2021中考数学复习微专题《解二次函数中三角形面积最值问题》

解二次函数中三角形面积最值问题

一、灵割巧补，间接转化求最值这里的割补法分为两部分，割是指将图形分解成几部分分别求解，补是指将所求图形填上一部分然后用补后的图形面积减去所补的部分面积.两种做法的实质都是间接的求出所求图形的面积.

例1在如图所示的直角坐标系中，有抛物线2424455

y x x =-+.连接AC ，问在直线AC 的下方，是否在抛物线上存在一点N ，使NAC V 的面积有最大值?若存在请求出此值;若不存在请说明理由.

解析设N 点坐标为2424(,4)55

a a a -+，(0,5)a ∈，如图所示过点A 作直线平行于x 轴，过点N 作直线平行于y 轴，与x 轴交于点F ，与AC 相交于点G ，两直线相交于点D .容易求得直线

AC 的方程445y x =-+，得出G 点坐标(4(,4)5a a -+，求出NG 的长为2445a a -+，111222ACN ANG CGN S S S NG OF NG CF NG OC =+=⨯+⨯=⨯V V V 2210a a =-+，故当52a =时三角形面积有最大值252，此时N 点的坐标为5(,3)2

-.点拨本题中将三角形割开求解的方法在应用中是较为常见的，此种方法也可视为是铅垂法，即三角形的面积等于三角形的水平宽与铅垂高的积的一半，本题中就是演示了整个的推理以及求解过程.

二、直线平移，化为切线求最值切线法体现了数学中最为常见的数形结合思想，即通过平移直线，当直线与抛物线只有一个交点时(此时就是相切)存在长度的极值，借此来直接求出点的坐标.此法不用求出面积的解析式就可直接求解，是解题的新思路.

例2如图所示，在平面直角坐标系中，有一抛物线2142

y x x =+-，在第三象限的抛物线上是否存在一动点M ，使ABM V 面积存在最大值?若存在，求出最值;若不存在，说明理由.

解析以AB 作为三角形的底，只要求出高的最大值就可以求出面积的最值.将直线AB 平移，与抛物线存在交点时，两直线的距离就是高的长度.观察图形可知，当直线与抛物线相切时有最大值，此时切点即为M 点.直线AB 方程为4y x =--.设平移后的直线方程为y x a =-+，设直线与抛物线的交点(,)M b b a -+，与抛物线联立整理得242(4)0b b a +-+=，相切就是方程有两个相等实根，也就是0=V .得6b =-.代入求出交点坐标(2,4)M --.这时可利用上例中提到的割补法求出三角形面积.在做题时灵活运用各种方法往往会使解题过程更加简化.因此有AMB MHOB AMH AOB

S S S S =+-V V V 11422444422

=⨯+⨯⨯-⨯⨯=.点拨本题中抓住二次函数根的分布规律，利用切线解题，在创新中又不乏对于基础知识的解答.学生不必再去求三角形面积的解析式，这对于激发学生的创新兴趣有很大的帮助，而本题中体现的割补法又是对第一点中介绍的补充，使其更为完善.

三、三角函数，活学活用求最值对于三角形问题，三角函数的引入可以为求线段长度提供新的解题思路.在直角三角形中只需要知道一边的长度和除直角外任意一个角度就可以表示出其余的边长，这给长度的求解带来极大的便利.

例3如图所示，在平面直角坐标系中有一抛物线2

23y x x =--+，在第二象限内是否存在一点P ，使PBC V 的面积最大?若存在，求出此最大值;不存在请说明理由.

解析题中BC 的长度是确定的，若求PBC V 的面积时以BC 为底，这样就方便很多，

只需要求出高的最值就可以了，此时利用三角函数求长度.设三角形高为PM ，过点P 作PF 垂直于x 轴于点E ，并交BC 于点F .只需要将PM 的长度用三角函数表示出来.设P 点的坐标为2(,23)a a a --+，也很容易求出F 点坐标，再求出PF 的长为23a a --.22sin sin (3)2PM PF PFM PF OCB a a =∠=∠=

--.整理可得23327()228S a =-++等故当32a =-

时，面积有最大值278.点拨题中通过三角函数的引入以及特殊角的三角函数值巧妙地表示出了PM 的长度，进而得出问题答案.通过上面的求解过程可以看出，此种方法的应用对于题中条件的设定是比较苛刻的，学生要仔细审题，灵活运用此方法.