高等数学基础复习资料

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一.选择题
1.函数y=5-x +ln(x －1)的定义域是( )
A. (0，5)
B. (1,5]
C. (1，5)
D. (1，+∞) 2.函数f(x)=
2
1x
x -的定义域是（ ）
A.（-∞，+∞）
B.（0，1）
C.（-1，0）
D.（-1，1）
3.函数45)(2+-=
x x x f 的定义域为 （ ）
A. (]1,∞-
B. [)+∞,4
C. (][)+∞⋃∞-,41,
D. ()()+∞⋃∞-,41, 4.下列函数中为奇函数的是（ ）
A.y=cos 3x
B.y=x 2+sinx
C.y=ln(x 2+x 4
) D.y=1
e 1e x x +-
5.函数f(x)=1+xsin2x 是（ ）
A.奇函数
B.偶函数
C.有界函数
D.非奇非偶函数 6.=+
∞
→x
x x
)21(lim （ ） A. e -2 B. e -1 C. e 2 D.e 7.=→2x
tan3x
lim
x （ ） A.∞
B.
2
3
C.0
D.1
8.设⎪⎩⎪
⎨⎧=≠=0
0sin )(x a
x x
x x f 在x=0处连续，则常数a=（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
9.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=0
011)(x k x x x x x f ， ， 在0=x 点处连续，则k 等于 A.0； B.1； C. 2
1
； D. 2；
10.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0
024)(x k x x x x f ，　，在点0=x 处连续，则k 等于 ( )
A. 0
B. 4
1 C. 2
1 D. 2
11.设y=sin 2x ，则y ′=（ ） A.sin2x
B.2sinx
C.cos2x
D.cos 2x
12.y=e x (sinx-cosx)，则='y ( ) A.e x (-sinx+cosx)
B.2e x sinx
C.2e x cosx
D.e x sinx
13.设y=2x +e 2,则y ′=（ ）
Ａ.x2x-1 B.2x ln2+e 2 C.2x ln2 D.2x 14.设y=sin(7x+2),则
=dx
dy
( ) A. 7sin(7x+2) B.7cos(7x+2) C. cos(7x+2) D.sin(7x+2)
15.已知曲线x x y -=2上的点M 处的切线平行于直线x+y=1，则M 点的坐标为（ ） A.（0，1） B.（1，0） C.（1，1） D.（0，0） 16.曲线y=lnx 的与直线y=x 平行的切线方程为（ ） A.x-y=0
B.x-y-1=0
C.x-y+1=0
D.x-y+2=0
17.函数)1ln(2x y +=的单调减少区间是（ ）
A.)0,(-∞
B. ),(+∞-∞
C.),0(+∞
D.（－1，1） 18.函数y=x 2-2x+5的单调增加的区间是（ ） A.),1(+∞
B.)1,(-∞
C.),(+∞-∞
D.),2(+∞
19.函数x e y x arctan +=在区间[]1,1-上 ( ) A.单调减少 B.单调增加 C.无最小值 D.无最大值 20.函数5x 5e 的一个原函数为（ ） A. e 5x
B. 5e 5x
C.
x 5e 5
1
D. –e 5x
21.
1
x 31
+的一个原函数是（ ） A. ln(3x+1)
B.2
)1x 3(1+-
C.
2)1x 3(2
1
+
D.)1x 3ln(3
1
+ 22.设
⎰
+=
C x
x
dx x f ln )(，则=)(x f （ ）
A.
21ln x x - B.2
)(ln 21x C.x ln ln D.2
ln 1x x -
23.若C e 2dx )x (f 2
x +=
⎰
，则f(x)=( ).
A.2
x e
B.22
x
e C.2
1
2x
e
D.4
24．下列微分方程中为一阶线性方程的是 ( ) A. y x e y +=' B.0ln ln =+xdy y ydx x C. x
x y x y s i n 1'=+
D.x y y ='+''2 25.
=⎰-22
cos π
πxdx x （ C ）
A. π3
2
B.
3
4 C. 0 D.
3
2 26.
⎰-=π
π
xdx x sin 2（ D ）
A.2
B.1
C.-2
D.0
27.⎰π
π-=+dx x
cos 21x
sin 3（ A ） A.0 B.1 C.-1 D.2 28.广义积分⎰
+∞1x
dx
（ B ）
A.收敛
B.发散
C.敛散性不能确定
D.收敛于1
29.下列广义积分中，收敛的是（ D ） A.
⎰
∞
1
dx x B.⎰
∞
1
1dx x
C.⎰
∞
1
1
dx x
D.⎰∞121dx x
二.填空题
1.设函数f(x)=⎩⎨
⎧>+≤0
x ,
1x 20
x ,
x 2则f(1)= 3 . 2.设函数f(x)=x 2-3x+2，则f(x+1)=2
56x x -+
3.已知函数c x ax y ++=22
在点1=x 处取极大值2，则=a ___-1____，=c ___1____．
4.若c )x (f lim x =+∞
→，则曲线y=f(x)有渐近线___y c =________.
5.C x x dx x x ++=
+⎰ln 2
)1(2
6.)1(____2
1
____2x d xdx --=． 7.微分方程
0y dx
dy =-的通解为__x y Ce =_________.
8.微分方程2
y x 3dy dx +-=0的通解是_____ 1
32y Cx =- _. 9.已知函数f(x)=⎰
-=⎩⎨
⎧>+≤-2
1
dx )x (f 0
x ,x 10
x ,x 1则
__
11
2
_________. 10.设
==-⎰x dt t x
则,6)12(1
3或2- .
三.解答题
1 64lim 222-+-→x x x x 解：原式22(2)(2)24
lim lim (3)(2)35x x x x x x x x →→+-+===+-+
2.
11lim 21--→x x x 解：原式11
224
x x →→====
⋅ 3. x
e x x 1lim 20-→ 解：原式2022
lim
111x x e →=== 4. x x e x x sin cos lim 0-→ 解：原式0sin 10
lim
1cos 1
x x e x x →++=== 5.x x
y sin 1cos +=
；解：22
sin (1sin )cos cos (1sin )1(1sin )(1sin )1sin x x x x x y x x x
-⋅+-⋅-+'===-+++ 6. +
=x
xe y x
x sin 解：22
cos sin cos sin (1)x x x
x x x x x x y e xe e x x x ⋅-⋅-'=++=++ 7.方程0=+-y x e e xy 确定y 是x 的隐函数, 求0='x y ．
解：方程两边对x 求导: 0x
y
y xy e e y ''+-+⋅=
解得：x y e y
y x e -'=+ 当0x =时，0y =
于是000
|10x e y e
=-'==+ 8.求函数f(x)=x 3-3x 2-9x+5在[-2，4]上的最大值与最小值。

解：令2
()3690f x x x '=--=，则1x =-或3x = 则(1)10,(3)22f f -==-，又(2)3,(4)15f f -==-
所以最大值为10，最小值为22- 9.
⎰--dx x x x sin cos 1；解：原式1
(sin )ln sin sin d x x x x C x x =-=-+-⎰
10.⎰++dx x x x )1(212
22；解：原式222222(1)1
11arctan (1)1x x dx dx x C x x x x x ++⎛⎫==+=-++ ⎪++⎝⎭
⎰⎰ 11.
22x e xy dx
dy
-=+ 解：2
()2,()x P x x Q x e -==
由通解公式2()()22()P x dx P x dx xdx xdx x y e Q x e dx C e e e dx C ---⎛⎫⎛⎫⎰⎰⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
⎰
⎰
()
()2
2
2
2
x x x x e
e
e dx C e
x C ---=+=+⎰
12. y ′+ycosx=e -sinx
解：sin ()cos ,()x P x x Q x e -==
由通解公式()()cos cos sin ()P x dx P x dx xdx xdx x y e Q x e dx C e e e dx C ---⎛⎫⎛⎫⎰⎰⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
⎰
⎰
()
()sin sin sin sin x
x x
x e e
e
dx C e x C ---=+=+⎰
13.
x x x d )e 1(4
⎰
-+
解：x x x
d )e
1(4
⎰-+=x d x x x
⎰--4
4
e =4x xe
x x d e 4
4
⎰--+-=4e 55--
14.
x x
x d ln e 1
⎰
解：
dx 12ln 2d ln e 1e 1e
1x
x x x x x x
⨯-=⎰⎰e 1e 14e 2d 2e 2x x x -=-=⎰ e 24d 2
e 2e 1
-=-=⎰x x
四、证明题
1.设函数f(x)是[0，1]上的连续函数，证明：⎰
⎰
ππ=
20
20
.dx )x (cos f dx )x (sin f
2.证明：⎰
⎰
ππ=
2
2
n n
,xdx cos xdx sin 其中n 为正整数.。