苏教版九年级数学上册一元二次方程和相似三角形培优专题训练
苏科版九年级上册 第1章 一元二次方程 专题提优复习训练(含答案)
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。
--培根苏科版九年级上册一元二次方程章节专题提优复习训练专题一：一元二次方程的求值问题1.关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是1x 、2x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 .2.若210x x +-=，那么代数式3227x x +-的值是 .3.已知βα,是方程0432=--x x 的两个实数根，则ααβ32-+a 的值为 ．4.设a 、β是方程5)4)(1(-=-+x x 的两实数根，则βααβ33+= ．5.已知n m ,是方程0720162=++x x 的两个根，则)82017)(62015(22++++n n m m = ．6.若21,x x 是方程0422=--x x 的两个不相等的实数根，则代数式32222121++-x x x 的值是 .7.已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．8.关于x 的一元二次方程0)5(52=-+-m mx x 的两个正实数根分别为21,x x ，且7221=+x x ，则m 的值为 .9.设1x 、2x 是方程0342=-+x x 的两个根，且,2)35(22221=+-+a x x x 则.__________=a10.设21,x x 是方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于 .参考答案1.132.-63.04.475.20086.197.08.2或69.810.0专题二：一元二次方程的系数陷阱问题1.关于x 的一元二次方程04)2(22=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为（ ） A.2 B. 0 C.2或-2 D. -22.若关于x 的方程012)1(2=-+-x x k 有实数根，则k 的取值范围是（ ） A.10≠≥k k 且 B.10≠≤k k 且 C.0≥k D.0>k3.已知关于x 的一元二次方程032)1(2=+--x x a 有实数根，则整数a 的最大值是（ ） A.2 B.1 C.0 D.-14.关于x 的方程019)13(22=-+--m x m mx 有实数根，则m 的取值范围是______．5.关于x 的一元二次方程0122=--x kx 有两个不相等的实数根，k 的取值范围是 .6.已知关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x k x k 有两个不相等的实数根，则偶数k 的最小值为 .7.若关于x 的一元二次方程032)1(22=-+++-m m x x m 有一个根为0，则m 的值是 . 8.若关于x 的一元二次方程01)1(22=-+++a x x a 的一个根是0，则a 的值为 . 9.如果关于x 的方程0)1()2(2)1(2=++++-a x a x a 有实数解，那么实数a 的取值范围是 .10.已知关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x k x k 有两个不相等的实数根，则偶数k 的最小值为 .11.已知关于x 的方程01)2()1(12=--+++x m x m m ，问： （1）m 取何值时，它是一元二次方程？ （2）m 取何值时，它是一元一次方程？参考答案1. D2. C3. C4. 5≤m5. 01≠->k k 且6. 47. 3-=m8. 19. 45-≥a 10. 411. （1）1=m ；（2）01=-=m m 或专题三：一元二次方程的之方程的构造1.如果n m ,是两个不相等的实数，且满足3,322=-=-n n m m ，那么代数式=++-2019222m mn n .2.已知1≠ab 且有08199552=++a a 以及05199582=++b b ，则=ba ＿＿＿.3.若实数b a ,满足012=-+a a ，012=-+b b ，则ba ab +=______．4.若1≠⋅b a ，且有01522=++a a ，0252=++b b ，则.2ba ab +的值为______．5.若n m ,是两个不相等的实数，且满足12,1222=-=-n n m m ，则代数式mn n m -+的值是 .知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。
苏科版九年级数学上册 因式分解法解一元二次方程- 培优训练【含答案】
苏科版九年级数学上册 因式分解法解一元二次方程- 培优训练一、选择题1、我们解一元二次方程3x 2－6x ＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x (x －2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x ＝0或x －2＝0，进而得到原方程的解为x 1＝0，x 2＝2.这种解法体现的数学思想是( )A ．转化思想B ．函数思想C ．数形结合思想D ．公理化思想2、下列一元二次方程最适合用分解因式法来解的是( )A ．(x ＋1)(x －3)＝2B ．2(x －2)2＝x 2－4C ．x 2＋3x －1＝0D ．5(2－x )2＝33、下列方程能用因式分解法求解的有（ ）①2x x =； ②2104x x -+=； ③230x x --=； ④2(32)16x +=． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4、用因式分解法解方程3x (2x －1)＝4x －2，则原方程应变形为( )A ．2x －1＝0B ．3x ＝2C ．(3x －2)(2x －1)＝0D ．6x 2－7x ＋2＝05、方程x 2－3x ＝0的解为( )A ．x ＝0B ．x ＝3C ．x 1＝0，x 2＝－3D ．x 1＝0，x 2＝36、一元二次方程x (x －3)＝3－x 的解是( )A ．x ＝－1B ．x ＝3C ．x 1＝1，x 2＝3D ．x 1＝－1，x 2＝37、在解方程(x ＋2)(x －2)＝5时，甲同学说：“由于5＝1×5，可令x ＋2＝1，x －2＝5，得方程的根为x 1＝－1，x 2＝7.”乙同学说：“应把方程右边化为0，得x 2－9＝0，再分解因式，即(x ＋3)(x －3)＝0，得方程的根为x 1＝－3，x 2＝3.”对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是( )A ．甲错误，乙正确B ．甲正确，乙错误C ．甲、乙都正确D ．甲、乙都错误8、一元二次方程2x +5x=0的较大的一个根设为m ，2x -3x+2=0较小的根设为n ，则m+n 的值为（ ） A 、1 B 、2 C 、—4 D 、49、k 是常数，关于x 的一元二次方程x （x +1）＝k （k +1）的解是（ ）A ．x ＝kB ．x ＝±kC ．x ＝k 或x ＝﹣k ﹣1D ．x ＝k 或x ＝﹣k +110、定义一种新运算：a ♣b ＝a (a －b )．例如，4♣3＝4×(4－3)＝4.若x ♣2＝3，则x 的值是( )A ．x ＝3B ．x ＝－1C ．x 1＝3，x 2＝1D ．x 1＝3，x 2＝－1二、填空题11、用因式分解法解方程5(x ＋3)－2x (x ＋3)＝0，可将其化为两个一元一次方程： 、_____________________求解，其解为x 1＝________，x 2＝________．12、(1)方程x 2＋x ＝0的解是 ．(2)方程3(x －5)2＝2(x －5)的根是____________．13、小华在解一元二次方程x 2－4x ＝0时，只得出一个根是x ＝4，则被她漏掉的一个根是________．14、若实数x 满足(x －1)2－8(x －1)＋16＝0，则x ＝________．15、方程2x 2+5x ﹣3=0的解是16、已知数轴上A ，B 两点对应的数分别是一元二次方程(x ＋1)(x －2)＝0的两个根，则A ，B 两点间的距离是________．17、当x=______________时，代数式x －3的值与x (x －3)的值的差为0.18、三角形的每条边的长都是方程x 2﹣6x+8=0的根，则三角形的周长是19、当a ＝_______23a -13a -20、已知三角形两边的长分别是2和5，第三边的长是方程27100x x -+=的根，则这个三角形的周长是三、解答题21、用因式分解法解下列方程：(1)x2＋16x＝0；(2)(3x＋2)2－4x2＝0；(3)2x(x＋3)－3(x＋3)＝0.22、用因式分解法解下列方程：(1)x2＋16x＝0；(2)(3x＋2)2－4x2＝0；(3)2x(x＋3)－3(x＋3)＝0；(4)x(2x－5)＝4x－10；(5)(x－1)2＋2x(x－1)＝0；(6)(x－5)2－2(x－5)＋1＝0.23、当x为何值时，代数式x2－2x－3的值与代数式4x＋4的值互为相反数？24、小红、小亮两名同学一起解方程x(2x－5)＋4(5－2x)＝0.小红是这样解的：先将方程变形为x(2x－5)－4(2x－5)＝0，移项，得x(2x－5)＝4(2x－5)，方程两边同除以(2x－5)，得x＝4.小亮看后说小红的解法不对，请你判断小红的解法是否正确，若不正确，请说明理由，并给出正确的解法．25、我们知道可以用公式2()()()x p q x pq x p x q +++=++来分解因式，解一元二次方程． （1）2680x x ++=，方程分解为 =0，27300x x --=，方程分解为 =0．（2）爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：23720x x -+=，方程可分解为(2)(31)0x x --=，从而可以快速求出方程的解．利用此方法解一元二次方程24850x x --=．26、阅读下面的文字，并回答问题．解方程：x 4－5x 2＋4＝0.解：令x 2＝y ，则原方程可变形为y 2－5y ＋4＝0，①即(y －1)(y －4)＝0.解得y 1＝1，y 2＝4.当y ＝1时，x 2＝1，∴x 1＝1，x 2＝－1；当y ＝4时，x 2＝4，∴x 3＝2，x 4＝－2.问题：(1)上述解题过程中，将原方程化成①的形式用到的数学思想是() A ．数形结合思想 B ．整体思想 C ．分类讨论思想(2)上述解一元二次方程的过程中，用到了什么方法？(3)上述解题过程是否完整？若不完整，请补充．(4)用上面的解法解方程：(2x ＋1)2－4(2x ＋1)＋3＝0.27、阅读题例，解答后面的问题：解方程：x 2－|x －1|－1＝0.解：①当x －1≥0，即x ≥1时，原方程化为x 2－(x －1)－1＝0，则x 2－x ＝0，解得x 1＝0(不合题意，舍去)，x 2＝1；②当x －1＜0，即x ＜1时，原方程化为x 2＋(x －1)－1＝0，则x 2＋x －2＝0，解得x 1＝1(不合题意，舍去)，x 2＝－2.综上所述，原方程的解是x ＝1或x ＝－2.依照上面的解法，解方程：x 2＋2|x ＋2|－4＝0.一、选择题1、我们解一元二次方程3x 2－6x ＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x (x －2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x ＝0或x －2＝0，进而得到原方程的解为x 1＝0，x 2＝2.这种解法体现的数学思想是( )A ．转化思想B ．函数思想C ．数形结合思想D ．公理化思想A2、下列一元二次方程最适合用分解因式法来解的是( )A ．(x ＋1)(x －3)＝2B ．2(x －2)2＝x 2－4C ．x 2＋3x －1＝0D ．5(2－x )2＝3[解析] A ，C ，D 项不适合用分解因式法解方程，B 项最适合用分解因式法解方程．故选B .3、下列方程能用因式分解法求解的有（ ）①2x x =； ②2104x x -+=； ③230x x --=； ④2(32)16x +=． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C【分析】根据分解因式法求解方程的方法逐一判断即得答案．解：方程2x x =可变形为()10x x -=，故①能用分解因式法求解； 方程2104x x -+=可变形为2102x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故②能用分解因式法求解； 方程230x x --=不能用因式分解法求解；方程2(32)16x +=可变形为()()3243240x x +-++=，即()()32360x x -+=，故④能用分解因式法求解．综上，能用因式分解法求解的方程有3个，故选：C ．4、用因式分解法解方程3x (2x －1)＝4x －2，则原方程应变形为( )A ．2x －1＝0B ．3x ＝2C ．(3x －2)(2x －1)＝0D ．6x 2－7x ＋2＝0[解析] 3x(2x －1)＝4x －2，3x(2x －1)－(4x －2)＝0，3x(2x －1)－2(2x －1)＝0，(2x －1)(3x －2)＝0. 故选C .5、方程x 2－3x ＝0的解为( )A ．x ＝0B ．x ＝3C ．x 1＝0，x 2＝－3D ．x 1＝0，x 2＝3[解析] ∵x 2－3x ＝0，∴x(x－3)＝0，∴x＝0或x－3＝0，∴x1＝0，x2＝3.故选D.6、一元二次方程x(x－3)＝3－x的解是()A．x＝－1 B．x＝3 C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝3D[解析] 原方程可化为x(x－3)＋(x－3)＝0，∴(x－3)(x＋1)＝0，∴x－3＝0或x＋1＝0，∴x1＝3，x2＝－1.7、在解方程(x＋2)(x－2)＝5时，甲同学说：“由于5＝1×5，可令x＋2＝1，x－2＝5，得方程的根为x1＝－1，x2＝7.”乙同学说：“应把方程右边化为0，得x2－9＝0，再分解因式，即(x＋3)(x－3)＝0，得方程的根为x1＝－3，x2＝3.”对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是()A．甲错误，乙正确B．甲正确，乙错误C．甲、乙都正确D．甲、乙都错误[解析] (x＋2)(x－2)＝5，整理，得x2－9＝0.分解因式，得(x＋3)(x－3)＝0，则x＋3＝0，x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝3.所以甲错误，乙正确．故选A.8、一元二次方程2x+5x=0的较大的一个根设为m，2x 3x+2=0较小的根设为n，则m+n的值为（）A、1B、2C、—4D、4A第一个一元二次方程解得：x1=0，x2=—5，故m=0；第二个一元二次方程解得：x1=1，x2=2，故n=1；∴m+n=1，即m+n的值是1。
苏科版九年级数学上册1-1《一元二次方程》专题培优训练【含答案】
苏科版九年级数学上册1.1《一元二次方程》专题培优训练1．关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一个根为1，则k的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣22．已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（）A．﹣1或2B．﹣1C．2D．03．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根，则代数式2m2﹣2m+7的值是（）A．11B．12C．13D．144．．已知M＝2x2﹣2x+1，N＝ax2+bx+c（a，b，c为常数），若存在x使得M＝N，则a，b，c的值可以分别为（）A．1，﹣1，0B．1，0，﹣1C．0，1，﹣1D．0，﹣1，15．若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2020的值为（）A．2019B．2020C．2021D．20226．将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（）A．x2﹣2x+5＝0B．x2﹣2x﹣5＝0C．x2+2x﹣5＝0D．x2+2x+5＝07．若x＝2是一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根，则a的值是（）A．0B．1C．2D．38．我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x﹣1）2+2（2x ﹣1﹣3＝0，它的解是（）A．x1＝1，x2＝-3B．x1＝-1，x2＝﹣3C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝1，x2＝﹣19．若方程（m﹣1）x m2+1﹣（m+1）x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．0B．±1C．1D．﹣110．若关于x的方程x2+mx﹣3n＝0的一个根是3，则m﹣n的值是（）A．﹣1B．﹣3C．1D．311．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值是（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．﹣1或012．若x2﹣3x+1＝0，则x4+的个位数字是（）A．7B．8C．9D．1013．已知是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则c的值是（）A．﹣6B．6C．D．214．若方程（m﹣1）x2+x+＝0是关于x的一元二次方程，则下列结论正确的是（）A．m≥2B．m≤2C．m≤2且m≠1D．m≠115．若a2﹣2a﹣2＝0，则（a﹣1）2＝．16．已知a是方程x2+3x﹣4＝0的根，则代数式2a2+6a+4的值是．17．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是．18．已知△ABC的两边长分别为2和3，第三边长是方程（x2﹣2x）﹣5（x﹣2）＝0的根，求△ABC的周长．19．若a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，求代数式a2﹣2021a+的值．20．已知x＝0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+mx+4m2﹣4＝0的一个根，求直线y＝mx﹣2经过哪些象限．答案1．解：把x＝1代入方程x2+kx﹣2＝0，可得12+k﹣2＝0，即k＝1，故选：A．2．解：把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0得：m﹣2+4﹣m2＝0，﹣m2+m+2＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1，∵（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0是一元二次方程，∴m﹣2≠0，∴m≠2，∴m＝﹣1，故选：B．3．解：∵m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根，∴m2﹣m﹣3＝0，∴m2﹣m＝3，∴2m2﹣2m+7＝2（m2﹣m）+7＝2×3+7＝13．故选：C．4．解：由M＝2x2﹣2x+1，N＝ax2+bx+c（a，b，c为常数），且M＝N，得到2x2﹣2x+1＝ax2+bx+c，即（a﹣2）x2+（b+2）x+c﹣1＝0，则a，b，c的值可以分别为0，﹣1，1，即﹣2x2+x＝0，方程有解，故选：D．5．解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，∴m2﹣m﹣1＝0，∴m2﹣m＝1，∴m2﹣m+2020＝1+2020＝2021．故选：C．6．解：（x﹣1）2＝6，x2﹣2x+1﹣6＝0，x2﹣2x﹣5＝0，即将方程（x﹣1）2＝6化成一般形式为x2﹣2x﹣5＝0，故选：B．7．解：把x＝2代入方程x2﹣3x+a＝0得4﹣6+a＝0，解得a＝2．故选：C．8．解：把方程（2x-1）2+2（2x-1）﹣3＝0看作关于2x-1的一元二次方程，所以2x-1＝1或2x-1＝﹣3，所以x1＝1，x2＝﹣1．故选：D．9．解：由题意得：m2+1＝2，m﹣1≠0，解得m＝﹣1，故选：D．10．解：依题意得：32+3m﹣3n＝0，整理，得9+3（m﹣n）＝0．解得m﹣n＝﹣3．故选：B．11．解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，∴（a﹣1）×0+0+a2﹣1＝0，且a﹣1≠0，解得a＝±1且a≠1．∴a＝﹣1符合题意；故选：A．12．解：依题意得，当x＝0时不符合题意，故x≠0，由原方程得到：x+＝3，∴x2+＝7∴x4+＝（x2+）2﹣2＝49﹣2＝47则x4+的个位数字是7．故选：A．13．解：把x＝代入方程x2﹣3x+c＝0得：3﹣9+c＝0，解得：c＝6，故选：B．14．解：∵（m﹣1）x2+x+＝0是关于x的一元二次方程，∴m﹣1≠0，解得m≠1，故选：D．15．解：∵a2﹣2a﹣2＝0，∴a2﹣2a＝2，∴（a﹣1）2＝a2﹣2a+1＝2+1＝3．故3．16．解：∵a是方程x2+3x﹣4＝0的根，∴a2+3a﹣4＝0，∴a2+3a＝4，∴2a2+6a+4＝2（a2+3a）+4＝2×4+4＝12．故12．17．解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，（a，m，b均为常数，a ≠0），∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝﹣2或x+2＝1，解得x＝﹣4或x＝﹣1．故x3＝﹣4，x4＝﹣1．18．解：解方程（x2﹣2x）﹣5（x﹣2）＝0可得x＝2或x＝5，∴△ABC的第三边为2或5，但当第三边为5时，2+3＝5，不满足三角形三边关系，∴△ABC的第三边长为2，∴△ABC的周长为2+2+3＝7．19．解：∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，∴a2﹣2020a+1＝0，∴a2＝2020a﹣1，∴a2﹣2021a+＝2020a﹣1﹣2021a+＝﹣a+a﹣1＝﹣1．20．解：∵x＝0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+mx+4m2﹣4＝0的一个根，∴4m2﹣4＝0，解得：m＝±1，根据题意，得m﹣1≠0，∴m≠1，∴m＝﹣1＜0．∴直线y＝mx﹣2经过的象限是第二、三、四象限．。
2020年秋苏科版九年级数学上册第一章一元二次方程单元培优测试卷(Word版 含解析)
2020年秋苏科版九年级数学上册第一章一元二次方程单元培优测试卷一、选择题（共10题；共30分）1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A.x2+1x=0 B.ax2＋bx＋c＝0 C.（x－1）（x＋ 2）＝1 D.3x2－2xy－5y2＝02.用配方法解一元二次方程x2-8x+11=0，此方程可化为( )A.(x-4)2=5B.(x+4)²=5C.(x-4)²=27D.(x+4)²=273.一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根4.已知一元二次方程x2﹣4x+m＝0有一个根为2，则另一根为（）A.﹣4B.﹣2C.4D.25.从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的矩形的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（）A. 8cmB. 64cmC. 8cm2D. 64cm26.三角形的两边长分别为3米和6米，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长为（）A.11B.12C.11或 13D.137.如果关于x的一元二次方程kx2−3x+1=0有两个实数根，那么k的取值范围是（）A.k⩾94B.k⩾−94且k≠0 C.k⩽94且k≠0 D.k⩽−948.菱形ABCD的一条对角线长为6，另一条对角线的长为方程y2﹣2y﹣8＝0的一个根，则菱形ABCD的面积为（）A.10B.12C.10或12D.249.某公司今年1月的营业额为250万元，按计划第1季度的营业额要达到900万元，设该公司2、3月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程正确的是（）A.250(1+x)2=900B.250(1+x%)2=900C.250(1+x)+250(1+x)2=900D.250+250(1+x)+250(1+x)2=90010.若m是一元二次方程x2-4x-1=0的一个根，则代数式4m-m²的值为( )A.1B.-1C.2D.-22二、填空题（共6题；共24分）11.若(x2+y2)2−5(x2+y2)−6=0，则x2+y2= ________．12.一元二次方程4x(x−2)=x−2的解为________．13.设x1，x2是方程2x2+3x−4=0的两个实数根，则1x1+1x2的值为________．14.已知关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+a2−1=0有一个根为x=0，则a的值为________．15.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则每个支干长出________．16.如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为________．三、解答题（共7题；共66分）17.解方程（1）x2−4=0（2）(x+3)2=(2x−1)(x+3)18.一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数。
苏科版2020九年级数学上册第1章一元二次方程单元综合培优测试题2(附答案详解)
苏科版2020九年级数学上册第1章一元二次方程单元综合培优测试题2（附答案详解）1．方程2x 2﹣3=0的两根是（ ）A ．B ．C ．D ．2．若方程220x ax ++=和方程220x x a --=有一个相同的实数根，则a 的值为（ ）A ．3 B ．2 C ．1 D ．03．方程()60x x -=的解是( )A ．6x =B ．120,6x x ==C ．6x =-D ．120,6x x ==- 4．方程3x 2=0的根是（ ）A ．0x =B ．120x x ==C ．3x =D ．12x x == 5．用配方法解方程x 2－23x+1=0正确的解法是（ ）A ．（x －13）2=89，x=13B ．（x －13）2=－89，原方程无解C ．（x －23）2=59，x 1=23+x 2D ．（x －23）2=1，x 1=53，x 2=－13 6．已知关于x 的方程）（0a 0c bx ax 2≠=++，且a-b+c=0，则此方程必有一解为（ ）A ．-1 B ．0 C ．1 D ．-1或17．规定：如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论： ①方程x 2+2x ﹣8=0是倍根方程；②若关于x 的方程x 2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；③若关于x 的方程ax 2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax 2﹣6ax+c 与x 轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；④若点（m ，n ）在反比例函数y=4x的图象上，则关于x 的方程mx 2+5x+n=0是倍根方程．上述结论中正确的有（ ）A ．①②B ．③④C ．②③D ．②④ 8．将方程2410x x --=的左边变成平方的形式是（ ）A ．2(2)1x -=B ．2(4)1x -=C ．2(2)5x -=D ．2(1)4x -= 9．下列方程中是一元二次方程的有（ ）①24x x = ②22x xy 40+= ③2x 0= ④2112x x -= ⑤()26x x 56x -=． A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 10．α,β是方程x 2+2x-5=0的两个实数根,则α2+2α+αβ的值为（ ）A ．5B ．- 5C ．0D ．1011．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支． 若主干、支干和小分支的总数是 57，设每个支干长出 x 个小分支，则可列方程为_______ 12．已知方程270x x --=的两个实数根分别为m ，n ，则2m n +的值为_______________13．已知1x 、2x 是方程2210x x --=的两根，则2212x x +=______________14．方程x （x-1）=2（x-1）的解是 ．15．已知一元二次方程x 2-4x+3=0的两根x 1、x 2，则x 1 2-4x 1+x 1x 2=_______．16．方程()()533x x x -=-的根为13x =，215x =.（______） 17．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=的两根是一个矩形两条邻边的长，那么当k ＝_____时，矩形的对角线长为5．18．关于x 的一元二次方程x 2﹣（k+2）x+14k 2﹣1=0的两根互为倒数，则k 的值是________．19．配方：28x x -+________(x =-________2)．20．已知直角三角形的两条边长分别是方程214480x x -+=的两个根，则此三角形的第三边是_______.21．如图，用一块长为50cm 、宽为30cm 的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，当做成盒子的底面积为2300cm 时，求截去的小正方形的边长是多少cm ？22．（x+3）2=（1﹣2x ）2．23．关于x 的一元二次方程x 2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x+2m=0的两个根，且x 12+x 22﹣x 1x 2=8，求m 的值．24．解方程：2132x x -=． 25．某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册，问平均每年藏书增长的百分率是多少？26．如图，在菱形ABCD 中，m 、n 、t 分别是菱形ABCD 的两条对角线长和边长，这时我们把关于x 的形如“2220mx tx n ++=”的一元二次方程称为“菱系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）填空：①当6m =，8n =时，t = ．②用含m ，n 的代数式表示2t 值，2t = ．（2）求证：关于x 的“菱系一元二次方程”2220mx tx n ++=必有实数根；（3）若1x =-是“菱系一元二次方程”2220mx tx n ++=的一个根，且菱形的面积是25，BE 是菱形ABCD 的AD 边上的高，求BE 的值．27．某渔船出海捕鱼，2016年平均每次捕鱼量为10吨，2018年平均每次捕鱼量为8.1吨，求2016年﹣2018年平均每次捕鱼量的年平均下降率．28．已知：关于x 的方程()21230x m x m -++-=（1）求证：不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根（2）若方程的一个根为1，求m 的值及方程的另一根29．求满足的的值．30．已知关于x 的一元二次方程26(41)0x x m -++=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为1x ，2x ，且12112x x =-求m 的值参考答案1．B【解析】【分析】利用求根公式x=2b ±解方程. 【详解】方程：﹣3=0中∴故选：B.【点睛】考查用公式法解一元二次方程，利用求根公式解方程时，一定要弄清楚该公式中的字母a 、b 、c 所表示的意义．2．A【解析】【分析】两个方程有一个相同的实数根，即可联立解方程组，用其中一个未知数表示另一个未知数，再代入其中一个方程，即可求得a 的值．【详解】解：将方程x 2-ax+2=0与方程x 2-（a+1）x+a=0联立方程组，得222020x x a a x x -⎧++=-=⎪⎨⎪⎩由方程220x ax ++=得x 2=-ax-2，由方程220x x a --=得x 2=2x+a ．则-ax-2=2x+a ，即x=-1．把x=-1代入方程220x ax ++=，得1-a+2=0，解得a=3．故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程的解，根据题意建立方程组是解题的关键．3．B【解析】【分析】利用因式分解法解方程，即可得到答案.【详解】解：()60x x -=，∴60x -=，0x =，∴120,6x x ==；故选择：B.【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法.4．B【解析】【分析】先系数化成1，再开方即可．【详解】解：3x 2=0，x 2=0，x 1=x 2=0，故选B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 5．B【解析】首先移项得：x 2－23x =－1，然后配方得：x 2－2 3x +（13）2=－1+（13）2，即（x －13）2=－89，方程无解. 故选B.点睛：若x 2为负数，则x 无解.6．A ．【解析】试题解析：∵a-b+c=0，且当x=-1时，a-b+c=0，∴x=-1是原方程的一个根．故选A ．考点：一元二次方程的解．7．C【解析】分析：①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；②设2x =21x ，得到1x •2x =221x =2，得到当1x =1时，2x =2，当1x =－1时，2x =－2，于是得到结论；③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；④若点（m ，n ）在反比例函数y=4x 的图象上，得到mn=4，然后解方程m 2x +5x+n=0即可得到正确的结论；详解：①由2x -2x-8=0，得：（x-4）（x+2）=0， 解得1x =4，2x =－2， ∵1x ≠22x ，或2x ≠21x ，∴方程2x -2x-8=0不是倍根方程；故①错误；②关于x 的方程2x +ax+2=0是倍根方程， ∴设2x =21x ， ∴1x •2x =221x =2， ∴1x =±1， 当1x =1时，2x =2， 当1x =－1时，2x =－2， ∴1x +2x =－a=±3， ∴a=±3，故②正确； ③关于x 的方程a 2x -6ax+c=0（a≠0）是倍根方程， ∴2x =21x ，∵抛物线y=a 2x -6ax+c 的对称轴是直线x=3， ∴抛物线y=a 2x -6ax+c 与x 轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0）， 故③正确；④∵点（m ，n ）在反比例函数y=4x的图象上， ∴mn=4， 解m 2x +5x+n=0得 1x =2m -，2x =8m-， ∴2x =41x ， ∴关于x 的方程m 2x +5x+n=0不是倍根方程； 故选C ．点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，正确的理解倍根方程的定义是解题的关键．8．C【解析】【分析】利用配方法，方程两边同时加5即可求解．【详解】2410x x --=2445x x +=-()225x -=故答案为：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的转换问题，掌握配方法是解题的关键．9．A【解析】【分析】根据一元二次方程的的定义解答即可．【详解】解：①24x x = s 是一元二次方程； ②22x xy 40+= 不是一元二次方程；③2x 0= 是一元二次方程； ④2112x x-= 不是一元二次方程； ⑤()26x x 56x -=不是一元二次方程．所以是一元二次方程的为①③．故选A【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0；（4）是整式方程．10．C ．【解析】试题分析：∵α，β是方程x 2+2x-5=0的两个实数根，∴α+β=-2，又∵α2+αβ+2α=α（α+β）+2α，∴α2+αβ+2α=-2α+2α=0．故选C ．考点：根与系数的关系．11．x²+x+1=57【解析】【分析】由题意设每个支干长出 x 个小分支，每个小分支又长出 x 个分支，则又长出 x 2 个分支，则共有 x²+x+1 个分支，即可列方程． 【详解】设每个支干长出 x 个小分支， 根据题意列方程得：x²+x+1=57． 故答案为 x²+x+1=57． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解题的关键．12．8【解析】【分析】将x=m 代入解析式中，可得27m m =+，然后代入代数式中，然后根据韦达定理即可求出2m n +的值.【详解】解：由解的定义：270m m --=即27m m =+∴27m n m n +=++ 由韦达定理111m n -+=-= ∴78m n ++=故答案为：8.【点睛】此题考查的是一元二次方程解的定义和韦达定理，掌握“降次”的数学思想和韦达定理是解决此题的关键.13．2【解析】【分析】根据根与系数的关系变形后求解．【详解】解：∵x1、x2是方程x2−2x−1＝0的两根，∴x1＋x2＝2，x1×x2＝−1，∴x12＋x22＝（x1＋x2）2−2x1x2＝22−2×（−1）＝6．故答案为6．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x1，x2，则x1＋x2＝ba，x1•x2＝ca．14．x1=1，x2=2．【解析】【分析】移项后利用因式分解法进行求解即可.【详解】方程移项得：x（x-1）-2（x-1）=0，分解因式得：（x-1）（x-2）=0，可得x-1=0或x-2=0，解得：x1=1，x2=2．15．0【解析】试题解析：∵x1、x2是一元二次方程x2-4x+3=0的两根∴x1x2=3, x12-4x1+3=0∴x12-4x1=-3∴x1 2-4x1+x1x2=-3+3=0.16．√【解析】【分析】移项后用分解因式法解方程即可进行判断. 【详解】解：()()533x x x -=-， 移项，得()()5330x x x ---=， 即(51)(3)0x x --=， ∴5x ―1=0或x ―3=0， ∴13x =，215x =. 故答案为：√. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握分解因式法解方程的方法是正确判断的关键. 17．2． 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得出AB +BC ＝k +1，AB •BC ＝14k 2+1，由勾股定理得出AB 2+BC 2＝5，得出方程（k +1）2﹣2（14k 2+1）＝5，求出方程的解即可． 【详解】解：根据根与系数的关系得：AB +BC ＝k +1，AB •BC ＝14k 2+1， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝90°，由勾股定理得：AB 2+BC 22＝5， （AB +BC ）2﹣2AB •BC ＝5， （k +1）2﹣2（14k 2+1）＝5， k ＝2，k ＝﹣6，当k ＝2时，AB +BC ＝K +1＝3，当k ＝﹣6时，AB +BC ＝k +1＝﹣5＜0，舍去， 故答案为：2．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，根与系数的关系的应用，关键是得出关于k 的方程． 18．2 【解析】试题解析：设方程221(2)104x k x k -++-=的两根为12,.x x 则有：2121212,14x x k x x k +=+=-，∵12,x x 互为倒数，221[(2)]41(1)04k k =-+-⨯⨯-≥2111,4k -= 解得：2 2.k = 故答案为：2 2.点睛：一元二次方程20ax bx c ++=的两根为12,.x x1212,.b cx x x x a a∴+=-=19．16 4 【解析】 【分析】根据完全平方式的特点，加上一次项系数一半的平方可得. 【详解】∵所给代数式的二次项系数为1，一次项系数为-8，等号右边正好是一个完全平方式， ∴常数项为（-8÷2）2 =16， ∴x 2 -8x+16=（x-4）2 ． 故答案为：(1). 16 (2). 4 【点睛】本题考核知识点：配方. 解题关键点：熟记完全平方式的特点. 20．7210或【解析】试题分析：先解出方程x 2﹣14x+48=0的两个根为6和8，再分长是8的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，根据勾股定理即可求得第三边的长。
苏州市九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》习题(培优练)
一、选择题1．用配方法解方程x 2﹣6x ﹣3＝0，此方程可变形为（ ）A ．（x ﹣3）2＝3B ．（x ﹣3）2＝6C ．（x+3）2＝12D ．（x ﹣3）2＝12 2．用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）A ．x 2﹣2x ﹣99＝0化为（x ﹣1）2＝100B ．x 2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25C ．2x 2﹣7x ﹣4＝0化为（x ﹣74）2＝8116D ．3x 2﹣4x ﹣2＝0化为（x ﹣23）2＝109 3．某超市今年1月份的营业额为50万元，已知2月至3月营业额的月增长率是1月至2月营业额的月增长率的2倍，3月份的营业额是66万元，设该超市1月至2月营业额的月增长率为x ，根据题意，可列出方程（ ）A ．()50166x +=B ．()250166x +=C ．()2501266x += D ．()()5011266x x ++= 4．如图，若将上图正方形剪成四块，恰能拼成下图的矩形，设1a =，则b =（ ）A ．512B ．512C 53+D 215．已知一元二次方程2210x x --＝的两个根分别是1x ，2x ，则2112x x x -+的值为（ ）．A ．-1B ．0C ．2D ．3 6．一元二次方程2610x x +-=配方后可变形为（ ） A ．()2310x += B ．()238x += C ．()2310x -=D ．()238x -= 7．将4张长为a 、宽为b （a ＞b ）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a ＋b ）的正方形，图中空白部分的面积之和为S 1，阴影部分的面积之和为S 2．若S 1＝53S 2，则a ，b 满足（ ）A ．2a ＝5bB ．2a ＝3bC ．a ＝3bD ．3a ＝2b 8．小刚在解关于x 的方程20(a 0)++=≠ax bx c 时，只抄对了1a =，4b =，解出其中一个根是1x =-．他核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2．则原方程的根的情况是（ ）A ．不存在实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有一个根是xD ．有两个相等的实数根 9．等腰三角形的底边长为6，腰长是方程28150x x -+=的一个根，则该等腰三角形的周长为（ ）A ．12B ．16C ．l2或16D ．15 10．方程(2)2x x x -=-的解是（ ） A ．2B ．2-，1C ．1-D ．2，1- 11．一元二次方程20x x -=的根是（ ） A ．10x =，21x =B ．11x =，21x =-C ．10x =，21x =-D ．121x x ==12．关于x 的方程2mx 0x +=的一个根是1-，则m 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．1- D ．1或013．若关于x 的方程（m ﹣1）x 2+mx ﹣1＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≠1B ．m ＝1C ．m ≥1D ．m ≠0 14．实数,m n 分别满足方程2199910m m ++=和219990n n ++=，且1mn ≠，求代数式41mn m n++的值（ ） A ．5- B ．5 C ．10319- D ．1031915．如果2是方程x²−3x+k=0的一个根,则此方程的另一根为( )A ．2B ．1C ．−1D ．−2二、填空题16．用配方法解方程x 2+4x+1＝0，则方程可变形为（x+2）2＝_____．17．方程2350x x -=的一次项系数是______．18．设m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣7＝0的两个根，则m+n ＝_____．19．已知x ＝2是关于x 一元二次方程x 2+kx ﹣6＝0的一个根，则另一根是_____． 20．对于任意实数a 、b ，定义：a ◆b ＝a 2+ab +b 2．若方程（x ◆2）﹣5＝0的两根记为m 、n ，则（m +2）（n +2）＝_____．21．已知等腰三角形的边长是方程213360x x -+=的两个根，则这个等腰三角形的周长是______．22．当m ______时，关于x 的一元二次方程2350mx x -+=有两个不相等的实数根． 23．已知2x =是关于x 的方程220x x m ++=的一个根，则m =_________．24．已知a ，b 是一元二次方程22310x x +-=的两实数根，则11a b +=________． 25．若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m 2﹣m ＝0（m ＞0），当m ＝1、2、3、…2020时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，…，α2020、β2020，则112220202020111111αβαβαβ++++++的值为_____．26．关于x 的一元二次方程有两个根0和3，写出这个一元二次方程的一个一般式为______．参考答案三、解答题27．如图，有一道长为10m 的墙，计划用总长为54m 的篱笆，靠墙围成由六个小长方形组成的矩形花圃ABCD ．若花圃ABCD 面积为272m ，求AB 的长．28．已知，关于x 的一元二次方程2210x x m -+-=有两个不相等的实数根．求m 的取值范围．29．某精准扶贫办对某地甲、乙两个猕猴桃品种进行种植对比实验研究．去年甲、乙两个品种各种植了100亩．收获后甲、乙两个品种的售价均为6元/kg ，且乙的平均亩产量比甲的平均亩产量高500kg ，甲、乙两个品种全部售出后总收入为1500000元． （1）请求出甲、乙两个品种去年平均亩产量分别是多少？（2）今年，精准扶贫办加大了对猕猴桃培育的力度，在甲、乙种植亩数不变的情况下，预计甲、乙两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加%a 和2%a ．由于乙品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨%a ，而甲品种的售价不变，甲、乙两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加58%25a ．求a 的值． 30．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程()222110xm x m --+-=两个实数根． （1）求m 取值范围；（2）若()12210x x x -+=，求实数m 的值．。
苏科版九年级数学上册第1章《一元二次方程》单元培优训练【含答案】
苏科版九年级数学上册第1章《一元二次方程》单元培优训练 (本次时间为120分钟，卷面总分150分.)一、选择题（本大题共有8小題，每小题3分，共24)1、下列哪个方程是一元二次方程（ ）A ．2x+y=1B ．x 2+1=2xyC ．x 2+1x =3D ．x 2=2x ﹣32、把方程（x+2）(x-2)=5x 化成一元二次方程的一般形式是（ ）A ．25x 40x --=B ．25x 40x -+=C ．25x 40x +-=D ．25x 40x ++=3、已知3是方程x 2﹣23x+c ＝0的一个根，则c 的值是（ ）A ．﹣3B ．3C ．3D ．234、x=25543123-±+⨯⨯⨯是下列哪个一元二次方程的根（ ） A ．3x 2+5x+1=0 B ．3x 2﹣5x+1=0 C ．3x 2﹣5x ﹣1=0 D ．3x 2+5x ﹣1=05、已知实数x 满足（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0，那么x 2﹣2x +1的值为（ ）A ．﹣1或3B ．﹣3或1C ．3D ．16、若关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2﹣2ax +a ＝6有两个不相等的实数根，则a 的取值范围为（ ）A ．a ＞0B ．a ＞0且a ≠2C ．23>aD ．23>a 且a ≠2 7、某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x ．应列方程是（ ）A ．300（1+x ）=507B ．300（1+x ）2=507C ．300（1+x ）+300（1+x ）2=507D ．300+300（1+x ）+300（1+x ）2=5078、西菜市场某商户销售冰鲜海产品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，期间发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件，在每件盈利不少于 25 元的前提下，要取得每天利润为 1200 元，每件商品降价（ ）A ．10元B ．20元C ．10元或20元D ．15元二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）9、已知方程x 2﹣6x ﹣2＝0，用配方法化为a （x +b ）2＝c 的形式为_____．10、一元二次方程x 2+3x ＝0的解是 ．11、关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣2m +1＝0的两实数根为一正一负，则实数m 的取值范围是 ．12、若关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋k ﹣1＝0有实数根，则k 的取值范围是____．13、已知关于x 的方程x 2+（k 2﹣4）x +k ﹣1＝0的两实数根互为相反数，则k ＝ ．14、若方程x 2＋2x －11＝0的两根分别为m 、n ，则mn （m ＋n ）＝______．15、在元旦前夕，某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信，已知全公司共发出2450条短信，那么这个公司有_________员工人．16、某呼吸机制造商2020年一月份生产呼吸机1000台，2020年三月份生产呼吸机4000台，设二、三月份每月的平均增长率为x ，根据题意，可列方程为_____ ．三、解答题（本大题共有11小题，共102分）17、（6分）按指定的方法解下列方程：（1）2x 2﹣5x ﹣4＝0（配方法）； （2）3（x ﹣2）+x 2﹣2x ＝0（因式分解法）18、（6分）已知关于x 的一元二次方程2210x x m -+-=的两个实数根分别为1x ，2x ，且满足12437x x +=，求实数m 的值．19、（8分）已知关于x 的方程（m 2﹣1）x 2+（m ﹣1）x ﹣2＝0．（1）当m 为何值时，该方程为一元二次方程？（2）当m 为何值时，该方程为一元一次方程？20、（8分）已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根．（2）若等腰三角形ABC的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．21、（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．22、（10分）某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染．（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？23、（10分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙M N最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．24、（10分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第一年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为万元；（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年的增长百分率x.25、（10分）某水果经销商批发了一批水果，进货单价为每箱50元，若按每箱60元出售，则可销售80箱．现准备提价销售，经市场调研发现：每箱每提价1元，销量就会减少2箱，为保护消费者利益，物价部门规定，销售利润不能超过50%，设该水果售价为每箱x（x＞60）元（1）用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为箱；（2）现在预算要获得1200元利润，应按每箱多少元销售？26、（12分）在矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动．如果P、Q 分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．(1)填空：BQ＝________，PB＝________(用含t的代数式表示)；(2)当t为何值时，PQ的长度等于5 cm?(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．27、（14分）对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x＝n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x2，当x＝0时，代数式等于0；当x＝1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A＝0．（1）代数式x2﹣2的不变值是，A＝．（2）说明代数式3x2+1没有不变值；（3）已知代数式x2﹣bx+1，若A＝0，求b的值．(本次时间为120分钟，卷面总分150分.)二、选择题（本大题共有8小題，每小题3分，共24)1、下列哪个方程是一元二次方程（）A．2x+y=1 B．x2+1=2xy C．x2+1x=3 D．x2=2x﹣3D【分析】方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程，根据定义判断即可．A. 2x＋y＝1是二元一次方程，故不正确；B. x2＋1＝2xy是二元二次方程，故不正确；C. x2＋1x＝3是分式方程，故不正确； D. x2＝2x－3是一元二次方程，故正确；故选：D2、把方程（x+2）(x-2)=5x化成一元二次方程的一般形式是（）A．25x40x--=B．25x40x-+=C．25x40x+-=D．25x40x++= A【分析】根据平方差公式和移项法则把原方程变形，化为一元二次方程的一般形式即可．方程变形为x2﹣4=5x，移项得：x2﹣5x﹣4=0．故选A．3、x2﹣＝0的一个根，则c的值是（）A．﹣3 B．3 C D．B【分析】把x c的方程，然后解方程即可．解：把x x2﹣＝0）2﹣＝0，所以c＝6﹣3＝3．故选：B．4、是下列哪个一元二次方程的根（）A．3x2+5x+1=0 B．3x2﹣5x+1=0 C．3x2﹣5x﹣1=0 D．3x2+5x﹣1=0D【分析】根据一元二次方程的求根公式进行求解.，对四个选项一一代入求根公式，正确的是D. 所以答案选D.5、已知实数x 满足（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0，那么x 2﹣2x +1的值为（ ）A ．﹣1或3B ．﹣3或1C ．3D ．1【分析】设x 2﹣2x +1＝a ，则（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝化为a 2+2a ﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可．解：设x 2﹣2x +1＝a ，∵（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0，∴a 2+2a ﹣3＝0，解得：a ＝﹣3或1，当a ＝﹣3时，x 2﹣2x +1＝﹣3，即（x ﹣1）2＝﹣3，此方程无解；当a ＝1时，x 2﹣2x +1＝1，此时方程有解，故选：D ．6、若关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2﹣2ax +a ＝6有两个不相等的实数根，则a 的取值范围为（ ）A ．a ＞0B ．a ＞0且a ≠2C ．23>aD ．23>a 且a ≠2 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a ﹣2≠0且△＝（﹣2a ）2﹣4（a ﹣2）×（a ﹣6）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．解：根据题意得a ﹣2≠0且△＝（﹣2a ）2﹣4（a ﹣2）×（a ﹣6）＞0，解得23 a 且a ≠2． 故选：D ．7、某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x ．应列方程是（ ）A ．300（1+x ）=507B ．300（1+x ）2=507C ．300（1+x ）+300（1+x ）2=507D ．300+300（1+x ）+300（1+x ）2=507 B解：设这两年的年利润平均增长率为x ，根据题意得：300（1+x ）2=507．故选：B ．8、西菜市场某商户销售冰鲜海产品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，期间发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件，在每件盈利不少于 25 元的前提下，要取得每天利润为 1200 元，每件商品降价（ ）A ．10元B ．20元C ．10元或20元D ．15元A【分析】设每件商品应降价为x 元，则平均每天可多售出2x 件，根据总利润=单个利润×数量，单个利润=售价-成本，列出方程，求解x.解：设每件商品应降价为x 元，则平均每天可售出(20+2x)件，每件的利润为(40-x)元，由题意知：(20+2x)(40-x)=1200解得：x1=10，x2=25，∵要求每件盈利不少于25，∴当x1=10时，盈利为40-10=30>25，符合题意，当x2=25时，盈利为40-25=15<25，不符合题意，故舍去.故答案选A.二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）9、已知方程x2﹣6x﹣2＝0，用配方法化为a（x+b）2＝c的形式为_____．（x﹣3）2＝11【分析】方程移项后，两边加上一次项系数一半的平方，变形得到结果，即可作出判断．解：方程x2﹣6x﹣2＝0，移项得：x2﹣6x＝2，配方得：x2﹣6x+9＝11，即（x﹣3）2＝11．故（x﹣3）2＝11．10、一元二次方程x2+3x＝0的解是．【分析】提公因式后直接解答即可．解：提公因式得，x（x+3）＝0，解得x1＝0，x2＝﹣3．故答案为0，﹣3．11、关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1＝0的两实数根为一正一负，则实数m的取值范围是．【分析】设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1＝0的两个实数根．由方程有实数根以及两实数根为一正一负可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．解：设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1＝0的两个实数根，由已知得：，即，解得：m＞．故m＞．12、若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是____．k≤5由题意得，42-4×1×（k-1）≥0,解之得k≤5.13、已知关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，则k＝．【分析】设方程的两根分别为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2，＝﹣（k2﹣4）＝0，解得k＝±2，然后分别计算△，最后确定k＝﹣2．解：设方程的两根分别为x1，x2，∵x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，∴x1+x2，＝﹣（k2﹣4）＝0，解得k＝±2，当k＝2，方程变为：x2+1＝0，△＝﹣4＜0，方程没有实数根，所以k＝2舍去；当k＝﹣2，方程变为：x2﹣3＝0，△＝12＞0，方程有两个不相等的实数根；∴k＝﹣2．故答案为﹣2．14、若方程x2＋2x－11＝0的两根分别为m、n，则mn（m＋n）＝______．22∵方程x2＋2x－11＝0的两根分别为m、n，∴m+n=-2,mn=-11,∴mn(m＋n)＝（-11）×(-2)=22.故答案是：2215、在元旦前夕，某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信，已知全公司共发出2450条短信，那么这个公司有_________员工人．50【分析】设这个公司有员工x 人，则每人需发送(1)x -条祝贺元旦的短信，根据全公司共发出2450条短信，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：设这个公司有员工x 人，则每人需发送(1)x -条祝贺元旦的短信，依题意，得：(1)2450x x -=，解得：150x =，249x =-（不合题意，舍去）．故50．16、某呼吸机制造商2020年一月份生产呼吸机1000台，2020年三月份生产呼吸机4000台，设二、三月份每月的平均增长率为x ，根据题意，可列方程为_____ ．1000（1+x ）2＝4000．【分析】由该呼吸机制造商2020年一月份及三月份生产呼吸机的数量，即可得出关于x 的一元二次方程，即可求解．依题意，得：1000（1+x ）2＝4000．故1000（1+x ）2＝4000．三、解答题（本大题共有11小题，共102分）17、（6分）按指定的方法解下列方程：（1）2x 2﹣5x ﹣4＝0（配方法）； （2）3（x ﹣2）+x 2﹣2x ＝0（因式分解法） 解：（1）2x 2﹣5x ﹣4＝0，变形得：x 225-x ＝2，配方得：x 225-x 16571625=+，即（x 45-）21657=， 开方得：x 45-=±457， 则x 1=4575+，x 2=4575-； （2）3（x ﹣2）+x 2﹣2x ＝0，变形得：3（x ﹣2）+x （x ﹣2）＝0，即（x ﹣2）（x +3）＝0，可得x ﹣2＝0或x +3＝0，解得：x 1＝2，x 2＝﹣3．18、（6分）已知关于x 的一元二次方程2210x x m -+-=的两个实数根分别为1x ，2x ，且满足12437x x +=，求实数m 的值．2m =【分析】根据根与系数的关系可得122x x +=，121x x m =-，结合已知等式即可求出11x =，从而求出2x ，即可求出m 的值．解：根据题意得122x x +=，121x x m =-，因为12437x x +=，所以()11237x x x ++=所以11x =，∴2121x x =-=，所以111m -=⨯，所以2m =19、（8分）已知关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0．（1）当m为何值时，该方程为一元二次方程？（2）当m为何值时，该方程为一元一次方程？【分析】（1）由一元二次方程的定义可得关于m的不等式，可求得m的取值；（2）由一元一次方程的定义可利关于m的方程，可求得m的值．解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0为一元二次方程，∴m2﹣1≠0，解得m≠±1，即当m≠±1时，方程为一元二次方程；（2）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0为一元一次方程，∴m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，解得m＝﹣1，即当m为﹣1时，方程为一元一次方程．20、（8分）已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根．（2）若等腰三角形ABC的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【分析】（1）先计算出△＝（k+2）2﹣4×2k＝（k﹣2）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；（2）依题意有△＝0，则k＝2，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长．（1）证明：△＝（k+2）2﹣4×2k＝（k﹣2）2，∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，∴无论k取任何实数值，方程总有实数根；（2）解：依题意有△＝（k﹣2）2＝0，则k＝2，方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，故△ABC的周长＝2+2+1＝5．21、（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．【分析】（1）根据△≥0建立不等式即可求解；（2）先提取公因式对等式变形为再结合韦达定理求解即可．解：（1）由题意可知，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k+8）≥0，整理得：16+8k﹣32≥0，解得：k≥2，∴k的取值范围是：k≥2．故k≥2．（2）由题意得：=24，由韦达定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，故有：（﹣2k+8）[42﹣2（﹣2k+8）]＝24，整理得：k2﹣4k+3＝0，解得：k1＝3，k2＝1，又由（1）中可知k≥2，∴k的值为k＝3．故k＝3．22、（10分）某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染．（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？解：（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，依题意，得：1+x+x（1+x）＝81，解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．答：每轮感染中平均一个人会感染8个人．（2）81×（1+8）＝729（人），729＞700．答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过700人．23、（10分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙M N最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．长20米，宽15米解：设AB为xm，则BC为（50﹣2x）m，根据题意得方程：x（50﹣2x）=300，2x2﹣50x+300=0，解得；x1=10，x2=15，当x1=10时50﹣2x=30＞25（不合题意，舍去），当x2=15时50﹣2x=20＜25（符合题意）．答：当砌墙宽为15米，长为20米时，花园面积为300平方米．24、（10分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第一年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为万元；（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年的增长百分率x. （1）2.6（1+x）2；（2）10%．【分析】(1) 将基本等量关系“本年的可变成本=前一年的可变成本+本年可变成本的增长量”以及“本年可变成本的增长量=前一年的可变成本×可变成本平均每年增长的百分率”综合整理可得：本年的可变成本=前一年的可变成本×(1+可变成本平均每年增长的百分率).根据这一新的等量关系可以由第1年的可变成本依次递推求出第2年以及第3年的可变成本.(2) 由题意知，第3年的养殖成本=第3年的固定成本+第3年的可变成本. 现已知固定成本每年均为4万元，在第(1)小题中已求得第3年的可变成本与x的关系式，故根据上述养殖成本的等量关系，容易列出关于x的方程，解方程即可得到x的值.(1) ∵该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，又∵该养殖户的可变成本平均每年增长的百分率为x，∴该养殖户第2年的可变成本为：2.6(1+x ) (万元)，∴该养殖户第3年的可变成本为：[2.6(1+x )](1+x )=2.6(1+x )2 (万元).故本小题应填：2.6(1+x )2.(2) 根据题意以及第(1)小题的结论，可列关于x 的方程：4+2.6(1+x )2=7.146解此方程，得x 1=0.1，x 2=-2.1，由于x 为可变成本平均每年增长的百分率，x 2=-2.1不合题意，故x 的值应为0.1，即10%. 答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.25、（10分）某水果经销商批发了一批水果，进货单价为每箱50元，若按每箱60元出售，则可销售80箱．现准备提价销售，经市场调研发现：每箱每提价1元，销量就会减少2箱，为保护消费者利益，物价部门规定，销售利润不能超过50%，设该水果售价为每箱x （x ＞60）元 （1）用含x 的代数式表示提价后平均每天的销售量为 箱；（2）现在预算要获得1200元利润，应按每箱多少元销售？（1）200-2x ；（2）70【分析】（1）利用平均每天的销售量802=-⨯提高的价格，即可用含x 的代数式表示出提价后平均每天的销售量；（2）根据每天的销售利润=每箱的销售利润⨯销售数量，即可列出关于x 的一元二次方程，解方程即可求出x 的值，在结合销售利润不能超过50%，即可确定x 的值（1）根据题意，提价后平均每天的销售量为：()802602002x x --=-（2）根据题意得：()()5020021200x x --=整理得：215056000x x -+=解得：170x =，280x =当70x =时，利润率7050100%40%50%50-=⨯=<，符合题意； 当80x =时，利润率8050100%60%50%50-=⨯=>，不合题意，舍去 所以要获得1200元利润，应按70元每箱销售．26、（12分）在矩形ABCD 中，AB ＝5 cm ，BC ＝6 cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2 cm/s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．(1)填空：BQ ＝________，PB ＝________(用含t 的代数式表示)；(2)当t 为何值时，PQ 的长度等于5 cm?(3)是否存在t 的值，使得五边形APQCD 的面积等于26 cm 2若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．（1）2tcm ；（5-t ）cm （2）当t=2秒时，PQ 的长度等于5cm （3）存在t=1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于26cm 2【分析】（1）根据P 、Q 两点的运动速度可得BQ 、PB 的长度；（2）根据勾股定理可得PB 2+BQ 2＝QP 2，代入相应数据解方程即可；（3）根据题意可得△PBQ 的面积为长方形ABCD 的面积减去五边形APQCD的面积，再根据三角形的面积公式代入相应线段的长即可得到方程，再解方程即可．（1）∵P从点A开始沿边AB向终点B以1c m/s的速度移动，∴AP＝tcm．∵AB＝5cm，∴PB＝（5﹣t）cm．∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2c m/s的速度移动，∴BQ＝2tcm；（2）由题意得：（5﹣t）2+（2t）2＝52，解得：t1＝0，t2＝2；答：当t＝0秒或2秒时，PQ的长度等于5cm．（3）存在t＝1秒，能够使得五边形APQCD的面积等于26cm2．理由如下：长方形ABCD的面积是：5×6＝30（cm2），使得五边形APQCD的面积等于26cm2，则△PBQ的面积为30﹣26＝4（cm2），（5﹣t）×2t12⨯=4，解得：t1＝4（不合题意舍去），t2＝1．即当t＝1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26cm2．27、（14分）对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x＝n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x2，当x＝0时，代数式等于0；当x＝1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A＝0．（1）代数式x2﹣2的不变值是，A＝．（2）说明代数式3x2+1没有不变值；（3）已知代数式x2﹣bx+1，若A＝0，求b的值．【分析】（1）根据不变值的定义可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再做差后可求出A的值；（2）由方程的系数结合根的判别式可得出方程3x2﹣x+1＝0没有实数根，进而可得出代数式3x2+1没有不变值；（3）由A＝0可得出方程x2﹣（b+1）x+1＝0有两个相等的实数根，进而可得出△＝0，解之即可得出结论．（1）依题意，得：x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2，∴A＝2﹣（﹣1）＝3．故﹣1和2；3．（2）依题意，得：3x2﹣x+1＝0，∵△＝（﹣1）2﹣4×3×1＝﹣11＜0，∴该方程无解，即代数式3x2+1没有不变值．（3）依题意，得：方程x2﹣（b+1）x+1＝0有两个相等的实数根，∴△＝[﹣（b+1）]2﹣4×1×1＝0，∴b1＝﹣3，b2＝1．答：b的值为﹣3或1．。
【培优提高训练】苏科版九年级数学上册 第一章 一元二次方程 典型例题解析(学生用)
【培优提高训练】苏科版九年级数学上册第一章一元二次方程典型例题解析（学生用）下关系：x1+x2=-ba ， x 1x2=ca，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两个实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值．（2）已知等腰△ABC的一腰长为7，若x1、x2恰好是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．7.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．8.某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查发现：在一段时间内，当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．若商场要获得10000元销售利润，该玩具销售单价应定为多少元？售出玩具多少件？9.已知a、b、c为三角形三个边，+bx（x-1）= -2b 是关于x的一元二次方程吗？10.如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）．（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB；（2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？11.某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元。
为了迎接“六一”儿童节和扩大销售，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，并且尽快减少库存，那么每件童装应降价多少元？12.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1cm，AB=3cm，BC=5cm，动点P从点B出发以1cm/s的速度沿BC的方向运动，动点Q从点C出发以2cm/s的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动的时间为ts（t＞0）（1）求线段CD的长；（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？二、综合题13.解下列方程：（1）(2x-1)2=4 （2）x2−4x+1=0（用配方法）（3）x2+2x=4．（4）2(x−3)2=x(x−3)14.如图所示，在长和宽分别是、的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形．（1）用，，表示纸片剩余部分的面积；（2）当＝6，＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求剪去的正方形的边长．15.已知关于x的一元二次方程x2+2x+a=0，（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．16.商场购进某种新商品的每件进价为120元，在试销期间发现，当每件商品的售价为130元时，每天可销售70件；当每件商品的售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答下列问题．（1）当每件商品的售价为140元时，每天可销售________件商品，商场每天可盈利________元；（2）设销售价定为x元时，商品每天可销售________件，每件盈利________元；（3）在销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少时，商场每天盈利达到1500元．17.某服装批发商计划以每件500元的单价对外批发销售某种品牌的羽绒服，由于临近换季，为了尽快清仓，回收资金，对价格经过两次下调后，以每件320元的单价对外销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）请按此调幅，预测第三次下调后的销售单价是多少元？18.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．19.随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加．（1）该市的养老床位数从2019年底的2万个增长到2019年底的2.88万个，求该市这两年（从2019年度到2019年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，单人间房间数在10至30之间（包括10和30），且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t．①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？20.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点A出发，沿AB 方向匀速运动，速度为1cm/s；过点P作直线PF∥AD，PF交CD于点F，过点F作EF⊥BD，且与AD、BD分别交于点E、Q；连接PE，设点P的运动时间为t（s）（0＜t＜10）．DG GE =HCAH解答下列问题：（1）填空：AB=________ cm；（2）当t为何值时，PE∥BD；（3）设四边形APFE的面积为y（cm2）①求y与t之间的函数关系式；②若用S表示图形的面积，则是否存在某一时刻t，使得S四边形APFE= 8S菱形ABCD？若存在，求出t的值；若不存25在，请说明理由．21.已知关于x的一元二次方程有两个非零实数根．（1）求m的取值范围；（2）两个非零实数根能否同为正数或同为负数？若能，请求出相应的m的取值范围，若不能，请说明理由．22.为了巩固全国文明城市建设成果，突出城市品质的提升，近年来，我市积极落实节能减排政策，推行绿色建筑，据统计，我市2019年的绿色建筑面积约为950万平方米，2019年达到了1862万平方米．若2019年、2019年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率；（2）2019年我市计划推行绿色建筑面积达到2400万平方米．如果2019年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2019年我市能否完成计划目标？答案解析部分一、解答题1.【答案】解：（1）2x2+x﹣3=0（用公式法）∵a=2，b=1，c=﹣3b2﹣4ac=25＞0x=−1±√254∴x1=1,x2=-32；（2）化为一般形式，得：x2+2x﹣15=0（x+5）•（x﹣3）=0（x+5）=0或（x﹣3）=0∴x1=﹣5，x2=3．2.【答案】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴ Δ=(2m+3)2−4m2>0，解得：m>−34，依题意得：α+β=−(2m+3)，αβ=m2，∴ 1α + 1β=α+βαβ=−(2m+3)m2=−1 .解得：m1=−1，m2=3，经检验：m1=−1，m2=3是原方程的解，∵ m>−34，∴ m=3 .3.【答案】解：（1）∵原方程有两个实数根，∴△=（k+1）2﹣4（14k2+1）=2k﹣3≥0解得：k≥3；2，（2）∵k≥32∴x1+x2=k+1＞0．k2+1＞0，又∵x1•x2=14∴x1＞0，x2＞0，∴|x1|+|x2|=x1+x2=k+1．∵|x1|+|x2|=4x1x2﹣5，k2+1）﹣5，∴k+1=4（14∴k2﹣k﹣2=0，∴k1=﹣1，k2=2，，又∵k≥32∴k=2．4.【答案】解：（1）∵当m=3时，△=b2-4ac=22-4×3=-8＜0，∴原方程无实数根；（2）当m=-3时，原方程变为x2+2x-3=0，∵（x-1）（x+3）=0，∴x-1=0，x+3=0，∴x1=1，x2=-3．5.【答案】解：（1）∵x1+x2=a，x1x2=2，又x1x2=x1+x2﹣2，∴a﹣2=2，a=4；（2）方程可化为x2﹣4x+2=0，∴（x﹣2）2=2，解得：x﹣2=√2或x﹣2=﹣√2，∴x1=2+√2，x2=2﹣√2．6.【答案】解：（1）∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两个实数根，∴x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+5，∵（x1﹣1）（x2﹣1）=28，即x1x2﹣（x1+x2）+1=28，∴m2+5﹣2（m+1）+1=28，解得：m=﹣4或m=6，当m=﹣4时原方程无解，∴m=6；（2）当等腰三角形的腰长为7时，即方程的一个解为7，将x=7代入原方程得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，解得：m=10或m=4，当m=10时，方程为x2﹣22x+105=0，解得：x=7或x=15，∵7+7＜15，不能组成三角形；当m=4时，方程为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或x=7，此时三角形的周长为：7+7+3=17．7.【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，∴m≥﹣1；12（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，∵x12+x22=31+|x1x2|，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．8.【答案】解：设该玩具的销售单价应定为x元根据题意，得(x−30)[600−10(x−40)]=10000解得x1=50,x2=80当x=50时，600−10(x−40)=500件，当x= 80时，600−10(x−40)=200件.答：该玩具的销售单价定为50元时，售出500件；或售价定为80元时售出200件.9.【答案】是10.【答案】（1）解：∵AD+BC-2+AB-2=40，AD=BC=x，∴AB=-2x+44；（2）解：由题意得，（-2x+44）•x=192，即2x2-44x+192=0，解得x1=6，x2=16，∵x2=16＞44（舍去），3∴AD=6，∴AB=-2×6+44=32．答：AD长为6米，AB长为32米．11.【答案】解：设每件童装应降价x元，由题意得：（40-x）（20+2x）=1200，解得：x1=20，x2=10，当x=20时，20+2x=60（件），当x=10时，20+2x=40（件），∵60>40，∴x2=10舍去.答：每件童装应降价20元.12.【答案】（1）解：如图1，作DE⊥BC于E，则四边形ADEB是矩形．∴BE=AD=1，DE=AB=3，∴EC=BC﹣BE=4，在Rt△DEC中，DE2+EC2=DC2，∴DC= √DE2+CE2 =5厘米；（2）解：∵点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒，运动时间为t秒，∴BP=t 厘米，PC=（5﹣t ）厘米，CQ=2t 厘米，QD=（5﹣2t ）厘米， 且0＜t≤2.5， 作QH⊥BC 于点H ，∴DE∥QH， ∴∠DEC=∠QHC， ∵∠C=∠C， ∴△DEC∽△QHC，∴ DE QH = DC QC ，即 3QH = 52t ， ∴QH= 65 t ，∴S △PQC = 12 PC•QH= 12 （5﹣t ）• 65 t=﹣ 35 t 2+3t ， S 四边形ABCD = 12 （AD+BC ）•AB= 12 （1+5）×3=9， 分两种情况讨论：①当S △PQC ：S 四边形ABCD =1：3时， ﹣ 35 t 2+3t= 13 ×9，即t 2﹣5t+5=0， 解得t 1= 5−√52 ，t 2= 5+√52 （舍去）；②S △PQC ：S 四边形ABCD =2：3时，﹣ 35 t 2+3t= 23 ×9，即t 2﹣5t+10=0， ∵△＜0， ∴方程无解， ∴当t为 5−√52 秒时，线段PQ 将四边形ABCD 的面积分为1：2两部分． 二、综合题13.【答案】（1）解：∵(2x -1)2=4， ∴2x -1=2或2x-1=-2， ∴x 1= 32 ，x 2=- 12 ， （2）解：∵x 2-4x+1=0， ∴x 2-4x+4=-1+4， ∴（x-2）2=3，∴x 1= 2+√3 ， x 2= 2−√3 ， （3）解：∵x 2+2x=4， ∴x 2+2x+1=4+1， ∴（x+1）2=5，∴x 1=-1+ √5 ，x 2=-1- √5 ，（4）解：∵2 ( x − 3 ) 2= x ( x − 3 )， ∴（x-3）【2（x-3）-x 】=0，∴（x-3）（x-6）=0，∴x1=3，x2=6，14.【答案】（1）解：纸片剩余部分的面积为：，（2）解：当a＝6，b＝4时，根据题意有：，∴ ，∴ 即，∴剪去的正方形的边长．15.【答案】（1）解：将x=1代入方程x2+2x+a=0.得，1+2×1+a=0，解得: a=−3.方程为x2+2x−3=0.设另一根为x1,则1⋅x1=−3,x1=−3.（2）解：Δ＝4－4a，∵方程有两个不等的实根，∴Δ>0,即4－4a>0，∴a<1.16.【答案】（1）60；120（2）200﹣x；x﹣120（3）解：根据题意得：（200﹣x）（x﹣120）=1500，整理得：x2﹣320x+25500=0，解得：x1=150，x2=170．答：每件商品的销售价定为150元或170元时，商场每天盈利达到1500元17.【答案】（1）解：设平均每次下调的百分率为x．由题意，得500（1﹣x）2=320．解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8（不符合题意），符合题目要求的是x1=0.2=20%．答：平均每次下调的百分率是20%．（2）解：预计第三次下调后的销售单价为320（1﹣20%）=320×0.8=256，答：平均每次下调的百分比为20%，预计第三次下调后的销售单价为256元18.【答案】（1）解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（3）解：当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a ﹣c）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣119.【答案】（1）解：设该市这两年（从2019年度到2019年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，由题意可列出方程：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）（2）解：①设规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），则建造双人间的房间数为2t，三人间的房间数为100﹣3t，由题意得：t+4t+3（100﹣3t）=200，解得：t=25．答：t的值是25．②设该养老中心建成后能提供养老床位y个，由题意得：y=t+4t+3（100﹣3t）=﹣4t+300（10≤t≤30），∵k=﹣4＜0，∴y随t的增大而减小．当t=10时，y的最大值为300﹣4×10=260（个），当t=30时，y的最小值为300﹣4×30=180（个）20.【答案】（1）10（2）解：∵在菱形ABCD中，∴AB∥CD，∠ADB=∠CDB，又∵PF∥AD，∴四边形APFD为平行四边形，∴DF=AP=t，又∵EF⊥BD于Q，且∠ADB=∠CDB，∴∠DEF=∠DFE，∴DE=DF=t，∴AE=10﹣t，当PE∥BD时，△APE∽△ABD，∴ APAB =AEAD，∴ t10=10−t10，∴t=5，∴当t=5时，PE∥BD（3）蛸：①∵∠FDQ=∠CDO，∠FQD=∠COD=90°，∴△DFQ∽△DCO．∴ QFOC =DFDC，即QF6=t10，∴ QF=3t5．∴ EF=2QF=6t5，同理，QD=4t5，如图，过点C作CG⊥AB于点G，∵S菱形ABCD=AB•CG= 12AC•BD，即10•CG= 12×12×16，∴CG= 12．∴S平行四边形APFD=DF•CG= 48t5，∴S△EFD= 12EF•QD= 12×6t5×4t5=12t225∴ y=48t5−12t225，②当S四边形APFE= 825S菱形ABCD则48t5−12t225=825×(12×12×16)，即t2﹣20t+64=0，解这个方程，得t1=4，t2=16＞10（不合，舍去）∴存在t=4s，使得S四边形APFE= 825S菱形ABCD．21.【答案】（1）解：关于x的一元二次方程有两个非零实数根，∴ 且，∴ ；（2）解：假设两个非零的实数根同号，那么两根的积为正即，∴ ，又由（1）可知：，∴ ．22.【答案】（1）解：设这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率为x，950（1+x）2=1862，解得，x1=0.4，x2=﹣2.4（舍去），即这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率为40% （2）解：由题意可得，1862（1+40%）=2606.8，∵2606.8＞2400，∴2019年我市能完成计划目标，即如果2019年仍保持相同的年平均增长率，2019年我市能完成计划目标。
苏科版九年级数学上册第1章 一元二次方程 实际应用同步培优专项习题(二)
第1章《一元二次方程》实际应用同步培优专项习题（二）1．作为巴渝文化的发源地，重庆在许多领域都首屈一指，而其中最具代表性的，当然还是它的美食，在无数美食中，最具地域特色的，非重庆火锅莫属，近年来，随着重庆市成为网红城市，许多游客到重庆来打卡麻辣鲜香的火锅，同时还会购买火锅底料作为伴手礼．11月，洪崖洞附近一特产店购进A、B两种品牌火锅底料共450袋，其中A品牌底料每袋售价20元，B品牌底料每袋售价30元，11月全部售完这批火锅底料，所得总销售额不低于11500元．（1）A品牌火锅底料最多购进多少袋？（2）为了促进销量，12月，该店开展了优惠活动，A品牌底料的售价比11月的价格优惠a%，B品牌底料的售价比11月的价格优惠a%，结果12月售出的A品牌底料数量比11月总销售额最低时售出的A品牌底料数量增加了a%，售出的B品牌底料数量比11月总销售额最低时售出的B品牌底料数量增加了a%，结果12月的总销售额比11月最低销售额增加了a%，求a的值．2．在“红五月”读书活动中，社区计划筹资16000元购买科普书籍和文艺刊物．（1）计划购买文艺刊物的资金不超过购买科普书籍资金的3倍，那么最多可用多少资金购买文艺刊物？（2）经初步了解，有160户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资100元．经筹委会进一步宣传，自愿参加的户数在160户的基础上增加了a%，这样，平均每户的集资款在原有基础上减少了0.8a%，求a的值．3．按照中央精准扶贫的部署，市委、市政府重点扶持贫困户发展特色农业．现某区扶持一贫困户的李子园销售“金脆李”和“黄橙李”两种李子，因为“金脆李”果形奇特、口感佳，售价为30元/斤，“黄橙李”因大面积种植，售价要便宜一些，为20元/斤．（1）7月上旬，该果园一共售出300斤李子，要使销售额不低于7250元，问最多售出“黄橙李”多少斤？（2）为了提高“金脆李”的知名度，政府对“金脆李”进行广告宣传，7月中旬该果园的总销售重量为1500斤，其中售出“黄橙李”1000斤，7月下旬由于李子大量上市，该果园推出优惠方案，“金脆李”每斤降价a%，“黄橙李”售价保持不变，售后统计“金脆李”销售数量在7月中旬的基础上增加了2a%，“黄橙李”数量在7月中旬的基础上减少了a%，若总销售额与7月中旬的总销售额持平，求a的值．4．在2020年底，某农户大面积种植的改良版本地脐橙喜获丰收．故自2021年1月起，该农户通过超市和网络电商两种渠道销售脐橙．已知脐橙超市售价为10元/千克，网络售价为8元/千克．（1）2021年1月上旬脐橙的网络销量比超市销量少850千克，要使销售额不低于40000元，则1月上旬脐橙的超市销量至少为多少千克？（2）在（1）的条件下，2月上旬，受疫情影响，脐橙在超市的售价较1月上旬下降a%，网络售价下降a%，销量也呈下降趋势．因此该农户参加网络扶贫创新接力活动，借助直播，使得脐橙在网上销量比1月上旬最少量增长了a%，但脐橙在超市销量比1月上旬最少量下降了，结果2月上旬脐橙的销售额比1月上旬最低销售额减少了3400元，求a的值．（a＜50）5．2021年的春节，全国多地提倡“就地过年”，以减少大规模的人口流动，为人们安全与健康提供防疫保障．我市两江融渝旅行社考虑到市民春节短期短途出行需求，推出“广阳岛一日游”和“金佛山二日游”两个旅游产品．（1）该旅行社新春除夕至正月初六接待参加“广阳岛一日游”和“金佛山二日游”的游客共1000人，其中选择“金佛山二日游”的游客不超过选择“广阳一日游”游客的，则选择“金佛山二日游”的游客至多有多少人？（2）“广阳岛一日游”和“金佛山二日游”两个旅游产品春节期间售价分别为80元/人和200元/人，随着春节假期结束，为延长上述旅游产品的销售热度，旅行社决定“广阳岛一日游”售价下降3m%，“金佛山二日游”售价下降10%促销数日．由于产品定位精准、游客体验感好、口碑传播，加之受降价刺激，节后降价数日内该旅行社又接待参加上述旅游产品的游客总人数合计700人．其中选择“金佛山二日游”人数占总人数的%，促销期间销售总金额为6.09万元，求m的值．6．三月的万州区小周镇，“三月红桔”红遍长江两岸，三月红桔主题公园每天游客更是络绎不绝．“生态果园”水果商家3月中旬购进了第一批一级“三月红桔”和二级“三月红桔”共300千克，已知一级“三月红桔”进价每千克15元，售价每千克30元，二级“三月红桔”进价每千克5元，售价每千克10元．（1）若这批一级“三月红桔”和二级“三月红桔”全部销售完获利不低于3500元，则一级“三月红桔”至少购进多少千克？（2）第一批“三月红桔”很快售完，于是商家决定购进第二批“三月红桔”，一级“三月红桔”和二级“三月红桔”的进价不变，一级“三月红桔”售价比第一批上涨a%，二级“三月红桔”售价比第一批上涨2a%；销量与（1）中获得最低利润时的销量相比，一级“三月红桔”的销量下降a%，二级“三月红桔”的销量保持不变，结果第二批中已经卖掉的一级“三月红桔”和二级“三月红桔”的销售总额与（1）中的最低销售总额相等，求a的值．7．“早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“早黑宝”的种植面积达到196亩．（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1750元，则售价应降低多少元？8．知识经验我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0．即：如果a•b＝0，那么a＝0，或b＝0．知识迁移Ⅰ解方程：（x+1）（x+2）＝0．解：（x+1）（x+2）＝0．∴x+1＝0，或x+2＝0．∴x1＝1，或x2＝﹣2．Ⅱ解方程：x2+6x﹣7＝0．解：x2+6x﹣7＝0．∴x2+2×3x+32﹣32﹣7＝0．∴（x+3）2﹣16＝0∴（x+3）2﹣42＝0．∴（x+3+4）（x+3﹣4）＝0．∴（x+7）（x﹣1）＝0∴x+7＝0，或x﹣1＝0．∴x1＝﹣7，或x2＝1．理解应用（1）解方程：x2﹣10x﹣39＝0．拓展应用（2）如图，有一块长宽分别为80cm，60cm的矩形硬纸板，在它的四个角上分别剪去四个相同的小正方形，然后将四周突出的部分折起来，就可以做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子．求所剪去的小正方形的边长．9．因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．（1）求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？10．“低碳生活，绿色出行”，自行车成为人们喜爱的交通工具，某品牌共享自行车在宁波的投放量自2017年起逐月增加，据统计，该品牌共享自行车1月份投放了640辆，3月份投放了1000辆．（1）若该品牌共享自行车前4个月的投放量的月平均增长率相同，则4月份投放了多少辆？（2）考虑到增强客户体验，该品牌共享自行车准备投入3万元向自行车生产厂商定制一批两种规格比较高档的自行车，之后投放到某高端写字楼区域，已知自行车生产厂商生产A型车的成本价为300元/辆，售价为500元/辆，生产B型车的成本价为700元/辆，售价为1000元/辆．根据定制要求，B型车的数量超过12辆，且A型车的数量不少于B 型车的2倍．自行车生产厂商应如何设计生产方案才能获得最大利润？最大利润是多少？11．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C 以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为cm？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C 以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，△PBQ的面积为1cm2？12．某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．关于销售单价、日销售量的几组对应值如下表：销售单价x/元85 95 105 115日销售量y/个175 125 75 m （注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价））（1）求y关于x的函数解析式及m的值．（2）该产品的成本单价是80元，当日销售利润达到1875元时，为了让利给顾客，减少库存，求销售产品单价定为多少元？13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝21cm，动点P从点C出发，沿CA 方向运动，同时动点Q从点B出发，沿BC方向运动，点P，点Q的运动速度均为1cm/s．当运动时间为多少秒时，两点相距15cm？14．某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可将垃圾处理变为新型清洁燃料．某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费360万元，购买乙型智能设备花费480万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为140万元．（1）求甲、乙两种智能设备单价；（2）垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售．已知每吨燃料棒的成本为100元．调查发现，若燃料棒售价为每吨200元，平均每天可售出350吨，而当销售价每降低1元，平均每天可多售出5吨．垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到36080元，且保证售价在每吨200元基础上降价幅度不超过8%，求每吨燃料棒售价应为多少元？15．今年8月双福国际农贸市场某水果批发商用2.2万元购得“象牙芒”和“红富士苹果”共400箱，其中，“象牙芒”、“红富士”的数量比为5：3．已知每箱“象牙芒”的售价是每箱“红富士”的售价的2倍少10元，预计3月可全部销售完．（1）该批发商想通过本次销售至少盈利8000元，则每箱“象牙芒”至少卖多少元？（总利润＝总销售额﹣总成本）（2）实际销售时，受中央“厉行节约”号召的影响，在保持（1）中最低售价的基础上，“象牙芒”的销售下降了%，售价下降了a%；“红富士”的销售量下降了a%，但售价不变．结果导致“象牙芒”、“红富士”的销售总额相等．求a的值．。
苏科版2020九年级数学上册第1章一元二次方程单元综合培优提升训练题2(附答案详解)
苏科版2020九年级数学上册第1章一元二次方程单元综合培优提升训练题2（附答案详解1．若方程3x 2+6x ﹣4＝0的两个根为x 1，x 2，则（ ）A ．x 1+x 2＝6B ．x 1+x 2＝﹣6C ．x 1+x 2＝2D ．x 1+x 2＝﹣2 2． 已知关于x 的一元二次方程2210x x m ++-=的一个根是0，则m 的值为（ ） A ．1或-1 B ．1 C ．-1 D ．03．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2430x x -+=B ．20ax bx c ++=C ．220x x -+=D ．223250x xy y --=4．下列方程中，关于x 的一元二次方程有（ ）①x 2=0 ②ax 2+bx+c=0 ③2x 2－3=5x ④a 2+a －x=0 ⑤(m－1)x 2+4x+2m =0 ⑥1x +1x =13⑦21x -=2 ⑧(x+1)2=x 2－9 A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 5．方程x （x -1）=4（x -1）的解是（ ）A ．4和1B ．1C ．0和1D ．4和1-6．某县以“重点整治环境卫生”为抓手，加强对各乡镇环保建设的投入，计划从2017年起到2019年累计投入4250万元，已知2017年投入1500万元，设投入经费的年平均增长率为x ，根据题意，下列所列方程正确的是（ ）A ．1500（1+x ）2＝4250B ．1500（1+2x ）＝4250C ．1500+1500x +1500x 2＝4250D ．1500（1+x ）+1500（1+x ）2＝4250﹣15007．用配方法解一元二次方程2890x x -+=，变形后的结果正确的是（ ）A ．()247x -=-B ．()247x -=C ．()247x +=D ．()2425x -= 8．将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是4-，常数项是3的方程是（ ）A ．2234x x +=B ．2234x x -=C ．2243x x +=D ．2243x x -= 9．用配方法解方程，配方正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 10．某超市一月份的营业额为40万元，一月、二月、三月的营业额共200万元，•如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程为 （ ）A ．40（1+x ）2=200B ．40+40×2×x=200C ．40+40×3×x=200D ．40[1+（1+x ）+（1+x ）2]=20011．不论x 取何值，21x x --的值都（ ）A ．大于等于34-B ．小于等于34-C ．有最小值34-D ．恒大于零 12．用配方法解方程x 2－6x ＝5，下列变形正确的是（ ）A ．(x －6)2＝41B ．(x －3)2＝4C ．(x －3)2＝14D ．(x －3)2＝9 13．若关于x 的一元二次方程x 2+mx +2n ＝0有一个根是﹣2，则m ﹣n ＝_____．14．关于x 的方程（a ﹣1）21a x ++x ﹣3＝0是一元二次方程，则a ＝_____．15．方程x 4﹣16＝0的根是_____．16．如果a 、b 、c 为互不相等的实数，且满足关系式b 2+c 2＝2a 2+16a +14与bc ＝a 2﹣4a ﹣5，那么a 的取值范围是_____．17．有一台电脑中了病毒，经过两轮传染后共有400台电脑中了病毒，那么每轮传染中平均每台传染给_____台电脑．18．如果关于x 的一元二次方程20x a ++=的一个根是1______，a =_____.19．一元二次方程2x 5x =的根________．20．已知实数a ,b 满足2a +b =2,则在平面直角坐标系中,动点P (a ,b )到坐标系原点O (0,0)距离的最小值等于____．21．方程x 2+4x ﹣1=0的解是：______．22．已知2610x x ++=可以配方成2()x p q +=的形式，则pq =_______．23．已知x=3是一元二次方程x 2+x ﹣6a=0的一个解，那么4a ﹣5的值为_____．24．阅读并回答问题．求一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根（用配方法）．解：ax 2+bx+c=0，∵a≠0，∴x 2+b a x+c a=0，第一步 移项得：x 2+b a x=﹣c a，第二步 两边同时加上（2b a ）2，得x 2+b a x+（ ）2=﹣c a +（2b a ）2，第三步整理得：（x+2b a ）2=2244b ac a -直接开方得x+2b a =±2244b ac a-，第四步 ∴x=242b b c aa -±-， ∴x 1=24b b ac -+-，x 2=24b b ac ---，第五步 上述解题过程是否有错误？若有，说明在第几步，指明产生错误的原因，写出正确的过程；若没有，请说明上述解题过程所用的方法．25．（1）解方程：()()2323x x x -=-； （2）已知关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋2bx ＋(a －c)＝0，其中a ，b ，c 分别为△ABC 三边的长．①如果x ＝－1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；②如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；③如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．26．已知x 1，x 2是方程3x 2﹣3x ﹣5＝0的两个根，不解方程，求下列代数式的值；(1)x 12+x 22；(2)1211+x x . 27．解方程（1）2410x x --= （2）21(1)1203x +-=．28．如图，点M 是正方形ABCD 边CD 上一点，连接AM ，作DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，连接BE ．（1）求证：AE ＝BF ；（2）已知AF ＝2，四边形ABED 的面积为24，求EF ：BF 的值．29．在一块长16m ，宽12m 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，如图所示分别是小华与小芳的设计方案．同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请你依照小芳的方案设计小路的宽度．30．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留根号）？31．选用适当的方法，解下列方程：（1）(x-1)2=3 （2）2x2-5x+3=032．将一块面积为2120m的矩形菜地的长减少2m，它就变成了正方形，求原菜地的长．33．解下列方程（1）31 33xx x=---（2）（x﹣4）（x+2）＝﹣9 348240 x x+-=参考答案1．D【解析】【分析】直接根据根与系数的关系求解．【详解】∵方程3x2+6x-4=0的两个根为x1，x2，∴x1+x2=-63=-2，x1x2=4433-=-，故选D．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x2=-ba，x1x2=ca．2．A【解析】【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把x=0代入方程求解可得m的值．【详解】把x=0代入方程x2+x+m2−1=0，得m2−1=0，解得：m=±1，故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的性质.3．A.【解析】试题分析：根据一元二次方程的定义知：选项B、C、D不是一元二次方程.故选A.考点：一元二次方程的定义.4．A【解析】【分析】判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax 2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．由此即可判定.【详解】①x 2=0 ，x 2－符合一元二次方程的定义；②ax 2+bx+c=0中，当a=0时，不是一元二次方程；④a 2+a-x=0是关于x 的一元一次方程；⑤(m －1)x 2+4x+2m =0，当m=1时为关于x 的一元一次方程；⑥1x +1x =13是无理方程；⑧（x+1）2=x 2-9展开后为x 2+2x+1=x 2-9，即2x+1=-9是一元一次方程．共2个一元二次方程，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．5．A【解析】【分析】可用因式分解法解方程得结论，也可通过代入试验法得结论.【详解】解：移项，得x （x-1）-4（x-1）=0∴（x-1）（x-4）=0 ，x-1=0或x-4=0∴x 1=1，x 2=4．故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程的解法-因式分解法．解题的关键是掌握因式分解法的一般步骤． 6．D【解析】解：设2017﹣2019年投入经费的年平均增长率为x ，则2018年投入1500（1+x ）万元，2019年投入1500（1+x ）2万元，根据题意得1500（1+x ）+1500（1+x ）2=4250﹣1500．故选D ． 点睛：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ． 7．B【解析】【分析】根据配方法解一元二次方程即可求解．【详解】2890x x -+=，∴28161690x x -+-+=，∴()247x -=，故选：B.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解决本题的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方．8．A【解析】【分析】根据题意确定出所求方程即可.【详解】A. 2234x x +=化为化成一般形式22-4x 30x +=后，其中二次项系数是2，一次项系数是4-，常数项是3，符合题意；B. 2234x x -=化为化成一般形式22-4x-30x =后，其中二次项系数是2，一次项系数是4-，常数项是-3，不符合题意；C. 2243x x +=化为化成一般形式22+4x-30x =后，其中二次项系数是2，一次项系数是4，常数项是-3，不符合题意；D. 2243x x -=化为化成一般形式22-4x-30x =后，其中二次项系数是2，一次项系数是4-，常数项是-3，不符合题意； 故选：A【点睛】 此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为2(0)0 ax bx c a ++=≠9．D【解析】【分析】按照配方法解一元二次方程的方法和步骤，先移项，再在方程两边都加上一次项系数的一半的平方（二次项系数为1），整理化简即得答案.【详解】解：方程即为，在方程的两边都加上9，得， 即.故选D.【点睛】 本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的的方法和步骤是解此题的关键.10．D【解析】【分析】根据平均每月增长率为x ，可求二月、三月的营业额，利用一月、二月、三月的营业额共200万元，可建立方程．【详解】由题意，二月的营业额为40（1+x ），三月的营业额为40（1+x ）2，∵一月、二月、三月的营业额共200万元，∴40+40（1+x ）+40（1+x ）2=200，即40[1+（1+x ）+（1+x ）2]=200，故选D ．【点睛】本题重点考查等比数列模型的构建，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 11．B【解析】【分析】先用配方法把21x x --化为-（x+a ）2+b 的形式，由此即可解答．【详解】2x x --1=()21x x --+ =22211()()122x x ⎡⎤--+-+⎢⎥⎣⎦ = 213()24x ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦ =213()24x ---∵21()02x -≥， ∴21()02x --≤， ∴2133()244x ---≤-， ∴不论x 取何值，21x x --的值都小于等于34-． 故选B ．【点睛】本题考查了配方法的应用，配方时若二次项系数为1，则常数项是一次项系数一半的平方；若二次项系数不是1，则可先提取二次项系数，将其化为1即可．12．C【解析】【分析】将常数项移到等式的右边，再在两边都配上一次项系数一半的平方即可得．【详解】∵x 2-6x=5，∴x2-6x+9=5+9，即（x-3）2=14，故选C．【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．13．2【解析】【分析】把x＝﹣2代入方程x2+mx+2n＝0得出4﹣2m+2n＝0，由此即可求得m-n的值．【详解】把x＝﹣2代入方程x2+mx+2n＝0得：4﹣2m+2n＝0，即﹣2m+2n＝﹣4，m﹣n＝2，故答案为2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，能理解一元二次方程的解的定义是解此题的关键．解决本题注意运用整体的数学思想.14．-1【解析】【分析】直接利用一元二次方程的定义得出a2+1＝2且a﹣1≠0，进而得出答案．【详解】解：∵关于x的方程（a﹣1）x21a +x﹣3＝0是一元二次方程，∴a2+1＝2且a﹣1≠0，解得：a＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】此题考查的是求一元二次方程中的参数问题，掌握一元二次方程的定义是解决此题的关键. 15．±2【解析】【分析】根据平方根的定义,很容易求解,或者把方程左边因式分解,通过降次的方法也可以求解.【详解】∵x 4﹣16＝0，∴(x 2+4)(x +2)(x ﹣2)＝0，∴x ＝±2，∴方程x 4﹣16＝0的根是x=±2，故答案为±2．【点睛】该题为高次方程，因此解决该题的关键，是需要把方程左边因式分解，从而达到降次的目的，把高次方程转化为低次方程，从而求解.16．a ＞﹣1且a≠﹣56且a≠14±且a≠﹣78 【解析】试题解析：222221614,45b c a a bc a a +=++=--， 22222()216142(45)4844(1)b c a a a a a a a ∴+=+++--=++=+，即有2(1).b c a +=±+又245bc a a =--，所以b ,c 可作为一元二次方程222(1)450x a x a a ±++--=③的两个不相等实数根，故224(1)4(45)24240a a a a =+---=+>，解得a >−1.若当a =b 时，那么a 也是方程③的解，222(1)450a a a a a ∴±++--=，即24250a a --=或650a --=，解得,14a ±= 或5.6a =- 当a =b =c 时，16140450a a +=--=，，解得75,84a a =-=- (舍去)，所以a 的取值范围为1a >-且56a ≠-且14a ±≠且7.8a ≠-故答案为1a >-且56a ≠-且a ≠且7.8a ≠- 17．19.【解析】【分析】 设每轮传染中平均每台传染给x 台电脑，根据一台电脑中了病毒且经过两轮传染后共有400台电脑中了病毒，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】设每轮传染中平均每台传染给x 台电脑，依题意，得：()21x +＝400，解得：x 1＝19，x 2＝﹣21（不合题意，舍去）．故答案为：19．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．18．-1，．【解析】【分析】设方程另一根为b ，根据根与系数的关系得到，（）b=a ，再求出即可．【详解】设方程x2x+a=0的另一个根为b，则，（）b=a，解得：b=-1，-1，故答案为：-1-1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1•x2=ca，也考查了一元二次方程的解．19．x1=0或x2=5【解析】【分析】利用因式分解法解这个方程可得出. 【详解】25x x=，250x x∴-=，()50x x∴-=，10x∴=，25x= .【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，此题比较简单，易于掌握．20【解析】【分析】根据勾股定理得到P（a，b）到坐标系原点O（0，0）距离，于是得到结论．【详解】∵P(a,b)到坐标系原点O(0,0)距离，∵2a+b=2，∴b=2−2a ，∴P(a,b)到坐标系原点O(0,0)距离∴当a=45时,动点P(a,b)到坐标系原点O(0,0) ，【点睛】此题考查坐标与图形性质，解题关键在于利用勾股定理进行计算.21．12x =-22x =-【解析】解：把方程x 2+4x ﹣1=0的常数项移到等号的右边，得到x 2+4x =1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x 2+4x +4=1+4，配方得（x +2）2=5．解得：12x =-22x =-故答案为：12x =-，22x =-22．24【解析】【分析】先将2610x x ++=化为2()x p q +=的形式，其中p=3，q=8，进而求出答案．【详解】解：∵2610x x ++=∴26+9=-1+9x x +∴()2+3=8x其中p=3，q=8，∴pq=3×8=24故答案为：24【点睛】本题考查了用配方法解方程，配方的关键是在二次项系数为1的条件下，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程变成2()x p q +=的形式，当q ≥0时，再进而求解；当q ＜0时，方程没有实数根．23．3【解析】【分析】【详解】解：把x=3代入x 2+x ﹣6a=0，得到关于a 的一元一次方程32+3﹣6a=0，通过解该方程求得a=2，然后代入所求的代数式可知4a ﹣5=4×2﹣5=3．故答案是：3．24．有错误，在第四步，错误的原因是在开方时对b 2﹣4ac 的值是否是非负数没有进行讨论．正确步骤见解析.【解析】【分析】①检查原题中的解题过程是否有误：在第四步时，在开方时对b 2-4ac 的值是否是非负数没有进行讨论；②更正：分类讨论b 2-4ac≥0和b 2-4ac ＜0时，原方程的根是什么．【详解】解：有错误，在第四步．错误的原因是在开方时对b 2﹣4ac 的值是否是非负数没有进行讨论． 正确步骤为：（x+2b a ）2=2244b ac a- ， ①当b 2﹣4ac≥0时，x+2b ax+2b a，∴x 1=2b a -+，x 2=2b a-．②当b 2﹣4ac ＜0时，原方程无解．【点睛】考查解一元二次方程：注：（1）公式法与配方法不能混淆，求根公式是由一元二次方程的一般式用配方法推导出来的．（2）用公式法解方程时，先化为一般形式，再利用公式求解．（3）求解过程中，要先判断b 2-4ac 的符号．25．（1）121?3x x == ;(2)①等腰三角形;②直角三角形;③121? 0x x =-= 【解析】试题分析：（1）先移项，再用因式分解法求解即可；（2）①直接将x=-1代入得出关于a ，b 的等式，进而得出a=b ，即可判断△ABC 的形状； ②利用根的判别式进而得出关于a ，b ，c 的等式，进而判断△ABC 的形状；③利用△ABC 是等边三角形，则a=b=c ，进而代入方程求出即可．试题解析：（1）移项，得（3-x ）2-2x （3-x ）=0，（3-x ）（3-x-2x ）=0，∴3-x=0或3-3x=0，∴x 1=3，x 2=1；（2）①△ABC 是等腰三角形；理由：∵x=-1是方程的根，∴（a+c ）×（-1）2-2b+（a-c ）=0， ∴a+c-2b+a-c=0，∴a-b=0，∴a=b ，∴△ABC 是等腰三角形；②∵方程有两个相等的实数根，∴（2b ）2-4（a+c ）（a-c ）=0，∴4b 2-4a 2+4c 2=0，∴a 2=b 2+c 2，∴△ABC 是直角三角形；③当△ABC 是等边三角形，∴（a+c ）x 2+2bx+（a-c ）=0，可整理为：2ax 2+2ax=0，∴x 2+x=0，解得：x 1=0，x 2=-1．26．(1)133；(2)35. 【解析】【分析】（1）将所求的代数式进行变形处理：x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2．（2）根据异分母分式的加法法则进行变形处理，代入求值即可．【详解】∵x 1，x 2是方程3x 2﹣3x ﹣5＝0的两个根，∴x 1+x 2＝1，x 1•x 2＝﹣53． (1)x 12+x 22＝(x 1+x 2)2﹣2x 1x 2＝12+2×53＝133． (2)1212121113553x x x x x x ++===-⋅-．【点睛】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．27．(1)1 2x =22x =(2)15x =，27x =-． 【解析】【分析】（1）先利用配方法得到（x-22=5，然后利用直接开平方法解方程；（2）先把方程变形为（x+1）2=36，然后利用直接开平方法解方程．【详解】解：（1）241x x -=，2445x x -+=，2(2)5x -=，2x -=所以12x =22x =()22(1)36x +=，16x +=±，所以15x =，27x =-．【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程．此题比较简单，注意掌握十字相乘法分解因式的知识是关键28．（1）见解析；（2）23EF BF = 【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到BA ＝AD ，∠BAD ＝90°，再根据DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，等量代换得到∠ABF ＝∠DAE ，即可证明△ABF ≌△DAE （AAS ），利用全等三角形的性质即可得到AE ＝BF ；（2）设AE ＝x ，则BF ＝x ，DE ＝AF ＝2，根据四边形ABED 的面积为24，列出方程即可解答．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴BA ＝AD ，∠BAD ＝90°，∵DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，∴∠AFB ＝90°，∠DEA ＝90°，∵∠ABF ＋∠BAF ＝90°，∠EAD ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABF ＝∠DAE ，在△ABF 和△DAE 中∠BFA ＝∠DEA ，∠ABF ＝∠EAD ，AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE （AAS ），∴BF ＝AE ；（2）设AE ＝x ，则BF ＝x ，DE ＝AF ＝2，∵四边形ABED 的面积为24，∴S 四边形ABED =S △ABE +S △ADE ， 即12•x•x ＋12•x•2＝24， 解得x 1＝6，x 2＝−8（舍去），∴EF ＝x−2＝4，BF=6 ∴23EF BF = 【点睛】本题考查了正方形的性质以及一元二次方程的解法，解题的关键是熟悉正方形的性质及一元二次方程的解法．29．小芳的方案不符合条件，小路的宽度应为2米．【解析】【分析】设小芳设计方案中，小路的宽为x 米，分别用x 表示出花园的长、宽，从而表示出花园的面积，令花园面积等于矩形荒地面积的一半，列方程，解出x 即可得小路的宽度.【详解】解：不符合．设小路的宽度均为x 米，则花园的长为（16﹣2x ）米，宽为（12﹣2x ）米，根据题意得：（16﹣2x ）（12﹣2x ）=12×16×12， 解得：x 1=2，x 2=12（舍去）．∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度应为2米．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用.30．上下边衬的宽为：544-cm ，左右边衬的宽为：424-cm ． 【解析】【分析】根据中央矩形的长=封面的长-2×上下边衬的宽，中央矩形的宽=封面的宽-2×左右边衬的宽，再根据矩形的面积=长×宽列式即可．【详解】设上下边衬的宽均为9xcm ，则左右边衬均为7xcm ．∵一本书的封面长为27cm ，宽为21cm ，∴中央矩形的长为（27﹣18x ）cm ，宽为（21﹣14x ）cm ，中央矩形的面积为（27﹣18x ）（21﹣14x ）cm 2．由题意，得（27﹣18x ）（21﹣14x ）=34×27×21，解得x 1，x 2=64+（不合题意舍去）．∴上下边衬的宽为：21﹣cm ，左右边衬的宽为：27﹣，cm cm ． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式；另外，整体面积=各部分面积之和；剩余面积=原面积-截去的面积，然后根据题意列出方程，求出未知数．31．(1)11x =21x =2）11x =，232x =. 【解析】试题分析：（1）利用直接开方法即可求解；（2）利用十字相乘法分解即可求解．试题解析：解：（1）x ﹣，∴x 11x =21x =（2）（x ﹣1）（2x ﹣3）=0，∴x 1=1或x 2=32． 32．原菜地长为12m .【解析】【分析】设原菜地的长为xm ，根据正方形的性质可得原矩形菜地的宽，再根据矩形的面积公式列出方程求解即可.【详解】设原菜地的长为xm ，则原矩形菜地的宽(2)x m -由题意得：(2)120x x -=解得：112x =，210x =-(不合题意，舍去)答：原菜地的长为12m .【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意正确建立方程是解题关键.33．（1）x ＝0；（2）x 1＝x 2＝1【解析】【分析】（1）先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可；（2）整理后运用完全平方公式进行变形，再求出方程的解即可．【详解】解：（1）原方程化为：3133x x x -=---， 方程两边都乘以(x ﹣3)得：x ＝﹣3﹣（x ﹣3），解得：x ＝0，检验：当x ＝0时，x ﹣3≠0，所以x ＝0是原方程的解，即原方程的解为：x ＝0；（2）（x ﹣4）（x+2）＝﹣9，整理得：x 2﹣2x+1＝0，（x ﹣1）2＝0，x ﹣1＝0，即x 1＝x 2＝1．【点睛】本题考查了解一元二次方程和解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解（1）的关键，能选择适当的方法解一元二次方程是解（2）的关键．34．11x =，27x =-【解析】【分析】4=，两边平方、整理得5x =-，再两边平方、整理成一元二次方程，解之可得．【详解】解：40=， ∴4=则8162x x +=--，整理，得：5x =-，两边平方，整理，得：2670x x +-=，解得11x =，27x =-，经检验1x =和7x =-均符合题意，则原无理方程的解为11x =，27x =-．【点睛】本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．。
2019—2020年苏科版九年级数学上册第一章《一元二次方程》培优检测与简答
2019—2020学年苏科版九年级数学上册第一章《一元二次方程》培优检测与简答一．选择题（共8小题，每小题3分共24分） 1．方程251x -=的一次项系数是( ) A ．3B ．1C ．1-D ．02．下列方程是一元二次方程的是( ) A ．21x y -=B ．2230x x +-=C ．213x x+= D ．56x y -=3．一元二次方程240x -=的解是( ) A ．12x =，22x =- B ．2x =-C ．2x =D ．12x =，20x =4．用配方法解一元二次方程2450x x +-=，此方程可变形为( ) A ．2(2)9x +=B ．2(2)9x -=C ．2(2)1x +=D ．2(2)1x -=5．关于x 的方程2(2)410m x x --+=有实数根，则m 的取值范围是( ) A ．6m …B ．6m <C ．6m …且2m ≠D ．6m <且2m ≠6．若关于x 的方程2(2)30m x mx -+-=是一元二次方程，则m 的取值范围是( ) A ．2m ≠B ．2m =C ．2m >D ．0m ≠7．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元．如果每次提价的百分率都是x ，根据题意，下面列出的方程正确的是( ) A ．100(1)121x -= B ．100(1)121x += C ．2100(1)121x -=D ．2100(1)121x +=8．关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根1x ，2x ，若121212(2)(2)23x x x x x x -+--+=-，则k 的值( ) A ．0或2B ．2-或2C ．2-D ．2二．填空题（共8小题，每小题3分共24分）9．已知方程220x px q -+=的两根分别是2和3，则因式分解22x px q +-的结果是 ． 10．方程(3)0x x -=的解为 ．11．若一个一元二次方程的两个根分别是3-、2，请写出一个符合题意的一元二次方程 ．12．已知关于x 的一元二次方程2(1)210a x x --+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 ．13．已知方程230x bx ++=，则方程的另一根为 ．14．关于x 的方程222(9)10x m x m +-++=，当m = 时， 两根互为倒数；当m = 时， 两根互为相反数 ．15．1x ，2x 是方程2230x x +-=的两个根，则代数式21123x x x ++= ． 16．已知方程2201910x x -+=的一个根为a ，则220191a a ++的值为 ． 三．解答题（共8小题，满分72分，其中17题20分，18、19题每小题6分，20题8分，21题6分，22题9分，23题8分，24题9分） 17．用指定方法解下列一元二次方程 （1）23(21)120x --=（直接开平方法） （2）22470x x --=（配方法） （3）210x x +-=（公式法） （4）22(21)0x x --=（因式分解法）18．k 为何值时，方程2(2)90x k x --+=有两个相等的实数根；并求出这时方程的根． 19．已知m 是方程220x x --=的一个实数根，求代数式22()(1)m m m m--+的值． 20．已知1x 、2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． （1）求k 的取值范围．（2）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在求出k 的值；若不存在，请说明理由． 21．已知，下列(n n 为正整数）个关于x 的一元二次方程：①210x -=，②220x x +-=，③2230x x +-=，④2340x x +-=，⋯，⑪，⋯ （1）上述一元二次方程的解为① ，② ，③ ，④ ． （2）猜想：第n 个方程为 ，其解为 ．（3）请你指出这n 个方程的根有什么共同的特点（写出一条即可）．22．已知关于x 的方程2(1)(3)0x x x m --+=，m 为实数． （1）当4m =时，求方程的根；（2）若方程的三个实根中恰好有两个实根相等，求m 的值；（3）若方程的三个实根恰好能成为一个三角形的三边长，求m 的取值范围．23．如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC 上用其他材料造了宽为1米的两个小门．（1）设花圃的宽AB 为x 米，请你用含x 的代数式表示BC 的长 米； （2）若此时花圃的面积刚好为245m ，求此时花圃的宽．24．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．（1）如果多种5棵橙子树，计算每棵橙子树的产量；（2）如果果园橙子的总产量要达到60375个，考虑到既要成本低，又要保证树与树间的距离不能过密，那么应该多种多少棵橙子树；（3）增种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？最多为多少？2019—2020学年苏科版九年级数学上册第一章《一元二次方程》培优检测参考简答一．选择题（共8小题）1．D ． 2．B ． 3．A ． 4．A ． 5．A ． 6．A ． 7．D ． 8．D ． 二．填空题（共8小题）9． (2)(3)x x -- ． 10． 10x =，23x = ． 11． 260x x +-=．12． 2a <，且1a ≠ ． 13 14． 1 ，3- ．15． 1 ． 16． 2019 ． 三．解答题（共8小题）17．用指定方法解下列一元二次方程 （1）23(21)120x --=（直接开平方法） （2）22470x x --=（配方法） （3）210x x +-=（公式法） （4）22(21)0x x --=（因式分解法） 【解】：（1）23(21)120x --=， 移项，得23(21)12x -=， 两边都除以3，得2(21)4x -=， 两边开平方，得212x -=±， 移项，得212x =±， 解得：132x =，212x =-；（2）22470x x --=， 两边都除以2，得27202x x --=， 移项，得2722x x -=， 配方，得29212x x -+=，即29(1)2x -=，解得：1x -=，即11x =21x =； （3）210x x +-=， 这里1a =，1b =，1c =-，224141(1)5b ac -=-⨯⨯-=，x ∴，解得：1x ，2x =； （4）22(21)0x x --=，方程左边因式分解，得(21)(21)0x x x x -+--=，即(31)(1)0x x --=， 解得：113x =，21x =． 18．k 为何值时，方程2(2)90x k x --+=有两个相等的实数根；并求出这时方程的根． 【解】：方程2(2)90x k x --+=有两个相等的实数根，∴△22224[(2)]41944364320b ac k k k k k =-=---⨯⨯=-+-=--=，18k ∴=，24k =-．当8k =时，原方程为2690x x -+=，解得123x x ==． 当4k =-时，原方程为2690x x ++=，解得123x x ==-．19．已知m 是方程220x x --=的一个实数根，求代数式22()(1)m m m m--+的值． 【解】：m 是方程220x x --=的一个根， 220m m ∴--=，22m m ∴-=，22m m -=，∴原式222()(1)m m m m-=-+2(1)mm=⨯+224=⨯=．20．已知1x 、2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． （1）求k 的取值范围．（2）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在求出k 的值；若不存在，请说明理由． 【解】：（1）1x 、2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根，∴△2241644(1)160b ac k k k k =-=-⨯+=-…，且40k ≠， 解得0k <；（2）1x 、2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根， 121x x ∴+=，1214k x x k+=， 22221212112122121219(1)(2)(2)2422()9219244k k x x x x x x x x x x x x x x k k++∴--=--+=+-=⨯-⨯=-， 若9(1)3242k k +-=-成立， 解上述方程得，95k =， （1）中0k <，（2）中95k =， ∴矛盾，∴不存在这样k 的值．21．已知，下列(n n 为正整数）个关于x 的一元二次方程：①210x -=，②220x x +-=，③2230x x +-=，④2340x x +-=，⋯，⑪，⋯ （1）上述一元二次方程的解为① 11x =，21x =- ，② ，③ ，④ ． （2）猜想：第n 个方程为 ，其解为 ．（3）请你指出这n 个方程的根有什么共同的特点（写出一条即可）． 【解】：（1）①(1)(1)0x x +-=， 11x ∴=，21x =-．②(2)(1)0x x +-=， 11x ∴=，22x =-．③(3)(1)0x x +-=， 11x ∴=，23x =-．④(4)(1)0x x +-=， 11x ∴=，24x =-．（2）由（1）找出规律，可写出第n 个方程为：2(1)0x n x n +--=， (1)()0x x n -+=，解得11x =，n x n =-．（3）这n 个方程都有一个根是1； 另一个根是n 的相反数；22．已知关于x 的方程2(1)(3)0x x x m --+=，m 为实数． （1）当4m =时，求方程的根；（2）若方程的三个实根中恰好有两个实根相等，求m 的值；（3）若方程的三个实根恰好能成为一个三角形的三边长，求m 的取值范围．【解】：（1）4m =时方程为2(1)(34)0x x x --+=， 得10x -=或2340x x -+=， 由10x -=得1x =，由2340x x -+=得△91670=-=-<，该方程无实数解， 故方程的实根为1x =； （2）由10x -=得11x =．由230x x m -+=，得△940m =-…，设方程两根为2x ，3x ，若21x =，则130m -+=，得2m =，方程为2320x x -+=，解得得21x =，32x =符合题意； 若23x x =时，△940m =-=，得94m =，方程为29304x x -+=，得2332x x ==，符合题意． 综上知2m =或94m =； （3）方程的三个实根满足11x =，由230x x m -+=，得△940m =-…，设方程两根为2x ，3x ， 则233x x +=，23x x m =，方程的三个实根恰好能成为一个三角形的三边长， 则230940||1m m x x >⎧⎪=-⎨⎪-<⎩…，由23||1x x -， 得2m >， 解得924m <…． 23．如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC 上用其他材料造了宽为1米的两个小门．（1）设花圃的宽AB 为x 米，请你用含x 的代数式表示BC 的长 (243)x - 米； （2）若此时花圃的面积刚好为245m ，求此时花圃的宽．【解】：（1）2223243BC x x =+-=-． 故答案为(243)x -； （2）(243)45x x -=， 化简得：28150x x -+=， 解得：15x =，23x =．当5x =时，243914x -=<，符合要求；当3x =时，2431514x -=>，不符合要求，舍去． 答：花圃的宽为5米．24．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．（1）如果多种5棵橙子树，计算每棵橙子树的产量；（2）如果果园橙子的总产量要达到60375个，考虑到既要成本低，又要保证树与树间的距离不能过密，那么应该多种多少棵橙子树；（3）增种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？最多为多少？ 【解】：（1）60055-⨯ 60025=-575=（棵)答：每棵橙子树的产量是575棵； （2）设应该多种x 棵橙子树，依题意有 (100)(6005)60375x x +-=，解得15x =，215x =（不合题意舍去）． 答：应该多种5棵橙子树；（3）设增种m 棵树，果园橙子的总产量为2(100)(6005)5(10)60500m m m +-=--+， 故当增种10棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多，最多为60500个．。
初三数学相似三角形培优练习题(含答案)(K12教育文档)
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(3题图）EDB ADBCA N M O相似三角形练习题1、如图1，当四边形PABN 的周长最小时，a = ．2、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（ ）A ．只有1个B ．可以有2个C ．有2个以上但有限D ．有无数个3、如图3，等腰ABC ∆中,底边BC=a ，A ∠=036，ABC ∠的平分线交AC 于D ，BCD ∠的平分线交BD 于E ，设512k =，则DE=( ) A 、2K a B 、3K a C 、2akD 、3a k4、如图4,菱形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是( )A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形 5、如图5将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB 绕O 点顺时针旋转90°得△A′OB′．已知∠AOB =30°,∠B =90°，AB =1，则B′点的坐标为( ） A ．33()22 B ．33(22 C ．13(22D ．31()22yxP (a ，0) N (a +2，0)A (1，-3)（1题图）B (4，-1)O图 4FE D CBA E FA DCB6、如图小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是( ）7、如图7，梯形ABCD 中,BC ∥，点E 在BC 上，AE BE =，点F 是CD 的中点，且AF AB ⊥，若2.746AD AF AB ===，，，则CE 的长为 A ．22 B. 231 C 。
苏科版九年级数学上册1-1一元二次方程- 培优训练【含答案】
苏科版九年级数学上册1.1一元二次方程- 培优训练一、选择题1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是( )A ．20ax bx c ++=B ．21120x x +-=C ．2(3)2x x x -=+D 27-=2、下面关于x 的方程中①20ax bx c ++=；②223(9)(1)1x x --+=；③2150x x ++=； ④232560x x -+-=；⑤2233(2)x x =-；⑥12100x -=是一元二次方程的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43、若关于x 的方程（m ﹣1）x 2+mx ﹣1＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≠1B ．m ＝1C ．m ≥1D ．m ≠04、一元二次方程2x 2+5x ＝6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A ．2，5，6B ．5，2，6C ．2，5，﹣6D ．5，2，﹣65、若关于x 的一元二次方程2420x x m -+=的常数项是4，则m 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．46、若一元二次方程x 2﹣2kx +k 2＝0的一根为x ＝﹣1，则k 的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1或﹣1D ．2或07、已知a 是方程x 2+3x ﹣1＝0的根，则代数式a 2+3a +2019的值是（ ）A ．2020B ．﹣2020C ．2021D ．﹣20218、某省正加速布局以5G 等为代表的战略性新兴产业．据统计，该省目前5G 基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G 基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G 基站数量将达到17.34万座．按照计划，设2020年底到2022年底，全省5G 基站数量的年平均率为x ，根据题意列方程，得（ ）A ．6（1+x ）2＝17.34B ．17.34（1+x ）2＝6C ．6（1﹣x ）2＝17.34D ．17.34（1﹣x ）2＝69、若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +2＝0（a ≠0）有一根为x ＝2019，则一元二次方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）＝﹣2必有一根为（ ）A ．2017B ．2020C ．2019D ．201810、城市书房是扬州市从2015起打造的新生事物，至2019年底已建成36家城市书房．据调查：目前平均每月有10万人次走进城市书房阅读，扬州市民的综合阅读率位列全省第三．已知2017年底扬州城区共有18家城市书房，若2018、2019这两年城市书房数量平均每年增长的百分率相同，设平均每年增长的百分率为x ，则根据题意列出方程（ ）A ．36（1﹣x ）2＝18B ．18（1+x ）2＝36C ．10（1+x ）2＝18D ．2017（1﹣x ）2＝2019二、填空题11、把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项的系数．()21x x +＝233x - 一般式：________ ．二次项为______ ，二次项系数为______，一次项为________，一次项系数为________，常数项为________．12、一个关于x 的一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为－5，则这个一元二次方程是________________．13、当m = 时，关于x 的方程05)1(12=++++mx x m m 是一元二次方程．14、若关于x 的一元二次方程22(2)3320m x x m m -++-+=的常数项为0，则m 的值为15、若一元二次方程 （2m +6）x 2+m 2﹣9＝0的常数项是0，则m 等于 ．16、a 是方程210x x +-=的一个根，则代数式2222020a a --+的值是 ．17、小明用30厘米的铁丝围成一斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的一直角边长为x 厘米，则另一直角边长为________厘米．列方程得_______________．18、已知m 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的根，则代数式122-+m m m 的值是 ． 三、解答题19、已知关于x 的方程(m ＋3)(m －3)x 2＋(m ＋3)x ＋2＝0.(1)当m 为何值时，此方程是一元一次方程？(2)当m 为何值时，此方程是一元二次方程？20、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)2y 2＝8； (2)2x 2＋5＝4x ； (3)4x(x ＋3)＝0；21、一元二次方程2(1)(1)0a x b x c -+-+=化为一般形式后为22310x x --=，试求a ，b ，c 的值．22、已知x =-4是方程x 2-mx +4=0的一个根，试化简：22816144m m m m +--+-23、已知实数a 是方程x 2+4x +1＝0的根．（1）计算2a 2+8a +2017的值；（2）计算1﹣a a1-的值．24、根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化为一般形式．(1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x ；(2)x 支球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了30场比赛，求参赛的篮球队支数x.（3）在圣诞节到来之际，九(四)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1 980张，求九(四)班有多少名同学？25、下面是一道作业题，请仔细阅读甲、乙两个同学的答案，判断一下谁的答案正确，若不正确，请给出正确的解答过程．题目：若x 2a ＋b －2x a －b ＋3＝0是关于x 的一元二次方程，则a ，b 的值各是多少？学生甲：根据题意，可得错误!解得错误!学生乙：根据题意，可得错误!或错误!或错误!或错误!解得错误!或错误!或错误!或错误!1.1一元二次方程-苏科版九年级数学上册 培优训练一、选择题1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是( )A ．20ax bx c ++=B ．21120x x +-=C ．2(3)2x x x -=+D 27-=A 、当0a =时，不是一元二次方程，故此选项不合题意；B 、是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不合题意；C 、2(3)2x x x -=+化简后为320x --=，是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不合题意；D 、是一元二次方程，故此选项符合题意；故选：D ．2、下面关于x 的方程中①20ax bx c ++=；②223(9)(1)1x x --+=；③2150x x ++=；④232560x x -+-=；⑤2233(2)x x =-；⑥12100x -=是一元二次方程的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4A【分析】根据一元二次方程的定义对各小题进行逐一判断即可．解：①当0a =时，20ax bx c ++=是一元一次方程，故错误；②223(9)(1)1x x --+=是一元二次方程，故正确；③2150x x ++=是分式方程，故错误；④232560x x -+-=是一元三次方程，故错误；⑤2233(2)x x =-可化为12120x -=是一元一次方程，故错误；⑥12100x -=是一元一次方程，故错误．故选：A ．3、若关于x 的方程（m ﹣1）x 2+mx ﹣1＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≠1B ．m ＝1C ．m ≥1D ．m ≠0【分析】根据一元二次方程的定义可得m ﹣1≠0，再解即可．由题意得：m ﹣1≠0，解得：m ≠1，故选：A ．4、一元二次方程2x 2+5x ＝6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A ．2，5，6B ．5，2，6C ．2，5，﹣6D ．5，2，﹣6【分析】方程整理为一般形式，找出所求即可．方程整理得：2x2+5x﹣6＝0，则方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，5，﹣6，故选：C．5、若关于x的一元二次方程2420-+=的常数项是4，则m等于()x x mA．1 B．2 C．3 D．4m=，由题意得：24m=，解得：2故选：B．6、若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（）A．﹣1 B．0 C．1或﹣1 D．2或0【分析】把x＝﹣1代入方程计算即可求出k的值．把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，解得：k＝﹣1，故选：A．7、已知a是方程x2+3x﹣1＝0的根，则代数式a2+3a+2019的值是（）A．2020 B．﹣2020 C．2021 D．﹣2021【分析】根据一元二次方程的解的定义，将a代入已知方程，即可求得（a2+3a）的值．根据题意，得a2+3a﹣1＝0，整理得，a2+3a＝1，所以a2+3a+2019＝1+2019＝2020．故选：A．8、某省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业．据统计，该省目前5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．按照计划，设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均率为x，根据题意列方程，得（）A．6（1+x）2＝17.34 B．17.34（1+x）2＝6C．6（1﹣x）2＝17.34 D．17.34（1﹣x）2＝6【分析】根据2020年底及2022年底全省5G基站的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．依题意，得：1.5×4（1+x）2＝17.34，即6（1+x）2＝17.34．故选：A．9、若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为（）A．2017B．2020C．2019D．2018【思路点拨】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，设t＝x﹣1得到at2+bt+2＝0，利用at2+bt+2＝0有一个根为t＝2019得到x﹣1＝2019，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2020．解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，设t＝x﹣1，所以at2+bt+2＝0，而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2019，所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2019，则x﹣1＝2019，解得x＝2020，所以一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2020．故选：B ．10、城市书房是扬州市从2015起打造的新生事物，至2019年底已建成36家城市书房．据调查：目前平均每月有10万人次走进城市书房阅读，扬州市民的综合阅读率位列全省第三．已知2017年底扬州城区共有18家城市书房，若2018、2019这两年城市书房数量平均每年增长的百分率相同，设平均每年增长的百分率为x ，则根据题意列出方程（ ）A ．36（1﹣x ）2＝18B ．18（1+x ）2＝36C ．10（1+x ）2＝18D ．2017（1﹣x ）2＝2019【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果平均每年增长的百分率为x ，根据“2017年底扬州城区共有18家城市书房，2019年有36家城市书房”，根据题意可得出方程．设平均每年增长的百分率为x ，已知“2017年底扬州城区共有18家城市书房，2019年有36家城市书房”，根据题意可得出：18（1+x ）2＝36．故选：B ．二、填空题11、把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项的系数．()21x x +＝233x -一般式：________ ．二次项为______ ，二次项系数为______，一次项为________，一次项系数为________，常数项为________．2230x x --=，2x ，1，2x -，2-，3-．【分析】根据一元二次方程的一般形式、二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项的概念解答即可．()22133x x x +=-，去括号得：222233x x x +=-，移项、合并同类项得：2230x x --=，则此方程的一般式为2230x x --=，二次项为2x ，二次项系数为1，一次项为2x -，一次项系数为2-，常数项为3-，故2230x x --=，2x ，1，2x -，2-，3-．12、一个关于x 的一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为－5，则这个一元二次方程是_____2x 2＋3x －5＝0 ___________．13、当m = 时，关于x 的方程05)1(12=++++mx x m m 是一元二次方程．由题意得21210m m ⎧+=⎨+≠⎩，解得1m =±， 当1m =-时10m +=，不符合题意．当1m =时10m +≠，1m ∴=．14、若关于x 的一元二次方程22(2)3320m x x m m -++-+=的常数项为0，则m 的值为关于x 的一元二次方程22(2)3320m x x m m -++-+=的常数项为020m ∴-≠，2320m m -+=，解得：1m =，故1．15、若一元二次方程 （2m +6）x 2+m 2﹣9＝0的常数项是0，则m 等于 ．【分析】根据一元二次方程的一般式即可求出答案．由题意可知：m 2﹣9＝0，∴m ＝±3，∵2m +6≠0，∴m ≠﹣3，∴m ＝3，故316、a 是方程210x x +-=的一个根，则代数式2222020a a --+的值是 ． a 是方程210x x +-=的一个实数根，210a a ∴+-=，21a a ∴+=，222220202()2020a a a a ∴--+=-++212020=-⨯+2018=-．故答案为2018．17、小明用30厘米的铁丝围成一斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的一直角边长为x 厘米，则另一直角边长为__(17－x)______厘米．列方程得____x 2＋(17－x)2＝132___________．18、已知m 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的根，则代数式122-+m m m 的值是 ． 【分析】由题意可知：m 2﹣2m ﹣1＝0，然后根据分式的基本性质即可求出答案．由题意可知：m 2﹣2m ﹣1＝0，∵m ≠0，∴m m1-=2， ∴原式==+-111m m 31， 故31 三、解答题 19、已知关于x 的方程(m ＋3)(m －3)x 2＋(m ＋3)x ＋2＝0.(1)当m 为何值时，此方程是一元一次方程？(2)当m 为何值时，此方程是一元二次方程？(1)由题意得(m ＋3)(m －3)＝0且m ＋3≠0，所以m －3＝0，即m ＝3.(2)由题意得(m ＋3)(m －3)≠0，即m ≠±3.20、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)2y 2＝8； (2)2x 2＋5＝4x ； (3)4x(x ＋3)＝0；(1)移项，可得一元二次方程的一般形式：2y 2－8＝0.其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－8.(2)移项，合并同类项，可得一元二次方程的一般形式：2x 2－4x ＋5＝0.其中二次项系数为2，一次项系数为－4，常数项为5.(3)去括号，化为一般形式得4x 2＋12x ＝0.其中二次项系数为4，一次项系数为12，常数项为0.21、一元二次方程2(1)(1)0a x b x c -+-+=化为一般形式后为22310x x --=，试求a ，b ，c 的值． 一元二次方程2(1)(1)0a x b x c -+-+=化为一般形式后为2(2)()0ax a b x b a c -----=，一元二次方程2(1)(1)0a x b x c -+-+=化为一般形式后为22310x x --=，得2231a a b b a c =⎧⎪-=⎨⎪--=⎩， 解得212a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩．22、已知x =-4是方程x 2-mx +4=0的一个根，试化简：22816144m m m m +--+-解：∵x =-4是方程x 2-mx +4=0的一个根，∴(-4)2-(-4)m +4=0.解得m =-5.22816144m m m m +--+-=22)4()12(m m ---=1-2m -(4-m )=-3-m =2.23、已知实数a 是方程x 2+4x +1＝0的根．（1）计算2a 2+8a +2017的值；（2）计算1﹣a a1-的值． 【分析】（1）把x ＝a 代入方程求得 2a 2+8a ＝﹣2，整体代入求值即可；（2）由已知条件得到：1﹣a a 1-=1-a a 12+，由（1）知a 2+1＝﹣4a ，所以代入化简求值即可．（1）∵实数a 是方程x 2+4x +1＝0的根，∴a 2+4a +1＝0．∴2a 2+8a +2＝0，即 2a 2+8a ＝﹣2．∴2a 2+8a +2017＝2015；（2）1﹣a a1-=1-a a 12+． ∵a 2+4a +1＝0，∴a 2+1＝﹣4a ．1﹣a a 1-=1-aa 4-=5．24、根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化为一般形式．(1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x ；(2)x 支球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了30场比赛，求参赛的篮球队支数x.（3）在圣诞节到来之际，九(四)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1 980张，求九(四)班有多少名同学？(1)6x 2＝36.一般形式为：6x 2－36＝0.(2)12x(x －1)＝30. 一般形式为：12x 2－12x －30＝0或x 2－x －60＝0. （3）设九(四)班有x 名同学，根据题意得：x(x －1)＝1 980.将方程化成一般形式为：x 2－x －1 980＝0.25、下面是一道作业题，请仔细阅读甲、乙两个同学的答案，判断一下谁的答案正确，若不正确，请给出正确的解答过程．题目：若x2a＋b－2x a－b＋3＝0是关于x的一元二次方程，则a，b的值各是多少？学生甲：根据题意，可得错误!解得错误!学生乙：根据题意，可得错误!或错误!或错误!或错误!解得错误!或错误!或错误!或错误!学生甲、乙的解答过程均不完整，完整的解答过程如下：根据题意，可得错误!或错误!或错误!或错误!或错误!解得错误!或错误!或错误!或错误!或错误!。
九年级数学一元二次方程与相似三角形测试题
一元二次方程与相像三角形一、填空题：〔第小题4分，共32分〕1．一元二次方程〔a+1〕x2-ax+a2-1=0的一个根为0，那么a=。
2、假定a2，那么a2b。
b3b3b3、把长度为10的线段进行黄金切割，此中较长线段的长度是。
4、如图，四边形BDEF是Rt ABC的内接正方形，假定AB＝6，BC＝4，那么DE＝．5、如图，ABC与DEF是位似三角形，且AC＝3DF，那么OE∶EB＝．BCDFF AO DA E C E〔第4题〕B〔第5题〕〔第8题〕6、对于x的一元二次方程x2-23x+k=0有两个相等的实数根，那么k值为．7．x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0的两实数根，那么的值为．8、以下列图，在平行四边形ABCD中，AC与BD订交于点O，E为OD的中点，连接AE并延伸交DC于点F，那么DF：FC=。
二、选择题：〔每题3分，共24分〕9．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设均匀每次降价的百分率为x，依据题意所列方程正确的选项是〔〕A．36〔1-x〕2=36-25B．36〔1-2x〕=25C．36〔1-x〕2=25D．36〔1-x2〕=2510、下边两个图形必定相像的是〔〕A、两个等腰三角形B、矩形C、菱形D、正方形11、对于x的一元二次方程〔k-2〕2x2+〔2k+1〕x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是〔〕A．k＞4且k≠2B．k≥4且k≠2C．k＞33且k≠2D．k≥33且k≠2 4412、以下四个三角形，与左图中的三角形相像的是〔〕〔第12题〕A．B．C．D．13．△ABC∽△DEF，相像比为2，且△ABC的面积为8，那么△DEF的面积为〔〕A．4B．16C．2D．3214、如图，点P 是ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不可以判断ABP∽ACB的是〔〕AB AC BC ACA.APAB B．BPAB C．ABPCD．APB ABC第14题第15题第16题15、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，假定动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设〔0≤t＜6〕，连结DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为〔A．2 B、或C、D、2或或E点的运动时间为〕t秒16、如图，在Rt△ABC内有边长分别为a,b,c的三个正方形，那么a,b,c知足的关系式是〔〕A、b ac B、b acC、b2a2c2D、b2a2c三、解答题〔共64分〕17、〔共8分〕用适合方法解一列一元二次方程〔1〕x2-4x+2=0．〔2〕2〔x-3〕=3x〔x-3〕18、〔6分〕如图， AD 、BE 是△ABC 的两条高，试说明 AD ·BC=BE ·ACAEBDC19、〔8分〕如图，在△ ABC 中，BC>AC ， 点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的均分线 CF交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连结EF. 1〕求证：EF ∥BC.2〕假定四边形BDFE 的面积为6， 求△ABD 的面积.20．〔6分〕如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD 〔围墙MN 最长可利用25m 〕，此刻已备足能够砌50m 长的墙的资料，求AB 为多长时，矩形花园的面积为300m 2．21、〔8分〕如图，在△ABC 中，有矩形DEFG ，G 、F 在BC 上，D 、E 分别在AB 、AC 上，AH ⊥BC 交DE 于M ，DG ∶DE ＝1∶2，BC ＝60cm ，AH ＝40cm ， 求证AMDE AHBC〔2〕求矩形的周长。
九年级数学上册-一元二次方程(选择题)专题培优训练100题【含答案】
一、单选题1．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值是（）A．﹣2B．﹣1C．1D．22．下列方程是一元二次方程的是（）A．3x2−6x+2B．x2−y+1=0C．x2=4D．1x+x2=2 3．若x＝5是方程x2﹣6x+k＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A．1B．2C．3D．44．已知关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜13B．k＞- 1 3C．k＜13且k≠0D．k＞- 13且k≠05．将一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0配方，所得的方程是（）A．（x﹣2）2＝11B．（x﹣2）2＝3C．（x+2）2＝11D．（x+2）2＝36．在下列方程中，是一元二次方程的是（）。
A．3(x−2)+x=1B．x2+2x=1x C．2x2=1−3x D．x2−x3+3=0 7．一元二次方程x2＋x－1＝0根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判断8．一元二次方程4x2﹣2x+ 14=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断9．已知关于x的一元二次方程mx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m≤1B．m<1C．m≤1，且m≠0D．m<1，且m≠010．用配方法方程x2+6x﹣5=0时，变形正确的方程为（）A．（x+3）2=14B．（x﹣3）2=14C．（x+6）2=4D．（x﹣6）2=411．下列一元二次方程中常数项为0的是（）A．x2+x＝1B．2x2﹣x+2＝0C．3（x2+x）＝3x+1D．﹣x2+x＝x212．一元二次方程x2+3=2x的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根13．下列选项中的方程，是一元二次方程的为（）A．x+ 1x2＝1B．x2+2y﹣3＝0C．3x2＝1D．x3﹣2x+1＝014．一元二次方程x2+4x+5=0的根的情况是（）A．无实数根B．有一个实根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根15．用配方法解方程x2+8x﹣9=0时，此方程可变形为（）A．（x+4）2=7B．（x+4）2=25C．（x+4）2=9D．（x+4）2=﹣716．一元二次方程x2−2x−3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是() A．1,−2,−3B．1,−2,3C．1,2,3D．1,2,−3 17．一元二次方程4x2−2x+14=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断18．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．x2+ 3x＝0B．y2﹣3x+2＝0C．x2＝5x D．x2﹣4＝（x+1）219．下列方程是一元二次方程的是（）A．2x+1=0B．x2=3C．y+x=1D．−1x−2x2=4 20．如果2是一元二次方程x2=c的一个根，那么常数c是（）A．2B．-2C．4D．-421．下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0；②x2+1x2−3=0；③x2−4+x5=0；④3x=x2．其中是一元二次方程的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个22．关于x一元二次方程x2－kx－6＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定根的情况23．已知1是关于x的一元二次方程(m－1)x2+x+1=0的一个根，则m的值是（）A．1B．－1C．0D．无法确定24．方程x2+2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．1，2，3B．1，2，﹣3C．1，﹣2，3D．﹣1，﹣2，3 25．用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可化为（）A．（x+4）2=9B．（x﹣4）2=9C．（x+8）2=23D．（x﹣8）2=9 26．方程x2−4=0的解是（）A．x1=2，x2=−2B．x=0C．x1=x2=2D．x1=x2=−227．一元二次方程x2+2x＝0的根是（）A．x1＝0，x2＝2B．x1＝0，x2＝﹣2C．x1＝1，x2＝﹣2D．x1＝1，x2＝228．方程x2=x的解是（）A．x=1B．x=0C．x1=1，x2=0D．x1=﹣1，x2=029．一元二次方程2021x2−x+2021=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定30．关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．1B．-1C．2D．-231．某广场绿化工程中有一块长2千米，宽1千米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间既周边留有宽度相等的人行通道（如图），并在这些人行通道铺上瓷砖，要求铺瓷砖的面积是矩形空地面积的12，设人行通道的宽度为x千米，则下列方程正确的是（）A．（2﹣3x）（1﹣2x）=1B．12（2﹣3x）（1﹣2x）=1C．14（2﹣3x）（1﹣2x）=1D．14（2﹣3x）（1﹣2x）=232．为了促使药品及医用耗材的价格回归合理水平，减轻群众就医负担，国家近几年大力推进带量采购制度改革，在改革推进的过程中，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（）A．100(1−x)2=81B．100(1+x)2=81C．100x2=81D．100(1−x%)2=8133．方程（x﹣1）（x﹣2）=1的根是（）A．x1=1，x2=2B．x1=﹣1，x2=﹣2C．x1=0，x2=3D．以上都不对34．用配方法解方程x²-4x-1=0，方程应变形为（）A．(x+2)2=3B．(x+2)²=5C．(x-2)²=3D．(x-2)²=535．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们规定一个新数i，使其满足i2=﹣1（即x2=﹣1方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对任意正整数n，我们可得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1，那么，i+i2+i3+i4+…+i2016+i2017的值为（）A．0B．1C．﹣1D．i36．若方程x2﹣4x﹣3=0的两实根为x1、x2，则x1+x2的值为（）A．﹣3B．3C．﹣4D．437．函数y=x2−2px+2p2+2p−1的最小值是（）A．−3B．−2C．−1D．038．方程(x+0.5)(x−2)=0的根为（）A．x1=2，x2=−0.5B．x1=−2，x2=0.5C．x1=2，x2=0.5D．x1=−2，x2=−0.539．某县第一中学学校管理严格、教师教学严谨、学生求学谦虚，三年来中考数学A等级共728人.其中2016年中考的数学A等级人数是200人，2017年、2018年两年中考数学A等级人数的增长率恰好相同，设这个增长率为x，根据题意列方程，得（）A．200(1+x)2=728B．200+200(1+x)+200(1+x)2=728 C．200+200x+200x2=728D．200(1+2x)=72840．若关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k≥-1且k≠0B ．k≥-1C ．k≤1D ．k≤1且k≠041．二元二次方程组{(x +1)(y +2)=0y =x 2的解的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．442．中国正在布局以5G 等为代表的战略性新兴产业，据统计2020年我国已建成5G 基站a 万座，计划2022年基站数量达到b 万座，如果每年的平均增长率为x ，则以下关系正确的是（ ） A ．a （1＋x ）＝b B ．b （1－x ）＝a C ．a （1＋2x ）＝bD ．a （1＋x ）＝b43．已知关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞2B ．a ＜2C ．a ＜2且a≠1D ．a ＜﹣244．若关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（ ）A ．-2B ．2C ．4D ．-345．若a>0，b<0，c<0则方程ax 2+bx+c=0的根的情况为（ ）A ．有两个同号的实数根B ．有两个异号的实数根，且负根的绝对值大C ．有两个异号的实数根，且正根的绝对值大D ．无实数根46．已知一元二次方程 x 2−3x +1=0 的两根为 x 1 ， x 2 ，则 x 12−5x 1−2x 2 的值为（ ）A ．-7B ．-3C ．2D ．547．某种植基地2017年蔬菜产量为80吨，预计2019年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）． A ．80(1+x)2=100 B ．100(1−x)2=80 C ．80(1+2x)2=100D ．80(1−x)2=10048．设x 1，x 2是方程2x 2﹣6x+3=0的两根，则x 12+x 22的值是（ ）A ．15B ．12C ．6D ．349．下列方程中，一元二次方程是（ ） A ．x 2+ 1x2 =0B ．（2x ﹣1）（x+2）=1C ．ax 2+bx=0D ．3x 2﹣2xy ﹣5y 2=050．已知两个整数a，b，有2a+3b=31，则ab的最大值是（）A．35B．40C．41D．4251．某文化衫经过两次涨价，每件零售价由81元提高到100元.已知两次涨价的百分率都为x，根据题意，可得方程（）A．81(1+x)2＝100B．81(1﹣x)2＝100C．81(1+x%)2＝100D．81(1+2x)＝10052．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2020年投入3000万元，预计2022年投入5000万元.设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．3000x2=5000B．3000(1+x)2=5000C．3000(1+x％)2=5000D．3000+3000(1+x)+3000(1+x)2=500053．某企业因春节放假，二月份产值比一月份下降20%，春节后生产呈现良好上升势头，四月份比一月份增长15%，设三、四月份的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．2(1−20%)(1+x)=1+15%B．(1+15%)(1+x)2=1−20%C．2(1+15%)(1+x)=1−20%D．(1−20%)(1+x)2=1+15%54．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为300元的药品进行连续两次降价后为243元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（A．300（1﹣x）2=243B．243（1﹣x）2=300C．300（1﹣2x）=243D．243（1﹣2x）=30055．关于x的方程ax2−(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1−x1x2+x2=1−a，则a的值是（）A．1B．-1C．1或-1D．256．设m，n分别为一元二次方程x2+2x-1=0的两个实数根，则m +n+mn的值为（）A．-3B．3C．-2D．257．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0,N：cx2+bx+a=0，其中a+c=0，以下列四个结论中，错误的是…….（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根；D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是58．下列方程中没有实数根的是（）A．x2＋2x＋1＝0B．x2﹣x＋2＝0C．x2＋2x＝0D．2x2﹣x﹣1＝059．若a−b+c=0，则一元二次方程ax2−bx+c=0(a≠0)必有一根是（）A．0B．1C．-1D．无法确定60．由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降。
初三数学相似三角形综合培优试题(相似二)
数学培优试题——相似三角形（2）一、选择题1.一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断2.若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且+＝﹣，则m等于（）A．﹣2B．﹣3C．2D．33．已知关于x方程x2﹣3x+a＝0有一个根为1，则方程的另一个根为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣44.关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+m2﹣1＝0的一根为0，则m的值是（）A．±1B．±2C．﹣1D．﹣25.如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别交于点G，H，∥CHG的平分线HM交AB于点M，若∥EGB＝50°，则∥GMH的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．65°6.如图，BC是∥O的直径，A，D是∥O上的两点，连接AB，AD，BD，若∥ADB＝70°，则∥ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°7.如图，CB为∥O的切线，点B为切点，CO的延长线交∥O于点A，若∥A＝25°，则∥C的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°第5题第6题第7题8.8的半圆，则该圆锥的全面积是（）A．48πB．45πC．36πD．32π9.如图，小莉从A点出发，沿直线前进10米后左转20°，再沿直线前进10米，又向左转20°，……，照这样走下去，她第一次回到出发点A时，一共走的路程是（）A．150米B．160米C．180米D．200米10.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则∥DEF的面积与∥BAF的面积之比为（）A．3：4B．9：16C．9：1D．3：111．如图，∥ABC内接于∥O，若∥A＝45°，∥O的半径r＝4，则阴影部分的面积为（）A．4π﹣8B．2πC．4πD．8π﹣8第9题第11题第10题12.如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．（2，1）B．（2，0）C．（3，3）D．（3，1）第12题第17题13.因式分解：4a3b3﹣ab＝．14.若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是．15．如果∥ABC∥∥DEF，且∥ABC的面积为2cm2，∥DEF的面积为8cm2，那么∥ABC与∥DEF 相似比为．16.已知∥ABC∥∥DEF，且它们的周长之比为1：3，则它们的相似比为．17．如图，在∥ABC中，∥ACB＝90°，∥A＝30°，D为AB的中点，若BC＝5 cm，则CD 的长为________cm.18.如图，在∥ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∥CAD＝∥B．若∥ADC的面积为a，则∥ABD的面积为________三、例题讲解例1．如图，∥ABD＝∥BCD＝90°，DB平分∥ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2＝AD•CD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．例2.如图，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF∥DE交BC于点F，（1）求证：∥ADE∥∥BEF；（2）设正方形的边长为8，AE=x，BF=y，请解决下列问题：∥求y与x的函数关系式；∥在AB边上是否存在点E，使得BF=3？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．变式训练．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的动点，连结AE、EF．（1）若点E是BC的中点，CF：FD＝1：3，求证：∥ABE∥∥ECF；（2）若AE∥EF，设正方形的边长为6，BE＝x，CF＝y．当x取什么值时，y有最大值？并求出这个最大值．例3.如图，AB为∥O的直径，C、F为∥O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF 的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．（1）求证：DE是∥O的切线；（2）若AE＝3，DE＝4，求∥O的半径的长．例4如图，在∥ABC中，点D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于E，点F是DE延长线上一点，联结AF．（1）如果=，DE=6，求边BC的长；（2）如果∥FAE=∥B，求证∥DAF∥∥AEF；（3）在第2问的条件下，若FA=6，FE=4，求DF的长．例5.如图，点D为圆O上一点，点C在直径AB的延长线上，且∥CAD＝∥BDC，过点A 作∥O的切线，交CD的延长线于点E．（1）求证：CD是∥O的切线；（2）若CB＝3，CD＝9，求CA和ED的长．例6.在∥ABC中，AD是BC边上的高，BC＝12，AD＝8．正方形EFGH的顶点E、F分别在AB、AC上，H、G在BC上．求正方形EFGH的边长例7.如图所示，某测量工作人员的眼睛A与标杆顶端F，电视塔顶端E在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=19米，求电视塔的高ED．。
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1
苏教版九年级数学上册一元二次方程和相似三角形培优专题训练
一、选择题（24分）姓名得分
1、方程x 2＝2x 的根是
（
）
A ．x 1＝0，x 2＝2
B ．x 1＝0，x 2＝－2
C ．x ＝0
D ．x ＝22、若12x x ，是一元二次方程
2
56
0x
x 的两个根，则
12x x 的值是
（）
A ．1
B ．6
C ．－5
D ．5
3、下列说法：⑴有一个角为55°的两个等腰三角形相似；⑵有一个角为
110°
的两个等腰三角形相似；⑶两条直角边对应成比例的直角三角形相似；⑷两个菱形相似.正确的个数是
(
)
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4、如果两个相似多边形相似比为
1：5，则它们面积的比为（
）A ．1：25B ．1：5
C ．1：10
D ．1：
5、用配方法解方程
2
420x x ，下列配方正确的是()
A ．2
(2)
2
x
B ．2
(2)
2x C ．2
(2)
2x D ．2
(2)
6
x 6、如图，已知D 、E 分别是
ABC 的AB 、AC 边上的点，,DE BC 且1
ADE
DBCE
S S 四边形则AE ︰EC 等于（
）
A ．1︰9
B ．1︰3
C ．1︰8
D ．1︰2
7、如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，Ｅ为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点
F ，则DF ：FC=（）
A ．1：４
B ．1：３
C ．2：３
D ．1：２
B
A C
D
E。