2021高考数学考点精讲精练《21 求和方法(第1课时)》讲解(原卷版)

考点21 求和方法（第一课时）【思维导图】
【常见考法】
考点一：裂项相消
1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()14211n n S n a +=-+，且11a =.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()
12n n n c a a =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .
2．已知数列{}n a 满足，()()*32111N 232
n a a a a n n n n +
++⋅⋅⋅+=+∈. （1）求1a ，2a 的值
（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：*N n ∀∈，314
n S ≤<.
3．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +==
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11
n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
4．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =且()12n n nS n S +=+，*n N ∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()
()*24141n n n a b n N n =-∈-，数列{}n b 的前n 项和为n P ，若112020
n P +<，求正整数n 的最小值.
5．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项的和，且{}n a 为递增数列.已知24a =，314S =.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()221
211log log n n n n n b a a ++=-⋅，求数列{}n b 的前2n 项之和2n T .
6．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*23n n S na n n N
-=∈，且25a =.
（1）证明数列{}n a 为等差数列，并求{}n a 的通项公式；
（2
）设n b =n T 为数列{}n b 的前n
项和，求使n T >成立的最小正整数n 的值.
7．已知数列{}n a 的前n 项和()1*12N 2n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足2n n n b a =.
（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设()()()1121n n n n n n c n a n a ++=-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足()*124N 63
n T n <∈的n 的最大值.
考点二：错位相减法
1．已知等差数列{}n a 公差不为零，且满足：12a =，1a ，2a ，5a 成等比数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设3n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.
2．在数列{}n a 中，首项112
a =前n 项和为n S ，且1)21(n n S a n N *+=-∈
（1）求数列{}n a 的通项；
（2）若31()2n n n b n a =+⨯⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
3．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，21n S n =+．等比数列{}n b 中39b =，公比为3．
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式，以及数列{}n b 的前n 项和n T ；
（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n P ．
4．在数列{}n a 中，任意相邻两项为坐标的点()1,n n P a a +均在直线2y x k =+上，数列{}n b 满足条件：
12b =，()*1n n n b a a n N +=-∈.
（1）求数列{}n b 的通项公式；
（2）若21log n n n
c b b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S .
考点三：分组求和
1．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n n S a a =+．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令1
13n a n n n b a a -+=+，求数列{}n b 的前n 项和．
2．在公差不为0的等差数列{}n a 中，1a ，3a ，9a 成公比为3a 的等比数列，数列{}n b 满足
*2,21,()2,2,
n a n n n k b k N a n k ⎧=-⎪=∈⎨=⎪⎩． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．
3.设数列{}n a 满足12a =，且点()()
*1,n n P a a n N +∈在直线2y x =+上，数列{}n b 满足：13b =，13n n b b +=． （1）数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
（2）设数列()(){}1n n n a b ⋅--的前n 项和为n T ，求n
T ．
4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a >，且()2114
n n S a =
+. （1）求{}n a 的通项公式； （2）令1n n n c a a +=，求数列1n n a c ⎧
⎫+⎨⎬⎩⎭
前n 项和n T .
5．已知数列{}n a 的前n 项和为2(*)2
n n n S n N +=∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2(1)n a n n n n b a a =+-⋅，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．。