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2
利用
得到
E h , p k , h / 2 , 2 , k 2 / ,
d 2 2 0, 所以，t x(t ) dk m
物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀 了粒子性的一面，与实际不符。
45
（2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大 量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果 而言， 弱电子密度＋长时间＝强电子密度＋短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体 现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以 一定的概率存在于空间的某个位置。
37
参考书目
曾谨言《量子力学》，科学出版社 周世勋《量子力学教程》，高等教育出版 社
38
量子力学 第二章 波函数及薛定谔方程
39
2.1 波函数及其统计解释
40
一、自由粒子的波函数
自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动 的质点。因此，其能量E 和动量 p pe 都是常量。 根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子的频 率和波长分别为
4
1.1 经典物理学的困难
5
19世纪末，物理学界建立了牛顿力 学、电动力学、热力学与统计物理， 统称为经典物理学。其中的两个结论 为 1、能量永远是连续的。 2、电磁波（包括光）是这样产生的： 带电体做加速运动时，会向外辐射电 磁波。
6
经典物理学的成就
牛顿力学-支配天体和力学对象的运动； 杨氏衍射实验-确定了光的波动性； Maxwell方程组的建立-把光和电磁现象建立在 牢固的基础上； 统计力学的建立。
46
3、概率波
粒子的波动性可以用波函数来表示， 其中，振幅 ( x, y, z) | ( x, y, z) | ei ( x, y,z ) 表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。 | ( x, y, z) |2 应该表示粒子出现在点 所以， (x,y,z)附近的概率大小的一个量。 因此，粒子的波函数又称为概率波。
杨氏干涉实验和惠更斯衍射实验都表明 了光的波动性。 光电效应又证实了光子的粒子性。
25
1.3 微粒的波粒二象性
26
1 物质波的概念
法国人De Broglie从光的量子论中得到 启发，假设任何物体，无论是静止质量 为零的光子，还是静止质量不为零的实 物粒子，都具有粒子波动两重性。其中 的波动，通称为物质波。认为物质波的 频率和波长分别为 υ=E/h，λ= h /p 这就是著名的德布罗意公式。
13
能量量子化概念对难题的解释
黑体辐射 从能量量子化假设出发，可以推导出 同实验观测极为吻合的黑体辐射公式， 即Planck公式
E ( )
e
c2 / T
c1
3
1
2 3
14
E( ) c1 e
3 c2 / T
E( ) 8kT / c
普朗克（Planck）大胆假设：无论是黑体辐射 也好，还是固体中原子振动也好，它们都是以 分立的能量 nh显示，即能量模式是不连续 的。
7
而一旦深入到分子、原子领域， 一些实验事实就与经典理论发生矛盾或 者无法理解。
8
20世纪初物理学界遇到的几个难题
1 两朵乌云（W.Thomson) ①电动力学中的“以太”：人们无法通过实 验测出以太本身的运动速度
②物体的比热：观察到的物体比热总是低 于经典物理学中能量均分定理给出的值。
9
2 原子的稳定性问题－原子塌缩 按照经典理论，电子将掉到原子核里， 原子的寿命约为1ns。 3 黑体辐射问题－紫外灾难 按照经典理论，黑体向外辐射电磁波的 能量E与频率 的关系为
23
光的波粒二象性
波粒二象性，又称为波动粒子两重性， 是指物体，小到光子、电子、原子，大 到子弹、足球、地球，都既有波动性， 又有粒子性。 频率为υ的单色光波是由能量为E =hυ 的一个个粒子组成的，这样的粒子被称 为光子，或光量子。 光子的粒子性－光电效应； 光子的波动性－光的衍射和干涉。
24
光的波粒二象性
20
1.2 光的波粒二象性
21
对光电效应的解释是爱因斯坦于1905年 做出的，他也因此获得诺贝尔奖。其中， 他对光子的能量E是如此假定的
E h
1 2 爱因斯坦方程 h mv W 2
22
光子的能量与动量
并用υ= c / λ和狭义相对论中的公式 p =E/c推出光子的动量p为 p=h/λ，E=hν. υ－频率， λ－波长， h－普朗克常数
量子力学
1
为什么要学习量子力学和统计物理学？
1960年代，著名微波电子学家Pirls曾说，量 子力学、统计物理学是高度抽象的科学，不需 要所有的人都懂得这种理论物理科学。 然而，在1990年代，随着高技术科学的发展， 要求我们必须掌握理论物理学，包括量子力学 和统计物理学。例如：微电子器件的集成度越 来越高，组成器件的每一个元件的体积越来越 小。目前，元件的尺寸可以达到nm级。
17
n 0
e
于是，用电动力学和统计力学导出的公式
2 2 （Rayleigh–Jeans） E( , T) kT c2
应改为
E( , T)
2h3 c2
(e h kT 1)
这就是Planck假设下的辐射本领，它与 实验完全符合。
18
当 kT hc（高频区）
12
能量量子化概念对难题的解释
原子寿命 ①原子中的电子只能处于一系列分立的能级之中。
即E1, E2, ……. En。
②当电子从能级En变化到Em时，将伴随着能量的
吸收或发射，能量的形式是电磁波。能量的大 小为E =hυ = En－Em
③由此，提出了产生电磁波的量子论观点，即电
磁波源于原子中电子能态的跃迁。从而，电子 就不会掉到原子核里，原子的寿命就会很长。
2
这面临着两个问题： 1、信号电磁波所覆盖的区域包括大量的 元件，每个元件的工作状态有随机性，但 器件的响应具有统计性； 2、构成元件的材料的体积属于原子团物 理的范畴，即每个粒子含有有限个原子 （102－109个原子）。这时的统计平均具 有显著的涨落，必须考虑量子效应。
3
量子力学
第一章 绪论
南京工业大学理学院 吴高建
nh n
n 0,1,2,
所以，辐射的平均能量可如此计算得：
15
在E E dE 能量范围内， 经典的能量分布几率
e
E kT E kT e dE 0
dE
（玻尔兹曼几率分布）
所以对于连续分布的辐射平均能量为
E kT E kT E 0 E e dE 0 e dE E kT E kT kT( E e 0 e dE) 0
27
2 实物粒子的波动
从德布罗意物质波的观点出发，就会得 出一种违背常理的结论：躲在靶子后面 仍然会被绕过来的子弹打中。 子弹之所以不能绕到靶子后面，是因为 子弹的波长λ= h /p太小了。 h＝6.62×10-34Js，p=mv
28
3 电子与分子的衍射与干涉实验
电子衍射
C60分子干涉图
29
4 波粒二象性既不是经典的粒子， 也不是经典的波
8kT 2 E ( ) 3 c
E υ
10
4.光电效应的解释 光照射到金属材料上，会产生光电子。 但产生条件与光的频率有关，与光的强 度无关。
Light beam electric current
metal
11
能量量子化的假设
造成以上难题的原因是经典物理学认为 能量永远是连续的。
如果能量是量子化的，即原子吸收或发 射电磁波，只能以“量子”的方式进行， 那末上述问题都能得到很好的解释。
2hc 2 hc kT E( , T) e 5
Wein公式
当 kT hc（低频区）
2 c E( , T) 4 kT
Rayleigh–Jeans公式
19
能量量子化概念对难题的解释
对光电效应的解释
如果电子处于分立能级且入射光的能 量也是量子化的，那么只有当光子的能 量（E =hυ）大于电子的能级差，即E =hυ > En－Em时，光电子才会产生。如 果入射光的强度足够强，但频率υ足够 小，光电子是无法产生的。
i A exp[ ( p r Et )]
这就是自由粒子的波函数，它将粒子的波 动同其能量和动量联系了起来。它是时间和 空间的函数，即
( x, y, z, t )
42
二、一般粒子的波函数及其物理意义
1 当粒子受到外力的作用时，其能量 和动量不再是常量，也就无法用简 单的函数来描述，但总可以用一个 函数 ( x, y, z, t ) 来描述这个粒子 的特性，称其为粒子的波函数。
E kT dE 0 e
kT
16
而对于Planck假设的能量分布几率，则为
e nh kT
n 0 nh kT nh kT
e nh kT
从而
E nh e
n 0
d nx nx h e e dx n 0 n 0 d x 1 x 1 h (1 e ) (1 e ) dx h (e h kT 1)
31
物质波的观点直接导致这样一个结论：
无法同时准确测量一个粒子的坐标和动量
qp / 2
q－坐标，p－动量 另有：能量和时间的不确定关系：
Et / 2
32
量子力学的特点：
能量量子化； 波粒二象性； 不确定关系。 需要用一个完整的理论将这些离散的假 设和概念统一起来：《量子力学》应运 而生。
E /h h/ p
又因为波矢为k 2 / 因此，自由粒子的 υ和k都 ， 为常量。得到
E h
h p e k
41
υ和k都为常量的波应该是平面波，可用以 下函数描述 A cos(k r t ) 或 A exp[i(k r t )] 将上式代入，得到
47
保留经典概念 的哪些特征
不具有经典概念 的哪些特征
粒子性 有确定的质量、 没有确定的轨道 电荷、自旋等 波动性 有干涉、衍射 振幅不直接可测 等现象 由波函数还可以决定粒子的其它各种物理可观 察量(以后讲)。所以波函数完全描写了微观粒 子(或一般地说，量子体系)的状态，这种描写 在本质上具有统计的特征。
48
三、波函数的统计诠释
表示粒子出现在点(x,y,z)附 近的概率。 | ( x, y, z) |2 xyz 表示点(x,y,z)处的 体积元 xyz 中找到粒子的概率。 这就是波函数的统计诠释。必然有以下 ( , ) * d , d dxdy现它与我们熟悉的经典物理学中的习惯 或概念不一致； b. 量子力学中的新的物理概念不是直观的；
c. 处理问题时，与经典物理学在手法上截然 不同。它的重要性在状态，算符和演化。
36
所以，我们强调
a. 掌握实验事实，及它给我们的启示，不直 接与主观经验联系，不先入为主； b.掌握和理解量子力学的基本概念。新的概 念的依据和特点，新在什么地方，如何理解； c.掌握理论中建立的方程和所用的数学方法 以及处理它们的思路和步骤。
5 物理意义：概率波与概率幅
概率波（M.Born,1926)：物质波描述了 粒子在各处发现的概率。 概率幅：波函数ψ也叫概率幅，概率密 2 度 波的叠加是概率幅叠加，而非概率叠加 2 2 2 P 1 2 P P2 1 2 12 1
30
1.4 不确定关系
33
《量子力学》的作用
一般工科：建立概念与启迪思维，重点在 了解。 材料学：重点是建立正确的、系统的、完 整的概念，为后续课程以及将来从事材料 学领域的研究奠定基础。 理科：四大力学之一，应该精通，并作为 日后从事研究的工具。
34
学习《量子力学》时应注意的问题
概念是灵魂－建立起清晰的概念 数学是桥梁－不必过分拘泥于数学推导 结论是收获－铭记结论在材料学中的作用
43
2 物理意义： 对实物粒子的波动性有两种解释
（1）第一种解释，认为粒子波就是粒子 的某种实际结构，即将粒子看成是三维 空间中连续分布的一种物质波包。波包 的大小即粒子的大小，波包的群速度即 粒子的运动速度。粒子的干涉和衍射等 波动性都源于这种波包结构。
44
能量和动量的关系为， E
p / 2m
利用
得到
E h , p k , h / 2 , 2 , k 2 / ,
d 2 2 0, 所以，t x(t ) dk m
物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀 了粒子性的一面，与实际不符。
45
（2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大 量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果 而言， 弱电子密度＋长时间＝强电子密度＋短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体 现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以 一定的概率存在于空间的某个位置。
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参考书目
曾谨言《量子力学》，科学出版社 周世勋《量子力学教程》，高等教育出版 社
38
量子力学 第二章 波函数及薛定谔方程
39
2.1 波函数及其统计解释
40
一、自由粒子的波函数
自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动 的质点。因此，其能量E 和动量 p pe 都是常量。 根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子的频 率和波长分别为
4
1.1 经典物理学的困难
5
19世纪末，物理学界建立了牛顿力 学、电动力学、热力学与统计物理， 统称为经典物理学。其中的两个结论 为 1、能量永远是连续的。 2、电磁波（包括光）是这样产生的： 带电体做加速运动时，会向外辐射电 磁波。
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经典物理学的成就
牛顿力学-支配天体和力学对象的运动； 杨氏衍射实验-确定了光的波动性； Maxwell方程组的建立-把光和电磁现象建立在 牢固的基础上； 统计力学的建立。
46
3、概率波
粒子的波动性可以用波函数来表示， 其中，振幅 ( x, y, z) | ( x, y, z) | ei ( x, y,z ) 表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。 | ( x, y, z) |2 应该表示粒子出现在点 所以， (x,y,z)附近的概率大小的一个量。 因此，粒子的波函数又称为概率波。
杨氏干涉实验和惠更斯衍射实验都表明 了光的波动性。 光电效应又证实了光子的粒子性。
25
1.3 微粒的波粒二象性
26
1 物质波的概念
法国人De Broglie从光的量子论中得到 启发，假设任何物体，无论是静止质量 为零的光子，还是静止质量不为零的实 物粒子，都具有粒子波动两重性。其中 的波动，通称为物质波。认为物质波的 频率和波长分别为 υ=E/h，λ= h /p 这就是著名的德布罗意公式。
13
能量量子化概念对难题的解释
黑体辐射 从能量量子化假设出发，可以推导出 同实验观测极为吻合的黑体辐射公式， 即Planck公式
E ( )
e
c2 / T
c1
3
1
2 3
14
E( ) c1 e
3 c2 / T
E( ) 8kT / c
普朗克（Planck）大胆假设：无论是黑体辐射 也好，还是固体中原子振动也好，它们都是以 分立的能量 nh显示，即能量模式是不连续 的。
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而一旦深入到分子、原子领域， 一些实验事实就与经典理论发生矛盾或 者无法理解。
8
20世纪初物理学界遇到的几个难题
1 两朵乌云（W.Thomson) ①电动力学中的“以太”：人们无法通过实 验测出以太本身的运动速度
②物体的比热：观察到的物体比热总是低 于经典物理学中能量均分定理给出的值。
9
2 原子的稳定性问题－原子塌缩 按照经典理论，电子将掉到原子核里， 原子的寿命约为1ns。 3 黑体辐射问题－紫外灾难 按照经典理论，黑体向外辐射电磁波的 能量E与频率 的关系为
23
光的波粒二象性
波粒二象性，又称为波动粒子两重性， 是指物体，小到光子、电子、原子，大 到子弹、足球、地球，都既有波动性， 又有粒子性。 频率为υ的单色光波是由能量为E =hυ 的一个个粒子组成的，这样的粒子被称 为光子，或光量子。 光子的粒子性－光电效应； 光子的波动性－光的衍射和干涉。
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光的波粒二象性
20
1.2 光的波粒二象性
21
对光电效应的解释是爱因斯坦于1905年 做出的，他也因此获得诺贝尔奖。其中， 他对光子的能量E是如此假定的
E h
1 2 爱因斯坦方程 h mv W 2
22
光子的能量与动量
并用υ= c / λ和狭义相对论中的公式 p =E/c推出光子的动量p为 p=h/λ，E=hν. υ－频率， λ－波长， h－普朗克常数
量子力学
1
为什么要学习量子力学和统计物理学？
1960年代，著名微波电子学家Pirls曾说，量 子力学、统计物理学是高度抽象的科学，不需 要所有的人都懂得这种理论物理科学。 然而，在1990年代，随着高技术科学的发展， 要求我们必须掌握理论物理学，包括量子力学 和统计物理学。例如：微电子器件的集成度越 来越高，组成器件的每一个元件的体积越来越 小。目前，元件的尺寸可以达到nm级。
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n 0
e
于是，用电动力学和统计力学导出的公式
2 2 （Rayleigh–Jeans） E( , T) kT c2
应改为
E( , T)
2h3 c2
(e h kT 1)
这就是Planck假设下的辐射本领，它与 实验完全符合。
18
当 kT hc（高频区）
12
能量量子化概念对难题的解释
原子寿命 ①原子中的电子只能处于一系列分立的能级之中。
即E1, E2, ……. En。
②当电子从能级En变化到Em时，将伴随着能量的
吸收或发射，能量的形式是电磁波。能量的大 小为E =hυ = En－Em
③由此，提出了产生电磁波的量子论观点，即电
磁波源于原子中电子能态的跃迁。从而，电子 就不会掉到原子核里，原子的寿命就会很长。
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这面临着两个问题： 1、信号电磁波所覆盖的区域包括大量的 元件，每个元件的工作状态有随机性，但 器件的响应具有统计性； 2、构成元件的材料的体积属于原子团物 理的范畴，即每个粒子含有有限个原子 （102－109个原子）。这时的统计平均具 有显著的涨落，必须考虑量子效应。
3
量子力学
第一章 绪论
南京工业大学理学院 吴高建
nh n
n 0,1,2,
所以，辐射的平均能量可如此计算得：
15
在E E dE 能量范围内， 经典的能量分布几率
e
E kT E kT e dE 0
dE
（玻尔兹曼几率分布）
所以对于连续分布的辐射平均能量为
E kT E kT E 0 E e dE 0 e dE E kT E kT kT( E e 0 e dE) 0
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2 实物粒子的波动
从德布罗意物质波的观点出发，就会得 出一种违背常理的结论：躲在靶子后面 仍然会被绕过来的子弹打中。 子弹之所以不能绕到靶子后面，是因为 子弹的波长λ= h /p太小了。 h＝6.62×10-34Js，p=mv
28
3 电子与分子的衍射与干涉实验
电子衍射
C60分子干涉图
29
4 波粒二象性既不是经典的粒子， 也不是经典的波
8kT 2 E ( ) 3 c
E υ
10
4.光电效应的解释 光照射到金属材料上，会产生光电子。 但产生条件与光的频率有关，与光的强 度无关。
Light beam electric current
metal
11
能量量子化的假设
造成以上难题的原因是经典物理学认为 能量永远是连续的。
如果能量是量子化的，即原子吸收或发 射电磁波，只能以“量子”的方式进行， 那末上述问题都能得到很好的解释。
2hc 2 hc kT E( , T) e 5
Wein公式
当 kT hc（低频区）
2 c E( , T) 4 kT
Rayleigh–Jeans公式
19
能量量子化概念对难题的解释
对光电效应的解释
如果电子处于分立能级且入射光的能 量也是量子化的，那么只有当光子的能 量（E =hυ）大于电子的能级差，即E =hυ > En－Em时，光电子才会产生。如 果入射光的强度足够强，但频率υ足够 小，光电子是无法产生的。
i A exp[ ( p r Et )]
这就是自由粒子的波函数，它将粒子的波 动同其能量和动量联系了起来。它是时间和 空间的函数，即
( x, y, z, t )
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二、一般粒子的波函数及其物理意义
1 当粒子受到外力的作用时，其能量 和动量不再是常量，也就无法用简 单的函数来描述，但总可以用一个 函数 ( x, y, z, t ) 来描述这个粒子 的特性，称其为粒子的波函数。
E kT dE 0 e
kT
16
而对于Planck假设的能量分布几率，则为
e nh kT
n 0 nh kT nh kT
e nh kT
从而
E nh e
n 0
d nx nx h e e dx n 0 n 0 d x 1 x 1 h (1 e ) (1 e ) dx h (e h kT 1)
31
物质波的观点直接导致这样一个结论：
无法同时准确测量一个粒子的坐标和动量
qp / 2
q－坐标，p－动量 另有：能量和时间的不确定关系：
Et / 2
32
量子力学的特点：
能量量子化； 波粒二象性； 不确定关系。 需要用一个完整的理论将这些离散的假 设和概念统一起来：《量子力学》应运 而生。
E /h h/ p
又因为波矢为k 2 / 因此，自由粒子的 υ和k都 ， 为常量。得到
E h
h p e k
41
υ和k都为常量的波应该是平面波，可用以 下函数描述 A cos(k r t ) 或 A exp[i(k r t )] 将上式代入，得到
47
保留经典概念 的哪些特征
不具有经典概念 的哪些特征
粒子性 有确定的质量、 没有确定的轨道 电荷、自旋等 波动性 有干涉、衍射 振幅不直接可测 等现象 由波函数还可以决定粒子的其它各种物理可观 察量(以后讲)。所以波函数完全描写了微观粒 子(或一般地说，量子体系)的状态，这种描写 在本质上具有统计的特征。
48
三、波函数的统计诠释
表示粒子出现在点(x,y,z)附 近的概率。 | ( x, y, z) |2 xyz 表示点(x,y,z)处的 体积元 xyz 中找到粒子的概率。 这就是波函数的统计诠释。必然有以下 ( , ) * d , d dxdy现它与我们熟悉的经典物理学中的习惯 或概念不一致； b. 量子力学中的新的物理概念不是直观的；
c. 处理问题时，与经典物理学在手法上截然 不同。它的重要性在状态，算符和演化。
36
所以，我们强调
a. 掌握实验事实，及它给我们的启示，不直 接与主观经验联系，不先入为主； b.掌握和理解量子力学的基本概念。新的概 念的依据和特点，新在什么地方，如何理解； c.掌握理论中建立的方程和所用的数学方法 以及处理它们的思路和步骤。
5 物理意义：概率波与概率幅
概率波（M.Born,1926)：物质波描述了 粒子在各处发现的概率。 概率幅：波函数ψ也叫概率幅，概率密 2 度 波的叠加是概率幅叠加，而非概率叠加 2 2 2 P 1 2 P P2 1 2 12 1
30
1.4 不确定关系
33
《量子力学》的作用
一般工科：建立概念与启迪思维，重点在 了解。 材料学：重点是建立正确的、系统的、完 整的概念，为后续课程以及将来从事材料 学领域的研究奠定基础。 理科：四大力学之一，应该精通，并作为 日后从事研究的工具。
34
学习《量子力学》时应注意的问题
概念是灵魂－建立起清晰的概念 数学是桥梁－不必过分拘泥于数学推导 结论是收获－铭记结论在材料学中的作用
43
2 物理意义： 对实物粒子的波动性有两种解释
（1）第一种解释，认为粒子波就是粒子 的某种实际结构，即将粒子看成是三维 空间中连续分布的一种物质波包。波包 的大小即粒子的大小，波包的群速度即 粒子的运动速度。粒子的干涉和衍射等 波动性都源于这种波包结构。
44
能量和动量的关系为， E
p / 2m