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4种
1.如图：E.F分别是正方形ABCD的边BC、 CD上的点，且∠EAF=45°.求证： EF=DF+BE．
分析：1.题中有哪些已知条件，求什么？ 2.找哪个三角形旋转？
1 2
Q 求线段之和（差）有两种方法 （1）将长线段EF分成两段 （2）把两根短线段BE和DF转移到 同一条直线上，使其的和成为一条线段
证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，到△ABQ 的位置
∵正方形ABCD ∴∠ABC=∠D =∠ABQ=90° ∴∠ABQ+∠ABC=180° ∴点Q、点B、点E在一条直线上 由旋转知△ABQ ≌ △ADF ∴∠1=∠2,AQ=AF,DF=QB ∴∠1+∠BAF=∠2 +∠BAF ∴∠QAF=∠BAD=90° ∵ ∠EAF=45° ∴∠QAE=∠FAE 在△AEQ和△AEF中 AQ=AF Q ∠QAE=∠FAE AE=AE ∴ △AEQ≌ △AEF （SAS）
C
B
D E
P
2 1 O A
L
F
如图（2）
旋转下找对应边相等，对应角相等 并找出隐含条件
课堂总结
• 1.求线段之和（差）有两种方法 • （1）将长线段分成两段 • （2）把两根短线段转移到同一条直线上， 使其的和成为一条线段 • 2.解决简单的，用旋转构全等问题时，要 注意找对应边和对应角以及发现隐含条件
P B
C
在△AQB和△APC中 AQ＝AP ∠QAB＝∠PAC AB＝AC ∴△AQB≌△APC(SAS) ∴BQ＝CP
例1.已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平 面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ， 使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP， ⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；
A Q
1 2
B
D P 2 E
C
B
L O 如图（1） A
1 O F A
L
F
如图（2）
∴△AOD≌△COF （SAS） ∴AD=CF ∴∠FCO=∠DAO ∵∠1=∠2，∠COA=90° ∴∠COA= ∠CPA=90° ∴AD⊥CF
解：AD=CF AD⊥CF 理由如下： 在正方形ABCO和正方形ODEF中 ∵AO=CO，OD=OF， ∠AOC=∠DOF=90° ∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD 即∠AOD=∠COF 在△AOD和△COF中 AO=CO ∠AOD=∠COF OD=OF
P B 图⑴ C
证明： ∵∠QAP＝∠BAC ∴∠QAP－∠BAP ＝∠BAC－∠BAP 即∠QAB＝∠PAC 另由旋转得AQ＝AP 在△AQB和△APC中 AQ＝AP ∠QAB＝∠PAC AB＝AC ∴△AQB≌△APC(SAS) ∴BQ＝CP
1.如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、 CD上一点，且BE＋DF＝EF，则∠EAF等于 多少度?
E
E F
D L O 如图（1） C D P O A A B
L 如图（2）
F
展示你的成果
在数学活动课中，小辉将两个正方形放置在直线L上，如图1，他连结AD、CF， 发现AD=CF． 他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度， CF与AD相交 于点P.如图2，AD与CF有什么关系？说明你的理由.
C E D
由旋转可知△ ADC ≌△ HBC ∴∠2=∠H，AC=HC ∵∠B +∠D=180°, ∴∠ABC+∠CBH=180° ∴A.B.H三点共线 ∴△ACH是等腰三角形 ∵CE⊥AB ∴AE=HE（三线合一） ∴AE=AD+BE ∴ AD=AE-BE
A
1 2
D
E B
C
H
如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等 腰三角形，且∠BDC=120°. 以D为顶点作一个 60°角，使其两边分别交AB于点M，AC于点N，连 接MN. 证明： （1） MN=BM+CN; A （2）求△AMN的周长.
3
H
由旋转知 △ABH≌△ADF ∴BH=DF，∠3=∠H， ∠4=∠2 ∴EH=BE+DF ∵CD//AB ∴∠3=∠5+∠1 ∵ AF平分∠DAE ∴ ∠1=∠2= ∠4 ∴∠4+∠5=∠H ∴∠HAE=∠H（等量代换） ∴AE=EH ∴ AE＝BE＋DF
证明：将△ ADห้องสมุดไป่ตู้绕点C逆 时针旋转，使CD与CB重合
2 1
∴EF=EQ=QB+BE ∵DF=QB ∴ EF=DF+BE
在数学活动课中，小辉将两个正方形放置在直线L上，如图1， 他连结AD、CF，发现AD=CF． 他将正方形ODEF绕O点逆时 针旋转一定的角度，CF与AD相交于点P.如图2，AD与CF有什 么关系？说明你的理由. C
B
独学：学生独立思考问题 对学：学生结成2人一对，交流方法 群学：全组同学起立，交流自己的做法 学生展示：由小组上台展示自己的成果
初中数学教师优质课比赛ppt课件 （共14套，精品资源，打包下 载）.ppt
用旋转构建三角形全等
复习巩固
一般三角形 全等的判定方法共有几种？
分别是？ 1.SSS；2.SAS； 3.ASA； 4.AAS. 直角三角形都能用吗？ 那直角三角形特有的判定方法是？ HL. 全等三角形的性质： 1.全等三角形对应边相等。 2.全等三角形对应角相等。
M N B D C
我 已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点， 的 将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC， 课 连接BQ、CP， 堂 我 ⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP； 做 ⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？ 主Q
A
1
证明： ∵∠QAP＝∠BAC ∴∠QAP＋∠BAP ＝∠BAC＋∠BAP 即∠QAB＝∠PAC 另由旋转得AQ＝AP
2.已知△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE， ∠BAC=∠DAE=90°. （1）当点D在AC上时，如图①，线段BD、CE有怎样的数量关 系和位置关系？直接写出你猜想的结论； 证明：（1）延长BD交CE于F， 在△EAC和△DAB中
作业与拓展
如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、 CD上，且AF平分∠DAE。求 证：AE＝ BE＋DF。
1
5
2
3
哪里有数，哪里就有美。 ——普洛克拉斯
已知：正方形ABCD
AF平分∠DAE 证明：
求 证：AE＝BE＋DF。
将△ADF绕点A顺时 针旋转90°， 使AD与AB重合。
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1.如图：E.F分别是正方形ABCD的边BC、 CD上的点，且∠EAF=45°.求证： EF=DF+BE．
分析：1.题中有哪些已知条件，求什么？ 2.找哪个三角形旋转？
1 2
Q 求线段之和（差）有两种方法 （1）将长线段EF分成两段 （2）把两根短线段BE和DF转移到 同一条直线上，使其的和成为一条线段
证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，到△ABQ 的位置
∵正方形ABCD ∴∠ABC=∠D =∠ABQ=90° ∴∠ABQ+∠ABC=180° ∴点Q、点B、点E在一条直线上 由旋转知△ABQ ≌ △ADF ∴∠1=∠2,AQ=AF,DF=QB ∴∠1+∠BAF=∠2 +∠BAF ∴∠QAF=∠BAD=90° ∵ ∠EAF=45° ∴∠QAE=∠FAE 在△AEQ和△AEF中 AQ=AF Q ∠QAE=∠FAE AE=AE ∴ △AEQ≌ △AEF （SAS）
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D E
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如图（2）
旋转下找对应边相等，对应角相等 并找出隐含条件
课堂总结
• 1.求线段之和（差）有两种方法 • （1）将长线段分成两段 • （2）把两根短线段转移到同一条直线上， 使其的和成为一条线段 • 2.解决简单的，用旋转构全等问题时，要 注意找对应边和对应角以及发现隐含条件
P B
C
在△AQB和△APC中 AQ＝AP ∠QAB＝∠PAC AB＝AC ∴△AQB≌△APC(SAS) ∴BQ＝CP
例1.已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平 面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ， 使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP， ⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；
A Q
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D P 2 E
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L O 如图（1） A
1 O F A
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如图（2）
∴△AOD≌△COF （SAS） ∴AD=CF ∴∠FCO=∠DAO ∵∠1=∠2，∠COA=90° ∴∠COA= ∠CPA=90° ∴AD⊥CF
解：AD=CF AD⊥CF 理由如下： 在正方形ABCO和正方形ODEF中 ∵AO=CO，OD=OF， ∠AOC=∠DOF=90° ∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD 即∠AOD=∠COF 在△AOD和△COF中 AO=CO ∠AOD=∠COF OD=OF
P B 图⑴ C
证明： ∵∠QAP＝∠BAC ∴∠QAP－∠BAP ＝∠BAC－∠BAP 即∠QAB＝∠PAC 另由旋转得AQ＝AP 在△AQB和△APC中 AQ＝AP ∠QAB＝∠PAC AB＝AC ∴△AQB≌△APC(SAS) ∴BQ＝CP
1.如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、 CD上一点，且BE＋DF＝EF，则∠EAF等于 多少度?
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D L O 如图（1） C D P O A A B
L 如图（2）
F
展示你的成果
在数学活动课中，小辉将两个正方形放置在直线L上，如图1，他连结AD、CF， 发现AD=CF． 他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度， CF与AD相交 于点P.如图2，AD与CF有什么关系？说明你的理由.
C E D
由旋转可知△ ADC ≌△ HBC ∴∠2=∠H，AC=HC ∵∠B +∠D=180°, ∴∠ABC+∠CBH=180° ∴A.B.H三点共线 ∴△ACH是等腰三角形 ∵CE⊥AB ∴AE=HE（三线合一） ∴AE=AD+BE ∴ AD=AE-BE
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如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等 腰三角形，且∠BDC=120°. 以D为顶点作一个 60°角，使其两边分别交AB于点M，AC于点N，连 接MN. 证明： （1） MN=BM+CN; A （2）求△AMN的周长.
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由旋转知 △ABH≌△ADF ∴BH=DF，∠3=∠H， ∠4=∠2 ∴EH=BE+DF ∵CD//AB ∴∠3=∠5+∠1 ∵ AF平分∠DAE ∴ ∠1=∠2= ∠4 ∴∠4+∠5=∠H ∴∠HAE=∠H（等量代换） ∴AE=EH ∴ AE＝BE＋DF
证明：将△ ADห้องสมุดไป่ตู้绕点C逆 时针旋转，使CD与CB重合
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∴EF=EQ=QB+BE ∵DF=QB ∴ EF=DF+BE
在数学活动课中，小辉将两个正方形放置在直线L上，如图1， 他连结AD、CF，发现AD=CF． 他将正方形ODEF绕O点逆时 针旋转一定的角度，CF与AD相交于点P.如图2，AD与CF有什 么关系？说明你的理由. C
B
独学：学生独立思考问题 对学：学生结成2人一对，交流方法 群学：全组同学起立，交流自己的做法 学生展示：由小组上台展示自己的成果
初中数学教师优质课比赛ppt课件 （共14套，精品资源，打包下 载）.ppt
用旋转构建三角形全等
复习巩固
一般三角形 全等的判定方法共有几种？
分别是？ 1.SSS；2.SAS； 3.ASA； 4.AAS. 直角三角形都能用吗？ 那直角三角形特有的判定方法是？ HL. 全等三角形的性质： 1.全等三角形对应边相等。 2.全等三角形对应角相等。
M N B D C
我 已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点， 的 将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC， 课 连接BQ、CP， 堂 我 ⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP； 做 ⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？ 主Q
A
1
证明： ∵∠QAP＝∠BAC ∴∠QAP＋∠BAP ＝∠BAC＋∠BAP 即∠QAB＝∠PAC 另由旋转得AQ＝AP
2.已知△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE， ∠BAC=∠DAE=90°. （1）当点D在AC上时，如图①，线段BD、CE有怎样的数量关 系和位置关系？直接写出你猜想的结论； 证明：（1）延长BD交CE于F， 在△EAC和△DAB中
作业与拓展
如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、 CD上，且AF平分∠DAE。求 证：AE＝ BE＋DF。
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哪里有数，哪里就有美。 ——普洛克拉斯
已知：正方形ABCD
AF平分∠DAE 证明：
求 证：AE＝BE＋DF。
将△ADF绕点A顺时 针旋转90°， 使AD与AB重合。
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