第2章 逻辑代数初步

• 如果规定: 灯亮为1， 灯灭为0， 开关接通 为1， 开关断开为0， 则开关A，B与灯Z的 逻辑关系见表2-2.
• 2. “或”逻辑关系 • 在决定一件事情的各个条件中， 只要具备 一个或一个以上的条件(即至少有一个条件 为真)， 这件事情就会发生(即事件为真)， 这样的因果关系称为“或”逻辑关系. • 观察图2-2所示的电路， 当开关A和B中的任 何一个闭合时， 灯Z都会发亮， 所以， 灯Z 与开关A和B之间是一种“或”逻辑关系， 记作Z=A+B， 读作Z等于A或B.
• 将逻辑函数中自变量的各种可能取值组合 与其因变量的值一一列出， 并以表格形式 表示， 该表称为逻辑函数真值表. • 逻辑式与真值表之间可以相互转换： • (1) 由逻辑函数表达式列真值表。 • (2) 由真值表写逻辑函数表达式。
• 例题分析
2.4 逻辑运算律和公式法化简逻辑式
• 2.4.1逻辑运算律 • 情景导入 • 我们知道普通代数的一些运算律，那么逻 辑代数有哪些运算律呢? • 知识探究 • 设A，B，C为逻辑变量，它们只能取0和1这 两个值.根据“且”运算、“或”运算、 “非”运算的运算法则，我们可以得到以 下公式和运算律.
• 在画卡诺图时，如果逻辑函数有k个变量， 那么就将图形分成2k个方格，每个方格和 一个最小项相对应，方格的编号和最小项 的编号是相同的，都是由方格外面行变量 和列变量的取值决定.图24（a），(b)和(c) 分别是二变量、三变量和四变量的卡诺图.
• 根据逻辑函数所包含的变量数，先画出变 量卡诺图，再把逻辑函数化为最小项之和 的形式，然后在卡诺图上与这些最小项对 应的位置上填入1，在其余的位置上填入0， 就得到了表示该逻辑函数的卡诺图.任何一 个逻辑函数都等于它的卡诺图中填入1的那 些项之和.
• 知识探究 • 在计算机中， 用电子元件对立的“状态”来表示 数码0， 1. 因此采用二进制计数的运算最合理. 下 面，我们来学习二进制的相关概念.二进制的数码 只有0， 1两个， 每一数位上计满2就向高位进1， 即“逢二进一”. 任何一个二进制数S都可以表示 成2的各次幂之和的形式， 如： • (11001)2=1×24+1×23+0×22+0×21+1×20 • (0.110101)2=1×2-1+1×2-2+0×2-3+1×2-4+0×25+1×2-6 • (101.101)2=1×22+0×21+1×20+1×2-1+0×22+1×2-3
2.6 卡诺图和图解法化简逻辑式
• 2.6.1 卡诺图 • 情景导入 • 在实际的生产生活中，我们常常用卡诺图化简逻辑 表达式.那么，什么是卡诺图？ • 知识探究 • 将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使 具有逻辑相邻性的最小项的几何位置也相邻地排列 起来，所得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图.所 谓逻辑相邻性，是指任何两个相邻的小方块所对应 的两个最小项中总是只有一个变量不同.另外，在卡 诺图中，行的左右，列的上下，都是对应的两个最 小项，称为循环邻接性.
• 例题分析
• 2.4.2 公式法化简逻辑式 • 情景导入 • 在进行逻辑运算时常常会看到，同一逻辑函数可以 写成复杂程度不同的逻辑式，例如，逻辑函数 Y=ABC+BC+ACB和Y=AC+BC就是同一个逻辑函数.逻辑 式越简单，它所表示的逻辑关系越明显，同时也有 利于用最少的逻辑运算来实现这个逻辑函数.因此， 经常需要通过化简的手段找出逻辑函数的最简形式. • 知识探究 • 若逻辑函数表达式中包含的乘积项已经最少，而且 每个乘积项里的因子也不能再减少时，则称此逻辑 函数表达式为最简逻辑函数表达式. • 公式法化简逻辑式的原理就是反复使用逻辑运算律 和常用公式，消去函数式中多余的乘积项和多余的 因子，以求得函数式的最简形式.常用的公式化简法 见表2-10.
• 3. “非”逻辑关系 • 当条件不满足(即条件为假)时， 事件为真; 当条件满足(即条件为真)时， 事件为假， 这样的因果关系称为“非”逻辑关系. • 观察图2-3所示的电路， 当开关A闭合时， 灯Z灭; 当开关A断开时，灯Z亮. 开关A的开 合与灯Z的亮、 灭是“非”逻辑关系， 记作 Z=A，A上面的横线读作非或反， 等式读作Z 等于A反.
2.7逻辑代数的应用举例
• 情景导入 • 某中等职业学校两层办公楼的楼梯合用一个照明灯， 要求楼上楼下均可开、关照明灯.你能设计一个这样 的开关线路吗？ • 知识探究 • 逻辑代数被广泛应用在电路设计中.逻辑门电路是数 字电路中最基本的逻辑元件.所谓门就是一种开关， 它能按照一定的条件去控制信号的通过或不通过， 门电路的输入和输出之间存在一定的逻辑关系(因果 关系)，所以门电路又称为逻辑门电路.常见的门电 路主要有：且门、或门、非门等，见表2-12.
• 例题分析
2.2 逻辑变量与运算
• 情景导入 • 为了设计开关线路与计算机硬件中的逻辑线路， 首先要了解逻辑变量及其运算.那么逻辑代数 中有哪几种运算？ • 知识探究 • 某教室里有两盏灯， 分别用A，B表示， 则 “教室里是否有灯光”可由灯A，B的亮、 灭 状态确定. 我们规定: 灯亮用1表示， 灯灭用0表 示， 教室有灯光用1表示， 教室没有灯光用0 表示， 则“灯A，B的亮、 灭”与“教室里是 否有灯光”的关系可用表2-1表示.
• 等都是逻辑式.这里，我们把表示常量的1和0， 单个变量都看作是逻辑式.在逻辑式中，3种逻 辑运算的优先次序按“非”、“且”、“或” 排序.例如，在逻辑式AB+C中，先对变量A作非 运算得A，然后乘B得AB，最后与C相加.当然， 我们也可以添加括号来安排运算次序.例如， 逻辑式（A+B）C，是先作A+B，再乘C. • 含有逻辑变量的函数就是逻辑函数，其定义域 只有0和1(非0即1)两个数， 值域也只有0和1(非 0即1)两个数. 用于表示逻辑函数的方法有逻辑 函数表达式(也称逻辑式或函数式)、 逻辑函数 真值表和逻辑图. • 表述逻辑自变量(A，B，C…)与逻辑因变量Y之 间函数关系的代数式， 称为逻辑函数表达式， 记作Y=F(A，B，C…)也称逻辑式. • 常用的逻辑式见表2-5.
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• 2.1.2 二进制数与十进制数的互相换算 • 情景导入
• 日常生活中经常使用的数是十进制数，但 计算机使用的是二进制数.因此，计算机在 运算前，先要把十进制数换算成二进制数， 而运算结束后，又需要将二进制数换算成 人们所习惯使用的十进制数.
• 知识探究 • 如果要将十进制数转换为二进制数，主要分两个部 分：对于整数部分，通常采用“除2取余法”，即 用2不断去除十进制数，直到最后商是0为止，将所 得到的余数以最后一个余数为最高位，依次排列便 可得到相应的二进制数；对于小数部分，通常采用 “乘2取整法”，即用2去乘所要转换的十进制小数， 并得到一个新的小数，然后再用2去乘这个新的小 数，如此一直进行到小数为0或达到转换所要求的 精度为止.首次乘2所得积的整数部分为二进制纯小 数的最高位，最末次乘2所得积的整数部分为二进 制纯小数的最低位. • 如果需将二进制数转换为十进制数，只需把二进制 数按2的各次幂展开，然后按十进制数计算，并相 加即可.
• 4个相邻的最小项合并成一项，消去两个不 同的变量，合并后的结果只剩下公共因子. 在图2-8(a)，(b)中画出了4个最小项相邻的 几种可能情况.
• (3) 8个相邻的最小项，合并成一项，消去3 个不同的变量，合并的结果只包含公共因 子.在图29中画出了8个最小项相邻的几种 可能情况.
• 卡诺图化简法的步骤如下： • (1) 将逻辑函数用最小项形式表示，然后画 出该函数的卡诺图.若某格对应的最小项存 在，则在这格内填“1”，否则填“0”（也可 空着不填）. • (2) 在卡诺图上将相邻最小项合并.
• (2) 设中央七台为A， 少儿频道为B， 收看儿 童节目为Y， 则A， B与Y之间是“或”逻辑 关系， 记作Y=A+B. 设选择频道为1， 不选 择频道为0， 能收看儿童节目为1， 不能收 看儿童节目为0， 有
2.3 逻辑式与真值表
• 情景导入
• 什么是逻辑式？什么是真值表？如何列出 一个逻辑式的真值表？如何由真值表写出 逻辑式？ • 知识探究 • 由常量1和0以及逻辑变量，经逻辑运算所 构成的式子叫做逻辑代数式，简称逻辑式. 例如
• 从表中我们可以清楚地看出“灯A，B的亮、 灭”与 “教室里是否有灯光”之间是一种因果逻辑关系，这种 描述客观事物一般逻辑关系的数学方法， 称为逻辑代数. • 逻辑代数的变量就是逻辑变量， 常用大写字母A，B， C…表示. 逻辑变量只有两种取值， 即0和1， 它是表示事 物矛盾双方的一种符号， 而不表示数值大小， 称为逻 辑常量. • 在初等代数中有加减乘除四则运算， 即算术运算， 逻 辑代数中则有“且”、“或”、“非”3种基本运算， 它们不是数值的运算， 而是逻辑关系的运算， 称为逻 辑运算.与3种逻辑运算相对应的是3种逻辑关系.
• 例题分析 • 例 指出下列描述中所包含的逻辑关系， 并用 表来表示它们之间的逻辑关系. • (1) 张教授和王教授同时在场才能打开这份文 件； • (2) 在中央七台和少儿频道都能看到儿童节目； • (3) 篮球赛中A队与B队交战， A队胜， B队负. 解 (1) 设张教授为A， 王教授为B， 打开文件 为Y， 则A，B与Y之间是“且”逻辑关系， 记 作Y=A· B. 设教授在场为1， 教授不在场为0， 文件能打开为1， 文件不能打开为0， 有
• 1. “且”逻辑关系 • 当决定一件事情的各个条件全部具备时(即条 件同时为真)， 这件事才会发生， 而且一定发 生(即事件为真)， 这样的因果关系称为“且” 逻辑关系. • 观察图2-1所示电路， 只有当开关A和B同时闭 合时， 电路才会接通， 灯Z才会发亮， 所以， 灯Z与开关A和B之间是一种“且”逻辑关系， 记作Z=A· B(在不发生混淆时， 常省去符号“·”)， 读作Z等于A且B.
• 例题分析
2.5 逻辑函数的最小项表达式
• • • • 情景导入 什么是逻辑函数的最小项表达式？ 知识探究 逻辑函数的最小项，是一个以逻辑变量的 原变量或反变量形式组成的乘积项，这个 乘积项的因子数等于全部逻辑变量的个数， 且每个变量都是它的因子.例如：三个逻辑 变量A，B，C共有8个（即23个）最小项， 见表2-11.
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• 2.6.2 卡诺图化简法 • 情景导入 • 用卡诺图化简逻辑函数是一种既简单又直观的 方法，可以避免烦琐的逻辑代数运算.下面， 我们将介绍这种方法. • 知识探究 • 利用卡诺图化简逻辑函数的方法称为卡诺图化 简法或图形化简法.用卡诺图化简逻辑函数的 基本原理就是具有相邻性的最小项可以合并， 并消去不同的因子. 合并最小项的规则如下. • (1) 逻辑上相邻的两个最小项，合并成一个乘 积项，消去一个不同的变量.合并后的结果只 剩下公共因子.在图2-7(a)，(b)中画出了两个最 小项相邻的几种可能情况.
• 二进制数的四则运算也可以像十进制数的四则 运算那样来进行， 其运算法则如下: • 加法法则 0+0=0; 0+1=1+0=1; 1+1=10 • 减法法则 0－0=0; 1－0=1; 1－1=0; 10－1=1 • 乘法法则 0×0=0; 1×0=0×1=0; 1×1=1 • 除法法则 0÷1=0; 1÷1=1
第2章 逻辑代数初步
• • • • • • • 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 二进位制 逻辑变量与运算 逻辑式与真值表 逻辑运算律和公式法化简逻辑式 逻辑函数的最小项表达式 卡诺图和图解法化简逻辑式 逻辑代数的应用举例
2.1 二进位制
• 2.1.1 二进制 • 情景导入 • 在日常生活和生产实践中， 人们离不开数， 而最常 用、 最熟悉的数是十进制数. 十进制数是用0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9十个数字符号(或叫做 数码)组成的，它们表示10的各次幂(各次幂的系数 是小于10而大于或等于0的整数)的和. 除了十进制， 我们还会遇到其他进制的计数制. 例如，在计时系 统中， 60s为1min， 60min为1h， 采用的是六十进 制; 24h为1d， 采用的是二十四进制等. 那么在计算 机中，采用的是什么进位制？