直线的方向向量与直线的向量方程(课件PPT)

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用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 设直线l1和l2所成的角为θ，方向向量分别为v1和v2， 则l1⊥l2⇔ v1⊥v2 ，cosθ＝ |cos〈v1，v2〉| ．
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1．直线的方向向量不是唯一的，可以分为同向和 反向两类．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．
2．若直线l1，l2的方向向量平行，则包括l1与l2平 行和l1与l2重合两种情况．
第
知识点一
三 章
3.2
理解教 材新知
3.2.1
知识点二 知识点三
空
考点一
间 直线 向 的方 把握热
考点二
量
向向
点考向
考点三
与 立 体 几
量与 直线 的向 量方
程
考点 直线的方向向量与直线的向量方程
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给定一个定点 A 和一个向量 a，再任给一个实数 t，以
3．求异面直线所成的角时要注意范围．
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[例1] 已知O是坐标原点，A、B、C三点的坐标分别 为A(3，4，0)、B(2，5，5)、C(0，3，5)．
(1)若OP ＝12( AB－ AC )，求P点的坐标； (2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求P 点的坐标．
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[思路点拨] (1)由条件先求出 AB， AC 的坐标，再利 用向量的运算求P点的坐标．
＝1 2
PB .
设点P的坐标为(x，y，z)，则 AP ＝(x－3，y－4，z)，
PB ＝(2－x，5－y，5－z)，
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故(x－3，y－4，z)＝12(2－x，5－y，5－z)，
x－3＝12（2－x）
x＝83
即y－4＝12（5－y），得y＝133.
z＝12（5－z）
z＝53
因此P点的坐标为(83，133，53)．
分必要条件是，存在一对实数x，y，使向量表达式 AM ＝ x AB＋y AC 成立．
(4)已知两个不共线的向量v1，v2与平面α共面，则α∥β或α 与β重合 v1∥β且v2∥β .
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问题1：两条直线垂直，对应的方向向量垂直吗？ 提示：垂直． 问题2：两条直线所成的角θ与两直线的方向向量的夹角 α之间有什么关系？ 提示：相等或互补．
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[一点通] 此类问题常转化为向量的共线、向量的 相等解决，设出要求点的坐标，利用已知条件得关于要 求点坐标的方程或方程组求解即可．
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1．已知O为坐标原点，四面体OABC中，A(0，3，5)， B(1，2，0)，C(0，5，0)，直线AD∥BC，并且AD 交坐标平面xOz于点D，求点D的坐标．
A 为起点作向量 AP＝ta.
问题1：当t确定时，点P的位置是否被确定？ 提示：确定． 问题 2：在 AP＝ta 式中，当 t 取遍全体实数时，点 P 的运动轨迹是什么？
提示：过点A且平行于向量a的一条直线．
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用向量表示直线或点在直线上的位置
(1)给定一个定点A和一个向量a，再任给 一个实数t，以A为起点作向量A P ＝ta①， 这时点P的位置被t的值完全确定．当t在实数 集R中取遍所有值时，点P的轨迹是通过点A 且平行于 向量 的一条直线l，反之，在l上任取一点P， 一定存在一a 个实数t，使 AP＝ta ，则向量方程①通常 称作直线l以 t为参数的参数方程． 向量a 称为该直线的 方向向量．
所以FC1 ＝(0，2，1)， FB1 ＝(2，2，1)， AD＝(－2，0，0)， AE ＝(0，2，1)． (1)∵FC1 ＝ AE ，且FC1在平面ADE外，
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[例2] 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F 分别是BB1、DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F. [思路点拨] 利用直线的方向向量以及线面平行，面面 平行的条件证明．
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[精解详析] 如图所示建立空间直角 坐标系Dxyz，
则有D(0，0，0)、A(2，0，0)， C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2， 1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，
(2)先把条件AP∶PB＝1∶2转化为向量关系，再运算．
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[精解详析] (1) AB ＝(－1，1，5)， AC ＝(－3，－
1，5)．
OP ＝12( AB－ AC )＝12(2，2，0)＝(1，1，0)．
∴P点的坐标为(1，1，0)．
(2)由P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，知 AP
问题1：若v1∥v2，则l1与l2有什么关系？ 提示：平行或重合．
问题2：若直线l的方向向量v与v1，v2共面，且v1、 v2不共线，则直线l与平面α平行吗？
提示：不一定，l可能在α内．
问题3：若平面β∥α，则v1，v2与β什么关系？ 提示：v1∥β，v2∥β.
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用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面
与平面平行
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2或l1与l2 重合 v1∥v2 ．
(2)已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的 一个方向向量为v，则l∥α或l在α内 存在两个实数x，y， 使 v＝xv1＋yv2 ．
(3)如果A，B，C三点不共线，则点M在平面ABC内的充
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(2)对空间任一确定的点 O，点 P 在直线 l 上的充要条 件是存在唯一的实数 t，满足等式OP ＝ OA＋ta ． ②
如果在 l 上取 AB＝a，则②式可化为OP ＝(1－t) OA ＋tOB ． ③
①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程，它们都 与平面的直线向量参数方程相同.
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若直线l1的方向向量为v1，直线l2的方向向量为v2， 且v1∥α，v2∥α.
解：∵D∈平面xOz，∴设D(x，0，z)，
则 AD＝(x，－3，z－5)， BC ＝(－1，3，0)．
∵ AD∥ BC ，∴ AD＝λBC . ∴(x，－3，z－5)＝λ(－1，3，0)．
x＝－λ， λ＝－1， ∴－3＝3λ，即x＝1，
z－5＝0， z＝5. ∴D的坐标为(1，0，5)．
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2．已知点A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一 点，且AC＝13AB，求C点的坐标． 解：设C(x，y，z)，则 AC ＝(x－4，y－1，z－3)． 又 AB＝(－2，－6，－2)．由题意 AC ＝13 AB， ∴(x－4，y－1，z－3)＝13(－2，－6，－2)， 则x＝130，y＝－1，z＝73. 所以C点坐标为(130，－1，73)．