高中数学校本课程(整理)
高中数学校本课程
高中数学校本课程
概述
高中数学校本课程旨在提高学生数学素养、启发学生数学思维、培养学生数学兴趣。
课程内容包括基础数学、高等数学以及数学实
践等方面。
基础数学
基础数学是数学研究的基础,也是高中数学校本课程的重要组
成部分。
学生需全面研究自然数、整数、有理数、无理数、实数等
数系的概念及其代数运算,了解函数的概念、性质和应用,掌握初
等函数、二次函数、指数函数、对数函数等的性质及其应用,熟悉
三角函数的概念、性质以及应用。
高等数学
高等数学是数学的重要分支,也是高中数学校本课程的重点之一。
学生需研究微积分、线性代数、概率与统计等方面的内容。
通
过高等数学的研究,学生将逐步掌握分析、代数、几何等数学学科
中的基本思想和基本方法,为日后进一步深入研究数学打下良好基础。
数学实践
数学实践是高中数学校本课程的特色内容之一。
学生将通过各种数学建模及数学实践活动,培养自己的创新意识和实践能力,提高自己的数学运用水平和解决实际问题的能力。
总结
高中数学校本课程是一门旨在提高学生数学素养、启发学生数学思维、培养学生数学兴趣的课程。
通过全面学习基础数学、高等数学以及数学实践等方面的内容,学生将逐步掌握数学学科中的基本思想和基本方法,为日后深入学习数学打下良好基础。
校本课程
高中数学思想方法新民高中校本课程姓名_________班级_________学号_________高中数学常见的数学思想方法一、常用的数学思想(最基本)1 函数方程思想2 数形结合思想3 分类讨论思想4 转化划归思想二、数学思想方法的重要性数学思想是对数学知识和方法本质的认识,数学方法是解决数学问题、体现数学思想的手段和工具。
数学思想方法是形成学生良好的认识结构的纽带,是由知识转化为能力的桥梁。
三、数学思想方法总论高中数学一线牵,代数几何两珠连,三个基本记心间,四种能力非等闲,常规五法天天练,策略六项时时变,精研数学七思想,诱思导学乐无边。
一线: 函数一条主线.(贯穿教材始终)二珠: 代数.几何珠联璧合.(注重知识交汇)三基: 知识(牢)方法(熟)技能(巧)四能力: 概念运算(准确)逻辑推理(严谨)空间想象(丰富)分解问题(灵活) 五法: 换元法、配方法、待定系数法、分析法、归纳法。
六策略: 以简驭繁,正难则反,以退为进,化异为同,移花接木,以静思动。
七思想: 函数方程最重要,分类整合常用到,数形结合千般好,化归转化离不了,有限自将无限描,或然终被必然表,特殊一般多辨证,知识交汇步步高。
第一讲函数一、高中阶段常见的初等函数1、反比例函数:__________________2、一次函数:__________________3、二次函数:__________________4、指数函数:__________________5、对数函数:__________________6、幂函数:__________________7、三角函数:__________________二、函数知识的主要内容1 函数的定义(三要素):__________________2 函数的表示方法(三种):__________________3 函数的图像变换(四种):__________________4 函数的性质(四种):__________________三、函数的定义(集合观点)设A ,B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作 y=f(x),x ∈A.其中,x 叫做自变量,与x 值相对应的y 值叫做函数值四、函数的三要素定 义 域:_____________________值 域:_____________________对应关系:_____________________五、函数的定义域问题例1:求下列函数的定义域1 2y x =-2 1lg(43)y x =+3 lg(lg )y x =4 2lg(23)y x x =-+例2:(1)已知函数f(x)的定义域为[2,4],求函数f(2x-1)的定义域_____(2)已知函数f(x+2)的定义域为[2,4],求函数f(2x)的定义域_____(3)已知函数f(2x)的定义域为[0,1],求函数f(lgx)的定义域_____(4)已知函数f(x)的定义域为 [- 2 ,3] ,求函数F(x)=f(x)+f(-x)+f(x2)的定义域__________规律总结:定义域的求法直接法------具体函数(有表达式)1 分式的分母不为零2 偶次根式被开方数非负3 对数函数,正切函数的定义间接法------抽象函数(无表达式)1 定义域是自变量取值的范围2 同一对应法则下括号内表达式取值相同六、函数的解析式问题例3:求函数的解析式1 一次函数f(x)满足f[f(x)]=8x.求f(x)表达式2 指数函数图象过点(2,16),求函数的表达式3 已知f(x+1)=x 2-2x+5.求f(x)表达式4 已知f(x 5)=2x+1.求f(x)表达式2211()5,f x x x x +=+-5 已知函数求f(x)表达式23,f x =-6 已知函数求f(x)表达式7 已知2f(x)-f(-x)=2x+5.求f(x)表达式规律总结:解析式的求法1 待定系数法------已知函数类型2 换元法3 解方程组法七、函数的值域问题1 配方法例:求函数的值域1 f(x)=x 2-2x+5 ()f x =22 观察法(分离常数法)例:求函数的值域21()x f x x -=121()4x f x x -=+225()73x f x x -=+3()cx d f x ax b -=+43 换元法例:求函数的值域x =-1 yx =+2 y4 单调性法例:求函数的值域22 4..[2,6]x x x =-+∈1 y 22 4..[2,0]x x x =-+∈-2 y22 4..[2,6]x x x =-+∈-3 y 4..[1,4]x x x =+∈4 y5 反函数法例:求函数的值域2211x x -=+1 y 2123xx -=+2 y。
高中兴趣数学校本课程教案
高中兴趣数学校本课程教案课程级别:高中教学目标:1. 帮助学生培养对数学的兴趣和热爱,提高数学学习的主动性和积极性。
2. 开拓学生的数学思维,培养逻辑推理和问题解决能力。
3. 引导学生探索数学领域的趣味性和应用性。
4. 培养学生的数学素养,提高数学综合运用能力。
教学内容:1. 数学中的趣味问题与趣味性质2. 数学中的游戏与竞赛3. 数学中的历史与文化4. 数学中的奇妙定理与领域5. 数学中的应用与实践教学方法:1. 讲授结合实例,引导学生主动思考与探索。
2. 推理分析,激发学生独立思考和解决问题的能力。
3. 游戏竞赛,激发学生学习兴致和创新意识。
4. 小组合作,培养学生团队合作与交流能力。
5. 实践应用,让学生在实践中感受数学的趣味与实用性。
教学过程:1. 第一课时:数学中的趣味问题引入- 通过趣味数学问题的引入,激发学生学习兴趣。
- 讨论数学问题的特点及解题方法。
2. 第二至四课时:数学中的游戏与竞赛- 组织数学游戏竞赛活动,培养学生合作与竞争意识。
- 分析游戏规则和策略,引导学生总结经验。
3. 第五至七课时:数学中的历史与文化- 介绍数学历史人物及其重要成就。
- 探讨数学在不同文化中的应用和发展。
4. 第八至十课时:数学中的奇妙定理与领域- 讲解数学中的奇妙定理,如费马定理、四色定理等。
- 探讨数学在不同领域的应用和意义。
5. 第十一至十五课时:数学中的应用与实践- 进行数学建模实践活动,让学生感受数学的实用性。
- 结合实际问题与数学知识,培养学生解决问题的能力。
评价方式:1. 日常学习表现:包括课堂表现、作业完成情况等。
2. 考试成绩:定期进行知识检测和能力评估。
3. 项目作业:根据实践活动完成情况评分。
4. 课堂参与度:包括互动讨论、小组合作等。
教学资源:1. 数学类故事书籍或杂志。
2. 数学游戏和竞赛资料。
3. 数学历史背景和文化知识资料。
4. 数学建模实践案例及资料。
备注:本课程旨在培养学生对数学的兴趣和热爱,引导学生积极参与数学学习,提高数学素养和综合应用能力。
(完整版)数学校本课程
“行知文化”校本课程南昌市桃花学校序言数学是打开知识大门的钥匙,是整个科学的基础知识。
创新教学的先行者里斯特伯先生指出:“学生学习数学就是要解决生活问题,只有极少数人才能攻关艰深的高级数学问题,我们不能只为了培养尖端人才而忽略或者牺牲大多数学生的利益,所以数学首先应该是生活概念。
”在生活中学数学,以学生生活中实实在在的鲜活材料来吸引学生对科学的兴趣。
我们选取的都是从学生生活实践中取材,将数学知识巧妙地运用于生活之中,增加了学生对数学的兴趣,实现新课改所倡导的情感体验,培养良好的科学态度和正确价值观的目标。
数学校本课程的开发要满足学生已有的兴趣和爱好,又要激发和培养学生新的兴趣和爱好,要要求和鼓励学生投入生活,亲身实践体验。
选题要尊重学生的实际、学生的探究本能和兴趣,给与每个学生主体性发挥的广阔空间,从而更好的培养学生提出问题、分析问题、解决问题的素质和能力。
使学生成为学习的主人,学有兴趣,习有方法,必有成功。
学生的个性在社会活动中得以健康发展,学生的潜能在自学自育中得到充分开发。
我们的“行知文化”校本课程方案包括两个基本部分:一般项目和基本具体方案。
课程纲要一、课程目标:以贴近生活实际、加强数学应用为宗旨,针对数学这门课的特点,从生活中挖掘数学,提高学生应用数学知识解决有关问题的能力,培养学生的观察,分析能力,充分发挥学生的创造性,开发学生自身的潜能,并且加强对学生的动手操作能力的训练,鼓励学生能够展示自己的研究成功,培养学生的成功心态,使学生的心理得到健康的发展,使每位学生的能力得到充分体现。
二、课程概况:本课程由李红杰、孙艳丽、李丽等老师具体负责实施。
本课程在七、八、九年级中实施。
三、课程内容与活动安排:让学生体会数学史可发生在我们的周围,我们的生活空间是无穷的数学世界,在课堂上多设情景,应用数学解决问题,让他们充分发挥自己的创造性,感受到数学的乐趣,在愉快、轻松的学习过程中掌握数学知识,从而培养学生良好的学习习惯,观察事物的能力,形成正确的人生观、价值观。
高中数学思维校本课程
肥城市第六中学校本研修评估考核材料二 0 一五年十一月目录课程开发与实施安排表校本课程实施纲要第一部分数学思维的变通性(1)善于观察(2)善于联想(3)善于将问题进行转化第二部分数学思维的反思性(1) 检查思路是否正确,注意发现其中的错误(2) 验算的训练(3) 独立思考,敢于发表不同见解校本课程开发与实施安排表《数学思维》校本课程纲要一、基本项目课程名称:《数学思维》授课老师:授课对象:高一、高二年级部分学生教学材料:相关网站、资料二、课程目标以全面贯彻落实课改精神为宗旨,以数学思维为主线,提高学生学习数学的兴趣,全面推进素质教育。
1、通过教学,增强学生学习数学的兴趣;2、通过教学,让学生了解数学源于生活、应用于生活;3、通过数学,培养学生发现问题、解决问题等自主学习的能力课程内容:第一部分数学思维的变通性第二部分数学思维的反思性第三部分数学思维的严密性第四部分数学思维的开拓性四、课程实施建议基础知识教学、实物演示、电教配合、图上作业、小组研讨、模拟训练、考查等。
五、课程评价评价指标(一):学生自评与互评相结合,即上课出勤情况、课堂纪律情况、参与练习情况、团结协作情况;评价指标(二):平时模拟训练与考查相结合;评价指标(三):教师综合评定给与相应等级;评价等级均为:优秀、良好、中等、须努力四档第一讲数学思维的变通性一、概念数学问题千变万化,要想既快又准的解题,总用一套固定的方案是行不通的,必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识,提出灵活的设想和解题方案。
根据数学思维变通性的主要体现,本讲将着重进行以下几个方面的训练:(1)善于观察(2)善于联想(3)善于将问题进行转化(1)观察能力的训练任何一道数学题,都包含一定的数学条件和关系。
要想解决它,就必须依据题目的具体特征,对题目进行深入的、细致的、透彻的观察,然后认真思考,透过表面现象看其本质,这样才能确定解题思路,找到解题方法。
虽然观察看起来是一种表面现象,但它是认识事物内部规律的基础。
【校本教材】高中数学校本课程---数学文化
【高中数学校本课程】数学文化目录总体规划…………………………………………………………课程实施…………………………………………………………第一节有趣的数学谜语………………………………………第二节鸡兔同笼问题…………………………………………第三节九宫图的应用…………………………………………第四节大衍求一术……………………………………………第五节让梨游戏………………………………………………第六节幻方与魔阵……………………………………………第七节数学中的简单逻辑推理问题…………………………第八节欺骗眼睛的几何问题…………………………………第九节抽屉原理的简单应用…………………………………第十节帕斯卡三角形与道路问题…………………………第十一节数独………………………………………………第二部分课程实施实施对象:高二学生实施时间:校本选修课2实施步骤:分四步:1)自行研读,思考2)合作探究、推理3)老师指导、解答4)创新运用、提高实施计划:拟在高二实施,共需18课时。
高二年级每周2课时。
课时安排:第一节有趣的数学谜语………………………………………2课时第二节鸡兔同笼问题…………………………………………1课时第三节九宫图的应用…………………………………………1课时第四节大衍求一术……………………………………………2课时第五节让梨游戏………………………………………………1课时第六节幻方与魔阵……………………………………………2课时第七节数学中的简单逻辑推理问题…………………………1课时第八节欺骗眼睛的几何问题…………………………………2课时第九节抽屉原理的简单应用…………………………………2课时第十节帕斯卡三角形与道路问题……………………………1课时第十一节数独………………………………………………2课时体会与反思………………………………………………………1课时评价与考核本课程采用考核与考试相结合的评价方式。
作业:结合课本知识及相关内容,以作业形式,考查学生的解决问题的能力,以了解学生对该校本课程的掌握。
高中数学校本课程4
第四讲 数学思维的开拓性一、概述数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑;对一个对象能从多种角度观察;对一个题目能想出多种不同的解法,即一题多解。
“数学是一个有机的整体,它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。
我们在学习每一分支时,注意了横向联系,把亲缘关系结成一张网,就可覆盖全部内容,使之融会贯通”,这里所说的横向联系,主要是靠一题多解来完成的。
通过用不同的方法解决同一道数学题,既可以开拓解题思路,巩固所学知识;又可激发学习数学的兴趣和积极性,达到开发潜能,发展智力,提高能力的目的。
从而培养创新精神和创造能力。
在一题多解的训练中,我们要密切注意每种解法的特点,善于发现解题规律,从中发现最有意义的简捷解法。
数学思维的开拓性主要体现在: (1) 一题的多种解法 (2) 一题的多种解释如“1”这个数字,它可以根据具体情况变成各种形式,使解题变得简捷。
“1”可以变换为:x tg x a b x x xxa b a a 2222sec ),(log )(log ,cos sin ,,log -⋅+,等等。
1. 思维训练实例例1 已知.1,12222=+=+y x b a 求证:.1≤+by ax分析1 用比较法。
本题只要证.0)(1≥+-by ax 为了同时利用两个已知条件,只需要观察到两式相加等于2便不难解决。
证法1 )()11(21)(1by ax by ax +-+=+-)()(212222by ax y x b a +-+++= ,0])()[(21)]2()2[(21222222≥-+-=+-++-=y b x a y by b x ax a所以 .1≤+by ax分析 2 运用分析法,从所需证明的不等式出发,运用已知的条件、定理和性质等,得出正确的结论。
从而证明原结论正确。
分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件。
因此,证明过程必须步步可逆....,并注意书写规范。
证法2 要证 .1≤+by ax 只需证 ,0)(1≥+-by ax即 ,0)(22≥+-by ax 因为 .1,12222=+=+y x b a所以只需证 ,0)(2)(2222≥+-+++by ax y x b a 即 .0)()(22≥-+-y b x a因为最后的不等式成立,且步步可逆。
高中数学校本课程汇编
高中数学校本课程汇编一、前言高中数学是中学阶段的重要学科之一,也是学生培养数理思维和逻辑推理能力的重要途径。
本文档旨在整理和汇编高中数学校本课程内容,帮助学生和教师更好地了解数学课程设置和教学内容。
二、课程设置高中数学课程设置分为必修课和选修课两部分。
其中,必修课程是所有学生都必须研究的内容,而选修课程则根据学生的兴趣和能力进行选择。
2.1 必修课程高中数学的必修课程包括以下几个方面的内容:1. 数与代数- 数的概念和运算- 代数式与方程- 不等式与不等式组2. 几何与变换- 空间与图形- 空间图形的位置与方向关系- 空间图形的相交与包含关系- 几何变换与图形- 相似与全等3. 函数与分析- 函数与关系- 函数的初等操作和初等函数- 函数的性质和应用2.2 选修课程高中数学的选修课程包括以下几个方向的内容:1. 进一步研究代数- 多项式函数与方程- 根式与无理数指数- 模与剩余定理2. 进一步研究几何- 角与角的三角函数- 平面向量- 立体几何3. 进一步研究函数与分析- 三角函数- 指数与对数函数- 导数与微分应用三、教学方法高中数学的教学方法主要包括以下几个方面:1. 理论讲解- 通过讲解数学概念、原理和定理,使学生了解数学的基本知识和理论框架。
2. 练巩固- 通过题训练,提高学生的解题能力和思维能力。
3. 数学建模- 培养学生的实际问题解决能力,通过将数学知识应用到实际情境中进行建模和分析。
4. 探究实验- 通过探索性实验引导学生发现和总结数学规律,培养学生的科学研究能力。
四、研究资源学生在研究高中数学过程中,可以参考以下几种研究资源:1. 教科书- 学生可以根据教科书的章节和题进行系统研究和巩固。
2. 参考书- 学生可以根据自己的需求选择适合的参考书,深入理解数学概念和提高解题能力。
3. 网络资源- 学生可以通过互联网搜索相关数学知识的研究资料和题,进行在线研究和练。
4. 辅导班- 学生可以参加数学辅导班,得到更多的指导和复资源。
高中数学校本课程教案
⾼中数学校本课程教案根据新课标的理念,我把整个的教学过程分为六个阶段,即:创设情境,形成概念发现问题,探求新知深⼊探究,加深理解强化训练,巩固双基⼩结归纳,拓展深化布置作业,提⾼升华1、创设情境,形成概念在本节课的开始,我设计了⼀个游戏情境,学⽣分组,通过动⼿折纸,观察对折的次数与所得的层数之间的关系,得出对折次数x与所得层数y的关系式。
在学⽣动⼿操作的过程中激发学⽣学习热情和探索新知的欲望。
此时教师给出指数函数的定义,即形如 (a>0且a≠1) 的函数称为指数函数,定义域为R。
教师将引导学⽣探究为什么定义中规定a>0且a≠1呢?对a的范围的具体分析,有利于学⽣对指数函数⼀般形式的掌握,同时为后⾯研究函数的图象和性质埋下了伏笔。
在给出学⽣定义之后可能会有同学感觉定义的形式⼗分简单,此时教师给出问题,打破学⽣对定义的轻视,你能否判断下列函数哪些是指数函数吗?在学⽣判断的过程中教师给予适时指导,学⽣体会哪些是指数函数的过程也是学⽣头脑中不断完善对定义理解的过程。
教师提醒学⽣指数函数的定义是形式定义,就必须在形式上⼀摸⼀样才⾏,进⽽得出只有(1)是指数函数。
通过这⼀环节使学⽣对定义有了更进⼀步的认识。
此时教师把问题引向深⼊,我们要研究⼀个函数,光有定义是远远不够的,还要对⼀个函数的图像和性质进⾏进⼀步的研究。
教师带领学⽣进⼊下⼀个环节——发现问题,探求新知。
2、发现问题,探求新知指数函数是学⽣在学习了函数基本概念和性质以后接触到的第⼀个具体函数,所以在这部分的安排上我更注重学⽣思维习惯的养成,即应从哪些⽅⾯,那些⾓度去探索⼀个具体函数,所以我设置了以下三个问题,(1)怎样得到指数函数的图像?(2)指数函数图像的特点(3)通过图像,你能发现指数函数的那些性质?以这三个问题为载体,带领学⽣进⼊本节课的发现问题,探求新知阶段。
这也是本节课的重点环节。
(1)函数图像学⽣分成四个⼩组,分别完成通过前⾯知识的学习,学⽣可以较快的通过描点法将图像画出,最后教师在多媒体上将这四个图像给予展⽰,这样做既避免了学⽣在画图过程中占⽤过多时间⼜让学⽣体会到了合作交流的乐趣。
高中数学校本课程(整理)
竞赛讲座一 函数的性质第一讲 函数的单调性一.学习目标会判断较复杂的函数的单调区间,能利用函数的单调性解决最值问题及解不等式、解方程。
二.知识要点单调性的定义,复合函数的单调性,抽象函数的单调性三.例题讲解例1.已知⎩⎨⎧>≤+-=1)(xlog )1( 4)13()(x x a x a x f a 是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是 (A )(0,1)(B )1(0,)3 (C )11[,)73 (D )1[,1)7【答案】C【解析】由题意知)1(log )(>=x x x f a 在),1(+∞上为减函数,所以10<<a ①,)1(4)13()(<+-=x a x a x f 在)1,(-∞上为减函数,所以013<-a ②,且当1=x 时,1log 41)13(a a a ≥-⨯- ③,由①②③得答案为C.例2 已知函数x x x f -+=1)(,判断该函数在区间[),0∞+上的单调性,并说明理由.【讲解】用定义判断。
设0≤1x <2x ,)()(21x f x f -=11+x −1x −12+x +2x =112121+++-x x x x +1212x x x x +- =(1x −2x )(11121+++x x −121x x +) ∵1121+++x x >12x x +>0,∴11121+++x x <121x x + 又∵1x <2x ∴(1x −2x )(11121+++x x −121x x +)>0 ∴)()(21x f x f > ∴该函数在区间[),0∞+上的单调递增。
例3. 已知f ( x )=-x 2 + 2x + 8,g ( x ) = f ( 2-x 2 ),求g ( x )的单调增区间.【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题,所以应“分层剥离”为两个函数t =-x 2+2 ① y = f ( t ) =-t 2 + 2t + 8 ②对于②f ( t ) =2)1(--t +9,可知当)1,(-∞∈t 时是增函数,当),1(+∞∈t 时是减函数。
高中数学校本课程学案及教案5-6
高中数学校本课程学案及教案5-6第一篇:高中数学校本课程学案及教案5-6高中数学校本课程学案及教案陶建利一教学目标:1.把生活实际和数学课堂联系起来引导培养学生学习数学的兴趣。
2.让“争论”来激发学生学习数学的兴趣,最大限度地调动学生的学习积极性和主动性。
3.让学生都参与课堂,提高兴趣,化难为易。
这样,才能使学生带着浓厚的兴趣学好数学,才能大面积提高数学教学质量。
二教学案例:付清欠款有四个人借钱的数目分别是这样的:阿伊库向贝尔借了10美元;贝尔向查理借了20美元;查理向迪克借了30美元;迪克又向阿伊库借了40美元。
碰巧四个人都在场,决定结个账,请问最少只需要动用多少美金就可以将所有欠款一次付清?生日会上的12个小孩今天是我13岁的生日。
在我的生日宴会上,包括我共有12个小孩相聚在一起。
每四个小孩同属一个家庭,共来自A,B和C这三个不同的家庭,当然也包括我所在的家庭。
有意思的是,这12个小孩的年龄都不相同,最大的13岁,换句话说,在1至13这十三个数字中,除了某个数字外,其余的数字都表示某个孩子的年龄。
我把每个家庭的孩子的年龄加起来,得到以下的结果:家庭A:年龄总数41,包括一个12岁的孩子。
家庭B:年龄总数m,包括一个5岁的孩子。
家庭C:年龄总数21,包括一个4岁的孩子。
只有家庭A中有两个孩子只相差1岁的孩子。
你能回答下面两个问题吗:我属于哪个家庭——A,B,还是C?每个家庭中的孩子各是多大?因为只有家庭A中有两个孩子只相差1岁,所以我绝对不是C家庭的。
(21-4-13=4,4=1+3,4与3相差1,与条件矛盾)家庭A:年龄总数41,包括一个12岁的孩子,所以平均年龄大于10,又因为有两个孩子只相差1岁,所以家庭A中可能出现11,12或12,13。
若包括11,12,则41-11-12=18=10+8,10,11,12皆差1岁,与条件矛盾。
若包括12,13,则41-12-13=16=10+6或7+9,符合条件。
高一年级《校本课程》模板范例 (1)
第三章 函数的应用3.4 生活中的优化问题基础梳理自测 ◇知识点全面讲解◇知识梳理1.生活中经常遇到求___________、___________、 ___________等问题,这些问题通常称为优化问题. 2.解决优化问题的基本思路优化问题→用函数表示的数学问题 ↓ ↓优化问题的答案←用导数解决数学问题思维拓展1.求解应用问题的方法解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情境”译为数学语言.要先找出问题的主要关系,并把问题的主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题,再化归为常规问题,最后选择合适的数学方法求解.对于这类问题,我们往往忽略了数学语言和普通语言的理解和转换,从而造成了解决应用问题的最大思维障碍.运算不过关,就得不到正确的答案,对数学思想方法不理解或理解不透彻,则找不到正确的解题思路.在此正需要我们依据问题本身提供的信息,利用所谓的动态思维,去寻求有利于问题解决的新的途径和方法,并从中进行一番选择. 2.用导数解决几何问题 利用导数解决几何问题,往往是求体积、面积的最值,首先看清题意,分析几何图形的特征,设出变量,列出目标函数式,注明定义域,在转化为用导数求最值.若在定义域内只有一个极值,则这个极值变为最值. 3.用导数解决“费用最省”、“用料最省”型的优化问题,正确建立目标函数,利用导数求最值. 4.利润最大问题的求解经济中优化问题的解法:经济生活中,要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢,以产量或单价为自变量很容易建立函数关系,从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动.正确表示出函数解析式,然后利用导数求最值,其中把实际问题转化为数学问题,正确列出解析式是解题的关键.基础自测1.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤有哪些?考点探究突破 ◇能力点各个击破◇题型一 面积、体(容)积的最大值、最小值问题例1判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.(1)3()x f x x+=;(2)2()24f x x x =++;(3)()23xf x =-;(4)3()1log f x x =-. 分析点拨:求函数()f x 的零点.⇒求方程()0f x =的根.解:(1)令30x x+=,解得3x =-,所以函数3()x f x x+=的零点是3x =-. (2)令2240x x ++=,由于2=2414120∆-⨯⨯=-<, 所以方程2240x x ++=无实数根, 所以函数2()24f x x x =++不存在零点. (3)令230x-=,解得2log 3x =.所以函数()23x f x =-的零点是2log 3x =. (4)令31log 0x -=,解得3x =,所以函数3()1log f x x =-的零点是3x =.规律方法:1.函数的零点是一个实数,当自变量取该值时,其函数值等于零.2.根据函数零点定义可知,函数()f x 的零点就是()0f x =的根,因此判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程()0f x =是否有实根,有几个实根.即函数()y f x =的零点⇔方程()0f x =的实根⇔函数()y f x =的图象与x 轴交点的横坐标. 3.函数零点的求法:(1)代数法:求方程()0f x =的实数根; (2)几何法:与函数()y f x =的图象联系起来,图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点. 变式1.判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出. (1)2()44f x x x =---;(2)2(1)(43)()3x x x f x x --+=-;(3)()45xf x =+; (4)5()log (1)f x x =+.题型二 判断函数零点及所在区间例2 (1)函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是( )A .(1,2)B .(2,3)C. 1(1,)e和(3,4) D .(,)e +∞分析点拨:求()f a 和()f b 的值.⇒判断是否()()0f a f b <.(1) 解:∵(1)20f =-<,(2)ln 210f =-<, 又()f x 在(0,)+∞上为增函数. ∴在(1,2)内()f x 无零点,排除A. 又2(3)ln 303f =->, ∴(2)(3)0f f <,∴()f x 在(2,3)内有一个零点.∴选B. (2)若0x 是方程2xe x +=的解,则0x 属于区间( )A .(2,1)--B .(1,0)-C .(0,1)D .(1,2)分析点拨:2x e x +=的解.20xe x +-=的解.函数()2xf x e x =+-的零点.(2)构造函数()2xf x e x =+-,由(0)1f =,(1)10f e =->,显然函数()f x 是单调函数,有且只有一个零点,则函数()f x 的零点在区间(0,1)上,所以2x e x +=的解在区间(0,1)上.∴选C规律方法:1.确定函数零点所在区间的方法 确定函数的零点、方程的根所在的区间时,通常利用零点存在性定理,转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反.2.判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代:将区间端点代入函数求出函数的值. (2)判:把所得函数值相乘,并进行符号判断. (3)结:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点 变式2(1)使得函数1()ln 22f x x x =+-有零点的一个区间是( ) A .(0,1) B .(1,2) C .(2,3) D .(3,4)(2)若0x 是方程131()2xx =的解,则0x 属于区间( ) A. 2(,1)3 B .12(,)23 C. 11(,)32D .1(0,)3题型三 判断函数零点的个数例3判断函数()2lg(1)2xf x x =++-的零点个数.分析点拨:方法一:计算(0)f 与(2)f .⇒确定()f x 在区间(0,2)内有零点.⇒判断()f x 的单调性.⇒()f x 零点的个数.方法二:重新构造函数()22xh x =-与()lg(1)g x x =+.⇒同一坐标系内作出()h x 与()g x 的图象.⇒()h x 与()g x 的图象交点的个数即()f x 零点的个数.解:方法一:∵(0)10210f =+-=-<, (2)4lg320f =+->,∴()f x 在(0,2)上必定存在零点,又()2lg(1)2xf x x =++-在(0,)+∞上为增函数.故()f x 有且只有一个零点.方法二:在同一坐标系下作出()22xh x =-和()lg(1)g x x =+的草图.由图象知()lg(1)g x x =+的图象和()22x h x =-的图象有且只有一个交点,即()2lg(1)2xf x x =++-有且只有一个零点规律方法: 判断函数零点个数的方法判断函数零点的个数主要有以下几种方法: 法一:直接求出函数的零点进行判断;法二:结合函数图象进行判断;法三:借助函数的单调性进行判断.若函数f (x )在区间[a ,b ]上的图象是一条连续不断的曲线,且在区间(a ,b )上单调,满足f (a )·f (b )<0,则函数f (x )在区间(a ,b )上有且仅有一个零点,如图所示.变式3判断函数12()log f x x x =-的零点个数.题型四 二次函数的零点分布问题例4关于x 的方程22(1)10ax a x a -++-=,求a 为何值时:(1)方程有一正一负根; (2)方程两根都大于1.解:令2()2(1)1f x ax a x a =-++-方程有一正一负根时,()f x 对应的图象只有如图(1)、(2)两种情况因此()f x 有一正一负根等价于0(0)0a f >⎧⎨<⎩,或0(0)0a f <⎧⎨>⎩解得01a <<.所以01a <<时,方程有一正一负根. (2)方程两根都大于1时,()f x 对应的图象只有如图(3)、(4)两种情况.因此()0f x =两根都大于1等价于002(1)12(1)0a a a f >⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪>⎪⎩,或002(1)12(1)0a a af <⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪<⎪⎩ 解得a ∈∅.所以不存在实数a ,使方程两根都大于1.规律方法:解决有关二次方程根的分布问题应注意以下几点:(1)构造相应的二次函数,转化为函数零点所在区间问题.(2)结合函数的大致图象考虑四个方面:①∆与0的大小;②对称轴与所给端点值的关系;③端点的函数值与零的关系;④开口方向. (3)写出由题意得到的不等式(4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意,这类问题充分体现了函数与方程的思想,也体现了方程的根就是函数的零点.在写不等式时要注意条件的完备性.(5)几类常见二次方程根的分布情况需满足的条件(只讨论0a >的情况,0a <时可变形为0a >的情况).变式4已知关于x 的二次方程222x mx m ++ 10+=,求m 为何值时?(1)方程一根在区间(1,0)-内,另一根在区间(1,2)内;(2)方程两根均在区间(0,1)内.演练巩固提升 ◇巩固提升培养能力◇基础训练1.函数2()34f x x x =--的零点是( )A .1,4-B .4,1-C .1,3D .不存在2.若函数2()2f x x x a =++没有零点,则实数a 的取值范围是( ) A .1a < B .1a > C .1a ≤ D .1a ≥3.二次函数2y ax bx c =++中,0a c <,则函数零点的个数是________.4.函数2()2f x ax ax c =++(0)a ≠的一个零点为1,则它的另一个零点是________. 5.方程lg x +x -1=0有________个实数根. 6.已知函数2()3(1)f x x m x n =++++的零点是1和2,求函数log (1)n y mx =+的零点.能力提升1.函数()32xf x x =+-的零点所在的一个区间是( )A .(2,1)--B .(1,0)-C .(0,1)D .(1,2)2.已知0x 是函数13()2log x f x x =-的零点,若100x x <<,则1()f x 的值满足( )A .1()0f x >B .1()0f x <C .1()0f x =D .1()0f x >与1()0f x <均有可能3.函数31()()2xf x x =-的零点个数是( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .无数个4函数221y x ax a =-+-有一个零点大于1,一个零点小于1,则a 的取值范围是________. 5.3log 3x x +=的解所在的区间是(,1)k k +,则整数k =________.6.2()log 2f x x x =-+的零点的个数.7.32()22f x x x x =--+的零点,并画出其简图.8.22()(2)3f x x k x k k =--++5+有两个零点,(1)若函数的两个零点是1-和3-,求k 的值; (2)若函数的两个零点是α和β,求22αβ+的取值范围.参考答案1.()0f x =;x 2.实数根;横坐标 3.()()0f a f b<;()0f c = :1.函数的零点是一是函数图象与x 轴交点的横坐标,当自变量取该值时,其函数值等于0.2.不是,如函数1y x=就没有零点. 3.3 4.1:(1)令2440x x ---=,解得2x =-,所以函数的零点为2x =-.(2)令2(1)(43)03x x x x --+=-,解得1x =,所以函数的零点为1x =.(3)令450x +=,则450x =-<,即方程450x +=无实数根,所以函数不存在零点.(4)令5log (1)0x +=,解得0x =,所以函数的零点为0x =.:(1) 函数()f x 的图象在(0,)+∞上连续不断,且(2)ln 21ln 10f e =-<-=,11(3)ln 3ln 022f e =->->∴(2)(3)0f f <.故选C.(2)构造函数131()()2xf x x =-.由于1133111()()()0323f =->1132111()()()0222f =-<, 所以函数f (x )的零点在区间11(,)32,即011(,)32x ∈. 故选C.变式 3 :设112log y x =,2y x =,在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,如图所示.则函数112log y x =和2y x=的图象仅有一个交点,所以函数12()log f x x x =-有一个零点. 变式4 :设2()221f x x mx m =+++. (1)函数()f x 的零点分别在区间(1,0)-和(1,2)内,由图(7)可知, 应满足:(0)210(1)20(1)420(2)650f m f f m f m =+<⎧⎪-=>⎪⎨=+<⎪⎪=+>⎩ 121256m m R m m ⎧<-⎪⎪∈⎪⎪⇒⎨<-⎪⎪⎪>-⎪⎩∴5162m -<<- 所以当5162m -<<-时,方程一根在区间(1,0)-内,另一根在区间(1,2)内.(2)函数f (x )的两零点均在区间(0,1)内,由图(8)可知,2(0)210(1)420(2)4(21)001f m f m m m m =+>⎧⎪=+>⎪⎨∆=-+≥⎪⎪<-<⎩ 121212,1210m m m m m ⎧>-⎪⎪⎪>-⇒⎨⎪≥+≤-⎪⎪-<<⎩或∴1122m -<≤- 所以当1122m -<≤-时,方程两根均在区间(0,1)内. 基础训练:1. 解析:函数f (x )=x 2-3x -4的零点就是方程x 2-3x -4=0的两根4与-1. 答案:B2. 由题意知,Δ=4-4a <0,∴a >1. 答案:B3. ∵a ·c <0,∴Δ=b 2-4ac >0.∴二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个交点,则函数有两个零点. 答案:24. ∵a ≠0,∴此函数为二次函数,由根与系数的关系得,1+x 2=-2aa =-2,∴x 2=-3.答案:-35.由原方程得lg x =-x +1,问题转化为函数y =lg x 的图象与函数y =-x +1的图象交点的个数.作出相应函数的图象,如图:由图可知,有一个交点,故原方程有且仅有一个根. 答案:16. 由题可知,f (x )=x 2+3(m +1)x +n 的两个零点为1和2. 则1和2是方程x 2+3(m +1)x +n =0的两根.可得⎩⎪⎨⎪⎧1+2=-3m +11×2=n ,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =-2n =2.所以函数y =log n (mx +1)的解析式为y =log 2(-2x +1),要求其零点,令log 2(-2x +1)=0,解得x =0.所以函数y =log 2(-2x +1)的零点为0.能力提升:1. f (0)=-1<0,f (1)=2>0,且函数f (x )=3x+x -2的图象在(0,1)上连续不断. 答案:C2. 由于f (x )在(0,+∞)上是增函数,所以f (x 1)<f (x 0)=0. 答案:B3. 作出y =x 3与y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象,如图所示,两个函数的图象只有一个交点,所以函数f (x )只有一个零点.故选B.答案:B4. ∵二次函数y =x 2-2ax +a -1的开口向上,又其一个零点大于1,另一个零点小于1.∴当x =1时,其函数值小于零,即:12-2a ×1+a -1<0,∴a >0. 答案:a >05. 方程为log 3x +x -3=0,设f (x )=log 3x +x -3, ∵f (2)=log 32-1<0,f (3)=1>0,即f (2)·f (3)<0,∴函数在(2,3)内存在零点,∴k =2. 答案:26. 令f (x )=0,即log 2x -x +2=0,即log 2x =x -2. 令y 1=log 2x ,y 2=x -2. 画出两个函数的大致图象,如图所示.有两个不同的交点. 所以函数f (x )=log 2x -x +2有两个零点. 7.令f (x )=x 3-2x 2-x +2=0, 则有x 2(x -2)-(x -2) =(x +1)(x -1)(x -2)=0, ∴函数f (x )的零点为-1,1,2. 又f (0)=2>0,根据函数零点的性质可知在区间(-1,1)内,f (x )>0;在区间(-∞,-1)内,f (x )<0;在区间(1,2)内,f (x )<0;在区间(2,+∞)内,f (x )>0.其图象如图所示.8. (1)∵-1和-3是函数f (x )的两个零点,∴-1和-3是方程x 2-(k -2)x +k 2+3k +5=0的两个实数根.则⎩⎪⎨⎪⎧-1-3=k -2,-1×-3=k 2+3k +5, 解得k =-2.(2)若函数的两个零点为α和β,则α和β是方程x 2-(k-2)x +k 2+3k +5=0的两根,222235(2)4(35)0k k k k k k αβαβ+=-⎧⎪=++⎨⎪∆=--++≥⎩则222()2αβαβαβ+=+-2106k k =---443k -≤≤-∴22αβ+在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-4,-43上的最大值是18,最小值是509,即α2+β2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤509,18.。
数学校本课程教案高中
数学校本课程教案高中
课题:多项式的基本概念和运算
教学目标:
1. 理解多项式的基本概念,包括各项系数、次数、同类项等;
2. 掌握多项式的加减乘除运算方法;
3. 能够解决与多项式相关的实际问题。
教学重点:
1. 多项式的基本概念;
2. 多项式的加减乘除运算。
教学难点:
1. 化简复杂多项式;
2. 解决实际问题中的多项式应用。
教学准备:
1. 教师准备多项式的示意图及相关实例;
2. 学生准备书写工具。
教学过程:
一、导入:
教师通过举例引入多项式的基本概念,让学生了解每个项的含义和特点。
二、讲解多项式的基本概念和运算:
1. 多项式的定义、各项系数、次数、同类项的概念;
2. 多项式的加减乘除运算方法;
3. 实例演练,让学生掌握多项式的运算技巧。
三、综合应用:
1. 综合运用多项式运算解决实际问题;
2. 学生分组练习解决相关问题,进行展示和讨论。
四、总结反思:
学生通过本节课的学习,总结多项式的基本概念和运算方法,反思学习中的不足之处。
扩展延伸:
1. 学生自主探究多项式的特殊性质;
2. 学生尝试用多项式解决高级问题。
教学反思:
本课程教学全面覆盖了多项式的基本概念和运算方法,通过实例演练和实际问题解决,提高了学生的综合思维和解决问题的能力。
需要注意在学生的自主探究和延伸学习上多加引导和激励,提高学生的学习主动性和参与性。
(完整版)数学校本课程
“行知文化”校本课程南昌市桃花学校序言数学是打开知识大门的钥匙,是整个科学的基础知识。
创新教学的先行者里斯特伯先生指出:“学生学习数学就是要解决生活问题,只有极少数人才能攻关艰深的高级数学问题,我们不能只为了培养尖端人才而忽略或者牺牲大多数学生的利益,所以数学首先应该是生活概念。
”在生活中学数学,以学生生活中实实在在的鲜活材料来吸引学生对科学的兴趣。
我们选取的都是从学生生活实践中取材,将数学知识巧妙地运用于生活之中,增加了学生对数学的兴趣,实现新课改所倡导的情感体验,培养良好的科学态度和正确价值观的目标。
数学校本课程的开发要满足学生已有的兴趣和爱好,又要激发和培养学生新的兴趣和爱好,要要求和鼓励学生投入生活,亲身实践体验。
选题要尊重学生的实际、学生的探究本能和兴趣,给与每个学生主体性发挥的广阔空间,从而更好的培养学生提出问题、分析问题、解决问题的素质和能力。
使学生成为学习的主人,学有兴趣,习有方法,必有成功。
学生的个性在社会活动中得以健康发展,学生的潜能在自学自育中得到充分开发。
我们的“行知文化”校本课程方案包括两个基本部分:一般项目和基本具体方案。
课程纲要一、课程目标:以贴近生活实际、加强数学应用为宗旨,针对数学这门课的特点,从生活中挖掘数学,提高学生应用数学知识解决有关问题的能力,培养学生的观察,分析能力,充分发挥学生的创造性,开发学生自身的潜能,并且加强对学生的动手操作能力的训练,鼓励学生能够展示自己的研究成功,培养学生的成功心态,使学生的心理得到健康的发展,使每位学生的能力得到充分体现。
二、课程概况:本课程由李红杰、孙艳丽、李丽等老师具体负责实施。
本课程在七、八、九年级中实施。
三、课程内容与活动安排:让学生体会数学史可发生在我们的周围,我们的生活空间是无穷的数学世界,在课堂上多设情景,应用数学解决问题,让他们充分发挥自己的创造性,感受到数学的乐趣,在愉快、轻松的学习过程中掌握数学知识,从而培养学生良好的学习习惯,观察事物的能力,形成正确的人生观、价值观。
高中数学校本课程教案
高中数学校本课程教案课程名称:高中数学课时安排:每周4课时任课教师:XXX教材版本:XXX教学目标:1. 掌握代数式的运算规则,能够进行复杂代数式的化简和变形;2. 熟练掌握一元二次方程的解法和应用;3. 理解三角函数的概念及相关性质,能够应用三角函数解决实际问题;4. 掌握向量的基本运算法则,能够解决平面向量的相关问题;5. 熟练掌握函数的基本性质,包括函数的极值、单调性、奇偶性等;6. 能够应用微积分概念解决相关应用问题。
教学内容和安排:第一周:代数式的基本概念及运算规则- 教学内容:代数式的定义、多项式的加减乘除、因式分解等- 教学活动:讲解示范,课堂练习第二周:一元二次方程- 教学内容:一元二次方程的定义、解法、判别式、应用等- 教学活动:案例分析,课堂练习第三周:三角函数- 教学内容:三角函数的定义、性质、图像及相关公式- 教学活动:示范演练,实例分析第四周:平面向量- 教学内容:平面向量的定义、基本运算法则及应用问题- 教学活动:案例练习,实际问题解决第五周:函数的性质及应用- 教学内容:函数的极值、单调性、奇偶性等性质及应用- 教学活动:图表分析,案例练习第六周:微积分初步- 教学内容:微积分的基本概念、导数、积分及应用- 教学活动:问题解决,课后作业评价与考核:1. 平时课堂表现:占总成绩的30%2. 作业与考试成绩:占总成绩的40%3. 期中、期末考试:占总成绩的30%教学参考资料:1. 《高中数学教程》2. 《高中数学必修教材》3. 《高中数学理论与实践》备注:根据学生实际情况,教案内容和教学安排可能会有所调整。
高中数学校本课程1
第一讲 数学思维的变通性一、概念数学问题千变万化,要想既快又准的解题,总用一套固定的方案是行不通的,必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识,提出灵活的设想和解题方案。
根据数学思维变通性的主要体现,本讲将着重进行以下几个方面的训练: (1)善于观察(2)善于联想(3)善于将问题进行转化(1)观察能力的训练任何一道数学题,都包含一定的数学条件和关系。
要想解决它,就必须依据题目的具体特征,对题目进行深入的、细致的、透彻的观察,然后认真思考,透过表面现象看其本质,这样才能确定解题思路,找到解题方法。
虽然观察看起来是一种表面现象,但它是认识事物内部规律的基础。
所以,必须重视观察能力的训练,使学生不但能用常规方法解题,而且能根据题目的具体特征,采用特殊方法来解题。
例1 已知d c b a ,,,都是实数,求证.)()(222222d b c a d c b a -+-≥+++思路分析 从题目的外表形式观察到,要证的 结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似,而 左端可看作是点到原点的距离公式。
根据其特点,证明 不妨设),(),,(d c B b a A 如图1-2-1所示, 则.)()(22d b c a AB -+-=,,2222d c OB b a OA +=+=在OAB ∆中,由三角形三边之间的关系知:AB OB OA ≥+ 当且仅当O 在AB 上时,等号成立。
因此,.)()(222222d b c a d c b a -+-≥+++例2 已知x y x 62322=+,试求22y x +的最大值。
解 由 x y x 62322=+得.20,0323,0.3232222≤≤∴≥+-∴≥+-=x x x y x x y又,29)3(2132322222+--=+-=+x x x x y x ∴当2=x 时,22y x +有最大值,最大值为.429)32(212=+--思路分析 要求22y x +的最大值,由已知条件很快将22y x +变为一元二次函数,29)3(21)(2+--=x x f 然后求极值点的x 值,联系到02≥y ,这一条件,既快又准地求出最大值。
高二数学组校本课程 - 新桥中学
我这棵小树是从沙石风雨中长出来的,你们可以去山上试试,由沙石长出来的小树,要拔去是多么的费力啊!但从石缝里长出来的小树,则更富有生命力.高二数学组校本课程数学史校本课程实施方案一、课程的性质、任务本课程主要讲述数学发展经过漫长的历史岁月使学生了解数学发展过程中若干重要事件、重要人物与重要成果初步了解数学产生与发展的过程体会数学对人类文明发展的作用开阔眼界激发兴趣加深对数学的理解感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神正确认识数学发展规律吸取营养古为今用以人为镜、以史为鉴正确分析数学科学内容及其蕴含的矛盾研究数学发展的内在动因形成数思想观念和科学探索信念的精神二、课程教学的目标使学生了解数学发展过程中若干重要事件、重要人物与重要成果初步了解数学产生与发展的过程体会数学对人类文明发展的作用开阔眼界激发兴趣加深对数学的理解感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神(一)知识教学目标了解对数的发现历史;掌握解析几何的诞生过程;了解非欧几何的诞生领会欧几里得的第五公设及七桥问题;掌握非欧几何的发展与确认;了解高斯证明的代数基本定理和柯西奠定的复变函数理论基础;了解伽罗瓦的数学分支--群论;了解数系的历史发展及清末的数学教育(二)能力培养目标了解古希腊数学衰落的原因;熟练掌握代数学;三次方程的代数解法;斐波那契与《算经》;了解秦九韶、杨辉的数学成就及四元术;了解代数符号的引入和发展及代数学之父韦达的数学成就明代数学衰退的原因及徐光启翻译《几何原本》对中国数学发展的影响了解大数学希尔伯特提出23个数学问题对数学发展的影响熟练掌握希尔伯特的《几何基础》与公理化方法了解爱因斯坦的相对论和四维空间的意义;理解控制论、运筹学、数理统计学的作用;了解非标准分析、突变理论、模糊数学的内容;了解计算机对数学应用的作用了解中国辛亥革命胜利后数学的进展与变化;了解中国近代数学家胡明复、陈建功、苏步青、华罗庚、陈省身、许宝禄、吴文俊等数学家探究数学的精神经历与熟悉他们对数学不同领域所作的贡献;熟悉哥德巴赫猜想的内容及在中国的证明进展概况和陈景润等数学家证明哥德巴赫猜想的艰苦努力;了解中国现代数学发展情况三、教学时数分配表①几何学的革命 10课时②代数学的解放 8课时③概率论的产生与发展 8课时④现代数学选论 10课时高二数学组校本课程《数学思想方法》一、课程的性质、任务数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识数学方法是数学思想的具体化形式实际上两者的本质是相同的差别只是站在不同的角度看问题通常混称为"数学思想方法"数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓是将知识转化为能力的桥梁有着普遍应用的意义是历年高考的重点学习这部分内容是为了加深同学门对数学思想方法并在解题中自觉应用拓宽思路、发展智力、培养能力二、课程教学的目标(一)知识教学目标了解笛卡尔的方程思想能建立函数关系型的数学模型掌握化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法(二)能力培养目标遇到变量构造函数关系解题;处理有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中选定合适的主变量从而揭示其中的函数关系;实际应用问题翻译成数学语言建立数学模型和函数关系式应用函数性质或不等式等知识解答;等差、等比数列中通项公式、前n项和的公式都可以看成n的函数数列问题也可以用函数方法解决;从未知向已知、从复杂到简单的化归转换;遇到的问题通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理;或者将较为繁琐、复杂的问题变成比较简单的问题对各种情况加以分类并逐类求解然后综合得解;将抽象的数学语言与直观的图像结合起来进行代数问题与图形之间的相互转化三、教学安排第一节数学思想课时第二节数学方法课时课时①函数与方程思想3①向量法1⑥递推与归纳的处理方法2②数形结合思想3②对称问题的处理方法2⑦最值问题的处理方法2③分类讨论思想3③轨迹方程的探求方法1⑧排列、组合问题的解答策略2④转化与化归思想3④三角变换的技巧与方法1⑨新思路、新题型、新方法2⑤数学建模2⑤证明不等式的常用方法2出师表两汉:诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂,今天下三分,益州疲弊,此诚危急存亡之秋也。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
竞赛讲座一 函数的性质第一讲 函数的单调性一.学习目标会判断较复杂的函数的单调区间,能利用函数的单调性解决最值问题及解不等式、解方程。
二.知识要点单调性的定义,复合函数的单调性,抽象函数的单调性三.例题讲解例1.已知⎩⎨⎧>≤+-=1)(xlog )1( 4)13()(x x a x a x f a 是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值围是 (A )(0,1)(B )1(0,)3 (C )11[,)73(D )1[,1)7 【答案】C【解析】由题意知)1(log )(>=x x x f a 在),1(+∞上为减函数,所以10<<a ①,)1(4)13()(<+-=x a x a x f 在)1,(-∞上为减函数,所以013<-a ②,且当1=x 时,1log 41)13(a a a ≥-⨯- ③,由①②③得答案为C.例2 已知函数x x x f -+=1)(,判断该函数在区间[),0∞+上的单调性,并说明理由.【讲解】用定义判断。
设0≤1x <2x ,)()(21x f x f -=11+x −1x −12+x +2x=112121+++-x x x x +1212x x x x +- =(1x −2x )(11121+++x x −121x x +) ∵1121+++x x >12x x +>0,∴11121+++x x <121x x + 又∵1x <2x ∴(1x −2x )(11121+++x x −121x x +)>0 ∴)()(21x f x f > ∴该函数在区间[),0∞+上的单调递增。
例3. 已知f ( x )=-x 2 + 2x + 8,g ( x ) = f ( 2-x 2 ),求g ( x )的单调增区间.【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题,所以应“分层剥离”为两个函数t =-x 2+2 ① y = f ( t ) =-t 2 + 2t + 8 ②对于②f ( t ) =2)1(--t +9,可知当)1,(-∞∈t 时是增函数,当),1(+∞∈t 时是减函数。
对于①由t =-x 2+2>1得11<<-x ,当)0,1(-∈x 时是增函数,当)1,0(∈x 时是减函数。
由t =-x 2+2<1得1>x 或1-<x ,当)1,(--∞∈x 时是增函数,当),1(+∞∈x 时是减函数。
由复合函数的单调性可知,f ( x )的单调递增区间是)1,(--∞和(0,1)。
例 4. 已知函数a y x x =+有如下性质:如果常数0a >,那么该函数在(上是减函数,在)+∞上是增函数。
(1)如果函数2(0)by x x x=+>在(]0,4上是减函数,在[)4,+∞上是增函数,求b 的值。
(2)设常数[]1,4c ∈,求函数()(12)c f x x x x=+≤≤的最大值和最小值; (3)当n 是正整数时,研究函数()(0)n nc g x x c x =+>的单调性,并说明理由。
【讲解】: (1) 由已知得b 2=4, ∴b=4. (2) ∵c ∈[1,4], ∴c ∈[1,2],于是,当x=c 时, 函数f(x)=x+x c 取得最小值2c . f(1)-f(2)=22-c , 当1≤c ≤2时, 函数f(x)的最大值是f(2)=2+2c ; 当2≤c ≤4时, 函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.(3)设0<x 1<x 2,g(x 2)-g(x 1)=)1)((21121122n n n n n n n n x x c x x x c x x c x --=--+. 当n c 2<x 1<x 2时, g(x 2)>g(x 1), 函数g(x)在[n c 2,+∞)上是增函数; 当0<x 1<x 2<n c 2时, g(x 2)>g(x 1), 函数g(x)在(0,n c 2]上是减函数.当n 是奇数时,g(x)是奇函数, 函数g(x) 在(-∞,-n a 2]上是增函数, 在[-n a 2,0)上是减函数.当n 是偶数时, g(x)是偶函数,函数g(x)在(-∞,-n a 2)上是减函数, 在[-n a 2,0]上是增函数.例5 设x , y ∈R ,且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=-+-1)1(1997)1(1)1(1997)1(33y y x x ,求x +y . 【讲解】 设f (t )=t 3+1997t ,先证f (t )在(-∞,+∞)上递增。
事实上,若a <b ,则f (b )-f (a )=b 3-a 3+1997(b -a )=(b -a )(b 2+ba +a 2+1997)>0,所以f (t )递增。
由题设f (x -1)=-1=f (1-y ),所以x -1=1-y ,所以x +y =2.例6. 已知函数()y f x =的定义域为R ,且对任意12,x x ∈R 都有1212()()()f x x f x f x +=+,当0x >时,()0f x <,(1)f a =,试判断在区间[-3,3]上()f x 是否有最大值或最小值,若有,求出其最大值或最小值,若没有,说明理由.【讲解】: 设12,x x ∈R 且12x x <,则210x x ->,所以21()0f x x -<.∴212111()()[()]()f x f x f x x x f x -=-+-=2111()()()f x x f x f x -+-=21()0f x x -<. ∴21()()f x f x <所以()f x 在R 上为减函数,在[-3,3]上,max min (3),(3)y f y f =-=.因为(3)(21)(2)(1)3(1)3f f f f f a =+=+==,令120,x x ==则(0)0f =,令12,x x x x ==-,则(0)()()f f x f x =+-,所以()()f x f x -=-,所以()f x 为奇函数,所以在区间[-3,3]上,max min (3)(3)3,(3)3y f f a y f a =-=-=-==.例7 已知函数()f x 的定义域为[0,1],且同时满足:(1)(1)3f =(2)()0f x ≥恒成立(3)若12120,0,1x x x x ≥≥+≤,则有1212()()()f x x f x f x +≥+.求函数()f x 的最大值和最小值 .【讲解】:设1201x x ≤<≤,∴2101x x <-≤,由(2)知21()0f x x -≥.则212111()()[()]()f x f x f x x x f x -=-+-2111()()()f x x f x f x ≥-+-=21()0f x x -≥,即21()()f x f x ≥,所以()f x 在[0,1]为增函数.故函数()f x 在[0,1]的最大值和最小值分别为(1)f 和(0)f .在(3)中令120x x ==,得(0)2(0)f f ≥,∴(0)0f ≤,根据(2)知(0)0f ≥∴(0)0f =,所以函数()f x 的最大值和最小值分别为3和0.四.课后练习1.填空:(1)函数142--=x x y 的递增区间是___ __ _.(2)函数)34(log 2-+-=x x y a 递减区间是__ _.2.奇函数f (x )在定义域(-1,1)是减函数,又f (1-a )+f (1-a 2)<0,求a 的取值围。
3.解方程:ln(12+x +x )+ln(142+x +2x )+3x =04. 设()f x 是定义在R 上的函数并满足下列两个条件:①对任意12,x x ∈[0,1]都有1212()()()f x x f x f x +=;②(1)0f a =>且1a ≠.(1)求1()2f ;(2)求证:当1a >时,()f x 在 [0,1]上是增函数.5. 已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数,且(1)1f =,当,[1,1],0m n m n ∈-+≠ 时,有()()0f m f n m n+>+. (1)证明()f x 在[1,1]-是增函数;(2)解不等式11()()21f x f x +<- 第二讲 函数的奇偶性与对称性一.学习目标利用函数的奇偶性及图像的对称性等性质解决与函数有关的问题时,巧妙利用数形结合,使得问题得到简化,从而达到解决问题的目的.二.知识要点1.奇偶性的定义。
2.奇、偶函数的定义域必是关于数轴原点对称的区域。
3.奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y 轴对称。
4.对称性的几个结论:若函数)(x f y =对定义域的一切x 有:⑴)(x f -=)(x f ,则函数图像关于y 轴对称。
⑵)(x f -=−)(x f ,则函数图像关于原点对称。
⑶)(a x f +=)(x a f -或)(x f =)2(x a f -(a 为常数),函数图像关于a x =对称。
⑷)(x f y =与y =)(x f -关于y 轴对称;)(x f y =与y =−)(x f 关于x 轴对称;)(x f y =与y =−)(x f -关于原点对称;)(x f y =与x =)(y f 关于x y =对称。
三.例题讲解例1.函数1()f x x x =-的图像关于( ) A .y 轴对称 B . 直线x y -=对称C . 坐标原点对称D . 直线x y =对称【答案】C 【解析】1()f x x x=-是奇函数,所以图象关于原点对称。
考查函数奇偶性的性质。
例2.函数3()sin 1()f x x x x R =++∈,若()2f a =,则()f a -的值为 ( )A.3B.0C.-1D.-2 【答案】B【解析】3()1sin f x x x -=+为奇函数,又()2f a =∴()11f a -=故()11f a --=-即()0f a -=例3. f ( x )是奇函数,x >0时,f ( x ) = x · (4-3x ),那么x <0时f ( x ) = _______.【答案】x · (4+3x )【解析】设x <0,则− x >0,∴f ( −x ) = −x · (4+3x ),又∵f ( x )是奇函数∴)(x f -=−)(x f∴−)(x f = −x · (4+3x ),∴)(x f = x · (4+3x )例 4.设()f x 是连续的偶函数,且当0x >时()f x 是单调函数,则满足3()()4x f x f x +=+的所有x 之和为 ( )A.3-B.3C.8-D.8【答案】C【解析】:本小题主要考查函数的奇偶性性质的运用。