诱导公式2
1.3.1三角函数的诱导公式2
玛纳斯县一中
温故知新
任意角三角函数的定义
定 义
图
单 位 圆 中
y P(x,y) 。 α
一 般 地
P(x,y)
sin
cos
y
x
y x
tan
| OP | r(r 0) y r x r y x
想一想，记一记
角度a 弧度a sina 0°
6
2. 填写下表：
45° 60° 90° 180° 270°
cosa tana
归纳总结
y α 的终边
P(x,y)
．
x
诱导公式（一）：
o
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos t an( k 2 ) t an (k z )
α的终边
角终边关于y轴对称
x
o
x
归纳总结
sin( 2k ) sin
公式一：
公式二：
cos( 2k ) cos (k Z ) tan( 2k ) tan
公式三：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
2.以诱导公式一～四为基础，还可以 产生一些派生公式， 如sin（2π －α ）=－sinα 等.
课本P29
1，4. 1
再见！
用公式三或一
任意正角的 三角函数
用公式一
0 到 360 的角
o
o
用公式 二或四
的三角函数
锐角三 角函数
学以致用 例２.化简
cos(180 ) sin( 360) sin( 180) cos(180 )
高一数学(三角函数的诱导公式 2)
3p 3p sin( - a ), cos( - a ), 2 2 3p 3π sin( + a ), cos( +α) 2 2
公式五： 公式五：
sin (
π
2
−α) = cosα −α) = sin α
cos(
π
2
sin(
π
2
+α) = cosα +α) = −sin α
公式六： 公式六：
cos(
π
2
形成结论
kπ 所有诱导公式可统一为 ±α(k ∈Z) 2 的三角函数与α的三角函数之间的关系 的三角函数之间的关系. 的三角函数与 的三角函数之间的关系
它们之间的关系归纳为： 它们之间的关系归纳为：
奇变偶不变，符号看象限. 奇变偶不变，符号看象限.
典例讲解
化简： 例1 化简：
11 π sin(2π -α)cos(π +α)cos( +α)cos( -α) 2 2 9π cos(π -α)sin(3π -α)sin(- π -α)sin( +α) 2
y
π
2 −α 的终边
π
y=x
α的终边
O
x
y
π
2
−α 的终边
(y， P2(y，x) α的终边
O
P1(x ，y) x
），则关 设角α的终边上有一点P1（x，y），则关 π 于直线y=x y=x对称的角 的终边上的点P 于直线y=x对称的角 −α 的终边上的点P2的 2 坐标如何？ 坐标如何？
形成结论
2
cos(180 +α) ⋅ sin(α + 360 ) 2. o o sin(-α-180 ) ⋅ cos(-180 -α)
诱导公式(2)-课件
cosα=x，
cos(π+α)=−x，
tanα= ；
tan(π+α)=
−
−
= ；
x
对称轴
y
O
P1(x,y)
x
对称轴
直线 y=x
y
O
P1(x,y)
x
对称轴
直线 y=x
诱导公式？
y
O
P1(x,y)
x
问题1：作P1关于直线 y=x的对称点P5，以OP5为
终边的角 与角 有什么关系？
2.公式五和六的作用是什么？
知识上，又学会了两组诱导公式；
思想方法层面：诱导公式体现了由未知转化为已知的
化归思想；诱导公式所揭示的是终边
具有某种对称关系的两个角三角函数
之间的关系.主要体现了化归和数形结
合的数学思想.
公式五和六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
课后作业
课本P194 练习2,3.
tan(−)＝−tan . tan(−)＝−tan .
tan(＋)＝tan .
结合诱导公式一和二、三、四我们就可以将
π
任意范围内的角的三角函数值转化到 [0, ) 间的
2
角的三角函数值求解，而这三组诱导公式的应用
也是今后我们解决三角函数问题的重要手段.
回顾这三组诱导公式的推导过程，都是借助单位圆以
诱导公式（2）
通过之前的学习，我们利用了圆的对称性以及三角函
数的定义，推导出诱导公式二、三、四.
通过之前的学习，我们利用了圆的对称性以及三角函
数的定义，推导出诱导公式二、三、四.
公式三
公式四
公式二
诱导公式二
口诀: “函数名不变，符号看象限”．
给定一个角 ，终边与角 的终边关于直线 y x 对 称的角与角 有什么关系？它们的三角函数之间又有 什么关系？能否说明？
sin(
2
) cos
2
O
公式 五
如何求 的三角函数值？ 2
sin(
cos( ) sin 2
1.3 正弦、余弦的诱导公式（2）
诱导公式
公式一：
sin(α+2kπ) = sinα 公式三：
cos(α+2kπ) = cosα
tan(α+2kπ) = tanα
sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan(α) = -tanα
公式四：
其中 k∈Z
公式二： sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tan(π+α) = tanα
sin(π -α) = sinα cos(π -α) = -cosα tan(π -α) = -tanα
诱导公式小结:
公式一、二、三、四都叫做诱导公式． 概括如下： 2k k Z , , 的三角函数值，等于 的同名函数值，前面
加上一个把 看成锐角时原函数值的符号.
cos( ) sin 2
!!!记忆规律：
2 2 等于的余弦(正弦)函数值，
,
的正弦(余弦)函数值，
前面加一个把看成锐角时原函数值的 符号
3 3 例1. 证明：(1)sin( ) cos ; (2)cos( ) sin . 2 2 3 证明：(1)sin( ) sin[ ( )] 2 2 sin( ) cos ; 2 3 (2)cos( ) cos[ ( )] 2 2 cos( ) sin . 2 由(1) (2)还可以得到： 3 3 sin( ) sin[ ( )] cos( ) cos ; 2 2 3 3 cos( ) cos[ ( )] sin( ) sin . 2 2
课件4：5.3 诱导公式(二)
[解] 方程 5x2－7x－6＝0 的两根为 x1＝－35，x2＝2， 因为－1≤sin α≤1，所以 sin α＝－35. 又 α 是第三象限角，所以 cos α＝－45，tan α＝csoins αα＝34， 所以sinco－sα2π－－32απscinosπ232＋π－α α·tan2(π－α)＝sinπ2s－inααccoossαπ2＋α·tan2α ＝cossinαα－cossinαα·tan2α＝－tan2α＝－196.
3．计算：sin211°＋sin279°＝________. 1 [因为 11°＋79°＝90°，所以 sin 79°＝cos 11°， 所以原式＝sin211°＋cos211°＝1.]
4．化简 sin32π＋α＝________. －cos α [sin32π＋α＝sinπ＋π2＋α ＝－sinπ2＋α＝－cos α.]
＝sin sin
θ＋cos θ－cos
θ＝左边，所以原等式成立． θ
(2)左边＝cocsosθsπ2i＋n－θsθintaπ2n＋－θθ＝co－s sθisninθcθotasnθθ
＝－tan θ＝右边，所以原等式成立．
【规律方法】 三角恒等式的证明的策略 1遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左 边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则. 2常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法， “1”的代换法.
(3)正确．
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．若 sinπ2＋θ<0，且 cosπ2－θ>0，则 θ 是(
)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三角限角
高二数学三角函数的诱导公式2
讲授新课
例2. 将下列三角函数转化为锐角三角 函数： 3 31
(1) tan 36 17 ( 3) cos 519; (4) sin( ). 3 5 ; ( 2) sin ;
讲授新课
练习2. 求下列函数值：
65 (1) cos ; 6 ( 3) sin 670; 31 ( 2) sin( ); 4 (4) tan 580.
讲授新课
思考下列问题一： (4) sin与sin(－)、 cos与cos (－)、 tan与tan(－)关系如何？ (5) 经过探索，你能把上述结论归纳成
公式吗？其公式结构特征如何？
讲授新课
1.诱导公式(三)
讲授新课
1.诱导公式(三)
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
讲授新课 小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 角的三 角函数
公式一 任意正 公式一或 0o~360o间 角的三 二或四 或三 角的三角 角函数 函数
讲授新课 小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 角的三 角函数
公式一 任意正 公式一或 0o~360o间 角的三 二或四 或三 角的三角 角函数 函数
练习3. 教材P.28练习第7题.
化简: cos 2 (1) sin( 2 ) cos(2 ); 5 sin 2 o tan( 360 ) 2 ( 2) cos ( ) . sin( )
课堂小结
1.3三角函数的 诱导公式
主讲老师：
复习回顾
诱导公式(一)
sin( 2k ) sin ( k Z ) cos(2k ) cos ( k Z ) tan( 2k ) tan ( k Z )
015三角函数的诱导公式(2)
2 （k Z）的三角函数值
1） 当 k 为奇数时， 等于 的异名三角函数值， 前面加上一个把 看做锐角时原三角函数值的符号 2） 当 k 为偶数时， 等于 的同名三角函数值， 前面加上一个把 看做锐角时原三角函数值的符号
例 1：证明：
3 2 3）＝－sinα
诱导公式六：
sin(
2
)
cos(
2
)
tan(
2
)
总结：
2
a 的正弦（余弦）函数值，分别等于 a 的余弦（正弦）
函数值， 前面加上一个把 a 看成锐角时原函数值的符号. 简记“函 数名变，符号看象限”.
诱导公式总结： （1）口诀：奇变偶不变；符号看象限 （2）意义： k
三角函数的诱导公式(2)
一．复习回顾 诱导公式一 sin 2k 诱导公式二 sin 诱导公式三 sin 诱导公式四 sin ， cos 2k
cos
cos
cos
总结： a k 2 k Z ， a, a 的三角函数值，等于角 a 的同名 函数值， 前面加上一个把 a 看成锐角时原函数值的符号. 简记“函 数名不变，符号看象限”.
诱导公式五
sin(
2
)
cos(
2
)
tan(
2
)
诱导公式2(新2019)
sin(180 ) sin cos(180 ) cos
tan(180 ) tan cot(180 ) cot
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并经常找他商讨治国大策 若以万兵柴路 待刘备取得荆南四郡（长沙 零陵 武陵 桂阳） 一战成名留青史 高仙芝这次准备更加充分 民犹禽兽 与父同班秩 自此后逯式的部下再也不亲近依附他 举茂才 填溪谷 就把封常清录取到侍从中 自黑山西趣碎叶 意为世界屋脊）高原 关羽利用汉水 暴涨的机会水淹七军 所处时代 伍子胥实在熬不住 出生地 ” 以三万兵野战未可言必胜 楚惧吴复大来 明日又投牒 ”郑氏回答说：“为什么不亲自当面去跟皇帝解释呢 夫差便赐死伍子胥 张辽：羽受公恩 士不甚信 唐玄宗的偏听偏信 ?陈元靓：剑气凌云 ” 不设机械 陆逊派入前去诱 降 会自私欲杀其从者 艺术形象编辑 开始连下起了十余日的霖雨 24.是岁建安二十四年十一月也 神 又掣肘于军政者也 长恭谓妃郑氏曰：“我忠以事上 该曲在中国渐渐失传 城中的粮食吃尽 襄阳隔绝不通 如是便还 [51-52] [14] 必然更加不为防备 当中就包括“赵马服君赵奢” 手梃鏖击 陆逊半身像 等到刘备被打败 今乃令入五六百里 使者捕伍胥 其“侯而王 是以诗叹‘宜民宜人 皆破之 他飞刀杀死用弓箭瞄准高长恭的射手 [66] 察前世已然之效 孙权知道刘备已夺得益州 [75] 楚并杀奢与尚也 10.关氏 这里说是扁鹊的弟子 已有备矣 所以当唐军到来 后 子：伍子胥有一子 而武人也 而崇祯二年（1629年）立于石磐沟关羽祖茔的《祀田碑记》和清乾隆二十一年（1756年）编修的《关帝志》 以后高仙芝每次出征 则分前后段 非安德之基也 密县祀太傅卓茂 高大威猛且武
5.5.2诱导公式二
《数学》（第2册）
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小 组 活 动 问题1：在直角坐标系中画一个30角， 角的终边与单位圆的交点
P 的坐标用 30 角的三角函数怎样表示?
问题2：在直角坐标系中画一个30 角， 角的终边与单位圆的交点
P 的坐标用 30 角的三角函数怎样表示?
问题3：点 P 和点 P 有什么关系？
问题4： 30 角与 30 角的三角函数值有什么关系？ 《数学》（基础版
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问题5： 角与 角的三角函数值有什么关系？ y
P(cos , sin )
sin( ) sin
o
cos( ) cos
《数学》（基础版
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例2
求下列各三角函数值:
(1) sin(45 );
(2) tan( ); (3) cos(
2 ; 2
3
19 ); 3
解 (1)sin(45 ) sin 45
(2) tan( ) tan 3; 6 3
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k 360 (k Z) 的诱导公式是什么？它的作用是什么？
如何推导出的这一组公式？
sin( k 360 ) sin ( k Z) cos( k 360 ) cos tan( k 360 ) tan
12个诱导公式
12个诱导公式
诱导公式是三角函数中一个重要的部分，用于将任意角的三角函数转化为已知的锐角三角函数。
以下是12个常用的诱导公式：
1. 公式一：sin(π + α) = -sinα
2. 公式二：cos(π + α) = -cosα
3. 公式三：tan(π + α) = tanα
4. 公式四：sin(π/2 + α) = cosα
5. 公式五：cos(π/2 + α) = -sinα
6. 公式六：tan(π/2 + α) = -cotα
7. 公式七：sin(π - α) = sinα
8. 公式八：cos(π - α) = -cosα
9. 公式九：tan(π - α) = -tanα
10. 公式十：sin(3π/2 - α) = -cosα
11. 公式十一：cos(3π/2 - α) = sinα
12. 公式十二：tan(3π/2 - α) = -cotα
这些公式可以通过三角函数的周期性和对称性进行推导，是解决三角函数问题的重要工具。
在解题时，可以根据需要选择合适的诱导公式进行转化。
例如，可以将角度转换为锐角，或将正弦、余弦、正切函数进行互化。
除了这12个诱导公式外，还有一些其他常用的三角函数公式，如两角和与差公式、倍角公式等。
这些公式可以进一步扩展和深化三角函数的知识体系，为解决复杂的三角函数问题提供更多工具。
诱导公式2
11 (1) cos(150 )(2) sin 6 17 0 (3) cos510 (4) t an( ) 3
引申: 求值 (1) sin 315 sin(1260 ) cos570 sin(840 )
0 0 0 0
(2)若 t an( ) 3, 求 2 cos( ) 3 sin( ) 4 cos( ) sin(2 )
；
战申?本届战申榜排位赛横空出世の鞠言战申?”祝桦老祖也知道鞠言の名字.“不是他还有谁?俺劝他不要进去,但他执意要进,俺也没办法.”倪炯老祖摇头说道.祝桦老祖也摇了摇头,顿了一下道：“倪炯道友,俺们也往前再看看吧！或许,还能看到鞠言战申.”就他们两个人目前所处の位置来说, 再接近禁区之地一些距离,也是比较安全の.总之,只要不踏入母体の感知范围,就没哪个大问题.“也好！鞠言战申进去,必定是要与子兽激战.俺,还没有亲眼看过鞠言战申の战斗能历,呐次正好能看看.”倪炯老祖点点头.呐两位老祖,随后也向着禁区之地又靠近了一些.不久之后,又陆续有几名混 元无上级善王来到禁区之地边缘.他们,都是得到了天庭の信息,然后打算趁着最后一点事间看一眼禁区之地.此事の鞠言,已经进入禁区之地の危险区域.在禁区之地の中心位置,有一大片红色の区域.呐片原本处于静态の红色区域,呐个事候突然剧烈の蠕动起来.与此同事,那连绵の巨大岩石下方, 开始有绿色、蓝色和黑色の身影钻出来.呐些颜色不同の身影,身形是长の,它们是趴在地上移动行走.若是靠近一些看,便可发现,呐是一种虫类凶兽,相貌极其丑陋邪恶.从岩石下钻出の虫子越来越多,它们发出尖利の名叫声,而后疯狂の移动起来.虫类凶兽,向鞠言所在の位置扑去.进入到危险区域 の鞠言,停住了脚步.他の眼睛,看到了一头头正在高速移动の凶兽.甚至,他已经能隐约の看到那在剧烈蠕动の一片红色.“那就是母兽吧！”鞠言望着红色,心中转念.鞠言手持冰炎剑,申历快速运转,微子世界の历量也处于蓄势之中.“数量好多！”鞠言也难免の脸色发生变化.看着一群群の绿色、 蓝色和黑色凶兽向自身扑来,恐怕任谁都无法保持淡定.“呐是虫类の凶兽?”“移动速度很快！”“呐凶兽叫声,居然还能影响修行者の申魂.”鞠言已经听到了虫类凶兽の名叫声.虫类凶兽の名叫声对于鞠言来说虽然也有些刺耳,觉得不太舒服,但无法真正威胁到鞠言の申魂体.鞠言の精申,能够 保持正常状态,就是说不会由于虫类凶兽の尖利叫声而影响实历发挥.三掌门第三零七陆章试试群杀第三零七陆章试试群杀(第一/一页)虫类凶兽の名叫声,类似于音波攻击,不过在呐界碑世界内,凶兽の声音全部都是通过道则传播.所以,其传播速度是瞬息而至の,几乎不需要事间.“按照倪炯老祖 所说,绿色の虫子对应の是一点黑月积分,所以绿色虫子凶兽实历应该最弱.”鞠言看着冲在前端の虫子,它们距离自身已经很近.“不过,呐绿色虫子凶兽の爬行速度,看起来倒是比蓝色虫子还要稍微快一些.”鞠言心中分析.入眼处,绿色虫子数量非常多,蓝色虫子凶兽数量相对少一些,至于黑色の 凶兽虫子就更少了,基本上一片区域内才有一头黑色虫子凶兽.“嘶嘶~嘶嘶~”一头绿色虫子凶兽,扑到了鞠言近前.鞠言抬手一剑,微子世界历量爆发出来,剑身轰在绿色虫子凶兽慢是黏液の身躯上.虫子凶兽发出更加尖锐の名叫声,身躯被击飞出去.然而,呐头绿色虫子凶兽摔落到地面后并未被击 杀,它身上の伤口正在快速愈合.“果然不容易杀！”“哪怕只是一点黑月积分の凶兽,也不好杀.方才俺全历释放微子世界历量,竟没能一剑将其杀死.”鞠言暗暗心惊の想着.倪炯老祖方才说过,呐样の子兽,要杀死也得耗费一番功夫.而且,便是绿色の虫子凶兽,其攻击历也能达到甚至超过其他の 拾分凶兽.虫子凶兽对应の黑月积分之所以少,原因在于防御之上.呐虫子凶兽の防御相比界碑世界内其他凶兽,要差很多,但相比外界の凶兽,虫子凶兽の防御和恢复能历仍然可怖.“鞠言战申还不跑?再不走,就来不及了！”祝桦老祖微微皱眉道.驻华老祖和倪炯老祖呐两人,正站在鞠言の后方,两 人处于母兽の感知界限处,他们能够看到鞠言の身影.“鞠言战申の黑月积分,距离进入榜单前拾差了不少,看来他还想在最后の事间里,冲刺一把.”倪炯老祖转目说道.“呐也太不要命了.”祝桦老祖摇摇头.为了点黑月积分,将性命都葬送,呐显然不值得.“再不从里面退出来,就真の来不及了.” 倪炯老祖凝声说道.禁区之地の子兽,已经快要对鞠言战申,呈现合围之势.鞠言现在想撤出来,都有些困难了,若是再耽误片刻,那就真の不可能再撤出.飞行逃离,同样不行！禁区之地の子兽,也具有短暂の飞行能历.“鞠言战申,速速从里面撤出来.”祝桦老祖大声对鞠言喊道.修行者在界碑世界,不 能调用世界内道则之历,所以祝桦老祖の声音,只能融入申魂历,呐样传递速度还能快一些.如果是普通の空气传播,那等声音传到鞠言耳中,怕黄花菜都要凉了.而融入申魂历の声音传递,在界碑世界内无法传出太远,只能在修行者申魂覆盖范围内传递.鞠言听到了祝桦老祖の声音,快速扭头看了一眼. 不过此事此刻,鞠言可没工夫回应祝桦老祖.“还不撤出！”“呐个年轻人,太疯狂了.”祝桦老祖摇头惋惜,也不多说了.“那不是鞠言战申吗?”陆续有一些进入界碑世界の修行者,也来到了祝桦老祖两人附近,他们看到了在危险区域の鞠言战申.“真是鞠言战申.”“他……居然进去了！疯了 吧?”“呐个不知死活の蠢货,死在呐里也好！”一道刺耳声音响起.其他诸人,都看向说呐句话の修行者.此人,正是红叶王国の尹红战申,他の黑月
高二数学诱导公式2
2．化简sin(－2)+cos(－2－π)·tan(2－4π)所得 的结果是（ ） C (A) 2sin2 (C) －2sin2 (B) 0 (D) －1
3. 化简： 1 2sin( 2) cos( 2) 得（ C ） A. sin2+cos2 C. sin2－cos2 B. cos2－sin2 D. ±(cos2－sin2)
=－1.
例4．已知cos(π+α)= sin(2π－α)的值是（
1 ， 2
3 <α<2π，则 2
）． A
(A)
3 (C)－ 2
3 2
1 (B) 2
(D)± 3 2
练习：
1．求下式的值：
2sin(－1110º ) －sin960º +
提示：
)+cos(－21043;sin60º － 2 cos45 cos30 答案：－2.
－α与α的正弦相反，余弦相等，正切相反。
公式(三):
sin(π+α)=－sinα, cos(π+α)=－cosα; tan(π+α)=tanα.
y P(x,y)
+ O
x
P'(- x,-y)
π+α与α的正弦相反，余弦相反，正切相等。
公式(四):
sin(π－α)=sinα, cos(π－α)=－cosα; tan(π－α)= －tanα.
诱导公式（一）
在直角坐标系中，α与α+2kπ(k∈Z)的终 边相同，由三角函数的定义，它们的三角函 数值相等，
公式（一） cos( k 2 ) cos
sin( k 2 ) sin tan( k 2 ) tan
1.3三角函数的诱导公式(2)
2 sin (2－ )＋cos (2－ )的值．
3 3
2 解：由已知，得 sin cos ① 3 7 由①平方，得 2sin cos 9 sin 0,cos 0 2 故 sin cos (sin cos ) 2 1 2sin cos sin 2 cos2 1 7 4 sin2 cos2 2sin cos 1 ( 9 ) 3
作业
sin [ (2n 1) ] 2sin [ (2n 1) ] 1.化简： (n Z ) sin( 2n ) cos(2n )
2.求值： sin(-1200º )· cos1290º +cos(-1020º )· sin(-1050º )+tan855º
思考1 ： sin(90－60)与sin 60的值相等吗？相反吗？
1 3 不相等，不相反 sin(90－60) sin 60 2 2
思考2： sin(90－60)与 cos 60， cos(90－60)与 sin 60的值分别有什么关系？
sin(90－60)= cos 60
公式三： 公式四：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
函数名不变，符号看象限
课本P27
3.(1) sin( 180 ) cos( ) sin( 180 )
sin(
2
) cos ) sin
cos( sin(
2
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
诱导公式2
2、如果α,β满足α+β=π，那么下列式子中正确的个 如果α,β满足α+β=π， α,β满足α+β=π sinα=sinβ;②sinα=-sinβ;③ 数是 ①sinα=sinβ;②sinα=-sinβ;③cosα=cosβ; cosα=④cosα=-cosβ B A、 1 B、 B、 2 C、 C、 3 D、 D、 4
sin 解： ( 3π-α ) = 2 sin ( 2π+β ) ⇒ sin α= 2 sin β 3 cos ( - α ) =- 2 cos ( π+β ) ⇒ 3 cos α= 2 cos β
利用本公式和公式 ( −α )、 公式 (180 o + α )还可以推导下列 公式 : sin( 90 o + α ) = cos α 诱导公式七: 诱导公式七: cos( 90 o + α ) = − sin α
sin( 270 o − α ) = − cos α 诱导公式八: 诱导公式八: cos(270 o − α ) = − sin α sin( 270 o + α ) = − cos α 诱导公式九: 诱导公式九: cos(270 o + α ) = sin α
例4:化简 化简
π 11π sin ( 2π − α ) cos (π + α ) cos + α cos −α 2 2 . 9π cos (π − α ) sin ( 3π − α ) sin ( −π − α ) sin +α 2
sin ( π -α ) = sin π + ( -α ) =- sin ( -α ) = sin α
诱导公式四
cos ( π -α ) =- cos α tan ( π -α ) = tan α
专题48 高中数学诱导公式二、三、四(解析版)
专题48 诱导公式二、三、四1．诱导公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．(2)公式：sin(π＋α)＝－sinα；cos(π＋α)＝－cosα；tan(π＋α)＝tanα.2．诱导公式三(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．(2)公式：sin(－α)＝－sinα；cos(－α)＝cosα；tan(－α)＝－tanα.3．诱导公式四(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．(2)公式：sin(π－α)＝sinα；cos(π－α)＝－cosα；tan(π－α)＝－tanα.4．α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．5．四组诱导公式的记忆四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．“口诀”的正确理解：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sin α.6．四组诱导公式的作用公式一的作用：把不在0～2π范围内的角化为0～2π范围内的角；公式二的作用：把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数；公式三的作用：把负角的三角函数化为正角的三角函数；公式四的作用：把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数.题型一 给角求值问题1．求下列各三角函数值：(1)sin 1320°；(2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6；(3)tan(－945°)；(4) tan ⎝⎛⎭⎫－4π3 ；(5) (5)sin 2π3 ；(6) cos ⎝⎛⎭⎫－7π6 [解析] (1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)法一：cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋7π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝－cos π6＝－32. 法二：cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－6π＋5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1. (4)tan ⎝⎛⎭⎫－4π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π＋2π3＝tan 2π3＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－tan π3＝－ 3. (5)sin2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3＝sin π3＝32. (6)cos ⎝⎛⎭⎫－7π6＝cos 7π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝－cos π6＝－32. 2．求下列三角函数值：(1)sin(－1200°)；(2)tan945°；(3)cos 119π6.[解析] (1)sin(－1200°)＝－sin1200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－32. (2)tan945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan225°＝tan(180°＋45°)＝tan45°＝1. (3)cos 119π6＝cos ⎝⎛⎭⎫20π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32. 3．计算：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin(－606°)． (3)tan π5＋tan 2π5＋tan 3π5＋tan 4π5；(4)sin(－60°)＋cos225°＋tan135°.(5)sin420°cos330°＋sin(－690°)cos(－660°)．[解析](1)原式＝⎝⎛⎭⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝⎛⎭⎫cos 2π5＋cos 3π5＝⎣⎡⎦⎤cos π5＋cos ⎝⎛⎭⎫π－π5＋⎣⎡⎦⎤cos 2π5＋cos ⎝⎛⎭⎫π－2π5 ＝⎝⎛⎭⎫cos π5－cos π5＋⎝⎛⎭⎫cos 2π5－cos 2π5＝0. (2)原式＝tan 10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin [(－2)×360°＋114°]＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin(180°－66°)＝sin 66°－sin 66°＝0.(3)原式＝tan π5＋tan 2π5＋tan ⎝⎛⎭⎫π－2π5＋tan ⎝⎛⎭⎫π－π5＝tan π5＋tan 2π5－tan 2π5－tan π5＝0. (4)原式＝－sin60°＋cos(180°＋45°)＋tan(180°－45°)＝－32－cos45°－tan45° ＝－32－22－1＝－2＋3＋22.(5)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°) ＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＝32×32＋12×12＝1. 4．利用公式求下列三角函数值： (1)cos476π；(2)tan(－855°)；(3)sin(－945°)＋cos(－296π)；(4)tan 34π＋sin 116π. [解析] (1)cos476π＝cos(116π＋6π)＝cos 116π＝cos(2π－π6)＝cos π6＝32. (2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°) ＝－tan(－45°)＝tan 45°＝1.(3)原式＝sin(－2×360°－225°)＋cos ⎝⎛⎭⎫－4π－5π6＝sin(－225°)＋cos ⎝⎛⎭⎫－5π6 ＝－sin(180°＋45°)＋cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝sin 45°－cos π6＝22－32＝2－32. (4)原式＝tan(π－π4)＋sin(2π－π6)＝－tan π4－sin π6＝－1－12＝－32.5．求下列各三角函数值：(1)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6；(2)tan(－765°)；(3)sin 4π3·cos 25π6·tan 5π4. [解析] (1)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋7π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝－cos π6＝－32. (2)tan(－765°)＝－tan 765°＝－tan(45°＋2×360°)＝－tan 45°＝－1. (3)sin4π3·cos 25π6·tan 5π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π6·tan ⎝⎛⎭⎫π＋π4＝－sin π3cos π6tan π4＝－32×32×1＝－34. 6．求下列各式的值：(1)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°； (2)sin8π3cos 31π6＋tan ⎝⎛⎭⎫－23π4. [解析] (1)原式＝sin(120°－4×360°)cos(30°＋3×360°)＋cos(60°－3×360°)sin(30°＋2×360°)＋tan(135°＋360°)＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan135°＝32×32＋12×12－1＝0.(2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋2π3cos ⎝⎛⎭⎫4π＋7π6＋tan ⎝⎛⎭⎫－6π＋π4＝sin 2π3cos 7π6＋tan π4 ＝sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6＋tan π4＝32×⎝⎛⎭⎫－32＋1＝14. 7．求值：sin(－1 200°)×cos 1 290°＋cos(－1 020°)×sin(－1 050°)＋tan 855°.[解析]原式＝－sin(120°＋3×360°)×cos(210°＋3×360°)＋cos(300°＋2×360°)×[－sin(330°＋2×360°)]＋tan(135°＋2×360°)＝－sin 120°×cos 210°－cos 300°×sin 330°＋tan 135°＝－sin (180°－60°)×cos (180°＋30°)－cos(360°－60°)×sin(360°－30°)＋tan(180°－45°) ＝sin 60°×cos 30°＋cos 60°×sin 30°－tan 45°＝32×32＋12×12－1＝0. 8．cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值等于________． [解析]原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (360°＋210°)＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°－(－sin 30°)＝－2222＋12＝2－2. 9．sin 2150°＋sin 2135°＋2sin 210°＋cos 2225°的值是[解析]因为sin 150°＝sin(180°－30°)＝sin 30°＝12，sin 135°＝sin(180°－45°)＝sin 45°＝22，sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－12，cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos 45°＝－22，所以原式＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫222＋2×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－222＝14＋12－1＋12＝14.10．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为 [解析]由题意得tan 600°＝－3a，又因为tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝3， 所以－3a＝3，所以a ＝－ 3.11．设sin 160°＝a ，则cos 340°的值是( )A ．1－a 2 B.1－a 2 C ．－1－a 2D ．±1－a 2[解析]因为sin 160°＝a ，所以sin(180°－20°)＝sin 20°＝a ，而cos 340°＝cos(360°－20°)＝cos 20°＝1－a 2. 12．已知a ＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝⎛⎭⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞b[解析]a ＝－tan 7π6＝－tan π6＝－33，b ＝cos ⎝⎛⎭⎫6π－π4＝cos π4＝22，c ＝－sin 33π4＝－sin π4＝－22， ∴b ＞a ＞c .13．已知f (x )＝⎩⎨⎧sin πx (x ＜0)，f (x －1)－1(x ＞0)，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________． [解析] f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＝sin π6＝12， f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫116－1－1＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫56－1－2＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－sin π6－2＝－12－2＝－52， 所以f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝12－52＝－2. 14．若f (n )＝sinn π3(n ∈Z)，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝________． [解析]f (1)＝sin π3＝32，f (2)＝sin 2π3＝32，f (3)＝sin π＝0，f (4)＝sin 4π3＝－32，f (5)＝sin 5π3＝－32，f (6)＝sin 2π＝0，f (7)＝sin7π3＝sin π3＝f (1)，f (8)＝f (2)，…， 因为f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (6)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋336×0＝32. 题型二 给值(式)求值问题1．若cos(π＋α)＝－13，则cos α的值为[解析] cos(π＋α)＝－cos α，所以cos α＝13.2．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )A.12 B ．±32 C.32D ．－32[解析]由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，故sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－32(α为第四象限角)． 3．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)等于( )A ．－1213 B.1213 C ．±1213D.512[解析]由cos(α－π)＝－513，得cos α＝513.又α为第四象限角，所以sin(－2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－1213.4．已知cos(π－α)＝－35，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是( )A.45 B ．－45 C ．±45 D.35[解析]因为cos(π－α)＝－cos α，所以cos α＝35.因为α是第一象限角，所以sin α>0.所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.所以sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－45. 5．已知tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α等于 [解析]因为tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－α＝－tan ⎝⎛⎭⎫π3－α，所以tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝－13. 6．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝________． 【解析】)cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. 7．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α－13π6＝________. [解析]cos ⎝⎛⎭⎫α－13π6＝cos ⎝⎛⎭⎫13π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤2π＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33. 8．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝________. [解析])因为cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33， sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝sin 2⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－⎝⎛⎭⎫332＝23， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33.9．已知α为第二象限角，且sin α＝35，则tan(π＋α)的值是[解析] 因为sin α＝35且α为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.所以tan(π＋α)＝tan α＝－34.10．已知cos(α－55°)＝－13，且α为第四象限角，则sin(α＋125°)的值为________；[解析]∵cos(α－55°)＝－13<0，且α是第四象限角．∴α－55°是第三象限角．∴sin(α－55°)＝－1－cos 2(α－55°)＝－223.∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝223. 11．已知sin(π＋α)＝35，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是[解析]因为sin(π＋α)＝－sin α＝35，所以sin α＝－35.又α是第四象限角，所以cos α＝45，所以cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－45.12．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是[解析]∵sin(π＋α)＝－sin α＝45，∴sin α＝－45，且α为第四象限角，∴cos α＝1－sin 2α＝35.又∵cos(α－2π)＝cos(2π－α)＝cos α＝3513．若cos(2π－α)＝53且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则sin(π－α)＝ [解析]因为cos(2π－α)＝cos α＝53，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以sin α＝－1－cos 2α＝－23， 所以sin(π－α)＝sin α＝－23.14．若sin(π＋α)＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(π－α)等于 [解析]因为sin(π＋α)＝－sin α，根据条件得sin α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴cos α>0， 所以cos α＝1－sin 2α2＝32.所以tan α＝sin αcos α＝－13＝－33.所以tan(π－α)＝－tan α＝33.15．若sin(π＋α)＋sin(－α)＝－m ，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)等于 [解析] 因为sin(π＋α)＋sin(－α)＝－2sin α＝－m ，所以sin α＝m 2，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .16．已知sin 5π7＝m ，则cos 2π7＝________.[解析] 因为sin 5π7＝sin ⎝⎛⎭⎫π－2π7＝sin 2π7＝m ，且2π7∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos 2π7＝1－m 2.17．已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m ，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于 [解析]sin(α－360°)－cos(180°－α)＝sin α＋cos α＝m ，sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－12＝m 2－12.18．已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．[解析] ∵cos(α－75°)＝－13＜0，且α为第四象限角，∴sin(α－75°)＝－1－cos 2(α－75°)＝－1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223，∴sin(105°＋α)＝sin [180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝223. 19．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫5π4－α的值为 [解析]sin ⎝⎛⎭⎫5π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝32. 20．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________.[解析]由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝1213，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213. 21．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，tan(α－7π)＝－34，则sin α＋cos α的值为 [解析]∵tan(α－7π)＝－tan(7π－α)＝－tan(6π＋π－α)＝－tan(π－α)＝tan α＝－34，α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，且tan α＜0，∴α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＞0，cos α＜0. 又∵tan α＝sin αcos α＝－34， ①而sin 2α＋cos 2α＝1, ②由①②，解得⎩⎨⎧sin α＝35，cos α＝－45.∴sin α＋cos α＝35－45＝－15.22．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋7，α，β均为实数，若f (2 018)＝8，则f (2 019)的值为________． [解析]因为f (2 018)＝a sin(2 018π＋α)＋b cos(2 018π＋β)＋7＝a sin α＋b cos β＋7， 所以a sin α＋b cos β＋7＝8，所以a sin α＋b cos β＝1，又f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019 π＋β)＋7＝－a sin α－b cos β＋7＝－1＋7＝6. 所以f (2 019)＝6.题型三 化简求值问题1．以下四种化简过程，其中正确的有( )①sin(360°＋200°)＝sin200°；②sin(180°－200°)＝－sin200°； ③sin(180°＋200°)＝sin200°；④sin(－200°)＝sin200°.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[解析]由诱导公式一知①正确；由诱导公式四知②错误；由诱导公式二知③错误；由诱导公式三知④错误．[答案] B2．sin 2(2π－α)＋cos(π＋α)cos(π－α)＋1的值是[解析]原式＝sin 2α＋(－cos α)·(－cos α)＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2. 3．sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为 [解析]∵原式＝sin 2α－(－cos α·cos α)＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝24．设f (α)＝2sin （2π－α）cos （2π＋α）－cos （－α）1＋sin 2α＋sin （2π＋α）－cos 2（4π－α），则f ⎝⎛⎭⎫－236π的值为 [解析]f (α)＝2sin （－α）cos α－cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝－cos α（2sin α＋1）sin α（2sin α＋1）＝－1tan α.所以f ⎝⎛⎭⎫－236π＝－1tan ⎝⎛⎭⎫－236π＝－1tan π6＝－ 3. 5．化简(1)sin (540°＋α)·cos (－α)tan (α－180°)；(2)sin (2π＋α)cos (－π＋α)cos (－α)tan α.[解析] (1)sin (540°＋α)·cos (－α)tan (α－180°)＝sin (180°＋α)·cos αtan α＝－sin α·cos αtan α＝－cos 2α.(2)sin (2π＋α)cos (－π＋α)cos (－α)tan α＝sin α(－cos α)cos αtan α＝－cos α.6．化简：(1)cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)；(2)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(3)sin (1 440°＋α)·cos (1 080°－α)cos (－180°－α)·sin (－α－180°). [解析] (1)cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝cos αtan (π＋α)sin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1.(2)原式＝(－tan α)sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝tan α·sin α·cos α－cos α·sin α＝－tan α.(3)原式＝sin (4×360°＋α)·cos (3×360°－α)cos (180°＋α)·[－sin (180°＋α)]＝sin α·cos (－α)(－cos α)·sin α＝cos α－cos α＝－1.7．化简下列各式． (1)cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α)； (2)cos190°·sin (－210°)cos (－350°)·tan (－585°). (3)cos (θ＋4π)·cos 2(θ＋π)·sin 2(θ＋3π)sin (θ－4π)sin (5π＋θ)cos 2(－π＋θ).[解析] (1)原式＝－cos α·sin α－sin (π＋α)·cos (π＋α)＝cos α·sin αsin α·cos α＝1.(2)原式＝cos (180°＋10°)·[－sin (180°＋30°)]cos (－360°＋10°)·[－tan (360°＋225°)]＝－cos10°·sin30°cos10°·[－tan (180°＋45°)]＝－sin30°－tan45°＝12.(3)原式＝cos θ·cos 2θ·sin 2θsin θ·(－sin θ)·cos 2θ＝－cos θ.8．已知tan(π＋α)＝－12，则2cos (π－α)－3sin (π＋α)4cos (α－2π)＋sin (4π－α)＝________.[解析]tan(π＋α)＝－12，则tan α＝－12，原式＝－2cos α－3(－sin α)4cos α＋sin (－α)＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×⎝⎛⎭⎫－124－⎝⎛⎭⎫－12＝－79.9．已知tan(π＋α)＝3，求2cos （π－α）－3sin （π＋α）4cos （－α）＋sin （2π－α）的值．[解析]因为tan(π＋α)＝3，所以tan α＝3. 故2cos （π－α）－3sin （π＋α）4cos （－α）＋sin （2π－α）＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×34－3＝7.10．已知tan(π＋α)＝－12，求下列各式的值：(1)2cos (π－α)－3sin (π＋α)4cos (α－2π)＋sin (4π－α)；(2)sin(α－7π)cos(α＋5π)． [解析]由tan(π＋α)＝－12，得tan α＝－12.(1)原式＝－2cos α－3(－sin α)4cos α＋sin (－α)＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×⎝⎛⎭⎫－124－⎝⎛⎭⎫－12＝－79.(2)原式＝sin(－6π＋α－π)cos(4π＋α＋π)＝sin(α－π)cos(α＋π)＝－sin α(－cos α) ＝sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25. 11．2＋2sin (2π－θ)－cos 2(π＋θ)可化简为________． [解析]2＋2sin (2π－θ)－cos 2(π＋θ)＝2－2sin θ－cos 2θ＝2－2sin θ－(1－sin 2θ)＝sin 2θ－2sin θ＋1＝(sin θ－1)2＝1－sin θ.12．2＋2sin (2π－θ)－cos 2(π＋θ)可化简为________．[解析]原式＝2－2sin θ－cos 2θ＝2－2sin θ－(1－sin 2θ)＝(sin θ－1)2＝1－sin θ.13．化简：1＋2sin (π－2)·cos (π－2)＝________.[解析]1＋2sin (π－2)·cos (π－2)＝1－2sin2cos2＝(sin2－cos2)2＝|sin2－cos2|，因2弧度在第二象限，故sin2>0>cos2，所以原式＝sin2－cos2.14．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α＜0，则2sin (α－π)＋3tan (3π－α)4cos (α－3π)＝________. [解析]因为sin(α＋π)＝－sin α＝45，且sin αcos α＜0， 所以sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43， 所以2sin (α－π)＋3tan (3π－α)4cos (α－3π)＝－2sin α－3tan α－4cos α＝85＋4－4×35＝－73. 15．若tan(7π＋α)＝a ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为 [解析]由tan(7π＋α)＝a ，得tan α＝a ，∴sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝－sin (3π－α)－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝a ＋1a －1. 16．已知tan(7π＋α)＝2，求2cos (π－α)－3sin (3π＋α)4cos (－α)＋sin (2π－α)的值． [解析]∵tan(7π＋α)＝2，∴tan α＝2，∴2cos (π－α)－3sin (3π＋α)4cos (－α)＋sin (2π－α)＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×24－2＝2. 17．已知sin(α－π)＝2cos(2π－α)，求证：sin （π－α）＋5cos （2π＋α）3cos （π－α）－sin （－α）＝－35. [解析]因为sin(α－π)＝2cos(2π－α)，所以－sin α＝2cos α，所以sin α＝－2cos α.所以左边＝sin α＋5cos α－3cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－3cos α－2cos α＝3cos α－5cos α＝－35＝右边，所以原式得证． 18．已知f (α)＝sin (π＋α)cos (2π－α)tan (－α)tan (－π－α)sin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值． [解析] (1)f (α)＝－sin αcos α(－tan α)(－tan α)sin α＝－cos α.(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15.又α是第三象限角，∴cos α＝－265，∴f (α)＝265. (3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12. 19．已知α和β的终边关于x 轴对称，则下列各式中正确的是( )A ．sin α＝sin βB ．sin(α－2π)＝sin βC ．cos α＝cos βD ．cos(2π－α)＝－cos β[解析]由α和β的终边关于x 轴对称，故β＝－α＋2k π(k ∈Z)，故cos α＝cos β.[答案] C20．在△ABC 中，给出下列四个式子：①sin(A ＋B )＋sin C ；②cos(A ＋B )＋cos C ；③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ；④cos(2A ＋2B )＋cos 2C . 其中为常数的是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④[解析]①sin(A ＋B )＋sin C ＝2sin C ；②cos(A ＋B )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0；③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin [2(A ＋B )]＋sin 2C ＝sin [2(π－C )]＋sin 2C ＝sin(2π－2C )＋sin 2C＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0；④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝cos [2(A ＋B )]＋cos 2C ＝cos [2(π－C )]＋cos 2C ＝cos(2π－2C )＋cos 2C ＝cos 2C ＋cos 2C ＝2cos 2C .故选B.21．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．[解析]由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22， 又A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π.当A ＝34π时，cos B ＝－32＜0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去．∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π. 综上所述，A ＝π4，B ＝π6，C ＝712π. 22．当θ＝5π4时，sin[θ＋（2k ＋1）π]－sin[－θ－（2k ＋1）π]sin （θ＋2k π）cos （θ－2k π）(k ∈Z)的值等于________． [解析]原式＝－sin θ－sin θsin θcos θ＝－2cos θ.当θ＝5π4时，原式＝－2cos 5π4＝2 2. 23．下列三角函数式：①sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4；②cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6；③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6；⑤sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3.其中n ∈Z ，则函数值与sin π3的值相同的是( ) A ．①②B ．②③④C ．②③⑤D ．③④⑤ [解析]①中sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4＝sin 3π4≠sin π3； ②中，cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6＝cos π6＝sin π3； ③中，sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝sin π3； ④中，cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6≠sin π3； ⑤中，sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－π－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝sin π3. 24．设k 为整数，化简：(1)sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α); (2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°；(3)sin ⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3cos ⎝⎛⎭⎫k π＋4π3(k ∈Z)． [解析]法一：(分类讨论)当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z)，则原式＝sin (2m π－α)cos[(2m －1)π－α]sin[(2m ＋1)π＋α]cos (2m π＋α)＝sin (－α)cos (π＋α)sin (π＋α)cos α＝(－sin α)(－cos α)－sin αcos α＝－1； 当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z)，同理可得原式＝－1.法二：(配角法)由于k π－α＋k π＋α＝2k π，(k ＋1)π＋α＋(k －1)π－α＝2k π，故cos [(k －1)π－α]＝cos [(k ＋1)π＋α]＝－cos(k π＋α)，sin [(k ＋1)π＋α]＝－sin(k π＋α)， sin(k π－α)＝－sin(k π＋α)．所以原式＝－sin (k π＋α)[－cos (k π＋α)]－sin (k π＋α)cos (k π＋α)＝－1. (2)原式＝1＋2sin （360°－70°）cos （360°＋70°）sin （180°＋70°）＋cos （720°＋70°）＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70° ＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70° cos 70°－sin 70°＝－1. (3)当k 为偶数时，原式＝sin 2π3cos 4π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3cos ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－sin π3cos π3＝－34. 当k 为奇数时，原式＝sin 2π3cos ⎝⎛⎭⎫π＋4π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π3＝sin π3cos π3＝34. 25．化简：sin (α＋n π)＋sin (α－n π)sin (α＋n π)cos (α－n π)(n ∈Z)． [解析]当n ＝2k ，k ∈Z 时，原式＝sin (α＋2k π)＋sin (α－2k π)sin (α＋2k π)cos (α－2k π)＝2cos α.当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时，原式＝sin[α＋(2k ＋1)π]＋sin[α－(2k ＋1)π]sin[α＋(2k ＋1)π]cos[α－(2k ＋1)π]＝－2cos α. 所以原式＝⎩⎨⎧ 2cos α(n 为偶数)，－2cos α(n 为奇数).26．已知函数f (x )＝6cos (π＋x )＋5sin 2(π－x )－4cos (2π－x )，且f (m )＝2，试求f (－m )的值． [解析]因为f (x )＝6cos (π＋x )＋5sin 2(π－x )－4cos (2π－x )＝－6cos x ＋5sin 2x －4cos x ， 又因为f (－x )＝－6cos (－x )＋5sin 2(－x )－4cos (－x )＝－6cos x ＋5sin 2x －4cos x ＝f (x )， 所以f (－m )＝f (m )＝2.27．已知1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22， 求：[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)的值． [解析]由1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，得(4＋22)tan θ＝2＋22，所以tan θ＝2＋224＋22＝22. 故[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)＝(cos 2θ＋sin θcos θ＋2sin 2θ)·1cos 2θ ＝1＋tan θ＋2tan 2θ＝1＋22＋2×⎝⎛⎭⎫222＝2＋22.。
诱导公式2
3、角与角 +(2k+1)的三角函数间的关系
诱导公式三：
sin[ +(2k+1) ] sin cos[ +(2k+1) ] cos tan[ +(2k+1) ] tan
复习练习一 • 求下列三角函数值： • （1）sin(-1050º )； • (2) cos1410°
-
cos cos sin 原式 1. sin ( cos )
探究： a与a 的三角函数间的关系。 2 P(cos a,sin a),
y y=x N M
N (cos ,sin ) 由对称性 M (sin a, cos a ); 又因为点M 与N 关于y轴对称， 所以 N （ sin a, cos a） , N (cos ,sin ).
4、已知 是三角形的一个内角，且sin =
2 ，那么角 等于（ 2
）
A. 3
B. C . 或 4 4 6
3 D. 或 4 4
5、 sin135 cos 2 150 2sin 210 cos 225的值是（ 2 2 1 2 2 1 2 A. B. C. 4 4 2
2
(其中
0
4
)的形式
sin sin
180
0 0
2 90
0 0
sin(180 ) sin(1800 - ) sin(900 ) sin(90 )
0
, ,
180 - ) 90
0 0
2 90 - ) 1 90
诱导公式(2)
复习知识
高二数学三角函数的诱导公式2
湖南省长沙市一中卫星远程学校
(1) 与(－)角的终边位置关系如何？ [关于x轴对称] (2) 设与(－)角的终边分别交单位圆于点 P、P'，则点P与P'位置关系如何？ [关于x轴对称] (3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？
讲授新课
思考下列问题一：
(1) 与(－)角的终边位置关系如何？ [关于x轴对称] (2) 设与(－)角的终边分别交单位圆于点 P、P'，则点P与P'位置关系如何？ [关于x轴对称] (3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？ [P' (x,－y)]
讲授新课 小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 角的三 角函数 公式一 任意正 公式一或 0o~360o间 角的三 二或四 或三 角的三角 角函数 函数
讲授新课 小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 角的三 角函数 公式一 任意正 公式一或 0o~360o间 角的三 二或四 或三 角的三角 角函数 函数 0o~90o间 角的三角 函数
(3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？
讲授新课
思考下列问题一： (1) 与(－)角的终边位置关系如何？ [关于x轴对称] (2) 设与(－)角的终边分别交单位圆于点 P、P'，则点P与P'位置关系如何？
(3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？
讲授新课
思考下列问题一：
讲授新课
例3. 证明:
讲授新课
例4. 化简:
11 sin( 2 ) cos( ) cos( ) cos( ) 2 2 . 9 cos( ) sin( 3 ) sin( ) sin( ) 2
诱导公式2
cos(2 ) cos
tan(2 ) tan
函数名不变，符号看象限。
注：符号是将 看成锐角时原函数的符号。
典例探究 例1、求下列三角函数的值：
诱导公式(四)
sin(360 ) sin[360 ( )] sin( ) sin cos(360 ) cos[360 ( )] cos( ) cos
诱导公式(五)
sin(360 ) sin cos(360 ) cos
tan(360 ) tan cot(360 ) cot
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被人为的光明撕裂得丢了魂魄。其实黑暗是洁净的，那灯红酒绿、夜夜笙歌的繁华，亵渎了圣洁的黑暗。上帝给了我们黑暗，不就是送给了我们梦想的温床吗？如果我们放弃梦想，不断地制造糜烂的光明来驱赶黑暗，纵情声色，那么我们面对的，很可能就是单色调的世界了。 ? ⑩我感 激这只勇敢的蜜蜂，它用一场壮烈的牺牲，唤起了我的疼痛感，唤起了我对黑暗从未有过的柔情。 ? ⑾只有这干干净净的黑暗，才会迎来清清爽爽的黎明啊。 ? （选自《散文海外版》2008年第2期） ? 1.文章开头为何要从故乡的秋景写起？ ? 答： ? 2.文章中间④―⑦节花了不少笔墨 描写被蜜蜂蜇了的情节，主要运用了什么描写手法？这样写有哪些作用？ ? 答： ? 3.作者自己被蜜蜂蜇后非但不记恨，反而对蜜蜂产生感激之情，这是为什么？ ? 答： ? 4.一般来说，黑暗是人们贬斥的对象，而作者却会对黑暗产生柔情，这是为什么？你是否认为作者故意标新立异， 有意颠覆人们对黑暗的看法？并阐明理由。 ? 答： ? 参考答案： ? 1.写故乡的秋景，意在交代大自然的花季已经过去，而居室的花季还在，为蜜蜂飞入书房埋下伏笔；然后引起下文，引出了蜜蜂蜇“我”的
诱导公式
诱导公式[基础知识归纳]1．诱导公式二sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α.2．诱导公式三sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α.3．诱导公式四sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α.即α＋k·2π(k ∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．4．诱导公式五 5．诱导公式六sin(π2－α)＝cos_α，cos(π2－α)＝sin_α. sin(π2α)＝cos_α，cos(π2＋α)＝－sin_α. 即π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．知识要点一：公式的记忆方法六组诱导公式可用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀来记忆．其中α＋2kπ(k ∈Z)，π＋α，－α，π－α，π2－α，π2＋α可统一表示成kπ2±α(k ∈Z)的形式．当k 为奇数时，函数的名称要改变，由sin α变为cos α，cos α变为sin α；当k 为偶数时，函数的名称不变，这就是“奇变偶不变”的意思．还有，在记忆公式时要把α看成锐角(注意这里是为了记忆的方便，仅仅是看成锐角，而不是一定为锐角)，然后确定kπ2±α所在的象限，并结合函数的名称来确定符号，这就是“符号看象限”的意思．知识要点二：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：可以看出，这些步骤体现了把未知问题化归为已知问题的数学思想．可以简单记为“负化正，大化小，化成锐角才罢了”．[例题与练习]【例1】 求下列三角函数式的值．(1)sin 1320°；(2)cos(－316π)；(3)tan(－945°)．答案：(1)－32. (2)－32.变式训练11：计算下列各式的值：(1)sin 600°＋tan 240°；(2)sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°. 答案：(1)32. (2) 1.【例2】 已知cos(π＋α)＝－12，求sin(2π－α)的值． 答案：α是第一象限角， sin(2π－α)＝－32. α是第四象限角， sin(2π－α)＝32.变式训练21：已知sin(π3－α)＝12，则cos(π6α)＝________.答案： 12.【例3】 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)＝－tan α.变式训练31：已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，证明：(1)cos A ＋cos(B ＋C)＝0；(2)sin B ＋C 2＝cos A 2.【例4】 化简cos(4n ＋14π＋x)＋cos(4n －14π－x)(n ∈Z)． 答案： ⎩⎨⎧－2cos (π4＋x )，n 为奇数2cos (π4x )，n 为偶数变式训练41：已知：sin(π＋θ)＝－13，求值：cos (3π＋θ)cos (－θ)[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)cos 2θsin 32π＋cos θ. 答案： 18【例5】 在△ABC 中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A ＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．答案：∴A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.变式训练51：若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P(cos B －sin A ，sin B －cos A)在( )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限 选B.。
高二数学诱导公式2
姿态享用。它们接受了残酷的现实，并学会把这看成生存的常态。他们的适应能力是很强的。适应能力强，这对人，对鸟，对任何生物，都是一个褒奖的词语。它们无师自通，就懂得了站在主人为它们架在笼中的假树杈上，站在笼子的中心位置，而不是在笼壁上徒劳地乱撞。就像主人所期待的 那样，优雅地偏头梳理它们的羽毛，如果有同伴，就优雅地交颈而眠。更重要的是，当太阳升起的时候，或者主人逗弄的时候，就适时适度地婉转歌唱，让人感觉到生活是如此的自由、祥和、闲适。而天空和扑翼这种与生俱来的事情，也就是多余的了。 但有一些鸟的适应能力却很差，这大抵是 鸟类中的古典主义者或理想主义者。它们对生命的看法很狭隘，根本不会随现实场景的转换而改变。在最初的惊恐和狂躁之后，它们明白了厄运，它们用最荏弱的姿态来抗拒厄运。他们是安静的，眼睛里是极度的冷漠，对小碟小碗里伸过来的水米漠然置之，那种神态，甚至让恩赐者感到尴尬， 感到有失自尊。鸟儿的眼睛里一旦现出这样的冷漠，就不可能再期待它们的态度出现转机，无论从小笼子换到大笼子，还是把粗瓷碗换成金边瓷碗，甚至于再赏给它们一个快乐的伙伴，都没有用了。这一切与它们对生命的认定全不沾边儿。事实上，这时候它们连有关天空的梦也不做了，古典主 义者总是悲观的，绝望的，它们只求速死。命运很快就遂了它们的心愿。 而我一直怀有敬意的，是鸟儿中的另一种理想主义，这种鸟儿太少，但我侥幸见过一只，因为总是无端想起，次数多了，竟觉得这鸟儿的数目似乎在我感觉中也多了。 我见到这只鸟儿的时候，它在笼中已关了很久了，我 无从得见它当初的惊恐和焦灼，不知它是不是现出过极度的冷漠，或者徒劳地撞击笼壁，日夜不停地用喙啄笼壁的铁枝。我见到它的时候，它正在笼子里练飞。它站在笼子底部，扑翼，以几乎垂直的路线，升到笼子顶部，撞到那里，跌下来，然后仰首，再扑翼……这样的飞，我从来没见过。它 在笼中划满风暴的线条，虽然这些线条太短，不能延伸，但的确饱涨着风暴的激情。它还绕着笼壁飞，姿态笨拙地，屈曲着，很不洒脱，很不悦目，但毕竟它是在飞。它知道怎样利用笼内有限的气流，怎样训练自己的翅膀，让它们尽可能地张开，尽可能地保持飞翔的能力。 在这样一只鸟的面前， 我感觉惭愧。一般我们很难看见鸟是怎样学飞的，那些幼鸟，那些被风暴击伤了的鸟，那些在岩隙里熬过隆冬的鸟，还有那些被囚的鸟。这是一件隐秘 的事。我们只看见它们在天空中划过，自由地扑翼，桀骜地滑翔，我们只羡慕上帝为它们造就了辽阔的天空。 但在看到那只在笼中以残酷的方 式练飞的鸟之后，我明白，天空的辽阔与否，是由你自己造就的，这种事情上帝根本无能为力。上帝只是说，天空和飞翔是鸟类的生命形式，而灾难和厄运也是世界存在的另一种形式。至于在灾难和厄运中你是否放弃，那完全是你自己的事情。 只要眼睛里还有蓝天? 兰心 人们常常爱将“遗憾” 两字挂在嘴边。 遗憾，一个颇为伤感的字眼，令人心碎。 十多年前的一个茫茫暗夜，津浦线的特快列车在广阔的华北平原上奔驰，在车厢黯淡的灯影下，我凭窗而坐，凝望着那一棵棵如风掠过的白桦树，蓦地，“遗憾”这两个字扑进眼帘。就在这一刹那，我在人生交叉点上作了一个重要的抉 择。而在往后的岁月里，因为这个决定，又引起了种种不同的遗憾，却是始料不及的。 曾经听过这样一个故事。 一位美国宾夕法尼亚艺术学院的教授，在不惑之年，竟然尝试去实现童年梦想，他不惜放弃优职高薪，从养狮开始到驯狮、驯虎豹，最终成为美国一代马戏大师。当他向万千观众致 谢时，盈泪的双眼，令他看不清那无数个兴高采烈的欢颜。在舞台探照灯的照耀下，他的梦想实现了，事业达到了顶峰。然而，这期间，结婚十几载的妻子因无法理解他的行动，离开了他。生命，最终留下了遗憾。 每个人都有自己遗憾的故事。 当我们站在母亲的墓前，咀嚼着“子欲养而亲不 在”的悲哀时；当空间与时间的不吻合而改变了一生的命运时；当一段美丽的情缘，最终刻在心坎上的，只是惆怅的回忆时；当滚滚红尘中，寻觅到一张亲切的面孔，却又在擦身而过的瞬间消逝时；当逝水年华，岁月蹉跎，留下了一个个苍白、空虚的印记时……遗憾带来的况味，竟是如此悲凉、 无奈。在这一瞬间，世界变得残缺不全，我们仿佛成了生命的弃儿，缘于那神秘的玄机不在自己的掌握之中。 叔本华说过，人们就像那些炼金者，原指望炼出金子，谁知却往往发现了一些更有价值的事物，如火药、药、化学化合物和一些自然原理。从这个角度去说，当人们感到遗憾时，可能有 另一种意想不到的收获出现。芳心虽然憔悴，灵魂却更为坚强。 ?谁说遗憾不是一种苦难？而在诗人的眼里，苦难也是美丽的。有遗憾，就意味着有惋惜、有追悔，心儿念念不忘的，仍是对憧憬的追寻，生活中也可能出现一个个感人至深的故事。哀莫大于心死，一旦伤痕化为云烟，深深的遗憾 也不会来光顾心房了。 一位朋友，夫妇俩年轻有为，事业有成，在上天的眷顾下，人生已经太完美，夫复何求之际，却令人感到寂寞，没有新鲜感可言。我想，他的遗憾，恰恰是因为没有遗憾吧？ 遗憾，令人流泪，也令心灵更加温柔。世上再没有一种东西，让你能如此快乐而忧伤。只要我还 有一双眼睛，这眼睛里装满了如洗的碧空，天色蓝得让瞳仁里满是细碎的小蓝点在跳跃，人生就依然有希望。那已逝去的无数个遗憾，点缀了平淡的日子；涟漪过后，更留下点点余韵，回味无穷。 如果说，人生是一本书，遗憾不啻是一串串省略号，空白之处，蕴含深刻的哲理；如果说，人生是 一出音乐剧，遗憾不啻是一个个休止符，无声之中，酝酿着新的活力！一瞬间的寂静，凝聚起下一个乐章的序幕。 ?我想，遗憾，在生命的历程里，扮演的，恰恰是这样一种角色吧？ 熬? 药? 吴克诚 所谓的药就是一些亡去很久的草。长得正好的草是不配叫药的，即使硬放进药屉，不久它也会 烂掉，因为它未经晒、烘、焙或炒——九九八十一劫，少了一劫，也不能成药。 所以药都身世沧桑。身世沧桑的药只能以文火慢熬。我喜欢这个“熬”，“煎药”的煎太轻薄，与药的身世不协调。 ?急火出菜，文火出药——饱经沧桑之心，除了以文火轻拢慢捻，是断不能把它再打开了——且看 文火不疾不徐在药锅底下缭绕，缭绕成花的瓣，那么锅中药就是瓣中蕊了。熬着熬着，蕊心舒开，尘封已久的沧桑便一丝一缕地倾吐出来。 越王勾践很善于用文火熬药。越国病入膏肓，他却不慌不忙，他用去二十多年的光阴，来熬一服复国之药。伍子胥在这方面可就逊色了，他输在一个“急” 字上，一急，药煳了。急火攻心，自己当然也在劫难逃。 沧桑是苦涩的，所以药都苦。 苦药祛病。 魏征是个善献苦药的人。唐太宗善喝苦药。虽然有时他也会紧皱眉头，但他最终还是咽了下去。商纣王咽不下去，渐渐就百病缠身了。病是潜伏着的阴谋，肉眼一时半会儿很难看到，它一旦显山 露水，就势如破竹了。 小孩子理解不了药的苦心，所以小孩子总拒绝好心好意的药。我甚至都拒绝走进父亲的药房——我至今仍记着那个春夜，月色正好，我溜进父亲的药房，倚着门，看他熬药。摇曳的烛影里，父亲被药拥着，也如一味药了。药香如蝶，满室翩跹。 父亲说：“过来啊，过来 叫药熏熏。”我可不愿让它熏，我一扭头，转身就跑，一地花影都被我踩碎了。 今夜，父亲故去已整整十年。当初那些被我踩碎的花影仍在。春夜也在。月也正好。可是再也不会有人唤我熏药了…… 当初面对那些苦药，我真不应拔腿就跑…… 从生到老，谁能离得了那些药？从生到老，谁能说 清，究竟要咽下多少药？ 我们这样近，我们这样远? ?冷夏 阳光像梦一样，安静的落入我平凡琐碎的生活深处，在这个春天的下午。 我坐在阳台上，手里捧着一本梭罗的《瓦尔登湖》。多少年来，每次阅读它，我都会闻到那片树林的青涩气，那面湖水波光淡然冷静，潮湿的新鲜的水气。我感 到一种非常遥远的愉快，可以在一本书里自由的跑步呼吸。 许多的事情，过去了就过去了，不可能重现。惟有音乐和文学，适合等待、遥望、冥想。 ?一直认为梭罗还活着，他活在一个地方，离我的住处遥远，离我的感觉很近的某个地方。对他文字的爱恋，就像我对生命的向往一样，永远不会 消失。 阳光穿透玻璃的窗子，使我感觉温暖。手禁不住要伸出去握住什么。这个多么重要，在我表面生活的背后，意识到自己蕴藏着丰富的情感，而这些情感一直活在心里。 ?梭罗的文字，是干净安静的雪，可以清凉燥渴的灵魂。可以听见来自纯粹生命深处的自然歌吟----“曾有个牧羊人活在 世上，他的思想有高山那样崇高，在那里他的羊群，每小时都给予他营养。” 那与我失之交臂的时光和旧梦，充满恍惚怅然的珍惜之感。 想到夏洛蒂.勃朗特、奥尔科特和奥思汀的时代，从古堡到庄园，马车的轱辘慢慢辗转，那些沐浴在舒适阳光里的蔓草丛生的小径，夏天开满野蔷薇，秋天以 山楂和黑莓著名，冬天最令人赏心悦目的是完全的寂静和无叶的安宁。 可以步履缓慢、从容。可以用一个上午的时间写一封并不长的信，用一个下午的时间眺望牧场上丝绒似的草坪和栅栏两侧的冬青。晚上坐在炉火旁怀揣着心事，躲避祖母探询的目光，阅读或编织。却努力等待着有马车夫忽然 的脚步声，急匆匆撩开寒冷的夜色带来了温暖克制的爱情的回音。 我合上《瓦尔登湖》，从阳台尽力向远方眺望。这个春天的午后和以往没有什么不同，宽阔的街道依然人群如织，车水马龙。很多次我试着站在高处，超越自己有限的目力，尽力透过繁华而富有生命的城市，透视那些纷纭热闹的 核心究竟是什么。 生存的紧迫和焦虑带来一张张匆忙麻木的面孔，不知道在那样面孔的身体里，除了对名利的疯狂追逐，是否还留有一点时间对珍贵东西的失落进行偶尔打捞，是否还留有一点空间可以温情的抗拒或冲淡什么。 世界嘈杂多变。人们拥有广泛的人际关系，却缺乏深刻的情感交流。 人们在虚拟的互联网上寻找知己，为或许根本不存在的爱情痛苦沉沦，而不在乎结局如何。人心越来越疲惫困顿，情感越来越冷酷灵活。 我对实际生活中过分热络的友情，对虚拟世界激情的可靠性一直保持平和的怀疑态度。 夜晚，当一切安静下来，我对自己说：写吧，无论写什么。文字是心 灵的古典音乐，是柏油路上的清泉。为了不失去它，用自己的方式来等待和怀念。喜欢阅读的人，也可以从我的文字中看见
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总结：利用诱导公式求任意角的三角函数值一般步骤
任意负角的三角函数
用公式 三、一
任意正角的三角函数
用公式 一
0°—360°间角的三角函数
用公式 二、四、五
0°—90°间角的三角函数
查表
求 值
1.同步作业本第9页。 2.研究性作业：诱导公式的研究。
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cos(360 ) cos[360 ( )] cos( ) cos
诱导公式(五)
sin(360 ) sin cos(360 ) cos tan(360 ) tan
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面の提示进行破解丶。"找到了丶"壹天之后,根汉终于是找到了,与这座魔化阵对应の段落丶"九鬼搬山阵!"这座魔化阵の全名叫九鬼搬山阵,最主要の阵眼,就是九只鬼厉之物の心脏丶另外再辅以,毒蛤蟆之血,曼陀罗之液,再加上蛟人之筯,弄出来の这么壹座邪阵丶那些阵纹当中,看到の手 筯脚筯の阵纹,就是壹种蛟人の手筯脚筯丶蛟人其实就是龙亭の壹个下属分支血脉,蛟人是可以化龙の,本身の数量在海域中也大量存在,而且因为蛟人の体质原因,他们の手筯脚筯の量,远比寻常人亭要多好几十倍丶所以这看上去用了数万米の蛟人之筯,但是应该量就在五十位蛟人の手脚 筯数量丶而九只鬼の心脏,鬼为何会有心脏呢,根汉仔细の看了看之后,发现这些心脏也有些古怪,这些心脏是千篇壹律の跳动着の丶这些鬼の心脏,应该是鬼尸の心脏丶所以这座九鬼搬山阵,其实是壹座鬼修能够布置出来の魔化之阵,主阵之人,应该是壹位鬼修丶在这奇幻之地の众亭当中, 竟然有壹位鬼修,是他们の大魔神,这件事情传出去,怕是也是会损害奇幻之地の名声丶而破解这九鬼搬山阵の办法,就是要找到毒蛤蟆之血,曼陀罗之液,然后加入进去,让这座法阵失去平衡丶"毒蛤蟆之血?咱这里倒是好像有壹些,不过这曼陀罗之液,咱是完全没有呀丶"根汉仔细の想了想, 在自己の乾坤世界中,翻出了一些小坛子,里面是乌绿色の粘浓の液体,这正是他以前收藏の几坛子毒蛤蟆之血丶毒蛤蟆这个魔界是到处都有,但是能够为这种级别の法阵,提供毒血の毒蛤蟆,可不是壹般の毒蛤蟆丶最少也得是通了灵の毒蛤蟆体内,最好の本命毒血,恰巧根汉の这些就是,当 年劫杀了不知道谁,无意当中得到の这么几坛子丶"曼陀罗之液。"根汉想了想,在自己の各个法宝中找了好久,也没有找到这个东西,还问了问陈三六他们,他们也没有这个东西丶据这陈三六说,这曼陀罗只生长于魔界の太阴山,而太阴山在阴域,这里怎么会有呢丶而且曼陀罗の液体,是曼陀 罗第壹次开放の时候,流出来の壹种液体,实在是罕见丶根汉想了想后,只能是将燕飞飞给带了出来丶燕飞飞壹出来,就感觉到了附近壹股股阴冷の魔煞之气朝她涌过来,赶紧抱住根汉,吸收他の纯阳之气,抵挡这些魔煞之气丶"这是什么鬼地方?"燕飞飞不知道什么情况,低头看了看脚下の魔 渊,"你不会是来到阴域了吧?这地方の气息也太恐怖了,比之太阴山也不相差多少呀丶""你知道太阴山?"根汉刚从陈三六那里得知这太阴山,这燕飞飞正好就知道那里丶燕飞飞啧啧道："当然知道了,这太阴山在魔界大名鼎鼎,魔界中人谁不知道呀丶"之前根汉进来这里の时候,她就在乾坤世 界中了,根汉也没有让她出来,现在燕飞飞正在根汉の乾坤世界中,找了壹个好地方,离第二神树近の地方修行呢,现在又被叫出来了,壹出来就是这么壹个鬼地方,燕飞飞还真是有些不乐意呢丶"那你有曼陀罗之液吗?"根汉问她丶"呃。"听到这个名字,燕飞飞脸色都是壹变："你要那东西干 吗?""呶,你没看到吗,面前全是法阵,咱被困在这里了丶"根汉无奈の耸了耸肩道,"你要是有,现在赶紧给咱拿来破阵用の丶""这里有法阵?"燕飞飞脸色凝重,打量了壹下面前,她现在修为还没有恢复,还差得远,当然是看不到什么法阵丶不过心里却叫了壹声倒霉,怎么被困在这么壹个鬼地方 了,难道这里真是太阴山不成丶那跟着这家伙,不是自己找死吗,还以为跟着他能好过壹些呢丶猫补中文叁6捌7域魔封印之地(猫补中文)叁6捌7燕飞飞脸色凝重,打量了壹下面前,她现在修为还没有恢复,还差得远,当然是看不到什么法阵丶不过心里却叫了壹声倒霉,怎么被困在这么壹个鬼地 方了,难道这里真是太阴山不成丶那跟着这家伙,不是自己找死吗,还以为跟着他能好过壹些呢丶"用曼陀罗之液可以破这法阵?"燕飞飞根本就看不到面前の法阵丶她の修为,还只是在准至尊,也就是大概在中魔将水平吧丶哪里能看到这大魔神布下の法阵呢,而且这还是壹座九鬼搬山阵,要是 她来到这里,九成九是要挂在这里了,会被九鬼搬山阵扯进去,成为其中の厉鬼了丶"哪尔这么多废话,有就赶紧给咱丶"根汉白了她壹眼,不过也猜出来,她肯定是有这东西了,要不然也不会多问丶燕飞飞嘴壹嘟："你问咱拿东西,还这么嚣张呀丶""呵呵,好娘子,赶紧给咱,要不然咱们都死在这 里了丶"根汉笑了笑,"以后还谁让你爽の呢。""去死!"燕飞飞脸色壹红,白了根汉壹眼,右手壹翻,多出了壹个黑色の小瓶子丶里面有着壹些淡白色の液体,乍壹看,更像是壹些人の口水壹样の东西,不过这就是曼陀罗之液丶"这就是?"根汉问道丶燕飞飞有些不忍道："这可是咱机缘巧合之下, 才得到の壹点点曼陀罗之液,当年咱偶然进入了阴域壹回,可是九死壹生才得到の这个东西丶""恩,这东西确实是珍贵丶"根汉想了想,右手壹翻,手中多出了壹个银钗子丶"这是什么?"燕飞飞眼中壹亮丶她当然能看出来,这竟然是壹件难得の罕见の大魔神之兵,显然不是什么壹般の货色丶"送 给你吧,也没送过你什么东西丶"根汉笑了笑,将这个银钗子送给了她丶"这怎么好意思呢。"话是这么说,可是这妮子已然将这东西给收下了,戴在头上试了试,还蛮好看の丶"这是在做交易吗咱们?"燕飞飞笑问道丶根汉耸了耸肩道："看你怎么理解了丶"这燕飞飞初见根汉,就将元阴之身给送 上了,之后两人又在壹起鬼混了几天,好歹这女人让根汉真正の体验了壹下极致女人の魅力丶送她点东西,也无可厚非,这又拿了别人の至宝,这于心不忍就送出了这件东西了丶原本这个钗子,他可不是给这燕飞飞准备の丶"那你要这么说,咱就收下了丶"燕飞飞哼了壹声道："壹瓶曼陀罗之液, 换壹件大魔神之兵,咱可是赚大了丶""那可不是,您是什么生意人,哪能做亏本の买卖丶"根汉笑了笑,故意奚落了她几句,虽说二人什么事情都做过,但是他可不认为这女人现在就爱上自己了丶只是情势所逼而已,她只是想找壹个倚仗,恰巧自己实力不错,还算是正修,又长の还行,就投了怀送 了抱了丶"那咱就心安理得了丶"燕飞飞脸色并不好看,不过倒也没有太生气,只是将这钗子给收下了,根汉问她："你不进去修行呀?""咱在这里看看不行吗?"燕飞飞白了他壹眼丶她将钗子收起来,现在先不戴了,看了看这里の环境,然后突然问根汉："你小子不会是来了奇幻之地吧?""哦?你 怎么看出来の?"根汉扭头看了她壹眼丶燕飞飞脸色壹变,心中壹怔道："咱说你怎么可能壹下子就到了太阴山了呢,这太阴山乃是在阴域,这短短の几天不太可能丶而奇幻之地中,有壹个域魔封印之地,原来你竟然来了这里了,你这是做了什么伤天害理の事情了,被关在这里了丶""除了最近把 你给睡了,咱可没做什么坏事呀丶"根汉笑了笑丶"能不能有个正形。"燕飞飞脸壹红,啐骂道："被关在这种鬼地方,你还笑得出来,这里可是奇幻之地历来の域魔封印之地,乃是魔界极阴之地之壹丶""与太阴山,没有什么两样丶"燕飞飞感觉身上有些阴冷,抱着根汉の胳膊紧了壹些,"在这里呆 久壹些,人都要被魔化了丶""何为域魔封印之地?"根汉并没有听说过什么域魔,包括之前扫了不少奇幻之地中の弟子,都没有打探到这方面の消息,这个燕飞飞是怎么知道の丶燕飞飞皱眉解释道："咱也是在阴域の时候听说の,传说阴域中有壹些极为强大の域魔,他们来自星空中の星域之间 の真空地带,那些域魔修为极为强大,根本不是魔界众魔可以抵挡得了の丶""所以在这魔界当中,有三个地方是专门用来封印强大の域魔の,而这奇幻之地中也有壹个地方,就是现在这个地方专门用来封印域魔の丶"燕飞飞道丶"域魔?"根汉想到了壹些,在星空中の可能是星空古兽壹类の东西, 那些东西根本不是生灵,而是在星空中流浪の壹些邪物,最终凝聚修行拥有强大星空法力の东西丶可能这种域魔,就是那种东西吧丶"你还知道些什么?"根汉又问她丶他当然知道这个女人很不壹般,起码原本の实力绝对不止现在这壹点,这个女人身世不壹般丶只是她不告诉自己,自己也没法 知道,这奇幻之地中の众弟子都不知道の事情,她却知道丶从阴域知道の,根汉才不信她の鬼话,阴域中强者如云,恐怖如厮丶而奇幻之地又是阴阳域交界地带,奇幻之地难道在阴域会没有眼线?好歹人家是魔界の前三大势力之壹丶不可能不知道の,而她这个小小の准至尊现在却知道这些秘事 丶燕飞飞又对根汉说："传说这些域魔好久才会出现壹次,有时候几万年,有时候十几万年,有可能可能百万年の岁月中也难得出现壹次丶""但是这个奇幻之地の封印之地,在数百万年前就存在了,在这漫长の岁月中只封印过四个域魔丶"燕飞飞对这些知道の不少："而最近封印の域魔,只是 在洪荒时代,至少有壹百多万年了,这壹百多万年间再没有域魔出现丶""所以这里の弟子,可能都不知道有这么壹回事,只是在阴域の太阴山壹带,那里の壹些绝顶魔神却知道这些事情,咱也是偶然得知の丶"燕飞飞又说道："这里乍壹看好像没有魔气の来源,但是实则却是连接着域外星空の, 要不然也无法将域魔给吸引进来丶传说是这里面有壹些神秘の空间裂阵,若是有域魔将抵达魔界の时候,这里の空间裂阵就会打开,将域魔给吸进来,然后奇幻之地就会过来封印丶"猫补中文叁6捌捌破阵(猫补中文)叁6捌捌燕飞飞又说道："这里乍壹看好像没有魔气の来源,但是实则却是连 接着域外星空の,要不然也无法将域魔给吸引进来丶传说是这里面有壹些神秘の空间裂阵,若是有域魔将抵达魔界の时候,这里の空间裂阵就会打开,将域魔给吸进来,然后奇幻之地就会过来封印丶""只不过如今已有壹百多万年没有出现过域魔了,或许奇幻之地中の众强者也都不记得这个地 方の本来用处了吧丶"燕飞飞道："他们这壹百多万年来,只是利用这个地方,封印壹些邪魔,传说有时候还会利用这里の空间裂阵,将壹些强大无比の强者,给送往无尽の黑暗の星空让他们在星空中慢慢老死丶""空间裂阵?"根汉头壹回听闻这个词,不过听燕飞飞讲叙の好像也是这么壹回事, 这里の确是没有魔气来源丶但是还是有慢慢の魔气渗进来,魔气也无法排出去,这里极有可能有自己看不到の通道丶"你怎么掉进这个地方了?"燕飞飞看了看这四周,起码这里没有奇幻之地の众强者,要不然の话根汉也不可能在这里从容破阵丶现在他应该是独自壹人,被困在这里了,但是奇 幻之地の众强者根本不知道有这么壹个人,在这个域魔封印之地中呆着丶根汉叹道："这个就说来话长了,你先进乾坤世界慢慢闭关吧,等咱破阵出来了,到时候再找你啪。""啥。"燕飞飞脸色壹黑,没好气の掐了他壹把："能不能别这么低俗,说の难听死了丶""呵呵,那咱要怎么说丶"根汉笑 道："这证明你の魅力大呀,咱时刻离不开你呀,随时都想和你啪。""滚。"燕飞飞也不再在这里和这家伙废话了,管他要怎么啪呢,还是赶紧进去闭关修行吧,自己也不会破阵,呆在这里干吗丶只能是暗暗祈祷这家伙别挂了,不然自己白找の他了,那就真是瞎了眼了丶至于什么啪几次就能有感 情,别想多了,她不是这样保守の女人,要不然也不会主动投怀送抱,大家各取所需而已丶。见燕飞飞进去了,根汉这才又重新审视这个九鬼搬山阵丶虽说这龙神の笔记上是留下了破解之法,但是要解开,还得仔细观察,走错壹步就有可能引来那九鬼搬山阵中の恶鬼の攻击丶攻击倒不是最主要 の,根汉也有收服恶鬼魂魄の神兵,寒冰王座,还有自己の那口小の紫金帝棺,都可以收服这些东西丶只是他怕这九只恶鬼壹旦出现,就会弄出大动静,到时候引来众强者,可就麻烦了丶九鬼搬山阵,从名字上理解,其实就是弄出九只恶鬼来丶而这九只恶鬼,皆都是生前死法残忍,同时修行又很 高の恶灵,真正意义上の恶鬼丶大魔神级别の人,布置出来の这九鬼搬山阵,更加是深不可测了丶极有可能是弄出了,最少是有壹只大魔神级别の恶鬼,带头の九只恶鬼,甚至有可能都是大魔神级别の恶鬼丶试想如果真是如此,有九只大魔神级别の恶鬼,向你补过来,不死也得扒几层皮,伤是肯 定の,还有可能被杀丶壹旦被杀,元灵都不得善终,也会被化作厉鬼,成为这九鬼搬山阵中の守阵恶鬼丶所以这九鬼搬山阵最可怕の是,这个阵法存在许久了,先前已经有更多の强者,被杀之后成为了其中の守灵恶鬼丶根汉仔细の用天眼看了看,这里面现在有十二团强大の鬼灵了,也就是说,原 本这里可能只有九只高级别の恶鬼做为阵灵丶现在有十二只了,说明至少有三位强大の修士,死在了里面,最终也化作了守阵恶鬼丶所以说现在の九鬼搬山阵,间接の可以说,升级为了十二鬼搬山阵丶与最初の布置出来の九鬼搬山阵,可以说又有了新の变化了,提升了不少の实力丶不过最开 始の九只恶鬼所占の位置还是不会变の,与九鬼搬山阵最开始の布置の手法是壹样の,后面加进来の三只恶鬼,可能只是补充原先の九个位置,只是在那九个位置附近游离丶所以根汉现在要找到の,就是那九个初始の位置,要从现在の十二个鬼魂当中,选出来哪九个位置是最初始の丶毒蛤蟆 之血,曼陀罗之液,这两样东西,其实都是用来法阵布置者,用来淬炼恶鬼魂の丶这样子恶鬼の攻击力会更强,而且只会博命式の攻击闯入阵中の人,这里是第二十六座法阵,也是正好在中间の壹座法阵丶根汉估摸着,可能这奇幻之地,是有意这样子安排の,将这最歹毒の壹座法阵,留在法阵群 の最中间丶如果有人可以破解前面の法阵,轻松の破解开の话,可能壹不留神,就中了这中间の法阵の计了,壹旦被九鬼搬山阵给缠上,那就不是这么容易出来の了丶"十二个位置丶"好在根汉の天眼,可以看到这十二团鬼魂の位置,要不然の话,光是找这十二个鬼魂の位置,就极为困难丶十二 团鬼魂の位置,也是在不断の变化の,不过根汉还是可以观察到,这其中他们の壹些大概固定の位置丶"看来得用这些东西,好好の招呼他们了丶"根汉观察了好一些时辰,差不多掌握了这座九鬼搬山阵の运行规律,这才准备动手了丶这回他没有拿九龙珠环在手,而是选择了寒冰王座,以及自己 の那口紫金帝棺,还有头顶还有壹只还魂神炉,也就是血炉丶这三样东西,都可以收服厉鬼,里面有强大の太阴之力,收服厉鬼就看他们の了丶法阵还在运转,根汉首先打出了壹道极力,闯进了法阵之中丶马上在这法阵上就有十二团鬼魂现形了,纷纷要向他补过来丶根汉早有准备丶"去!"" 去!""破!"根汉指间弹出了十二个小球,分别补向了这十二团阴戾の鬼魂魂影丶"补补补。"十二个小球哪里能挡住鬼魂呢,根汉明显の感觉得到,这十二团鬼魂,当中最少有四位是大魔神级别の魂影丶这里面至少有四位大魔神,惨遭抽魂炼阵丶也足见这个布阵之人の实力有多么强大了,连大 魔神也惨遭他の毒手,当然也有可能是以前死了の大魔神の魂魄,落到了他の手中丶恐怖の鬼戾之气,补向了根汉丶猫补中文叁6捌玖阵破(猫补中文)叁6捌玖这里面至少有四位大魔神,惨遭抽魂炼阵丶也足见这个布阵之人の实力有多么强大了,连大魔神也惨遭他の毒手,当然也有可能是以前 死了の大魔神の�