第二章导数与微分习题课.ppt
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第二章2求导法则,隐函数求导,高阶导数,微分
定理2. 设 y f (x)为 x f 1( y) 的反函数, f 1( y)
在y 的某邻域内单调可导, 且 [ f 1( y)] 0
f (x)
1
[ f 1( y)]
或
d y dx
1
dx
dy
证: 在 x 处给增量 x 0, 由反函数的单调性知
y
f
(x
x)
f
( x)
2, 2x,
0 1
x x
1 2
1 2
,
x2
由此可见：导函数的定义域不超过函数定义域.
课本128页 例28 已知函数 f (u)可导，求
[ f (ln x)], { f [( x a)n ]}, {[ f (x a)]n},
其中a为常数. 解：[ f (ln x)] f (ln x) (ln x) 1 f (ln x) x { f [( x a)n ]} f [( x a)n ][( x a)n ] n(x a)n1 f [( x a)n ]
f (x) lim f (x h) f (x) lim u(x h)v(x h) u(x)v(x)
h0
h
h0
h
lim
h 0
u(
x
h) h
u
(
x)
v(
x
h)
u(
x)
v(
x
h) h
v(
x)
u(x)v(x) u(x)v(x), 故结论成立.
(1 1 (x2 a2 ))
(x x2 a2 ) ln 10 2 x2 a2
高等数学第二章导数与微分习题
h0
h
lim f ( x) f ( x x) f ( x) .
x0
x
lim f ( x x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) f ( x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) lim f ( x) f ( x x)
习题课
f (a) lim f ( x) f (a) lim ( x a)F ( x) 0
xa x a
xa
xa
1
lim ( x a)F ( x) 0
x a 0
xa
g
(a
)
x
lim
a 0
g(
x) x
g(a a
)
2
例2.
研究函数
f
(
x
)
1 x 1 x
解 . lim f ( x) lim
x0
x
x0
x
14
例16 .
f
(
x)
ln x
(1
x)
x0 x0
求 f ( x) .
)[
f (0 0) f (0) ln(1 x) x0 0 ,
0
f (0 0) lim x 0 , f ( x) 在 x 0 处连续 .
x 0
f (0)
ln(1
x)
x
0
1
1
x
1
x0
f (0)
lim
(n)
(1)n n! ( x 1)n1
,
23
例24 . 试从 d x 1 导出: d y y
1.
d d
2x y2
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题详解-第二章 导数与微分【圣才出品】
第二章 导数与微分2.2 课后习题详解习题2-1 导数概念1．设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0，t]上转过角度θ，从而转角θ是t的函数：θ＝θ(t)．如果旋转是匀速的，那么称为该物体旋转的角速度．如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解：物体在时间间隔上的平均角速度在时刻t 0的角速度2．当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却．若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T ＝T(t)，应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解：物体在时间间隔上平均冷却速度[,]t t t +∆在时刻t 的冷却速度3．设某工厂生产x件产品的成本为函数C(x)称为成本函数，成本函数C(x)的导数在经济学中称为边际成本．试求（1）当生产100件产品时的边际成本；（2）生产第101件产品的成本，并与（1）中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义．即生产第101件产品的成本为79.9元，与（1）中求得的边际成本比较，可以看出边际成本的实际意义是近似表达产量达到x单位时再增加一个单位产品所需的成本．4．设f(x)＝10x2，试按定义求．解：5．证明证：6．下列各题中均假定存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：7．设则f(x)在x＝1处的（ ）．A．左、右导数都存在B．左导数存在，右导数不存在C．左导数不存在，右导数存在D．左、右导数都不存在【答案】B【解析】 故该函数左导数存在，右导数不存在．8．设f(x)可导，，则f(0)＝0是F(x)在x＝0处可导的（ ）．A．充分必要条件B ．充分条件但非必要条件C ．必要条件但非充分条件D ．既非充分条件又非必要条件【答案】A 【解析】 当f(0)＝0时，，反之当时，f(0)＝0，为充分必要条件．9．求下列函数的导数：10．已知物体的运动规律为s ＝t 3m ，求这物体在t ＝2s 时的速度．解：11．如果f(x)为偶函数，且f ＇(0)存在，证明f ＇(0)＝0．证：f(x)为偶函数，得．因为所以f ＇(0)＝0．。
导数与微分PPT优秀课件
x x0
当 f(x0)0 时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
1 yf(x0)f(x0)(xx0).
而当 f(x0)0时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
x x0 (即法线平行y轴).
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例3 求函数 y 的x 2导数
解: (1)求增量:
yf(x x )f(x )
2.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数
1. 隐函数的导数
隐函数即是由 F(x, y)所确定的函数，其求导方法就是把y 看成x的函数，方程两端同时对x求导，然后解出 y 。
例9 求方程 eyx2yex0所确定的函数的导数
解： 方程两端对x求导得
eyy (2 x y x 2y ) e x 0
x0 x
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
y
y f (x) N
y
M
T
x P
O
x 0 x0 x x
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例2 产品总成本的变化率
设某产品的总成本C是产量Q的函数，即C=C(Q )，当产
量Q 从Q 0 变到 Q0 Q 时，总成本相应地改变量为
C C ( Q 0 Q ) C ( Q 0 )
定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是 y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等.
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三、导数的几何意义
当自变量x 0 从变化到 x0 x 时，曲线y=f(x)
上的点由M0(x0, f(x0)).变到M (x 0 x ,f(x 0 x )).
x
即
(tanx)sec2x
类似可得(cotx)csc2x
当 f(x0)0 时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
1 yf(x0)f(x0)(xx0).
而当 f(x0)0时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
x x0 (即法线平行y轴).
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例3 求函数 y 的x 2导数
解: (1)求增量:
yf(x x )f(x )
2.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数
1. 隐函数的导数
隐函数即是由 F(x, y)所确定的函数，其求导方法就是把y 看成x的函数，方程两端同时对x求导，然后解出 y 。
例9 求方程 eyx2yex0所确定的函数的导数
解： 方程两端对x求导得
eyy (2 x y x 2y ) e x 0
x0 x
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
y
y f (x) N
y
M
T
x P
O
x 0 x0 x x
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例2 产品总成本的变化率
设某产品的总成本C是产量Q的函数，即C=C(Q )，当产
量Q 从Q 0 变到 Q0 Q 时，总成本相应地改变量为
C C ( Q 0 Q ) C ( Q 0 )
定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是 y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等.
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三、导数的几何意义
当自变量x 0 从变化到 x0 x 时，曲线y=f(x)
上的点由M0(x0, f(x0)).变到M (x 0 x ,f(x 0 x )).
x
即
(tanx)sec2x
类似可得(cotx)csc2x
高数课件第2章 导数与微分
h0
h
h0 h
即 (C) 0.
例2 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
lim cos( x
h0
h) 2
sin h 2
h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
(sin x) cos x
x
x
4
4
2. 2
例3 求函数 y xn (n为正整数)的导数.
解 ( x n ) lim ( x h)n x n
h0
h
lim[nx n1 n(n 1) x n2h hn1 ] nx n1
h0
2!
即 ( x n ) nx n1 .
更一般地 ( x ) x1 . ( R)
例如,
x) ( x0 )
x
f( x0 ) 存在,
若 lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
lim ( x0
x0
x) ( x0 )
x
f( x0 ) 存在,
且 f( x0 ) f( x0 ) a,
则 f ( x)在点x0 可导，
且 f ( x0 ) a.
三、由定义求导数
★ 如果 f ( x)在开区间a, b 内可导，且 f(a)及
f(b)都存在，就说 f ( x) 在闭区间a, b 上可导.
★
设函数
f
(x)
( x), ( x),
可导性.
x x0 , x x0
讨论在点 x0的
若 lim f ( x0 x) f ( x0 )
微积分应用基础第二章导数与微分
v(t0 )
lim
t 0
s
t
lim
t 0
s(t0
t) s(t0 ) t
上面这种形式的极限，自然科学中还有很多，尽管它们
的具体含义不同，但其数学模型完全相同，均可归结为函数
的增量与自变量的增量之比当自变量的增量趋于零时的极限。
这种形式的极限就是我们要研究的导数，或者叫做瞬时变化
x x0
结论:函数f(x）在点x0处可导 f x 在点x0的左导数、右导
数都存在并且相等，即:
f (x0)存在 fx0 fx0
函数y=f(x）在点x0处的变化率即导数 是函数y在点x0处变化的快慢程度。
dy dx
，反映的
x x0
第二章 导数与微分
案例2【化学反应速度】
设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，
固定自变量y，即取y =y0，而x从x0变化到x0+△x时，若
极限 lim z lim f x0 x, y0 f x0 , y0
x0 x x0
x
存在，则称此极限值z=f(x,y)为函数在点(x0,y0)处关于x
x
y f (x1 ) f (x0 ) f (x0 x) f (x0 )
x
x1 x0
x
这个商—定义函数y关于自变量的平均变化率。
上面引例１中的平均速度及实际问题中的一些平均值，如 平均成本、平均电流强度等就是通常意义下的平均变化率。
第二章 导数与微分
案例１【订货量的变化】
率。
１．一元函数的导数
定义２ 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域有定义，当自变量 x在点x0处有增量△x（△x ≠0， x0+ △x在定义域内）时， 相应地函数有增量△y=f(x0+△x) -f (x0) ，若极限
高等数学课件-习题课2
哈 尔
解 x 0 :f( x ) ( 3 x 2 ) 6 x ;
滨 工
x 0 :f( x ) ( x 2 ) 2 x ;
程 大 学
f(0)lim 2x2x|x|0;
x 0
x
高
f (0)x l i0m f(x)x f(0)
lim2x02; x0 x
等 数 学
f (0)x l i0m f(x)x f(0)
滨
工 解 首,先 f(x)在x0处必须 ,从 连 而 续
程
大
f(00)f(00).
学
f(0 0 ) lism a in x 0 , x 0
高
等
f ( 0 0 ) li [m 1 l n x ) b ( ] b ,
数
x 0
学
b0.
对任意 a ,当 x 给 0 ,f定 (x )都 的 存 ; 在
dy
y
t
dx x t
1
1 1 t2
1 1 t2
2t
t; 2
等
数 学
1
d2y
2 t dx2
(
dy dx
)t
xt
2
1 1 t2
1 t2
4t
例8
用微分法则求函数
y
arctan1 1
x2 x2
的微分和
哈 尔 滨 工 程 大
导数.
解
dy1(111xx22)2d(11xx22)
学
高 等
1(1 11 x x2 2)2(1x2) (2(x 1)d x x 2)(2 1x2)2xdx u vduudv
6x0 lim 6;
x0 x
因 f (0 为 ) f (0 ),所以 f(0)不存 . 在
习题课(导数与微分)
利用 f ( x) 在 x = 1 处可导，则必定连续，从而有 − + a + b = 1 = 1 (a + b + 1) f (1 ) = f (1 ) = f (1) 2 即 a=2 ′ ′ f − (1) = f + (1)
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ax + b ,
f (x) =
1 ( a+ b + 1) , 2
解y = − ln( 1 −源自x ), 令 u = 1 − x .
y = – lnu .
.
u′ −1 1 dy dy du = . =− = − = ⋅ ∴ y′ = 1− x u 1− x dx du dx
.
(4)复合函数求导练习 题 复合函数求导练习23题 复合函数求导练习
1
o o
( sin 2 x ) ′ = 2 cos 2 x (e
1 14 (ln(1 − x ))′ = − 1− x 3 o 3 15 (ln 2 x )′ = x
o o
.
21 (arcsin3 x )′ = 22 (e )′ = 2 xe
o x2 o
x2
3 1 − 9x2
16 (e 17
o o
o
3 x +1
)′ = 3e
3 x +1
2 (arctan2 x )′ = 1 + 4 x 2
0
√
).
( (
× ). √ √
).
(
).
(2)判断是非(是： √ 非： × )： 判断是非( 判断是非
.
已知 y = f ( x )在点 x 0 可导 ：
f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) e . f ′( x 0 ) = lim h→ 0 h f ( x 0 − h) − f ( x 0 ) f . f ′( x 0 ) = lim h→ 0 h f ( x 0 + 3h) − f ( x 0 ) 1 g . f ′( x 0 ) = lim h 3 h→ 0
高数导数与微分PPT课件
例1、设 y 2x5 sin x, 求 y和 y(0).
解: y 10x4 cos x, y 40x3 sin x,
y 120x2 cos x, y(0) 1
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三、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x), v v( x)可导，则
100!
练习2、设 f (x) x 1,用导数的定义求f (2).
解: f (2) lim f ( x) f (2) lim
x2 x 2
x2
lim 1 1 x2 x 1 1 2
x 11 x2
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6、导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x)在点 M ( x0 , f ( x0 ))处切线
（1）(u v) u v,
（2）(cu) cu(c是常数),
（3）(uv) uv uv, [u( x) v( x)] u( x) v( x);
（4）
u v
uv v2
uv
(v
0)
.
u( x)
v(
x
)
u( x) v( x)
.
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dy
则
dy dx
dt dx
(t) ; (t )
dt
d2y dx2
d( dy ) dx
dx
d ( (t)) dt (t)
dx
dt
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例4、设
y
f
(
x
)
解: y 10x4 cos x, y 40x3 sin x,
y 120x2 cos x, y(0) 1
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三、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x), v v( x)可导，则
100!
练习2、设 f (x) x 1,用导数的定义求f (2).
解: f (2) lim f ( x) f (2) lim
x2 x 2
x2
lim 1 1 x2 x 1 1 2
x 11 x2
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6、导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x)在点 M ( x0 , f ( x0 ))处切线
（1）(u v) u v,
（2）(cu) cu(c是常数),
（3）(uv) uv uv, [u( x) v( x)] u( x) v( x);
（4）
u v
uv v2
uv
(v
0)
.
u( x)
v(
x
)
u( x) v( x)
.
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dy
则
dy dx
dt dx
(t) ; (t )
dt
d2y dx2
d( dy ) dx
dx
d ( (t)) dt (t)
dx
dt
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例4、设
y
f
(
x
)
高等数学_第二章导数与微分习题课讲解
解：因为 f ( x)在x 1处可导，所以 f ( x) 在x 1处连续；
lim f ( x) lim f ( x) f (1)
x1
x1
即 lim 2 1＝ lim ax b a b
x1 1 x 2
x 1
b 1 a.
f(1)
lim
1处可导，
ax
b,当x
1
试确定 a, b的值。
分析 此题要求两个待定常数。通常需要寻找两个只以 a ,b 为未知量的方程。由已知条件 f ( x) 在分段点 x 1 处可导， 得一个方程 f(1) f(1)；又由函数在一点可导必要条件: f ( x)在 x 1处连续，得第二个方程 f (1 0) f (1 0) 。 解此联立方程组，可求出 a ,b 。
e
1 x 1 x
1
2
1 x (1 x) (1 x)
1 x
(1 x)2
1
1 x
e 1 x
(1 x)(1 x)3
【例7】求星形线
x
y
a a
cos 3 sin3
t在
t
t
3
4
处的导数
dy dx
|
t
3
4
。
解：
dx dt
|
t
3
4
解：方程两边对 x 求导得
3x2 3 y2 y 3cos x 6 y 0
将 x 0 代入上方程，得 3 y 2 (0) y(0) 3 6 y(0) 0 （1）
将 x 0代入原方程，得 y(0) 0
导数与微分习题课
18
例8 设 y y( x) 是由方程 exy x y 所确定的
隐函数,求: y(0), y(0) .
解 方程两边关于 x 求导,得 ( y xy)exy 1 y ， (1)
而 y(0) 1 , y(0) 0 .
(1)式两边再关于x求导：
e xy ( y xy)2 e xy (2 y xy) y ，
lim x sin 1 0 .
x0
x
10
例3 设 f (x) x(x 1)( x 2)(x 100), 求 f (0).
解 f (0) lim f ( x) f (0) x0 x 0
lim x( x 1)( x 2)( x 100)
x0
x
lim( x 1)( x 2)( x 100) x0
x 1 处处可导，求 x1
a,
b 的值.
解 f ( x) 在 x 1 处连续， 1 a b ， b 1 a ，
f(1)
lim
x 1
f ( x) f (1) x1
x2 1 lim
x1 x 1
2，
f(1)
lim
x 1
f ( x) f (1) x1
ax b 1 lim
x1 x 1
二阶可导,且 f (t ) 0
,
求 d2 y
.
dx 2
t 1
8.
已知
x
e
y
3t 2 2t sint y
1
0
,求 dy , dy . dx dx t 0
9. 设 y x(sin x)cosx , 求 y.
28
练习题答案
29
设 f ( x) 3x3 x2 x ,则 f ( x) 在 x 0处可
例8 设 y y( x) 是由方程 exy x y 所确定的
隐函数,求: y(0), y(0) .
解 方程两边关于 x 求导,得 ( y xy)exy 1 y ， (1)
而 y(0) 1 , y(0) 0 .
(1)式两边再关于x求导：
e xy ( y xy)2 e xy (2 y xy) y ，
lim x sin 1 0 .
x0
x
10
例3 设 f (x) x(x 1)( x 2)(x 100), 求 f (0).
解 f (0) lim f ( x) f (0) x0 x 0
lim x( x 1)( x 2)( x 100)
x0
x
lim( x 1)( x 2)( x 100) x0
x 1 处处可导，求 x1
a,
b 的值.
解 f ( x) 在 x 1 处连续， 1 a b ， b 1 a ，
f(1)
lim
x 1
f ( x) f (1) x1
x2 1 lim
x1 x 1
2，
f(1)
lim
x 1
f ( x) f (1) x1
ax b 1 lim
x1 x 1
二阶可导,且 f (t ) 0
,
求 d2 y
.
dx 2
t 1
8.
已知
x
e
y
3t 2 2t sint y
1
0
,求 dy , dy . dx dx t 0
9. 设 y x(sin x)cosx , 求 y.
28
练习题答案
29
设 f ( x) 3x3 x2 x ,则 f ( x) 在 x 0处可
《高等数学》上册(课件全集)第2章导数及微分
导数的几何意义
总结词
详细描述
总结词
详细描述
导数的几何意义是切线斜率 。
对于可导函数，其在某一点 的导数即为该点处的切线斜 率。在几何上，导数表示曲 线在该点的切线的斜率。这 个斜率决定了切线的倾斜程 度，进而决定了函数在该点 的变化趋势。
导数决定切线的斜率和倾斜 程度。
对于可导函数，其在某一点 的导数决定了该点处切线的 斜率和倾斜程度。如果导数 大于0，切线斜率为正，表 示函数值随自变量增大而增 大；如果导数小于0，切线 斜率为负，表示函数值随自 变量增大而减小。因此，导 数是研究函数图像和性质的 重要工具。
导数的定义
总结词
导数定义是函数在某一点的切线斜率。
详细描述
导数可以理解为函数在某一点的切线斜率。对于可导函数，其在某一点的导数 即为该点处切线的斜率。这个斜率决定了函数在该点的变化趋势，是研究函数 行为的重要工具。
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点附近的变化率。
详细描述
导数表示函数在某一点附近的变化率，即函数值随自变量变化的速率。对于可导函数，其在某一点的 导数值越大，表示函数在该点附近的斜率越大，即函数值变化越快；导数值越小，表示函数值变化越 慢。
微分中值定理的应用非常广泛，是高等数学中重要的知识点之一。
05
导数与微分的应用
导数在几何中的Biblioteka 用切线斜率导数可以用来求曲线上某一点的切线斜率，从而了解曲线在该点 的变化趋势。
函数单调性
通过导数可以判断函数的单调性，进而研究函数的增减性。
极值问题
导数可以用来研究函数的极值问题，确定函数在哪些点取得极值 。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义是速度和加速度。
高等数学课件第二章导数的计算 习题课ppt
lim
3a
x1 x 1
f (1)
lim
x1
f ( x) f (1)
3 x 1 1
lim
Hale Waihona Puke x1x1 x 1 3
3a 1 , 3
f (1) 1
3
a 1, b 8.
9
9
当x 1时,
f
( x)
1 (
x3
8 )
1
x2;
9 93
当x 1时, f ( x) (3 x ) 1 .
33 x2
又 f 0 e ，证明 f x在 , 内处处可导．
解： 取 x y 0 代入恒等式，得 f 0 2 f 0 ，
因此 f 0 0 ．
f x lim f x x f x
x 0
x
lim e x f x ex f x f x
x0
x
ex f
lim
0
x
f
0
f
x ex
1
x0
例3.
解:
1
x
2 3
3
所以 y x0 , 即在原点处有垂直切线.
令 1 1 1, 3 3 x2 3
得 x 1, 对应 y 1,
则在点(1,1) , (–1,–1) 处与已知直线平行. 平行的切线方程分别为
y
x 31y
20 y3
x
1
x
3
y
2
0O 1
y
1 1
x
x 1
3
例4.
f
二
阶
可
导, 求
u v
uv uv v2
(v
0) ．
复合函数的导数: 设函数 y f (u),均u 可导( ,x)
大一高数课件第二章 2-习题课-1
y
y = f (x)
y
y = f (x)
o
x
o
x0
x
3、基本导数公式 （常数和基本初等函数的导数公式） 常数和基本初等函数的导数公式）
(C )′ = 0 (sin x ) ′ = cos x (tan x ) ′ = sec 2 x (sec x ) ′ = sec xtgx ( a x ) ′ = a x ln a 1 (log a x ln a 1 ′= (arcsin x ) 1− x2 1 (arctan x ) ′ = 1+ x2 x )′ =
4、求导法则 函数的和、 (1) 函数的和、差、积、商的求导法则
可导， 设 u = u( x ), v = v ( x )可导，则 是常数), ） （1）( u ± v )′ = u′ ± v ′ , （2）(cu)′ = cu′ ( c 是常数 ）
′ ′ ） （3）( uv )′ = u′v + uv ′ , （4）( u )′ = u v −2 uv (v ≠ 0) . ） v v ′ ′
第二章 导数与微分 习题课
• 一、主要内容 • 二、例题与练习
关
dy = y′ ⇔ dy = y′dx ⇔ ∆y = dy + o(∆x) 系 dx
导 数 基本公式 导数 微 分
∆y lim ∆x→0 ∆x
dy = y′∆x
( x0 ) ∆y y′ x= x0 = lim = lim . ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x 1.左导数 左导数: 1.左导数:
f −′ ( x 0 ) = lim
x → x0 − 0
f ( x ) − f ( x0 ) f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ; = lim ∆x → −0 x − x0 ∆x f ( x ) − f ( x0 ) f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ; = lim ∆x → + 0 x − x0 ∆x
y = f (x)
y
y = f (x)
o
x
o
x0
x
3、基本导数公式 （常数和基本初等函数的导数公式） 常数和基本初等函数的导数公式）
(C )′ = 0 (sin x ) ′ = cos x (tan x ) ′ = sec 2 x (sec x ) ′ = sec xtgx ( a x ) ′ = a x ln a 1 (log a x ln a 1 ′= (arcsin x ) 1− x2 1 (arctan x ) ′ = 1+ x2 x )′ =
4、求导法则 函数的和、 (1) 函数的和、差、积、商的求导法则
可导， 设 u = u( x ), v = v ( x )可导，则 是常数), ） （1）( u ± v )′ = u′ ± v ′ , （2）(cu)′ = cu′ ( c 是常数 ）
′ ′ ） （3）( uv )′ = u′v + uv ′ , （4）( u )′ = u v −2 uv (v ≠ 0) . ） v v ′ ′
第二章 导数与微分 习题课
• 一、主要内容 • 二、例题与练习
关
dy = y′ ⇔ dy = y′dx ⇔ ∆y = dy + o(∆x) 系 dx
导 数 基本公式 导数 微 分
∆y lim ∆x→0 ∆x
dy = y′∆x
( x0 ) ∆y y′ x= x0 = lim = lim . ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x 1.左导数 左导数: 1.左导数:
f −′ ( x 0 ) = lim
x → x0 − 0
f ( x ) − f ( x0 ) f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ; = lim ∆x → −0 x − x0 ∆x f ( x ) − f ( x0 ) f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ; = lim ∆x → + 0 x − x0 ∆x