11章1节课时活页训练
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1．(2010年福州市高中质量检查)在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，
B ，
C 的对边，若a ，b ，c 成等比数列，A ＝60°，则b sin B
c ＝________.
解析：由题意知b 2
＝ac (*)，由正弦定理可得sin B ＝b sin A a 代入得b sin B c ＝b 2sin A ac ，又由(*)式可知结果是b sin B c ＝sin A ＝sin60°＝3
2.
答案：3
2
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(3b －c )·cos A ＝a cos C ，则cos A 的值等于________．
解析：(3b －c )·cos A ＝a ·cos C ，由正弦定理得3sin B cos A ＝
sin C cos A ＋cos C sin A ⇒3sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B ，即cos A ＝3
3.
答案：3
3
3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若c cos B
＝b cos C ，且cos A ＝2
3，则sin B 等于________．
解析：由c cos B ＝b cos C 可得b c ＝cos B cos C ，联系到正弦定理，即得sinB
sin C ＝cos B
cos C ，化简得sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0，可见B
＝C ，所以sin B ＝sin π－A 2＝cos A 2＝1＋cos A 2＝30
6.
答案：30
6
4．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为________．
解析：由S △ABC ＝12BC ·CA ·sin ∠ACB ＝33，得sin ∠ACB ＝3
2，
而△ABC 为锐角三角形，所以∠ACB ＝π
3.
答案：π3
5．(2009年高考湖南卷)在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC
cos A 的值等于________，AC 的取值范围为________．
解析：由正弦定理：BC sin A ＝AC
sin B ， ∴BC sin A ＝AC sin2A ＝AC 2sin A cos A ，∴AC
cos A ＝2BC ＝2. ∵A ＋B ＋C ＝π，∴3A ＋C ＝π，C ＝π－3A ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
0＜A ＜π
2，
0＜2A ＜π2，0＜π－3A ＜π2
，
∴π6＜A ＜π4，
∴22＜cos A ＜3
2，又AC ＝2cos A ， ∴2＜AC ＜ 3. 答案：2 (2，3)
6．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，面积为3，则
a ＋
b ＋c
sin A ＋sin B ＋sin C
等于____________．
解析：∵S △ABC ＝1
2bc sin A ，
∴c ＝4，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，
∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C
＝a sin A ＝2393. 答案：2393
7．在△ABC 中，A 、B 、C 的对应边分别是a 、b 、c 且sin B ＝1
2，
sin C ＝3
2，则a ∶b ∶c ＝____________.
解析：若B 、C 均为锐角，则B ＝30°，C ＝60°， ∴A ＝90°，
则a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝sin90°∶sin30°∶sin60°
＝1∶12∶3
2＝2∶1∶ 3.
若B 为锐角，C 为钝角，则B ＝30°，C ＝120°， ∴A ＝30°，则a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝sin30°∶sin30°∶sin120° ＝12∶12∶3
2＝1∶1∶ 3.
答案：2∶1∶3或1∶1∶ 3
8．已知△ABC 的面积S ＝(b ＋c )2－a 2
，则tan A 2的值为________． 解析：对余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 配方得a 2＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )．
∴(b ＋c )2－a 2＝2bc (1＋cos A )．代入S ＝(b ＋c )2－a 2得：S ＝2bc (1＋cos A )．
而S ＝12bc sin A ，则有12bc sin A ＝2bc (1＋cos A )，即sin A ＝4(1＋cos A )．
∴sin A 2cos A 2＝4cos 2A 2.
由0° 2＝4. 答案：4 9．在△ABC 中，若cos(2B ＋C )＋2sin A sin B <0，则cos A 与cos C 的大小关系为________． 解析：cos(2B ＋C )＋2sin A sin B <0，cos(π－A ＋B )＋2sin A sin B <0，cos(π－A )cos B －sin(π－A )sin B ＋2sin A sin B <0，－cos A cos B ＋ sin A sin B <0，∴cos(A ＋B )>0，∴0 2，∴A ，B 都是锐角，C 是钝角． 答案：cos A >cos C 10．(2009年高考安徽卷)在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝1 3. (1)求sin A 的值； (2)设AC ＝6，求△ABC 的面积． 解：(1)由C －A ＝π 2和A ＋B ＋C ＝π， 得2A ＝π2－B,0 4. 故cos2A ＝sin B ，即1－2sin 2 A ＝13，