模糊数学试题试卷答案

1.设~A 的隶属函数2

~

2

()()1,x a A x x R σ-=-

∈，其中,0a R σ∈>。

①对任意的[0,1]λ∈，求~

A λ ②1λ=时，求~

A λ

解：①2

~~

2

(){|()}{|1}{|x a A x A x x x a x a λλλσ-=≥=-≥=-≤+

②当1λ=时，~{}A a λ=

2.设论域123{,,}U x x x =在U 定义模糊集~

123

0.90.50.1

A x x x =

++表示“质量好”，~

123

0.10.20.9

B x x x =

++表示“质量差”， ①写出模糊集“质量不好”的表达式

②分析“质量好”与“质量差”是否为相同的模糊集

解：①~123

0.10.50.9c

A x x x =

++ ②很明显~~

c

A B ≠，所以“质量不好”与“质量差”不是相同的模糊集。 3.设~

A 是一个模糊阵，证明~()c

c

A A =

证明：设~

()ij m n A a ⨯=，则~(1)c ij m n A a ⨯=-，同理~()[1(1)]()c

c ij m n ij m n A a a ⨯⨯=--=

4.设~

~

10.70.40.70,0.40.610.80.500.3A B ⎛⎫

⎛⎫ ⎪

== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪

⎝⎭

解：①~~

0.40.610.7A B ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

②~~11 00.41101 0.4<0.6 11()00 0.6<0.71100 0.7<110A B λλλλλ⎧⎫

⎛⎫≤≤⎪⎪ ⎪

⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎪⎪≤ ⎪⎪⎪

⎝⎭=⎨⎬

⎛⎫⎪⎪

≤ ⎪⎪⎪⎝⎭

⎪⎪⎪⎪

⎛⎫≤⎪⎪ ⎪

⎝⎭⎩⎭

5.设~1:R X Y ⨯上模糊关系，其隶属函数2

~

()1(,)x y R x y e --=，~

2:R Y Z ⨯上的模糊关系，其隶

属函数2

~

()2(,)y z R x y e

--=，求~~

12R R

解：2

2

~

~~

~

()()1212(,)[(,)(,)][]x y y z y Y

y Y

R R x z R x y R y z e e ----∈∈=∨∧=∨∧，对于固定的,x z ，可以

分别画出2

()x y e

--，2

()y z e

--的图像，交点即为所求的值。令22

()(),y z x y e e ----=解出*2

x z

y +=

，带入2

()x y e

--或2

()y z e

--，即可得到~~

12(,)R R x z =

2

()2

x z e

--

6.已知~

10.20.50.210.80.50.81R ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，

①证明：~

R 不是等价的模糊关系

②用“二次方程”将~

R 改造成等价的模糊关系

解：①首先~

I R ≤，说明~

R 满足自反性；其次~

~

()T

R R =，说明~

R 满足对称性；

但是~

~2

10.50.5()0.510.80.50.81R R ⎛⎫ ⎪=> ⎪ ⎪⎝⎭

，不满足传递性。

②在第①问中，我们已经计算了~

2

()R ，现在需要计算~

4

()R ，看~

4

()R 是否等于~

2

()R ，等于就终止计算得到等价的模糊关系，要是不相等就一次继续计算~8

()R ，~16

(),...R ，直到

1

~

~

2

2()()n n

R R -=。经计算~

~4210.50.5()0.510.8()0.50.81R R ⎛⎫

⎪== ⎪ ⎪⎝⎭

，故~

2()R 即为所求。

8. 已知~

~12123

0.80.30.20.60.1,A B x x x x x =++=++，计算0(,)A B σ，1(,)A B σ 解：01

2

3

112

(,)[(1)]/2[(0.2,0.3,0)(0.2,0.4,0.9)]/20.20.350.45

(0.5,0.45,0.05)(,)()(1)(0.2,0.3,0)(0.2,0.4,0.9)

0.20.3

(0.2,0.3,0)A B A B A

B x x x A B A B A

B x x σσ=+-=+==++=∧-=∧==

+

9.证明：定义~~

~~

()()(,)()()x

x

A x

B x dx

A B A x B x dx

σ∧=

∨⎰⎰

①~~

(,)[0,1]A B σ∈ ②~

~

~

~

(,)(,)A B B A σσ= ③~

~

~

~

(,)1A B A B σ=⇔= ④~

~

~

~

(,)0A B A B σφ=⇔⋂=

⑤~

~

~

~

~

~

~

~

~

(,)(,)(,)A B C A B B C A C σσσ⊂⊂⇒∧≥

证明：~~~~

~~~~

~~

~

~

~~

0()()()()1

0()()()()()()0(,)1

()()x

x

x

x

A x

B x A x B x A x B x dx A x B x dx A x B x dx

A B A x B x dx

σ≤∧≤∨≤∴≤

∧≤∨∧∴≤=

≤∨⎰⎰⎰⎰①

②很显然

~

~

~

~

~~~~~~~~~~

~~~~~~

()()()()0

(,)1()()()()[()()()()]0

()()()()()()x

x

x

A x

B x A x B x A B A x B x dx A x B x dx A x B x A x B x dx A x B x A x B x A x B x σ∨-∧≥=⇔∧=∨⇔∨-∧=−−−−−−−−→∨=∧⇔=←−−−−−−−−

⎰⎰⎰③~

~

~~~~

~~~~

()()0

(,)0()()0()()0A x B x x

A B A x B x dx A x B x A B σφ∧≥−−−−−→=⇔∧=∧=⇔⋂=←−−−−−

⎰④