹学中的一个重要分支，它主要研究在非线性目标函数和非线性约束条件下的优化问题。
在高考数学中，非线性规划通常不会作为主要考点，但了解其基本概念和简单应用对于提高数学素养和解决实际问题具有重要意义。
首先，非线性规划问题可以定义为：给定一个目标函数 \( f(x_1,x_2, ..., x_n) \) 和一组约束条件 \( g_i(x_1, x_2, ..., x_n) \leq 0 \)（对于 \( i = 1, 2, ..., m \)），以及 \( h_j(x_1,x_2, ..., x_n) = 0 \)（对于 \( j = 1, 2, ..., p \)），求 \( x \) 的值，使得目标函数 \( f \) 达到最大值或最小值。
在高考中，非线性规划的知识点通常包括以下几个方面：1. 目标函数与约束条件：理解目标函数和约束条件在非线性规划中的作用，以及它们如何影响问题的解。
2. 可行域：掌握如何根据约束条件确定可行域，这是求解非线性规划问题的基础。
3. 拉格朗日乘数法：了解拉格朗日乘数法的基本原理，以及如何利用它求解带有等式约束的非线性规划问题。
4. KKT条件：掌握KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件，这是求解非线性规划问题的必要条件。
5. 数值方法：了解一些基本的数值方法，如梯度下降法、牛顿法等，这些方法在实际求解非线性规划问题时非常有用。
6. 实际应用：能够将非线性规划的概念应用到实际问题中，如资源分配、成本最小化等。
在复习非线性规划时，建议从以下几个步骤进行：- 理解概念：首先，要理解非线性规划的基本概念，包括目标函数、约束条件、可行域等。
- 掌握方法：其次，要掌握求解非线性规划问题的基本方法，如拉格朗日乘数法和KKT条件。
- 练习题目：通过大量的练习题目来巩固知识点，提高解题能力。
- 实际应用：尝试将非线性规划的概念应用到实际问题中，提高解决实际问题的能力。
非线性规划
非线性规划非线性规划是一种涉及非线性目标函数和/或非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划可能存在多个局部最优解，而不是全局最优解。
非线性规划在许多领域都有广泛的应用，如经济学、工程学和管理学等。
非线性规划的一般形式可以表示为：最小化或最大化 f(x)，其中 f(x) 是一个非线性函数，x 是决策变量向量。
满足一组约束条件g(x) ≤ 0 和 h(x) = 0，其中 g(x) 和 h(x) 是非线性函数。
为了求解非线性规划问题，可以使用不同的优化算法，如梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
这些算法的目标是找到目标函数的最小值或最大值，并满足约束条件。
非线性规划的难点在于寻找全局最优解。
由于非线性函数的复杂性，这些问题通常很难解析地求解。
因此，常常使用迭代算法来逼近最优解。
非线性规划的一个重要应用是在经济学中的生产计划问题。
生产活动通常受到多个因素的限制，如生产能力、原材料和劳动力等。
非线性规划可以帮助确定最佳的生产数量，以最大化利润或最小化成本。
另一个应用是在工程学中的优化设计问题。
例如，优化某个结构的形状、尺寸和材料以满足一组要求。
非线性规划可以帮助找到最佳设计方案，以最大程度地提高性能。
在管理学中，非线性规划可以用于资源分配和风险管理问题。
例如，优化一个公司的广告预算，以最大程度地提高销售额。
非线性规划可以考虑多种因素，如广告投入和市场需求，以找到最佳的广告投放策略。
总之，非线性规划是一种重要的优化方法，用于解决涉及非线性目标函数和约束条件的问题。
它在经济学、工程学和管理学等领域有广泛的应用。
尽管非线性规划的求解难度较大，但通过合适的优化算法，可以找到最佳的解决方案。
非线性规划算法
非线性规划算法现代数学算法的发展，使得计算机在解决多种实际问题中发挥出越来越重要的作用。
其中，非线性规划算法作为一种重要的优化算法，被广泛应用于生产、经济、地质和金融等领域。
本文将介绍非线性规划问题的定义、特点、求解方法和应用。
一、非线性规划问题的定义非线性规划问题是指在目标函数和约束条件中至少有一项是非线性函数的数学规划问题。
具体的表示形式可以是以下形式：$$\min f(x)$$$$s.t.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g_i(x) \leq 0, \ \ i=1,2, \cdots, m $$$$h_j(x) =0,\ \ j=1,2, \cdots, n$$其中，$x$为决策变量，$f(x)$为目标函数，$g_i(x)$和$h_j(x)$分别是不等式约束和等式约束条件。
二、非线性规划问题的特点非线性规划问题与线性规划问题相比，具有以下几个特点：1. 非线性规划问题的数学模型较为复杂。
在考虑实际问题时，目标函数中经常包含各种复杂的非线性函数，如三角函数、指数函数、对数函数等等。
同时，约束条件的不等式表达式也可能是非线性函数。
2. 非线性规划问题的求解难度较大。
因为非线性规划问题的目标函数和约束条件不再满足线性性质，导致求解过程中出现很多非线性优化问题。
这也意味着，非线性规划问题中需要用到高级的优化算法，这些算法的计算成本和正确性都需要严格考虑。
3. 非线性规划问题的解可能存在多个局部最优解。
相比线性规划问题，非线性规划问题的解集合往往具有多个局部最优解。
这意味着，解决这类问题时需要针对不同的局部解进行分析，从而找到全局最优解。
三、非线性规划求解方法通常情况下，非线性规划问题的求解方法包括以下几种:1. 梯度方法。
梯度方法是一种基于梯度信息的优化算法，能保证解的收敛性和稳定性。
这种方法的主要思想是通过计算目标函数的梯度信息来确定下一步迭代的方向和步长。
2. 共轭梯度法。
共轭梯度法是在梯度法基础上改进而来的算法，更加高效和优化。
非线性规划知识点讲解总结
非线性规划知识点讲解总结1. 非线性规划的基本概念非线性规划是指目标函数和/或约束条件包含非线性项的优化问题。
一般来说，非线性规划问题可以表示为如下形式：\[\min f(x)\]\[s.t. \ g_i(x) \leq 0, \ i=1,2,...,m\]\[h_j(x)=0, \ j=1,2,...,p\]其中，\(x \in R^n\)是优化变量，\(f(x)\)是目标函数，\(g_i(x)\)和\(h_j(x)\)分别表示不等式约束和等式约束。
目标是找到使目标函数取得最小值的\(x\)。
2. 非线性规划的解决方法非线性规划问题的求解是一个复杂的过程，通常需要使用数值优化方法来解决。
目前，常用的非线性规划求解方法主要包括梯度方法、牛顿方法和拟牛顿方法。
（1）梯度方法梯度方法是一种基于目标函数梯度信息的优化方法。
该方法的基本思想是在迭代过程中不断沿着梯度下降的方向更新优化变量，以期望找到最小值点。
梯度方法的优点是简单易实现，但缺点是可能陷入局部最优解，收敛速度慢。
（2）牛顿方法牛顿方法是一种基于目标函数的二阶导数信息的优化方法。
该方法通过构造目标函数的泰勒展开式，并利用二阶导数信息来迭代更新优化变量，以期望找到最小值点。
牛顿方法的优点是收敛速度快，但缺点是计算复杂度高，需要计算目标函数的二阶导数。
（3）拟牛顿方法拟牛顿方法是一种通过近似求解目标函数的Hessian矩阵来更新优化变量的优化方法。
该方法能够克服牛顿方法的计算复杂度高的问题，同时又能保持相对快速的收敛速度。
拟牛顿方法的典型代表包括DFP方法和BFGS方法。
3. 非线性规划的应用非线性规划方法在实际生活和工程问题中都有着广泛的应用。
以下将介绍非线性规划在生产优化、资源分配和风险管理等领域的应用。
（1）生产优化在制造业中，生产线的优化调度问题通常是一个非线性规划问题。
通过对生产线的机器设备、生产工艺和生产速度等因素进行建模，并设置相应的目标函数和约束条件，可以使用非线性规划方法来求解最优的生产调度方案，以最大程度地提高生产效率和减少成本。
非线性规划的基本概念及问题概述
牛顿法在凸优化问题上表现较好，但在非凸问题 上可能陷入局部最优解。
拟牛顿法
01
拟牛顿法是一种改进的牛顿法，通过构造海森矩阵 的近似来降低计算成本。
02
拟牛顿法在每一步迭代中更新搜索方向，并逐渐逼 近最优解。
03
拟牛顿法在处理大规模非线性规划问题时表现较好 ，但仍然需要计算目标函数的二阶导数。
共轭梯度法
共轭梯度法结合了梯度法和牛 顿法的思想，通过迭代更新搜 索方向来寻找最优解。
共轭梯度法的迭代方向是梯度 方向和上一次迭代方向的线性 组合，可以加快收敛速度。
共轭梯度法适用于大规模优化 问题，尤其在约束条件较多或 非凸函数情况下表现较好。
05
非线性规划的挑战与解决方 案
局部最优解问题
局部最优解问题
案例二：生产计划优化问题
总结词
生产计划优化问题旨在通过合理安排生 产计划，降低生产成本并满足市场需求 。
VS
详细描述
生产计划优化问题需要考虑生产过程中的 各种因素，如原材料需求、设备能力、劳 动力成本等。目标函数通常是非线性的， 因为生产成本和产量之间的关系是非线性 的。约束条件可能包括资源限制、交货期 限制等。
例子
最小化成本函数，其中成本是生产量 的函数，生产量受到资源、生产能力 等约束。
最大化问题
最大化目标函数
在给定的约束条件下，找到一组变量 ，使得目标函数达到最大值。
例子
最大化收益函数，其中收益是销售量 的函数，销售量受到市场需求、价格 等约束。
约束条件下的优化问题
01
在满足一系列约束条件下，寻找最优解，使得目标函数达到最 优值。
梯度法适用于目标函数和约束条件比较简单的情况，但对于非凸函数或约束条件复 杂的情况可能不收敛或收敛到局部最优解。
线性规划与非线性规划
一、线性规划
模型 设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为 在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为
问题二：某厂每日8小时的产量不低于1800件.为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员.一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15件/小时，正确率95%，计时工资3元/小时.检验员每错检一次，工厂要损失2元.为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？
01
模型 设需要一级、二级检验员的人数分别为 人， 应付检验员工资为 因检验员错检而造成的损失为
02
注；当前MATLAB只支持第一种形式。
或矩阵形式 其中 是决策变量， 是约束矩阵， ，
二、非线性规划
1、二次规划 标准形式： MATLAB调用格式： (1) x=quadprog(H,C,A1,b1); (2)x=quadprog(H,C,A1,b1,A2,b2,v1,v2); (3)[x,fval,exitflag,output]= quadprog(H,C,A1,b1, A2,b2 ,v1,v2,x0,options);
见MATLAB程序（xianxingguihua4）
例4：问题二的解答 改写为
结果： 即只需聘用9个一级检验员。 注：本问题应还有一个约束条件：x1、x2取整数，故它属于一个整数线性规划问题，这里当成一个线性规划求解，求得最优解刚好是整数x1=9，x2=0，故它就是该整数规划的最优解.若用线性规划解法求得的最优解不是整数，将其取整后不一定是相应整数规划的最优解，这样的整数规划应用专门的方法求解.
2、状态窗口(LINDO Solver Status)
当前状态：已达最优解 迭代次数：18次 约束不满足的“量”(不是“约束个数”)：0 当前的目标值：94 最好的整数解：94 整数规划的界：93.5 分枝数：1 所用时间：0.00秒（太快了，还不到0.005秒） 刷新本界面的间隔:1(秒)
非线性规划的相关概念
非线性规划的相关概念引言非线性规划是数学规划领域中的一个重要研究方向，它是线性规划的推广和扩展。
在许多实际问题中，约束条件和目标函数往往是非线性的，因此需要非线性规划方法来解决这些问题。
本文将介绍非线性规划的基本概念和相关理论。
基本概念1. 可行解在非线性规划中，可行解指的是满足约束条件的解。
具体地，给定约束条件和目标函数，如果存在一组解使得所有约束条件都得到满足，那么这组解就是可行解。
非线性规划的目标是找到一个可行解，使得目标函数值最小或最大。
2. 局部极小解和全局极小解在非线性规划中，局部极小解指的是在某个局部范围内，目标函数值最小的可行解。
全局极小解指的是在整个可行域内，目标函数值最小的可行解。
在非线性规划中，寻找全局极小解往往非常困难，因为非线性规划问题一般没有全局最优解的性质。
因此，通常采用近似算法来寻找接近全局极小解的解。
3. 无约束问题和约束问题非线性规划可以分为无约束问题和约束问题。
无约束问题是指在没有约束条件的情况下，找到目标函数的最小值或最大值。
约束问题是指在满足一组约束条件的情况下，找到目标函数的最小值或最大值。
约束问题通常比无约束问题更加复杂，因为需要考虑约束条件的影响。
相关理论1. 梯度下降法梯度下降法是非线性规划中常用的优化方法之一。
基本思想是通过迭代更新解，使得目标函数值逐渐降低。
具体地，梯度下降法使用目标函数的梯度信息来指导搜索方向，并选择适当的步长来更新解。
该方法通常在局部范围内找到局部极小解，并且易于实现。
2. 牛顿法牛顿法是一种经典的非线性优化方法，广泛应用于非线性规划问题的求解。
它利用目标函数和约束条件的一阶和二阶导数信息来更新解。
具体地，牛顿法通过计算目标函数的海森矩阵来确定搜索方向，并选择适当的步长来更新解。
该方法在局部范围内通常能够快速收敛到极小解。
3. 二次规划二次规划是非线性规划中的一种特殊形式，目标函数是二次函数，约束条件是线性条件。
它可以通过求解一组二次方程组来得到最优解。
非线性规划算法介绍
非线性规划算法介绍在优化问题中，线性规划被广泛应用，但是有时候我们需要解决一些非线性问题。
非线性规划问题是指目标函数或约束条件至少有一个是非线性的优化问题，求解非线性规划问题是在一些工程和科学领域中很重要的任务。
这篇文章将会介绍非线性规划算法的一些概念和原理。
1. 概述非线性规划（Non-linear programming，简称NLP）是指存在非线性的目标函数和约束的最优化问题。
相对于线性规划问题，非线性规划问题的求解要困难得多，因此需要更复杂的算法来解决。
然而，在实际应用中非线性规划问题比比皆是，如金融风险管理、科学研究、交通规划等，因此非线性规划算法的研究意义非常重大。
2. 常见算法(a) 梯度下降法梯度下降法（Gradient descent algorithm）是求解最小化目标函数的一种方式。
在非线性规划问题中，该方法利用目标函数的梯度方向来确定下降的方向，迭代调整参数，直到梯度为零或达到可接受的误差范围。
梯度下降法有多种变形，包括共轭梯度法、牛顿法等。
(b) 拟牛顿法拟牛顿法（Quasi-Newton methods）是用来求解非线性约束优化问题的经典算法之一。
拟牛顿法利用牛顿法的思想，但不需要求解目标函数的二阶导数，转而用近似的Hessian矩阵来取代二阶导数，并用更新步长向量的方式近似求解目标函数的最小值。
(c) 启发式算法启发式算法（Heuristic algorithms）是一种不确定性的、基于经验的求解方法，因此不保证能找到全局最优解。
虽然有缺点，但启发式算法具有较强的鲁棒性和适应性，可用于非线性规划问题的求解。
常见的启发式算法包括模拟退火、遗传算法、蚁群算法、粒子群算法等。
3. 应用案例非线性规划算法在实际应用中发挥着不可或缺的作用。
这里介绍两个基于非线性规划算法的应用案例。
(a) 水利工程在水利工程中，常常需要寻找最优的方案来解决水库调度、灌溉、排洪等问题。
非线性规划算法能够通过寻找水资源的最优利用方法，保证水利工程的经济和社会效益。
非线性规划
非线性规划（nonlinear programming）1.非线性规划概念非线性规划是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。
非线性规划研究一个n元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题，且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。
目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划。
2.非线性规划发展史公元前500年古希腊在讨论建筑美学中就已发现了长方形长与宽的最佳比例为0.618,称为黄金分割比。
其倒数至今在优选法中仍得到广泛应用。
在微积分出现以前，已有许多学者开始研究用数学方法解决最优化问题。
例如阿基米德证明：给定周长，圆所包围的面积为最大。
这就是欧洲古代城堡几乎都建成圆形的原因。
但是最优化方法真正形成为科学方法则在17世纪以后。
17世纪，I.牛顿和G.W.莱布尼茨在他们所创建的微积分中，提出求解具有多个自变量的实值函数的最大值和最小值的方法。
以后又进一步讨论具有未知函数的函数极值，从而形成变分法。
这一时期的最优化方法可以称为古典最优化方法。
最优化方法不同类型的最优化问题可以有不同的最优化方法，即使同一类型的问题也可有多种最优化方法。
反之,某些最优化方法可适用于不同类型的模型。
最优化问题的求解方法一般可以分成解析法、直接法、数值计算法和其他方法。
(1)解析法：这种方法只适用于目标函数和约束条件有明显的解析表达式的情况。
求解方法是：先求出最优的必要条件，得到一组方程或不等式，再求解这组方程或不等式，一般是用求导数的方法或变分法求出必要条件，通过必要条件将问题简化，因此也称间接法。
(2)直接法：当目标函数较为复杂或者不能用变量显函数描述时，无法用解析法求必要条件。
此时可采用直接搜索的方法经过若干次迭代搜索到最优点。
这种方法常常根据经验或通过试验得到所需结果。
对于一维搜索(单变量极值问题)，主要用消去法或多项式插值法；对于多维搜索问题(多变量极值问题)主要应用爬山法。
非线性规划
非线性规划什么是非线性规划？非线性规划（Nonlinear Programming，简称NLP）是一种数学优化方法，用于求解包含非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划中的目标函数和约束条件都可以是非线性的。
非线性规划的数学表达式一般来说，非线性规划可以表示为以下数学模型：minimize f(x)subject to g_i(x) <= 0, i = 1, 2, ..., mh_j(x) = 0, j = 1, 2, ..., px ∈ R^n其中，f(x)是目标函数，g_i(x)和h_j(x)分别是m个不等式约束和p个等式约束，x是优化变量，属于n维实数空间。
非线性规划的解法由于非线性规划问题比线性规划问题更为复杂，因此解决非线性规划问题的方法也更多样。
以下列举了几种常用的非线性规划求解方法：1. 数值方法数值方法是最常用的非线性规划求解方法之一。
它基于迭代的思想，通过不断优化目标函数的近似解来逼近问题的最优解。
常见的数值方法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
2. 优化软件优化软件是一类针对非线性规划问题开发的专用软件，它集成了各种求解算法和优化工具，可以方便地求解各种类型的非线性规划问题。
常见的优化软件有MATLAB、GAMS、AMPL等。
3. 线性化方法线性化方法是一种将非线性规划问题转化为等价的线性规划问题的求解方法。
它通过线性化目标函数和约束条件，将非线性规划问题转化为线性规划问题，然后利用线性规划的求解方法求解得到最优解。
4. 分类方法分类方法是一种将非线性规划问题分解为若干个子问题求解的方法。
它将原始的非线性规划问题分解为多个子问题，然后将每个子问题分别求解，并逐步逼近原始问题的最优解。
以上仅是非线性规划求解方法的一小部分，实际上还有很多其他的方法和技巧可供选择。
在实际应用中，选择合适的方法和工具是非常重要的。
非线性规划的应用非线性规划在实际生活和工程中有着广泛的应用。
运筹学-非线性规划(四)(名校讲义)
1．外点法（又称惩罚法）
其思路是在目标函数中增加一项使之变为无约束问题，同时 对破坏约束项需付出高昂代价，该法的起始点在可行域外， 一旦进入可行域内便得到最优解。
§1 多维有约束寻优方法 （9）
①思路 设原问题为min：f[X] 约束：XS S是En中一个约束子集，即X的可行域为S，
则将其变成无约束问题： min：f[X]+ p(X)
p(x) =1 =10 =100
=100
b
=10
=1
图4-19
x
a
§1 多维有约束寻优方法 （11）
②求解过程
令{k }（k=1，2，…，）是一无穷序列，且k≥0，k＋1 >k，定义函数q(，X)=f(X)+Xk，若原问题有解，则当k→∞，
§1 多维有约束寻优方法 （2）
一、库恩-塔克（简称库塔）条件
1．可行方向和起作用约束 ①可行方向：
设X(0)是可行点，即X(0) R，若对于某一方向D，存在一 个数 0>0,使对于任意 （0≤≤0 ）均有下式成立：X(0) +DR，则称方向D是点X(0)处的可行方向。 ②下降方向：对于f(X)的台劳级数展开，若▽f[X(0)]T· D<0, 则称D方向为f[X]的下降方向。
第二十四讲 非线性规划（四）
§1 多维有约束寻优方法
§1 多维有约束寻优方法 （1）
非线性规划的一般形式
min f(X) hi(X)=0 i=1，2，…，m (1)
gi(X)≥0 j=1，2，…，l
下面，先阐述非线性规划的重要理论成果——库恩-塔克 条件(Kuhn-Tucker),然后介绍比较重要的几种有约束的寻 优方法。
0 1 2 x1
《非线性规划》课件
非线性规划的约束条件
非线性规划的约束条件是指限制问题解的一组方程或不等式。这些约束条件可以包括物理限制、资源约 束和行为限制等。
非线性规划的求解方法
线性化方法
将非线性问题转化为等价的 线性问题，然后使用线性规 划方法求解。
牛顿法
使用牛顿迭代法逐步逼近最 优解。
拟牛顿法
使用近似Hessian矩阵的方法 优化牛顿法。
变尺度法、全局优化方法
1
变尺度法
通过改变尺度，将问题转化为更易求解的形式。
2
全局优化方法
使用启发式算法寻找全局最优解。
非线性规划的应用领域
生产计划问题
优化生产计划，提高效率和利润。
交通运输问题
优化交通网络和运输流程。
优化电力系统
使电力系统运行更加高效和可靠。
决策支持系统
为决策者提供优化建议和决策支持。
医资源分配和治疗方案。
非线性规划的挑战
复杂的问题结构和求解困难。
未来的研究方向
未来的研究方向包括改进算法性能、适用于大规模问题的方法和考虑不确定性的优化模型等。
《非线性规划》PPT课件
在这个《非线性规划》PPT课件中，我们将深入探讨非线性规划的各个方面， 并介绍其在不同领域的应用。让我们一起开启这个激动人心的学习之旅！
什么是非线性规划？
非线性规划是一种在优化问题中寻找最优解的数学方法。它处理的是有非线 性约束条件和目标函数的优化问题。
非线性规划的优化目标
第四章非线性规划
1近似黄金分割法（ 0.618方法）
要求插入点a1、b1的位置相对于区间[a,b]两端点具有对称性。
b1
a1 b (b a ) b1 a (b a )
除对称要求外，黄金分割法还要求在保留下来的区间再插入一点 所形成的区间新三段，与原来区间的三段具有相同的比例分布。
1近似黄金分割法（ 0.618方法）
b1
1
2
2
1 0
5 1 0.618 2
所谓的“黄金分割”是指将一线段 分成两段的方法，使整段长与较长 段的长度比值等于较长段与较短段 的比值，即 : 1 1:
1近似黄金分割法（ 0.618方法）
1近似黄金分割法（ 0.618方法）
b1
f(a1)
f(b1) 3.6648 0.2131
1.854 0.2131 1.146 -0.0611
1.146 08 0.2082 -0.0611 0.876 -0.0611 -0.0798
1近似黄金分割法（ 0.618方法）
关于黄金分割比例的起源大多认为来自毕达哥拉斯，据说在古 希腊，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁 匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。他发现铁匠打铁节奏 很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数理的方式表达出 来，被应用在很多领域。后来很多人专门研究过，开普勒称其 为“神圣分割”也有人称其为“金法”。在金字塔建成1000年 后才出现毕达哥拉斯定律，可见这很早就存在。只是不知这个 谜底。
例：对函数f(x)=x3-2x+1,当给定搜索区间[0,3]时，试 用黄金分割法求极小点。其中精度 0.5 迭代 0 1 2 3 4 a 0 0 0 0.438 0.708 b 3 1.854 a1 1.146 0.708 b1 f(a1) f(b1) 3.6648 0.2131
第四章 非线性规划 山大刁在筠 运筹学讲义
第四章 非线性规划教学重点：凸规划及其性质，无约束最优化问题的最优性条件及最速下降法，约束最优化问题的最优性条件及简约梯度法。
教学难点：约束最优化问题的最优性条件。
教学课时：24学时主要教学环节的组织：在详细讲解各种算法的基础上，结合例题，给学生以具体的认识，再通过大量习题加以巩固，也可以应用软件包解决一些问题。
第一节 基本概念教学重点：非线性规划问题的引入，非线性方法概述。
教学难点：无。
教学课时：2学时主要教学环节的组织：通过具体问题引入非线性规划模型，在具体讲述非线性规划方法的求解难题。
1、非线性规划问题举例例1 曲线最优拟合问题已知某物体的温度ϕ 与时间t 之间有如下形式的经验函数关系：312c t c c t e φ=++ （*）其中1c ，2c ，3c 是待定参数。
现通过测试获得n 组ϕ与t 之间的实验数据),(i i t ϕ，i=1，2，…,n 。
试确定参数1c ，2c ，3c ，使理论曲线(*)尽可能地与n 个测试点),(i i t ϕ拟合。
∑=++-n 1i 221)]([ min 3i t c i i e t c c ϕ例 2 构件容积问题通过分析我们可以得到如下的规划模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥=++++=0,0 2 ..)3/1( max 212121222211221x x S x x x x a x x t s x x a V ππππ基本概念设n T n R x x x ∈=),...,(1，R R q j x h p i x g x f n j i :,...,1),(;,...,1),();(==,如下的数学模型称为数学规划(Mathematical Programming, MP)：⎪⎩⎪⎨⎧===≤q j x h p i x g t s x f j i ,...,1,0)( ,...,1,0)( ..)( min约束集或可行域X x ∈∀ MP 的可行解或可行点MP 中目标函数和约束函数中至少有一个不是x 的线性函数，称(MP)为非线性规划令 T p x g x g x g ))(),...,(()(1=T p x h x h x h ))(),...,(()(1=，其中，q n p n R R h R R g :,:，那么(MP )可简记为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤ 0)( 0 ..)( min x h g(x)t s x f 或者 )(min x f X x ∈ 当p=0,q=0时，称为无约束非线性规划或者无约束最优化问题。
非线性规划课件
②再固定x₂=x₂ (1): 求以x₁为单变量的目标函数的极值点，
得 X(2)=(x,(2),x₂ (1))T ,S(2)=f(X(2))
此时S(2)优于S(1), 且搜索区间缩短为x₁*∈[x,(2),b,],x₂*∈[x₂ (1),b₂] 第二步：如此交替搜索，直至满足给定精度ε为止
否则，继续缩短区间，
直至满足给定的精度为
①f(x₂)≥f(xq), 取[aq=ao,b,=x,]
X₁ =X2
x'2=b₁-λ(b₁-aq) ②f(x₂)<f(x₁), 取[a=x2,b,=b,]
x=aq+λ(b₁-aq)
10
x₂ =x₁
例 求 解 f(x)=-18x²+72x+28 的极大值点，δ≤0.1,起始搜索区间为[0,3] 解：①用间接法：令 f'(x)=-36x+72=0, 得驻点 x=2
xq*∈[aq,b,],x²*∈[a₂ ,b₂ ],.,x*∈[an,b,]
1、原理： ①从起点 X(0) 出发，沿平行于 x, 轴的方向P(1)进行一维搜索，
求得 f(X) 在该方向P(1)上近似极值点 X(1);
②从点 X(1) 出发，沿平行于 x₂ 轴的方向P(2)进行一维搜索，
求得 f(X) 在该方向P(2)上近似极值点 X(2); ③从点 X(2) 出发，照此交替进行下去，直至满足给定的精度ε为止
六、 寻优方法概述：
1、N.L.P.问题分类
① 无约束条件的NLP问题。 ② 有约束条件的NLP问题。 2、寻优方法
① 间接法(解析法):适应于目标函数有简单明确的数学表达式。
非线性规划的理论与算法
非线性规划的理论与算法非线性规划（Nonlinear Programming, NLP）是数学规划的一个重要分支，其研究对象是带有非线性约束条件的最优化问题。
非线性规划模型常见于各类工程技术问题的优化，如工业系统优化、经济系统优化、交通运输系统优化等。
本文将介绍非线性规划的基本理论和常用的求解算法。
一、非线性规划模型min f(x)s.t.g(x)≤0,h(x)=0其中，f(x)为目标函数；g(x)≤0与h(x)=0为约束条件；x为决策变量，其取值范围由约束条件决定。
非线性规划模型常见的类型包括无约束问题、等式约束问题和不等式约束问题等。
二、非线性规划的求解算法1. 顺序二次规划算法（Sequential Quadratic Programming, SQP）顺序二次规划算法是一种常用的非线性规划求解算法。
该算法通过构造拉格朗日函数来将非线性规划问题转化为一系列二次规划子问题。
通过迭代求解这些二次规划子问题，最终得到原始非线性规划问题的最优解。
SQP算法具有高效、稳定性强等优点，已广泛应用于实际问题中。
2. 内点法（Interior Point Methods）内点法是一种常用的非线性规划求解算法，可以有效处理约束条件较多的非线性规划问题。
该算法通过构造适当的增广 Lagrange 函数，将非线性规划问题转化为一系列无约束优化问题。
通过迭代求解这些无约束优化问题，最终找到原始非线性规划问题的解。
内点法具有收敛速度快、计算精度高等优点。
3. 遗传算法（Genetic Algorithm, GA）遗传算法是一种模拟生物进化过程的启发式优化算法，常用于求解非线性规划问题。
该算法通过借鉴自然选择、交叉和突变等遗传操作，逐步演化出一组较好的解，寻找最优解。
遗传算法不需要假设目标函数和约束条件的具体形式，因此适用于复杂的非线性规划问题。
4. 粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）粒子群优化算法是一种模拟鸟群觅食行为的优化算法，也常用于求解非线性规划问题。
第四章 非线性规划及其应用
一、0.618法（黄金分割法）
基本原理 方法 结论 只要第一个点取在原始区间的0.618处，第二点在 只要第一个点取在原始区间的 处 它的对称位置上，就能保证在经多次舍弃后， 它的对称位置上，就能保证在经多次舍弃后，保留的 点始终在新区间的0.618处，区间缩短率 点始终在新区间的 处 区间缩短率E=0.618。 。
MinF ( X )
X ∈ R ⊂ En
R = {X g i ( X ) ≥ 0, i = 1,2,L, P}
假定F(X)为凸函数，gi(X)为凹函数，或-gi(X)为凸函 为凸函数， 为凹函数， 假定 为凸函数 为凹函数 为凸函 就称其为凸规划。 数，就称其为凸规划。
二、基本数学概念
凸规划 定义：非线性规划问题， 定义：非线性规划问题，若约束条件构成的可行域为 凸集，目标函数为凸函数求极小值或凹函数求极大值， 凸集，目标函数为凸函数求极小值或凹函数求极大值， 称为凸规划。 称为凸规划。
第四章 非线性规划及其应用
第一节 概述
定义：一个规划问题， 定义：一个规划问题，当其目标函数或约束条 件方程中含有一个或多个有自变量的非线性函数 时，就形成了非线性规划问题。 就形成了非线性规划问题。
第一节 概述
例：南方某圩区，地势平坦低洼，易遭涝灾，拟修建 南方某圩区，地势平坦低洼，易遭涝灾， 除涝工程。除涝工程由两种工程措施组成， 除涝工程。除涝工程由两种工程措施组成，一是利用 当地原有湖泊水库蓄存涝水， 当地原有湖泊水库蓄存涝水，即修建一定规模的湖堤 使涝水在其中蓄存某一深度； 使涝水在其中蓄存某一深度；二是在原有泵站的基础 上扩大规模，增加该地区涝水向外河排泄的能力。 上扩大规模，增加该地区涝水向外河排泄的能力。要 求决策出投资最少的除涝工程规模。 求决策出投资最少的除涝工程规模。 除涝工程规模：蓄涝湖泊面积 除涝工程规模：蓄涝湖泊面积x1(km2)、泵站装机容量 、 x2(103kw)、湖泊蓄涝水深 3(m)。 、湖泊蓄涝水深x 。
非线性规划理论和算法
非线性规划理论和算法非线性规划是一种数学规划问题，其目标函数和约束条件是非线性的。
与线性规划相比，非线性规划更具挑战性，因为非线性函数的特性使得求解过程更加困难。
然而，非线性规划在实际应用中具有广泛的应用领域，例如优化问题、工程规划、经济决策等。
为了解决非线性规划问题，需要发展相应的理论和算法。
1.非线性规划理论凸规划理论：凸规划是非线性规划的一个特殊情况，其目标函数和约束条件都是凸函数。
凸规划具有许多重要的性质，如唯一最优解、稀疏性、全局最优解等。
凸规划理论为非线性规划提供了重要的指导。
拉格朗日乘子法：拉格朗日乘子法是一种常用的求解非线性规划的方法，其基本思想是通过构建拉格朗日函数将原问题转化为无约束优化问题。
拉格朗日乘子法为非线性规划提供了一种有效的解法。
拟牛顿法：拟牛顿法是一类迭代方法，用于求解无约束和约束非线性优化问题。
其基本思想是通过构建近似的黑塞矩阵来更新方向。
拟牛顿法具有收敛速度快和全局收敛性好的优点，被广泛应用于实际问题求解中。
2.非线性规划算法直接方法：直接方法包括穷举法、划分法、割平面法等。
这些方法适用于问题维度和约束条件较少的情况，可以通过枚举或分割解空间来找到最优解。
然而，直接方法的计算复杂度较高，在高维问题中效率较低。
迭代方法：迭代方法通过迭代更新方向来逐步逼近最优解。
常用的迭代方法包括牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法等。
这些方法在求解非线性规划问题时表现出较好的收敛性和效率。
近年来，随着计算机性能的提高和优化算法的进一步发展，一些先进的非线性规划算法也得到了广泛应用，例如粒子群优化算法、遗传算法、模拟退火算法等。
这些算法基于不同的策略和模拟自然现象的原理，可以有效克服非线性规划问题中的局部最优和高维度等挑战。
总结起来，非线性规划理论和算法是解决实际问题中非线性优化问题的重要工具。
非线性规划理论提供了问题求解的基本原理和数学模型，而非线性规划算法则根据不同问题的特点和性质选择合适的求解方法。
数学优化算法在工程领域的应用
数学优化算法在工程领域的应用一、引言在现代工程领域，数学优化算法的应用已经成为一种不可或缺的工具。
通过使用这些算法，工程师们能够在设计和决策过程中找到最佳解决方案，从而提高效率、降低成本，并最大化资源利用。
二、线性规划线性规划是一种常见的数学优化算法，广泛应用于工程领域。
它的主要目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最大或最小值的变量值。
例如，在物流管理中，线性规划可以用于优化货物的运输路线和运输成本，从而提高物流效率。
三、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求变量的取值必须是整数。
在工程领域，整数规划常常用于优化资源分配和排产计划。
例如，在制造业中，整数规划可以帮助工程师们决定如何最佳地安排设备的使用，以最大程度地提高生产效率。
四、非线性规划非线性规划是一种更为复杂的数学优化算法，它允许目标函数和约束条件中存在非线性项。
在工程领域，非线性规划常常用于优化设计问题。
例如，在建筑设计中，非线性规划可以帮助工程师们确定最佳的结构形式和材料使用，以最大程度地提高建筑物的稳定性和安全性。
五、遗传算法遗传算法是一种模拟自然进化过程的优化算法，它通过模拟遗传、突变和选择等过程，逐步寻找最佳解决方案。
在工程领域，遗传算法常常用于优化复杂的多目标问题。
例如，在交通规划中，遗传算法可以帮助工程师们确定最佳的交通信号配时方案，以最大程度地减少交通拥堵和行程时间。
六、粒子群算法粒子群算法是一种模拟鸟群或鱼群行为的优化算法，它通过模拟粒子在解空间中的移动和交互，逐步寻找最佳解决方案。
在工程领域，粒子群算法常常用于优化参数调整和控制问题。
例如，在机器人控制中，粒子群算法可以帮助工程师们确定最佳的控制策略，以最大程度地提高机器人的运动性能和稳定性。
七、结论数学优化算法在工程领域的应用已经成为一种必然趋势。
通过使用这些算法，工程师们能够在设计和决策过程中找到最佳解决方案，从而提高效率、降低成本，并最大化资源利用。
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第1节 最优性条件
若D是可行点X(0)处的任一可行方向，则对该点的所有起作用约束
均有
gj(X) 0 g j (X (0) )T D 0, j J
（7-5）
其中J为这个点所有起作用约束下标的集合。 另一方面，由泰勒公式
g j (X (0) λD) g j (X (0) ) λg j (X (0) )T D o(λ)
四*、 非线性规划
第7章 无约束问题 第8章 约束极值问题
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第8章 约束极值问题
第1节 最优性条件 第2节 二次规划 第3节 可行方向法 第4节 制约函数法
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第1节 最优性条件
大多数极值问题其变量的取值都会受到一定限制，这种限制由约束 条件来体现。带有约束条件的极值问题称为约束极值问题。非线性 规划的一般形式为
的摄动起到了某种限制作用，故称这个约束是 X (0) 点的起作用约束(有效约束)。
显而易见，等式约束对所有可行点来说都是起作用约束。
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第1节 最优性条件
假定X(0)是非线性规划(7-3)式的一个可行点，现考虑此点的
某一方向D，若存在实数 λ0 0，使对任意 λ0,λ0 均有 X (0) λD R
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第1节 最优性条件
图7-2 如上类推，可以得到
f (X *) j g j (X *) 0 jJ 清华大学出版社
图7-3
第1节 最优性条件
为了把不起作用约束也包括进式(7-9)中，增加条件 j g j ( X *) 0 j 0
当 g j (X *) 0 时， j 可不为零；当 g j (X *) 0 时，必有 j 0
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第1节 最优性条件
定理1 设X*是非线性规划(7-3)式的一个局部极小点，目标函数 f(X)在 X*处可微，而且
g j ( X ) 在X*处可微，当 j J
g j ( X ) 在X*处连续，当 j J
则在X*不存在可行下降方向，从而不存在向量D同时满足：
f ( X *)T D 0 g j ( X *)T D 0, j J
第1节 最优性条件
不失一般性，设X*位于第一个约束条件形成的可行域边界上，即第 一个约束条件是X*点的起作用约束( g1(X *) 0 )。若X*是极小点，则 g1( X *) 0必与 f ( X *) 在一条直线上且方向相反。 否则，在该点就一定存在可行下降方向(图7-2中的X*点为极小点；X点不满 足上述要求，它不是极小点，角度β表示了该点可行下降方向的范围)。 上面的论述说明，在上述条件下，存在实数 1 0 ，使
X (0)满足它有两种可能：其一为 g j ( X ) ，0这时，点 X (0) 不是处于由这一约束条件形成的可行域边界上，因而这一约束对 X (0) 点的微小摄动不起限制作用，从而称这个约束条件是X (0)
点的不起作用约束(或无效约束)；其二是 g j (X (0)) 0 ，这时X (0)
点处于该约束条件形成的可行域边界上，它对 X (0)
见，如果X*是极小点，而且X*点的起作用约束条件的梯度 和 g2 ( X *) 线性无关，则可将 f ( X *) 表示成 g1( X *) 和 g
g1 2(X
(X *)
*
)
的非负线性组合。也就是说，在这种情况下存在实数1 0 和 2 0 ，使
f ( X *) 1g1( X *) 2g2 ( X *) 0
对所有起作用约束，当λ>0足够小时，只要
g j (X (0) )T D 0, j J （7-6）
就有
g j (X (0) λD) 0, j J
图7-1
此外，对X(0)点的不起作用约束，由约束函数的连续性，当λ>0足够小时亦有 上式成立。从而，只要方向D满足(7-6)式，即可保证它是X(0)点的可行方向。
f ( X *) 1g1( X *) 0
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第1节 最优性条件
若X*点有两个起作用约束，例如说有
g1( X *) 0 g2 ( X *) 0
在这种情况下，f (X *) 必处于 g1( X *) 和 g2 ( X * ) 的夹角之内。
如若不然，在X*点必有可行下降方向，它就不会是极小点(图7-3)。由此可
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第1节 最优性条件
考虑非线性规划的某一可行点X(0) ，对该点的任一方向D来说，若存在实数 λ' ，0 使对任意 λ [0, λ'] 均有
f ( X (0) λD) f ( X (0) )
就称方向D为X(0)点的一个下降方向。 将目标函数f(X)在点X(0)处作一阶泰勒展开，可知满足条件
清华大学出版 假定X*是非线性规划(7-3)式的极小点，该点可能位于可行域的内部，也 可能处于可行域的边界上。若为前者，这事实上是个无约束问题，X*必 满足条件
f (X*) 0
若为后者，情况就复杂得多了。 下面讨论当极小点位于可行域边界的情形。
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(7-3)
第1节 最优性条件
1.1 起作用约束和可行下降方向的概念 现考虑上述一般非线性规划，假定f(X)、hi(X)和g j (X )(i 1, 2, ,m; j 1,2, ,l) 具有一阶连续偏导数。 设 X (是0) 非线性规划的一个可行解。现考虑某一不等式约束条件
gj(X) 0
min f ( X )
hi ( X ) 0,i 1, 2, , m
g j ( X ) 0, j 1, 2, , l
(7-1)
或
min f (X )
g j ( X ) 0, j 1, 2, , l
(7-2)
问题(7-2)也常写成
min f ( X ), X R En
R X g j ( X ) 0, j 1, 2, ,l
f ( X (0) )T D 0
的方向D必为X(0)点的下降方向。
如果方向D既是X(0)点的可行方向，又是这个点的下降方向，就称它 是该点的可行下降方向。假如X(0)点不是极小点，继续寻优时的搜索方向 就应从该点的可行下降方向中去找。显然，若某点存在可行下降方向， 它就不会是极小点。另一方面，若某点为极小点，则在该点不存在可行 下降方向。