复杂网络中节点重要度评估_陈静

现实世界中, 网络形式的系统随处可见, 例如, 因特网、企业合作网络、产品供应链网络、客户关系网络 等. 随着近年来复杂网络研究热潮的兴起, 特别是很多实际网络所抽象出来的复杂网络, 表现出了与以往 网络理论不同的特性 [ 1 ~ 3 ] , 如小世界特性、无尺度特性等. 如何在复杂网络环境下, 保证网络的可靠性与抗 毁性 [ 4~ 6] 已经成为复杂网络研究的重要课题, 例如, 如何评估互联网、交通网络、产品供应链网络等在随机 和选择性攻击下, 什么样的网络拓扑结构使网络更加安全和稳定. 研究表明不同拓扑结构的网络对不同方 式的攻击具有不同的抗毁性, 在随机攻击下无标度网络比随机网络具有更强的容错性, 但在选择性攻击 下, 无标度网络却又显得异常脆弱. 因此, 对复杂网络中节点的重要度进行评估是一项有意义的工作. 由节 点重要度评估找出那些重要的 / 核心节点 0, 可以通过重点保护这些 / 核心节点 0提高整个网络的可靠性.
V o.l 44 N o. 3 Jun. 2009
复杂网络中节点重要度评估
陈 静, 孙林夫
(西南交通大学 CAD 工程中心, 四川 成都 610031)
摘 要: 为提高复杂网络中重要节点评估的效率和有效性, 提出了一种基于节点接 近度和节点 在其邻域中 的关 键度评估复杂网络中节 点重要度的方法. 该方法综合了节点的全局和局部重 要性, 即在复杂网络中, 节点的 接近 度越大, 该节点越居于网络的中心, 在网络 中就越重要; 节点在其邻域中的关键度越大, 该节点对其 邻域越重要. 根据该方法设计了复杂 网络中节 点重要 度评 估算 法, 该算法 的复 杂度为 O ( n3 ). 实 例分 析证 明了 该方 法的 有 效性. 关键词: 复杂网络; 节点重要度; 接近度; 邻 域; 关键域; 关键度 中图分类号: O 233 文献标识码: A
( 8)
Fi
1, vi | P ( vs, vj ).
根据式 ( 3)可求得节点 vi 的关键度 K ( i).
3 节点重要度评估算法
根据定义 4, 复杂网络中节点的重要度由节点在复杂网络中的位置及在其邻域中的关键度共同决定. 下面给出复杂网络中节点重要度的评估算法:
( 1) Fo r i= 1 to n {
力影响越大.
根据定义 1可知, 节点接近度 C ( i )越大, 节点越居于网络中心, 节点在全局网络中越重要. 根据定义 3
可知, 节点关键度 K ( i )越大, 节点在其邻域 Dki内越重要; 节点关键度 K ( i)越小, 节点在其邻域 Dki内越不重 要, 从而对整个网络来说, 该节点重要度越低.
本文中首先定义了网络节点接近度及邻域关键度, 然后定义了网络节点重要度, 在此基础上给出了节 点重要度评估方法及其算法, 该方法结合了节点在复杂网络中全局重要性及局部重要性, 有效解决了删除 节点法存在的问题及直接计算介数的复杂性. 最后通过算例分析验证了该方法的有效性.
1 评估模型
本文研究的复杂网络均为无向无权网络. 因此, 复杂网络可以用图 G = ( V, E )表示, 假设 G 有 n 个节
的重要度首先取决于节点在网络中的位置, 如网络中的 / 末梢节点 0和 / 非末梢节点 0的重要程度显然不一
致, 同样 / 中心节点 0与 / 非中心节点 0的重要程度也显然不同; 其次, 节点在网络中的重要度还取决于节点
的连通能力, 换句话说, 经过该节点的最短路径越多, 该节点在网络中的地位越重要, 对整个网络的连通能
评估网络中节点重要性的方法很多, 本质上都是源于图论 [ 7] . 最简单的方法是以节点的连接度 ( 节点 连接的边数 ) 作为节点重要度的衡量标准 [ 8] , 认为与节点相连的边越多则该节点越重要. 这种评估方法具
收稿日期: 2008-04-14 基金项目: 国家 863计划资助项目 ( 2007AA 04Z188) ; 四川省科技计划项目 ( 2008G Z0007) 作者简介: 陈静 ( 1976 - ) , 男, 博士研究生, 研究方向为复杂网络、商务智能等, E-m ai:l chs ilen ce@ sohu. com 通讯作者: 孙林夫 ( 1963 - ) , 男, 教授, 博士, 博士生导师, 研究方向为网络化制造、商务智能等, E-m ai:l sun l@f v ip. s ina. com
Dki = { vj vj I V, aij = 1, j = 1, 2, ,, n },
( 2)
E 称 k = Dki = aij 为节点 vi 的度. v jI Dk i 定义 3 节点关键度 ( key deg ree). 在度为 k 的节点 vi 的邻域 Dki中, 如果 k\ 2, 假设任意节点对之间经
第 3期
陈静等: 复杂网络中节点重要度评估
4 27
有片面性, 有些重要的 / 核心节点 0并不一定具有较大的连接度, 比如只有两条边相连的 / 桥节点 0. 文献 [ 9] 中提出的介数 ( betweenness centra lity) 能很好地衡量节点的重要度, 即经过该节点的最短路径越多该 节点越重要, 但计算节点的介数非常复杂, 不仅要计算各个节点对之间的最短路径长度, 还要记录这些最 短路径的路线. 文献 [ 10] 提出了一种基于生成树数目的节点删除法, 定义最重要的节点为去掉该节点使 得生成树数目最小的节点. 节点删除法的问题是如果多个节点的删除都使得网络不连通, 那么这些节点的 重要度将是一致的, 从而使得评估结果不精确. 例如, 在很多实际复杂网络中都存在大量连接度为 1 的 / 末梢节点 0, 如果这些 / 末梢节点 0所依附的节点被删除, 网络就不再连通, 由此推断这些被依附节点的重 要度相同显然是不合理的.
定义 4 称
D ( i) = C ( i)K ( i) = n
S ( i)
( 4)
E [ d ( vi, vj ) ] [ S ( i) + B ( i) ] j= 1
为节点 vi 的重要度. D ( i )越大, 节点在网络中越重要.
42 8
西南交 通 大学 学报
第 44卷
2 节点关键度计算方法
Fi = { vs
vs I
( Dkss
H
P v s, v tI
Dki
Dktt )
G
Dki }.
( 5)
根据定义 5可知, 在 Dki中任意两个节点 vs 和 vj 之间最短路径集
P ( v s, vj ) = { { vs, vj } 或 { vs, vi, vj } 或 { vs, v ci, vj } vci I Fi 且 v ci X vi }.
过节点 vi的最短路径数为 S ( i ), 不经过节点 vi 的最短路径数为 B ( i ), 则节点 vi 的关键度
K
( i)
=
S ( i) S ( i) + B ( i)
.
( 3)
如果 k = 1, 则节点 vi 的关键度 K ( i) = 0. 其中 S ( i )与 B ( i)计算方法见本文第 2节. 复杂网络本来自百度文库上的非同质拓扑结构, 决定了网络中每个节点的重要程度是不同的. 节点在复杂网络中
Abstract: T o im prove the efficiency and valid ity of node im portance eva luating, a new evalua tion m ethod for node im portance in com plex networks w as proposed based on node closeness and node key deg ree in its neighborhood. In th is m ethod, the g lobal im portance and the loca l im portance of nodes are comb ined. T he basic thought o f the m ethod is that the b igger the closeness of a node is, the closer to center of a comp lex netw ork the node is and the m o re important it is; the bigger the key degree of a node in its ne ighborhood is, the m ore im portant in the ne ighborhood the node is. An evalua tion algorithm corresponding to the m ethod w as designed. T his algorithm has a tim e com plex ity of O ( n3 ) . F inally, the va lid ity o f the proposed m ethod w as ver ified by experim en ts. K ey w ord s: com plex netw ork; node im portance; c loseness; ne ighborhood; key f ield; key deg ree
Evaluation of N ode Importance in Complex N etworks
CHEN J ing, SUN L infu
( CA D Eng ineer ing Cen ter, Southw est Jiao tong U n iv ers ity, Chengdu 610031, Ch ina)
定义 1 节点接近度 ( closeness). 假设 d ( vi, vj )表示以节点 vi 为起点, 节点 vj 为终点的最短路径长度,
则节点 vi 的接近度 C ( i)为
n
E C ( i ) = 1 d ( vi, vj ), j X i.
( 1)
j= 1
定义 2 节点邻域 ( ne ighbo rhood) . 节点 vi 邻域为
点, m 条边, 用 V = { v1, v2, ,, vn }表示 G 的节点集合, E = { e1, e2, ,, em } A B @ V 表示边的集合. 图 G 的邻 接矩阵 A = [ aij ] , 其中
aij = 1, 节点 i与节点 j有边相连; 0, 节点 i与节点 j无边相连.
对于一个无向网络来说, 度为 k 的节点邻域 Dki, 要计算 S ( i)与 B ( i), 需要计算 1 /2k ( k - 1)个节点对
之间的最短路径, 显然节点 vi 在其邻域中的连通性除了受其邻域中的节点影响外, 还与邻域中的两两节 点邻域的交点有密切的关系.
定义 5 节点关键域 ( key f ie ld). 称节点 vi 的关键域
( 2) 计算节点 vi 到网络中所有其他节点之间的最短路径 d ( vi, vj ); ( 3) 根据式 ( 1)计算节点 vi 的接近度 C ( i ); ( 4) 求出节点 vi 邻域 Dki与关键域 F i; ( 5) for( Dk i中每一对节点 vs, vj ) / /共有 1 / 2k ( k - 1)对 求出{最短路径集 P ( vs, vj );
( 6)
假设节点 vs 和 vj 之间的最短路径有 w sj条, 则 S ( i )和 B ( i)分别为
E S ( i) =
s( i ), 其中 s( i ) = 1 /w sj, vi I P ( vs, vj ),
( 7)
Fi
0, vi | P ( vs, vj );
和
E B ( i) =
b ( i), 其中 b( i ) = 0, vi I P ( vs, vj ),
第 44卷 第 3期 2009年 6月
西南交通大学学报 JOURNAL OF SOUTHW EST JIAOTONG UN IVERSITY
文章编号: 0258-2724( 2009) 03-0426-04 DO I: 10. 3969 / .j issn. 0258-2724. 2009. 03. 021