带电粒子在磁场中运动最小面积

带电粒子在磁场中运动--最小面积

1、如图所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域.为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域，

试求这圆形磁场区域的最小半径.重力忽略不计。

2、一质量为、带电量为的粒子以速度从O点沿轴正方向射入磁感强度为的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从处穿过轴，速度方向与轴正向夹角为30°，如图

所示（粒子重力忽略不计）。

试求：（1）圆形磁场区的最小面积；

（2）粒子从O点进入磁场区到达b点所经历的时间；

（3）b点的坐标。

3、在平面有许多电子（质量为、电量为），从坐标O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图所示。现加一个垂直于平面向、磁感强度为的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平

行于轴向x正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。

4、如图，ABCD是边长为a的正方形。质量为m、电荷量为e的电子以大小为0v的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求：

（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；

（2）此匀强磁场区域的最小面积。

5、如图所示，直角坐标系第一象限的区域存在沿轴正方向的匀强电场。现有一质量为，电量为

的电子从第一象限的某点（，

L 83）以初速度沿轴的负方向开始运动，经过轴上的点（4

L ，0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与

轴、轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点O ，并沿

轴的正方向运动，不计电子的重力。求 （1）电子经过点的速度；（2）该匀强磁场的磁感应强度

和磁场的最小面积

。

6、如图所示，在竖直平面，虚线MO 与水平线PQ 相交于0，二者夹角θ=30°，在MOP 围存在竖直向下

的匀强电场，电场强度为E ，MOQ 上方的某个区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，0点

处在磁场的边界上.现有一群质量为m 、电量为+q 的带电粒子在纸面以速度v (0≤v≤E/B)垂直于MO 从O 点射入磁场，所有粒子通过直线MO 时，速度方向均平行于PQ 向左。.不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，求：（1）速度最大的粒子自O 点射入磁场至返回水平线POQ 所用的时间.（2）磁场区域的最小面积.（3）根据你以上的计算可求出粒子射到PQ 上的最远点离O 的距离，请写出该距离的大小。

7、如图所示，在倾角为30°的斜面OA 的左侧有一竖直挡板，挡板上有一小孔P,现有一质量

kg m 20104-⨯=、电量C q 14102-⨯+=带电粒子，从小孔以速度

s

m v 40103⨯=水平射向磁感应强度T B 2.0=、方向垂直于纸平面向里

的一正三角形区域。该粒子在运动过程中始终不碰及竖直挡板，且在飞出磁场区域后能垂直打在斜面OA 上，粒子重力不计。 求：（1）粒子在磁场中作圆周运动的半径R ； （2）粒子在磁场中运动的时间t ； （3）正三角形磁场区域的最小边长L

带电粒子在磁场中运动--最小面积

近年来在考题中多次出现求磁场的最小围问题；或带电粒子在空间运动围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。下面以实例进行分析。

一、磁场的边界线为圆形

【例题1-1】如图所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域.为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域，试求这圆形磁场区域的最小半径.重力忽略不计。

解：质点在磁场中作半径为R的圆周运动,洛伦兹力提供做向心力：qvB＝(Mv2)/R，

得R＝(MV)/(qB)

根据题意，质点在磁场区域中的轨道是半径等于R的圆上的1/4圆周,这段圆弧

应与入射方向的速度、出射方向的速度相切。过a点作平行于x轴的直线,过b点作

平行于y轴的直线，则与这两直线均相距R的O′点就是圆周的圆心。质点在磁场区

域中的轨道就是以O′为圆心、R为半径的圆(图中虚线圆)上的圆弧MN，M点和N

点应在所求圆形磁场区域的边界上。

在通过M、N两点的不同的圆周中，最小的一个是以MN连线为直径

的圆周。所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为：

所求磁场区域如图中实线圆所示。

【例1-2】一质量为、带电量为的粒子以速度从O点沿轴正方向射入磁感强度为的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从处穿过轴，速度方向与轴正向夹角

为30°，如图所示（粒子重力忽略不计）。

试求：（1）圆形磁场区的最小面积；

（2）粒子从O点进入磁场区到达b点所经历的时间；

（3）b点的坐标。

解析：（1）由题可知，粒子不可能直接由Ｏ点经半个圆周偏转到点，

其必在圆周运动不到半圈时离开磁场区域后沿直线运动到点。可知，其离开

磁场时的临界点与Ｏ点都在圆周上，到圆心的距离必相等。如图2，过点逆着速度的方向作虚线，与

轴相交，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于轴上，距O 点距离和到虚线上点垂直距离相等的

点即为圆周运动的圆心，圆的半径

。

由

R v m

Bv 20

0q =，得qB v 0m R =。弦长为：R 3=l

要使圆形磁场区域面积最小，半径应为的一半，即：

qB mv R l 0232321r ===

，

面积

222

22

min

43B q v m r S ππ=

=

（2）粒子运动的圆心角为1200，时间

qB m

T t 3231π==。 （3）距离 ，故点的坐标为（，0）。

点评：此题关键是要找到圆心和粒子射入、射出磁场边界的临界点，注意圆心必在两临界点速度垂线的交点上且圆心到这两临界点的距离相等；还要明确所求最小圆形磁场的直径等于粒子运动轨迹的弦长。

【例1-3】在平面有许多电子（质量为

、电量为），从坐标O 不断以

相同速率沿不同方向射入第一象限，如图所示。现加一个垂直于

平面向、

磁感强度为

的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于轴向x 正方向

运动，求符合该条件磁场的最小面积。

解析：电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供做向心力：R v m Bv 2

00e =，半径eB

mv R 0

=是确定的，

设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图a 所示，因为电子只能向第一象限平面发射，其中圆O1和圆O2为从圆点射出，经第一象限的所有圆中的最低和最高位置的两个圆。圆O2在ｘ轴上方的4

1

个圆弧odb 就是磁场的上边界。其它

各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O 为圆心，以R 为半径的圆弧O1OmO2 。由于要求所有电子均平行于x 轴向右飞出磁场，故由几何知识知电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。可证明，磁场下边界为一段圆弧，只需将这些圆心连